수학 영역(A형)

수학 영역(A형)

1. ②	2. ①	3. ④	4. ④	5. ⑤

6. ③	7. ⑤	8. ④	9. ③	10. ①

11. ③	12. ②	13. ③	14. ①	15. ②

16. ⑤	17. ②	18. ④	19. ⑤	20. ①

21. ②	22. 28	23. 14	24. 71	25. 18

26. 90	27. 251	28. 25	29. 88	30. 992

1. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: (log_6 4)^2 +(log_6 9)^2 + 2 log_6 4 times log_6 9]

[eqn: =LEFT { (log_6 4+log_6 9) RIGHT }^2][eqn: =LEFT ( log_6 36 RIGHT )^2][eqn: =2^2 =4]

2. 행렬과 그래프

정답 ①

두 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`-2&&````````1`#`````````1&&-1`}} ,] [eqn: B= {pmatrix{````````3&&-2`#`-1&&```````1`}}]에 대하여

[eqn: 2A^2 +AB] [eqn: =A(2A+B)]
[eqn: = {pmatrix{`-2&&````````1`#`````````1&&-1`}} LEFT { 2 {pmatrix{`-2&&````````1`#`````````1&&-1`}} + {pmatrix{````````3&&-2`#`-1&&```````1`}} RIGHT }]
[eqn: = {pmatrix{`-2&&````````1`#`````````1&&-1`}} {pmatrix{`-1&&````````0`#`````````1&&-1`}}][eqn: = {pmatrix{`````````3&&`-1`#`-2&&`````````1`}}]

이므로 행렬 [eqn: 2A^2 +AB]의 모든 성분의 합은 [eqn: 1]이다.

3. 수열

정답 ④

주어진 수열의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: s=1+4d,] [eqn: p=1+d]이므로 [eqn: s-p=3d=9]

[eqn: THEREFORE~][eqn: d=3]

따라서 [eqn: r=1+3d]이므로 [eqn: r=10]이다.

4. 확률

정답 ④

두 사건 [eqn: A,] [eqn: B]에 대하여

[eqn: {rmP}(A ^{C} SMALLINTER B)= {1} over {5} ,] [eqn: {rmP}(B ```|`A^C `)= 3 over 7]이므로

[eqn: {rmP}(A^C`)][eqn: = {{rmP}(B SMALLINTERA^C`) } over {{rmP}(B``` |``A^C` )}][eqn: = {1 over 5} over {3 over7} = 7 over 15]

이때, [eqn: {rmP}(A) = 1-{rmP}(A^C`)]이므로

[eqn: rm P it (A)=1- {7} over {15} = {8} over {15}]이다.

5. 통계

정답 ⑤

확률변수 [eqn: X]에 대한 확률의 합은 [eqn: 1]이므로 [eqn: 1= {1} over {14} +6a+ {3} over {7} +a], [eqn: 7a= {7} over {14}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a= 1 over 14]

[eqn: THEREFORE ~{rmE}(X)][eqn: =0 TIMES {1} over {14} +1 TIMES {3} over {7} +2 TIMES {3} over {7} +3 TIMES {1} over {14}]
[eqn: = {3} over {7} + {6} over {7} + {3} over {14}]

[eqn: = 21 over 14 = 3 over 2]

6. 다항함수의 미분법

정답 ③

삼차함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않으려면

[eqn: f'(x)=0]이 중근이거나 근이 존재하지 않아야 한다.

즉, [eqn: f prime (x)=3x ^{2} +2ax+a+6=0]에서

판별식을 [eqn: {D} over {4}]라 하면 [eqn: D over 4 LEQ0]이어야 한다.

[eqn: D over 4][eqn: =a^2 -3 (a+6)]
[eqn: = a^2 -3a-18]
[eqn: =(a-6)(a+3) LEQ0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: -3 LEQ a LEQ 6]

따라서 삼차함수 [eqn: f(x)]가 극값을 갖지 않도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 10]개이다.

7. 확률

정답 ⑤

세 자연수 [eqn: a,] [eqn: b,] [eqn: c]에 대하여

[eqn: abc=1024=2 ^{10}]

이므로 음이 아닌 정수 [eqn: p,] [eqn: q,] [eqn: r]에 대하여

[eqn: a=2^p ,] [eqn: b=2^q ,] [eqn: c=2^r]이라 하면

[eqn: abc][eqn: =2 ^{p} 2 ^{q} 2 ^{r}]
[eqn: =2^p+q+r =2^10]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p+q+r=10]

따라서 구하고자 하는 경우의 수는

[eqn: ` _{3+10-1} rm C _{10} = _{12} C _{10} = _{12} C _{2} = {12 TIMES 11} over {2 TIMES 1} =66 it]

이다.

8. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: log_2 kP][eqn: =C+log_3 9D - log_9 3S]
[eqn: =C+(log _{3} 9+log _{3} D)-(log _{9} 3+log _{9} S)]
[eqn: =C+2+log_3 D - 1 over 2 - log_9 S]
[eqn: =C+ log_3 D - log_9 S + 3 over 2][eqn: = log_2 P + 3 over 2]

이므로

[eqn: log_2 kP = log_2 P + 3 over 2]

[eqn: log_2 kP - log_2 P = 3 over 2]

[eqn: log_2 kP over P = 3 over 2], [eqn: log` _{2} k= {3} over {2}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: k=2 ^{{3} over {2}} =2 sqrt {2}]

9. 함수의 극한과 연속

정답 ③

두 다항함수 [eqn: f(x),] [eqn: g(x)]에 대하여

조건(가)에서

[eqn: f(x)-2g(x)=x^2 +ax+b](단, [eqn: a != 0,`b]는 상수)

…… ㉠

조건(나)에서

[eqn: f(x)+3g(x)=x^3 +cx^2 +dx+e]

(단, [eqn: d,~e는`상수,~c != 0])	…… ㉡

으로 놓을 수 있다.

