[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{3x} -1} over {2x} }]의 값은? [2점]

2018학년도 4월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: {3} over {4}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: {5} over {4}]	⑤ [eqn: {3} over {2}]

12

반지름의 길이가 [eqn: 4], 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {4}]인 부채꼴의 호의 길이는?

[2점]

① [eqn: {pi } over {4}]	② [eqn: { pi } over {2}]	③ [eqn: {3} over {4} pi]	④ [eqn: pi]	⑤ [eqn: {5} over {4} pi]

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {25} - {y ^{2}} over {4} =1]의 점근선의 방정식이 [eqn: y=kx], [eqn: y=it-kx]이다.
양수 [eqn: k]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {5}]	② [eqn: {2} over {5}]	③ [eqn: it {3} over {5}]	④ [eqn: {4} over {5}]	⑤ [eqn: 1]

닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `2,``4 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-2}]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: {1} over {32}]	② [eqn: {1} over {16}]	③ [eqn: {1} over {8}]	④ [eqn: {1} over {4}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {6}} {cos`3x`dx}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {4}]	③ [eqn: {1} over {3}]	④ [eqn: {5} over {12}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

곡선 [eqn: y=x ^{2} -2x`lnx]의 변곡점의 [eqn: x]좌표는? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: sqrt {e}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: 3]

자연수 [eqn: 5]의 분할 중 [eqn: 3] 이하의 자연수의 합으로 나타내어지는
분할의 수는? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

곡선 [eqn: x ^{3} +xy-y ^{2} =0] 위의 점 [eqn: LEFT ( `2,``4 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는?

[3점]

① [eqn: {13} over {6}]	② [eqn: {7} over {3}]	③ [eqn: {5} over {2}]	④ [eqn: {8} over {3}]	⑤ [eqn: {17} over {6}]

[eqn: 0 LEQ x<2 pi]에서 부등식 [eqn: 2sinx+1<0]의 해가 [eqn: alpha<x<beta]일 때,
[eqn: cos LEFT ( beta - alpha RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	② [eqn: - {1} over {2}]	③ [eqn: 0]

④ [eqn: {1} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt {3}} over {2}]

[eqn: LEFT ( {x} over {2} + {a} over {x} RIGHT ) ^{6}]의 전개식에서 [eqn: x ^{2}]의 계수가 [eqn: 15]일 때, 양수 [eqn: a]의 값은?

[3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x} over {2} +2sinx]에 대하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( f CIRC f RIGHT ) LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: g' LEFT ( pi RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {7} over {8}]	③ [eqn: - {3} over {4}]	④ [eqn: - {5} over {8}]	⑤ [eqn: - {1} over {2}]

좌표평면 위에 두 점 [eqn: rmF LEFT ( it`c,``0 RIGHT )], [eqn: rm F' LEFT ( it -c,``0 RIGHT )]([eqn: c>0])을 초점으로
하고 점 [eqn: rmA LEFT ( `0,``1 RIGHT )]을 지나는 타원 [eqn: C`]가 있다. 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmF']을 지나는
직선이 타원 [eqn: C`]와 만나는 점 중 점 [eqn: rmA]가 아닌 점을 [eqn: rmB]라 하자.
삼각형 [eqn: rmABF]의 둘레의 길이가 [eqn: 16]일 때, 선분 [eqn: rmFF']의 길이는?

[3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 4 sqrt {3}]	③ [eqn: 2 sqrt {15}]	④ [eqn: 6 sqrt {2}]	⑤ [eqn: 2 sqrt {21}]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 도함수 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {cases{```2x+3 _{{}_{{}_{}}} ````&LEFT ( x<1 RIGHT ) _{{}_{{}_{}}}#```lnx``` _{}&LEFT ( x>1 RIGHT ) ^{{}_{{}_{{}_{}}}^{}}}}]

이다. [eqn: f LEFT ( e RIGHT ) =2]일 때, [eqn: f LEFT ( -6 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 11]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 15]	⑤ [eqn: 17]

그림과 같이 [eqn: a>1]인 실수 [eqn: a`]에 대하여
두 곡선 [eqn: y=a log _{2} LEFT ( x-a+1 RIGHT )]과 [eqn: y=2 ^{x-a} -1]이
서로 다른 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]에서 만난다. 점 [eqn: rmA]가 [eqn: x]축 위에 있고
삼각형 [eqn: rm OAB]의 넓이가 [eqn: {7} over {2} a]일 때, 선분 [eqn: rmAB]의 중점은 [eqn: rmM LEFT ( it`p,``q RIGHT )]이다.
[eqn: p+q]의 값은? (단, [eqn: rmO]는 원점이다.) [4점]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: y = a log_2 LEFT ( x-a+1 RIGHT )]

[eqn: y=2^ {x-a} -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: {13} over {2}]	② [eqn: 7]	③ [eqn: {15} over {2}]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: {17} over {2}]

