(홀수형)

2006학년도 대학수학능력시험 (수리영역-나형)  정답 및 해설

1. [eqn: 5^{2 over 3} times 25^{ - 5 over 6} = 5^{2 over 3} times (5^2 )^{ - 5 over 6} =][eqn: 5^{2over3}×5^{- 5 over3}]

[eqn: =5^{2over 3 - 5over 3 } = 5^-1 = 1over 5]

ꂼ ②

2. [eqn: 2A+X=AB]에서

[eqn: X=AB-2A]

[eqn: =AB-2AE]

[eqn: =A(B-2E)]

[eqn: =pmatrix{ 1& 1# 1&0 } left{ pmatrix{ 1& 2# 3& 4}-2pmatrix{ 1&0 #0 & 1}right}]

[eqn: =pmatrix{ 1& 1# 1&0 } pmatrix{ -1& 2# 3& 2}]

[eqn: =pmatrix{ 2& 4#-1 &2 }]

ꂼ ②

3. [eqn: a_2 , ~a_3 ,~a_4]는 이 순서로 등차수열을 이루므로 [eqn: a_3 = {a_2 +a_4 } over 2 = 2]

∴ [eqn: a_5 = 4a_3 = 8]

이 때, 공차를 [eqn: d]라 하면 [eqn: a_5 = a_3 +2d]이므로

[eqn: 8=2+2d] ∴ [eqn: d=3]

∴ [eqn: a_6 = a_5 +d = 8+3=11]

ꂼ ③

4. 두 사건 [eqn: A, ~B]는 서로 배반사건이므로	[eqn: \P (A cap B)= 0]

또, [eqn: A cup B= S]이므로

[eqn: \P( A cup B) = P(S)=1]

따라서 확률의 덧셈정리에 의해

[eqn: \P (A cup B)= rm P (it A) +rm P(it B )- rm P (A cap B)]

[eqn: = rm 2P (it B) +rm P(it B )- 0]

[eqn: = 3rm P(it B) =1]

∴ [eqn: rm P(it B) = 1 over 3]

∴ [eqn: rm P(it A) =2 rm P(it B ) = 2 over 3]

ꂼ ①

5. 이항분포 [eqn: \B left( 100 , 1over 5 right)]을 따르는 확률변수 [eqn: X]의 표준편차는

[eqn: sigma (X)=][eqn: root{100× 1over5 × 4 over 5} = 20 over 5 = 4]

∴ [eqn: sigma (3X-4) = 3 sigma (X) = 12]

ꂼ ①

6. (나)에서

[eqn: (E-B)^2 = E^2 - 2B +B^2 = E-B]

∴ [eqn: B^2 = B] … ㉠

∴ [eqn: B^3 = B^2 B = BB=B]

또,

[eqn: BA^3 = (BA)A^2 =(AB)A^2 =-BA^2]

[eqn: =-(BA)A=-(AB)A=BA=AB]

[eqn: =-B]

∴ [eqn: B^3 +2BA^3 =B-2B=-B]

ꂼ ⑤

7. [eqn: b_n = n , ~c_n = n+1]이라 하면

[eqn: sum_k=1^n b_k = n(n+1) over 2],

[eqn: sum_k=1^n c_k = {(n+1)(n+2)} over 2 - 1 = {n^2 +3n+1} over 2]

이므로

[eqn: lim_n->inf n^2 over { sum_k=1^n b_k}= lim_n->inf n^2 over { sum_k=1^n c_k}][eqn: =2]

그런데 [eqn: sum_k=1^n b_k < sum_k=1^n a_k < sum_k=1^n c_k]이므로

[eqn: n^2 over { sum_k=1^n b_k}> n^2 over { sum_k=1^n a_k}> n^2 over { sum_k=1^n c_k}]

∴ [eqn: lim_n->inf n^2 over { sum_k=1^n a_k}= 2]

ꂼ ②

8. [eqn: \P(2≦X≦3) = 1over 3]이고 [eqn: \P(m≦X≦2) = 1over 3]이므로 [eqn: \P(0≦X≦m) = 1over 3]이다.

∴ [eqn: 1 over 2 ․ m ․ 1over 3 m = 1 over 3]

∴ [eqn: m=root2] (∵ [eqn: m>0])

ꂼ ④

9. 주어진 조건에서 [eqn: a≠1, ~b≠1]이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: a^n < b^n]이므로

[eqn: a<b]

[eqn: 0<a<b<1] 또는 [eqn: 1<a<b]일 때,

i) [eqn: m>n]이면 [eqn: a^m >a^n], [eqn: b^m >b^n]이고,

ii) [eqn: m<n]이면 [eqn: a^m <a^n], [eqn: b^m <b^n]이다.

