수학 영역

가형 정답

1	②	2	③	3	⑤	4	②	5	③
6	③	7	⑤	8	①	9	②	10	③
11	④	12	③	13	①	14	②	15	②
16	④	17	④	18	①	19	⑤	20	④
21	⑤	22	[eqn: 2]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 13]	25	[eqn: 3]
26	[eqn: 72]	27	[eqn: 512]	28	[eqn: 71]	29	[eqn: 18]	30	[eqn: 11]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 2 ^{5} TIMES 2 ^{-3} =2 ^{5-3} =2 ^{2} =4]

2. [출제의도] 집합의 원소의 개수 구하기

[eqn: A SMALLINTER B= LEFT { 2,```4,```6 RIGHT }] 이므로 [eqn: n LEFT ( A SMALLINTER B RIGHT ) =3]

3. [출제의도] 등비수열의 항 구하기

첫째항을 [eqn: a]라 하면

[eqn: a _{2} =2a=6]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: a _{4} =3 TIMES 2 ^{3} =24]

4. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) (1)=g LEFT ( f(1) RIGHT ) =g LEFT ( 5 RIGHT ) =2]

5. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{itx` -> -1-} {f LEFT ( x RIGHT )} =2`], [eqn: lim _{itx `-> `0+} {f LEFT ( x RIGHT )} =`-1`]이므로

[eqn: lim _{itx` -> -1-} {f LEFT ( x RIGHT )} `+` lim _{itx` -> `0+} {f LEFT ( x RIGHT )} =2-1=1]

6. [출제의도] 수열의 합 이해하기

[eqn: sum _{itk=1} ^{6} a _{itk} =66], [eqn: sum _{itk=1} ^{5} a _{itk} =50`]이므로

[eqn: a _{6} =66-50=16`]

7. [출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=2`]에서 연속이므로

[eqn: lim _{itx` -> `2-} {f(x)= lim _{itx` -> 2+} {f(x)}} =f LEFT ( 2 RIGHT )]

[eqn: 8+2a=8+b], [eqn: b=2a]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=2`]에서 미분가능하므로

ⅰ)[eqn: lim _{itx` -> `2-} {{f(x)-f(2)} over {x-2}}]

[eqn: = lim _{itx` -> `2-} {{2x ^{2} +ax- LEFT ( 8+b RIGHT )} over {x-2}}]

[eqn: = lim _{itx` -> `2-} {{2x ^{2} +ax- LEFT ( 8+2a RIGHT )} over {x-2}}][eqn: =8+a]

ⅱ)[eqn: lim _{x` -> `2+} {{f(x)-f(2)} over {x-2}}]
[eqn: = lim _{x` -> `2+} {{4x+b- LEFT ( 8+b RIGHT )} over {x-2}} =4]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: 8+a=4], [eqn: a=`-4]

따라서 [eqn: b=`-8], [eqn: ab=32]

8. [출제의도] 유리함수의 성질 이해하기

[eqn: f(x)= {3} over {x-1} -2`]이라 하면

[eqn: x`]

[eqn: y]

[eqn: b]

[eqn: -1]

[eqn: a]

[eqn: 2]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 1]

[eqn: -2]

[eqn: f(2)=b=1], [eqn: f(a)= {3} over {a-1} -2=`-1`]

[eqn: a=4], [eqn: b=1`]따라서 [eqn: a+b=5]

9. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{itx`->`3} {LEFT ( x ^{2} -9 RIGHT )} =0`]이므로 [eqn: lim _{itx` -> `3} {LEFT ( 2x ^{2} +ax+b` RIGHT )} =0]

[eqn: 18+3a+b=0]

[eqn: b=`-3 LEFT ( a+6 RIGHT )]

[eqn: lim _{itx`->`3} {{2x ^{2} +ax-3 LEFT ( a+6 RIGHT )} over {LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{itx` -> `3} {{LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( 2x+a+6 RIGHT )} over {LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x` -> `3} {{2x+a+6} over {x+3}}]

[eqn: = {12+a} over {6} =3]

[eqn: a=`6`], [eqn: b=`-36]

따라서 [eqn: a+b=`-30]

10. [출제의도] 평균변화율 이해하기

[eqn: {0- LEFT ( -8 RIGHT )} over {0- LEFT ( -2 RIGHT )} =][eqn: {a(a+1)(a-2)-0} over {a-0}]

