• 수학 영역 [나형] •

정 답

1	②	2	⑤	3	①	4	④	5	③
6	①	7	⑤	8	④	9	②	10	①
11	③	12	④	13	②	14	①	15	③
16	②	17	⑤	18	③	19	④	20	⑤
21	②	22	[eqn: 26]	23	[eqn: 15]	24	[eqn: 12]	25	[eqn: 27]
26	[eqn: 5`]	27	[eqn: 20]	28	[eqn: 40]	29	[eqn: 36]	30	[eqn: 480]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( 3 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{2} =3 ^{{1} over {2} TIMES 2} =3 ^{1} =3`]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A ^{C} `= LEFT { 4,~5 RIGHT } `]이므로 [eqn: A ^{C`}]의 모든 원소의 합은

[eqn: 4+5=9`]이다.

3. [출제의도] 수열의 극한 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{n-3} over {2n+1} = lim _{n -> INF } {{1- {3} over {n}} over {2+ {1} over {n}} = {1} over {2}}} `]이다.

4. [출제의도] 등비수열 이해하기

첫째항이 [eqn: 2`]이고 공비가 [eqn: 3`]이므로

[eqn: a _{3} =2 TIMES 3 ^{2} =18`]이다.

5. [출제의도] 역함수 이해하기

[eqn: f ^{-1} (5)=1`]이므로 [eqn: f(1)=5`]이다.

따라서 [eqn: 5=f(1)=2+k`]이고 [eqn: k=3`]이다.

6. [출제의도] 명제의 참, 거짓 이해하기

명제가 참이 되기 위해서는

[eqn: a ^{2} +6a-7=0`]에서 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) LEFT ( a+7 RIGHT ) =0`]이다.

따라서 [eqn: a=1`] 또는 [eqn: a=-7`]이다.

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=1`]이다.

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `2+} {f(x)+ lim _{x` -> `0-} {f(x)=0`} +2=2`}]이다.

8. [출제의도] 부분집합의 개수 이해하기

[eqn: LEFT { 1,`2 RIGHT } SUBSET X SUBSET LEFT { 1,`2,`3,`4,5 RIGHT } `]이므로 집합 [eqn: X`]의 개수는 집합 [eqn: LEFT { 3,`4,`5 RIGHT }]의 부분집합의 개수와 같다.

따라서 집합 [eqn: X`]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8]이다.

9. [출제의도] 함수의 합성 문제 해결하기

[eqn: (f CIRC g)(a)=f(a ^{2} -1)=2(a ^{2} -1)-1=2a ^{2} -3=5]이므로 [eqn: a=±2`]이다.

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=2`]이다.

[다른 풀이]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 일대일 대응이다.

[eqn: f LEFT ( g LEFT ( a RIGHT ) RIGHT ) =5`]이고 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =5`]이므로 [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =3`]이다.

따라서 [eqn: a ^{2} -1=3`]이고 [eqn: a=±2`]이다.

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: a=2`]이다.

10. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

[eqn: 2 ^{a} =5]이고 [eqn: 5 ^{b} =7`]이므로 [eqn: (2 ^{a} ) ^{b} =(5) ^{b} =7`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: ab=log _{2} 5 TIMES log _{5} 7]

[eqn: = {log _{10} 5} over {log _{10} 2} TIMES {log _{10} 7} over {log _{10} 5}]

[eqn: = {log _{10} 7} over {log _{10} 2}][eqn: =log _{2} 7]

그러므로 [eqn: (2 ^{a} ) ^{b} =2 ^{ab} =2 ^{log _{2} 7} =7`]이다.

11. [출제의도] 무리함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]는 함수 [eqn: y= sqrt {-x} `]를 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 함수이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {-(x-2)} +1][eqn: = sqrt {-x+2} +1]이다.

[eqn: sqrt {-x+a} +b`][eqn: = sqrt {-x+2} +1]이므로

[eqn: a=2`], [eqn: b=1`]이고 [eqn: a+b=3`]이다.

