B형 정답

1	①	2	②	3	②	4	③	5	⑤
6	③	7	④	8	①	9	②	10	②
11	⑤	12	③	13	①	14	④	15	⑤
16	①	17	⑤	18	④	19	③	20	④
21	③	22	39	23	11	24	4	25	32
26	10	27	13	28	5	29	102	30	13

B형 해설

1. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 계산하기

[eqn: root {4} of {81} TIMES sqrt {sqrt {16}} =3times2=6]

2. [출제의도] 행렬 계산하기[eqn: A ^{2} `+AB=A(A+B)= {pmatrix{``2``&``0``#1&``4``}} {pmatrix{`2``&``0``#2&4}} = {pmatrix{``4``&``````0``#10&````16}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 30]

3. [출제의도] 함수의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{x -> 2} {{x ^{2} -4} over {sqrt {x+2} -2} `}]에서

분모, 분자에 [eqn: LEFT ( sqrt {x+2} +2` RIGHT ) `]를 곱하면

[eqn: lim _{x -> 2} {{(x+2)(x-2) LEFT ( sqrt {x+2} +2 RIGHT )} over {x-2} `=16}]

4. [출제의도] 여사건의 확률 이해하기

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B`)`= rm P( it A)rmP( it B)`], [eqn: rm P( it A)= {1} over {2} `]

따라서 [eqn: rm P LEFT ( it A ^{C} ` RIGHT ) =1- rm P LEFT ( it A RIGHT ) = {1} over {2} `]

5. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: (1+tan theta )tan2 theta]

[eqn: =(1+tantheta)times { 2tantheta} over {1-tan^2`theta }][eqn: ={ 2tantheta} over {1-tantheta }][eqn: =3`]

따라서 [eqn: `tan theta = {3} over {5}]

6. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} ` RIGHT }]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> inf} {a _{n} =alpha`}]라 하면

[eqn: lim _{n -> INF } {{4a _{n} +3} over {2-a _{n} `}} =2`]에서 [eqn: {4alpha+3} over {2-alpha} =2`]

[eqn: 4alpha+3=4-2alpha`], [eqn: alpha= {1} over {6} `]

따라서 [eqn: lim _{n->inf} {a _{n} =alpha= {1} over {6} `}]

7. [출제의도] 접선의 방정식 이해하기

(사각형 [eqn: rm AQCP]의 넓이)

=(삼각형 [eqn: rm ACP]의 넓이)+(삼각형 [eqn: rm AQC]의 넓이)

직선 [eqn: rmAC]의 기울기가 [eqn: 2]이므로 사각형 [eqn: rm AQCP`]의 넓이가 최대가 되려면 접선의 기울기가 [eqn: 2]가 되는 접점을 [eqn: RM P]와 [eqn: RM Q]로 하면 된다.

[eqn: y` prime =3x ^{2} -10x+4`]에서 [eqn: 3x ^{2} -10x+4`=`2],  [eqn: 3x^2 -10x +2 `=`0]의 두 근이 점 [eqn: RM P], [eqn: RM Q]의

[eqn: x]좌표이므로 두 점 [eqn: RM P], [eqn: RM Q]의 [eqn: x`]좌표의 곱은 [eqn: {2} over {3}]

8. [출제의도] 분수부등식을 이용하여 수학내적 문제해결하기

부등식 [eqn: {f LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )} LEQ 0`] [eqn: (f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) != 0)]의

양변에 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}]을 곱하면[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } LEQ 0`]

(ⅰ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) >g LEFT ( x RIGHT ) `]인 정수해는
존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 0], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <g LEFT ( x RIGHT ) `]인 정수해는
[eqn: x=][eqn: 0,`1,`5,`6`]

(ⅰ)과 (ⅱ)에 의하여 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 4`]

9. [출제의도] 부분적분법을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: LEFT { xf LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } prime =f(x)+xf` prime (x)=x`cosx`]에서

[eqn: int _{} ^{} {LEFT { xf(x) RIGHT } prime dx} = int _{} ^{} {x`cosx} `dx]

[eqn: xf(x)=x`sinx+`cosx+C] (단, [eqn: C``]는 적분상수)

