수리(문과) 영역

수리 영역(문과)

1. ⑤	2. ④	3. ⑤	4. ②	5. ①

6. ③	7. ②	8. ④	9. ④	10. ⑤

11. ③	12. ③	13. ③	14. ②	15. ⑤

16. ③	17. ①	18. ②	19. ④	20. ①

21. ④	22. ①	23. ②	24. ③	25. 15

26. 145	27. 54	28. 60	29. 32	30. 28

1. 수열의 극한

정답 ⑤

[eqn: a_n][eqn: = sqrt {4n+1-2 sqrt {4n^2 +2n}}]

[eqn: = sqrt { (2n+1)+2n-2 sqrt { 2n(2n+1)} }]

[eqn: =sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n}]

[eqn: b_n][eqn: = sqrt { 2n+1 -2 sqrt { n^2 +n} }]

[eqn: = sqrt { (n+1)+n -2 sqrt { n(n+1)} }]

[eqn: =sqrt { n+1}- sqrt { n}]

[eqn: therefore~`lim_n->inf { a_n } over { b_n}][eqn: =lim_n->inf {sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n} } over { sqrt { n+1}- sqrt { n}}]

[eqn: =lim_n->inf {sqrt { n+1}+ sqrt { n} } over { sqrt { 2n+1}+ sqrt { 2n}}]

[eqn: =lim_n->inf {sqrt { 1+ 1overn}+ 1 } over { sqrt { 2+ 1 overn}+ sqrt { 2}}]

[eqn: = 2 over{2{sqrt2}} = sqrt { 2} over2]

2. 함수의 극한과 연속

정답 ④

(ⅰ) [eqn: |`x`|>1]일 때, [eqn: lim_{n->inf}`{x^2n}=inf]이므로

[eqn: f(x)=x` lim _{n -> INF } {} {2-x ^{2n}} over {2+x ^{2n}} `=x` lim _{n -> INF } {} {{2}over{x ^{2n}} -1} over {{2} over{x^2n}+1} =-x]

[eqn: therefore~alpha =][eqn: lim_x->-1-0 f(x) = lim_x->-1-0 (-x) = 1]

(ⅱ) [eqn: |`x`|<1]일 때, [eqn: lim_{n->inf}`{x^2n}=0]이므로

[eqn: f(x)=x`lim_n->inf { 2-x^2n} over { 2+x^2n} = x]

[eqn: therefore~beta=][eqn: lim_x->1-0 f(x) = lim_x->1-0 x = 1]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: alpha beta = 1]이다.

3. 다항함수의 미분법

정답 ⑤

[eqn: f(x)=(x-p)(x-q)(x-r)]에서

[eqn: f prime (x)=(x-q)(x-r)+(x-p)(x-r)+(x-p)(x-q)]

이므로

[eqn: p^2 overf'(p) + q^2 overf'(q) + r^2 overf'(r)]

[eqn: = {p ^{2}} over {(p-q)(p-r)} + {q ^{2}} over {(q-p)(q-r)} + {r ^{2}} over {(r-p)(r-q)}]

[eqn: = {-p ^{2} (q-r)-q ^{2} (r-p)-r ^{2} (p-q)} over {(p-q)(q-r)(r-p)}]

이때,

[eqn: -p ^{2} (q-r)-q ^{2} (r-p)-r ^{2} (p-q)]

[eqn: =-p ^{2} (q-r)+p(q+r)(q-r )-qr(q-r)]

[eqn: =-(q-r)"{"p^2 -p(q+r)+qr"}"]

[eqn: =-(q-r)(p-q)(p-r)]

[eqn: = (p-q)(q-r)(r-p)]

[eqn: therefore~ p^2 overf'(p) + q^2 overf'(q) + r^2 overf'(r)][eqn: =1]

4. 행렬과 그래프

정답 ②

[eqn: A pmatrix{{1}#{2}} = pmatrix{{3}#{4}}][eqn: ~~cdotscdots㉠]

양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A^2 pmatrix{{1}#{2}}][eqn: = A pmatrix{{3}#{4}}]

그런데 [eqn: A^2 -2A=E]에서 [eqn: A^2 =2A+ E]이므로

[eqn: A^2 pmatrix{{1}#{2}}][eqn: = (2A+E)pmatrix{{1}#{2}}]

[eqn: =2A pmatrix{1#2} +E` pmatrix{1#2}]

[eqn: =2 pmatrix{3#4} + pmatrix{1#2}][eqn: = pmatrix{{7}#{10}}]

∴ [eqn: A pmatrix{{3}#{4}}][eqn: = pmatrix{{7}#{10}}][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]에서 [eqn: A pmatrix{{1}&&{3}#{2}&&{4}}][eqn: = pmatrix{{3}&&{7}#{4}&&{10}}]이므로

[eqn: A][eqn: =pmatrix{{3}&&{7}#{4}&&{10}} {pmatrix{{1}&&{3}#{2}&&{4}}}^-1]

[eqn: =- {1} over {2} pmatrix{3&&7#4&&10} pmatrix{`````````4&&-3#-2&&```````1}]

[eqn: = - 1 over2 pmatrix{{-2}&&{-2}#{-4}&&{-2}}][eqn: = pmatrix{{1}&&{1}#{2}&&{1}}]

[eqn: therefore~A^2 =2A +E]