12. [출제의도] 급수 계산하기

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT { {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {2 TIMES 4} +` CDOTS `+ {1} over {n TIMES (n+2)} RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n -> INF } {LEFT { LEFT ( 1- {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {2} - {1} over {4} RIGHT ) +` CDOTS RIGHT .}]

[eqn: LEFT . + LEFT ( {1} over {n-1} - {1} over {n+1} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {n} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {2} - {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) `}][eqn: = {3} over {4} `]

13. [출제의도] 등비수열의 합 이해하기

첫째항이 [eqn: a`]이고 공비가 [eqn: r`]인 등비수열에서

[eqn: S _{3} = {a(1-r ^{3} )} over {1-r} =21`]이므로

[eqn: S _{6} = {a(1-r ^{6} )} over {1-r} = {a(1-r ^{3} )(1+r ^{3} )} over {1-r} =21(1+r ^{3} )=189`]이다. [eqn: 1+r ^{3} =9`]이므로 [eqn: r ^{3} =8`]이고 [eqn: r=2`]이다.

[eqn: S _{3} = {a LEFT ( 1-2 ^{3} RIGHT )} over {1-2} =7a=21]이므로 [eqn: a=3`]이고

[eqn: a _{5} =ar ^{4} =3 TIMES 2 ^{4} =48`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: S _{3} =a+ar+ar ^{2} `=21`]

[eqn: S _{6} =a+ar+ar ^{2} +r ^{3} (a+ar+ar ^{2} )]

[eqn: =(1+r ^{3} )(a+ar+ar ^{2} `)`]

[eqn: =21(1+r ^{3} )`]

[eqn: S _{6} =189`]이므로 [eqn: 21(1+r ^{3} )=189]에서

[eqn: r ^{3} =8`]이고 [eqn: r=2`]이다.

[eqn: S _{3} =a+2a+2 ^{2} a`=7a=21]이므로 [eqn: a=3`]이다.

[eqn: a _{5} =ar ^{4} =3 TIMES 2 ^{4} =48`]이다.

14. [출제의도] 수열의 합 계산하기

[eqn: sum _{k=1} ^{10} {k ^{3}} over {k+1} + sum _{k=1} ^{10} {1} over {k+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} {k ^{3} +1} over {k+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} {(k+1)(k ^{2} -k+1)} over {k+1}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} (k ^{2} -k+1)]

[eqn: = sum _{k=1} ^{10} k ^{2} - sum _{k=1} ^{10} k+ sum _{k=1} ^{10} 1]

[eqn: = {10 TIMES 11 TIMES 21} over {6} - {10 TIMES 11} over {2} +1 TIMES 10]

[eqn: =385-55+10][eqn: =340]

15. [출제의도] 유리함수의 그래프 문제 해결하기

[eqn: y= {3x+k-10} over {x+1} `=3+ {k-13} over {x+1} `]이므로

점근선의 방정식은 [eqn: x=-1`], [eqn: y=3`]이다.

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: 3]

이 함수의 그래프가 제[eqn: 4`]사분면을 지나기 위해서는 그림과 같이 [eqn: k-13<0`]이고 ([eqn: y`]절편)[eqn: =k-10<0`]이어야 한다.

따라서 [eqn: k<10]이고, 자연수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 9`]이다.

16. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 외적 문제 해결하기

자격증 [eqn: rm A`]를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: A`], 자격증 [eqn: rm B`] 를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: B`], 자격증 [eqn: rm C`]를 취득한 수강생의 집합을 [eqn: C`]라 하자.

각 영역에 속하는 원소의 개수를 벤 다이어그램에 나타내면 아래 그림과 같다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: C]

[eqn: a]

[eqn: b]

[eqn: c]

[eqn: d]

[eqn: f]

[eqn: x]

[eqn: e]

수강생 수는 총 [eqn: 35``]명이고 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 어느 것도 취득하지 못한 수강생이 [eqn: 3`]명이므로 [eqn: n(A CUP B CUP C`)`=35-3=32`]이다.

이 학원의 수강생 중에서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를

모두 취득한 수강생이 없으므로 [eqn: x=0`]이다.

자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 취득한 수강생이

각각 [eqn: 21`]명, [eqn: 18`]명, [eqn: 15`]명이므로

[eqn: a+d+f=21`]…①

[eqn: b+d+e`=18`]…②

[eqn: c+e+f`=15]…③

①[eqn: +]②[eqn: +]③을 하면

[eqn: a+b+c+2 (d+e+f)`=54]…④ 이고

[eqn: n(A SMALLUNIONB SMALLUNIONC)`=a+b+c+d+e+f`=32]…⑤ 이다.

