1.

2007학년도 대학수학능력시험 모의 평가 (수리영역-나형) 정답 및 해설

(주어진 식)[eqn: = left( 3 ․ 3^ {2over3} right) ^{3over5}`][eqn: = left( 3^{5over3} right)^{3 over 5}`][eqn: =3^1 = 3`]

ꂼ ③

2. [eqn: A= pmatrix{``1~~1``#``2~~4``}]에서

[eqn: A^-1 = 1 over 2 pmatrix{~~4``&-1``#-2&~~1``}]

∴ [eqn: A+ 2 A^-1][eqn: =pmatrix{``1~~1``#``2~~4``}+ pmatrix{~~4``&-1``#-2&~~1``}]

[eqn: =pmatrix{``5~~0``#``0~~5``}]

ꂼ ⑤

3.

(주어진 식)[eqn: =lim_n->inf {1over4} over{ 1+ left( 3over4 right)^n }`][eqn: = {1over4} over {1+0} = 1over 4`]

ꂼ ①

4. [eqn: (log_2 x)^2 - 3 log_2 x + 2=0]

[eqn: (log_2 x - 2) (log_2 x-1 )=0]

∴ [eqn: log_2 x = 2], [eqn: log_2 x= 1]

∴ [eqn: x= 4, ~~x= 2`]

∴ [eqn: alpha + beta = 4+2 = 6]

ꂼ ③

5. 함수 [eqn: y=log_{1over 2} (x-a)`]는 밑이 1보다 작으므로 [eqn: x`]의 값이 증가할수록 [eqn: y`]의 값은 감소한다. 따라서 [eqn: x=8`]일 때 최소값을 가지므로 [eqn: log_{1over2} (8-a) = -2`]이어야 한다.

∴ [eqn: 8-a = left( 1over2 right)^-2 = 4`]

∴ [eqn: a=4`]

ꂼ ④

6. [eqn: 2^x+3 >4= 2^2]에서

밑이 [eqn: 1`]보다 크므로

[eqn: x+3 >2]

∴ [eqn: x>-1] [eqn: cdots ㉠]

[eqn: 2log(x+3) < log(5x+15)]에서

밑이 [eqn: 1`]보다 크므로

[eqn: (x+3)^2 < 5x+15]

[eqn: x^2 +x -6<0]

[eqn: (x+3)(x-2)<0]

∴ [eqn: -3<x<2`][eqn: cdots ㉡]

㉠과 ㉡의 공통범위는

[eqn: -1<x<2`]

따라서 구하는 정수 [eqn: x`]의 개수는

[eqn: 0, ~~1`]의 [eqn: 2`]개 이다.

ꂼ ①

7. ㄱ. [eqn: f(2) = 2^2 - log_2 2 = 4-1=3`] (참)

ㄴ. [eqn: f(8) = 2^8 - log_2 8 =256-3=253`],

[eqn: f(log_2 8 ) = f(3) = 2^3 - log_2 3`]

∴ [eqn: f(8)≠-f(log_2 8 )`] (거짓)

ㄷ. (좌변)[eqn: =][eqn: f(2^n ) +n = 2^2^n - log_2 2^n +n`]

[eqn: = 2^2^n `-n+n = 2^2^n `]

[eqn: f(2^n-1 ) = 2^2^n-1 - log_2 2^n-1 = 2^2^n-1 - (n-1)`]이므로

(우변)[eqn: =`][eqn: left(2^2^n-1 right)^2 = 2^2^n`]

∴ [eqn: f(2^n ) +n = "{" f(2^n-1 ) +n-1 "}"^2`] (참)

ꂼ ④

8. [eqn: A= pmatrix{``{2-2^a}&~~{1+2^a-2}`#``{4}&{3}``}]이 역행렬을 갖지 않으려면

[eqn: (2- 2^a ) cdot 3 - (1+2^a-2 ) cdot 4 =0]

