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정 답

1	③	2	①	3	④	4	③	5	②
6	②	7	①	8	①	9	⑤	10	④
11	②	12	③	13	②	14	③	15	⑤
16	⑤	17	④	18	⑤	19	①	20	③
21	④	22	[eqn: 12]	23	[eqn: 2]	24	[eqn: 28]	25	[eqn: 106]
26	[eqn: 503]	27	[eqn: 13]	28	[eqn: 60]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 150]

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z=2+3i`]이면 [eqn: {bar{z}} =2-3i`]이므로 [eqn: z+ {bar{z}} =4`]이다.

2. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A=x ^{2} +2x-1`], [eqn: B=x ^{2} -x+3`]에 대하여

[eqn: 2A=2x ^{2} +4x-2`]이므로

[eqn: 2A-B=x ^{2} +5x-5`]이다.

3. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} +2x ^{3} +3x ^{2} +4x+5`]라 하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-1]로 나눈 나머지는 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1+2+3+4+5=15`]이다.
따라서 나머지는 [eqn: 15`]이다.

4. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +ax-2=0`]의 두 근의 곱이 [eqn: -2`]이므로 [eqn: b=it-2`]이다.

두 근이 [eqn: 1`]과 [eqn: -2`]이므로 두 근의 합은 [eqn: -1`]이다.

따라서 [eqn: a=1`]이므로 [eqn: a-b=3`]이다.

5. [출제의도] 이차함수의 그래프와 [eqn: x]축의 위치 관계 추론하기

이차함수의 그래프와 [eqn: x`]축이 만나지 않으려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} -6x+a=0`]이 서로 다른 두 허근을 가져야 한다. 이차방정식의 판별식을 [eqn: D] 라 하면
[eqn: {D} over {4} =9-a<0`]이므로 [eqn: a>9`]이다.
따라서 정수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 10`]이다.

6. [출제의도] 다항식의 계산과 항등식 문제 해결하기

[eqn: -2x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +x ^{2}]

[eqn: x ^{3} +1]

[eqn: 2x+1]

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x ^{2} +1]

[eqn: x ^{3} -3x ^{2}]

[eqn: C]

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: D]

각 변의 [eqn: 3`]개의 식의 합은 [eqn: x ^{3} -x ^{2} +2x ^{} +1`]이므로

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} +x ^{2} +x ^{2} +1=x ^{3} -x ^{2} +2x+1`]과

[eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) +x ^{3} -3x ^{2} +x ^{2} +1=x ^{3} -x ^{2} +2x+1`]에서

[eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) = it -3x ^{2} +2x`], [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +2x`]이다.

따라서 [eqn: P` LEFT ( x RIGHT ) +Q` LEFT ( x RIGHT ) = it -2x ^{2} +4x`]이다.

7. [출제의도] 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x ^{2} +1`]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면 나머지가 [eqn: x+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) +x+1`]로 나타낼 수 있고,

[eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) ^{2} LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +2 LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) + LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: LEFT . = LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT [ LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) LEFT { Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} +2 LEFT ( x+1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT ) RIGHT . RIGHT . +1]+2x`]

이다.

따라서 [eqn: LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{2} `]을 [eqn: x ^{2} +1`]로 나눈 나머지는

[eqn: R` LEFT ( x RIGHT ) =2x`]이고 [eqn: R` LEFT ( 3 RIGHT ) =6`]이다.

8. [출제의도] 복소수 계산하기

방정식 [eqn: 2x ^{2} -2x+1=0`]의 근은 [eqn: x= {1 +-i} over {2} `]이다.

이때, [eqn: alpha= {1+i} over {2}`]라 하면 [eqn: alpha ^{2} = {1} over {2} i`]이다.

[eqn: alpha ^{4} = LEFT ( {1} over {2} i RIGHT ) ^{2} =it- {1} over {4} `]

[eqn: alpha ^{4} - alpha ^{2} + alpha=it- {1} over {4} - {1} over {2} i+ {1+i} over {2} = {1} over {4} `]

[eqn: alpha= {1-i} over {2} `]인 경우도 마찬가지로 성립한다.