[eqn: =pmatrix{2&&2#4&&2} +pmatrix{1&&0#0&&1}][eqn: =pmatrix{3&&2#4&&3}]

따라서 행렬 [eqn: A^2]의 모든 성분의 합은

[eqn: 3+2+4+3=12]

❰다른 풀이❱

[eqn: A^2 -2A=E]에서 [eqn: A^-1 =A-2E]이므로

[eqn: ㉠]의 양변의 왼쪽에 [eqn: A^-1]를 곱하면

[eqn: pmatrix{1#2}=(A-2E) pmatrix{3#4} =A pmatrix{3#4} +pmatrix{-6#-8}]

[eqn: therefore~A pmatrix{{3}#{4}}][eqn: = pmatrix{{7}#{10}}]

5. 확률

정답 ①

[eqn: x-y+z=7]에서 [eqn: x+z=7+y]

(ⅰ) [eqn: y=1]일 때, [eqn: x+z=8]이므로

순서쌍 [eqn: (x,~z)]를 정하는 방법은 [eqn: (6,~2),] [eqn: (5,~3),]

[eqn: (4,~4),] [eqn: (3,~5),~(2,~6)]의 [eqn: 5]가지이다.

(ⅱ) [eqn: y=2]일 때, [eqn: x+z=9]이므로

순서쌍 [eqn: (x,~z)]를 정하는 방법은 [eqn: (6,~3),] [eqn: (5,~4),]

[eqn: (4,~5),] [eqn: (3,~6)]의 [eqn: 4]가지이다.

(ⅲ) [eqn: y=3]일 때, [eqn: x+z=10]이므로

순서쌍 [eqn: (x,~z)]를 정하는 방법은 [eqn: (6,~4),] [eqn: (5,~5),]

[eqn: (4,~6)]의 [eqn: 3]가지이다.

(ⅳ) [eqn: y=4]일 때, [eqn: x+z=11]이므로

순서쌍 [eqn: (x,~z)]를 정하는 방법은 [eqn: (6,~5),] [eqn: (5,~6)]의

[eqn: 2]가지이다.

(ⅴ) [eqn: y=5]일 때, [eqn: x+z=12]이므로

순서쌍 [eqn: (x,~z)]를 정하는 방법은 [eqn: (6,~6)]의 [eqn: 1]가지이다.

(ⅰ)∼(ⅴ)에서 구하는 확률은

[eqn: {5+4+3+2+1} over { 6times6times6} = 5 over72]

6. 통계

정답 ③

[eqn: sum_x=1^6 {rmP}(X=x)][eqn: = {1} over {k} ` sum _{x=1} ^{6} ` _{6}{ rm C} it rm _{x}][eqn: =1]이고,

[eqn: sum _{x=1} ^{6} ` _{6}{ rm C} it rm _{x} =2^6 -1 =63]이므로 [eqn: k=63]이다.

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum_x=1^6 x cdot {rmP}(X=x)]

[eqn: = {1} over {63} ` sum _{x=1} ^{6} x CDOT ` _{6}{ rm C} it rm _{x}]

[eqn: = {1} over {63} left{_6{rmC}_1 +2cdot_6{rmC}_2 +`cdots`+ 6cdot_6{rmC}_6right}]

[eqn: ={1}over{63} (6cdot2^5 )=m]

[eqn: THEREFORE~mk ^{2} = {6`cdot`2 ^{5}} over {63} cdot 63^2 =2^6 cdot 3^3 cdot7]

[eqn: therefore~a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

[eqn: therefore~a+b+c=10]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ②

암석이 생성된 지 [eqn: k]년 후에 포타슘[eqn: -40]의 양이

아르곤[eqn: -40]의 양의 [eqn: 20]배가 되었으므로

[eqn: P(k) =20A(k)]이다.

따라서

[eqn: 2 ^{k} = LEFT { 1+8.3 TIMES {A(k)} over {20A(k)} RIGHT } ^{c}]

[eqn: = LEFT ( 1+8.3 TIMES 1 over{20} RIGHT ) ^{c}]

즉, [eqn: 2^k} =1.415^c]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: k`log`2=c`log`1.415]

[eqn: THEREFORE ~k= {log``1.415} over {log``2} c]

[eqn: = {0.15} over {0.30} c= {1} over {2} c]

8. 확률

정답 ④

조건 (가)에서 [eqn: {rmP}(A `cup`B`cup`C)=1]

조건 (나)에서

[eqn: {rmP}((A`smallinter`B)`smallinter`C)={rmP}(A`smallinter`B`smallinter`C)=emptyset]

조건 (다)에서

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A) rm P it (B)= {1} over {2} times {1} over {3} = {1} over {6}]

이므로

[eqn: {rmP}(A`cup`B`cup`C)={rmP}(A) +{rmP}(B) +{rmP}(C)]

[eqn: -{rmP}(A`smallinter`B)-{rmP}(B`smallinter`C)-{rmP}(C`smallinter`A)]

[eqn: +{rmP}(A`smallinter`B`smallinter`C)]

[eqn: 1= {1} over {2} + {1} over {3} + {2} over {3} - {1} over {6} - rm P it (B` SMALLINTER `C)- rm P it (C` SMALLINTER `A)+0]