㉡[eqn: -]㉠에서

[eqn: 5g(x)=x^3 +(c-1)x^2 + (d-a)x +e-b]

[eqn: THEREFORE~][eqn: g(x)= 1 over 5 LEFT { x^3 + (c-1)x^2 + (d-a)x+e-b RIGHT }]

이때, ㉠에서 [eqn: f(x)=2g(x)+x ^{2} +ax+b]

따라서

[eqn: lim _{ x`->`inf} { } {f(x)+g(x)} over x^3]

[eqn: =lim _{ x`->`inf} { }{2g(x) +x^2 +ax+b+g(x)} over x^3]
[eqn: = lim _{x` -> ` INF } {} {3g(x)+x ^{2} +ax+b} over {x ^{3}}]

[eqn: = { 3 over 5 LEFT { x^3 +(c-1)x^2 + (d-a)x +e-b RIGHT }+x^2 +ax+b} over x^3]

[eqn: = 3over 5]

10. 다항함수의 적분법

정답 ①

다항함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: x ^{2} int _{1} ^{x} {} f(t)dt- int _{1} ^{x} {} t ^{2} f(t)dt=x ^{4} +ax ^{3} +bx ^{2}] …… ㉠

을 만족시키므로

㉠에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: a+b+1`=0]	…… ㉡

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x int _{ 1} ^{x } { }f(t)dt +x^2 f(x)-x^2 f(x)=4x^3 +3ax^2 +2bx]

[eqn: 2x int _{ 1} ^{ x} { }f(t)dt =4x^3 +3ax^2 +2bx]

위의 등식에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: 3a+2b+4=0]	…… ㉢

㉡과 ㉢을 연립하여 풀면 [eqn: a=-2,] [eqn: b=1]이므로

[eqn: 2x int _{1} ^{x} {} f(t)dt=4x ^{3} -6x ^{2} +2x]

[eqn: int _{1} ^{x} {} f(t)dt=2x ^{2} -3x+1]

위의 등식의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면 [eqn: f(x)=4x-3]

[eqn: THEREFORE~][eqn: f(5)=17]

11. 함수의 극한과 연속

정답 ③

ㄱ. (참) [eqn: lim _{ x`->`1-0} { }f(x)=1,] [eqn: lim _{ x`->`1+0} { }g(x)=1]

이므로 [eqn: lim _{ x`->`1-0} { }f(x) + lim _{ x`->`1+0} { }g(x)=2]

ㄴ. (거짓) [eqn: f(x)=t]로 놓으면 [eqn: x` -> `+0]일 때, [eqn: t` -> `+0]이므로 [eqn: lim _{x` -> `+0} {} g(f(x))= lim _{t` -> `+0} {} g(t)=1]이다.

ㄷ. (참) [eqn: lim _{ x`->`1-0} { }f(x)g(x)=1 times 0=0]

[eqn: lim _{x` -> `1+0} {} f(x)g(x)=0 TIMES 1=0]

[eqn: f(1)g(1)=0 TIMES 1=0]

[eqn: lim _{ x`->`1-0} { }f(x)g(x)][eqn: = lim _{ x`->`1+0} { }f(x)g(x)][eqn: =f(0)g(0)]

이므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=1]에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

12. 수열의 극한

정답 ②

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제 [eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면

[eqn: S_2n-1 = 2 over n+2 ,] [eqn: S_2n = 2 over n+1 (n GEQ1)]이고

[eqn: a_1 = S_1 = 2 over 3]

[eqn: a_2n-1][eqn: =S_2n-1 - S_2n-2 (n GEQ2)]
[eqn: = 2 over n+2 - 2 over n][eqn: (n GEQ 2)]

따라서

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf } a_2n-1]

[eqn: =lim _{ n`->`inf} { } sum _{ k=1} ^{ n}a_2k-1][eqn: =a _{1} + lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=2} ^{n} a _{2k-1}]
[eqn: = 2 over 3 + lim _{ n`->`inf} { } sum _{ k=2} ^{ n} LEFT ( 2 over k+2 - 2 over k RIGHT )]
[eqn: = {2} over {3} +2 lim _{n` -> ` INF } {} sum _{k=2} ^{n} LEFT ( {1} over {k+2} - {1} over {k} RIGHT )]
[eqn: = 2 over 3 +2 lim _{ n`->`inf} {} LEFT { LEFT ( 1 over 4 - 1 over 2 RIGHT )+ LEFT ( 1 over 5 - 1 over 3 RIGHT ) + LEFT ( 1 over 6 - 1 over 4 RIGHT )][eqn: +]

[eqn: LEFT . CDOTS +` LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n-1} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n+2} - {1} over {n} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = 2 over 3 + 2 lim _{ n`->`inf} { } LEFT ( - 1 over2 - 1 over 3 + 1 over n+1 + 1 over n+2RIGHT )]

[eqn: = 2 over 3 +2 LEFT ( - 1 over 2 - 1 over 3 RIGHT )][eqn: =-1]

13. 수열

정답 ③

두 점 [eqn: {rmA} _{k} (k,~2 ^{k} +4),] [eqn: {rmB}_k+1 (k+1,~ k+1)]이므로

선분 [eqn: {rmA}_k {rmB}_k+1]을 대각선으로 하고 각 변은 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축에 평행한 직사각형의 서로 다른 두 변의 길이를 구하면 다음과 같다.