따라서 [eqn: alpha ^{4} - alpha ^{2} + alpha= {1} over {4} `]이다.

[다른 풀이]

[eqn: alpha ^{2} = alpha- {1} over {2}`]이므로 [eqn: alpha ^{4} = LEFT ( alpha- {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = alpha ^{2} - alpha+ {1} over {4} `]

[eqn: alpha ^{4} - alpha ^{2} + alpha= {1} over {4} `]이다.

9. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

[eqn: z=x ^{2} - LEFT ( 5-i RIGHT ) x+4-2i`]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} -5x+4 RIGHT ) + LEFT ( x-2 RIGHT ) i`]이고

[eqn: {bar{z}} = it -z`]가 성립하려면 [eqn: z`]의 실수부분이 [eqn: 0`]이어야 한다.

[eqn: z`]의 실수부분이 [eqn: x ^{2} -5x+4`]이므로

[eqn: x ^{2} -5x+4=0`]의 근은 [eqn: x=1], [eqn: 4`]이다.

따라서 모든 실수 [eqn: x`]값의 합은 [eqn: 5`]이다.

10. [출제의도] 다항식의 나눗셈 문제 해결하기

조립제법을 이용하면

[eqn: 1 over 3]	[eqn: 3]	[eqn: -7]	[eqn: 5]	[eqn: 1]
		[eqn: 1]	[eqn: -2]	[eqn: 1]
	[eqn: 3]	[eqn: -6]	[eqn: 3]	[eqn: 2]

위의 조립제법에 의하여

[eqn: 3x ^{3} -7x ^{2} +5x+1= LEFT ( x- {1} over {3} RIGHT ) (3x ^{2} -6x+3)+2]

[eqn: =(3x-1)(x ^{2} -2x+1)+2]

이다.

[eqn: {BOX{````(가)````}} `=3x ^{2} -6x+3]

[eqn: {BOX{````(나)````}} `=x ^{2} -2x+1`]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -6x+3]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -2x+1]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) =4`]이다.

11. [출제의도] 곱셈공식을 이용하여 식의 값 추론하기

[eqn: LEFT . x ^{3} -y ^{3} = LEFT ( x-y` RIGHT ) ^{3} +3xy` LEFT ( x-y` RIGHT ) `]이므로

[eqn: x-y=2`], [eqn: x ^{3} -y ^{3} =12]를 대입하면,

[eqn: 12=2 ^{3} +3xy` TIMES `2]

[eqn: 6xy=4`]이다.

따라서 [eqn: xy= {2} over {3} `]이다.

12. [출제의도] 이차함수 이해하기

직선 [eqn: y=it-x+a`]가 이차함수 [eqn: y=x ^{2} +bx+3`]의

그래프에 접하므로

이차방정식 [eqn: x ^{2} + LEFT ( b+1 RIGHT ) x+3-a=0`]이 중근을 갖는다.

이차방정식의 판별식을 [eqn: D``]라 하면

[eqn: D= LEFT ( b+1 RIGHT ) ^{2} -4 LEFT ( 3-a RIGHT ) =0`]이고

[eqn: a`]를 [eqn: b`]에 대하여 정리하면

[eqn: a= it - {1} over {4} LEFT ( b+1 RIGHT ) ^{2} +3`]이므로

실수 [eqn: a`]의 최댓값은 [eqn: 3`]이다.

13. [출제의도] 다항식의 성질을 이용하여 실생활 문제 해결하기

실린더의 개수가 [eqn: M`]인 두 자동차 [eqn: A`], [eqn: B`]의 보어를 각각 [eqn: R _{`A} `], [eqn: R _{`B} `]라 하고,

스트로크를 각각 [eqn: H _{`A} `], [eqn: H _{`B}`]라 하자.

