• 수학 영역 •

수학 가형 정답

1	④	2	③	3	③	4	①	5	⑤
6	③	7	⑤	8	①	9	①	10	②
11	②	12	②	13	④	14	①	15	④
16	②	17	①	18	⑤	19	⑤	20	③
21	④	22	[eqn: 8]	23	[eqn: 75]	24	[eqn: 7]	25	[eqn: 10]
26	[eqn: 18]	27	[eqn: 9]	28	[eqn: 27]	29	[eqn: 40]	30	[eqn: 80]

해 설

1. [출제의도] 로그를 포함한 부등식을 계산한다.

[eqn: x]는 진수이므로 [eqn: x>0`]

[eqn: log _{`2}` x le2]에서 [eqn: log _{`2}` x le log_{`2} `4]

밑이 [eqn: 1`]보다 크므로 [eqn: x LEQ 4]

[eqn: 0 <x LEQ 4 `]이므로 정수 [eqn: x`]의 개수는 [eqn: 4]

2. [출제의도] 좌표공간에서 점과 평면 사이의 거리를 계산한다.

원점 [eqn: \O`]와 평면 [eqn: x+y+z+3=0] 사이의 거리는

[eqn: {|`0+0+0+3`|}over{sqrt1+1+1 }][eqn: =sqrt3]

3. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 확률을 계산한다.

두 사건 [eqn: A], [eqn: B`]가 서로 배반사건이므로 [eqn: {\P}(A cap B`)][eqn: =0]

따라서 [eqn: {\P}(A cup B`)][eqn: ={\P}(A `) +{\P}(B `) - {\P}(A cap B `)]
[eqn: = 3 over 10 + 2 over 5 -0][eqn: = 7 over 10]

4. [출제의도] 정적분의 부분적분법을 이용하여 정적분의 값을 계산한다.

[eqn: int _{0} ^{1} {} xe ^{`x} `dx`][eqn: = LEFT [ pile{`#`} xe ^{x} `` RIGHT ] _{0}^{1} - int _{0} ^{1} {} e ^{`x} `dx]
[eqn: =(e-0)- LEFT [ pile{`#`} e ^{`x} `` RIGHT ] _{0}^{1}]
[eqn: = e- (e-1)][eqn: = 1]

5. [출제의도] 표본평균의 분포를 이용하여 확률을 계산한다.

[eqn: rm E it (bar{ X``} )= rm E it(X`)], [eqn: rm E it (bar{X``} )= 5 over 6`]이고 [eqn: rm E it( X `) = a +2 b `]이므로

[eqn: a+2b = 5 over6]

6. [출제의도] 구의 성질을 이해하여 삼각형의 넓이를 구한다.

점 [eqn: rmC`]는 구 위의 한 점이므로 삼각형 [eqn: rmABC`]는

[eqn: rm angle ACB = pi over2 `]인 직각삼각형이다.

따라서 삼각형 [eqn: rmABC`]의 넓이는

[eqn: 1 over2 times rm barAC times barBC][eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {(-1) ^{`2} +1 ^{`2} +2 ^{`2}}][eqn: TIMES sqrt {1 ^{`2} +5 ^{`2} +(-2) ^{`2}}]
[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {6} TIMES sqrt {30}]
[eqn: =3 sqrt {5}]

7. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이해하여 주기를 구한다.

[eqn: f(x)][eqn: = cos`2x cos`x - sin`2x sin`x]
[eqn: = cos ( 2x+x)]
[eqn: = cos`3x`]

[eqn: f(x)][eqn: = cos`3x][eqn: = cos (3x+2pi)]

[eqn: = cos `3 left(x+ 2 over 3 piright)][eqn: =f left(x+ 2 over 3 pi right)]

따라서 함수 [eqn: f(x)`]의 주기는 [eqn: 2 over 3 pi`]

8. [출제의도] 포물선의 정의를 이해하여 삼각형의 넓이를 구한다.

포물선 [eqn: y ^{`2} =4x`]의 초점은 [eqn: rm F(1,``0)`]이고, 준선의 방정식은 [eqn: x= it-1]

점 [eqn: rm A`]에서 준선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm K`]라고 하면 포물선의 정의에 의하여 [eqn: rm {bar{AK}} = {bar{AF}} =5`]이므로 [eqn: {bar{rm FH it}} =3]

직각삼각형 [eqn: rm AFH`]에서

[eqn: rm {bar{AH}} = sqrt {rm {bar{AF}} ^{`2} - rm {bar{FH}} ^{`2}}][eqn: = sqrt {5 ^{`2} -3 ^{`2}}][eqn: =4`]

따라서 삼각형 [eqn: rmAFH`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} TIMES rm {bar{FH}} TIMES {bar{AH}} `][eqn: =][eqn: 1over2`times3`times4`=`6]

9. [출제의도] 순열과 조합을 이용하여 확률을 구하는 문제를 해결한다.