곡선 [eqn: y= {1} over {x}]과 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=2] 및 [eqn: x]축으로 둘러싸인
부분의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. 곡선 [eqn: y = 1 over x]과 두 직선 [eqn: x=1], [eqn: x=a] 및
[eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 [eqn: 2S`]가 되도록 하는
모든 양수 [eqn: a]의 값의 합은? [4점]

① [eqn: {15} over {4}]	② [eqn: {17} over {4}]	③ [eqn: {19} over {4}]	④ [eqn: {21} over {4}]	⑤ [eqn: {23} over {4}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y=e ^{x}] 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( it `t,``e ^{t} RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it `-t,``e ^{-t} RIGHT )]
에서의 접선을 각각 [eqn: l], [eqn: m]이라 하자. 두 직선 [eqn: l]과 [eqn: m]이 이루는
예각의 크기가 [eqn: {pi} over {4}]일 때, 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]를 지나는 직선의 기울기는?
(단, [eqn: t>0]) [4점]

[eqn: rm`O]

[eqn: pi over 4]

[eqn: y=e^x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l]

[eqn: m]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

① [eqn: {1} over {ln LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )}]	② [eqn: {1} over {ln2}]	③ [eqn: {4} over {3ln LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )}]

④ [eqn: {7} over {6ln2}]	⑤ [eqn: {3} over {2ln LEFT ( 1+ sqrt {2} RIGHT )}]

[eqn: a>e]인 실수 [eqn: a]에 대하여
두 곡선 [eqn: y=e ^{x-1}]과 [eqn: y=a ^{x}]이 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]라 할 때,
[eqn: lim _{a` -> `e+} {{1} over {LEFT ( e-a RIGHT ) f LEFT ( a RIGHT )}}]의 값은? [4점]

① [eqn: {1} over {e ^{2}}]	② [eqn: {1} over {e}]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: e]	⑤ [eqn: e ^{2}]

그림과 같이 포물선 [eqn: y ^{2} =16x]에 대하여
포물선의 준선 위의 한 점 [eqn: rmA]가 제[eqn: 3]사분면에 있다.
점 [eqn: rm A]에서 포물선에 그은 기울기가 양수인 접선과 포물선이
만나는 점을 [eqn: rmB], 점 [eqn: rmB]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH],
준선과 [eqn: x]축이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 하자.
[eqn: {bar{rm AC it}} TIMES {bar{rm CH it}} =8]일 때, 삼각형 [eqn: rm ABH]의 넓이는? [4점]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm C]

[eqn: y^2 = 16x]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rmB]

[eqn: rmH]

① [eqn: 15 sqrt {3}]	② [eqn: {46} over {3} sqrt {3}]	③ [eqn: {47} over {3} sqrt {3}]

④ [eqn: 16 sqrt {3}]	⑤ [eqn: {49} over {3} sqrt {3}]

다음은 [eqn: 1]부터 [eqn: n]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: n]개의 공이
들어 있는 주머니에서 임의로 세 개의 공을 동시에 꺼낼 때,
꺼낸 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지 않는
경우의 수를 구하는 과정이다. (단, [eqn: n GEQ 5])

주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중
어느 두 수도 연속되지 않는 경우는
‘(ⅰ) 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는 경우’에서

‘(ⅱ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수가 모두 연속되는 경우’와

‘(ⅲ) 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수 중 두 수만 연속되는 경우’를 제외하면 된다.

(ⅰ)의 경우 :

[eqn: n]개의 공이 들어 있는 주머니에서 세 개의 공을 꺼내는
경우의 수는 [eqn: {}_{n} rm C _{3}]이다.

(ⅱ)의 경우 :

주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수가 모두
연속되는 경우의 수는 [eqn: LEFT ( n-2 RIGHT )]이다.

(ⅲ)의 경우 :

연속되는 두 수 중 하나가 [eqn: 1]인 경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(가) _{`} ^{`} ```````}} RIGHT .]
이고, 마찬가지로 연속되는 두 수 중 하나가 [eqn: n]인
경우의 수도 [eqn: LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.
또한 연속되는 두 수 중 어느 하나도 [eqn: 1]과 [eqn: n]이 아닌
경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.
따라서 주머니에서 꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는
세 수 중 두 수만 연속되는 경우의 수는
[eqn: 2 TIMES LEFT ( ` LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT ) + LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .] 이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: n]개의 공이 들어 있는 주머니에서
꺼낸 세 개의 공에 적혀 있는 세 수 중 어느 두 수도 연속되지
않는 경우의 수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: p LEFT ( n RIGHT )], [eqn: q LEFT ( n RIGHT )], [eqn: r LEFT ( n RIGHT )]이라 할 때, [eqn: {p LEFT ( 18 RIGHT ) timesq LEFT ( 17 RIGHT )} over {r LEFT ( 16 RIGHT )}]의 값은? [4점]

① [eqn: {15} over {2}]	② [eqn: 9]	③ [eqn: {21} over {2}]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: {27} over {2}]