[eqn: (k+1)-k=1]

[eqn: (2^k +4)-(k+1)= 2^k - k+3]

이때, 직사각형의 넓이 [eqn: S _{k} = LEFT ( 2 ^{k} -k+3 RIGHT ) TIMES 1]이므로

[eqn: sum _{ k=1} ^{ 8} S_k][eqn: = sum _{k=1} ^{8} (2 ^{k} -k+3)][eqn: = sum _{k=1} ^{8} 2 ^{k} - sum _{k=1} ^{8} k+24]
[eqn: = {2(2 ^{8} -1)} over {2-1} - {8 TIMES 9} over {2} +24]

[eqn: =2 ^{9} -2-36+24][eqn: = 498]

14. 통계

정답 ①

정규분포를 따르는 두 연속확률변수 [eqn: X,] [eqn: Y]에 대하여

조건 (가)에서 [eqn: Y= aX(a>0)]이므로 조건(나)에서

[eqn: {rmP}(X LEQ 18)+{rmP}(Y GEQ 36)=1]

[eqn: {RmP}(X LEQ 18)+{RMP}(aX GEQ 36)=1]

[eqn: {RMP}(X LEQ 18)+{RMP}` LEFT ( X GEQ 36 over a RIGHT)=1]

이므로 [eqn: a=2] 조건 (다)에서

[eqn: {RMP}(X LEQ28)][eqn: ={RM P}(Y GEQ28)][eqn: ={RMP}(2X GEQ 28)]
[eqn: ={RMP}(X GEQ 14)]

[eqn: THEREFORE~][eqn: {RMP}(X GEQ 28)`=`{RMP}(X GEQ 14)]

확률 변수 [eqn: X]는 정규분포를 따르므로 [eqn: {RME}(X)=m]이라 하면, 확률밀도함수 [eqn: x=m]에 대칭이다.

그러므로 [eqn: m = 28+14 over 2 = 21]이다.

[eqn: THEREFORE~RME(ITX)=21]

[eqn: THEREFORE ~{RME}(Y)][eqn: ={RME}(2X)][eqn: =2{RME}(X)][eqn: =2 times 21 = 42]

15. 수열의 극한

정답 ②

자연수 [eqn: n]에 대하여 점 [eqn: {RMA}_n]의 좌표를 [eqn: (x_n,~ y_n )]이라 할 때, 조건 (가)에서 [eqn: x_1 =1,~ y_1 =2]

조건 (나)에서 [eqn: rm B it rm _{n} (ity _{n} +1,~x _{n} )]이므로

조건 (다)에서 [eqn: rm A _{it n+1 rm} LEFT ( itx _{ n}+1,~y _{ n}+2 RIGHT )]이다. 따라서

[eqn: x_n+1 =x_n +1,~y_n+1 = y_n +2]이다.

즉, 수열 [eqn: LEFT { x_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1]이며 공차가 [eqn: 1]인 등차수열이고, 수열 [eqn: LEFT { y_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 1]이며 공차가 [eqn: 2]인 등차수열이다.

따라서 두 수열 [eqn: LEFT { x _{n} RIGHT } ,~ LEFT { y _{n} RIGHT }]의 일반항 [eqn: x _{n} ,~y _{n}]은 각각

[eqn: x_n =n], [eqn: y_n = 2n]이므로

[eqn: {rmA} _{n} (n,~2n),] [eqn: {rmB}_n (2n+1,~ n)]

[eqn: THEREFORE] [eqn: bar{{rm A}_n {rmB}_n}][eqn: = root { LEFT { (2n+1)-n RIGHT }^2 + (n-2n)^2}]
[eqn: = root { 2n^2 +2n +1}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{n` -> ` INF } {} {{bar{{rmA} _{n} {rmB} _{n}}}} over {n}][eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {sqrt {2n ^{2} +2n+1}} over {n}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {sqrt {2+ {2} over {n} + {1} over {n ^{2}}}} over {1}]
[eqn: =root 2]

16. 다항함수의 적분법

정답 ⑤

함수 [eqn: f(x)= -x(x-4)]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2]만큼 평행이동 한 곡선을 [eqn: y=g(x)]라 하면

[eqn: g(x)=f(x-2)= - (x-2)(x-6)]

이때, 곡선 [eqn: f(x)]와 곡선 [eqn: g(x)]는 직선 [eqn: x=3]에 대하여 대칭이므로 [eqn: S_1]과 [eqn: S_3]의 넓이는 같으며, [eqn: S_2]는 직선 [eqn: x=3]에 의해 이등분된다.

[eqn: THEREFORE ~S _{2}][eqn: = 2 int _{ 3} ^{4 } {f(x)dx }][eqn: =2 int _{ 3} ^{4 } (-x^2 +4x)dx]
[eqn: =2 LEFT [ - 1 over 3 x^3 +2x^2 RIGHT ] _{ 3} ^{4 }][eqn: =2 LEFT { LEFT ( - {64} over {3} +32 RIGHT ) - LEFT ( - {27} over {3} +18 RIGHT ) RIGHT }][eqn: = 10 over3]

[eqn: S_1][eqn: = S_3][eqn: = int _{ 0} ^{4 } f(x)dx - S_2]
[eqn: = int _{0} ^{4} {} (-x ^{2} +4x)dx- {10} over {3}]
[eqn: =LEFT [ - 1 over 3 x^3 +2x^2 RIGHT ]_{ 0} ^{4 } - 10 over 3]
[eqn: =- {64} over {3} +32- {10} over {3}][eqn: = 22 over 3]

[eqn: THEREFORE ~ {S _{2}} over {S _{1} +S _{3}} = {{10} over {3}} over {{44} over {3}} = {5} over {22}]

17. 수열의 극한

정답 ②

이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에서 선분 [eqn: RM BC]의 중점 [eqn: RM M_1]을 잡으면, 삼각형 [eqn: RM ABM_1]은 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해 [eqn: RM bar AM_1 =4] 구하고자 하는 직각삼각형 [eqn: RM B_{it n} M_{it n} C_{it n}]의 넓이 [eqn: S_n]은 삼각형 [eqn: rm B _{it n rm} M _{it n+1 rm} M _{it n rm}]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm C _{it n rm} M _{it n+1 rm} M _{it n rm}]의 넓이의 합이다. 이때, 삼각형 [eqn: RM B_{it n} M_{it n+1} M_{it n}]과 삼각형 [eqn: RM C_{it n} M_{it n+1} M_{it n}]은 합동인 직각이등변삼각형이다.