전체 경우의 수는 여섯 명을 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로 [eqn: 6!]

[eqn: \(A,``a)], [eqn: \(B,``b)], [eqn: \(C,``c)`]와 같이 각 부부를 한 묶음으로 생각하여 나열하는 방법의 수는 [eqn: 3!]

각 묶음 내에서 부부가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 [eqn: 2 times 2 times2]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {3! times 2 times 2 times 2 } over6!][eqn: = 1 over15]

10. [출제의도] 타원의 성질을 이용하여 벡터의 크기의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

타원 [eqn: {x ^{`2}} over {9} + {y ^{`2}} over {5} =1]에서 장축의 길이는 [eqn: 6]

[eqn: rm {vec{PF}} + {vec{PF prime }}][eqn: =vec{\PQ}`]라 할 때, 점 [eqn: \Q`]는 타원 위의 점이다. 따라서 [eqn: |`vec {\PQ}`|`]의 최댓값은 타원의 장축의 길이와 같다.

따라서 [eqn: LEFT | rm {vec{PF}} + {vec{PF prime }} RIGHT |]의 최댓값은 [eqn: 2 TIMES 3=6]

11. [출제의도] 조건부확률을 이해하여 산책로를 따라 이동할 확률을 구한다.

사건 [eqn: X`]가 일어날 확률 [eqn: rm P it (X`)`]는

(ⅰ) ㉡을 지나는 경우

표에 의하여 확률은 [eqn: 1 over 3`]

(ⅱ) ㉣을 지나는 경우

㉣을 지나기 위해서는 ㉠을 지나야 하므로

표에 의하여 확률은 [eqn: {1} over {3} TIMES {1} over {2} = {1} over {6}]

(ⅲ) ㉤을 지나는 경우

(ⅱ)와 같은 방법으로 [eqn: 1 over 6`]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해서

[eqn: {\P} (X`)][eqn: = 1 over 3 + 1 over 6 + 1 over 6][eqn: = 2 over 3]

두 사건 [eqn: X], [eqn: Y`]가 동시에 일어날 확률 [eqn: {\P} (X cap Y`)]는

[eqn: {\P} (X cap Y`)][eqn: = 1 over 6 + 1 over 6][eqn: = 1 over 3]

따라서 [eqn: {\P}(Y```|`X`)][eqn: ={{\P}(X cap Y`)}over {{\P}(X`)}][eqn: = {1} over {2}]

12. [출제의도] 몫의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다.

삼각형 [eqn: rmABC`]에 내접하는 원의 중심을 [eqn: rmO`]라 하고, 점 [eqn: rmO`]에서 변 [eqn: rmBC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH`]라 하자.

점 [eqn: rmO`]는 삼각형 [eqn: rmABC`]의 내심이므로

[eqn: rm ANGLE OBH= {pi} over {6}], [eqn: rmangleOCH=theta`]

[eqn: rm {rmbar{OH} rm} over {{bar{BH}}} =tan` {pi } over {6} `]에서 [eqn: rm {itr LEFT ( theta RIGHT )} over {{bar{BH}}} = {1} over {sqrt {3}} `]이므로 [eqn: rm {bar{BH}} = sqrt {3} it r( theta )]

[eqn: {rmbar{OH}} over {rmbar{CH}} =tan`theta`]에서 [eqn: rm {itr LEFT ( theta RIGHT )} over {{bar{CH}}} = tan `theta]이므로 [eqn: {bar{\CH}} = rm {itr LEFT ( theta RIGHT )} over { tan `theta}]

[eqn: rmbar{BH}+bar{HC}=rmbar{BC}`]이므로

[eqn: sqrt {3} it r( theta )+ rm {itr LEFT ( theta RIGHT )} over { tan `theta} =1`], [eqn: r LEFT ( theta RIGHT ) = {tan`theta} over {1+ sqrt {3} `tan`theta} `]

[eqn: h(theta) = {r (theta) }over {tan`theta }`]이므로 [eqn: h LEFT ( theta RIGHT ) = {1} over {1+ sqrt {3} `tan`theta} `]

[eqn: h(`theta)`]를 [eqn: theta`]에 대하여 미분하면

[eqn: h` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: =it- {sqrt {3} rm sec ^{`2} ` theta it} over {LEFT ( 1+ sqrt {3} rm tan` theta RIGHT ) ^{`2} it}]
따라서 [eqn: h` prime LEFT ( {pi } over {6} RIGHT ) = it - {sqrt {3} times LEFT ( {2} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{`2}} over {LEFT ( 1+ sqrt {3} TIMES {1} over {sqrt {3}} RIGHT ) ^{`2}}][eqn: =it- {sqrt {3}} over {3} `]

13. [출제의도] 곱의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구하는 문제를 해결한다.