[eqn: therefore~{rmP} it (B` SMALLINTER`C)+ rm P it (C`SMALLINTER`A)= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` rm P it (A`|`C`)+ rm P it (B``|`C`)][eqn: = {{rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) } over {{rmP}(C) }]

[eqn: = {1 over3} over { 2 over3} = 1 over2]

9. 다항함수의 적분법

정답 ④

[eqn: lim_n->inf 2 overn][eqn: =0]이므로 [eqn: lim_n->inf a_n =0]

[eqn: sum _{n=1} ^{inf}`(a_n -a_n+1 )][eqn: =lim_{n-> inf}`sum _{k=1} ^{n}`(a_k -a_k+1 )]

[eqn: =lim_{n->inf}left{(a_1 -a_ 2 )+(a_2 -a_3 )+`cdots]

[eqn: `+(a_n-1 -a_n ) +(a_n -a_n+1 )right}]

[eqn: =a_1]

따라서 [eqn: S]는 곡선 [eqn: y=x^4 +x^2]과 직선 [eqn: y=2]로 둘러싸인

부분의 넓이와 같다.

[eqn: x^4 +x^2 =2,~ (x^2 +2)(x^2 -1)=0]에서 [eqn: x^2 =1]

[eqn: therefore~x=1] 또는 [eqn: x=-1]

[eqn: therefore~S][eqn: = int_-1^1 left{2-(x^4 +x^2 ) right}dx]

[eqn: = 2 left[2x- 1 over5 x^5 - 1 over3 x^3 right]_0^1]

[eqn: = 2 LEFT ( 2 - 1 over5 - 1 over3 RIGHT )][eqn: = 44 over15]

10. 함수의 극한과 연속

정답 ⑤

ㄱ. (거짓) [eqn: lim_x->-1-0 f(x) g(x)]

[eqn: = lim_x->-1-0 f(x) times lim_x->-1-0 g(x)]

[eqn: = (-1)times (-1)=1]

[eqn: lim_x->-1+0 f(x) g(x)]

[eqn: =lim_x->-1+0 f(x) timeslim_x->-1+0 g(x)]

[eqn: = (-1)times 1=-1]

그러므로 [eqn: lim_x->-1 f(x) g(x)]는 존재하지 않는다.

ㄴ. (참) [eqn: lim _{x -> 1-0} {} f(x)g(x)= lim _{x -> 1-0} {} f(x)times lim _{x -> 1-0} {} g(x)]

[eqn: = (-1)times (-1)=1]

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} f(x)g(x)= lim _{x -> 1+0} {} f(x) TIMES lim _{x -> 1+0} {} g(x)]

[eqn: = 1 times 1=1]

[eqn: therefore~ lim _{x -> 1} {} f(x)g(x)=1]

ㄷ. (참) ㄱ에서 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.

또, ㄴ에서 [eqn: lim_x->1 f(x) g(x) = 1]이고,

[eqn: f(1)g(1)=1 TIMES (-1)=-1]이므로

[eqn: lim_x->1 f(x) g(x) != f(1)g(1)]

즉, 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

그러므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]의 불연속점의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

11. 다항함수의 미분법

정답 ③

[eqn: x!=2]일 때, [eqn: (x-2)g(x)= f(x)-f(2)]에서

[eqn: g(x)= {f(x)-f(2)} overx-2]

ㄱ. (참) [eqn: f(x)]는 미분가능한 함수이므로

[eqn: lim_x->2`g(x) =][eqn: lim_x->2`{ f(x)-f(2)} over { x-2}= f'(2)]

ㄴ. (참) 함수 [eqn: g(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

미분가능하므로 [eqn: (x-2)g(x)= f(x)-f(2)]의

양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: g(x)+(x-2)g'(x) = f'(x)]

[eqn: therefore~(x-2)g'(x) = f'(x)- g(x)]

ㄷ. (거짓) [eqn: x>2]일 때,

[eqn: g`'(x)>0]이면 ㄴ에서 [eqn: g(x)< f'(x)]이고,

[eqn: g`'(x)<0]이면 ㄴ에서 [eqn: g(x)> f'(x)]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

12. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: log`_3 ``x = X], [eqn: log`_2 ``y = Y]라 하면 주어진 연립방정식은

[eqn: log`_3 ``x + log`_2 ``1 overy = 1] [eqn: LRARROW] [eqn: X-Y =1][eqn: ~~cdotscdots㉠]

[eqn: log`_9 ``3x + log`_{1 over2}``y = 1- k over2]

[eqn: LRARROW] [eqn: 1 over2 (1 + log`_3 ``x ) - log`_2 ``y = 1- k over2]

[eqn: LRARROW] [eqn: X - 2Y = 1 -k][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]을 연립하여 풀면

[eqn: X=log`_3 ``alpha = k+1], [eqn: Y=log`_2 ``beta = k]

[eqn: therefore~alpha][eqn: = 3^k+1], [eqn: beta = 2^k]

[eqn: alpha le beta]에서 [eqn: 3^k+1 le 2^k] [eqn: LRARROW] [eqn: 3 le LEFT ( 2 over3 RIGHT )^k]

[eqn: LEFT ( 2 over3 RIGHT )^-2 = 9 over4 <3], [eqn: LEFT ( 2 over3 RIGHT )^-3 = 27 over8 >3]

따라서 [eqn: alpha le beta]를 만족시키는 정수 [eqn: k]의 최댓값은 [eqn: -3]이다.

