• 수학 영역 •

나 형 정답

1	③	2	④	3	①	4	②	5	⑤
6	⑤	7	③	8	④	9	⑤	10	①
11	④	12	③	13	①	14	②	15	③
16	②	17	⑤	18	④	19	①	20	②
21	⑤	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 29]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 9]
26	[eqn: 36]	27	[eqn: 8]	28	[eqn: 576]	29	[eqn: 87]	30	[eqn: 26]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=2x ^{2} +xy`], [eqn: B``=x ^{2} -2xy`]에서

[eqn: A+B``][eqn: =(2x ^{2} +xy)+(x ^{2} -2xy)`]
[eqn: =(2x ^{2} +x ^{2} )+(xy-2xy)`]
[eqn: =3x ^{2} -xy`]

2. [출제의도] 합집합의 원소의 합을 구한다.

[eqn: A CUP B``][eqn: = LEFT { 1,```2 RIGHT } CUP LEFT { 2,```3 RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }]

이므로 집합 [eqn: A CUP B``]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+3=6`]

3. [출제의도] 직선의 방정식을 이해한다.

직선 [eqn: 12x-2y+5=0`]에서

[eqn: y=6x+ {5} over {2}]

따라서 직선 [eqn: 12x-2y+5=0`]의 기울기는 [eqn: 6`]이다.

4. [출제의도] 복소수의 곱을 계산한다.

[eqn: i`(1+i)][eqn: =i+i` ^{2}]
[eqn: =i-1]
[eqn: = it -1+i]

5. [출제의도] 항등식의 성질을 이해한다.

다항식 [eqn: x ^{3} -1]을 인수분해하면

[eqn: x ^{3} -1`][eqn: =(x-1)(x ^{2} +x+1)]

이므로

[eqn: a=1`], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: a+b=2`]

[다른 풀이 1]

[eqn: x ^{3} -1][eqn: =(x-1)(x ^{2} +ax+b)]
[eqn: =x ^{3} +(a-1)x ^{2} +(b-a)x-b]

이므로 양변의 계수를 비교하면

[eqn: a-1 = 0], [eqn: b-a=0], [eqn: -b=it-1]

[eqn: a=1], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: a+b=2]

[다른 풀이 2]

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 등식

[eqn: x ^{3} -1][eqn: =(x-1)(x ^{2} +ax+b)] …… ㉠

이 성립하므로 ㉠의 양변에 적당한 [eqn: x`]의 값을 대입하여도 등식이 성립한다.

등식 ㉠에 [eqn: x=0`]을 대입하면

[eqn: -1= it -b`]에서 [eqn: b=1]

등식 ㉠에 [eqn: x= it -1`]을 대입하면

[eqn: it -2= it -2(2-a)`]에서 [eqn: a=1]

따라서 [eqn: a+b=2]

6. [출제의도] 조합의 뜻을 이해한다.

서로 다른 [eqn: 6`]개의 과목 중에서 서로 다른 [eqn: 3`]개를 선택하는 경우의 수는 서로 다른 [eqn: 6`]개 중에서 [eqn: 3`]개를 선택하는 조합의 수 [eqn: {}_{6} rm C it _{3} `]과 같으므로

[eqn: {}_{6} {rmC} _{3}][eqn: = {{}_{6}{rmP}_3 } over{ 3!}][eqn: = {6 TIMES 5 TIMES 4} over {3 TIMES 2 TIMES 1}][eqn: =20]

7. [출제의도] 역함수의 성질을 이해한다.

주어진 그림에서

[eqn: f(2)=1`], [eqn: f(4)=3`]

함수 [eqn: f`]는 일대일대응이므로 역함수의 성질에 의하여

[eqn: f ^{`-1} (3)=4]

따라서

[eqn: f(2)+f ^{`-1} (3)`][eqn: =`1`+`4`][eqn: =5]

8. [출제의도] 합성함수의 뜻을 이해한다.

[eqn: f(x)=2x-1`]에서

[eqn: f(5)=2 TIMES 5-1=9]

이므로

[eqn: (`f CIRC f)(5)][eqn: =f` LEFT ( `f(5) RIGHT ) `][eqn: =f(9)]
[eqn: =2times9-1][eqn: =17]

[다른 풀이]

[eqn: (`f CIRC f)(x)][eqn: =f(`f(x))`]
[eqn: =f(2x-1)]
[eqn: =2 LEFT ( 2x-1 RIGHT ) -1]
[eqn: =4x-3`]

이므로

[eqn: (`f CIRC f)(5)][eqn: =4 TIMES 5-3][eqn: =17]

9. [출제의도] 이차방정식과 이차함수의 관계를 이해한다.