그림과 같이 길이가 [eqn: 4]인 선분 [eqn: rm AB]를 지름으로 하는 반원 위에
두 점 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 [eqn: angle rmPAB = theta], [eqn: ANGLE rm QAB=2 theta]가 되도록 잡는다.
선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]에 대하여 선분 [eqn: rm OQ]와 선분 [eqn: rm AP]가 만나는
점을 [eqn: rm R]라 하자. 호 [eqn: rm PQ]와 두 선분 [eqn: rm QR], [eqn: rm RP]로 둘러싸인 부분의
넓이를 [eqn: S` LEFT ( theta RIGHT )]라 할 때, [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S` LEFT ( theta RIGHT )} over {theta }}]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}])

[4점]

[eqn: rm`O]

[eqn: 2 theta]

[eqn: rm P]

[eqn: theta]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rm R]

① [eqn: {4} over {3}]	② [eqn: {5} over {3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: {7} over {3}]	⑤ [eqn: {8} over {3}]

[eqn: {3} over {5} <x<4]에서 정의된 미분가능한 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이고

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1-x ^{2} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3}} over {x ^{3} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2}}]

을 만족시킨다. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 역함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 존재하고 미분가능
할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: g prime LEFT ( 2 RIGHT ) = it - {4} over {7}] ㄴ. [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {3} x ^{3} LEFT { g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} - {5} over {3}] ㄷ. [eqn: 2<g LEFT ( 1 RIGHT ) < {5} over {2}]

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

방정식 [eqn: log _{`3} ` LEFT ( x+2 RIGHT ) =3]을 만족시키는 실수 [eqn: x]의 값을 구하시오.

[3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x sqrt {x}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 16 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

좌표평면에서 곡선 [eqn: y=4sin LEFT ( {pi} over {2} x RIGHT )] ([eqn: 0 LEQ x LEQ 2]) 위의 점 중
[eqn: y]좌표가 정수인 점의 개수를 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {x} over {x ^{2} +x+8}]에 대하여 부등식 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]의 해가
[eqn: alpha<x<beta]일 때, [eqn: alpha ^{2} + beta ` ^{2}]의 값을 구하시오. [3점]

숫자 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5]에서 중복을 허락하여 [eqn: 7]개를 선택할 때,
짝수가 두 개가 되는 경우의 수를 구하시오. [4점]

자연수 [eqn: n]에 대하여 양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {{n-ln`t} over {t} dt}]

의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( n RIGHT )]이라 하자. [eqn: sum _{n=1} ^{12} g LEFT ( n RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 두 초점이 [eqn: rm F LEFT ( `itc,``0 RIGHT )], [eqn: rm F prime LEFT ( it -c,``0 RIGHT )]([eqn: c>0])이고,
주축의 길이가 [eqn: 6]인 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]과
점 [eqn: rm A LEFT ( `0,``5 RIGHT )]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 1]인 원 [eqn: C`]가 있다.
제[eqn: 1]사분면에 있는 쌍곡선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]와 원 [eqn: C] 위를
움직이는 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {bar{rm PQ it}} + {bar{rm PF' it}}]의 최솟값이 [eqn: 12]일 때,
[eqn: a ^{2} +3b ^{2}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 상수이다.) [4점]

[eqn: x^2 over a^2 - y^2 over b^2 = 1]

[eqn: rm F]

[eqn: rm P]

[eqn: rmQ]

[eqn: rm A]

[eqn: C]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm F']

집합 [eqn: X= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]로의
함수 중에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) -f LEFT ( 4 RIGHT ) =3m]([eqn: m]은 정수)

를 만족시키는 함수 [eqn: f]의 개수를 구하시오. [4점]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} LEFT ( ax ^{3} +bx ^{2} RIGHT )]과 양의 실수 [eqn: t]에 대하여
닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `-t,``t RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 최댓값을 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT )],
최솟값을 [eqn: m LEFT ( t RIGHT )]라 할 때, 두 함수 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT )], [eqn: m LEFT ( t RIGHT )]는 다음 조건을
만족시킨다.

(가) 모든 양의 실수 [eqn: t]에 대하여 [eqn: M` LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( t RIGHT )]이다.

(나) 양수 [eqn: k]에 대하여 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ `k,``k+2 RIGHT ]]에 있는
임의의 실수 [eqn: t]에 대해서만 [eqn: m LEFT ( t RIGHT ) =f LEFT ( -t RIGHT )]가 성립한다.

(다) [eqn: int _{1} ^{5} {LEFT { e ^{t} TIMES m LEFT ( t RIGHT ) RIGHT } dt} `=` {7} over {3} -8e]

[eqn: f LEFT ( k+1 RIGHT ) = {q} over {p} e ^{k+1}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: a]와 [eqn: b]는 [eqn: 0]이 아닌 상수, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이고,
[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{x ^{3}} over {e ^{x}}} =0]이다.) [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.