13. 수열의 극한

정답 ③

[eqn: rm triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: rm= 1 over2 barAQ_{itn} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: rm triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: rm= 1 over2 bar{P_{itn}R_{itn}} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 n sqrt { n+1}]

이므로

[eqn: S_n = □ {rmAQ}_n{rmP}_n{rmR}_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n } + triangle AP _{it n } R_{it n }]

[eqn: = 1 over2 (2n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: T_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: therefore~lim_n->inf { S_n +T_n} over { S_n -T_n}][eqn: = lim_n->inf {1 over2 (3n+2 ) sqrt { n+1} } over {1 over2 n sqrt { n+1} }]

[eqn: = lim_n->inf LEFT ( 3 + 2 overn RIGHT )][eqn: =3]

14. 다항함수의 적분법

정답 ②

[eqn: S_n][eqn: = int_0^n+1`f(x)dx]

[eqn: = int_0^1`f(x)dx + int_1^2`f(x)dx +`cdots`+ int_n^n+1`f(x)dx]

에서

[eqn: int_0^1`"{"-x(x-1) "}"dx =left[-{1}over{3} x^3 +{1}over{2} x^2 right]_0^1 ={1}over{6}]

[eqn: int _{k} ^{k+1} {} LEFT { - {1} over {4 ^{k}} (x-k)(x-k-1) RIGHT } dx]

[eqn: =- {1} over {4 ^{k}} int _{k} ^{k+1} {} LEFT { x ^{2} -(2k+1)x+k(k+1) RIGHT } dx]

[eqn: =- {1} over {4 ^{k}} LEFT [ {1} over {3} x ^{3} - {1} over {2} (2k+1)x ^{2} +k(k+1)x RIGHT ] _{k} ^{k+1}]

[eqn: =- {1} over {6 CDOT 4 ^{k}} LEFT [ 2x ^{3} -3(2k+1)x ^{2} +6k(k+1)x RIGHT ] _{k} ^{k+1}]

[eqn: = {1} over {6 CDOT 4 ^{k}} rm `]

[eqn: therefore~`lim_n->inf S_n =lim_{n->inf}left({1}over{6} +sum_{k=1} ^{n}`{1}over{6cdot4^k}right)]

[eqn: = {1} over {6} + {1} over {6} ` sum _{n=1} ^{INF } ` {1} over {4 ^{n}}]

[eqn: = {1} over {6} + {1} over {6} CDOT {{1} over {4}} over {1- {1} over {4}}]

[eqn: = 2 over9]

15. 수열의 극한

정답 ⑤

사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형의 넓이는

처음 사각형의 [eqn: 1 over2]배가 되므로

[eqn: a_1 ={1}over{2},~ a_n+1 ={1}over{2} a_n]에서 [eqn: a_n =left(1 over {2} right)^n]

[eqn: b _{1} = {sqrt3} over {2} ,~b _{n+1} = {1} over {2} b _{n}]에서 [eqn: b _{n} = sqrt3 over 2 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: c _{1} = {3} over {2} ,~c _{n+1} = {1} over {2} c _{n}]에서 [eqn: c _{n} = 3 over {2} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: d _{1} = {sqrt {3}} over {2} ,~d _{n+1} = {1} over {2} d _{n}]에서 [eqn: d _{n} = {sqrt {3}} over {2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: therefore~sum_n=1^inf (a_n -b_n +c_n -d_n )]

[eqn: = sum_{n=1} ^{inf} left{{1}over{2^n}(1-sqrt3 +3-sqrt3 ) right}]

[eqn: =(4-2 sqrt {3} )times {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}}][eqn: =4-2sqrt3]

따라서 [eqn: p+q=4+(-2)=2]이다.

16. 행렬과 그래프

정답 ③

ㄱ. (참) 행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재한다고 가정하면

[eqn: (AB)^-1 = B^-1 A^-1]

[eqn: A^2 B^3 = O]의 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (A^2 B^3 )(B^-1 A^-1 )=O], [eqn: A^2 B^2 A^-1 =O]

다시 양변의 오른쪽에 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: A^2 B^2 =O]이다.

또, 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (A ^{2} B ^{2} )(B ^{-1} A ^{-1} )=O], [eqn: A ^{2}BA^-1 =O]

다시 양변의 오른쪽에 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: A^2 B=O]이다.

양변의 왼쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (B ^{-1} A ^{-1} )(A ^{2} B )=O], [eqn: B^-1 AB=O]

다시 양변의 왼쪽에 [eqn: B]를 곱하면 [eqn: AB=O]이다.

그러므로 행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재한다는 가정에

모순이다. 즉, 행렬 [eqn: AB]의 역행렬은 존재하지 않는다.

ㄴ. (거짓) 【반례】 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``1``&``0``}], [eqn: B][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{0}``&``{0}``}]이라 하면

행렬 [eqn: A]의 역행렬은 존재하고 [eqn: B^2 = O]이므로

[eqn: A^2 B^3 = O]를 만족시키지만

[eqn: AB][eqn: = pmatrix{``0``&``1``#``0``&``1``}], [eqn: BA = pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{0}``}]

으로 [eqn: AB !=BA]이다.