[eqn: a>0`]이므로

[eqn: LEFT . LEFT ( a+1 RIGHT ) left(a-2 right) =4]

[eqn: LEFT ( a+2 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) =0]
따라서 [eqn: a=3]

11. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

급수 [eqn: sum _{itn=1} ^{INF } LEFT ( {a _{itn}} over {n} +1 RIGHT )]이 수렴하므로 [eqn: lim _{itn -> INF } {{a _{itn}} over {n}} =`-1]

따라서 [eqn: lim _{itn -> INF } {{na _{itn} +3n ^{2}} over {n ^{2} +1}} = lim _{itn -> INF } {{{a _{itn}} over {n} +3} over {1+ {1} over {n ^{2}}} =2}]

12. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: g ^{-1} LEFT ( k RIGHT ) =a]라 하면

[eqn: LEFT ( `f CIRC g` ^{-1} RIGHT ) LEFT ( k RIGHT ) =f(a)=4a-5=7], [eqn: a=3]

[eqn: g ^{-1} LEFT ( k RIGHT ) `=`3]이므로 [eqn: k=g LEFT ( 3 RIGHT ) =10]

13. [출제의도] 미분계수의 정의를 활용하여
수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f` prime (1)= lim _{ith` -> 0} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: = lim _{ith` -> 0} {{h ^{3} +13h ^{2} +26h} over {h}}][eqn: = lim _{ith` -> 0} {LEFT ( `h ^{2} +13h+26` RIGHT )} =26]

14. [출제의도] 정적분을 활용하여 수학 내적
문제 해결하기

[eqn: v(t)=`-3 LEFT ( t+2 RIGHT ) LEFT ( t-2 RIGHT )]이고 [eqn: v LEFT ( 2 RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | 12-3t ^{2} RIGHT | `dt`}]
[eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT . LEFT ( 12-3t ^{2} ` RIGHT ) `dt RIGHT .} + int _{2} ^{4} {LEFT ( -12+3t ^{2} RIGHT ) `dt`}]

[eqn: = LEFT [ 12t-t _{{}^{}}^{3} pile{`#`} RIGHT ] _{0}^{2} + LEFT [ -12t+t _{{}^{}}^{3} pile{`#`} RIGHT ] _{2}^{4}]

[eqn: =][eqn: 16+32=][eqn: 48]

15. [출제의도] 수열의 합 이해하기

공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: sum _{it k=1} ^{15} a _{it k} = {15 LEFT ( 2a _{1} +14d RIGHT )} over {2} =165]

이므로 [eqn: a _{1} +7d=11]	[eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: sum _{itk=1} ^{21} (-1) ^{itk} a _{itk}][eqn: =d+d+d+ CDOTS +d-a _{21}][eqn: =10d-a _{21}][eqn: =`-a _{1} -10d=`-20]

이므로 [eqn: a _{1} +10d=20]	[eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡ 에 의하여 [eqn: a _{1} =`-10], [eqn: d=3`]

따라서 [eqn: a _{21} =`-10+60=50]

16. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{itx` -> ` INF } {LEFT { sqrt {f LEFT ( -x RIGHT )} - sqrt {f LEFT ( x RIGHT )} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{itx` -> ` INF } {LEFT { sqrt {a LEFT ( -x-1 RIGHT ) ^{2} +1} - sqrt {a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1} ` RIGHT }}]

[eqn: = lim _{itx` -> ` INF } {{4ax} over {sqrt {a LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +1} + sqrt {a LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +1}}}]

[eqn: = {4a} over {2 sqrt {a}} =6]

따라서 [eqn: a=9]

17. [출제의도] 로그의 성질을 활용하여 수학
내적 문제 해결하기

수열 [eqn: left{ a _{itn} right]의 일반항 [eqn: a _{it n} =3r ^{it n-1} `][eqn: LEFT (it r>1 RIGHT ) `]

[eqn: b _{itn} `][eqn: = LEFT ( log _{`a _{1}} a _{2} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{2}} a _{3} RIGHT ) ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{3}} a _{4} RIGHT ) ` TIMES `]

[eqn: ` CDOTS ` TIMES ` LEFT ( log _{`a _{itn}} a _{itn+1} RIGHT ) `]