그런데, i), ii)는 모두 주어진 조건에 모순이다.

∴ [eqn: 0<a<1<b]

주어진 조건에서 [eqn: b^n <b^m]이므로 [eqn: n<m]이어야 하고, 이 때 [eqn: a^m <a^n]이 성립한다.

∴ [eqn: n<m]

이상에서 [eqn: 0<a<1<b , ~ m>n]이다.

ꂼ ①

10. 세 함수 [eqn: y=log_{1over4} x], [eqn: y=left( 2 over 3 right)^x], [eqn: y=3^x]의 그래프는 다음 그림과 같다.

[eqn: y=3^x]

[eqn: y=log_{1over4} x]

[eqn: y=left( 2 over 3 right)^x]

[eqn: x]

O

1

-1

1

2

3

[eqn: y]

[eqn: x=1]

∴ [eqn: a=4, ~b=6, ~c=1]

∴ [eqn: c<a<b]

ꂼ ④

11. ㄱ. 2006은 4자리의 자연수이므로 [eqn: log2006]의 지표는 3이다.

∴ [eqn: f(2006)=3] (참)

ㄴ. [eqn: log2 , ~log6]의 가수는 각각 [eqn: log2 , ~log6]이므로 [eqn: g(2)=log2 , ~g(6)=log6]이다.

또, [eqn: 12=1.2×10^1]이므로 [eqn: log12]의 가수는 [eqn: log1.2]이다.

∴ [eqn: g(12)=log1.2]

∴ [eqn: g(2)+g(6)=log2+log6]

[eqn: =log12=log1.2+1=g(12)+1] (참)

ㄷ. 임의의 양수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: log x = (지표)+(가수)=f(x)+g(x)]이므로

[eqn: log a = f(a)+g(a)], [eqn: logb = f(b)+g(b)]이고 [eqn: log a b = f(a b )+g(a b)]이다.

그런데, [eqn: log a b = log a + log b]이므로

[eqn: f(a b )+g(a b ) = f(a) +g(a) + f(b)+g(b)]이다.

따라서 [eqn: f(ab)=f(a)+f(b)]이면

[eqn: g(ab)=g(a)+g(b)]이다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

12. 행렬 [eqn: pmatrix{x &y #1 &a }]가 역행렬을 가질 조건은

[eqn: ax-y≠0] 즉, [eqn: y≠ax]이다.

따라서 점 [eqn: \P(x, y)]는 원점을 지나고 기울기가 [eqn: a]인 직선 [eqn: y=ax] 위에 있지 않은 점이다.

따라서 점 [eqn: \P(x, y)]가 나타내는 도형은 다음 그림과 같이 반지름의 길이가 2이고 중심각의 크기가 60〬인 2개의 호이다.

[eqn: (1,root3 )]

[eqn: (-1,root3 )]

[eqn: \O]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: y=ax]

60〬

따라서 구하는 도형의 길이는

[eqn: 2× 60〬 over 360〬 × 4pi = 4 over 3 pi]

ꂼ ④

13. ㄱ. (반례) [eqn: a_3k = 1over {2^3k-1} cos {{(3k-1)pi} over 2}]에

[eqn: k=2]를 대입하면

[eqn: a_6 = 1over {2^5} cos {{5pi} over 2} = 1 over 2^5 ․0 = 0] (거짓)

ㄴ. [eqn: a_4k-1 = 1over 2^{4k-2} cos {{(4k-2)pi} over 2}]

[eqn: = 1over 2^{4k-2} cos {{(2k-1)pi}} = - 1over 2^4k-2],

[eqn: b_4k-1 = {1+(-1)^{4k-2}}over 2^{4k-1}][eqn: = 2 over 2^{4k-1} = 1 over 2^{4k-2}]

이므로

[eqn: a_4k-1 +b_4k-1 = 0] (참)

ㄷ. {[eqn: a_n]} : 1, 0, [eqn: - 1over 4], 0, [eqn: 1over 16], 0, …이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = 1 over { 1- left(- 1over 4 right)}][eqn: = 4 over 5]

{[eqn: b_n]} : 1, 0, [eqn: 1over 4], 0, [eqn: 1over 16], 0, …이므로

[eqn: sum_n=1^inf b_n = 1 over { 1- 1over 4} = 4 over 3]

따라서 [eqn: 4 over 5 = 3over 5 ․ 4over 3]이므로

[eqn: sum_n=1^inf a_n = 3over 5 sum_n=1^inf b_n] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ⑤

14. 크기가 4인 표본의 표본평균 [eqn: bar X]는 정규분포 [eqn: rm N left( 11, left( 2over root 4 right)^2 right)] 즉, [eqn: rm N left( 11, 1^2 right)]을 따른다.