ㄷ. (참) [eqn: 2A-B = E]에서 [eqn: B = 2A-E]

[eqn: AB = A(2A-E) = 2A^2 -A]

[eqn: BA=(2A-E)A=2A ^{2} -A]

[eqn: therefore~AB=BA]

[eqn: therefore~(AB) ^{2012}][eqn: = A^2012 B^2012]

[eqn: =(A ^{2} B ^{3} )(A ^{2010} B ^{2009} )]

[eqn: =O]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. 수열

정답 ①

[eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]에서

[eqn: 2n^2 +n -10 =(2n+5)(n-2) le0]

따라서 [eqn: n le2]일 때, [eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]가 성립한다.

(ⅰ) [eqn: n=1], [eqn: 2]일 때,

[eqn: A_n subset B_n]이므로 [eqn: A_n -B_n = emptyset]

[eqn: therefore~a_n =0]

(ⅱ) [eqn: n ge 3]일 때,

[eqn: B_n subset A_n]이므로

[eqn: a_n][eqn: = n(A_n ) - n(B_n )]

[eqn: = n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right]]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

[eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: - sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

[eqn: =left{ sum_n=1^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) - sum_n=1^2 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) right}]

[eqn: -(6+7+7+`cdots`+14+14+15)]

[eqn: ={20 cdot 21cdot41}over{6} +{20cdot21}over{2} -8 -189]

[eqn: =2883]

18. 수열

정답 ②

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변) [eqn: =[log`3]], (우변) [eqn: =[log`3]]이므로

(*)이 성립한다.

(2) 임의의 자연수 [eqn: i]에 대하여

[eqn: a_i =sum_{k=1} ^i`{[log`3^k ] }over{k}]

[eqn: ~ b_i =(i+1)(a_i+1 -a_i )]

[eqn: =(i+1) LEFT ( {[log`3 ^{i+1} ]} over {i+1} RIGHT )]

[eqn: =]

[eqn: [log`3^i+1 ]]

이다.

이때, [eqn: n le m]([eqn: m]은 자연수)일 때, (*)이 성립한다고

가정하면

[eqn: a_i le [log`3^i ]] (단, [eqn: i]는 [eqn: m] 이하의 자연수이다.)

이제, [eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum_{k=1}^m`b_k = (m+1)a_m+1 -sum_{k=1}^m`a_k -a_1]

이므로

[eqn: (m+1)a_m+1 =sum_{k=1} ^m`a_k +sum_{k=1} ^m`b_k +a_1]

[eqn: =sum_{k=1} ^m`a_k +sum_{k=1} ^m`[log`3^k+1 ] +[log`3]]

[eqn: sum_{k=1} ^{m+1}`[log`3^k ]]

[eqn: =sum_{k=1} ^m`a_k +]

그런데

[eqn: [log`3^k ]+[log`3^m+1-k ] le [log`3^m+1 ]]이므로

[eqn: (m+1)a _{m+1} LEQ sum _{k=1} ^{m} `[log`3 ^{k} ]+ sum _{k=1} ^{m+1} `[log`3 ^{k} ]]

[eqn: =sum _{k=1}^m `([log`3^k ] +[log`3^m+1-k ] )]

[eqn: +]

[eqn: [ `log``3 ^{m+1} `]]

[eqn: le m`[log`3^m+1 ] +[log`3^m+1 ]]

[eqn: =(m+1)[log`3^m+1 ]]

[eqn: therefore~a_m+1 le [log`3^m+1 ]]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이

성립한다.

[eqn: THEREFORE~f(n)+g(n)-h(n)]

[eqn: =[log`3 ^{n+1} ]+ sum _{k=1} ^{n+1} `[log`3 ^{k} ]-[log`3 ^{n+1} ]]

[eqn: =[log`3]`+[log`3 ^{2} ]+`cdots`+[log`3^n+1 ]][eqn: =9]

[eqn: therefore~n=6]

19. 함수의 극한과 연속

정답 ④

ㄱ. (참) [eqn: f(1)=0]이고,

[eqn: lim _{x -> 1-0} {} ` {|``x-1``|} over {[`x`]+1} = lim _{x -> 1-0} {} ` {-(x-1)} over {[`x`]+1} =0]

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} ` {|``x-1``|} over {[`x`]+1} = lim _{x -> 1+0} {} ` {x-1} over {[`x`]+1} =0]

이므로 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

ㄴ. (거짓) [eqn: lim_x->2`|`x-1`|=1]이고,

[eqn: lim_x->2-0`([`x`]+1)=2], [eqn: lim_x->2+0`([`x`]+1)=3]에서

[eqn: lim_x->2-0`f(x)= 1 over2], [eqn: lim_x->2+0`f(x) = 1 over3]

이므로 [eqn: lim_x->2`f(x)]는 존재하지 않는다.