따라서 직각이등변삼각형 [eqn: RM B_{it n} M_{it n+1} M_{it n}]의 넓이를

[eqn: a_n]이라 하면

[eqn: S_n =2a_n]	…… ㉠

우선 직각이등변삼각형 [eqn: RM B_1 M_1 C_1]의 넓이 [eqn: S_1]을 구하면,

삼각형 [eqn: RMABM_1]과 삼각형 [eqn: RM AB_1 M_2]는 닮음이므로

[eqn: RM bar BM_1 : bar{M_1 A} = bar{B_1 M_2} ``:`` bar {M_2 A} = 3:4]

[eqn: 4 {rm bar {B_1 M_2} = 3 bar {M_2 A}]

[eqn: 4 rm bar{B _{1} M _{2}} =3 LEFT ( bar{M _{1} A} - bar{M _{1} M _{2}} RIGHT ) it]

[eqn: 4 {rm bar {B_1 M_2} = 3 LEFT ( bar {M_1 A} - bar{B_1 M_2} RIGHT )]

[eqn: 4 rm bar{B _{1} M _{2}} =3 bar{M _{1} A} -3 bar{B _{1} M _{2}}]

[eqn: 7 rm {bar{B _{1} M _{2}}} =][eqn: 3 {bar{rm M _{1} A it}} =3 TIMES 4=12]

[eqn: THEREFORE~][eqn: {rm bar {B_1 M_2} = 12 over 7]	…… ㉡

이때, ㉠에서 [eqn: S_1 =2a_1]이므로

[eqn: S_1 = 2 times LEFT ( 1 over 2 times 12 over 7 times 12 over 7 RIGHT ) = LEFT ( 12 over 7 RIGHT )^2]

[eqn: THEREFORE~][eqn: S_1 = LEFT ( 12 over 7 RIGHT )^2]	…… ㉢

이때, 위의 그림에서 점 [eqn: rm B_{it n}]에서 선분 [eqn: rm B_{it n-1} M_{it n}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H_{it n}]이라 하면 삼각형 [eqn: RM B_{it n}B_{it n-1} H_{it n}]과 삼각형 [eqn: rm ABM_1]은 닮음이다.

[eqn: rm bar{B _{it n-1 rm} H _{it n rm}} ``:`` rm bar{H _{it n rm} B _{it n rm}} = {rm bar {BM_1} ``:`` bar{M_1 A} = 3``:``4]

[eqn: 4 rm bar{B _{it n-1} H_{it n} }= 3bar{H _{it n} B_{it n}]

[eqn: 4 rm LEFT ( bar{B _{it n-1} M_{it n} }- bar{H _{it n} M_{it n}} RIGHT ) = 3 bar{B _{it n} M_{it n+1}}]

[eqn: 4 rm LEFT ( bar{B _{it n-1 rm} M _{it n rm}} - bar{B _{it n rm} M _{it n+1 rm}} RIGHT ) =3 bar{B _{it n rm} M _{it n+1 rm}}]

[eqn: THEREFORE~][eqn: rm {bar{B _{it n rm} M _{it n+1 rm}}} = {4} over {7} {bar{B _{it n-1 rm} M _{it n rm}}}]	…… ㉣

㉡, ㉣에서 [eqn: RM bar{B _{it n} M_{it n+1} }][eqn: =LEFT ( 12 over 7 RIGHT ) LEFT ( 4 over 7 RIGHT )^n-1]

직각이등변삼각형 [eqn: RM B_{it n} M_{it n+1} M_{it n}]의 넓이 [eqn: a_n]은

[eqn: a_n][eqn: = 1 over 2 times RM bar { B_{it n} M_{it n+1} }times bar{ M_{it n+1} M_{it n}}]
[eqn: = 1 over 2 times LEFT ( RM bar { B_{it n} M_{it n+1} } RIGHT )^2][eqn: = 1 over 2 LEFT { LEFT ( 12 over 7 RIGHT ) LEFT ( 4 over 7 RIGHT )^n-1 RIGHT }^2]

[eqn: THEREFORE ~ sum _{n=1} ^{INF } S _{n}][eqn: =sum _{ n=1} ^{inf } 2a_n][eqn: =2sum _{ n=1} ^{inf } a_n]
[eqn: = 2 sum _{ n=1} ^{inf } 1 over 2 LEFT { LEFT ( 12 over 7 RIGHT ) LEFT ( 4 over 7 RIGHT )^n-1 RIGHT }^2]
[eqn: = sum _{n=1} ^{INF } LEFT [ LEFT ( {12} over {7} RIGHT ) ^{2} LEFT { LEFT ( {4} over {7} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{n-1} RIGHT ]]
[eqn: = { LEFT ( 12 over 7 RIGHT )^2} over {1- LEFT ( 4 over 7 RIGHT )^2}][eqn: = {144} over {33}][eqn: = 48 over 11]