[eqn: R _{`A} = {2} over {3} R _{`B}`], [eqn: H _{`A} = {9} over {8} H _{`B}`]이므로

[eqn: W _{`A} = pi LEFT ( {R _{`A}} over {2} RIGHT ) ^{2} {H _{`A} M} over {1000} = pi LEFT ( {{2} over {3} R _{`B}} over {2} RIGHT ) ^{2} {{9} over {8} H _{`B} M} over {1000} = {1} over {2} W _{`B} `]

따라서 [eqn: {W _{`A}} over {W _{`B}} = {1} over {2} `]이다.

14. [출제의도] 이차함수의 최솟값 문제 해결하기

ⅰ) [eqn: p=-1]일 때, [eqn: f(x)=x ^{2} +4x]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 최솟값은 [eqn: 0]이다. [eqn: g(-1)=0]

ⅱ) [eqn: p= {1} over {2}]일 때, [eqn: f(x)=x ^{2} -2x]이므로 [eqn: 0 LEQ x LEQ 2]에서 최솟값은 [eqn: -1]이다. [eqn: g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =-1]

따라서 [eqn: g(-1)+g LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) =-1]

15. [출제의도] 항등식 문제 해결하기

(가), (나)에 의하여,

[eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +2x+b`]이다.

ⅰ) 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: b=0`]

ⅱ) 양변에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +2x]

[eqn: =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

항등식의 성질에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x+ {1} over {2} `]이다.

조건 (가)에 의해 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} x ^{3} + {1} over {2} x ^{2} `]이다.

따라서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x-4`]로 나눈 나머지는 [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =24`]이다.

[다른 풀이]

(가), (나)에 의하여,

[eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax ^{2} +2x+b`]이다.

ⅰ) 양변에 [eqn: x=0`]을 대입하면 [eqn: b=0`]

ⅱ) 양변에 [eqn: x=it-1`]을 대입하면 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: 4x LEFT ( x+1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +3x ^{2} +2x]

[eqn: =x LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x+2 RIGHT )]

양변에 [eqn: x=4`]를 대입하면

[eqn: 80f LEFT ( 4 RIGHT ) =120`]이므로
[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = {3} over {2} `]이고, [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =16f LEFT ( 4 RIGHT ) =24`]이다.

16. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계 추론하기

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: b]

[eqn: d]

ㄱ. [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하므로

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 판별식 [eqn: D=a ^{2} -4b=0`]이다.

ㄴ. ㄱ에 의하여 [eqn: b= {a ^{2}} over {4} `]이므로 [eqn: a ^{2} -4d=4b-4d`]이다. [eqn: b-d<0`]이므로 [eqn: a ^{2} -4d<0`]이다.

ㄷ. 두 그래프가 서로 다른 두 점에서 만나므로 이차방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]는 서로 다른 두 실근을 갖는다.

[eqn: x ^{2} +ax+b=it-x ^{2} +cx+d`]

[eqn: 2x ^{2} + LEFT ( a-c RIGHT ) x+b-d=0]의 판별식

[eqn: D= LEFT ( a-c RIGHT ) ^{2} -8 LEFT ( b-d RIGHT ) >0`]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

17. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 교점 이해하기

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

두 함수 [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표를 구하면
[eqn: x ^{2} +n ^{2} =2nx+1`], [eqn: x ^{2} -2nx+n ^{2} -1=0`]이고
[eqn: x=n-1`] 또는 [eqn: x=n+1`]이다.

따라서

점 [eqn: {rmA`} LEFT ( n-1`,``2n ^{2} -2n+1 RIGHT ) `], [eqn: {rmB`} LEFT ( n+1`,``2n ^{2} +2n+1 RIGHT ) `]라 하면 [eqn: rm C it ` LEFT ( n-1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rm D it ` LEFT ( n+1`,``0 RIGHT )`]이다.