ㄷ. (참) [eqn: x-1 <[`x`] le x]이므로

[eqn: x >1]일 때, [eqn: { x-1} over {x +1} le f(x) < { x-1} over {x }]

이때, [eqn: lim_x->inf`{ x-1} over { x+1} = 1], [eqn: lim_x->inf`{ x-1} over { x}=1]이므로

[eqn: lim_x->inf`f(x) =1]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

20. 다항함수의 미분법

정답 ①

[eqn: x left{ f(x+y )- f(x-y) right} = 4y left{ f(x)+g(y) right]에서

[eqn: y=h]를 대입하면

[eqn: x LEFT { f(x+h)-f(x-h) RIGHT } =4h LEFT { f(x)+g(h) RIGHT }]

[eqn: x {LEFT { f(x+h)-f(x-h) RIGHT }}over{h} =4 LEFT { f(x)+g(h) RIGHT }]

양변에 극한을 취하면

(좌변) [eqn: =x`lim_{h->0}`{LEFT { f(x+h)-f(x-h) RIGHT }} over {h}]

[eqn: =x` lim _{h -> 0} {} ` {LEFT { f(x+h)-f(x-h)-f(h)+f(h) RIGHT }} over {h}]

[eqn: =2xf`'(x)]

(우변) [eqn: = lim _{h -> 0} {} `4"{"f(x)+g(h)"}"]

[eqn: =4 "{"f(x)`+1"}"~( BECAUSE ~g(0)=1)]

[eqn: THEREFORE~xf` prime (x)=2 LEFT { f(x)+1 RIGHT }]

[eqn: f(x)]가 최고차항의 계수가 [eqn: a]인 [eqn: n]차 함수라 하면

[eqn: xf` prime (x)]의 최고차항의 계수는 [eqn: an]이고,

[eqn: 2 left{ f(x)+1 right}]의 최고차항의 계수는 [eqn: 2a]이므로 [eqn: n=2]이다.

따라서 [eqn: f(x) = ax^2 +bx+c]라 하면

[eqn: x (2ax +b ) = 2 (ax^2 +bx+c+1 )]에서 [eqn: b=0], [eqn: c=-1]

또한, [eqn: f(1) = a+b+c][eqn: =a+0-1 =4]에서 [eqn: a=5]이다.

그러므로 [eqn: f(x)=5x ^{2} -1], [eqn: f prime (x)=10x]이다.

[eqn: therefore~f'(2) = 20]

21. 함수의 극한과 연속

정답 ④

(ⅰ) [eqn: x=0]일 때, [eqn: f(x)=0]

(ⅱ) [eqn: x!=0]일 때, [eqn: 0< 9 over9+x^2p <1]이므로

[eqn: f(x)][eqn: = sum_n=1^inf { 9^n x^18} over { (9+x^2p )^n}]

[eqn: =x^18 times sum_n=1^inf LEFT ( { 9 } over { 9+x^2p } RIGHT )^n]

[eqn: = x^18 times{ { 9} over {9+x^2p } } over { 1- { 9} over { 9+x^2p} }]

[eqn: =x^18 times { 9} over { x^2p}][eqn: = 9 x^2(9-p)]

(ⅰ), (ⅱ)에서 함수 [eqn: f(x)]가 실수 전체의 집합에서

연속이기 위해서는

[eqn: lim_x->0`f(x)=lim_x->0`9x^2(9-p) =0]

그러므로 [eqn: 9-p >0] 즉, [eqn: p<9]이어야 한다.

따라서 구하는 자연수 [eqn: p]는 [eqn: 1], [eqn: 2], ⋯, [eqn: 8]의 총 [eqn: 8]개이다.

22. 다항함수의 미분법

정답 ①

[eqn: y=x^2]에서 [eqn: y'=2x]이므로

접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y-a^2 =2a (x-a)] 즉, [eqn: y = 2ax -a^2]

[eqn: therefore~`{rm A} LEFT ( a over2 ,~0 RIGHT )]

또, 직선 [eqn: m]의 방정식은 [eqn: y =-2ax +a^2]이고,

직선 [eqn: n]의 방정식은

[eqn: y = - 1 over2a LEFT ( x - a over2 RIGHT )][eqn: = - x over2a + 1 over4]

[eqn: therefore~`rm B][eqn: LEFT ( 0 ,~a^2 RIGHT )], [eqn: rmC][eqn: LEFT ( 0 ,~ 1 over4 RIGHT )]

따라서

[eqn: S(a)][eqn: = LEFT ( 1 over4 - a^2 RIGHT ) times a over2 times {1}over{2}]

[eqn: =- {1} over16 (4a^3 -a)]  [eqn: left(because~0 <a< 1 over2 right)]

[eqn: S``'(a)][eqn: =- {1} over {16} (12a^2 -1)]

[eqn: =- {3} over {4} LEFT ( a+ {sqrt {3}} over {6} RIGHT ) LEFT ( a- {sqrt {3}} over {6} RIGHT )]

그러므로 [eqn: S(a)]는 [eqn: a = - sqrt { 3} over6]에서 극솟값을 가지고, [eqn: a= sqrt { 3} over6]에서 극댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: S(a)]의 극댓값은

[eqn: S LEFT ( sqrt { 3} over6RIGHT )][eqn: =- {1} over {16} TIMES left(4times{{3sqrt3} over{6^3}} -{sqrt3 over6 }right)][eqn: = sqrt { 3} over144]

23. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: {rmP}(a,~1),~{rmQ}(b,~1),~{rmR}left({1}over{a},~-1right),~{rmS}left({1}over{b},~-1right)]이므로

[eqn: alpha =(]직선 [eqn: {rmPS}]의 기울기[eqn: )={2}over{a-{1}over{b} }={2b}over{ab-1}]

[eqn: beta =(]직선 [eqn: {rmPR}]의 기울기[eqn: )= {2} over {a- {1} over {a}} = {2a} over {a ^{2} -1}]