이차함수 [eqn: y=2x ^{2} +ax-1`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표는 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +ax-1=0`]의 두 실근과 같다.

이때 이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +ax-1=0`]의 근과 계수의 관계에 의하여 두 근의 합은 [eqn: - {a} over {2} `]이다.

따라서 [eqn: - {a} over {2}][eqn: = it -1`]에서

[eqn: a=2]

10. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 선분의 길이의 최솟값을 추론한다.

점 [eqn: rmA]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 4,``3 RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rm OA it}}][eqn: = sqrt {4 ^{2} +3 ^{2}} =5]

점 [eqn: rmP]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =16] 위의 점이므로

[eqn: {bar{rm OP it}} =4]

이때 그림과 같이 임의의 점 [eqn: rmP]에 대하여

[eqn: {bar{rm OA it}} LEQ {bar{rm OP it}} + {bar{rm PA it}}]

가 성립하므로

[eqn: {bar{rm AP it}} GEQ {bar{rm OA it}} - {bar{rm OP it}}][eqn: =5-4=1]

따라서 선분 [eqn: rm`AP]의 길이의 최솟값은 [eqn: 1`]이다.

11. [출제의도] 연립방정식을 이해하여 해를 구한다.

[eqn: x-2y=1]에서

[eqn: x=2y+1] …… ㉠

㉠을 [eqn: x ^{2} -4y ^{2} =5`]에 대입하면

[eqn: (2y+1) ^{2} -4y ^{2} =5]

[eqn: (4y ^{2} +4y+1)-4y ^{2} =5]

[eqn: 4y+1=5]

[eqn: y=1] …… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: x=2 TIMES 1+1=3]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=1]이므로

[eqn: a+b=4]

[다른 풀이]

[eqn: x-2y=1] …… ㉢

[eqn: x ^{2} -4y ^{2} =5] …… ㉣

㉣의 좌변을 인수분해하면

[eqn: (x-2y)(x+2y)=5] …… ㉤

㉢을 ㉤에 대입하면

[eqn: x+2y=5] …… ㉥

㉢, ㉥을 연립하면

[eqn: x=3], [eqn: y=1]

따라서 [eqn: a=3], [eqn: b=1]이므로

[eqn: a+b=4]

12. [출제의도] 절댓값을 포함하는 일차부등식의 해를 추론한다.

[eqn: a`]는 자연수이므로 [eqn: LEFT | x-3 RIGHT | LEQ a`]에서

[eqn: it -a LEQ x-3 LEQ a`]

[eqn: 3-a LEQ x LEQ 3+a`] …… ㉠

부등식 ㉠을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수는

[eqn: (3+a)-(3-a)+1=2a+1]

[eqn: 2a+1=15`]에서

[eqn: a=7]

13. [출제의도] 나머지정리를 이해하여 미지수를 구한다.

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x-a RIGHT ) `]로 나눈 몫이 [eqn: x+1`]이고 나머지가 [eqn: 6`]이므로

[eqn: f(x)=(x-3)(2x-a)(x+1)+6] …… ㉠

다항식 [eqn: f(x)]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 6`]이므로 나머지정리에 의해 [eqn: f(1)=6`]이다.

㉠에 [eqn: x=1`]을 대입하면

[eqn: f(1)][eqn: =(1-3)(2-a) TIMES 2+6]
[eqn: =it-4 LEFT ( 2-a RIGHT ) +6]
[eqn: =it-8+4a+6]
[eqn: =4a-2]

따라서 [eqn: 4a-2=6], [eqn: a=2]

[다른 풀이]

다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x-a RIGHT ) `]로 나눈 몫이 [eqn: x+1`]이고 나머지가 [eqn: 6`]이므로

[eqn: f(x) = (x-3)(2x-a)(x+1)+6] …… ㉡

한편, 다항식 [eqn: f`(x)]를 [eqn: x-1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: f(x)=(x-1)Q`(x)+6] …… ㉢

㉡, ㉢에서

[eqn: (x-3)(2x-a)(x+1)=(x-1)Q`(x)]

이때 [eqn: (x-3)(2x-a)(x+1)`]은 [eqn: x-1`]을 인수로 가져야 한다.