사각형 [eqn: rm ACDB`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( {bar{rm AC it}} + {bar{rm BD it}} RIGHT ) TIMES {bar{rm CD it}} = {1} over {2} LEFT ( 4n ^{2} +2 RIGHT ) TIMES2=4n ^{2} +2`]이다.

따라서 문제의 조건을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]은

[eqn: 4n ^{2} +2=66], [eqn: n ^{2} =16]이므로 [eqn: n=4]이다.

18. [출제의도] 이차함수의 최댓값 이해하기

[eqn: rm H]

[eqn: rm J]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm G]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm F]

[eqn: 20]

[eqn: rm I]

점 [eqn: rm A`]에서 선분 [eqn: rm DG`], 선분 [eqn: rm BC`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm H`], [eqn: rm I`]라 하고, 원과 선분 [eqn: rm BC`]와의 교점을 [eqn: rm J`]라 하자.
선분 [eqn: rm DH`]의 길이를 [eqn: a`]([eqn: 0<a<10])라 하면 선분 [eqn: rm AH`]의 길이는 [eqn: sqrt {3} a`]이고 선분 [eqn: rm DE`]의 길이는 [eqn: 10 sqrt {3} - sqrt {3} a`]이다.

직사각형 [eqn: rm DEFG`]의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S=2a LEFT ( 10 sqrt {3} - sqrt {3} a RIGHT ) = it -2 sqrt {3} LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +50 sqrt {3}]

따라서 [eqn: a=5`]일 때 직사각형 [eqn: rm DEFG`]의 넓이는 최대이다.

원의 반지름의 길이를 [eqn: b`]라 하면
[eqn: rm {bar{EI}} =it{a`], [eqn: rm {bar{JE}} = it b`], [eqn: rm {bar{BJ}}=it sqrt {3} b`]이므로
[eqn: a+ LEFT ( 1+ sqrt {3} RIGHT ) b=10`]이다.

[eqn: a=5`]일 때 [eqn: b= {5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT )} over {2} `]이므로 원의 둘레는

[eqn: 5 LEFT ( sqrt {3} -1 RIGHT ) pi`]이다.

[eqn: p`], [eqn: q`]는 유리수이므로 [eqn: p=5], [eqn: q=it-5`]이고

[eqn: p ^{2} +q ^{2} =50`]이다.

19. [출제의도] 이차함수를 이용한 문제 해결하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x+k`]라 하면

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x+1`]의 두 실근이 [eqn: x=alpha`], [eqn: beta`]이므로

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=x+1`]은
[eqn: {rmA}` LEFT ( alpha`,``f LEFT ( alpha RIGHT ) RIGHT ) `], [eqn: rm {rmC}it` LEFT ( beta`,``f LEFT ( beta RIGHT ) RIGHT ) `]에서 만난다.

직선 [eqn: y=x+1`]의 기울기는 [eqn: 1`]이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]는 직각 이등변삼각형이며 [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) = alpha+1`], [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) = beta+1`]
이다.

삼각형의 넓이는 [eqn: LEFT ( beta- alpha RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {2} =8`]이고, [eqn: alpha< beta`]이므로 [eqn: beta- alpha=4`]이다.

한편, 근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha+ beta=2`]이므로 [eqn: alpha=-1,~beta=3`]이다.
따라서 [eqn: k= it -2`]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} -x-2`], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =6 ^{2} -6-2=28`]이다.

20. [출제의도] 이차함수의 최댓값, 최솟값 추론하기

이차방정식 [eqn: -x ^{2} +11x-10= it -x+10`]의 근은
[eqn: x=2`], [eqn: 10`]이므로 두 점 [eqn: LEFT ( 2`,``8 RIGHT ) `]과 [eqn: LEFT ( 10`,``0 RIGHT ) `]에서 두 그래프가 만난다.