[eqn: gamma=(]직선 [eqn: rm QS it]의 기울기[eqn: )= {2} over {b- {1} over {b}} = {2b} over {b ^{2} -1}]

[eqn: delta=(]직선 [eqn: rm QR it]의 기울기[eqn: )= {2} over {b- {1} over {a}} = {2a} over {ab-1}]

이때, [eqn: 0<a<b<1]에서 [eqn: 0<`a ^{2} < ab<b^2 <1]이므로

[eqn: a^2 -1 <ab-1<b^2 -1 <0]

즉, [eqn: {1}over{a^2 -1} > {1}over{ab-1} > {1}over{b^2 -1}]

[eqn: THEREFORE ~ alpha > gamma ,~ beta > delta ,~ delta > alpha]

[eqn: therefore~gamma<alpha<delta<beta]

24. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: h(x)][eqn: =|``f(x)-g(x)``|]

[eqn: =|``a ^{2x} -a ^{x+1} +2``|]

에서 [eqn: a^x = t(t>0)]라 하면

[eqn: k(t)][eqn: =|`` t^2 -at +2``|]

이차방정식 [eqn: t^2 -at +2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^2 -8]이므로 함수 [eqn: y=k(t)]의 그래프는 다음과

같다.

(ⅰ) [eqn: D>0] 즉, [eqn: a>2sqrt2]일 때,

[eqn: y=k(t)]

(ⅱ) [eqn: D=0] 즉, [eqn: a=2 sqrt {2}]일 때,

[eqn: y=k(t)]

(ⅲ) [eqn: D<0] 즉, [eqn: a <2 sqrt {2}]일 때,

[eqn: y=k(t)]

ㄱ. (참) [eqn: a=2sqrt2]일 때, [eqn: y=k(t)]의 그래프와 [eqn: x]축은

한 점에서 만나므로 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은

한 점에서 만난다.

ㄴ. (거짓) [eqn: a =4]일 때, [eqn: k(t)][eqn: =|``t ^{2} -4t+2``|]이고,

[eqn: t^2 - 4t +2 =0]에서 [eqn: t = 2+- sqrt { 2}]이므로 [eqn: y=k(t)]의

그래프는 [eqn: 0 < t <2- sqrt { 2}]에서 감소하고,

[eqn: 2- sqrt { 2}<t <2]에서 증가한다.

따라서 [eqn: x < 1 over2]일 때, [eqn: 0 <t< 4^{1 over2}=2]이므로

[eqn: h(x_1 )], [eqn: h(x_2 )]의 대소를 비교할 수 없다.

ㄷ. (참)  [eqn: y = k(t)]의 그래프가 직선 [eqn: y =1]과 접할 때,

[eqn: y=k(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에

서 만난다.

방정식 [eqn: t^2 -at +2 =1] 즉, [eqn: t^2 -at +1 =0]이

[eqn: a =2]일 때, 중근을 가지므로 [eqn: y=h(x)]의 그래프와

직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나는 [eqn: a]의 값이

존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

25. 수열

정답 15

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_10 - a_1][eqn: =27]에서 [eqn: d =3]

또, [eqn: S_10 ={10(2a_1 +9cdot3)}over{2}]이고, [eqn: a_10 =a_1 +27]이므로

[eqn: S_10 = a_10]에서 [eqn: 5(2a_1 +9cdot3 ) =a_1 +27]

[eqn: therefore~a_1 =-12]

[eqn: therefore~S _{10}][eqn: =a_10][eqn: =a _{1} +27][eqn: =15]

26. 확률

정답 145

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k} =a], [eqn: sum_k=6 ^10 x_k][eqn: =b]라 하면

[eqn: a,~b]가 음이 아닌 정수이므로 [eqn: 2a+3b =8]을 만족시키는

경우는 다음의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: (a,~b) = (4,~0)]인 경우

순서쌍 [eqn: (x_1 ,~ x_2 ,~x_3 ,~cdots,~ x_10 )]의 개수는

[eqn: ` _{5+4-1} rm C _{4} TIMES ` _{5+0-1} C _{0}][eqn: =` _{8} rm C _{4} TIMES ` _{4} C _{0} =70](개)

(ⅱ) [eqn: (a,~b) = (1,~2)]인 경우

순서쌍 [eqn: (x_1 ,~ x_2 ,~x_3 ,~cdots,~ x_10 )]의 개수는

[eqn: `_5+1-1 rmC_1 times `_5+2-1 C_2][eqn: = `_5 rmC_1 times `_6 C_2 =75](개)

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 70+75=145](개)이다.

27. 다항함수의 미분법

정답 54

[eqn: f'(x) = g(x)], [eqn: g'(x)= h(x)]이므로

[eqn: f(x)+h(x) = 2g(x)+x^4 +1]에서

[eqn: f(x)]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 사차함수이다.