그림과 같이 6개의 섬에 ①부터 ⑥까지의 번호를 부여하자.

②번 섬은 다른 [eqn: 4`]개의 섬과 다리로 연결되어 있으므로 ②번 섬에 세우는 깃발의 색부터 먼저 고려한다.

②번 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는 [eqn: 3`]

②번 섬에 세우는 깃발과 같은 색의 다른 깃발은 항상 ⑥번 섬에 세워야 한다.

남은 두 색의 깃발 중 한 가지 색을 선택하여 ①번 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는 [eqn: 2`]

①번 섬에 세우는 깃발과 같은 색의 다른 깃발은 ③번 또는 ⑤번 섬에 세워야 한다.

그러므로 두 섬 중 한 섬을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2`]

나머지 두 섬에는 남은 깃발을 세운다.

따라서 섬에 깃발을 세우는 경우의 수는

[eqn: 3 times 2 times 2][eqn: =][eqn: 12]

14. [출제의도] 함수와 그 함수의 역함수의 미분법을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

[eqn: f(g(x))=x], [eqn: g(f(x))=x]이므로

[eqn: f`' (g(x))g`'(x)=1], [eqn: g`'(f(x))f`'(x)=1]

따라서

[eqn: int _{1} ^{3} {LEFT { {f(x)} over {f`'(g(x))} + {g(x)} over {g`'(f(x))} RIGHT }} dx]
[eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT { f(x)g` prime (x)+g(x)f` prime (x) RIGHT }} dx]
[eqn: = int _{1} ^{3} {LEFT { f(x)g(x) RIGHT } ` prime } `dx]
[eqn: = LEFT [pile{`#`} f(x)g(x) RIGHT ] _{1}^{3}]
[eqn: =f(3)g(3)-f(1)g(1)]

[eqn: f(1)=3]에서 [eqn: g(3)=1], [eqn: g(1)=3]에서 [eqn: f(3)=1]

따라서 [eqn: f(3)g(3)-f(1)g(1)][eqn: =1 TIMES 1-3 TIMES 3][eqn: =it-8]

15. [출제의도] 두 평면의 위치 관계를 이해하여 이면각의 크기를 구한다.

평면 [eqn: \ACD`]와 평면 [eqn: \BCD`]가 이루는 예각을 [eqn: alpha`,] 평면 [eqn: \EDCF`]와 평면 [eqn: \GDC`]가 이루는 예각을 [eqn: beta`]라 하자.

모서리 [eqn: \CD`]의 중점을 [eqn: \M], 점 [eqn: rm A`]에서 삼각형 [eqn: \BCD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H], 점 [eqn: rm G`]에서 사각형 [eqn: \EDCF`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \I`]라 하면,

[eqn: bar \AM = sqrt3], [eqn: bar \HM = sqrt3 over 3]이므로 [eqn: cos `alpha = 1 over3]

[eqn: bar \MG = sqrt3], [eqn: bar{ \M `I`}= 1`]이므로 [eqn: cos `beta = 1 over sqrt3]

따라서 [eqn: cos`theta][eqn: = cos`(pi-alpha-beta`)][eqn: = it-cos`(alpha+beta`)``]
[eqn: = it - (cos`alpha`cos beta - sin alpha`sin beta)]
[eqn: =it - left(1 over {3 sqrt3} - 4 over {3 sqrt3}right)][eqn: = sqrt3 over 3]

16. [출제의도] 치환적분법을 이해하여 함수의 값을 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: "{"f(x)"}" ^{`2} f`'(x) = 2x over {x^{`2} +1}]의 양변을 각각 [eqn: x`]에 대하여 적분하면

[eqn: int _{} ^{} {} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2} f` prime (x)`dx``][eqn: = int _{} ^{} {} {2x} over {x ^{`2} +1} dx]

[eqn: f(x) =t`]라 할 때 [eqn: f`'(x) = dt over dx]이므로

[eqn: int _{} ^{} {} ` LEFT { f(x) RIGHT } ^{`2} f` prime (x)`dx][eqn: = int _{} ^{} {} t ^{`2} `dt][eqn: = {1} over {3} t ^{`3} +C _{1}]
[eqn: = 1 over 3left{f(x)`right} ^{`3} +C_1] ([eqn: C_1]은 적분상수)

[eqn: int _{} ^{} {} {2x} over {x ^{`2} +1} dx][eqn: =`ln(x ^{`2} +1)+`C _{2}] ([eqn: C_2]는 적분상수)

그러므로 [eqn: LEFT { f(x)` RIGHT } ^{`3} =3`ln(x ^{`2} +1)+`C`] ([eqn: C``]는 적분상수)

조건 (나)에서 [eqn: f(0)=0] 이므로 [eqn: C`` = 0]

따라서 [eqn: LEFT { f(x)` RIGHT } ^{`3} =3`ln(x ^{`2} +1)] 이므로 [eqn: left{f(1) right} ^{`3} = 3` ln`2]

17. [출제의도] 지수함수를 이용하여 극한값을 추측한다.