따라서 [eqn: 2x-a=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) `]에서

[eqn: a=2]

14. [출제의도] 삼차방정식의 허근과 관련된 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 다항식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +9x+13`]을 조립제법을 이용하여 인수분해하면

[eqn: -1]		[eqn: 1]	[eqn: -3]	[eqn: 9]		[eqn: 13]
			[eqn: -1]	[eqn: 4]		[eqn: -13]
		[eqn: 1]	[eqn: -4]	[eqn: 13]		[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} -3x ^{2} +9x+13`][eqn: = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} -4x+13 RIGHT )]

이차방정식 [eqn: x ^{2} -4x+13=0`]에서

[eqn: x=2+3i`] 또는 [eqn: x=2-3i`]

따라서 방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +9x+13=0`]의 세 근은

[eqn: x=it-1] 또는 [eqn: x=2+3i`] 또는 [eqn: x=2-3i`]

조건 (나)에서

[eqn: {z-bar{z}} over {i}][eqn: = {LEFT ( a+b`i RIGHT ) - LEFT ( a-b`i RIGHT )} over {i}][eqn: = {2b`i} over {i} =2b]

[eqn: {z-bar{z}} over {i}]가 음의 실수이므로 [eqn: b`]는 음수이다.

따라서 [eqn: z=2-3i`]

[eqn: a=2`], [eqn: b= it -3`]

[eqn: a+b=it-1]

15. [출제의도] ‘모든’이 포함된 명제와 관련된 문제를 해결한다.

명제

‘모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2x ^{2} +6x+a`{ge}0`]이다.’

가 거짓이면 이 명제의 부정

‘어떤 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2x ^{2} +6x+a`<0`]이다.’

는 참이다.

따라서 이차함수 [eqn: y=2x ^{2} +6x+a`]의 그래프와 [eqn: x`]축이 서로 다른 두 점에서 만나야 한다.

이차방정식 [eqn: 2x ^{2} +6x+a`=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: {D} over {4} =3 ^{2} -2a>0``]에서 [eqn: a< {9} over {2}]

따라서 정수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 4`]이다.

16. [출제의도] 점의 이동 및 두 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmP`]는 점 [eqn: rm A][eqn: (-3,```1)]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 점이므로 그 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,```1) RIGHT . `]이다.

또, 점 [eqn: rm Q`]는 점 [eqn: rm B][eqn: (1,```k)]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -5`]만큼 평행이동한 점이므로 그 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,```k-5) RIGHT . `]이다.

두 점 [eqn: rm B it LEFT ( 1,```k RIGHT )], [eqn: rm P][eqn: LEFT ( 3,```1) RIGHT . `]에 대하여 직선 [eqn: rm BP]의 기울기는

[eqn: {1-k} over {3-1} =it- {k-1} over {2}]

두 점 [eqn: rm P][eqn: LEFT ( 3,```1) RIGHT . `], [eqn: rm Q][eqn: LEFT ( 1,```k-5) RIGHT . `]에 대하여 직선 [eqn: rm PQ`]의 기울기는

[eqn: {(k-5)-1} over {1-3} = it - {k-6} over {2}]

직선 [eqn: rm BP]와 직선 [eqn: rm PQ`]가 서로 수직이므로

[eqn: LEFT ( - {k-1} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {k-6} over {2} RIGHT )][eqn: =it-1]

[eqn: LEFT ( k-1 RIGHT ) LEFT ( k-6 RIGHT ) =it-4]

[eqn: k ^{2} -7k+10=0]

[eqn: LEFT ( k-2 RIGHT ) LEFT ( k-5 RIGHT ) =0]

[eqn: k=2] 또는 [eqn: k=5]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 곱은

[eqn: 2`times5=10]

17. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 원 [eqn: C``:`x ^{2} +y ^{2} -4x-2ay+a ^{2} -9=0`]이 원점을 지나므로 [eqn: x=0], [eqn: y=0`]을 대입하면

[eqn: a ^{2} -9=0`], [eqn: a ^{2} =9`]

[eqn: a=it-3`] 또는 [eqn: a=3]

[eqn: a=it-3`]일 때, 원 [eqn: C``]의 방정식은

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+6y=0`], [eqn: (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =13]

[eqn: a=3`]일 때, 원 [eqn: C``]의 방정식은

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x-6y=0`], [eqn: (x-2) ^{2} +(y-3) ^{2} =13]

이때 [eqn: a=3`]이면 원 [eqn: C``]는 직선 [eqn: y=it-2`]와 만나지 않으므로 조건 (나)에 의하여 [eqn: a=it-3`]이다.