[eqn: 6- 3 cdot 2^a - 4 - 2^a-2 cdot 4]

[eqn: = 2- 4 cdot 2^a]

[eqn: = 2- 2^a+2 =0]

∴ [eqn: 2= 2^a+2]

∴ [eqn: a= -1`]

ꂼ ④

9. 구하는 [eqn: a_1 ,~a_2 ,~a_3`]의 순서쌍

[eqn: (a_1 ,~a_2 ,~a_3`)`]의 개수는

(2, 4, 6), (4, 6, 8), (6, 8, 10),

(8, 10, 12), (2, 6, 10), (4, 8, 12)

의 6이다.

ꂼ ②

10. [eqn: a_n = 1 over 2 n h_n] [eqn: cdots ㉠]

수열 [eqn: left{ a_n right}]은 첫째항이 [eqn: 1over 2 `]인 등비수열이므로 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a_n = 1 over 2 r^n-1][eqn: cdots ㉡]

ㄱ. 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: a_n = 1over 2`]이면 ㉠에서

[eqn: 1over 2 = 1over 2 n h_n]

∴ [eqn: h_n = 1over n] (참)

ㄴ. [eqn: h_2 = 1over4]이면 ㉠과 ㉡에서

[eqn: a_2 = 1 over 2 cdot 2 cdot 1 over 4 = 1 over 2 cdot r]

∴ [eqn: r= 1over 2 `]

∴ [eqn: a_n = 1 over 2 left( 1over 2 right)^n-1 = left( 1 over 2 right)^n] (참)

ㄷ. [eqn: h_2 < 1over 2 `]이면

[eqn: a_2 = 1 over 2 cdot 2 cdot h_2 = 1 over 2 cdot r]에서

[eqn: 0<r= 2 h_2 <1`]이므로

[eqn: lim_n->inf n h_n = lim_n->inf r^n-1 = 0] (참)

([eqn: because`]㉠, ㉡에서 [eqn: nh_n = r^n-1])

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

11. 점 [eqn: \P_{it n}`]의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: \P_1 left( 1 over 2 ,~ root3 over 2 right)`], [eqn: \P_2 left(- root3 over 2 ,~ 1over 2 right)`],

[eqn: \P_3 left(- root3 over 2 ,~ - 1over 2 right)`], [eqn: \P_4 left( root3 over 2 ,~ - 1over 2 right)`]

[eqn: \P_5 left( root3 over 2 ,~ 1over 2 right)`], [eqn: \P_6 left( - 1over 2 ,~ root3over 2 right)`]

[eqn: \P_7 left( - 1over 2 ,~- root3over 2 right)`], [eqn: \P_8 left( 1over 2 ,~- root3over 2 right)`],

[eqn: \P_9 left( 1over 2 ,~ root3over 2 right)`], ⋯

따라서 [eqn: \P_{it 8n+k}`][eqn: (n]은 정수, [eqn: k][eqn: =1,2,3,⋯,8)`]의 좌표는 [eqn: \P_{itk}`]의 좌표와 같다.

[eqn: 2007=8n+7`]꼴이므로 점 [eqn: \P_2007`]의 좌표는 [eqn: \P_7`]의 좌표와 같다.

∴ [eqn: \P_2007 left( - 1over 2 ,~ - root3 over 2 right)`]

ꂼ ①

12. [eqn: A pmatrix{``1``#``1``} + A^-1 pmatrix{``2``#``0``} = pmatrix{``0``#``0``}]의 양변에 [eqn: A^2`]을 곱하면

[eqn: A^2 A pmatrix{``1``#``1``} + A^2 A^-1 pmatrix{``2``#``0``} = A^2 pmatrix{``0``#``0``}]

[eqn: A^3 pmatrix{``1``#``1``} + A pmatrix{``2``#``0``} = pmatrix{``0``#``0``}]

∴ [eqn: A pmatrix{``2``#``0``} = -A^3 pmatrix{``1``#``1``}]

[eqn: =E pmatrix{``1``#``1``}] ([eqn: because A^3 + E= O])

[eqn: = pmatrix{``1``#``1``}]

∴ [eqn: a=1 ,~~ ~b=1`]

∴ [eqn: a+b = 2`]

ꂼ ②

13. ㄱ. 10과 99는 모두 두 자리의 자연수이므로 [eqn: log10 , ~log99`]의 지표는 1로 같다.