점 [eqn: rmP`]의 좌표를 [eqn: (a,``ln`a)`]([eqn: a>0])라 하면 점 [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it a,``e ^{`a} RIGHT ) `]

점 [eqn: rm P`]는 직선 [eqn: x+y=t`] 위의 점이므로 [eqn: a + ln `a=t`]

[eqn: ln `a e^a =t`]이므로 [eqn: ae ^{`a} =e ^{`t}]

그러므로 삼각형 [eqn: \OHQ`]의 넓이 [eqn: S`(t)`]는

[eqn: S`(t)][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm OH it}} TIMES {bar{rm HQ}} it `][eqn: = {1} over {2} TIMES a TIMES e ^{`a}][eqn: = {1} over {2} ae ^{`a}][eqn: = 1 over 2 e^t]

따라서 [eqn: lim _{t` -> `0+} {} {2S`(t)-1} over {t} `][eqn: = lim _{t` -> `0+} {} {2 TIMES {1} over {2} e ^{`t} -1} over {t} `][eqn: =1`]

18. [출제의도] 공간벡터의 내적을 이용하여 극한값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: angle rm OHC = theta]라 하고 점 [eqn: rm O]에서 밑면 [eqn: rm ABC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm G]라 하면 점 [eqn: rm G]는 삼각형 [eqn: rm ABC]의 무게중심이므로 [eqn: rm overline HG = 1 over3 overlineOH] 따라서 [eqn: costheta = 1 over 3]

[eqn: S _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{n} rm {vec{OH}} CDOT rm {vec{OP _{it k rm}}} it][eqn: = sum _{k=1} ^{n} rm {vec{OH}} CDOT LEFT ( `` rm {vec{OH}} + {vec{HP _{it k rm}}} `` RIGHT ) it]
[eqn: LEFT . =n left| rm {vec{`OH}} right| ^{2} + it sum _{k=1} ^{n} `` rm {vec{OH}} CDOT {vec{HP _{it k rm}}} RIGHT .][eqn: LEFT . =n left| rm {vec{`OH}}right | ^{2} - it sum _{k=1} ^{n} `` rm {vec{HO}} CDOT {vec{HP _{it k rm}}} RIGHT .]
[eqn: LEFT . =n left | rm {vec{`OH}} right| ^{2} - it sum _{k=1} ^{n} left| rm {vec{HO_{}}}right | left | {vec{HP _{it k rm}}} right|`cos` theta ` RIGHT .]
[eqn: =27n- sum _{k=1} ^{n} {(3 sqrt {3} ) ^{`2} k} over {3n}][eqn: =27n- {9} over {n} sum _{k=1} ^{n} k]
[eqn: =27n- {9(n+1)} over {2}][eqn: = 45 over2 n - 9 over 2]

따라서 [eqn: lim_{n`->`inf} {S_n over n `][eqn: =][eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {45} over {2} - {9} over {2n} RIGHT )][eqn: = {45} over {2}]

19. [출제의도] 이산확률변수의 평균을 구하는 과정을 추론한다.

[eqn: a`]와 [eqn: b`]는 [eqn: 1 LEQ a<b LEQ n `]을 만족하는 자연수이고

[eqn: b-a`]의 값이 확률변수 [eqn: X`]이므로 [eqn: X`]가 가질 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 1], 가장 큰 값은 [eqn: box{~n-1~}`]이다.

[eqn: X=k`]일 때,  [eqn: b-a = k]에서

[eqn: a=b-k`]이므로 [eqn: 1 le a le n-k]이고,

[eqn: d-c = n-k`]에서 [eqn: c=d- n+k`]인데

[eqn: c`]는 자연수이고 [eqn: d LEQ n`]이므로 [eqn: 1 LEQ c LEQ box{~k~}`]이다.