[eqn: (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =13], [eqn: y=it-2`]를 연립하면

[eqn: (x-2) ^{2} +(-2+3) ^{2} =13]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} =12]

[eqn: x][eqn: =2±2 sqrt {3}]

따라서 원 [eqn: C``]와 직선 [eqn: y= it -2`]가 만나는 두 점의 좌표는 각각 [eqn: left(2-2 sqrt {3} ,```-2right)`], [eqn: left(2+2 sqrt {3} ,```-2right)`]이므로 두 점 사이의 거리는

[eqn: left(2+2 sqrt {3}` right)-left(2-2 sqrt {3}` right)][eqn: =4 sqrt {3}]

[다른 풀이]

[eqn: a=it-3]일 때, 원 [eqn: C``]의 방정식은

[eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+6y=0`]

[eqn: (x-2) ^{2} +(y+3) ^{2} =13]

따라서 원 [eqn: C``]의 중심은 [eqn: rmA][eqn: (2,```-3)]이고, 반지름의 길이는 [eqn: sqrt {13} `]이다.

원의 중심 [eqn: rmA][eqn: (2,~-3)]에서 직선 [eqn: y=it-2`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하고, 원 [eqn: C``]와 직선 [eqn: y=it-2`]가 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmP`], [eqn: rm Q`]라 하면

[eqn: bar{rmAP}= sqrt {13}], [eqn: {bar{rm AH it}} =1]

이므로

[eqn: {bar{rm PH it}} = sqrt {LEFT ( sqrt {13} RIGHT ) ^{2} -1 ^{2}} =2 sqrt {3}]

따라서

[eqn: bar{rmPQ}][eqn: =2` {bar{rm PH it}}][eqn: =][eqn: 4 sqrt {3}]

18. [출제의도] 삼각형의 무게중심과 관련된 문제를 해결한다.

두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB]의 좌표를 각각

[eqn: LEFT ( it a _{`1} ,```b _{`1} RIGHT )], [eqn: LEFT ( it a _{`2} ,````b _{`2} rm RIGHT ) `]

라 하면 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 5,```4 RIGHT ) `]이므로

[eqn: {0+a _{`1} +a _{`2}} over {3} =5], [eqn: {0+b _{`1} +b _{`2}} over {3} =4`]

[eqn: a _{`1} +a _{`2} =15], [eqn: b _{`1} +b _{`2} =12`] …… ㉠

선분 [eqn: rmOA`]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점 [eqn: rmC]의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2a _{1} -0} over {2-1} ,``` {2b _{1} -0} over {2-1} RIGHT )], 즉 [eqn: LEFT ( 2a _{1} ,```2b _{1} RIGHT )]

마찬가지로 선분 [eqn: rm OB`]를 [eqn: 2:1]로 외분하는 점 [eqn: rmD`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( it 2a _{2} ,```2b _{2} RIGHT ) `]

이때 두 선분 [eqn: rmAD], [eqn: rmBC`]는 모두 삼각형 [eqn: rmOCD`]의 중선이므로 교점 [eqn: rmE`]는 삼각형 [eqn: rmOCD`]의 무게중심이다.

따라서 점 [eqn: rmE]의 좌표는

[eqn: rm LEFT ( it {0+2a _{1} +2a _{2}} over {3} ,``` {0+2b _{1} +2b _{2}} over {3} RIGHT ) `]

㉠에 의하여

[eqn: {2a _{1} +2a _{2}} over {3} = {2 LEFT ( a _{1} +a _{2} RIGHT )} over {3} = {2times15} over {3} =10],

[eqn: {2b _{1} +2b _{2}} over {3} = {2 LEFT ( b _{1} +b _{2} RIGHT )} over {3} = {2 TIMES 12} over {3} =8]

이므로 점 [eqn: rmE`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 10,```8 RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: p=10], [eqn: q=8`]이므로

[eqn: p+q=18]

[다른 풀이]

점 [eqn: rmE]는 삼각형 [eqn: rmOCD]의 무게중심이므로 점 [eqn: rmE]는 선분 [eqn: rmDA`]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이다.