(가)에서 [eqn: f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =1]이므로

[eqn: {pi } over {2} f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) = {pi } over {2} `sin {pi } over {2} +`cos {pi } over {2} +C]

[eqn: {pi } over {2} = {pi } over {2} +C`]이므로 [eqn: C=0`]

[eqn: pi f( pi )= pi `sin pi +`cos pi]에서

[eqn: f(pi)=- {1} over {pi}]

10. [출제의도] 중복조합 이해하기

[eqn: x GEQ 1`,~y GEQ 1`,~z GEQ 1]이고 [eqn: x+y+z=6`]이므로

[eqn: x-1=X`], [eqn: y-1=Y`], [eqn: z-1=Z`]로 치환하면[eqn: X+Y+Z=3`]인 음이 아닌 정수해 [eqn: LEFT ( `X`,~Y`,~Z` RIGHT ) `]의 개수와 일치하므로 [eqn: {} _{3} rm H it rm _{3} = _{5} rm C it rm _{3} =10`]

11. [출제의도] 역행렬의 성질 추론하기

ㄱ. [eqn: A AST O=A ^{2} =O`]이면 [eqn: A=O] (거짓)
반례) [eqn: A= {pmatrix{0&```0#1&```0}} `]

ㄴ. [eqn: A astB=A ast(-B)`]이므로 [eqn: AB=BA`]이다.
[eqn: (AB) ^{2} =A ^{2} B ^{2} `] (참)

ㄷ. [eqn: A ast E=A``]이므로 [eqn: A ^{2} -A-E=O]
[eqn: A ^{2} -A-E=][eqn: (A+E)(A-2E)+E=O`] [eqn: (A+E)(2E-A)=E`]이므로 [eqn: (A+E) ^{-1} =2E-A`] (참)

따라서 ㄴ, ㄷ

12. [출제의도] 역함수의 미분법 이해하기

[eqn: f(x)`]의 역함수가 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]이므로 [eqn: f LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =x`]

[eqn: g(2)=theta`]라 하면 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) =2`]

[eqn: f(theta)=2sintheta+1=2`]에서 [eqn: theta = {pi } over {6} `], [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = {pi} over {6} `]

따라서

[eqn: g`' LEFT ( 2 RIGHT ) `][eqn: = {1} over {f`` prime ` LEFT ( g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )} =][eqn: {1} over {f`'` LEFT ( {pi} over {6} RIGHT )} = {1} over {2cos {pi} over {6}} = {sqrt {3}} over {3} `]

13. [출제의도] 좌표공간의 선분의 내분점 이해하기

점 [eqn: rm H]를 좌표공간의 원점으로 하면

[eqn: y]

[eqn: z]

[eqn: rmA]

[eqn: rmF]

[eqn: rmG]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

점 [eqn: rm A][eqn: LEFT ( `3`,~0`,~3` RIGHT ) `], 점 [eqn: rm G][eqn: LEFT ( `0`,~3`,~0` RIGHT ) `]에서

내분점 [eqn: rm I]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `2`,~1,~2` RIGHT ) `]

점 [eqn: rm F][eqn: LEFT ( `3`,~3`,~0` RIGHT ) `]이므로 [eqn: rm {bar{`FI`}} `=`3]

14. [출제의도] 조건부확률 이해하기

두 점 사이의 거리가 무리수일 사건을 [eqn: A`]라 하고 두 점 사이의 거리가 [eqn: 3 sqrt {3} `]일 사건을 [eqn: B`]라 하자.

정육면체의 꼭짓점 중 서로 다른 두 점을 택하는 모든 경우의 수는 [eqn: {} _{8} rm C _{2} = {8 TIMES 7} over {2} =28]

두 점 사이의 거리가 무리수인 경우의 수는 [eqn: 16]

두 점 사이의 거리가 [eqn: 3 sqrt {3} `]인 경우의 수는 [eqn: 4`]

[eqn: rm P` LEFT ( it A RIGHT ) = {4} over {7} `]이고 [eqn: rm P` LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT ) = {1} over {7} `]이다.