18. 다항함수의 미분법

정답 ④

[eqn: {1} over {3} x ^{3} -x=f(x)]라 하면 [eqn: f` prime (x)=x ^{2} -1]

곡선 [eqn: y=][eqn: f(x)] 위의 점 중에서 제[eqn: 1]사분면에 있는

점 [eqn: rmP]의 좌표를 [eqn: rm P it(a,~b)][eqn: (a>0,] [eqn: b>0)]라 하면

[eqn: b= 1 over 3 a^3 -a]	…… ㉠

이때, 점 [eqn: RM P]에서의 접선의 방정식을 [eqn: g(x)]라 하면

[eqn: g(x)=f` prime (a)(x-a)+b]

[eqn: =(a ^{2} -1)(x-a)+ {1} over {3} a ^{3} -a]             …… ㉡

㉡에 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: g(0)=- {2} over {3} a ^{3}]이므로

점 [eqn: RMQ]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,~- {2} over {3} a ^{3} RIGHT )]이다.

[eqn: THEREFORE ~ rm {bar{OQ}}][eqn: = LEFT | `- {2} over {3} a ^{3} ` RIGHT | `=` {2} over {3} a ^{3} `( BECAUSE ~a>0)]

점 [eqn: rmR][eqn: (0,~b)], 즉 [eqn: rm R LEFT ( 0,~ {1} over {3} it a ^{3} -a RIGHT )]이므로

[eqn: {bar{rmOR}}= { 1} over {3 }a ^{ 3}-a]

[eqn: {bar{rm OQ it}} : {bar{rm OR it}} =3:1,~3 {bar{rm OR it}}={bar{rm OQ it}}]이므로

[eqn: a ^{3} -3a= {2} over {3} a ^{3}], [eqn: 1 over 3 a^3 -3a=0]

[eqn: a^3 -9a =0], [eqn: a(a^2 -9)=0], [eqn: a(a+3)(a-3)=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a=0] 또는 [eqn: a=-3] 또는 [eqn: a=3]

이때, [eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3], [eqn: b=6]이다.

[eqn: THEREFORE ~ab=18]

19. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]	…… ㉠

이므로 [eqn: (2A-B)(A+2B)=E]

따라서

[eqn: 2A ^{2} -AB+4BA-2B ^{2}][eqn: =2A ^{2} +4AB-BA-2B ^{2}]

[eqn: 5AB -5BA=O]

[eqn: THEREFORE~][eqn: AB = BA]

이때, [eqn: AB=O]이므로 [eqn: BA=O]이다.

ㄴ. (참) [eqn: (A+2B)(2A-B)=E]

[eqn: 2A^2 -AB +4BA-2B^2 =E]

ㄱ에서 [eqn: AB=O,] [eqn: BA=O]이므로

[eqn: 2A^2 -2B^2 =E]

[eqn: 2(A+B)(A-B)=E]

[eqn: THEREFORE~][eqn: (A+B)^-1 = 2(A-B)]

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: 2A^2 -2B^2 =E]에서

[eqn: A^2 -B^2 = 1 over 2 E]                          …… ㉡

[eqn: A^2 +B^2 = 1 over 2 E]                          …… ㉢

㉡[eqn: -]㉢을 하면 [eqn: B^2 =O]이다.

[eqn: (A+2B)(2A-B)=E]의 양변의 왼쪽에 행렬 [eqn: B]를 곱하면

[eqn: B(A+2B)(2A-B)=B]

[eqn: (BA +2B^2 )(2A-B)=B]

[eqn: 2B^2 (2A-B)=B] [eqn: ( BECAUSE ~BA=O)]

[eqn: THEREFORE ~B=O( BECAUSE B ^{2} =O)]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. 수열

정답 ①

원점을 [eqn: RM O]라 하면, 원 [eqn: T _{it n rm}]의 반지름의 길이를 [eqn: r_n]이라 하자.

직선 [eqn: x=a_n]과 두 직선 [eqn: y=0,] [eqn: y=b_n x]의 교점을 각각 [eqn: RM A_{it n},~B_{it n}]이라 하고, 원 [eqn: T_{it n}]과 세 직선 [eqn: x=a_n ,] [eqn: y=b_n x,] [eqn: y=0]의 접점을 각각 [eqn: RM C_{it n} ,~D_{it n},~ E_{it n}]이라 하면

[eqn: RM A_{it n} (it a_n ,~0),] [eqn: rm B_{it n}( it a_n ,~ a_n b_n )]이므로

[eqn: RM bar {A_{it n} B_{it n}} = it a_n b_n]이고

[eqn: RM bar OB_{it n}][eqn: = root {a_n^2 +a_n^2 b_n^2 } = a_n root {```1```+b_n^2}]이다.

[eqn: RM bar OD_{it n}][eqn: = RM bar OB_{it n} + bar{ B_{it n}D_{it n}} = bar OB_{it n} + bar{B_{it n} C_{it n}}]
[eqn: =a_n root {```1``` +b_n^2 } + a_n b_n - r_n]

[eqn: rm bar OE_{it n} = it a_{it n} + r_{it n}]

원의 중심을 점 [eqn: RM P]라 하면 직각삼각형 [eqn: RM PD_{it n}O]와 직각삼각형 [eqn: rm POE _{it n rm}]은 [eqn: RM RHS]합동이고, [eqn: RM bar OD_{it n} = bar OE_{it n}]이므로

[eqn: a_n root { 1+b_n^2 } +a_n b_{it n} -r_n = a_n +r_n]

[eqn: 2r_n =a_n root {1+b_n^2} +a_{it n}b_n -a_n]

[eqn: 2r_n =a_n (b_n -1 + root {1+b_n^2 })]