④-⑤를 하면 [eqn: d+e+f=22`]이다.

따라서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 두 종류의 자격증만 취득한 수강생 수는 [eqn: 22]이다.

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 추론하기

주어진 식 [eqn: LEFT ( ＊ RIGHT ) `]의 양변을 [eqn: {n(n+1)} over {2 ^{`}}]로 나누면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {n} > {2n} over {n+1}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이므로 [eqn: n GEQ 2`]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여

(i) [eqn: n=2`]일 때,
(좌변)[eqn: = {BOX{````` {3} over {2} ````}}], (우변)[eqn: = {4} over {3} `]이므로 ㉠이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k`][eqn: (k GEQ 2)`]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} > {2k} over {k+1} `] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이다. ㉡의 양변에 [eqn: {1} over {k+1} `]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2k+1} over {k+1}]

이 성립한다. 한편,

[eqn: {2k+1} over {k+1} -][eqn: {BOX{````` {2(k+1)} over {k+2} ````}}][eqn: = {k} over {(k+1)(k+2)} >0]

이므로

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + {1} over {k+1} >][eqn: {BOX{````` {2(k+1)} over {k+2} ````}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ㉠이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ㉠이 성립하므로 [eqn: LEFT ( ＊ RIGHT ) `]도 성립한다.

위 과정에서 [eqn: p= {3} over {2}], [eqn: f(k)= {2(k+1)} over {k+2} `]이므로

[eqn: 8p TIMES f(10)=8 TIMES {3} over {2} TIMES {22} over {12} =22`]이다.

18. [출제의도] 함수의 극한 문제 해결하기

점 [eqn: rm`M]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {t} over {2} , {t ^{2}} over {2} RIGHT )]이므로 직선 [eqn: ` rm `AB]의 방정식은 [eqn: y= {t ^{2}} over {2}]이다. 점 [eqn: rmB]는 곡선 [eqn: y=x ^{2} `]과 직선 [eqn: y= {t ^{2}} over {2}]의 교점이고, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x`]좌표는 방정식 [eqn: x ^{2} = {t ^{2}} over {2}]의 양의 해이므로 [eqn: x= {sqrt {2}} over {2} t`]이다. 따라서

[eqn: rm ` {bar{AB}} =it sqrt 2 over 2 t times 2 = sqrt {2} t`],  [eqn: {bar{rm`OP`}} =it sqrt {t ^{2} +t ^{4}} =t sqrt {1+t ^{2}}]

이다. 그러므로

[eqn: lim _{t` -> `0+} {{{bar{rm `AB`` it}}} over {{bar{rm OP`` it}}}} = lim _{t` -> `0+} {{sqrt {2} `t} over {t sqrt {1+t ^{2}}} = lim _{t` -> `0+} {{sqrt {2} `} over {sqrt {1+t ^{2}}} = sqrt {2}}}] 이다.

19. [출제의도] 등비급수를 이용하여 도형 문제 추론하기

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm N]

[eqn: rm P]

O

그림 [eqn: rmR _{1}]에서 반원의 중심을 [eqn: rmO]라 하면 [eqn: {bar{rm`OP`}} =2`], [eqn: {bar{rm `ON` it}} =1`] 이므로 [eqn: {bar{rm `NP` it}} = sqrt {3} `]이다. 따라서 [eqn: R _{1} `]에서 색칠되어 있는 부분의 넓이 [eqn: S _{1`} `]은 다음과 같다.

[eqn: S _{1} =(반원`O`의```넓이)-(삼각형` rm ABP의```넓이)`]

[eqn: = {1} over {2} pi LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) - {1} over {2} TIMES 4 TIMES sqrt {3}]

[eqn: =2( pi - sqrt {3} )`]

이다. 한편, 그림 [eqn: R _{n}]에서 그림 [eqn: R _{n+1}]을 얻을 때  새로 그려지는 사각형들은 그림 [eqn: R _{n}]에서 새로 그린 사각형보다 넓이는 [eqn: LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} `]배로 줄어들고, 개수는 [eqn: 2]배가 되므로 수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } `]의 공비 [eqn: r= LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES 2= {1} over {2} `]이다.