∴ [eqn: A_10 ="{" 10,~11,~12,~⋯,~99"}"`][eqn: =A_99] (참)

ㄴ. ㄱ에서 [eqn: n(A_10 )=90`]이다.

한편, 100은 세 자리의 자연수이므로

[eqn: A_100 = left{ 100,~101,~102,~⋯,~999right}`]

∴ [eqn: n(A_100 )=900`]

∴ [eqn: n(A_100 ) = 10 cdot n(A_10 )`] (참)

ㄷ. [eqn: A_p cap A_q !=phi`]이므로 [eqn: r INA_p cap A_q]라 하면 [eqn: r INA_p]이고 [eqn: r INA_q]이다.

따라서 ([eqn: log r`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log p`]의 지표)이고

([eqn: log r`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log q`]의 지표)이므로

([eqn: log p`]의 지표)[eqn: =]([eqn: log q`]의 지표)이다.

∴ [eqn: A_p = A_q`] (참)

ꂼ ⑤

14. 첫째 해의 연봉 : [eqn: a`] 원

[eqn: 2`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)]원

[eqn: 3`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)^2]원

[eqn: cdots]

[eqn: 19`]년째 해의 연봉 : [eqn: a(1+0.08)^18]원

[eqn: 20`]년째 해의 연봉 : [eqn: 2 over 3 a (1+0.08)^18`]

따라서 이 회사에 입사한 사람이 [eqn: 28`]년 동안 근무하여 받는 연봉의 총합은

[eqn: a+ a times 1.08 + a times 1.08^2 + a times 1.08^3]

[eqn: + cdots + a times 1.08^17 + a times 1.08^18]              [eqn: + 2 over 3 a times 1.08^18 times 9]

[eqn: = a + {a times 1.08 (1.08^18 - 1)} over { 1.08 - 1} + 6 a times 1.08^18]

[eqn: = a + {a times 1.08 (4 - 1)} over { 0.08} + 6 a times4]

[eqn: =25 a + 81 over 2 a]

[eqn: = 131 over 2 a `]

ꂼ ④

15. 12명을 4명씩 A, B, C의 세 조로 나눈다고 하자.

각 지역에서 선발된 3명을 세 조에 한 명씩 배치하는 경우의 수는 각각 [eqn: 3 ! = 6`]이므로

4지역의 12명을 모두 배치하는 경우의 수는 [eqn: 6^4`]이다.

그런데, 세 조 A, B, C는 서로 구별되지 않으므로 구하는 경우의 수는

[eqn: 6^4 over 3! = 6^3 = 216`]

ꂼ ③

16.  [eqn: l_1 = a over {cos 30DEG} = 2 over root3 a `]

[eqn: l_n+1 = l_n over{ cos 30DEG}]

∴ [eqn: l_n+1 over l_n = 1over {cos 30 DEG}][eqn: = 2 over root3`]

따라서 수열 [eqn: left{ l_n right}]은 첫째항이 [eqn: 2over root3 a `]이고 공비가 [eqn: 2 over root3]인 등비수열이므로

[eqn: l_n = 2 over root3 a cdot left( 2 over root3 right)^n-1]

[eqn: =a left( 2 over root3 right)^n]

∴ [eqn: SUM_n=1 ^inf 1 over l_n = SUM_n=1 ^inf 1 over {a left( 2 over root3 right)^n}]