[eqn: = {log`a _{2}} over {log`a _{1}} TIMES {log`a _{3}} over {log`a _{2}} TIMES ` {log`a _{4}} over {log`a _{3}} TIMES ` CDOTS ` TIMES {log`a _{itn+1}} over {log`a _{itn}}][eqn: =log _{a _{1}} a _{itn+1} `=log _{`3} ` LEFT ( 3r ^{itn} RIGHT ) `=1+n`log _{3} `r]

[eqn: sum _{itk=1} ^{10} b _{itk}][eqn: =10+ LEFT ( log _{3} r RIGHT ) TIMES sum _{itk=1} ^{10} k`]

[eqn: =10+55log _{`3} r=120]

따라서 [eqn: log _{`3} `r=2`]

18. [출제의도] 정적분의 정의를 활용하여 추론하기

[eqn: S _{n} =][eqn: {1 ^{4} +2 ^{4} +3 ^{4} +` CDOTS `+n ^{4}} over {LEFT ( 1+2+3+` CDOTS `+n ^{`} RIGHT ) LEFT ( 1 ^{2} +2 ^{2} +3 ^{2} +` CDOTS `+n ^{2} RIGHT )}]

이라 하면

[eqn: S _{n} `][eqn: = {{BOX{{}^{``} ``12`` _{``}^{``}}} ` TIMES sum _{k=1} ^{n} k ^{4}} over {n ^{2} ` LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 2n+1 RIGHT )}]
[eqn: = {BOX{{}^{``} ``12`` _{``}^{``}}} ` TIMES {{BOX{````n ^{3} _{`} ` ^{````}}}} over {LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} ` LEFT ( 2n+1 RIGHT )} TIMES sum _{k=1} ^{n} ` {k ^{4}} over {n ^{5}}]

이다. 따라서

[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}}][eqn: =6` lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT { LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} {1} over {n} RIGHT }}]

이므로 정적분의 정의에 의하여
[eqn: lim _{n` -> INF } {S _{n}}][eqn: =6 int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `} dx= {BOX{```` {6} over {5} _{`} ` ^{````}}}]

이다.

[eqn: p=12], [eqn: g(n)=n ^{3}], [eqn: q= {6} over {5} `]

따라서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) + {p} over {q} =18`]

19. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 수학
내적 문제 해결하기

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm P _{itn}]

[eqn: rm Q _{itn}]

[eqn: C _{1}]

[eqn: C _{2}]

원 [eqn: C_1], [eqn: C _{2} `]의 중심을 각각 [eqn: rm O _{1}], [eqn: rm O _{2}]라 하자.
점 [eqn: rm O _{2}]에서 선분 [eqn: rm O _{1} P _{itn}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H _{itn}], 점 [eqn: rm P _{itn}]에서 선분 [eqn: rm O _{1} O _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm M _{itn}]이라 하자.

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rm M _{itn}]

[eqn: rm H _{itn}]

[eqn: rm P _{itn}]

[eqn: n]

[eqn: n]

삼각형 [eqn: rm O _{2} P _{itn} O _{1} `]이 이등변삼각형이므로

[eqn: {bar{rm P _{itn} H _{itn} it}} = {n-1} over {2}]

직각삼각형 [eqn: rm P _{itn} H _{itn} O _{it2}]에서

[eqn: {bar{rm O _{2} H _{itn} it}}][eqn: = sqrt {n ^{2} - LEFT ( {n-1} over {2} RIGHT ) ^{2}}][eqn: = {sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2}]

삼각형 [eqn: rm O _{2} P _{itn} O _{1}]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm P _{itn} O _{1} it}} TIMES {bar{rm O _{2} H _{itn} it}}][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm O _{1} O _{2} it}} TIMES {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES (n-1) TIMES {sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2}][eqn: = {1} over {2} TIMES n TIMES {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]

[eqn: {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}} = {(n-1) sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {2n}]

[eqn: {bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}} =2 {bar{rm P _{itn} M _{itn} it}}]이므로
[eqn: lim _{itn -> INF } {{{bar{rm P _{itn} Q _{itn} it}}} over {n}}]

[eqn: = lim _{itn -> INF } {{(n-1) sqrt {3n ^{2} +2n-1}} over {n ^{2}}}][eqn: = sqrt {3}]

20. [출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

그림 [eqn: R _{1} `]에서

[eqn: rm A]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm H _{1}]