∴ [eqn: \P left( 10≦ bar X ≦ 14 right)]

[eqn: rm = P it left( 10-11 over 1 ≦ {bar X -11 }over 1 ≦ 14-11 over 1 right)]

[eqn: = rm P it ( -1 ≦Z ≦ 3 )]

[eqn: =rm P it ( 0≦ Z≦ 1 )+rm P it left( 0≦ Z≦ 3 )]

[eqn: =0.3413 + 0.4987 = 0.84]

이 때, [eqn: A], [eqn: B] 두 사람이 각각 독립적인 표본을 임의추출하였으므로 두 사람이 뽑은 표본의 표본평균이 10 이상 14 이하일 확률은 모두 0.84로 같고, 두 사건은 서로 독립이다.

따라서 두 표본평균이 모두 10 이상 14 이하일 확률은 [eqn: 0.84× 0.84 = 0.7056]이다.

ꂼ ②

15. [eqn: l_1]은 반지름의 길이가 8, 중심각의 크기가 θ인 호의 길이이므로 [eqn: l_1 = 8 θ]이다.

또, [eqn: l_2]는 반지름의 길이가 [eqn: 8 sin θ], 중심각의 크기가 θ인 호의 길이이므로 [eqn: l_2 = 8θ sin θ]이다.

마찬가지로 [eqn: l_3 = 8θ sin^2 θ , ~l_4 = 8θ sin^3 θ , ~…]이다.

따라서 수열 {[eqn: l_n]}은 첫째항이 [eqn: 8θ]이고 공비가 [eqn: sinθ]인 무한등비수열이다.

∴ [eqn: sum_n=1^inf l_n = 8θ over { 1- sinθ} = 12θ]

∴ [eqn: sinθ = 1over3]

ꂼ ⑤

16. [eqn: sum_k=1^m+1 (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: + left{5(m+1)-3right} 1 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m+1 right)]

[eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left{ left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)+ 1over m+1 right}]

[eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)]

[eqn: +sum_k=1^m (5k-3) 1over m+1][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: =sum_k=1^m (5k-3) left( 1OVER k + 1over k+1 + …+ 1over m right)]

[eqn: + 1over m+1 sum_k=1^m (5k-3)][eqn: + 5m+2 over m+1]

[eqn: = m(5m+3) over 4 + 1over m+1 sum_k=1^m+1 (5k-3 )]

[eqn: = {(m+1)(5m+8)} over 4]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: 5m+2, ~ m , ~5k-3]이다.

ꂼ ③

17. 주어진 조건을 만족하려면 3개의 가로 행에는 각각 적어도 하나의 검은 색 유리상자가 들어가야 하고, 4개의 세로 열에도 각각 적어도 하나의 검은 상자가 들어가야 한다.

따라서 3개의 가로 행 중에서 2개의 검은 색 유리상자가 포함될 1개의 행을 택하는 방법의 수는 3가지이고, 이 행의 4개의 유리 상자 중에서 검은 색 유리상자로 바뀔 2개의 상자를 택하는 경우는 수는 [eqn: `_ 4 C_2 = 6](가지)이다.

이제 위의 3×6=18가지 경우의 수 중의 하나가 아래의 그림과 같다고 하자.

	a		c
	b		d

이제 a, b 중에서 한 행을 택하고 c, d 중에서 나머지 한 행을 택하는 방법의 수는

2×1=2(가지)이다.

따라서 구하는 방법의 수는

18×2=36

ꂼ ④

18. [eqn: lim_n->inf {5․3^n+1 - 2^n+1} over {3^n +2^n }]

[eqn: = lim_n->inf {5․3^n+1 over 3^n - 2^n+1 over 3^n } over { 3^n over 3^n + 2^n over 3^n }]

[eqn: = lim_n->inf {5․3 - 2 left( 2over 3 right)^n } over { 1 + left( 2 over 3right)^n }]

[eqn: ={5․3 - 0 } over { 1 +0 } = 15]

ꂼ 15

19. [eqn: a_2 - a_1 = 3],

[eqn: a_3 - a_2 =]3․2

[eqn: a_4 - a_3 =3․2^2]

[eqn: a_5 - a_4 =3․2^3]