[eqn: = 1 over a SUM_n=1 ^inf left( root3 over 2 right)^n]

[eqn: = 1over a cdot { root3 over 2 } over{ 1- root3 over 2 }][eqn: = 1over a cdot { root3 } over{ 2- root3 }]

[eqn: ={2root3 +3} over a][eqn: = root3`]

∴ [eqn: a= 2 + root3`]

ꂼ ③

17. [eqn: 2+3․2 + ⋯+n(n-1)`]

[eqn: =2(2-1) + 3(3-1)+⋯+n(n-1)`]

[eqn: =1^2 + 2^2 +3^2 +⋯+n^2 - (1+ 2+3+⋯+n)`]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6 - n(n+1) over 2`]

∴ (가) [eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 6]

[eqn: { 2d left{ {n(n+1)(2n+1)} over 6 - n(n+1) over 2` right}} over n(n+1)]

[eqn: ={ 2d left{{2n+1} over 6 - 1 over 2` right}}]

[eqn: ={2d(2n+1-3)} over6`= 2 over 3 d (n-1)]

∴ (나)[eqn: = 2 over 3 d`]

[eqn: {a_1 +2a_2 +⋯+ na_n} over {1+2+⋯+(n+1)}`]

[eqn: = {1+2+⋯+n} over{1+2+⋯+(n+1)} cdot {a_1 +2a_2 +⋯+ na_n} over {1+2+⋯+n}]

[eqn: = { n(n+1) over 2} over {{(n+1)(n+2)} over 2 } cdot b_n `]

[eqn: = n over n+2 cdot b_n`]

∴ (다)[eqn: = n over n+2`]

ꂼ ①

참고

주어진 증명을 완성하면 다음과 같다.

[eqn: b_n+1 = n over n+2 b_n + 2 over n+2 a_n+1`]

[eqn: = left( 1 - 2 over n+2 right) b_n + 2over n+2 a_n+1`]

[eqn: = b_n - 2 over n+2 b_n + 2over n+2 a_n+1`]

∴ [eqn: b_n+1 - b_n = 2 over n+2 (a_n+1 -b_n )`] ⋯ ㉠

그런데, 등차수열 [eqn: "{"b_n"}"`]의 첫째항을 [eqn: a'`], 공차를 [eqn: d'`]이라 하면 [eqn: b_n+1 - b_n = d'`]이므로 ㉠에서

[eqn: d' = 2 over n+2 (a_n+1 - b_n )`]

∴ [eqn: a_n+1 = d' over 2 (n+2) +b_n`]

[eqn: = d' over 2 (n+2) + a'+(n-1)d'`]

[eqn: = left( a' + 3 over 2 d' right) + 3over 2 d'(n-1)]

따라서 수열 {[eqn: a_n+1]}은

[eqn: a_2 = a' + 3over 2 d'`]이고 공차가 [eqn: 3over 2 d'`]인 등차수열이다.

그런데, [eqn: a_1 = b_1][eqn: =a'`]이므로 수열 [eqn: "{"a_n "}"`]은 첫째항이 [eqn: a'`], 공차가 [eqn: 3 over 2 d'`]인 등차수열이다.

18. [eqn: a_100 = S_100 - S_99]

[eqn: = 100^2 - 3 cdot 100 - (99^2 - 3 cdot 99)]

[eqn: = 100^2 - 99^2 -3 (100-99)]

[eqn: =(100+99)(100-99)- 3]

[eqn: =196]

ꂼ [eqn: 196]

19. [eqn: (3x+y)^6`][eqn: =sum_r=0^6 `_6 C_r (3x)^r y^6-r`]

[eqn: =sum_r=0^6 `_6 C_r cdot 3^r cdot x^r y^6-r``]

따라서 [eqn: x^2 y^4`]은 [eqn: r=2`]일 때이므로 구하는 계수는 [eqn: `_6 C_2 cdot 3^2`][eqn: = 15․9=135`]이다.