[eqn: rm O _{2}]

[eqn: rm O _{1}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm ANGLE B _{1} AC _{1} =30 DEG]이므로

직각삼각형 [eqn: rm C _{1} AB _{1}]에서 [eqn: BAR{RMAC _{1} }`=4 sqrt {3}]

직각삼각형 [eqn: rm C _{1} AB _{2}]에서 [eqn: {bar{rm AB _{2} it}} =6]

선분 [eqn: rm AB _{1}]의 중점을 [eqn: RMO _{1}], 선분 [eqn: rm AB _{2}]의 중점을 [eqn: rm O _{2}], 선분 [eqn: rm AC _{1}]의 중점을 [eqn: rm H _{1}]이라 하면

[eqn: {bar{rm O _{1} H _{1} it}} =2], [eqn: {bar{rm H _{1} O _{2} it}} = sqrt {3}]

[eqn: S _{1} =][eqn: (]부채꼴 [eqn: rm O _{1} B _{1} C _{1} `+]삼각형 [eqn: rm O _{1} C _{1} A)]

[eqn: -(]부채꼴 [eqn: rm H _{1} `B _{2} C _{1} +]삼각형 [eqn: rm H _{1} AB _{2} `)]
[eqn: =][eqn: LEFT ( 16 pi TIMES {60 DEG } over {360 DEG } + {1} over {2} TIMES 4 sqrt {3} TIMES 2 RIGHT )]
[eqn: - LEFT ( 12 pi TIMES {60 DEG } over {360 DEG } + {1} over {2} TIMES 6 TIMES sqrt {3} RIGHT )]

[eqn: =16 LEFT ( {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {4} RIGHT ) -12 LEFT ( {pi } over {6} + {sqrt {3}} over {4} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( 2pi +3 sqrt {3} RIGHT )]

다음은 그림 [eqn: R _{itn} `]의 일부이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B _{itn}]

[eqn: rm C _{itn}]

[eqn: rm B _{itn+1}]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm O _{itn+1}]

[eqn: rm O _{itn}]

[eqn: r _{itn+1}]

[eqn: r _{itn}]

[eqn: {bar{rm AB _{itn} it}}]을 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r_{itn}], [eqn: bar{rm AB it rm _{itn+1} it}]을 지름으로 하는 반원의 반지름의 길이를 [eqn: r _{itn+1}]이라 하자.

[eqn: bar{rm AB it _{itn}} =2r _{itn}], [eqn: ANGLE rm B _{itn} AC it rm _{itn} =30 DEG]이므로

직각삼각형 [eqn: rm C _{itn} AB _{itn}]에서 [eqn: bar{rm AC it rm _{itn} it} = sqrt {3} r _{itn}]

[eqn: ANGLE rm B _{itn+1} AC _{itn} =30 DEG]이므로

직각삼각형 [eqn: rm C it _{itn} rm AB _{itn+1}]에서 [eqn: bar{rm AB it rm _{itn+1} it} = {3} over {2} r _{itn}]

따라서 [eqn: r _{itn+1} = {3} over {4} r _{itn}]

그림 [eqn: R _{itn} `]에서 새롭게 색칠되는 도형의 넓이를 [eqn: T _{itn}]이라 하면 [eqn: T _{itn+1} = {9} over {16} T _{itn}]이고 [eqn: S _{itn} = sum _{itk=1} ^{itn} T _{itn}]

[eqn: lim _{itn` -> ` INF } {S _{itn} `} = lim _{itn` -> ` INF } {sum _{itk=1} ^{itn} T _{itk} =} {{1} over {3} LEFT ( 2 pi +3 sqrt {3} RIGHT )} over {1- {9} over {16}}][eqn: = {16} over {21} LEFT ( 2 pi +3 sqrt {3} ` RIGHT )]

따라서 [eqn: p+q=21+16=37]

21. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f prime LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -4tx+3t ^{2}][eqn: = LEFT ( x-t RIGHT ) LEFT ( x-3t RIGHT )] (참)

ㄴ. [eqn: f LEFT ( x RIGHT )][eqn: = int _{3t} ^{x} {LEFT ( s ^{2} -4ts+3t ^{2} RIGHT ) `ds}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {3} s ^{3} -2ts ^{2} +3t ^{2} s RIGHT ] _{3t}^{x}][eqn: = {1} over {3} x ^{3} -2tx ^{2} +3t ^{2} x]
[eqn: = {1} over {3} x LEFT ( x-3t RIGHT ) ^{2}]