선분 [eqn: rmOA`]의 중점을 [eqn: rm F`]라 하고, 삼각형 [eqn: rmOAB`]의 무게중심을 [eqn: rmG`]라 하면 점 [eqn: rmG`]는 선분 [eqn: rmBF`]를 [eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로 세 점 [eqn: rmO], [eqn: rmG], [eqn: rmE]는 한 직선 위에 있다.

이때 [eqn: bar{rmOF}:bar{rmOA}=1:2]이므로 두 삼각형 [eqn: rm OFG], [eqn: rm OAE`]는 닮음비가 [eqn: 1:2]인 닮은 도형이다.

즉 [eqn: bar{rmOG}:bar{rmOE}=1:2]이고 점 [eqn: rmG`]의 좌표가 [eqn: LEFT ( 5,```4 RIGHT )]이므로

[eqn: p=2times5=10], [eqn: q=2times4=8]

따라서 [eqn: p+q=18]

19. [출제의도] 조합의 수를 이해하여 집합의 개수를 구하는 과정을 추론한다.

[eqn: A][eqn: = LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: `right}]
[eqn: = LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6,```7,```8,```9,```10 RIGHT }]

[eqn: B``][eqn: = LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 6] 이상 [eqn: 15] 이하의 자연수[eqn: `right}]
[eqn: = LEFT { 6,```7,```8,```9,```10,```11,```12,```13,```14,```15 RIGHT }]

에서

[eqn: A-B``][eqn: = LEFT { 1,```2,```3,```4,```5` RIGHT }], [eqn: A`capB``][eqn: = LEFT { 6,```7,```8,```9,```10` RIGHT }]

이므로

[eqn: n` LEFT ( A-B` RIGHT ) =5], [eqn: n` LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =5]

[eqn: X _{1} =X{cap} LEFT ( A-B` RIGHT )], [eqn: X _{2} =X SMALLINTER LEFT ( A{cap}B` RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: X=X _{1} {cup}X _{2} `]이고 [eqn: X _{1} {cap}X _{2} =emptyset`]이다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( X` CUP B` RIGHT )][eqn: =12`]이고 [eqn: n LEFT ( B` RIGHT )][eqn: =10`]이므로
[eqn: n LEFT ( X _{1} RIGHT )][eqn: = {BOX{~~ ^{`} 2~~}}]
집합 [eqn: X _{1}]은 집합 [eqn: A-B``]의 부분집합 중 원소의 개수가 [eqn: 2]인 부분집합이므로 가능한 집합 [eqn: X _{1} `]의 개수는 [eqn: ` _{5} rm C it _{2} =` {BOX{~ ^{`} ~ rm 10~~ it}}]이다.

(ⅱ) 집합 [eqn: X _{2} `]는 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 부분집합이므로 가능한 집합 [eqn: X _{2} `]의 개수는 [eqn: 2 ^{5} =` {BOX{~ ^{`} ~32~~}}]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 집합 [eqn: X``]의 개수는 집합 [eqn: X _{1}]을 정하는 경우의 수와 집합 [eqn: X _{2}]를 정하는 경우의 수의 곱과 같으므로

[eqn: {}_{5} rmC _{2} `][eqn: times][eqn: 2 ^{5} `][eqn: = {BOX{~~ ^{`} 10~~}} ` TIMES {BOX{~~ ^{`} 32~~}}][eqn: =320]

따라서 [eqn: p=2], [eqn: q=10], [eqn: r=32`]이므로

[eqn: p+q+r=44]

20. [출제의도] 유리함수의 그래프와 관련된 문제를 해결한다.

(ⅰ) [eqn: k>0`]일 때,
두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 교점 중 [eqn: x`]좌표가
양수인 점의 개수는 [eqn: 2`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=0`]일 때,
두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 교점 중 [eqn: x`]좌표가 양수인 점의 개수는 [eqn: 1]이다.

(ⅲ) [eqn: k<0`]일 때,
두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]를 좌표평면에 나타내면 다음과 같다.

