수학 영역(나형)

수학 영역(나형)

2018학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나형)

제 2 교시

[eqn: 5 ^{3} TIMES 5 ^{-2}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4}]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{5 TIMES 4 ^{n}} over {4 ^{n} +1}}]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

두 집합 [eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `1,``2 RIGHT }]에 대하여
집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x-2]에 대하여 [eqn: f `^{ -1} LEFT ( 0 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

전체집합 [eqn: U= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A]에 대하여
[eqn: LEFT { `3,``4,``5 RIGHT } SMALLINTER A= EMPTYSET]을 만족시키는 모든 집합 [eqn: A]의 개수는? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 32]

실수 [eqn: x]에 대한 두 조건

[eqn: p`:`x ^{2} -a=0]
[eqn: q`:`x=2]

에 대하여 [eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 양수 [eqn: a]의
값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 2+h RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {3h}} =5]를 만족시킬 때,
[eqn: f` prime LEFT ( 2 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

[eqn: x>0]인 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: 4x+ {a} over {x}] ([eqn: a>0])

의 최솟값이 [eqn: 2]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {4}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {3} over {4}]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: {5} over {4}]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( a _{n} - {2n} over {3n+1} RIGHT ) =11]일 때,
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {a _{n}}]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

그림은 집합 [eqn: X`]에서 [eqn: X`]로의 두 함수 [eqn: f], [eqn: g`]를 나타낸 것이다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: X]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: X]

[eqn: f]

[eqn: g]

[eqn: LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT ) + LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} -6x ^{2} +9x+1]이 [eqn: x=alpha]에서 극댓값 [eqn: M`]을
가질 때, [eqn: alpha +M`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 12]

유리함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {3x+1} over {x-k}]의 그래프의 두 점근선의 교점이
직선 [eqn: y=x] 위에 있을 때, 상수 [eqn: k]의 값은? (단, [eqn: k != it- {1} over {3}]) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

등차수열 [eqn: left{a_n right}]에 대하여 [eqn: a_6 -a_2 =a_4], [eqn: a _{1} +a _{3} =20]일 때,
[eqn: a_10]의 값은? [4점]

① [eqn: 30]	② [eqn: 35]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 45]	⑤ [eqn: 50]

[eqn: -3<`x<3]에서 정의된 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과
같다.

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: -3]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

부등식 [eqn: lim _{x` -> `a-} {f LEFT ( x RIGHT )} > lim _{x` -> `a+} {f LEFT ( x RIGHT )}]를 만족시키는 상수 [eqn: a]의 값은?
(단, [eqn: -3<a<3]) [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

수직선 위를 움직이는 점 [eqn: rmP]의 시각 [eqn: t]([eqn: t GEQ 0])에서의 위치 [eqn: x]가
[eqn: x=it-t ^{2} +6t]이다. 점 [eqn: rmP]의 속도가 [eqn: 2]일 때, 점 [eqn: RMP]의 위치는? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: {17} over {2}]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: {19} over {2}]	⑤ [eqn: 10]

어떤 자연수 [eqn: m]에 대하여 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} = it -1], [eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k}^{```2} =3]

을 만족시킨다. [eqn: sum _{k=1} ^{m} LEFT ( a _{k} +3 RIGHT ) ^{2} =60]일 때, [eqn: m]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

다음은 [eqn: sum _{k=1} ^{14} log _{2} LEFT { log _{k+1} LEFT ( k+2 RIGHT ) RIGHT }]의 값을 구하는 과정이다.

자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: log _{n+1} LEFT ( n+2 RIGHT ) = {` LEFT . {BOX{``````````(가) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .} over {log _{2} LEFT ( n+1 RIGHT )}]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{14} log _{2} LEFT { log _{k+1} LEFT ( k+2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =log _{2} ` LEFT ( {` LEFT . {BOX{``````````(나) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .} over {log _{2} 2} RIGHT )]

따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{14} log _{2} LEFT { log _{k+1} LEFT ( k+2 RIGHT ) RIGHT } =][eqn: ` LEFT . {BOX{``````````(다) _{`}^{`} `````````}} RIGHT .]

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( n RIGHT )]이라 하고, (나), (다)에 알맞은
수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p+q RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} +a _{n} =2n ^{2}]

을 만족시킨다. [eqn: a _{3} +a _{5} =26]일 때, [eqn: a _{2}]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 2]인 정사각형 [eqn: rm AB _{1} C _{1} D _{1}] 안에
꼭짓점 [eqn: rm C _{1}]을 중심으로 하고 선분 [eqn: rm C _{1} B _{1}]을 반지름으로 하는
사분원을 그린다. 호 [eqn: rm B _{1} D _{1}]을 이등분하는 점을 [eqn: rm C _{2}]라 하고
삼각형 [eqn: rm C _{2} B _{1} D _{1}]에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1}]이라 하자.
그림 [eqn: R _{`1}]에서 선분 [eqn: rm AB _{1}] 위의 점 [eqn: RMB _{2}], 선분 [eqn: rm AD _{1}] 위의 점 [eqn: rm D _{2}]와
두 점 [eqn: RMA], [eqn: RMC _{2}]를 꼭짓점으로 하는 정사각형 [eqn: RMAB _{2} C _{2} D _{2}]를 그리고,
정사각형 [eqn: RMAB _{2} C _{2} D _{2}] 안에 꼭짓점 [eqn: rm C _{2}]를 중심으로 하고
선분 [eqn: rm C _{2} B _{2}]를 반지름으로 하는 사분원을 그린다. 호 [eqn: rm B _{2} D _{2}]를
이등분하는 점을 [eqn: rm C _{3}]이라 하고 삼각형 [eqn: rm C _{3} B _{2} D _{2}]에 색칠하여 얻은
그림을 [eqn: R _{`2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n}]에 색칠되어
있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n}}]의 값은? [4점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm B _{1}]