[eqn: f` prime LEFT ( t RIGHT ) =0`], [eqn: f(t)= {4} over {3} t ^{3}]이므로
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) - {4} over {3} t ^{3} = {1} over {3} x LEFT ( x ^{2} -6tx+9t ^{2} RIGHT ) - {4} over {3} t ^{3}`]

[eqn: = {1} over {3} LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-4t RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( 4t RIGHT ) = {4} over {3} t ^{3}]

ⅰ) [eqn: t>2]일 때

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: t]

[eqn: 2]

[eqn: {4} over {3} t ^{3}]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 4t]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f LEFT ( 2 RIGHT ) = {2} over {3} (3t-2) ^{2}]

ⅱ) [eqn: t` LEQ `2<4t] 즉, [eqn: {1} over {2} <t` LEQ `2]일 때

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: t]

[eqn: 2]

[eqn: {4} over {3} t ^{3}]

[eqn: 4t]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=t`]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f LEFT ( t RIGHT ) = {4} over {3} t ^{3}]

ⅲ) [eqn: 4t` LEQ `2] 즉, [eqn: 0<`t` LEQ ` {1} over {2}]일 때

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: t]

[eqn: 2]

[eqn: {4} over {3} t ^{3}]

[eqn: ``4t]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=2]에서 최댓값을 가지므로
[eqn: g(t)=f(2)= {2} over {3} (3t-2) ^{2}]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여

[eqn: t>2]일 때, [eqn: g(t)= {2} over {3} (3t-2) ^{2}] (참)

ㄷ. 함수

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) =]	[eqn: {cases{`&eqalign{`# `}#eqalign{`# ` pile{`#` pile{``#`}}}&`}}]	[eqn: {2} over {3} (3t-2) ^{2}]	[eqn: LEFT ( 0<t` LEQ ` {1} over {2} RIGHT )]
		[eqn: {4} over {3} t ^{3}]	[eqn: LEFT ( {1} over {2} <t` LEQ `2 RIGHT )]
		[eqn: {2} over {3} (3t-2) ^{2}]	[eqn: LEFT ( t`>2 pile{`#`} RIGHT )]

의 미분가능성을 조사하면

ⅰ) [eqn: t= {1} over {2}]일 때,

[eqn: lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} -} {{(2t-1)(6t-5)} over {2t-1}}][eqn: =`-2]

[eqn: lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{g(t)-g LEFT ( {1} over {2} RIGHT )} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{{4} over {3} t ^{3} - {1} over {6}} over {t- {1} over {2}}}][eqn: = lim _{itt` -> ` {1} over {2} +} {{LEFT ( 2t-1 ^{`} RIGHT ) LEFT ( 4t ^{2} +2t+1 RIGHT )} over {3(2t-1)}}][eqn: =1]

따라서 [eqn: t= {1} over {2}]에서 미분가능하지 않다.

ⅱ) [eqn: t=2`]일 때,

[eqn: lim _{itt` -> `2-} {{g(t)-g(2)} over {t-2}}][eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{{4} over {3} t ^{3} - {32} over {3}} over {t-2}}]

[eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{{4} over {3} (t ^{3} -8)} over {t-2}}][eqn: `= lim _{itt` -> `2-} {{4(t ^{2} +2t+4)} over {3}} =16]

[eqn: lim _{itt` -> `2+} {{g(t)-g(2)} over {t-2}}][eqn: = lim _{itt` -> `2+} {{{2} over {3} (3t-2) ^{2} - {32} over {3}} over {t-2}}][eqn: = lim _{itt` -> `2+} {{2(t-2)(3t+2)} over {t-2}} =16`]

따라서 [eqn: t=2]에서 미분가능하다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: t>0]에서 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]는
[eqn: t= {1} over {2}]에서만 미분가능하지 않다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{5} 50+log _{5} {1} over {2} =log _{5} 25=2]

23. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: B= LEFT { 1,```2,```4,```8 RIGHT }]

[eqn: a=1]일 때, [eqn: A= LEFT { 1,```2 RIGHT }]

[eqn: a=2]일 때, [eqn: A= LEFT { 1,```4 RIGHT }]