두 곡선 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)`]의 교점 중 [eqn: x`]좌표가 양수인 점의 개수는 [eqn: 1]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: h(k)= {cases{``1 _{`}&&LEFT ( k LEQ 0 RIGHT ) _{`}#``2 ^{`}&&LEFT ( k>0 RIGHT ) ^{`}}}]

연속하는 세 정수 [eqn: k], [eqn: k+1], [eqn: k+2`]에 대하여 등식

[eqn: h(k)+h(k+1)+h(k+2)=4`] …… ㉠

가 성립하려면

[eqn: h(k)=1], [eqn: h(k+1)=1], [eqn: h(k+2)=2`]

이어야 한다.

이때 [eqn: h(-1)=1], [eqn: h(0)=1], [eqn: h(1)=2`]이므로 등식 ㉠을 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: -1`]이다.

21. [출제의도] 일대일대응을 이해하여 명제의 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. 함수 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT )]의 정의역과 치역이 모두 실수 전체의 집합이고 함수 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT )]의 역함수가 존재하므로 함수 [eqn: g` LEFT ( x RIGHT )]는 일대일대응이다. 따라서 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같이 두 가지이다.
(ⅰ) [eqn: g(-2)=f(-2)=6`], [eqn: g(1)=f(1)= it -3`]일 때,

(ⅱ) [eqn: g(-2)=f(-2)=it-3`], [eqn: g(1)=f(1)= it 6`]일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에서
[eqn: f(-2)+f(1)=3] (참)

ㄴ. [eqn: g(0)=f(0)=it-1]에서
[eqn: f(x)=ax ^{2} +bx-1`]([eqn: a]는 양의 상수, [eqn: b]는 상수)
로 놓을 수 있다.
[eqn: g(1)=f(1)=it-3`]이면 [eqn: f(-2)=6`]이어야 하므로
[eqn: a+b-1=it-3], [eqn: 4a-2b-1=6]
연립방정식 [eqn: {cases{``a+b= it -2 _{`}&`#``4a-2b=7 ^{`}&`}}]을 풀면
[eqn: a= {1} over {2}], [eqn: b=it- {5} over {2}]
따라서
[eqn: f(x)][eqn: = {1} over {2} x ^{2} - {5} over {2} x-1]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} - {33} over {8}]
이므로 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {5} over {2} `]이다. (참)

ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: -2`]이므로
[eqn: f(x)=a(x+2) ^{2} +p`]([eqn: a]는 양의 상수, [eqn: p`]는 상수)
라 할 수 있다.
이때 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 일대일대응이므로
[eqn: f(-2)=it-3], [eqn: f(1)=6]
이다.
[eqn: p= it -3], [eqn: 9a+p=6]
에서 [eqn: a=1`]이므로
[eqn: f(x)=(x+2) ^{2} -3]
따라서 [eqn: g(0)=f(0)=1`]이므로
[eqn: g ^{-1} (1)=0] (참)

그러므로 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

22. [출제의도] 순열의 수를 계산한다.

[eqn: {}_{4} rmP _{2}][eqn: =4times3][eqn: =12]

23. [출제의도] 두 점 사이의 거리를 계산한다.

[eqn: rm bar{AB}][eqn: = sqrt {(4+1) ^{2} +(1-3) ^{2}}]
[eqn: = sqrt {29}]

선분 [eqn: rmAB]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이는

[eqn: {bar{rm AB it}} ^{`2}][eqn: =29]

24. [출제의도] 무리함수의 그래프를 이해한다.

[eqn: f(x)][eqn: = sqrt {2x+a} +7`]
[eqn: = sqrt {2 LEFT ( x+ {a} over {2} RIGHT )} +7]

이므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같다.

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x= it - {a} over {2} `]일 때 최솟값 [eqn: 7`]을 가진다.

[eqn: - {a} over {2} = it -2`]에서 [eqn: a=4`]이고 [eqn: m=7`]이므로

[eqn: a+m`=11]

25. [출제의도] 다항식의 나눗셈을 이해한다.

다항식 [eqn: 2x ^{3} -x ^{2} +x+3`]을 [eqn: x+1`]로 나눈 몫과 나머지를 조립제법을 이용하여 구하면

[eqn: -1]		[eqn: 2]	[eqn: -1]	[eqn: 1]		[eqn: 3]
			[eqn: -2]	[eqn: 3]		[eqn: -4]
		[eqn: 2]	[eqn: -3]	[eqn: 4]		[eqn: -1]

따라서 [eqn: Q`(x)=2x ^{2} -3x+4`]이므로

[eqn: Q`(-1)][eqn: =2+3+4][eqn: =9]

26. [출제의도] 집합의 연산 법칙을 이해한다.