[eqn: rm A` it LEFT ( t`,``-t+10 RIGHT ) `], [eqn: rm B` it LEFT ( t`,``-t ^{2} +11t-10 RIGHT ) `]

라 하면 선분 [eqn: rm AB it`]의 길이는

[eqn: -t ^{2} +11t-10- LEFT ( -t+10 RIGHT ) = it -t ^{2} +12t-20`]이다.

ⅰ) [eqn: 2<t< {11} over {2} `]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=it-x+10]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm B]

[eqn: rmA]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: t]

[eqn: 11-t]

선분 [eqn: rmBC`]의 길이는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( {11} over {2} -t RIGHT ) =11-2t`]이다.

직사각형 [eqn: rm BADC`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT ( -t ^{2} +10t-9 RIGHT ) = it -2 LEFT ( t-5 RIGHT ) ^{2} +32`]이다.

[eqn: 2<t< {11} over {2} `]에서 직사각형 [eqn: rm BADC`]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 32`]이다.

ⅱ) [eqn: {11} over {2} <t<10`]인 경우

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=it-x+10]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: 11-t]

[eqn: t]

선분 [eqn: rmBC`]의 길이는 [eqn: 2 TIMES LEFT ( t- {11} over {2} RIGHT ) =2t-11`]이다.

직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 둘레의 길이는

[eqn: 2 LEFT ( -t ^{2} +14t-31 RIGHT ) = it -2 LEFT ( t-7 RIGHT ) ^{2} +36`]이다.

[eqn: {11} over {2} <t<10`]에서 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 36`]이다.

따라서 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 둘레의 길이의 최댓값은 [eqn: 36`]이다.

21. [출제의도] 나머지정리 이해하기

(가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]를 [eqn: x+2`], [eqn: x ^{2} +4`]로 나누었을 때의 몫을 각각 [eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) `]라고 하면 나머지가 [eqn: 3p ^{2} `]으로 같으므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) +3p ^{2} `]

[eqn: = LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) +3p ^{2} `]이다.

사차항의 계수가 [eqn: 1]인 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]에서는 [eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `]는 [eqn: x ^{2} +4`]를 인수로 갖고 [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x+2`]를 인수로 가져야 하므로

[eqn: Q _{`1} LEFT ( x RIGHT ) `]와 [eqn: Q _{`2} LEFT ( x RIGHT ) `]의 공통인수를 [eqn: x+a`]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +4 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT ) +3p ^{2} `]이다.

(나)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =f LEFT ( -1 RIGHT )`]이므로 [eqn: a= it -2`]이고

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{4} -16+3p ^{2} `]이다.

(다)에 의하여 [eqn: f LEFT ( sqrt {p} RIGHT ) =0`]이므로

[eqn: p ^{2} +3p ^{2} -16=0`], [eqn: p ^{2} =4]이다.

따라서 [eqn: p`]는 양수이므로 [eqn: p=2`]이다.

22. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: i+2i ^{2} +3i ^{3} +4i ^{4} +5i ^{5} =i-2-3i+4+5i=2+3i`]

따라서 [eqn: a=2`], [eqn: b=3`]이므로 [eqn: 3a+2b=12`]이다.

23. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: LEFT ( 3x+ay RIGHT ) ^{3} `=27x ^{3} +27ax ^{2} y+9a ^{2} xy ^{2} +a ^{3} y ^{3} `]에서
[eqn: x ^{2} y`]의 계수는 [eqn: 27a`]이다.

따라서 [eqn: a=2`]이다.

24. [출제의도] 인수분해를 이용하여 문제 해결하기

[eqn: x ^{3} +1`]을 [eqn: x-3`]으로 나누었을 때 몫과 나머지를 각각 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: R`]라 하면

[eqn: x ^{3} +1= LEFT ( x-3 RIGHT ) Q LEFT ( x RIGHT ) +R`]이다.

[eqn: x=3`]을 대입하면 [eqn: R=27+1=28`]이다.

[eqn: x=2020]를 대입하면
[eqn: 2020 ^{3} +1`=2017Q(2020)+28`]이다.