ꂼ 135

20. 함수 [eqn: y= 2^x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: m]만큼 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: n`]만큼 평행이동 시키면

[eqn: y= 2^x-m +n`]

이다. 이 함수의 그래프가 두 점 [eqn: (-1,~ 1)], [eqn: (0, 5)]를 지나므로

[eqn: 2^-1-m +n =1][eqn: cdots ㉠]

[eqn: 2^-m + n = 5`][eqn: cdots ㉡]

[eqn: ㉡-㉠]을 하면

[eqn: 2^-m - 2^-1-m = 4 `]

[eqn: 2^-m left( 1- 1over 2 right) = 4`]

[eqn: 2^-m = 8][eqn: =2^3`]

∴ [eqn: m=-3`]

이것을 ㉡에 대입하면

[eqn: n=-3`]

∴ [eqn: m^2 +n^2 = 18`]

ꂼ [eqn: 18`]

21.[eqn: (g circ f )(x)=x`]를 만족하는 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: f(x)`]의 역함수이다.

[eqn: y=1+3log_2 x `]에서 [eqn: x,~y`]를 서로 바꾸면

[eqn: x=1+3log_2 y `], [eqn: x-1 over 3 =log_2 y`]

∴ [eqn: y= 2^{x-1 over 3}`]

따라서 [eqn: g(x)= 2^{x-1 over 3}`]이므로

[eqn: g(13) = 2^{13-1over3} = 2^4 = 16`]

ꂼ 16

다른 풀이

[eqn: f(x)= 13`]을 만족하는 [eqn: x`]의 값을 구하면

[eqn: 1+3log_2 x = 13`]에서 [eqn: log_2 x = 4`]

∴ [eqn: x=2^4 = 16`]

∴ [eqn: g(f(16)) = g(13) = 16`]

22. [eqn: A= pmatrix{-1``&~~3``#-1``&-1``}]에서

[eqn: A^2 = pmatrix{-1``&~~3``#-1``&-1``} pmatrix{-1``&~~3``#-1`&-1``}][eqn: = pmatrix{-2``&-6``#~~2``&-2``}]

[eqn: A^3 = AA^2]

[eqn: = pmatrix{-1``&~~3``#-1``&-1``} pmatrix{-2``&-6``#~~2``&-2``}]

[eqn: = pmatrix{``8``&0``#``0``&8``}][eqn: = 8pmatrix{``1``&0``#``0``&1``}][eqn: = 8E]

∴ [eqn: A^6 = A^3 A^3]

[eqn: = 8^2 E^2]

[eqn: = 64 E]

∴ [eqn: A^6 pmatrix{``1 ``#``` 1``} = 64E `` pmatrix{``1 ``#``` 1``}][eqn: = pmatrix{``64 ``#``` 64``}]

∴ [eqn: a= 64, ~~b=64`]

∴ [eqn: a+b = 128`]

ꂼ [eqn: 128`]

23. [eqn: log a^3`]의 가수가 0이면 [eqn: log a^3 = k`] ([eqn: k`]는 정수)이므로 [eqn: a^3 = 10^k `]이다.

∴ [eqn: a= 10^{k over 3}`]

이 때, [eqn: 1<a<10]이므로 정수 [eqn: k`]의 최대값은 2이다.

마찬가지로 [eqn: b^5 = 10^n`] ([eqn: n`]은 정수)이므로

[eqn: b= 10^{ n over 5}`]

이 때, [eqn: 1<b<10]이므로 정수 [eqn: n`]의 최대값은 4이다.