따라서 [eqn: rm P` LEFT ( it B`|A RIGHT ) = {rm P LEFT ( it A SMALLINTER B RIGHT )} over {rm P LEFT ( it A RIGHT ) it} `= {1} over {4} `]

15. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 추론하기

	주어진 식에 의하여 [eqn: (n+1)a _{n+1} =2na _{n} `+n·`2 ^{n+1}] 이다. [eqn: b _{n} = {n} over {2 ^{n}} a _{n} `]이라 하면 [eqn: b _{n+1} =b _{n} + {BOX{`n`}} `~ LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이고 [eqn: b _{1} = {BOX{`6`}} `]이므로 [eqn: b _{n} =` {BOX{`` {n ^{2} -n+12} over {2} ``}} `` LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이다. 그러므로 [eqn: a _{n} `=` {2 ^{n}} over {n} TIMES {BOX{`` {n ^{2} -n+12} over {2} `}} ~ LEFT ( n` GEQ 1 RIGHT )] 이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =n`], [eqn: p=6`],

[eqn: g LEFT ( n RIGHT ) =b _{n} =6+ sum _{k=1} ^{n-1} `k]  [eqn: LEFT ( n` GEQ 2 RIGHT )]

[eqn: g(n)=6+ {n(n-1)} over {2} = {n ^{2} -n+12} over {2}]

따라서 [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) +g LEFT ( p RIGHT ) =f LEFT ( 6 RIGHT ) +g LEFT ( 6 RIGHT ) =6+21=27]

16. [출제의도] 삼각함수의 반각공식을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rmO`]를 중심으로 하고 반지름이 [eqn: {bar{rm OA }}`]인 원을 그리면

원주각과 중심각의 관계에 의하여

[eqn: rm ANGLE BOC=2theta`]이므로 [eqn: alpha=theta]

[eqn: rm ANGLE AOB= theta `]이므로 [eqn: beta = {theta} over {2} `]

따라서 [eqn: sin ^{2} ( alpha - beta )=sin ^{2} {theta } over {2} = {1-cos` theta } over {2} = {1} over {20}]

17. [출제의도] 일차변환의 합성 이해하기

[eqn: rm O]를 원점이라 하고 [eqn: rm ANGLE AOB= theta `]라 하면

[eqn: rm ` {bar{OB}} =2 sqrt {5}], [eqn: cos` theta =- {1} over {sqrt {5}}], [eqn: sin theta = {2} over {sqrt {5}}]

닮음변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬 [eqn: M= {pmatrix{sqrt {5}&0#0&sqrt {5}}}]

회전변환 [eqn: g]를 나타내는 행렬

[eqn: N & = {pmatrix{```cos theta ``~&-sin theta ````#```sin theta ``~&```cos theta }} = {pmatrix{- {1} over {sqrt {5}} ``````&- {2} over {sqrt {5}} ````#{2} over {sqrt {5}} `````&- {1} over {sqrt {5}} ```}} `]

따라서 합성변환 [eqn: h=f CIRC g]를 나타내는 행렬 [eqn: MN= {pmatrix{-1&-2#``````2`&`-1`}}]

점 [eqn: rm B(-2,~4)]는 일차변환 [eqn: h]에 의하여 점 [eqn: rm `P` LEFT ( it a,~b RIGHT )]로 옮겨지므로[eqn: {pmatrix{a#b}} =MN {pmatrix{-2#4}} = {pmatrix{-1&````-2#````2&````-1}} {pmatrix{-2#4}} = {pmatrix{-6#-8}}]

따라서 [eqn: `ab=48]

18. [출제의도] 포물선의 성질 이해하기

원의 반지름의 길이가 [eqn: {bar{rm `FP it}} =p`]이므로 [eqn: {bar{rm `AP it}} = it p]

[eqn: {bar{rm `AF it}} = {bar{rm `AH it}}]이므로 점 [eqn: rm `A]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: p`]

[eqn: {bar{rm `FQ it}} =p`]이므로 [eqn: {bar{rm `BQ it}} = {5} over {2} p]

[eqn: {bar{rm `BF it}} = {bar{rm `BG it}} `]이므로 점 [eqn: rm `B]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {5} over {2} p]

삼각형 [eqn: rm `AFB]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2p TIMES LEFT ( it {5} over {2} p-p RIGHT ) =24]따라서 [eqn: p=4]