[eqn: r_n = { a_n (b_n -1 + root {```1```+b_n^2}} over 2]

한편,

[eqn: a_n+1][eqn: =a_n +2 r_n]
[eqn: =a_n +2 times {a_n (b_n -1 + root { 1+b_n^2} ) }over 2]
[eqn: =a _{n} +a _{n} (b _{n-1} + sqrt {1+b _{n} ^{2}} )]
[eqn: = a_n (b_n + root {1+b_n^2 } )]

조건(Ⅱ)에서 [eqn: b_n = 1 over 2 LEFT ( n+1- 1 over n+1 RIGHT )]이므로

[eqn: a_n+1][eqn: = LEFT ( b_n +root {1+ LEFT { 1 over 2 LEFT ( n+1 - 1 over n+1 RIGHT ) RIGHT }^2 } RIGHT )times a_n]
[eqn: = LEFT ( b _{n} + sqrt {1+ 1 over 4 LEFT { (n+1)^2 -2+ LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT ) ^2RIGHT }}} RIGHT ) TIMES a _{n}]
[eqn: = LEFT ( b_n +root {1 over 4 LEFT { (n+1)^2 +2+2 LEFT (1 over n+1 RIGHT )^2 RIGHT } } RIGHT )times a_n]
[eqn: = LEFT ( b _{n} + {1} over {2} sqrt {LEFT { (n+1)+ LEFT ( {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT } ^{2}} RIGHT ) TIMES a _{n}]
[eqn: = LEFT { b _{n} + {1} over {2} LEFT ( n+1+ {1} over {n+1} RIGHT ) RIGHT } TIMES a _{n}]
[eqn: = LEFT { 1 OVER 2 LEFT ( n+1- 1 over n+1 RIGHT ) + 1 over 2 LEFT ( n+1+ 1 over n+1 RIGHT ) RIGHT } times a_n]
[eqn: =(n+1)times a_n]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a_n+1= a_n +2r = (```n+1```)times a_n (n GEQ1)]

이때 [eqn: a_1 =2]이고

[eqn: a_n =][eqn: times a_n-1 =][eqn: times a_n-2 =` CDOTS` =][eqn: times a_1]

즉, [eqn: a_n][eqn: =na _{n-1}][eqn: =n(n-1)a _{n-2}]

[eqn: =CDOTS `=n(n-1)(n-2) CDOTS TIMES 3 TIMES 2 TIMES a _{1}]
[eqn: =n! times a_1 = 2 n!]

이므로

[eqn: a_n = ```2n!]

[eqn: THEREFORE ~p=1,] [eqn: f(n)=n+1,] [eqn: g(n)=2n!]

[eqn: THEREFORE ~p+f(4)+g(4)=1+5+48=54]

21. 수열

정답 ②

자연수 [eqn: n]에 대하여 좌표평면에 원 [eqn: C_n]의 중심 [eqn: {rmC} _{n}]의 좌표를 구하면

[eqn: rmC_1 (1,~1),] [eqn: rmC_2 (-2,~1),] [eqn: rmC_3 (-2,~-4),] [eqn: rmC_4 (5,~-4),] [eqn: rmC _{ 5 }(5,~5),] [eqn: RMC_6 (-6,~5),] [eqn: RMC_7 (-6,~ -8),] [eqn: RMC_8 (9,~ -8),] [eqn: CDOTS CDOTS]이므로

[eqn: C_4k (4k+1,~-4k )] [eqn: (k는 ~자연수)]

따라서 원 [eqn: C_40]은 중심의 좌표가 [eqn: (41,~-40)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 40]인 원이므로 [eqn: (x-40)^2 +(y+40)^2 =40^2]이다.

이때, 원 [eqn: C_40]의 내부에 있는 원은 모두 제[eqn: 4]사분면에 있으므로 [eqn: n=4k]인 원들이다.

따라서 원 [eqn: C_40]의 중심 [eqn: rmC_40][eqn: (41,~-40)]과 [eqn: C_4k]의 중심 [eqn: {rmC}_4k][eqn: (4k+1,~-4k)]사이의 거리가 [eqn: 40]보다 작은 자연수 [eqn: k]의 개수를 구하면 된다.

[eqn: root { LEFT { (4k+1)-41 RIGHT }^2 + (-4k +40)^2} < 40]

[eqn: root {(4k-40)^2 +(4k-40)^2 }<40]

[eqn: root {2(4k -40)^2} <40], [eqn: root 2` LEFT |` 4k-40`RIGHT |`<40]

[eqn: 4 root 2` LEFT | `k-10`RIGHT |<40], [eqn: ` LEFT | `k-10` RIGHT | `<5 sqrt {2}]

[eqn: -5 root2 <k-10 < 5 root 2]

[eqn: 10-5 root 2 <k< 10+5 root 2]

[eqn: 2.×××<k<17.×××]

이므로 이를 만족하는 자연수 [eqn: k]는 [eqn: 3,~4,~5,~ CDOTS ,~17]의 [eqn: 15]개이다.

따라서 원 [eqn: C_40]의 내부에 있는 원의 개수는 [eqn: 15]개이다.

22. 다항함수의 미분법

정답 28

[eqn: lim _{ x`->`2} { } {f(x)-3 } over x-2 =4]에서 [eqn: x -> 2]일 때 (분모)[eqn: -> `0]이므로 (분자)[eqn: -> `0]이어야 한다.