[eqn: A][eqn: = LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 4`]의 배수[eqn: `right}]
[eqn: = LEFT { 4,```8,```12,```16,```20 RIGHT }]

[eqn: B``][eqn: = LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 20`]의 약수[eqn: `right}]
[eqn: = LEFT { 1,```2,```4,```5,```10,```20 RIGHT }]

드모르간의 법칙에 의하여

[eqn: LEFT ( A ^{C} ` CUP B` RIGHT ) ^{C} `][eqn: = LEFT ( A ^{C} `` RIGHT ) ^{C} SMALLINTER B ^{`C}]
[eqn: =A SMALLINTER B ^{`C} `]
[eqn: =A-B]

[eqn: A-B``][eqn: =left{8,```12,```16right}]이므로 집합 [eqn: A-B``]의 모든 원소의 합은 [eqn: 8+12+16=36`]이다.

27. [출제의도] 필요조건과 충분조건을 이해한다.

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

[eqn: 2x-a{le}0]에서 [eqn: x{le} {a} over {2}]이므로

[eqn: P= LEFT { `x` LEFT | `x LEQ {a} over {2} RIGHT } RIGHT .]

조건 [eqn: q`:`x ^{2} -5x+4>0`]에 대하여

[eqn: {sim}q`:`x ^{2} -5x+4 LEQ 0`]

[eqn: x ^{2} -5x+4{le}0`]에서

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) {le}0`]

[eqn: 1{le}x{le}4`]

이므로

[eqn: Q ^{C} `][eqn: = LEFT { `x` LEFT | `1 LEQ x LEQ 4 RIGHT } RIGHT .]

[eqn: p`]가 [eqn: SIM q`]이기 위한 필요조건이면 명제 [eqn: {sim}q``->``p`]가 참이므로 [eqn: Q ^{C} {subset}P``]가 성립해야 한다.

위 그림에서 [eqn: {a} over {2} GEQ 4], [eqn: a GEQ 8]

따라서 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 8]이다.

28. [출제의도] 경우의 수를 구하는 실생활과 관련된 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 같이 앉을 수 있는 [eqn: 2`]인용 의자는 마부가 앉아 있는 의자를 제외한 [eqn: 3`]개이고, 두 사람은 자리를 서로 바꿔 앉을 수 있으므로 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 앉는 경우의 수는

[eqn: 3 TIMES 2`!`][eqn: =6`]

남은 [eqn: 5`]개의 좌석에 [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]가 앉는 전체 경우의 수는

[eqn: {}_{5} rmP _{2} =20`]

이때 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 같은 [eqn: 2`]인용 의자에 이웃하여 앉는 경우의 수를 구해 보자.

두 사람이 이웃하여 앉을 수 있는 의자는 [eqn: rmA`]와 [eqn: rmB`]가 앉아 있는 의자와 마부가 앉아 있는 의자를 제외한 나머지 [eqn: 2`]개이고, 두 사람은 서로 자리를 바꿔 앉을 수 있으므로 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 앉는 경우의 수는

[eqn: 2 TIMES 2`!`][eqn: =4`]

따라서 조건 (나)에서 [eqn: rmC`]와 [eqn: rmD`]가 이웃하지 않도록  앉는 경우의 수는

[eqn: `20-4=16]

남은 [eqn: 3`]개의 좌석에 [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG]가 앉는 경우의 수는

[eqn: 3`!`][eqn: =6`]

따라서 모든 경우의 수는

[eqn: 6 TIMES 16 TIMES 6][eqn: =576]

29. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계와 관련된 문제를 해결한다.

두 원 [eqn: C _{``1} `], [eqn: C _{``2} `]의 중심을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하면 두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 좌표는 각각 [eqn: LEFT ( -7,```2 RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( it 0,```b RIGHT ) `]이다.

그림과 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]에서 직선 [eqn: l _{1} `]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rmH], [eqn: rmI]라 하면

[eqn: {bar{rm AH it}} `=2 sqrt {5}], [eqn: {bar{rm BI it}} `= sqrt {5}]

이므로 두 삼각형 [eqn: rm PAH], [eqn: rm PBI`]는 닮음비가

[eqn: {bar{rm AH it}} `:` {bar{rm BI it}} `=2:1`]

인 닮은 도형이다.