[eqn: 1 le a le n-k], [eqn: 1 le c le k]에서

[eqn: {\P}(X=k)][eqn: = {(n-k) TIMES {BOX{~k~}}} over {sum _{i=1} ^{{BOX{~n-1~}}}(n-i) TIMES i]

[eqn: {\P}(X=k)`]의 분모를 계산하면

[eqn: sum _{i=1} ^{n-1} LEFT ( n-i RIGHT ) TIMES i][eqn: = sum _{i=1} ^{n-1} (n i-i ^{`2} )][eqn: = {n(n-1)(n+1)} over {6}]

따라서

[eqn: rmE( itX)][eqn: = itsum_k=1^box{~n-1~} left{ k times rmP( itX=k)right}]
[eqn: = it sum _{k=1} ^{{BOX{~n-1~}}} left{ k times {6(n-k) TIMES {BOX{~k~}}} over {{n(n-1)(n+1)} } right}]
[eqn: = {6} over {box{~n(n-1)(n+1)~}} sum _{k=1} ^{{BOX{~`n-1~}}} LEFT { k TIMES (n-k) TIMES {BOX{~k~}} RIGHT }][eqn: = {n} over {2}]

[eqn: f(n)=n-1], [eqn: g(k)=k], [eqn: h(n)= n(n-1)(n+1)]에서

[eqn: h(7) over{ f(8) TIMES g(6)}][eqn: ={ 7 times 6 times 8} over{ 7 times 6}][eqn: =8]

20. [출제의도] 함수의 그래프의 개형을 추측하여 문제를 해결한다.

점 [eqn: \P`]의 좌표를 [eqn: (x,``y)`]라 할 때

[eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2}][eqn: =it LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( x-t RIGHT ) ^{2} +x ^{2} -1]
[eqn: =2x ^{2} -2tx+t ^{2} -1][eqn: =2 LEFT ( x- {t} over {2} RIGHT ) ^{2} + {t ^{2}} over {2} -1`]

[eqn: x ^{2} =y ^{2} +1 GEQ 1`]이므로 [eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]

[eqn: LEFT | x RIGHT | GEQ 1`]이므로 [eqn: t over 2`]의 값에 따라 [eqn: rm {bar{AP}} it rm ^{2} `]의 최솟값이 달라진다. 즉, 각 경우에 따라 [eqn: f(t)`]의 값을 구하면

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1}&```````` LEFT ( LEFT | t RIGHT | GEQ 2 RIGHT )#LEFT | t+1 RIGHT |&```````` LEFT ( -2<t LEQ 0 RIGHT )#LEFT | t-1 RIGHT |&```````` LEFT ( 0<t<2 RIGHT )}}]

그러므로 [eqn: s=f LEFT ( t RIGHT ) `]의 그래프를 그리면 다음과 같다.

ㄱ. [eqn: f(t)`]에서 [eqn: t=0`]을 대입하면 [eqn: f(0)=1`](참)

ㄴ. 직선 [eqn: s= {1} over {3} `]과 곡선 [eqn: s=f(t)`]의 교점의 개수는 [eqn: 4`]이다. (참)

ㄷ.

[eqn: lim _{t -> -2-} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> -2-} {{sqrt {{t ^{2}} over {2} -1} -1} over {t+2}}][eqn: = lim _{t -> -2-} {{t ^{2} -4} over {LEFT ( t+2 RIGHT ) sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> -2-} {{t-2} over {sqrt {2} ` LEFT ( sqrt {t ^{2} -2} + sqrt {2} RIGHT )}}][eqn: =it-1]

[eqn: lim _{t -> -2+} {{f LEFT ( t RIGHT ) -f LEFT ( -2 RIGHT )} over {t- LEFT ( -2 RIGHT )}}][eqn: = lim _{t -> -2+} {{LEFT | t+1 RIGHT | -1} over {t+2}}][eqn: = lim _{t -> -2+} {{- LEFT ( t+1 RIGHT ) -1} over {LEFT ( t+2 RIGHT )}}][eqn: =it-1]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t= it -2`]에서 미분가능하다.

같은 방법을 이용하면 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]는 [eqn: t=2`]에서도 미분가능하다는 사실을 알 수 있다.

그러므로 함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) `]가 미분가능하지 않은 [eqn: t`]의 값은 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1]이므로 그 개수는 [eqn: 3`]이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

21. [출제의도] 미분법을 이용하여 도형의 넓이의 최댓값을 구하는 문제를 해결한다.

색종이를 접었을 때 호 [eqn: \AP`]와 선분 [eqn: \AB`]의 교점을 [eqn: \Q`], 접힌 색종이를 다시 폈을 때 점 [eqn: \Q`]가 호 [eqn: \AB`]위에 있게 되는 점을 [eqn: \Q'`]이라 하자.

도형 [eqn: rm`AQP]와 도형 [eqn: rm`APQ']은 합동이므로 [eqn: S`( theta )`]는 호 [eqn: rm AP`]와 현 [eqn: rmAP`]로 둘러싸인 도형에서 호 [eqn: rmAQ']과 현 [eqn: rmAQ']으로 둘러싸인 도형의 넓이를 뺀 것이다.

