• 2교시 수학 영역 •

[나형]

1	④	2	③	3	①	4	③	5	⑤
6	②	7	②	8	③	9	⑤	10	⑤
11	④	12	⑤	13	④	14	⑤	15	④
16	④	17	②	18	①	19	①	20	③
21	②	22	4	23	1	24	12	25	24
26	3	27	124	28	26	29	93	30	19

1. [출제의도] 집합 연산하기

[eqn: A SMALLINTER B`= LEFT { `1,``3 RIGHT }]이므로 집합 [eqn: A SMALLINTER B`]의 모든 원소의
합은 [eqn: 4]

2. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 계산하기

[eqn: LEFT ( 3 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {2}} =3 ^{4 TIMES {1} over {2}} =3 ^{2} =9]

3. [출제의도] 순열의 수 계산하기

[eqn: {}_{9} rm P _{2} =9 TIMES 8=72]

4. [출제의도] [eqn: sum _{} ^{}]의 성질 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{10} LEFT ( a _{n} -1 RIGHT )][eqn: = sum _{n=1} ^{10} a _{n} - sum _{n=1} ^{10} 1]
[eqn: =20-1 TIMES 10=10]

5. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =it-1], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( -3 RIGHT ) =3]이므로

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( -3 RIGHT ) =it-1+3=2]

6. [출제의도] 자연수의 분할 이해하기

[eqn: 7][eqn: =1+1+5]
[eqn: =1+2+4]
[eqn: =1+3+3]
[eqn: =2+2+3]

이므로 자연수 [eqn: 7]을 세 개의 자연수로 분할하는
방법의 수는 [eqn: 4]

7. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y= sqrt {x} +k]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로
[eqn: -1]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동시킨
그래프는 함수 [eqn: y= sqrt {x+1} +k+1]의 그래프와 같고
이 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `0,``4 RIGHT )]를 지나므로
[eqn: k+2=4]
따라서 [eqn: k=2]

8. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: LEFT { `1,``2 RIGHT } SUBSET B` SUBSET LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]이므로
집합 [eqn: B`]의 개수는 집합 [eqn: LEFT { `3,``4,``5 RIGHT }]의 부분집합의
개수와 같다.

따라서 집합 [eqn: B`]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8]

9. [출제의도] 유리함수의 그래프 이해하기

[eqn: y= {3x+2} over {x-2} = {8} over {x-2} +3]이므로
함수 [eqn: y= {3x+2} over {x-2}]의 그래프의 점근선은
두 직선 [eqn: x=2], [eqn: y=3]이다.

그러므로 [eqn: m=2], [eqn: n=3]

따라서 [eqn: m+n=2+3=5]

10. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4], [eqn: lim _{x` -> `4-} {f LEFT ( x RIGHT )} =1]이므로
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) + lim _{x` -> `4-} {f LEFT ( x RIGHT )} =4+1=5]

11. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 활용하여 추론하기

[eqn: a _{1} =1]

[eqn: a _{2} = {a _{1} +1} over {3a _{1} -2} = {1+1} over {3 TIMES 1-2} =2]

[eqn: a _{3} = {a _{2} +1} over {3a _{2} -2} = {2+1} over {3 TIMES 2-2} = {3} over {4}]

[eqn: a _{4} = {a _{3} +1} over {3a _{3} -2} = {{3} over {4} +1} over {3 TIMES {3} over {4} -2} =7]

12. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: a]는 로그의 밑이므로 [eqn: a>0], [eqn: a != 1]

[eqn: -2a+14]는 진수이므로 [eqn: -2a+14>0], [eqn: a<7]

따라서 [eqn: 0<a<7], [eqn: a != 1]

로그가 정의되도록 하는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6]
이므로 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 5]

13. [출제의도] 함수의 연속성 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{{x ^{2} -2x-3} over {x-3 _{` _{`}}}&~ LEFT ( x != 3 RIGHT ) _{`}#`````a ^{`}&~ LEFT ( x=3 RIGHT ) ^{`}}}]

가 실수 전체의 집합에서 연속이므로
[eqn: x=3]에서 연속이다.
따라서 [eqn: lim _{x` -> `3} {`f LEFT ( x RIGHT )} =a]이다.