[eqn: a=4]일 때, [eqn: A= LEFT { 1,```8 RIGHT }]

[eqn: A SUBSET B`]를 만족시키는 [eqn: a`]는 [eqn: 1,```2,```4]

따라서 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 7]

24. [출제의도] 부정적분을 활용하여 함숫값 구하기

[eqn: f(x)=x ^{3} +2x+C] ([eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f(0)=C=1]이므로 [eqn: f(x)=x ^{3} +2x+1]

따라서 [eqn: f(2)=13`]

25. [출제의도] 충분조건 이해하기

두 조건 [eqn: p,```q]의 진리집합을 각각 [eqn: P,``Q`]라 하면

[eqn: P= LEFT { x`|`1 LEQ x LEQ 3 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { x`|`x LEQ a RIGHT }]

[eqn: P SUBSET Q`]이므로 [eqn: a GEQ 3]

따라서 실수 [eqn: a]의 최솟값은 [eqn: 3]

26. [출제의도] 등비수열의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x`]에 대한 다항식 [eqn: x ^{3} -ax+b`]를 [eqn: x-1`]로 나눈
나머지가 [eqn: 57`]이므로

나머지 정리에 의하여

[eqn: 1-a+b=57`]
[eqn: b=`a+56]	[eqn: CDOTS `]㉠

[eqn: 1`], [eqn: a`], [eqn: b`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = b`]	[eqn: CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에 의하여

[eqn: a ^{2} =`a+56]

[eqn: a ^{2} -a-56= LEFT ( a+7 RIGHT ) LEFT ( a-8 RIGHT ) =0`]

[eqn: a=`-7`], [eqn: 8]

공비 [eqn: a`]가 양수이므로 [eqn: a=8`], [eqn: b=64`]

따라서 [eqn: a+b=72]

27. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 수학
내적 문제 해결하기

점 [eqn: RMC]는 선분 [eqn: rm AB`]의 중점이므로 [eqn: rm C LEFT ( {3} over {2}it t,~ {sqrt {2}} over {2}it t RIGHT ) `]

직선 [eqn: rm AB`]의 기울기가 [eqn: - sqrt {2} `]이므로 점 [eqn: rmC`]를

지나고 직선 [eqn: rmAB`]에 수직인 직선을 [eqn: l`]이라 하면

직선 [eqn: l`]의 방정식은
[eqn: y= {sqrt {2}} over {2} LEFT ( x- {3} over {2} t RIGHT ) + {sqrt {2}} over {2} t`]

점 [eqn: rm D`]는 직선 [eqn: l`]과 직선 [eqn: x=2t`]의 교점이므로

점 [eqn: rm D`]의 좌표는 [eqn: rm D LEFT (it 2t,~ {3 sqrt {2}} over {4} t RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {bar{rm CD it}} = sqrt {LEFT (it 2t- {3} over {2} t RIGHT ) ^{2} + LEFT ( it{3 sqrt {2}} over {4} t- {sqrt {2}} over {2} t RIGHT ) ^{2}}]

[eqn: = {sqrt {6}} over {4} t]

[eqn: lim _{itt` -> `4} {{t ^{2} -16} over {f LEFT ( t RIGHT ) - sqrt {6}} & =`} lim _{itt` -> `4} {{t ^{2} -4 ^{2}} over {{sqrt {6}} over {4} t- sqrt {6}}}]

[eqn: = lim _{it t` -> `4} {{4 LEFT ( t-4 RIGHT ) LEFT ( t+4 RIGHT )} over {sqrt {6} LEFT ( t-4 RIGHT )}}][eqn: = lim _{it t` -> `4} {{4(t+4)} over {sqrt {6}} = {16 sqrt {6}} over {3}}]

따라서 [eqn: 3a ^{2} =512]

28. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: int _{1} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx= int _{0} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx`} - int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}}]

[eqn: = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{2} ^{4} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}} + int _{4} ^{6} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}]

[eqn: + int _{6} ^{8} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx+ int _{8} ^{10} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx- int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) `dx}}}]

[eqn: =5 TIMES 4- int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{3} -6x ^{2} +8x RIGHT ) `dx}}]

[eqn: =20- {9} over {4}][eqn: = {71} over {4}]

따라서 [eqn: 4 int _{1} ^{10} {f(x)`dx}][eqn: =71]