그러므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {S _{n} = {S _{1}} over {1-r} = {2( pi - sqrt {3} )} over {1- {1} over {2}} =4( pi - sqrt {3} )}]

이다.

20. [출제의도] 함수의 합성을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f(f(1))=f(2)=0`] (참)

ㄴ. 그림과 같이 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근의 개수는 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=x`]의 교점의 개수와 같다.

따라서 방정식 [eqn: f(x)=x]의 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다.(참)

ㄷ. 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =t`]로 치환하고 방정식 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =t`]를 만족하는 해를 구해보면

[eqn: LEFT | 2t-4 RIGHT | =t`]에서 [eqn: t= {4} over {3} `] 또는 [eqn: t=4`]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {4} over {3} `] 또는 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4`]를 만족하는 [eqn: x`]의 값을 구하면 된다.

ⅰ) [eqn: f(x)= {4} over {3} `]인 경우

[eqn: LEFT | 2x-4 RIGHT | = {4} over {3} `]에서 [eqn: x= {4} over {3} `] 또는 [eqn: x= {8} over {3} `]이다.

ⅱ) [eqn: f(x)=4`]인 경우

[eqn: LEFT | 2x-4 RIGHT | =4`]에서 [eqn: x=0`] 또는 [eqn: x=4`]이다.

ⅰ), ⅱ)에 의해 방정식 [eqn: f(f(x))=f(x)]의 모든 실근의 합은 [eqn: {4} over {3} + {8} over {3} +0+4=8`]이다.(참)

[다른 풀이]

방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f(x)`]의 실근은 함수 [eqn: y=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 교점의 [eqn: x`]좌표와 같다.

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: = LEFT | 2f LEFT ( x RIGHT ) -4 RIGHT |]

[eqn: = {cases{2f LEFT ( x RIGHT ) -4``````````&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) GEQ 2 RIGHT )#4-2f LEFT ( x RIGHT )&LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) <2 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{2 LEFT | 2x-4 RIGHT | -4``````````&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1``또는``3 LEQ x LEQ 4 RIGHT )#4-2 LEFT | 2x-4 RIGHT |&LEFT ( 1<x<3 RIGHT )}}]

[eqn: = {cases{-4x+4``````````&LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1` RIGHT )#4x-4&LEFT ( 1<x<2 RIGHT )#-4x+12&LEFT ( 2 LEQ x<3 RIGHT )#4x-12&LEFT ( 3 LEQ x LEQ 4 RIGHT )}}]

이다.

그러므로 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f(x)`]의 실근은 그림과 같이 [eqn: 0`], [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: 4`]이다.

한편, [eqn: y=f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) `]는 직선 [eqn: x=2`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: alpha + beta =4`]이다.

따라서 방정식 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =f(x)`]의 실근의 합은 [eqn: 8`]이다.

21. [출제의도] 함수의 연속 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2} `]의 내부에 포함되는 정수 격자점의 개수이므로 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``1&```````` LEFT ( 0<t LEQ 1 RIGHT )#``5&``````` LEFT ( 1<t LEQ sqrt {2} RIGHT )#``9&``````` LEFT ( sqrt {2} <t LEQ 2 RIGHT )#VDOTS &```````````````````````````VDOTS }}]

위와 같이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2} `]이 정수 격자점을 지날 때마다 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 불연속이 된다. 그러므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t`])가 서로 다른 정수 격자점의 개수를 세면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]가 불연속이 되는 [eqn: t`]의 개수를 알 수 있다.

[eqn: 0<t<6`]이므로 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t`])가 서로 다른 정수 격자점은 그림과 같이

영역 [eqn: {cases{`0<x ^{2} +y ^{2} <6 ^{2}&#`0 LEQ y LEQ x&}}]에서 찾을 수 있다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: rmO]

[eqn: x=1`]일 때, [eqn: (1,0)], [eqn: (1,1)]

[eqn: x=2`]일 때, [eqn: (2,0)], [eqn: (2,1)], [eqn: (2,2)]

[eqn: x=3`]일 때, [eqn: (3,0)], [eqn: (3,1)], [eqn: (3,2)], [eqn: (3,3)]

[eqn: x=4`]일 때, [eqn: (4,0)`], [eqn: (4,1)], [eqn: (4,2)], [eqn: (4,4)]

[eqn: x=5`]일 때, [eqn: (5,0)`], [eqn: (5,1)`], [eqn: (5,2)`], [eqn: (5,3)`]

여기서 주의할 점은 그림과 같이 두 좌표 [eqn: (5,0)`]과 [eqn: (4,3)]은 원점으로부터 거리(반지름의 길이 [eqn: t`])가 같다. 따라서 불연속이 되는 [eqn: t`]의 개수는 [eqn: 17`]이다.