[eqn: lim _{x` -> `3} {` {x ^{2} -2x-3} over {x-3}}][eqn: = lim _{x` -> `3} {` {LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )} over {x-3}}]
[eqn: = lim _{x` -> `3} {` LEFT ( x+1 RIGHT )} =4]

따라서 [eqn: a=4]

14. [출제의도] 수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{3n-1} over {n+1}} = lim _{n` -> ` INF } {` {3- {1} over {n}} over {1+ {1} over {n}}} =3]이므로 [eqn: a=3]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` {a ^{n+2} +1} over {a ^{n} -1}}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{3 ^{n+2} +1} over {3 ^{n} -1}}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {` {3 ^{2} + {1} over {3 ^{n}}} over {1- {1} over {3 ^{n}}}} =9]

15. [출제의도] 명제를 활용하여 추론하기

실수 [eqn: x]에 대한 세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각
[eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]라 하면

[eqn: P`= LEFT { x``|``0 LEQ x LEQ 3 RIGHT }],
[eqn: Q`= LEFT { x``|``x>4 RIGHT }],
[eqn: R`= LEFT { x``|``-1 LEQ x LEQ 3 RIGHT }]

ㄱ. [eqn: P` NSUBSET Q`]이므로 [eqn: p` -> `q]는 거짓이다.

ㄴ. [eqn: P` SUBSET R`]이므로 [eqn: p` -> `r]는 참이다.

ㄷ. [eqn: Q ^{C} `= LEFT { x``|``x LEQ 4 RIGHT }]이고 [eqn: R` SUBSET Q ^{C} `]이므로
[eqn: r` -> ` SIM q]는 참이다.

따라서 참인 명제는 ㄴ, ㄷ

16. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: LEFT ( `a _{n} ,`` sqrt {n} RIGHT )]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =4n ^{2}] 위의 점이므로
[eqn: LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( sqrt {n} RIGHT ) ^{2} =4n ^{2}]이다.
[eqn: a _{n} >0]이므로 [eqn: a _{n} = sqrt {4n ^{2} -n}]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2n-a _{n} RIGHT )}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 2n- sqrt {4n ^{2} -n} RIGHT )}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {{n} over {2n+ sqrt {4n ^{2} -n}}}]
[eqn: = {1} over {4}]

17. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

(가)에서 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}} = it -1}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 이차항의 계수가 [eqn: -1]인 이차함수이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -x ^{2} +ax+b]([eqn: a], [eqn: b]는 상수)라 하면

(나)에서
[eqn: lim _{x` -> `0} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2}}} = it -1]이고 [eqn: lim _{x` -> `0} {`x ^{2}} =0]이므로
[eqn: lim _{x` -> `0} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -3 RIGHT } `} =0], [eqn: b=3]

그러므로
[eqn: lim _{x` -> `0} {{f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> `0} {{-x ^{2} +ax} over {x ^{2}}} = lim _{x` -> `0} {LEFT ( -1+ {a} over {x} RIGHT )} = it -1]에서 [eqn: a=0]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = it -x ^{2} +3]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

18. [출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기

그림 [eqn: R _{`1}]에서

원 [eqn: O _{`1}]의 중심을 [eqn: rm O _{1}], 반지름의 길이를 [eqn: x]라 하고,
점 [eqn: rm B _{2}]에서 선분 [eqn: rm P _{1} Q _{1}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라
하자.

[eqn: rm P it rm _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm O rm _{1}]

[eqn: O _{it1}]

[eqn: rm A` it rm _{1}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B it rm _{1}]

[eqn: rm C it rm _{1}]

[eqn: rm H]

[eqn: rm Q it rm _{1}]

[eqn: rm A _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm {bar{B _{1} D}} =2 sqrt {2}]이므로 [eqn: {bar{rm B _{1} B _{2} it}} = sqrt {2}]이다.

두 점 [eqn: rm P _{1}], [eqn: rm Q _{1}]은 원 [eqn: O _{`1}]이 변 [eqn: rm A _{1} B _{1}], [eqn: rm B _{1} C _{1}]과 각각
접하는 점이므로 사각형 [eqn: rm O _{1} P _{1} B _{1} Q _{1}]은 한 변의
길이가 [eqn: x]인 정사각형이다.