∴ [eqn: a_5 = a_4 +24 = (a_3 +12)+24]

[eqn: =10+12+24=46]

ꂼ 46

20. [eqn: log_3 ab = log_3 a + log_3 b =log_3 27 = 3],

[eqn: log_3 b over a = log_3 b - log_3 a = 5]

따라서 [eqn: log_3 a = X], [eqn: log_3 b = Y]라 하면

[eqn: X+Y=3]이고 [eqn: Y-X=5]이므로

이 두 등식을 연립하여 풀면

[eqn: X=-1, ~Y=4]

∴ [eqn: 4log_3 a + 9 log_3 b = 4X+9Y = 32]

ꂼ 32

21. [eqn: 4^x - 7․ 2^x +12=0]에서

[eqn: (2^x -3 )(2^x -4)=0]

따라서 [eqn: 2^α = 3 , ~2^β = 4]로 놓을 수 있다.

∴ [eqn: 2^2α + 2^2β = (2^α +2^β )^2][eqn: - 2․ 2^α ․ 2^β]

[eqn: =(3+4)^2 - 2․ 3․4]

[eqn: =49-24=25]

ꂼ 25

22. 확률의 합은 1이므로

[eqn: 4 over 7 + a +b = 1] … ㉠

[eqn: 4 over 7 , ~a , ~b]가 이 순서로 등비수열을 이루므로

[eqn: a^2 = 4 over 7 b] …  ㉡

[eqn: E(X)= k ․ 4 over 7 + 2k ․ a + 4k ․ b]

[eqn: = k over 7 left( 4+ 14a + 28 b ) = 24] … ㉢

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a= 2 over 7], [eqn: b= 1over 7] (∵ [eqn: a>0])

이것을 ㉢에 대입하면

[eqn: k=14]

ꂼ 14

23. A영역에 색을 칠하게 될 확률은 [eqn: 3over 4],

B영역에 색을 칠하게 될 확률은 [eqn: 1over 4]이다.

이 때, 3번째 시행에서 마치는 경우는

A, A, B의 순서로 칠하거나,

B, B, A의 순서로 칠하게 되는 경우이다.

이 때, 위의 각 경우의 확률은 각각

[eqn: 3 over 4 ․ 3over 4 ․ 1 over 4 = 9 over 64], [eqn: 1 over 4 ․ 1over 4 ․ 3 over 4 = 3 over 64]이므로 구하는 확률은

[eqn: 9 over 64 + 3 over 64 = 12 over 64 = 3 over 16]

∴ [eqn: p+q = 16+3 = 19]

ꂼ 19

24. [eqn: log_3 x = t] [eqn: (1≦x≦81])로 놓으면 [eqn: 0≦t≦4] 이고,

[eqn: y=(log_3 x ) (-log_3 x )+2log_3 x +10]

[eqn: =-t^2 +2 t +10]

[eqn: =-(t-1)^2 +11]

이 때, [eqn: t=1]일 때 최대값 [eqn: M=11],

[eqn: t=4]일 때 최소값 [eqn: m=2]를 갖는다.

∴ [eqn: M+m = 11+2=13]

ꂼ 13

25. [eqn: log C over C_0 = -kt]에

[eqn: C_0 = 8×10^5], [eqn: t=3], [eqn: C=2×10^5]을 대입하면

[eqn: log 1over 4 = -3k] ∴ [eqn: k = log4 over 3][eqn: = 2 over 3 log2]

따라서

[eqn: log C over C_0 = -kt]에

[eqn: C_0 = 8×10^5], [eqn: t=a], [eqn: C=8×10^3]을 대입하면

[eqn: log 1over 100 =- 2a over 3 log2]

∴ [eqn: -2= - 2a over 3 ×0.3]

∴ [eqn: a=10]

ꂼ 10

26. 주어진 조건을 표로 나타내면 다음과 같다.

	남학생	여학생	계
중국어	12
일본어		7
계	18	16

이제 위의 표를 완성하면 다음과 같다.