29. [출제의도] 무리함수의 그래프를 활용하여
추론하기

두 곡선 [eqn: y=2 sqrt {x} `], [eqn: y=`- sqrt {x} +6`]과
직선 [eqn: x=k`]로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그
경계에 포함되는 점 중 [eqn: x,``y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수는

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: x=k]

[eqn: 4]

[eqn: 7]

[eqn: 9]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

ⅰ) [eqn: 4 LEQ x< {25} over {4}]일 때, [eqn: y=4`]이므로
[eqn: 3 TIMES 1`=3`]

ⅱ) [eqn: {25} over {4} LEQ x<9`]일 때, [eqn: y=4,```5`]이므로
[eqn: 2 TIMES 2`=`4`]

ⅲ) [eqn: "9" LEQ x< {49} over {4} `]일 때, [eqn: y=3,~4,~5,~6`]이므로
[eqn: 4 TIMES 4=16]

ⅳ) [eqn: {49} over {4} LEQ x<16`]일 때, [eqn: y=3,~4,~5,~6,~7``]이므로
[eqn: 3 TIMES 5=15]

ⅴ) [eqn: 16 LEQ x< {81} over {4} `]일 때,
[eqn: y=2,~3,~4,~5,~6,~7`,~8`]이므로
[eqn: 5 TIMES 7=35]

ⅰ), ⅱ), ⅲ), ⅳ)에 의하여

[eqn: 4 LEQ x<16`]일 때, 점의 개수의 합이 [eqn: 38`]이고,
ⅴ)에 의하여

[eqn: x=16,~17,~18`]일 때, 점의 개수의 합이 [eqn: 21`]이다.
따라서 조건을 만족시키는 점의 개수가 [eqn: 59`]가
되도록 하는 자연수 [eqn: k`]의 값은 [eqn: 18`]

30. [출제의도] 미분의 성질을 활용하여 수학
내적 문제 해결하기

두 다항식 [eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: P _{2} LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -4x-26`],

[eqn: P _{2} LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) +2x ^{3} -14x ^{2} +12x+6`]이라 하면
[eqn: P _{1} (x)=`-P _{2} (x)] 즉, [eqn: P _{1} LEFT ( x RIGHT ) +P _{2} LEFT ( x RIGHT )][eqn: =0]

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =`-x ^{3} +7x ^{2} -4x+10],

[eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | = {cases{- LEFT ( x ^{3} -7x ^{2} +8x+16 RIGHT )&` LEFT ( x` LEQ `a RIGHT )#x ^{3} -7x ^{2} +8x+16&` LEFT ( x`>`a RIGHT )}}]

[eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 음수이므로

[eqn: f(x)=x ^{3} -7x ^{2} +8x+16=(x+1)(x-4) ^{2}]이고

[eqn: a=`-1]이다.

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) - LEFT ( x-k RIGHT ) ^{2}]라 하면

함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 극값이 존재해야 하므로

방정식 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =3x ^{2} -16x+ LEFT ( 8+2k RIGHT ) =0`]에서
판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: D/4=64-3 LEFT ( 8+2k RIGHT ) >0]

[eqn: k< {20} over {3}] 이므로 [eqn: k`]는 [eqn: 6]이하의 자연수이다.

ⅰ) [eqn: k=][eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 5]일 때

[eqn: h(-1)=`-(k+1) ^{2} <0]

[eqn: h(1)=18-(1-k) ^{2} >0]

[eqn: h(4)=`-(4-k) ^{2} <0]

[eqn: h(6)=28-(6-k) ^{2} >0]

사이값 정리에 의하여 삼차방정식 [eqn: h(x)=0]의
실근이 열린 구간 [eqn: (-1,```1)], [eqn: (1,```4)], [eqn: (4,```6)]에
각각 하나씩 존재한다.

ⅱ) [eqn: k=4]일 때,

[eqn: h LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} =x LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2}]
이므로 함수 [eqn: h(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 두 점에서 만난다.

ⅲ) [eqn: k=6]일 때,

극댓값 [eqn: h LEFT ( 2 RIGHT ) =`-4<0]이므로 함수 [eqn: h(x)]의
그래프가 [eqn: x]축과 한 점에서 만난다.

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 함수 [eqn: h(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 자연수 [eqn: k]의 값은 [eqn: 1,```2,```3,```5]이다.

따라서 구하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 11]