[eqn: {bar{rm B _{1} O _{1} it}} = sqrt {2} it x]이므로 [eqn: {bar{rm B _{1} O _{1} it}} + {bar{rm O _{1} B _{2} it}} = sqrt {2} it x+x= sqrt {2}]

따라서 [eqn: x=2- sqrt {2}]

또한 [eqn: {bar{rm P _{1} Q _{1} it}} = sqrt {2} it x=2 sqrt {2} -2],
[eqn: {bar{rm B _{2} H it}} = it x+ {sqrt {2}} over {2} x=1]이다.

그러므로 [eqn: S _{`1} = {1} over {2} TIMES LEFT ( 2 sqrt {2} -2 RIGHT ) TIMES 1= sqrt {2} -1]

다음은 그림 [eqn: R _{`n+1}]의 일부이다.

[eqn: rm P it rm _{n}]

[eqn: O _{it n}]

[eqn: rm A` it rm _{n}]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B it rm _{n}]

[eqn: rm C it rm _{n}]

[eqn: rm Q it rm _{n}]

[eqn: { rm A} _{n+1}]

[eqn: rm B it rm _{n+1}]

[eqn: rm Q it rm _{n+1}]

[eqn: rm B it rm _{n+2}]

[eqn: rm C it rm _{n+1}]

[eqn: rm C it rm _{n+2}]

[eqn: {rm A} it rm _{n+2}]

[eqn: O _{it n+1}]

[eqn: rm P it rm _{n+1}]

정사각형 [eqn: rm A _{it n rm} rm B _{it n rm} rm C _{it n rm} rm D]와 정사각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm} rm D]는
서로 닮음이고 점 [eqn: rm A _{it n+1 rm}]과 점 [eqn: rm C _{it n+1 rm}]은 각각
변 [eqn: rm A _{it n rm} rm D]와 변 [eqn: rm C _{it n rm} rm D]의 중점이므로
닮음비는 [eqn: 2:1]이다.

그러므로 두 삼각형 [eqn: rm B _{it n+1 rm} rm P _{it n rm} rm Q _{it n rm}], [eqn: rm B _{it n+2 rm} rm P _{it n+1 rm} rm Q _{it n+1 rm}]은
서로 닮음이고 닮음비가 [eqn: 2:1]이므로
넓이의 비는 [eqn: 4:1]이다.

따라서 [eqn: S _{`n}]은 첫째항이 [eqn: sqrt {2} -1]이고 공비가 [eqn: {1} over {4}]인
등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} = {sqrt {2} -1} over {1- {1} over {4}} = {4} over {3} LEFT ( sqrt {2} -1 RIGHT )} = {4 sqrt {2} -4} over {3}]

19. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 문제해결하기

(가)에서 [eqn: root {3} of {a}]는 [eqn: ab]의 네제곱근이므로

[eqn: a ^{{4} over {3}} =ab], [eqn: b=a ^{{1} over {3}}]

(나)에서

[eqn: log _{`a} `bc+log _{`b} `ac`][eqn: =log _{`a} `a ^{{1} over {3}} c+log _{`a ^{{1} over {3}}} `ac]
[eqn: = {1} over {3} `log _{`a} `a+log _{`a} `c+3 LEFT ( log _{`a} `a+log _{`a} `c RIGHT )]
[eqn: = {10} over {3} +4log _{`a} `c=4]

[eqn: log _{`a} `c= {1} over {6}], [eqn: c=a ^{{1} over {6}}]

따라서 [eqn: a= LEFT ( {b} over {c} RIGHT ) ^{k} = LEFT ( {a ^{{1} over {3}}} over {a ^{{1} over {6}}} RIGHT ) ^{k} = LEFT ( a ^{{1} over {3} - {1} over {6}} RIGHT ) ^{k} =a ^{{k} over {6}}]이므로
[eqn: k=6]

20. [출제의도] 수열의 합을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm F]

[eqn: rm K]

[eqn: rm I]

[eqn: rm G]

[eqn: rm E]

[eqn: rm J]

[eqn: rm H]

[eqn: rm N]

[eqn: rm L]

점 [eqn: rm H]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I]라 하고
점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm J]라 하자.