[eqn: lim _{x` -> ``2} {LEFT { f(x)-3 RIGHT } =0}]이어야 하므로 [eqn: f(2)=3]

[eqn: lim _{x` -> `2} {} {f(x)-3} over {x-2}][eqn: = lim _{x` -> `2} {} {f(x)-f(2)} over {x-2}]
[eqn: =f'(2)]

[eqn: THEREFORE~][eqn: f'(2)=4]

이때, 함수 [eqn: g(x)=x^2 f(x)]에 대하여

[eqn: g'(x) =2xf(x)+x^2 f'(x)]이므로

[eqn: g prime (2)][eqn: =2 times 2 times f(2) +2^2 times f'(2)]
[eqn: =4 times 3 + 4 times 4]
[eqn: =12+16][eqn: =28]

23. 행렬과 그래프

정답 14

조건(가)와 조건(나)를 만족하면서 그을 수 있는 변의 개수의 최댓값을 구하기 위해서는 변의 다른 끝이 꼭짓점 [eqn: rmE]이어야 한다. 이때 각 꼭짓점 사이의 연결 관계를 표로 나타내면 다음과 같다.

	[eqn: rmA]	[eqn: RMB]	[eqn: RMC]	[eqn: RMD]	[eqn: rm E]
[eqn: rmA]	[eqn: 0]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: RMB]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 1]
[eqn: RMC]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 1]
[eqn: RMD]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 0]	[eqn: 1]
[eqn: rm E]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]

이를 행렬로 나타내면 [eqn: pmatrix { `0&&1&&1&&1&&1` #`1&&0&&0&&0&&1` #`1&&0&&0&&0&&1` #`1&&0&&0&&0&&1` #`1&&1&&1&&1&&0`}]

이므로 구하는 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 14]이다.

24. 통계

정답 71

신뢰구간이 [eqn: LEFT [ a,~b RIGHT ]]일 때, [eqn: b-a]는 신뢰구간의 길이이므로

[eqn: 2 TIMES 1.96 TIMES {1.2} over {sqrt {n}} LEQ 0.56]

[eqn: 8.4 LEQ sqrt {n}], [eqn: 70.56 LEQn]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 71]이다.

25. 수열

정답 18

[eqn: sum _{ k=1} ^{ n}(a_2k-1 +a_2k ) =2n^2 -n]

[eqn: a _{10} +a _{11} =20]이므로

[eqn: a_9 +a_12][eqn: =(a_9 +a_10 + a_11 +a_12 ) - (a_10 +a_11 )]
[eqn: = sum _{ k=5} ^{ 6} (a_2k-1 + a_2k )-20]
[eqn: =LEFT { sum _{ k=1} ^{ 6} (a_2k-1 + a_2k ) - sum _{ k=1} ^{4 } (a_2k-1 + a_2k )RIGHT } -20]
[eqn: =LEFT { (2 times 6^2 -6 ) -(2times 4^2 -4) RIGHT }-20][eqn: =18]

[eqn: THEREFORE~][eqn: a_9 +a_12 =18]

26. 수열

정답 90

역행렬이 존재하는 두 이차정사각행렬 [eqn: A,] [eqn: B]에 대하여 조건 (가)에서 [eqn: B=A^-1 BA]이므로 [eqn: AB=BA]이다.

[eqn: (A ^{-1} ) ^{n} BA ^{n} =][eqn: (A ^{-1} ) ^{n} BA` CDOTS CDOTS A][eqn: =(A ^{-1} ) ^{n} A ^{n} B]

└─ [eqn: n]개 ─┘

[eqn: =(A^-1 )^n A^n B = EB =B]

[eqn: B^n A(B^-1 )^n][eqn: = B`` CDOTS CDOTSBA(B^-1 )^n]

└─ [eqn: n]개 ─┘

[eqn: = AB^n (B^-1 )^nb =AE =A]

이므로 행렬 [eqn: X_n =B+A]이다.

이때,

[eqn: X_1 +X_2 +X_3 +`` CDOTS CDOTS``+X_10]

[eqn: =sum _{ k=1} ^{ 10}X_n][eqn: =sum _{ k=1} ^{ 10}(B+A)][eqn: =10(B+A)]

조건 (나)에서 두 행렬 [eqn: A,] [eqn: B]의 모든 성분의 합이 각각 [eqn: 1,] [eqn: 8]이므로 행렬 [eqn: A+B]의 성분의 합은 [eqn: 9]이다.

따라서 행렬 [eqn: X_1 + X_2 + `CDOTS`+X_10]의 모든 성분의 합은 [eqn: 90]이다.

27. 확률

정답 251

주사위를 [eqn: 4]번 던지고 난 후에 주머니 [eqn: rmA]에는 검은 구슬, 주머니 [eqn: rmB]에는 흰 구슬이 각각 한 개씩 남아 있을 확률은 주사위를 [eqn: 4]번 던졌을 때, [eqn: 3]의 배수의 눈이 [eqn: 2] 번 나와서 주머니 [eqn: rmA]에서 흰 구슬 [eqn: 2]번, 주머니 [eqn: rmB]에서 검은 구슬 [eqn: 2]번을 꺼내는 확률과 같다. 따라서 구하는 확률은

[eqn: `_4{rm C}_2 LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^2 LEFT ( 2over 3 RIGHT )^2 times LEFT ( 2 over 3 RIGHT )^2 LEFT ( 1 over 3 RIGHT )^2 = 8 over243]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p=243,] [eqn: q=8]

[eqn: THEREFORE~][eqn: p+q=251]

28. 다항함수의 미분법

정답 25

점 [eqn: RM A,] [eqn: RMB,] [eqn: RM C,] [eqn: RMD]의 좌표를 구하면 위의 그림과 같다. 직사각형 [eqn: rm ACDE]의 넓이를 [eqn: f(t)]라 하면

[eqn: f(t)][eqn: = rm bar AC times bar CD]
[eqn: = 1 over 2 t^2 LEFT { LEFT ( 10- 1 over 2 t^2 RIGHT ) -t RIGHT }]
[eqn: =- 1 over 4 t^2 - 1 over 2 t^3 +5t^2]

이고, [eqn: t]는 점 [eqn: rmA]와 점 [eqn: RM C]의 [eqn: x]좌표이므로 [eqn: t]의

범위는 [eqn: 0LEQt LEQ10]이다.