	남학생	여학생	계
중국어	12	9	21
일본어	6	7	13
계	18	16	34

이 학급에서 선택된 한 학생이 중국어 수업을 받을 사건을 [eqn: A], 여학생일 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은

[eqn: \P ( B|A) = n(A∩B) over n(A) = 9 over 21 = 3over 7]

ꂼ ③

27. [eqn: A^n = pmatrix{ 1&n #0 &1 }, ~B^n =pmatrix{1 &0 #n &1 }]이므로

[eqn: A^n pmatrix{ 1 # 1 } = pmatrix{ n+1 #1 }, ~B^n pmatrix{ 1 # 1 }=pmatrix{1 #n+1 }]

∴ [eqn: A=left{ pmatrix{ n+1# 1} right| n은~자연수~right}],

[eqn: B=left{ pmatrix{1# n+1} right|`` n은~자연수~right}]

따라서 자연수 [eqn: n, ~m]에 대하여

ㄱ. [eqn: pmatrix{ a # b }=pmatrix{ n+1# 1 }in S]이면

[eqn: pmatrix{ b # a }=pmatrix{ 1# n+1 }in T] (참)

ㄴ. [eqn: pmatrix{ a # b }=pmatrix{ n+1# 1 }in S], [eqn: pmatrix{ c # d }=pmatrix{ m+1# 1 }in S]이면

[eqn: b+d≠1]이므로 [eqn: pmatrix{ a+c # b+d }=pmatrix{ n+m+1# 2 } ∉ S] (거짓)

ㄷ. [eqn: pmatrix{ a # b }=pmatrix{ n+1# 1 }in S], [eqn: pmatrix{ p # q }=pmatrix{ 1# m+1 }in T]이면

[eqn: pmatrix{a & p# b& q}=pmatrix{ n+1& 1# 1& m+1}]이다.

이 때, [eqn: (n+1)(m+1)-1≠0]이므로 역행렬을 갖는다. (참)

이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

ꂼ ③

28. 1부터 30까지의 홀수 중에서 3으로 나눈 나머지가 [eqn: r] ([eqn: r=0, 1, 2])인 집합을 [eqn: A_r]라 하면

[eqn: A_0 =left{ 3, 9, 15, 21, 27right}],

[eqn: A_1 =left{ 1, 7, 13, 19, 25right}],

[eqn: A_2 =left{ 5, 11, 17, 23, 29right}]

이 때, 두 수의 합이 3이 되는 경우는 다음과 같다.

i) ([eqn: A_1]의 원소)+([eqn: A_2]의 원소)인 경우

[eqn: `_5 C_1 times _5 C_1 =][eqn: 5×5=25](가지)

ii) ([eqn: A_0]의 원소)+([eqn: A_0]의 원소)인 경우

[eqn: `_5 C_2 =][eqn: 5×4 over 2 = 10](가지)

이상에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 25+10=35](가지)

ꂼ ⑤

29. ㄱ. (반례) [eqn: p=2]이면

[eqn: a_2 = a_1 +1= 1≠2a_1][eqn: =0] (거짓)

ㄴ. (가), (나)에서

[eqn: a_1 = 0],

[eqn: a_2 = a_1 +1 = 1]

[eqn: a_3 = a_2 +1 = 2]

…

[eqn: a_p = a_p-1 +1 = p-1]

∴ [eqn: a_1 +a_2 +…+a_p]

[eqn: = 0+1+2+…+(p-1) = {p(p-1)} over 2] (참)

ㄷ. (다)에 [eqn: k=p]를 대입하면

[eqn: a_p+p = a_2p = a_p][eqn: =p-1],

[eqn: a_2p+p = a_3p = a_2p = a_p][eqn: =p-1],

…

[eqn: a_kp = a_p][eqn: =p-1]

∴ [eqn: a_p +a_2p +…+a_kp][eqn: =k(p-1)] (참)

이상에서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

ꂼ ④

참고)

[eqn: p=5]일 때 수열 {[eqn: a_n]}은 다음과 같다.

0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, 0, 1, 2, 3, 4, …

30. [eqn: 2(x+a)^n]의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는

[eqn: 2`_n C_1 a^1 = 2an]

[eqn: (x-1)(x+a)^n][eqn: =x(x+a)^n - (x+a)^n]

의 전개식에서 [eqn: x^n-1]의 계수는

[eqn: `_n C_2 a^2 -an = {n(n-1)}over 2 a^2 -an]

이 때, [eqn: 2a n= {n(n-1)}over 2 a^2 -an] 즉,

[eqn: 3a n= {n(n-1)}over 2 a^2]이어야 하므로

[eqn: 3= n-1 over 2 a]

∴ [eqn: a(n-1)=6] … ㉠

㉠을 만족하는 모든 경우는 다음과 같다.

[eqn: a]	[eqn: n-1]	[eqn: n]	[eqn: an]
1	6	7	7
2	3	4	8
3	2	3	9
6	1	2	12

따라서 구하는 [eqn: an]의 최대값은 [eqn: 12]이다.

ꂼ 12