두 선분 [eqn: RMHF], [eqn: RMHI]와 선분 [eqn: RMEJ]가 만나는 점을
각각 [eqn: rm K], [eqn: RML]이라 하고, 선분 [eqn: RMEG]와 선분 [eqn: RMHF]가
만나는 점을 [eqn: rm N]이라 하면

[eqn: ANGLE rm HKL= ANGLE rm NKE]이고, [eqn: ANGLE rm KLH= ANGLE rm ENK=90 DEG]

이므로 [eqn: ANGLE rm KEN= ANGLE rm LHK]

또한 [eqn: {bar{RMHI}} = {bar{RMEJ}}]이고 [eqn: ANGLE rm FIH= ANGLE rm GJE=90 DEG]이므로

두 삼각형 [eqn: rm HFI], [eqn: rm EGJ]는 합동이다.

따라서 [eqn: {bar{rm EG it}} = {bar{rm HF it}} = sqrt {4n ^{2} +1}]

[eqn: S _{n}][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {4n ^{2} +1} TIMES sqrt {4n ^{2} +1}]
[eqn: = {4n ^{2} +1} over {2} =2n ^{2} + {1} over {2}]

따라서

[eqn: sum _{n=1} ^{10} S _{n}][eqn: = sum _{n=1} ^{10} LEFT ( 2n ^{2} + {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: =2 TIMES {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} + {1} over {2} TIMES 10]
[eqn: =775]

21. [출제의도] 중복조합을 활용하여 경우의 수 추론하기

조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수를 구하려면
(가)를 만족시키는 경우에서

두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 서로 같은 경우와

점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )] 또는 점 [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는
경우를 제외하면 된다.

[eqn: a=a prime +1], [eqn: b=b prime +1], [eqn: c=c prime +1], [eqn: d=d` prime +1]이라
하면

[eqn: a+b+c+d=12]를 만족시키는 자연수 해의 개수는

[eqn: a prime +b prime +c prime +d` prime =8]을 만족시키는 음이 아닌
정수해의 개수와 같으므로

[eqn: {}_{4} rm H _{8} = _{11} C _{3} =165]

(ⅰ) 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 같은 경우
[eqn: a=c], [eqn: b=d]이므로 [eqn: a+b=6]이고
순서쌍의 개수는 [eqn: {}_{2} rm H _{4} =5]
즉, 순서쌍은 [eqn: LEFT ( `1,``5,``1,``5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )],
[eqn: LEFT ( `3,``3,``3,``3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``2,``4,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `5,``1,``5,``1 RIGHT )]의
[eqn: 5]가지이다.

(ⅱ) 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
[eqn: b=2a]이므로 [eqn: 3a+c+d=12]
[eqn: a=1]인 경우 [eqn: c+d=9]의 자연수 해의 개수는
[eqn: rm ` _{2} H _{7} =8]
[eqn: a=2]인 경우 [eqn: c+d=6]의 자연수 해의 개수는
[eqn: rm ` _{2} H _{4} =5]
[eqn: a=3]인 경우 [eqn: c+d=3]의 자연수 해의 개수는
[eqn: rm ` _{2} H _{1} =2]
따라서 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때의
순서쌍의 개수 [eqn: 8+5+2=15]에서
(ⅰ)과 중복되는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )]를 제외한
순서쌍의 개수는 [eqn: 14]이다.

(ⅲ) 점 [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
(ⅱ)와 같이 순서쌍의 개수는 [eqn: 14]이다.

(ⅳ) 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 모두
직선 [eqn: y=2x] 위에 있는 경우
[eqn: 3a+3c=12]이므로 [eqn: a+c=4]
따라서 두 점 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )], [eqn: LEFT ( `c,``d RIGHT )]가 모두
직선 [eqn: y=2x] 위에 있을 때의 순서쌍의 개수
[eqn: {}_{2} rmH _{2} =3]에서
(ⅰ)과 중복되는 순서쌍 [eqn: LEFT ( `2,``4,``2,``4 RIGHT )]를 제외한
순서쌍의 개수는 [eqn: 2]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 구하는 순서쌍의
개수는 [eqn: 165-5- LEFT ( 14+14-2 RIGHT ) =134]

22. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

[eqn: lim _{n`->`inf} {` LEFT ( a _{n} +2b _{n} RIGHT )}][eqn: = lim _{n`->`inf} {`a _{n}} +2 lim _{n`->`inf} {`b _{n}}]
[eqn: =2+2 TIMES 1=4]

23. [출제의도] 급수의 뜻 이해하기

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } {2} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) LEFT ( n+2 RIGHT )}][eqn: =2 sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT )]
[eqn: =2 lim _{n`-> ` INF } {sum _{k=1} ^{n}} LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )]
[eqn: =2 lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT )}][eqn: =1]

24. [출제의도] 등비중항 이해하기

세 수 [eqn: a ^{2}], [eqn: 12], [eqn: b ^{2}]이 이 순서대로
등비수열을 이루므로

[eqn: 12 ^{2} =a ^{2} b ^{2} =(ab) ^{2}]

[eqn: a], [eqn: b]는 양수이므로 [eqn: a TIMES b=12]

25. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: LEFT ( x+2y RIGHT ) ^{4}]의 전개식의 일반항은
[eqn: {}_{4} rm C _{it r rm} it x ^{r} LEFT ( 2y RIGHT ) ^{4-r} = _{4} rm C _{it r rm} 2 ^{4- it r rm} it x ^{r} y ^{4-r}]이고
[eqn: x ^{2} y ^{2}]인 항은 [eqn: r=2]인 경우이다.
따라서 [eqn: x ^{2} y ^{2}]의 계수는 [eqn: {}_{4} rm C _{2} TIMES 2 ^{2} =24]

26. [출제의도] 합성함수의 값 추론하기

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( -2 RIGHT ) = it -2+a]

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( a RIGHT )]

(ⅰ) [eqn: a<2]일 때
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =a-2]이므로
[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) + LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) = it -2+a+a-2=10]에서
[eqn: a=7]이므로 조건에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: a GEQ 2]일 때
[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =a ^{2}]이므로
[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) + LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 0 RIGHT ) =it-2+a+a ^{2} =10]에서
[eqn: a=it-4] 또는 [eqn: a=3]
[eqn: a GEQ 2]이므로 [eqn: a=3]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a=3]

27. [출제의도] 지수법칙을 활용하여 문제해결하기

[eqn: LEFT ( sqrt {3 ^{n}} RIGHT ) ^{{1} over {2}} = LEFT ( 3 ^{{n} over {2}} RIGHT ) ^{{1} over {2}} =3 ^{{n} over {4}}], [eqn: root {n} of {3 ^{100}} =3 ^{{100} over {n}}]

[eqn: 3 ^{{n} over {4}}], [eqn: 3 ^{{100} over {n}}]이 모두 자연수가 되도록 하는
[eqn: n][eqn: LEFT ( n GEQ2 RIGHT )]은 [eqn: 4]의 배수이고 [eqn: 100]의 양의 약수이다.

따라서 구하는 모든 [eqn: n]의 값의 합은
[eqn: 4+20+100=124]

28. [출제의도] 등차수열을 활용하여 추론하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면

(가)에서

[eqn: a _{1} + LEFT ( a _{1} +d RIGHT ) + LEFT ( a _{1} +2d RIGHT ) =159]이므로

[eqn: a _{1} +d=53]	[eqn: CDOTS cdots㉠]

(나)에서

[eqn: LEFT ( a _{m} -2d RIGHT ) + LEFT ( a _{m} -d RIGHT ) +a _{m} =96]이므로

[eqn: a _{m} -d=32]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a _{1} +a _{m} =85]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = {m} over {2} LEFT ( a _{1} +a _{m} RIGHT ) = {m} over {2} TIMES 85=425]이고
[eqn: m=10]이다.

또한 [eqn: ㉠], [eqn: ㉡]에서 [eqn: a _{1} =56], [eqn: d=it-3]이므로
[eqn: a _{n} =it-3n+59]

따라서 [eqn: a _{11} =it-33+59=26]

29. [출제의도] 이항정리를 활용하여 경우의 수 추론하기

[eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) =k]([eqn: 3 LEQ k LEQ 10], [eqn: k]는 자연수)인 집합 [eqn: S _{`1}]의
개수는 전체집합 [eqn: U`]의 원소 [eqn: 10]개 중 서로 다른
[eqn: k]개를 선택하는 조합의 수와 같으므로 [eqn: {}_{10} rmC _{itk}]이다.