이때 점 [eqn: rmB`]는 선분 [eqn: rmAP`]의 중점이므로

[eqn: {LEFT ( -7 RIGHT ) +a} over {2} =0], [eqn: {2+0} over {2} =b`]

[eqn: a=7], [eqn: b=1`] …… ㉠

점 [eqn: {rmP} LEFT ( 7,```0 RIGHT ) `]을 지나고 점 [eqn: rm B` LEFT ( 0,```1 RIGHT ) `]에서의 거리가 [eqn: sqrt {5}]인 직선을

[eqn: y=m LEFT ( x-7 RIGHT )], 즉 [eqn: mx-y-7m=0`]([eqn: m]은 상수)

로 놓으면

[eqn: {LEFT | m TIMES 0-1-7m RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: = sqrt {5} `]

[eqn: LEFT | -7m-1 RIGHT | = sqrt {5 LEFT ( m ^{2} +1 RIGHT )}] …… ㉡

㉡의 양변을 제곱하면

[eqn: 49m ^{2} +14m+1=5m ^{2} +5]

[eqn: 44m ^{2} +14m-4=0], [eqn: 22m ^{2} +7m-2=0`]

[eqn: LEFT ( 2m+1 RIGHT ) LEFT ( 11m-2 RIGHT ) =0`]

[eqn: m=it- {1} over {2}] 또는 [eqn: m= {2} over {11}]

따라서 두 직선 [eqn: l _{1} `], [eqn: l _{2} `]의 기울기의 곱은

[eqn: LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) times {2} over {11} =it- {1} over {11}]

이므로 [eqn: c=it- {1} over {11}] …… ㉢

㉠, ㉢에서

[eqn: 11 LEFT ( a+b+c RIGHT )][eqn: =11 LEFT ( 7+1- {1} over {11} RIGHT )]
[eqn: =87]

30. [출제의도] 이차함수의 그래프 및 ‘어떤’이 포함된 명제와 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} -2x+6]
[eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +5]

이므로 이차함수 [eqn: y=f` LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이다.

한편,

[eqn: it - LEFT | x-t RIGHT | +11= {cases{``````````x-t+11 _{`}&&LEFT ( x<t RIGHT ) _{`}#``-x+t+11 ^{`}&&LEFT ( x GEQ t RIGHT ) ^{`}}}]

이므로 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프는 직선 [eqn: x=t`]에 대하여 대칭이다.

따라서 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 다음과 같이 세 가지로 나타난다.

(ⅰ) 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프가 만나지 않거나 한 점에서만 만날 때,

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅱ) 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha < beta LEQ 1] 또는 [eqn: 1{le}alpha < beta])일 때,

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅲ) 두 함수 [eqn: y=f(x)], [eqn: y=g(x)]의 그래프의 두 교점의 [eqn: x]좌표가 [eqn: alpha], [eqn: beta]([eqn: alpha <1< beta])일 때,
① [eqn: f( alpha )=f( beta )`], 즉 [eqn: t=1]일 때,

두 교점은 직선 [eqn: x=1`]에 대하여 대칭이다.
이때 [eqn: beta]의 값을 구하면
[eqn: x ^{2} -2x+6=it- x+12]
[eqn: x ^{2} -x-6=0]
[eqn: LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT ) =0]
[eqn: x=it-2] 또는 [eqn: x=3]
[eqn: beta>1]이므로 [eqn: beta=3]
[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) = it - LEFT | 3-1 RIGHT | +11=9]
따라서 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: 5`]뿐이다.
② [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) >f LEFT ( beta RIGHT ) `]일 때,

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은
[eqn: 5`]와 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT )][eqn: LEFT ( 5<f LEFT ( beta RIGHT ) <9 RIGHT ) `]이다.
③ [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) <f LEFT ( beta RIGHT ) `]일 때,

함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값은
[eqn: 5`]와 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT )][eqn: LEFT ( 5<f LEFT ( alpha RIGHT ) <9 RIGHT ) `]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 명제

‘어떤 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 직선 [eqn: y=k`]는 서로 다른 세 점에서 만난다.’

가 참이 되도록 하는 실수 [eqn: k`]의 값의 범위는
[eqn: 5 LEQ k<9]
따라서 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8]이므로 그 합은

[eqn: 5+6+7+8=26`]