19. [출제의도] 수열의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: C _{1}]은 중심이 [eqn: rm O _{1} LEFT ( 2-1,``0 RIGHT )], 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원
[eqn: C _{2}]는 중심이 [eqn: rm O _{2} LEFT ( 2- {1} over {2} ,``0 RIGHT ) `], 반지름의 길이가 [eqn: {1} over {2}]인 원
[eqn: C _{3}]은 중심이 [eqn: rm O _{3} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `,``0` RIGHT ) `], 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `]인 원

[eqn: C _{n}]은 중심이 [eqn: rm O it rm _{n} LEFT ( 2- LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1} `,``0` RIGHT )],

반지름의 길이 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]인 원

[eqn: rmB(-1,``0`)]을 지나고, 기울기가 [eqn: a _{n}]인 직선의 방정식을 [eqn: y=`a _{n} (x+1)]이라 하자.

점 [eqn: rm O it rm _{n} `]부터 직선 [eqn: a _{n} x`-y+a _{n} `=`0]까지의 거리는

원 [eqn: C _{n}]의 반지름의 길이가 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]과 같다.

[eqn: {LEFT | a _{n} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {a _{n} ` ^{2} +1}} = {1} over {2 ^{n-1}}]     [eqn: sqrt {a _{n} ` ^{2} +1} =2 ^{n-1} a _{n} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT )]

[eqn: a _{n} ` ^{2} +1 & =4 ^{n-1} a _{n} ` ^{2} LEFT ( 3- {1} over {2 ^{n-1}} RIGHT ) ^{2} `# # & =a _{n} ` ^{2} ` LEFT ( 9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n} +1 RIGHT )]

[eqn: a _{n} ` ^{2} = {1} over {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}]

[eqn: `a _{n} `= {1} over {sqrt {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}} `]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {2 ^{n}} `a _{n} `= lim _{n -> INF } {{2 ^{n}} over {sqrt {9·4 ^{n-1} -3·2 ^{n}}}} = {2} over {3}]

20. [출제의도] 타원의 접선의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

초점 [eqn: rm F it (1,``0)], [eqn: rm F`' it (-1,``0)]

[eqn: rm P it (x _{1} ,~y _{1} )]에서 접선의 방정식은 [eqn: 3x _{1} x+4y _{1} y=12]

접선의 [eqn: x]절편은 [eqn: {4} over {x _{1}} `]

[eqn: rm P it (x _{1} ,~y _{1} )]에서 접선에 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y-y _{1} = {4y _{1}} over {3x _{1}} (x-x _{1} )]

접선에 수직인 직선의 방정식의 [eqn: x]절편은 [eqn: {x _{1}} over {4} `]

세 삼각형의 높이는 모두 같으므로 세 삼각형의 밑변의 길이가 등차수열을 이룬다.

[eqn: rm {bar{RF}} = it 1- {x _{1}} over {4}], [eqn: rm {bar{F'`R}} = it {x _{1}} over {4} +1], [eqn: rm {bar{FQ}} = it {4} over {x _{1}} -1]

[eqn: 2 LEFT ( {x _{1}} over {4} +1 RIGHT ) = LEFT ( 1- {x _{1}} over {4} RIGHT ) + LEFT ( {4} over {x _{1}} -1 RIGHT )]

양변에 [eqn: 4x _{1} `]을 곱하여 정리하면

[eqn: 3x _{1} ^{``2} +8x _{1} -16=(3x _{1} -4)(x _{1} +4)`=0]

따라서 [eqn: `x _{1} = {4} over {3}]

21. [출제의도] 도형과 함수의 극한을 이용하여 수학내적 문제해결하기

삼각형 [eqn: rm ABC]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{1}], 삼각형 [eqn: rm ACD]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{2}]라 하자.