또한 [eqn: S _{`1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]이므로 집합 [eqn: S _{`1}]에 속하지 않는
원소는 세 집합 [eqn: S _{`2} -S _{`1}], [eqn: S _{`3} -S _{`2}], [eqn: U-S _{`3}] 중
어느 한 집합에 속해야 한다.

집합 [eqn: S _{`1}]에 속하지 않는 [eqn: LEFT ( 10-k RIGHT )]개의 원소가
세 집합 [eqn: S _{`2} -S _{`1}], [eqn: S _{`3} -S _{`2}], [eqn: U-S _{`3}] 중
어느 한 집합의 원소가 되도록 정하는 경우의 수는
서로 다른 세 개에서 중복을 허락하여 [eqn: LEFT ( 10-k RIGHT )]개를
선택하는 중복순열의 수 [eqn: {}_{3} rm SMALLPROD _{10- it k rm} =3 ^{10- it k rm}]과 같다.

그러므로 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) =k]일 때 집합 [eqn: S _{`1}], [eqn: S _{`2}], [eqn: S _{`3}]의
순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} ,``S _{`3} RIGHT )]의 개수는 [eqn: {}_{10} rm C _{it k rm} TIMES][eqn: LEFT . {BOX{``````3 ^{10-k} ``````}} RIGHT .]이다.

따라서 [eqn: n LEFT ( S _{`1} RIGHT ) GEQ 3], [eqn: S _{`1} SUBSET S _{`2} SUBSET S _{`3}]을 만족시키는

순서쌍 [eqn: LEFT ( `S _{`1} ,``S _{`2} ,``S _{`3} RIGHT )]의 개수는 이항정리에 의하여

[eqn: sum _{k=3} ^{10} ` LEFT ( {}_{10} rm C _{it k rm} TIMES {BOX{``````3 ^{10- it k rm} ``````}} ` RIGHT )][eqn: =` sum _{it k=3 rm} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES 1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm}]
[eqn: = sum _{k=0} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES ``1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm} ````- sum _{it k=0 rm} ^{2} rm _{10} C _{it k rm} ` TIMES `1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm}]
[eqn: = LEFT ( 1+3 RIGHT ) ^{10} - LEFT ( 3 ^{10} +10 TIMES 3 ^{9} +45 TIMES 3 ^{8} RIGHT )]

[eqn: =4 ^{10} -` {BOX{``````84``````}} `TIMES 3 ^{8}]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3 ^{10-k}]이고 [eqn: a=84]이므로

[eqn: a+f LEFT ( 8 RIGHT ) =84+9=93]

<참고>

[eqn: sum _{k=0} ^{10} ` _{10} rm C _{it k rm} TIMES ``1 ^{it k rm} TIMES 3 ^{10- it k rm} `]
[eqn: = _{10} rm C _{0} TIMES 1 ^{0} TIMES 3 ^{10} + _{10} rm C _{1} TIMES 1 ^{1} TIMES 3 ^{9} +` CDOTS `+ _{10} rm C _{10} TIMES 1 ^{10} TIMES 3 ^{0}]

[eqn: = LEFT ( 1+3 RIGHT ) ^{10}]

30. [출제의도] 함수의 연속을 활용하여 문제해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {-ax-b+1} over {ax+b} = {1} over {ax+b} -1]

함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) <k]일 때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프를
[eqn: x]축에 대하여 대칭이동하고
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2k]만큼 평행이동한 그래프이고,
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k]일 때 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 같다.

[eqn: g` LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2k-f LEFT ( x RIGHT ) _{{}_{`}} ```````&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <k RIGHT ) _{{}_{`}}#``f LEFT ( x RIGHT ) ^{`} ```````&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ k RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]이므로

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}] 또는 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}]이다.