[eqn: LEFT ( 2020+1 RIGHT ) LEFT ( 2020 ^{2} -2020+1 RIGHT ) =2020 ^{3} +1`]이므로

[eqn: LEFT ( 2020+1 RIGHT ) LEFT ( 2020 ^{2} -2020+1 RIGHT )]를 [eqn: 2017`]로 나누었을 때 나머지는 [eqn: 28`]이다.

25. [출제의도] 나머지정리 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +2`]는 [eqn: x+2`]로 나누어떨어지므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) +2= LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x+k RIGHT )`]([eqn: k`]는 상수) [eqn: CDOTS CDOTS `㉠]
라 할 수 있다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -2`]는 [eqn: x-2`]로 나누어떨어지므로 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2`]이다.

㉠의 식에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +2=4 LEFT ( 2+k RIGHT ) `]이므로 [eqn: k=it-1`]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) -2`]이므로

[eqn: f LEFT ( 10 RIGHT ) =106`]이다.

26. [출제의도] 이차방정식 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta `]라 하면,

[eqn: alpha + beta =16`]이다.

[eqn: f LEFT ( 2020-8x RIGHT ) =0`]의 두 근을 [eqn: alpha'], [eqn: beta prime `]이라 하면

[eqn: 2020-8 alpha '= alpha], [eqn: 2020-8 beta '= beta]

[eqn: alpha'=][eqn: {2020- alpha } over {8}], [eqn: beta'= {2020- beta } over {8}]

[eqn: f LEFT ( 2020-8x RIGHT ) =0`]의 두 근의 합 [eqn: alpha prime + beta prime `]은

[eqn: alpha '+ beta '=505- {1} over {8} ( alpha + beta )=505-2=503]

27. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 이용하여 문제 해결하기

[eqn: RMA]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: alpha], [eqn: RMB]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: beta]라고 하자.

[eqn: alpha], [eqn: beta]는 [eqn: x ^{2} -x-k=0]의 두 근이므로 근과 계수의

관계에 의하여 [eqn: alpha+beta=1], [eqn: alphabeta=-k]이다.

[eqn: alpha >0`], [eqn: beta <0`]이므로

[eqn: S _{1} = {1} over {2} alpha ^{3}], [eqn: S _{2} =- {1} over {2} beta ^{3}]이다.

[eqn: S _{1} -S _{2} = {1} over {2} ( alpha ^{3} + beta ^{3} )=20]이고

[eqn: alpha ^{3} +beta ^{3} =( alpha + beta ) ^{3} -3 alpha beta ( alpha + beta )=40]이다.

[eqn: alpha+beta=1]에서 [eqn: alpha beta =-13]이므로 [eqn: k=13]

28. [출제의도] 이차함수 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +px-q=it- LEFT ( x- {p} over {2} RIGHT ) ^{2} + {p ^{2}} over {4} -q`]

(가)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축에 접하므로 [eqn: {p ^{2}} over {4} -q=0`]이다.

따라서 [eqn: q= {p ^{2}} over {4} `], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it- LEFT ( x- {p} over {2} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: {p} over {2} `]이므로

(나)에 의하여 [eqn: -p LEQx LEQp`]에서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최솟값은 [eqn: f LEFT ( -p RIGHT ) `]이다.

[eqn: f LEFT ( -p RIGHT ) = it - {9p ^{2}} over {4} =it-54`]이고 [eqn: p ^{2} =24`]이다.

[eqn: q= {p ^{2}} over {4} `]이므로 [eqn: q=6`]이고, 따라서 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =60`]이다.

29. [출제의도] 이차방정식의 근 이해하기

꼭짓점 [eqn: rm E`]에서 변 [eqn: rm AD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm L`]이라 하고 [eqn: {bar{rm JL it}} =x`][eqn: (x>0)]라 하자.