삼각형 [eqn: rm BO _{1} M`]에서 [eqn: r _{1} =4tan {theta } over {2}]

삼각형 [eqn: rm BCM`]에서 [eqn: rm {bar{BC}} = {4} over {cos theta } = rm {bar{AC}}]

삼각형 [eqn: rm ACN`]에서 [eqn: rm {bar{CN}} = {4} over {cos theta } TIMES cos2 theta]

삼각형 [eqn: rm CNO _{2} ``]에서 [eqn: r _{2} = {bar{rm CN it}} `tan theta rm = {4tan theta cos2 theta } over {cos theta }]

따라서[eqn: & lim _{theta -> +0} {{r _{1} r _{2}} over {theta ^{2}}} = & lim _{theta -> +0} {{16tan {theta } over {2} `tan theta `cos2 theta } over {theta ^{2} `cos theta }} =8`]

22. [출제의도] 등차수열 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d`]라 하면 [eqn: a _{6} +a _{7} = LEFT ( a _{3} +3d RIGHT ) + LEFT ( a _{3} +4d RIGHT )]                [eqn: =2a _{3} +7d`=10+7d`=24]에서 [eqn: d=2`]

따라서 [eqn: a _{20} =a _{3} +17d=39`]

23. [출제의도] 일차변환의 성질 이해하기

일차변환을 나타내는 행렬을 [eqn: A`]라 하면

[eqn: A {pmatrix{``1```&1`#0&`1``}} = {pmatrix{``1``&``3``#3&8}}]이므로 [eqn: A & = {pmatrix{``1``&``3``#3&8}} {pmatrix{``1``&1`#0&``1``}} ^{-1}# & = {pmatrix{``1``&``3``#3&8}} {pmatrix{```1`&-1``#``0&`````1}} = {pmatrix{``1```&``2```#3&5}}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 11]

24. [출제의도] 무리방정식 이해하기

[eqn: t= sqrt {x ^{2} +8x+8}]이라 하면 [eqn: t ^{2} +t-6=0]
[eqn: t=2] [eqn: (][eqn: t GEQ 0][eqn: )`]

그러므로 [eqn: sqrt {x ^{2} +8x+8} =2`]
따라서 [eqn: x ^{2} +8x+4=0]이므로

모든 실근의 곱은 [eqn: 4]

25. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 수학외적 문제해결하기

주어진 조건에 의하여

[eqn: E _{1} `][eqn: =300R``log _{`a} 16`], [eqn: E _{2} `][eqn: =240R``log _{`a} x`]이고,

[eqn: E _{1} `=E _{2} `]이므로 [eqn: 300R``log _{`a} 16`][eqn: =240R``log _{`a} x`]

[eqn: {5} over {4} `log` _{a} `16=log _{`a`} 32=log` _{a} `x]

따라서 [eqn: x=32`]

26. [출제의도] 속도와 가속도를 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm P`]

[eqn: rmQ]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: theta]

[eqn: rmA]

[eqn: ANGLE rm AOP`=theta`]라 하면 호의 길이 [eqn: l=10 theta `]

점 [eqn: rm P it ` LEFT ( `10cos theta `,~10sin theta ` RIGHT ) `]가 매초 [eqn: 5`]의 일정한 속력으로 이동하므로 양변을 시각 [eqn: t`]에 대해 미분하면

[eqn: {dl} over {dt} `=10 {d theta } over {dt} `=5], [eqn: {d theta } over {dt} `= {1} over {2}]

[eqn: {bar{rm PQ it}} ``=`L=20-10 sqrt {3} `cos theta `-10sin theta]

따라서 [eqn: L`]을 시각 [eqn: t`]에 대해 미분하면

[eqn: {dL} over {dt} ` & =` LEFT ( 10` sqrt {3} `sin theta `-10cos theta RIGHT ) ` {d theta } over {dt} `# ```````````` & =10sin LEFT ( theta - {pi } over {6} RIGHT ) `]

따라서 [eqn: theta = {2pi } over {3} `]일 때, 최댓값은 [eqn: 10]

27. [출제의도] 같은 것이 있는 순열을 이용하여 수학외적 문제해결하기

펭귄 인형을 크기가 작은 것부터 [eqn: a _{1} `], [eqn: a _{2} `], [eqn: a _{3} `]이라 하고 곰 인형을 크기가 작은 것부터 [eqn: b _{1}], [eqn: b _{2} `], [eqn: b _{3} `], [eqn: b _{4} `]라 하자.