[참고] 구체적으로 [eqn: 0`<t`<6]일 때, 함수 [eqn: f(t)]가 불연속일 때의 좌표와 [eqn: t`]의 값을 표로 나타내면 다음과 같다.

좌표	[eqn: t]	좌표	[eqn: t]
[eqn: (1,0)]	[eqn: 1]	[eqn: (4,1)]	[eqn: sqrt {17}]
[eqn: (1,1)]	[eqn: sqrt {2}]	[eqn: (3,3)]	[eqn: 3 sqrt {2}]
[eqn: (2,0)]	[eqn: 2]	[eqn: (4,2)]	[eqn: 2 sqrt {5}]
[eqn: (2,1)]	[eqn: sqrt {5}]	[eqn: (4,3)],[eqn: (5,0)]	[eqn: 5]
[eqn: (2,2)]	[eqn: 2 sqrt {2}]	[eqn: (5,1)`]	[eqn: sqrt {26}]
[eqn: (3,0)]	[eqn: 3]	[eqn: (5,2)`]	[eqn: sqrt {29}]
[eqn: (3,1)]	[eqn: sqrt {10}]	[eqn: (4,4)]	[eqn: 4 sqrt {2}]
[eqn: (3,2)]	[eqn: sqrt {13}]	[eqn: (5,3)`]	[eqn: sqrt {34}]
[eqn: (4,0)`]	[eqn: 4]

22. [출제의도] 함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `5} {`(x ^{2} +1)} = 5^2 +1 = 26`]

23. [출제의도] 등차수열 이해하기

네 수 [eqn: 3`], [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: 12`]가 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: a-3 = 12 -b `]이고 [eqn: a+b=12+3=15`]이다.

24. [출제의도] 함수의 연속 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=1`]에서 연속이기 위해서는

[eqn: lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )} ``= lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f(1)`]을 만족시켜야 한다.

[eqn: lim _{x`-> `1-} {(2x+a)=2+a`}], [eqn: lim _{x` -> `1+} {(x+13)=14``}],

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =14`]이다. 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=1`]에서 연속이 되려면 [eqn: 2+a=14`]가 되어야 하므로 [eqn: a=12`]이다.

25. [출제의도] 급수의 수렴 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } ` LEFT ( a _{n} - {6n} over {n+1} RIGHT ) `]이 수렴할 때, [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {6n} over {n+1} RIGHT ) =0`}]이다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6n} over {n+1} =6`}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} = lim _{n` -> ` INF } {LEFT { LEFT ( a _{n} - {6n} over {n+1} RIGHT ) + {6n} over {n+1} RIGHT }} ``]

[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( a _{n} - {6n} over {n+1} RIGHT )} + lim _{n` -> ` INF } {{6n} over {n+1} `} ````]

[eqn: =0+6=6`]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 4a _{n} +3 RIGHT ) =27``}]이다.

26. [출제의도] 거듭제곱근 문제 해결하기

[eqn: m ^{n} `]의 세제곱근은 [eqn: m ^{{n} over {3}} `]이므로 이 값이 자연수가 되기 위해서는 [eqn: n=3`] 또는 [eqn: n=6`]이다.

ⅰ) [eqn: n=3]일 때,

조건을 만족시키는 [eqn: m=2`]이다.

ⅱ) [eqn: n=6]일 때,

조건을 만족시키는 [eqn: m]의 값은 [eqn: 2], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이다.

따라서 [eqn: m ^{n} `]의 세제곱근이 자연수가 되도록 하는

순서쌍 [eqn: (m,`n)`]은 다음과 같다.