따라서 [eqn: a b = 10^{ k over 3 + n over 5}`]의 최대값은

[eqn: 10^{ 2over 3 + 4 over 5 } = 10^{22 over 15}`]

∴ [eqn: p+q = 15+22=37`]

ꂼ 37

24. (i)[eqn: A, ~B`]를 포함하는 세트의 개수

[eqn: C`]를 제외한 [eqn: 5`]개의 과자에서 [eqn: 2`]개를 택하는 방법의 수이므로

[eqn: `_5 \C_2 = 10`] (가지)

(ii)[eqn: A, ~B`]를 포함하지 않는 세트의 개수

[eqn: A, B`]를 제외한 [eqn: 6`]개의 과자에서 [eqn: 4`]개를 택하는 방법의 수이므로

[eqn: `_6 \C_4 = `_6 \C_2 = { 6 times 5} over{ 2 times 1} = 15`](가지)

따라서 (i), (ii)에 의해 서로 다른 세트 상품을 만들 수 있는 방법의 수는

[eqn: 10+15 = 25`] (가지)

ꂼ [eqn: 25`]

25. [eqn: 50=20+180×3^{ - n over 256}`]이므로 [eqn: 3^{- n over 256} = 1 over 6`]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: - n over 256` log 3 = log 1over 6 = - log2 - log3 `]

∴ [eqn: n= {256(log2+log3) }over log3`]

[eqn: = {256×0.78} over 0.48`][eqn: =416`]

ꂼ 416

26. [eqn: a_1 =1]

[eqn: a_2 = root 3 of 2 cdot 1 = 2^{ 1 over 3}]

[eqn: a_3 = root 3 of 2 cdot 2^{ 1over 3} = 2^{ 1over 3}cdot 2^{ 1over 3}= 2^{ 2over 3}]

[eqn: a_4 = root 3 of 2 cdot 2^{ 2over 3} = 2^{ 1over 3} cdot 2^{ 2over 3} = 2`]

[eqn: a_5 = 1 over 2 cdot 2 = 1`]

[eqn: a_6 = root3 of 2 cdot 1= 2^{ 1over 3}]

[eqn: cdots `]

[eqn: a_ 4n-3 = 1`], [eqn: a_4n-2 = 2^ { 1over 3}]

[eqn: a_4n-1 = 2^ { 2over 3}], [eqn: a_4n = 2`] ([eqn: n=1,2,3 cdots])

∴ [eqn: a_112 = a_{ 4 times 28} = 2`]

ꂼ ⑤

27. 두 등비수열 {[eqn: a_n`]}, {[eqn: b_n`]}의 공비를 각각 [eqn: r,~s]이라 하자.

주어진 행렬이 역행렬을 갖지 않으므로

[eqn: a_n b_n - a_n+1 b_n+1][eqn: = (a_1 r^n-1 )(b_1 s^n-1 ) - (a_1 r^n )(b_1 s^n )`]

[eqn: = (a_1 r^n-1 )(b_1 s^n-1 ) (1 -rs)=0]

∴ [eqn: rs = 1`]

따라서 [eqn: s= 1over r`]이므로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = b_1 over 1-s`][eqn: = b_1 over { 1- 1over r }`]

[eqn: = {b_1 cdot r } over {r-1}`][eqn: = {b_1 cdot ar } over {ar-a}`]

[eqn: = {a_2 b_1 } over {a_2 - a_1}`] (∵ [eqn: ar = a_2 `])

ꂼ ②

28. 무한등비수열 [eqn: left{ a_n right}]의 첫째항을 [eqn: a`], 공비를 [eqn: r_1], 무한등비수열 [eqn: left{ b_n right}]의 첫째항을 [eqn: b`], 공비를 [eqn: r_2`]라 하면

[eqn: a_n = ar_1 ^n-1], [eqn: b_n = b r_2 ^n-1]

ㄱ. [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]이 수렴하므로

[eqn: -1< r_1 < 1], [eqn: -1 < r_2 <1`]

[eqn: a_n b_n = ar_1 ^n-1 b r_2 ^n-1][eqn: = ab ( r_1 r_2 )^n-1]

에서  [eqn: -1< r_1 r_2 <1`]이므로

[eqn: SUM_n=1 ^inf a_n b_n = ab over {1-{r_1 r_2 } }] (수렴) (참)