[eqn: S`( theta )][eqn: = {1} over {2} LEFT { ( pi -2 theta )-sin( pi -2 theta ) RIGHT }]
[eqn: - {1} over {2} LEFT { ( pi -4 theta )-sin( pi-4 theta ) RIGHT }]
[eqn: = {1} over {2} ( 2 theta -sin`2 theta +sin`4 theta )]

[eqn: S``'( theta )][eqn: =2`cos`4 theta -cos`2theta +1]
[eqn: = 2 (cos^2` 2theta - sin^2` 2theta )-cos`2 theta +1]
[eqn: = 2 (2`cos^2` 2theta - 1 )-cos`2 theta +1]
[eqn: =4`cos ^{`2}` 2 theta -cos`2 theta -1]

[eqn: S``'(theta)`=0`]에서

[eqn: 4` left(cos `2theta -{1+ root17} over 8 right) left( cos `2 theta-{1-root17}over 8 right)=0]

따라서 [eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: 0 < cos`2theta < 1`]이므로

[eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8} `]인 [eqn: theta]에서 [eqn: S`(theta)=0`]이다.

[eqn: 0< theta < pi over 4]에서 [eqn: cos`2 theta = {1+ sqrt {17}} over {8} `]를 만족시키는 [eqn: theta`]를 [eqn: theta _{0}]이라 하면

[eqn: theta<theta _{0}]일 때 [eqn: S``' ( theta `)>0]이고

[eqn: theta > theta _{0}]일 때 [eqn: S```'( theta )<0]이므로

[eqn: S`(theta)`]는 [eqn: theta`=` theta _{0}]에서 최댓값을 갖는다.

그러므로 [eqn: theta _{0} =alpha]

따라서 [eqn: cos`2alpha= {1+ sqrt {17}} over {8}]

22. [출제의도] 정규분포를 이해하여 평균을 구한다.

[eqn: g(12)][eqn: = rm P(4 LEQ it`X LEQ 12)]가 [eqn: g(k)]의 최댓값이므로

[eqn: m={4+12} over2 =8]

23. [출제의도] 중복순열을 이해하여 홀수의 개수를 구한다.

일의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 1,~3,~5`] 중 한 수이므로 [eqn: 3],

백의 자리와 십의 자리에 올 수 있는 수는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`] 중 한 수씩이므로 [eqn: {}_{5`} Π_2]

따라서 [eqn: 3times {}_{5`} Π _{2}][eqn: = 3times 5 ^{`2}][eqn: =75]

24. [출제의도] 음함수의 미분법을 이해하여 주어진 함수의 미분계수를 구한다.

[eqn: x ^{2} -y ^{2} -y=1`]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x-2y` {dy} over {dx} - {dy} over {dx} =0`]

그러므로 [eqn: {dy} over {dx} = {2x} over {2y+1} `](단, [eqn: y!= it- {1} over {2}])

따라서 점 [eqn: rmA LEFT ( ita,``b RIGHT )]에서의 접선의 기울기를 구하면

[eqn: {2a} over {2b+1} = {2} over {15} a`]이고 [eqn: a!=0`]이므로 [eqn: b=7`]

25. [출제의도] 미분가능성을 이해하여 상수의 값을 구한다.

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로

[eqn: x=0`]에서 연속이다.

즉,[eqn: lim _{x` -> `0-} {f `LEFT ( x` RIGHT )}][eqn: = lim _{x` -> `0+} {f LEFT ( x RIGHT )}][eqn: =f ``LEFT ( `0` RIGHT ) `]
그러므로 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =e ^{b} =1]에서 [eqn: b=0]

[eqn: lim _{x` -> 0+} {{f `LEFT (` x` RIGHT ) -f` LEFT ( `0` RIGHT )} over {x-0}}][eqn: = lim _{x` -> `0+} {{e ^{`ax`} -1} over {x}}][eqn: =a]

[eqn: lim _{x` -> `0-} {{f LEFT (`x `RIGHT ) -f LEFT (` 0 `RIGHT )} over {x}} `=`1]

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=0`]에서 미분가능하므로 [eqn: a=1]

따라서 [eqn: f` LEFT (`10` RIGHT ) `=`e ^{10`}]에서 [eqn: k=10]

26. [출제의도] 경우의 수를 이용하여 함수의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

조건 (나)에서 [eqn: f(2n)<f(n)<f(3n)]이므로

[eqn: n=1]일 때, [eqn: f(2)<f(`1)<f(3)]

[eqn: n=2]일 때, [eqn: f(4)<f(2)<f(6)]

[eqn: f(4)<f(2)<f(1)<f(3)] 이고 [eqn: f(2)< f(6)`]이므로

[eqn: 6`]개의 숫자 중 [eqn: f(1)], [eqn: f(2)], [eqn: f(3)], [eqn: f(4)], [eqn: f(6)]에 대응될[eqn: 5`]개를 선택하면 [eqn: f(5)`]에 대응될 나머지 한 수와

[eqn: 5`]개의 수 중 [eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 수가 정해진다.

[eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 [eqn: f(6)`]에 대응될 수를 선택하면 [eqn: f(1)`]과 [eqn: f(3)`]에 대응되는 수도 정해진다.

구하는 경우의 수는 [eqn: 6`]개의 숫자 중 [eqn: 5`]개를 선택하는 경우의 수 [eqn: {`}_{6}` \C _5]와 [eqn: f(4)], [eqn: f(2)`]에 대응될 두 수를 제외한 나머지 세 수 중 [eqn: f(6)`]에 대응되는 수를 선택하는 경우의 수 [eqn: 3`]의 곱과 같다.

따라서 [eqn: {`}_{6}` \C _5 times 3][eqn: = 18]

27. [출제의도] 도형의 성질을 이용하여 문제를 해결한다.

삼각형 [eqn: rmBPQ`]와 삼각형 [eqn: rmBCQ`]는 서로 합동이므로

[eqn: angle rmQBC = theta over2`]이고 [eqn: rm barPQ][eqn: =rm barQC][eqn: = 3 tan` theta over2]

직각삼각형 [eqn: \RPQ`]에서 [eqn: angle \RQP = theta`]이므로

[eqn: bar{\PR}][eqn: =bar{\PQ} {\tan}`theta][eqn: =3{\tan}`theta over 2 {\tan}`theta]

[eqn: f( theta)][eqn: = 1 over 2 timesbar{\PQ}times bar{\PR}]
[eqn: = 1 over2 times 3`tan thetaover2 times 3`{\tan}`theta over 2 {\tan}`theta][eqn: = 9 over2 rmtan^{`2} thetaover2 tan` theta]

따라서 [eqn: lim _{theta `->` 0+} {{8f( theta )} over {theta ^{3}}}][eqn: = lim _{theta `->` 0+} {} {36` rm tan ^{`2} {theta } over {2} tan` theta it} over {theta ^{3}}][eqn: =9]

28. [출제의도] 벡터의 내적을 이용하여 문제를 해결한다.

원 [eqn: C_2]의 중심을 [eqn: rmO_2]라 하면,

[eqn: rm {vec{PC}} CDOT {vec{PQ}}][eqn: rm = {vec{PC}} CDOT ( {vec{PO _{2}}} + {vec{O _{2} Q}} )]
[eqn: =rm vecPC cdot vecPO_2 + vecPC cdot vec{O_2 Q]

점 [eqn: rmP]가 원점에, 선분 [eqn: \AB`]가 [eqn: y`]축 위에 오도록 정사각형 [eqn: rmABCD]와 두 원 [eqn: C_1], [eqn: C_2`]를 좌표평면 위에 놓으면 두 점 [eqn: rmO_2], [eqn: rmC]의 좌표는 각각 [eqn: (3,~2)], [eqn: (4,~-1)]이다.

그러므로 [eqn: rm vecPC cdot vecPO_2 = (4,~-1) cdot(3,~2)][eqn: =12-2][eqn: =10`]

[eqn: rmvecPC]와 [eqn: rm vec{O_2 Q}]가 이루는 각을 [eqn: theta]라 하면

[eqn: rm vecPC cdot vec{O_2 Q}] [eqn: rm =left| vecPC right |left| vec{O_2 Q} right |cos `theta]
[eqn: =sqrt17 times 1 times cos`theta][eqn: le sqrt17]에서

[eqn: theta=0]일 때, [eqn: rm vecPC cdot vec{O_2 Q}]의 최댓값은 [eqn: root17`]

그러므로 [eqn: rm vecPC cdot vecPQ]의 최댓값은 [eqn: 10+sqrt17]

따라서 [eqn: a+b=10+17=27]

29. [출제의도] 평면과 원뿔이 만나서 이루는 도형을 추측하여 좌표를 구한다.

원뿔을 [eqn: yz`]평면으로 자른 단면은 [eqn: yz`]평면 위의 두 점 [eqn: rm P LEFT ( 0,```1,```2 RIGHT ) `], [eqn: rm R(0,```-1,```2)`]와 원점 [eqn: \O`]를 세 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \OPR`]이다.

선분 [eqn: \OR`]와 평면 [eqn: alpha`]의 교점을 [eqn: \Q`]라 하자.