[eqn: (2,`3)`], [eqn: (2,`6)`], [eqn: (3,`6)`], [eqn: (4,`6)`], [eqn: (5,`6)`]

그러므로 조건을 만족하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 5`]이다.

27. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 외적 문제 해결하기

[eqn: R=k` LEFT ( {W} over {D+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}}]에서

[eqn: R _{1} =k` LEFT ( {160} over {d+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `]이고, [eqn: R _{2} =k` LEFT ( {p} over {d+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `]

이다.

[eqn: {R _{1}} over {R _{2}} = {k left ( 160 over {d+10} right ) ^{1over3}} over {k left ( p over {d+10} right ) ^{1 over 3}} = left ( 160 over p right ) ^{1over 3} =2`]이고

[eqn: root {3} of {{160} over {p}} =2`]에서 [eqn: 160 over p = 8 `]이고 [eqn: p=20`]이다.

28. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: 1000=2 ^{3} times5 ^{3} `]에서 양의 약수의 개수는 [eqn: p=4`times4=16]이다.

[eqn: 1000`]의 서로 다른 모든 양의 약수를 작은 수부터 크기순으로 나열하면

[eqn: a _{1} =1`], [eqn: a _{2} =2], [eqn: a _{3} =2 ^{2} `], [eqn: cdots], [eqn: a _{16} =2 ^{3} ·5 ^{3} `]이고,

[eqn: a _{1} a _{16} =1· LEFT ( 2 ^{3} ·5 ^{3} RIGHT ) =10 ^{3}], [eqn: a _{2} a _{15} =2· LEFT ( 2 ^{2} ·5 ^{3} RIGHT ) =10 ^{3} `], [eqn: cdots], [eqn: a _{8} a _{9} = LEFT ( 5 ^{2} RIGHT ) LEFT ( 2 ^{3} ·5 ^{1} RIGHT ) =10 ^{3} `]이다. 따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{16} log _{`10} ``a _{k} ``]

[eqn: =log _{10} ``a _{1} +log _{10} ``a _{2} +log _{10} ``a _{3} +` CDOTS `+log _{10} ``a _{16} `]

[eqn: =log _{10} `a _{1} a _{16} +log _{10} a _{2} a _{15} +` CDOTS `+log _{10} a _{8} a _{9}]

[eqn: =log _{10} 10 ^{3} +log _{10} 10 ^{3} +` CDOTS `+log _{10} 10 ^{3}]

[eqn: =3+3+` CDOTS `+3=24]

이므로 [eqn: q=24]이다.

[eqn: p+q=16+24=40]

29. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 문제 해결하기

세 수 [eqn: {1} over {a} `], [eqn: {1} over {2} `], [eqn: {1} over {b} `]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =1]이고 [eqn: b over a > 0`]이다.

[eqn: a+25b`][eqn: =(a+25b) LEFT ( {1} over {a} + {1} over {b} RIGHT ) `]

[eqn: =26+ {25b} over {a} + {a} over {b} `]

[eqn: GEQ 26+2 sqrt {{25b} over {a} times {a} over {b}} =36`]

(단, 등호는 [eqn: a ^{2} =25b ^{2} `], 즉 [eqn: a=6`], [eqn: b= {6} over {5} `]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: a+25b`]의 최솟값은 [eqn: 36`]이다.

[다른 풀이]

세 수 [eqn: {1} over {a} `], [eqn: {1} over {2} `], [eqn: {1} over {b} `]은 이 순서대로 등차수열을 이루므로 [eqn: {1} over {a} + {1} over {b} =1]이고, [eqn: b= {a} over {a-1} `]이다.

여기서 [eqn: a`], [eqn: b`]의 부호가 같으므로 [eqn: a-1>0`]이다.

[eqn: a+25b=a+ {25a} over {a-1} `]

[eqn: =a+ {25 LEFT ( a-1 RIGHT ) +25} over {a-1} `]

[eqn: =a+25+ {25} over {a-1} `]

[eqn: = LEFT ( a-1 RIGHT ) + {25} over {a-1} +26`]

[eqn: GEQ 2 sqrt {LEFT ( a-1 RIGHT ) TIMES {25} over {a-1}} +26`]

[eqn: =2 sqrt {25} +26`]

[eqn: =36`]

(단, 등호는 [eqn: LEFT ( a-1 RIGHT ) ^{2} =25`], 즉 [eqn: a=6`]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: a+25b`]의 최솟값은 [eqn: 36`]이다.