[eqn: TRIANGLE rm EJI`]는 직각이등변삼각형이므로 [eqn: {bar{rm EL it}} =x`]이고
[eqn: TRIANGLE rm EJI`]의 넓이는 [eqn: x ^{2} `]이다.

[eqn: {bar{rm AJ it}} =1-x`]이므로 [eqn: TRIANGLE rmAKJ]의 넓이는 [eqn: {(1-x) ^{2}} over {2}]이다.

[eqn: TRIANGLE rmAKJ]의 넓이가 [eqn: TRIANGLE rm EJI`]의 넓이의 [eqn: {3} over {2}]배이므로

[eqn: {(1-x) ^{2}} over {2} = {3} over {2} x ^{2}], [eqn: 2x ^{2} +2x-1=0]이고,

[eqn: x= {-1+ sqrt {3}} over {2} `(x>0)]이다.

[eqn: {bar{rmOE}} = sqrt {2} k`]이고,

[eqn: {bar{rm OE it}} = {bar{rm OL it}} + {bar{rm EL it}} =1+ {-1+ sqrt {3}} over {2} = {1+ sqrt {3}} over {2}]

이므로 [eqn: sqrt {2} k= {1+ sqrt {3}} over {2}]이다.

[eqn: k= {sqrt {2} + sqrt {6}} over {4}]이므로 [eqn: p=q= {1} over {4}]이고

[eqn: 100(p+q)=50]이다.

30. [출제의도] 복소수의 성질을 이용하여 문제 해결하기

[eqn: LEFT { i ^{n} + LEFT ( {1} over {i} RIGHT ) ^{2n} RIGHT } ^{m} = LEFT { i ^{n} +(-i) ^{2n} RIGHT } ^{m} = LEFT { i ^{n} +(-1) ^{n} RIGHT } ^{m} `]

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =i ^{n} + LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} `]이라 하자.

ⅰ) [eqn: n=4k-3`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =i-1`]이고

[eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{4} =it-2 ^{2} `], [eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{12} = it -2 ^{6}`], [eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{20} =it-2 ^{10} `], [eqn: CDOTS]

이므로 순서쌍 [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) `]은

[eqn: LEFT ( 4`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 12`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 20`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 28`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 36`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 44`,``n RIGHT ) `] [eqn: 6]개이다.

이때 [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n=1`], [eqn: 5`], [eqn: 9`], [eqn: CDOTS`], [eqn: 45`], [eqn: 49`]는 [eqn: 13`]개이므로 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) `]의 개수는 [eqn: 78`]개이다.

ⅱ) [eqn: n=4k-1`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =it-i-1`]이고

[eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{4} =it-2 ^{2} `], [eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{12} =it-2 ^{6} `], [eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{20} =it-2 ^{10} `], [eqn: CDOTS]

이므로 순서쌍 [eqn: (m`,``n)`]은

[eqn: LEFT ( 4`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 12`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 20`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 28`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 36`,``n RIGHT ) `], [eqn: LEFT ( 44`,``n RIGHT ) `] [eqn: 6]개이다.

이때 [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: n=3`], [eqn: 7`], [eqn: 11`], [eqn: cdots`], [eqn: 47`]은 [eqn: 12`]개이므로 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT ) `]의 개수는 [eqn: 72`]개이다.

ⅲ) [eqn: n=4k-2`], [eqn: n=4k`]([eqn: k`]는 자연수)일 때

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `]은 [eqn: 0] 또는 [eqn: 2`]이므로 [eqn: LEFT { f LEFT ( n RIGHT ) RIGHT } ^{m} GEQ0]이다.

따라서 주어진 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: (m`,``n)`]은 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: 50] 이하의 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여

[eqn: LEFT { i ^{n} + LEFT ( {1} over {i} RIGHT ) ^{2n} RIGHT } ^{m}`]이 음의 실수인 순서쌍 [eqn: LEFT ( m`,``n RIGHT )`]의

개수는 [eqn: 150`]이다.