(ⅰ) [eqn: a _{3} `]이 [eqn: b _{2} `]보다 왼쪽에 있는 경우의 수는
[eqn: {4!} over {3!} =4`]

(ⅱ) [eqn: a _{3} `]이 [eqn: b _{2} `]보다 오른쪽에 있는 경우의 수는
[eqn: {3!} over {2!} TIMES {3!} over {2!} =9`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 구하는 경우의 수는 [eqn: 13`]

28. [출제의도] 도형과 무한등비급수 추론하기

[eqn: S _{1} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{1} A _{1} C _{2} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]
[eqn: =2 LEFT ( 4- {1} over {2} ·8· {pi } over {4} RIGHT ) =2 LEFT ( 4- pi RIGHT )]

[eqn: S _{2} =][eqn: 2 LEFT { (]삼각형 [eqn: rm A _{2} B _{2} C _{2} `]의 넓이[eqn: )]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm B _{2} A _{2} C _{3} `]의 넓이[eqn: ) RIGHT }]

[eqn: =2 LEFT ( 4- pi RIGHT ) ( sqrt {2} -1) ^{2}]

[eqn: rm {bar{B _{it n rm} C _{it n rm}}} =it2l _{n} ``], [eqn: rm {bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}}} =it2l _{n+1}]이라 하면 [eqn: rm {bar{A _{it n rm} B _{it n rm}}} = it {bar{rm B _{it n rm} rm C _{it n rm +1} it}} = sqrt {2} l _{n} `]이고[eqn: rm {1} over {2} {bar{rm B _{it n rm} C _{it n rm _{it rm } rm} it rm}} + {1} over {2} {bar{rm B _{it n+1 rm} C _{it n rm _{it rm } rm +1} it rm}} = {bar{B _{it n rm} C _{it n+1 rm}} `]이므로

[eqn: l _{n} +l _{n+1} = sqrt {2} l _{n} `]

[eqn: l _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) l _{n} `]

[eqn: S _{n+1} = LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT ) ^{2} S _{n} `]

[eqn: {1} over {4-pi} sum _{n=1} ^{inf} S _{n} = {1} over {4- pi } · {2(4- pi )} over {1-( sqrt {2} -1) ^{2}}][eqn: =1+ sqrt {2}]

[eqn: a=1`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =5`]

29. [출제의도] 정적분의 성질을 이용하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: int _{-3} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx}]

[eqn: = int _{-3} ^{-1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{-1} ^{1} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} + int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`}]

[eqn: =2 int _{1} ^{3} {x ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`]

[eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x+2 RIGHT ) dx`} +2`]

[eqn: =2 int _{-1} ^{1} {(x+2) ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) dx`} +2`][eqn: =102`]

30. [출제의도] 정사영을 이용하여 수학외적 문제해결하기

[eqn: rm {{M}} ` prime `]

원기둥의 밑면 [eqn: alpha], [eqn: beta]의 중심을 각각 [eqn: rmR], [eqn: rm S]라 하자.

[eqn: rm {bar{PQ}} □ {bar{DB}}]이고, [eqn: rm {bar{SM}} □ {bar{RG}}]이므로 평면 [eqn: rmMPQ`]와 평면 [eqn: rmGDB`]는 평행하다.

삼각형 [eqn: rm GDB`]와 삼각형 [eqn: rm D EG `]는 모두 정삼각형이고 두 삼각형이 만나서 생기는 선분은 [eqn: rm bar{DG}]이다. 선분 [eqn: rm {{DG}}]의 중점을 [eqn: rm M`']이라 하고 [eqn: theta = rm ANGLE BM`'E]라 하면

[eqn: rm {bar{BM`'}} = {bar{EM`'}} =2 sqrt {6}], [eqn: rm bar{BE} =4 sqrt {2}]이므로

삼각형 [eqn: rm BM`'E]에서 코사인법칙에 의하여

[eqn: cos` theta ` & =cos( rm ANGLE BM`'E)= {24+24-32} over {2·2 sqrt {6} ·2 sqrt {6}} = {1} over {3}]

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S= {2 sqrt {2} TIMES sqrt {6}} over {2} =2 sqrt {3}]이므로

삼각형 [eqn: rm MPQ]의 평면 [eqn: rm D EG] 위로의 정사영의 넓이는 [eqn: S`cos` theta ``=2 sqrt {3`} TIMES {1} over {3} = {2 sqrt {3}} over {3}]

[eqn: a=3`], [eqn: b=2`]

따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =13`]