두 점 [eqn: \P`], [eqn: \Q`]를 [eqn: xy`]평면에 내린 정사영을 각각 [eqn: \P'], [eqn: \Q'`]이라 할 때 도형 [eqn: S`]의 [eqn: xy`]평면 위로의 정사영의 장축의 길이는 선분 [eqn: \P'Q'`]의 길이와 같다. 즉, [eqn: bar{\P'Q'} = 5 over 4]

점 [eqn: \`Q]에서 선분 [eqn: \PP'], [eqn: \RR'`]에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \H], [eqn: \H'`]이라 하고 평면 [eqn: alpha`]와 [eqn: xy`]평면이 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면

[eqn: bar{\RH'}][eqn: =bar{\PH}][eqn: = bar{\QH} \tan`theta][eqn: =bar{\Q'P'} \tan `theta][eqn: = 5 over 4 ` tan `theta]

[eqn: bar{\QH'}][eqn: = bar{\P'R'} - bar{\P'Q'}][eqn: = 2- 5 over 4][eqn: = 3 over 4]

삼각형 [eqn: \RR'O`]와 삼각형 [eqn: \RH'Q`]는 닮음이므로

[eqn: {bar{\RR'}} over {bar{\OR'}}][eqn: = bar{\RH'} over bar{\QH'} `]에서

[eqn: {bar{\RR'}} over {bar{\OR'}} =2]이고 [eqn: bar{\RH'} over bar{\QH'}][eqn: = {5 over 4 \tan `theta} over {3 over 4}][eqn: ={5 tan` theta} over 3]이므로 [eqn: tan`theta = 6 over 5]

평면 [eqn: alpha`]가 [eqn: z`]축과 만나서 생기는 좌표가 [eqn: (0,``0,``k)`]이므로 [eqn: tan` theta = 2-k over 1][eqn: = 6 over 5]

따라서 [eqn: k = 4 over 5]이므로 [eqn: 50k=40]

30. [출제의도] 함수를 구하여 정적분과 관련된 문제를 해결한다.

[eqn: S` LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {sqrt {1- LEFT ( t-1 RIGHT ) ^{2}}} `dt`]이므로 [eqn: S`prime LEFT ( x RIGHT ) = sqrt {1- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}} `]

[eqn: f( theta )=S` LEFT ( 1+sin` theta RIGHT ) -S` LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) `]라 하면

[eqn: LEFT . f` prime ( theta RIGHT )][eqn: =S` prime LEFT ( 1+sin theta RIGHT ) `cos` theta +S` prime LEFT ( 1+cos` theta RIGHT ) `sin theta `]
[eqn: = sqrt {1-sin ^{2} theta } `cos` theta + sqrt {1-cos ^{2} ` theta } `cos` theta][eqn: = LEFT | cos` theta RIGHT | cos` theta + LEFT | sin` theta RIGHT | `sin` theta `]

(ⅰ) [eqn: 0 LEQ theta < {pi } over {2}]일 때,

[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT ) =cos ^{2} theta +sin ^{2} ` theta][eqn: =1]이므로 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta +C _{1}] ([eqn: C _{1`}]은 적분상수)

[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =S` LEFT ( 1 RIGHT ) -S` LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =it- {pi} over {4} `]이므로 [eqn: C _{1} =it- {pi } over {4}]

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = theta - {pi } over {4}]

(ⅱ) [eqn: {pi } over {2} LEQ theta < pi `]일 때,

[eqn: f` prime LEFT ( theta RIGHT )][eqn: = it -cos` ^{2} theta +sin ^{2} theta `][eqn: = it -cos`2` theta `]이므로

[eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta +C _{2} `] ([eqn: C _{2`}]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( {pi} over {2} RIGHT ) =S` LEFT ( 2 RIGHT ) -S` LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = {{pi } over {4} `}]이므로 [eqn: C _{2} = { pi } over {4} `]

따라서 [eqn: f LEFT ( theta RIGHT ) = it - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4} `]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: y=f(theta)`]의 구간 [eqn: left[ pi over 4 ,`` 3 over 4 pi right]]에서의 그래프는 그림의 실선 부분이다.

[eqn: int _{{pi } over {4}} ^{{3} over {4} pi } {f LEFT ( theta RIGHT )} `d theta][eqn: = int _{{pi } over {4}} ^{{pi } over {2}} {LEFT ( theta - {pi } over {4} RIGHT )} `d theta + int _{{pi } over {2}} ^{{3} over {4} pi } {LEFT ( - {1} over {2} `sin2 theta + {pi } over {4} RIGHT )} `d theta]
[eqn: = LEFT [ {1} over {2} theta ^{2} - {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {4}}^{{pi } over {2}} + LEFT [ {1} over {4} `cos2 theta + {pi } over {4} theta RIGHT ] _{{pi } over {2}}^{{3} over {4} pi } `]
[eqn: = {1} over {4} + {3} over {32} pi ^{2} `]

따라서 [eqn: p = 1 over 4], [eqn: q = 3 over 32`]이므로 [eqn: 30p over q][eqn: = 80]