30. [출제의도] 함수의 연속을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: x< -2`]일 때 모든 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]의 근을 구하면

[eqn: -3x-4=-x+a`]에서 [eqn: x= {-a-4} over {2} `]이다.

[eqn: x GEQ -2`]일 때 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]의 근은 아래와 같이 세 가지의 경우로 나누어서 구할 수 있다.

ⅰ) [eqn: k>0`]일 때

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=-x+a]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: x GEQ -2`]에서 곡선 [eqn: y=kx^2 +2kx+2`]의 그래프와 직선 [eqn: y=-x+a`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 다음과 같이 구할 수 있다.

[eqn: kx^2 +2kx +2 = -x +a`]

[eqn: kx^2 +(2k+1)x +2-a=0`]

[eqn: x= {-(2k+1)+ sqrt{(2k+1)^2 -4k(2-a)}}over{2k}`]

[eqn: x= {-(2k+1)+ sqrt {(2k-1) ^{2} +4ak}} over {2k} `]

따라서 모든 양수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: h(a)= {-a-4} over {2} + {-(2k+1)+ sqrt {4ka+(2k-1) ^{2}}} over {2k} ``]

이고 두 연속함수의 합은 연속이므로 함수 [eqn: h(a)`]는 연속이다.

ⅱ) [eqn: k=0`]일 때

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=-x+a]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: x GEQ -2`]에서 직선 [eqn: y=2 `]의 그래프와 직선

[eqn: y=-x+a`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: -x+a=2`]에서 [eqn: x=a-2`]이다. 따라서 모든 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여

[eqn: h(a)= {-a-4} over {2} +(a-2)= {a} over {2} -4`]

이고 함수 [eqn: h(a)`]는 연속이다.

ⅲ) [eqn: k<0`]일 때

그림과 같이 [eqn: x>-2`]인 부분에서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=-x+a`]가 접할 때 판별식을 이용하여 [eqn: a`]의 값을 [eqn: k`]에 관하여 나타내면 다음과 같다.

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=-x+a]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: kx ^{2} +2kx+2=-x+a`]

[eqn: kx ^{2} + LEFT ( 2k+1 RIGHT ) x+2-a=0``] [eqn: cdotscdots``(＊)]

[eqn: D= LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2} -4k LEFT ( 2-a RIGHT ) =0`]에서

[eqn: a=2- {LEFT ( 2k+1 RIGHT ) ^{2}} over {4k} =1-k- {1} over {4k} `]

따라서 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]와 직선 [eqn: y=-x+a`]의 위치 관계는 다음 그림과 같다.

① [eqn: 0<a LEQ 1-k- {1} over {4k} `]일 때

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=-x+a]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: x GEQ -2`]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]는 실근을 갖고 [eqn: (＊)`]에서 두 실근의 합은 [eqn: - {2k+1}over{k}`]이다.

② [eqn: a>1-k- {1} over {4k} `]일 때

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=-x+a]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: rmO]

[eqn: x GEQ -2`]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]는 실근을 갖지 않는다.

①, ②에 의해 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a `RIGHT )]는 다음과 같다.

[eqn: h LEFT ( a RIGHT ) = {cases{{-a-4} over {2} - {2k+1} over {k}&````````` LEFT ( 0<a LEQ 1-k- {1} over {4k} RIGHT ) `#{-a-4} over {2}&`````````` LEFT ( a>1-k- {1} over {4k} RIGHT )}}]

[eqn: h LEFT ( a `RIGHT )]가 모든 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 연속이기 위해서는 함숫값과 극한값이 같아야 하므로

[eqn: {2k+1} over {k} =0`]에서 [eqn: k`=`- {1} over {2} `]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 모든 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) `]가 항상 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: k`=`- {1} over {2} `] 또는 [eqn: k GEQ 0`]이다.

따라서 최솟값은 [eqn: k`=`- {1} over {2} `]이므로 [eqn: p ^{2`} = {1} over {4} `]이다.

그러므로

[eqn: 120 TIMES {1} over {p ^{2}} `=120 TIMES 4=480]이다.