ㄴ. (반례) [eqn: a_n = (-1)^n], [eqn: b_n =(-1)^n-1`]

이라 하면

[eqn: lim_n->inf a_n !=0], [eqn: lim_n->inf b_n !=0]

이므로 [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]은 발산하지만

[eqn: a_n + b_n =(-1)^n + (-1)^n-1 = 0`]

∴ [eqn: lim_n->inf (a_n + b_n )= 0] (거짓)

ㄷ. [eqn: SUM_n=1 ^inf {a_n }^3], [eqn: SUM_n=1 ^inf{ b_n }^3`]이 수렴하므로

[eqn: -1< r_1 ^3 <1], [eqn: -1< r_2 ^3 <1]

∴ [eqn: -1< r_1 <1], [eqn: -1< r_2 <1]

따라서 [eqn: SUM_n=1 ^inf a_n], [eqn: SUM_n=1 ^inf b_n]이 수렴하고,

[eqn: SUM_n=1 ^inf (a_n +b_n ) = SUM_n=1 ^inf a_n + SUM_n=1 ^inf b_n]이므로

[eqn: SUM_n=1 ^inf (a_n +b_n )]은 수렴한다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ④

29. ㄱ. (반례) [eqn: A=pmatrix{1 &1 #0 &0 }`], [eqn: B=pmatrix{1 &2 #3 &4 }`]이면

[eqn: AB-BA][eqn: =pmatrix{4 &6 #0 &0 }-pmatrix{ 1&1 #3 & 3}`][eqn: =pmatrix{3 & 5# -3&-3 }`]

이 때, [eqn: 3(-3)-5(-3)≠0`]이다. (거짓)

ㄴ. [eqn: A=pmatrix{a &b #c &d }`], [eqn: B=pmatrix{x &y #z &w }`]라 하면

[eqn: AB-BA]

[eqn: =pmatrix{ ax+bz&ay+bw #cx+dz &cy+dw } - pmatrix{ ax+cy&bx+d y #az+cw &bz+dw }`]

[eqn: =pmatrix{bz-cy &ay+bw-bx-d y #cx+dz-az-cw &cy-bz }`]

∴ [eqn: p+s = (bz-cy)+(cy-bz)=0`] (참)

ㄷ. [eqn: A=E`]일 때 임의의 이차정사각행렬 [eqn: B`]에 대하여 [eqn: AB= BA`] 즉, [eqn: AB-BA = O`]이지만 반드시 [eqn: B`]가 [eqn: A`]의 역행렬인 것은 아니다. (거짓)

ꂼ ②

30. 놀이 기구의 좌석을 다음과 같이 나타내면

A
B

(i) A행의 좌석에서 [eqn: 2`]개를 택하여 남학생 두 명을 앉히는 방법의 수는

[eqn: `_5 \P_2 = 5 times 4 = 20`] (가지)

각각의 옆자리에는 여학생을 앉히는 방법의 수는

[eqn: 2`](가지)

이므로 구하는 방법의 수는

[eqn: 20 times 2`=40] (가지)

마찬가지로, A행의 두 좌석에 여학생을 앉히는 방법을 생각하면 구하는 경우의 수는

[eqn: 20 times 2`=40] (가지)

(ii)남학생 [eqn: 1`]명과 여학생 [eqn: 1`]명을 택하여 A행의 두 좌석에서 앉히면 그 옆자리에 앉는 사람은 주어진 조건에 의해 자동으로 결정되므로 구하는 경우의 수는

[eqn: `_2 \C_1 times `_2 \C_1 times `_5 \P_2 = 2 times 2 times20]

[eqn: =80](가지)

따라서 (i), (ii)에 의해 구하는 경우의 수는

[eqn: 40 + 40 + 80 = 160] (가지)

ꂼ [eqn: 160]