이제, [eqn: f(x)][eqn: =x^4 +ax^3 +bx^2 +cx+d]로 놓으면

[eqn: g(x) = f'(x)][eqn: = 4x^3 +3ax^2 +2bx+c]

[eqn: h(x)=g'(x)][eqn: =12x^2 +6ax +2b]

이므로

[eqn: f(x)+h(x)][eqn: = x^4 +ax^3 +(b+12)x^2]

[eqn: +(6a+c)x +2b +d][eqn: ~~CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: 2g(x)+x^4 +1][eqn: =x^4 +8x^3 +6ax^2 +4bx +2c +1]

[eqn: ~~CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]의 계수를 비교하면

[eqn: a=8], [eqn: b+12 =6a], [eqn: 6a+c =4b], [eqn: 2b+d =2c +1]

[eqn: therefore~a=8], [eqn: b=36], [eqn: c =96], [eqn: d = 121]

[eqn: therefore~f(x) =x^4 +8x^3 +36x^2 +96x +121]

[eqn: therefore~f(-1)][eqn: = 1-8+36-96+121][eqn: =54]

28. 행렬과 그래프

정답 60

[eqn: x^2 +y^2 -2x -4y -11 =0]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 =4^2]

직선 [eqn: y=2x]는 원의 중심 [eqn: (1, ``2)]를 지나므로 선분 [eqn: rm PQ]는

원의 지름이 된다. 즉, 삼각형 [eqn: rmPRQ]는 [eqn: rm angle PRQ = pi over2]인

직각삼각형이다.

그러므로 [eqn: {bar{rmPR}}=a,~{bar{rmRQ}}=b]로 놓으면 [eqn: a^2 +b^2 =8^2]이고,

[eqn: A][eqn: = pmatrix{{sin`alpha}&&{sin`beta}#{cos`alpha}&&{cos`beta}}][eqn: = pmatrix{{b over8}&&{a over8}#{a over8}&&{b over8}}][eqn: = 1 over 8 pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}}]

[eqn: therefore~A^2][eqn: = 1 over 64 pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}} pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}}]

[eqn: = {1} over {64} pmatrix{a ^2`+b ^{2}&&2ab#2ab&&a ^2`+b ^{2}}]

[eqn: ={1} over {64} pmatrix{64&&2ab#2ab&&64}]

[eqn: 8A^2 =4A +7E]에 대입하면

[eqn: pmatrix{8&& ab over4#ab over4&&8}][eqn: = pmatrix{{b} over {2}&&{a} over {2}#{a} over {2}&&{b} over {2}}][eqn: + pmatrix{7&&0#0&&7}]

[eqn: 8 = b over {2} `+7,~ ab over 4 = {a}over{2}]이므로

[eqn: b=2], [eqn: a=sqrt{64-2^2 }=sqrt60]

[eqn: therefore~S =sqrt60 times2 times{1}over{2} =sqrt60]

[eqn: therefore~S^2 =60]

29. 수열

정답 32

조건 (가), (나)에서

[eqn: f(3) = f(1+2) = 2f(1) =10]이므로

[eqn: f(1) =5]

이제, [eqn: f(2) =a]라 하면 조건 (나)에서

[eqn: n]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]
[eqn: f(n)]	[eqn: 5]	[eqn: a]	[eqn: 2cdot5]	[eqn: 2a]	[eqn: 2^2 cdot5]

[eqn: 6]	[eqn: 7]	[eqn: 8]	[eqn: 9]	[eqn: 10]
[eqn: 2^2 a]	[eqn: 2 ^{3} CDOT 5]	[eqn: 2 ^{3} a]	[eqn: 2 ^{4} CDOT 5]	[eqn: 2 ^{4} a]

따라서 조건 (다)에서

[eqn: sum_n=1^100 f(n)][eqn: =10` sum _{n=1} ^{10} f(n)]

[eqn: =10"{"5(1+2+2^2 +2^3 +2^4 )]

[eqn: +a(1+2+2^2 +2^3 +2^4 )"}"]

[eqn: =310times(5+a)][eqn: =2170]

[eqn: therefore~a=2]

[eqn: therefore~f(100)][eqn: = f(10)][eqn: = 2^4 a][eqn: = 32]

30. 다항함수의 적분법

정답 28

[eqn: f(x)= int _{} ^{} {} `f` prime (x)`dx]

[eqn: =int`6x^2`dx =2x^3 +a] (단, [eqn: a]는 적분상수이다.)

[eqn: g(x) =int`g`'(x)`dx]

[eqn: =int`2x`dx =x^2 +b] (단, [eqn: b]는 적분상수이다.)

로 놓으면

[eqn: y=f(x)]와 [eqn: y=g(x)]의 그래프가 두 점에서 만나므로

[eqn: 2x^3 -x^2 +a-b=0] 즉, [eqn: x^2 (2x-1) =-a+b]에서

[eqn: y=-a+b]의 그래프는 [eqn: y=x^2 (2x-1)]의 극소점 또는

극대점에서 접한다.

[eqn: y=x^2 (2x-1)]

[eqn: y=-a+b]

이때, [eqn: y=x^2 (2x-1)]에서 [eqn: y`'=2x(3x-1)]

이므로 [eqn: x=0]에서 극대, [eqn: x={1}over{3}]에서 극소이다.

(ⅰ) [eqn: x=0]에서 접하는 경우

[eqn: -a+b=0]이므로 [eqn: f(0)-g(0)=a-b=0]

(ⅱ) [eqn: x={1}over{3}]에서 접하는 경우

[eqn: -a+b= - {1}over{27}]이므로 [eqn: f(0)-g(0)=a-b= 1 over{27}]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: q overp = 0+ 1 over27 = 1 over27]

[eqn: THEREFORE ~p+q=27+1=28]