(가)에서 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]이므로

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = {1} over {2}]이라 하면
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | {1} over {ax+b} -1 RIGHT |} = it 1 != {1} over {2}]이므로 조건에 맞지 않는다.

한편 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k-f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |}]라 하면 [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |} = lim _{x` -> ` INF } {` LEFT | 2k- {1} over {ax+b} +1 RIGHT |} = LEFT | 2k+1 RIGHT | = {1} over {2}]
이므로 [eqn: k=it- {1} over {4}] 또는 [eqn: k= it - {3} over {4}]이다.

(나)에서 [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =1]이고, 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 한 점근선 [eqn: x= it - {b} over {a}]는 [eqn: ab>0]이므로 [eqn: - {b} over {a} <0]이다.

(ⅰ) [eqn: k= it - {1} over {4}], [eqn: a<0]일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y= {1} over {4} `]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: y= {1} over {2} `]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-k]는 만나지 않으므로 조건 (다)에 맞지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k=it- {1} over {4}], [eqn: a>0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: y= {1} over {4}]

[eqn: 1]

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와
직선 [eqn: y=it-k]는 서로 다른 세 점에서 만나므로 조건 (다)에 맞지 않는다.

(ⅲ) [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a<0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y= {3} over {4}]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: 1]

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와
직선 [eqn: y=it-k]는 한 점에서 만나므로 조건 (다)에
맞지 않는다.

(ⅳ) [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a>0] 일 때
함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: rm {1} over {28}]

[eqn: alpha]

[eqn: y= {3} over {4}]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: 1]

따라서 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의 그래프와
직선 [eqn: y=it-k]는 서로 다른 두 점에서만 만나므로 조건 (다)를 만족시킨다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의하여 [eqn: k=it- {3} over {4}], [eqn: a>0]

이때 [eqn: LEFT | g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: b= {1} over {2}]이고

[eqn: LEFT | g LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) RIGHT | =f LEFT ( {1} over {28} RIGHT ) =it-k= {3} over {4}]에서 [eqn: a=2]이다.

두 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |], [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 [eqn: x]절편이
같으므로 [eqn: 0= {1} over {2x+ {1} over {2}} -1]에서 [eqn: x= {1} over {4}]이다.

또한 [eqn: LEFT | g LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT | = {3} over {4}]에서 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = it - {3} over {4}]이고 [eqn: alpha= {7} over {4}]

직선 [eqn: y=m LEFT ( x-4alpha RIGHT ) + {3} over {4}]이 지나는 점 [eqn: LEFT ( `4alpha,`` {3} over {4} RIGHT )]
즉, [eqn: LEFT ( `7,`` {3} over {4} RIGHT )]을 점 [eqn: RMA]라 하고 [eqn: RMB LEFT ( `0,``1 RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( ` {1} over {4} ,``0 RIGHT )]이라
하면 두 직선 [eqn: rmAB], [eqn: RMAC]와 함수 [eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의
그래프는 그림과 같다.

[eqn: m=0]

[eqn: m= {1} over {9}]

[eqn: rmB]

[eqn: m=it- {1} over {28}]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y= {3} over {4}]

[eqn: y= LEFT | g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]

[eqn: y= {1} over {2}]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

두 직선 [eqn: rm AB], [eqn: rm AC]의 기울기는 각각 [eqn: - {1} over {28}], [eqn: {1} over {9}]

이고 함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]은 다음과 같다.

[eqn: h LEFT ( m RIGHT ) = {cases{``1&~ LEFT ( m< it - {1} over {28} RIGHT )#``2&~ LEFT ( - {1} over {28} LEQ m LEQ 0 RIGHT )#``3&~ LEFT ( 0<m< {1} over {9} RIGHT )#``2&~ LEFT ( m= {1} over {9} RIGHT )#``1&~ LEFT ( m> {1} over {9} RIGHT )}}]

함수 [eqn: h LEFT ( m RIGHT )]이 불연속이 되는 실수 [eqn: m]의 값은

[eqn: m=it- {1} over {28}], [eqn: m=0], [eqn: m= {1} over {9}]이므로

모든 실수 [eqn: m]의 값의 합

[eqn: M`=it- {1} over {28} +0+ {1} over {9} = {19} over {252}]이다.

따라서 [eqn: 252M=19]