[eqn: 0LEQt LEQ10]일 때, 함수 [eqn: f(t)]가 최댓값을 가질 때,

[eqn: t]를 구하면

[eqn: f(t) = - 1 over 4 t^4 - 1 over 2 t^3 +5t^2]
[eqn: f'(t) = - t^3 - 3 over 2 t^2 +10t]

[eqn: -t^3 - 3 over 2 t^2 +10t =0], [eqn: 2t^3 + 3t^2 -20t =0]

[eqn: t(2t^2 +3t -20)=0], [eqn: t(2t-5)(t+4)=0]

[eqn: THEREFORE~][eqn: t=0] 또는 [eqn: t= 5 over 2] 또는 [eqn: t=-4]

함수 [eqn: f(t)]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: CDOTS]	[eqn: -4]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 5 over 2]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f'(t)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(t)]	↗	극대	↘	극소	↗	극대	↘

따라서 [eqn: 0LEQt LEQ10]일 때, 함수 [eqn: f(t)]는 [eqn: t= 5 over 2]에서 극대이며 최댓값을 갖는다.

그러므로 [eqn: 10t= 10 times 5 over 2 =25]이다.

[eqn: THEREFORE~][eqn: 10t=25]

29. 다항함수의 적분법

88

세 점 [eqn: (0,~0),~(x,~0),~(x _{k} ,~f(x _{k} ))]를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 넓이 [eqn: A _{it k rm}]는

[eqn: A_{it k}][eqn: = 1 over 2 times x_k times f(x_k )]이고, [eqn: x_k = 1 + 2over 7 k]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} {4} over {n} sum _{k=1} ^{n} A _{it k rm}]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {4} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} x _{k} f(x _{k} )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {4} over {n} sum _{k=1} ^{n} {1} over {2} LEFT ( 1 + 2 over n k RIGHT )f LEFT ( 1+ 2 over n k RIGHT )]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} {2} over {n} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( 1+ {2} over {n} k RIGHT ) f LEFT ( 1+ {2} over {n} k RIGHT )]
[eqn: = int _{1} ^{3} {xf(x)dx}][eqn: = int _{1} ^{3} {x(-4x^2 +12x+16)dx]
[eqn: = int _{1} ^{3} {(-4x ^{2} +12x+16)dx}]
[eqn: =LEFT [ -x^4 +4x^3 +8x^2 RIGHT ] _{ 1} ^{ 3} { }][eqn: =88]

[eqn: THEREFORE~][eqn: lim _{n` -> INF } {} 4 over n sum _{ k=1} ^{ n}A_k =88]

30. 로그와 로그함수

정답 992

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: log` n]의 지표를 [eqn: f(n),] 가수를 [eqn: g(n)]이라 할 때,

[eqn: log`n =f(n)+g(n)](단, [eqn: f(n)]은 정수, [eqn: 0LEQg(n)<1])

이다. 이때, [eqn: A_1 (f(1),~g(1))]에서

[eqn: f(1)=0,] [eqn: g(1)=0]이므로 [eqn: A_1 (0,~0)]이고,

[eqn: 10<k<m<1000]을 만족하는 두 자연수 [eqn: k,] [eqn: m]에

대하여 [eqn: A_k (f(k),~g(k))], [eqn: A _{m} (f(m),~g(m))]에서

[eqn: 1LEQf(k) LEQ2 ,] [eqn: 1LEQf(m) LEQ2]이고, 세 점 [eqn: A _{1} ,] [eqn: A _{k} ,] [eqn: A_m]이 한 직선 위에 있으므로 직선 [eqn: A _{1} A _{k}]와 직선 [eqn: A_1 A_m]의 기울기가 같아야 한다.

즉, [eqn: g(k) over f(k) = g(m) over f(m)]

[eqn: f(m) times g(k)= f(k) times g(m)]

[eqn: f(m) times LEFT { log`k - f(k) RIGHT } = f(k) times LEFT { log`m -f(m) RIGHT }]

[eqn: f(m) times log`k = f(k) times log`m]	…… ㉠

[eqn: f(m) over f(k) = {log`m} over {log`k}] 이때, [eqn: k<m]이므로

[eqn: 1< {log`m} over {log`k} = f(m) over f(k)]

[eqn: f(k)<f(m)]이다.

[eqn: 1LEQf(k) LEQ2 ,] [eqn: 1LEQf(m) LEQ2]이므로

[eqn: f(k)=1,] [eqn: f(m)=2]이다.

그러므로 [eqn: k]는 두 자리 자연수이고, [eqn: m]은 세 자리 자연수이다.

이때, ㉠에서

[eqn: log`k^f(m) = log`m ^f(k)], [eqn: k^f(m) = m^f(k)]

[eqn: k ^{2} =m~( BECAUSE `f(k)=1,~f(m)=2)]

이므로 [eqn: k+m]의 최댓값은 [eqn: m]이 세 자리 제곱수 중 가장 큰 수일 때, [eqn: k] 역시 주어진 조건을 만족하면서 가장 큰 수이면 된다. 즉, 세 자리 제곱수 중에서 가장 큰 수를 찾으면 [eqn: (31)^2 = 961]이므로 [eqn: k=31,] [eqn: m=961]이다.

따라서 [eqn: k+m]의 최댓값은 [eqn: 991]