[eqn: rm C _{1}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm D _{2}]

[eqn: rm B _{2}]

[eqn: rm D _{1}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: rm C _{2}]

[eqn: R _{1}]

[eqn: R _{2}]

[eqn: CDOTS]

[eqn: CDOTS]

[eqn: rm C _{3}]

① [eqn: {12-5 sqrt {2}} over {7}]	② [eqn: {11-4 sqrt {2}} over {7}]	③ [eqn: {10-3 sqrt {2}} over {7}]	④ [eqn: {12-4 sqrt {2}} over {7}]	⑤ [eqn: {12-3 sqrt {2}} over {7}]

실수 [eqn: t]에 대하여 좌표평면에서 집합

[eqn: LEFT . LEFT { {}^{`} (`x,``y) RIGHT | `y=x`` RIGHT . `]또는[eqn: `it `y =left ( x-a RIGHT ) ^{2} -a RIGHT }] (단, [eqn: a]는 실수)

가 나타내는 도형이 직선 [eqn: x+y=t]와 만나는 점의 개수를
[eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
[4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: a=0]일 때, [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =2]이다. ㄴ. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]는 [eqn: t=it- {1} over {4}]에서 불연속이다. ㄷ. 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t=alpha]에서 불연속이 되는 실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 2]인 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: {1} over {4}]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단 답 형

[eqn: log _{2} `a=3]일 때, 양수 [eqn: a]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: y= sqrt {3x}]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼
평행이동시킨 그래프가 함수 [eqn: y= sqrt {3x-27}]의 그래프와
일치하였다. 상수 [eqn: m]의 값을 구하시오. [3점]

두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{LEFT ( a-2 RIGHT ) n ^{2} +bn} over {2n-1}} =5]일 때,
[eqn: a+b]의 값을 구하시오. [3점]

함수 [eqn: f(x)]의 그래프 위의 임의의 점 [eqn: (x], [eqn: f(x))]에서의 접선의
기울기가 [eqn: 4x-1]이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]일 때, [eqn: f(2)]의 값을 구하시오.
[3점]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: lim _{x` -> `1} {{`f LEFT ( x RIGHT ) -3} over {x-1}} =2]를 만족시킨다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오. [4점]

모든 항이 양수인 등비수열 [eqn: left{a_n right}]이 다음 조건을 만족시킬 때,
[eqn: a _{3}]의 값을 구하시오. [4점]

(가) [eqn: a _{1} TIMES a _{2} =2a _{3}]

(나) [eqn: sum _{k=1} ^{20} `a _{k} = {a _{21} -a _{1}} over {3}]

그림과 같이 곡선 [eqn: y= sqrt {4x-3}] 위에 두 점 [eqn: rm A LEFT ( `1,``1 RIGHT )]과
[eqn: rm P LEFT ( ` it t,`` sqrt {4t-3} RIGHT )]이 있다. 점 [eqn: RMA]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm B],
점 [eqn: RMP]에서 [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm Q]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm PAB]와
삼각형 [eqn: rm PQA]의 넓이를 각각 [eqn: S` LEFT ( t RIGHT )], [eqn: T `LEFT ( t RIGHT )]라 하자.
[eqn: lim _{t` -> `1+} {{T` LEFT ( t RIGHT )} over {S` LEFT ( t RIGHT )}}]의 값을 구하시오. (단, [eqn: t>1]) [4점]

[eqn: y]

[eqn: rmQ]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: rmP]

[eqn: y= sqrt {4x-3}]

[eqn: rm A]

최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 함수

[eqn: g(x)= {cases{{1} over {x-4} _{`}&``` LEFT ( x != 4 RIGHT ) _{`}#```2 ^{`}&``` LEFT ( x=4 RIGHT ) ^{`}}}]

에 대하여 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의
집합에서 미분가능하고 [eqn: h` prime LEFT ( 4 RIGHT ) =6]이다. [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT )]의 값을 구하시오.
[4점]

그림은 다음 조건을 만족시키는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
일부이다.

(가) [eqn: 0 LEQ x<4]일 때, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT | x-2 RIGHT | -1]이다.

(나) 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: f LEFT ( x+4 RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )]이다.

[eqn: y]

[eqn: 3]

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: 4]

[eqn: 8]

[eqn: x]

[eqn: -4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 6]

[eqn: 10]

함수

[eqn: g(x)= lim _{n -> INF } {{LEFT { f(x) RIGHT } ^{2n+1} -1} over {LEFT { f(x) RIGHT } ^{2n} +1}}]

이라 할 때, 자연수 [eqn: m]에 대하여 방정식 [eqn: mg(x)=x+m]의
실근의 개수를 [eqn: a _{m}]이라 하자. [eqn: sum _{m=1} ^{21} a _{m}]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.