	5지선다형

고 3	수학 영역 (가형)

	수학 영역 (가형)	고 3

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2017학년도 7월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (가형)

제 2 교시

1. 두 벡터 [eqn: vec{a} =(`2`,```3`)`], [eqn: vec{b} =(`-1`,```5`)`]에 대하여 벡터 [eqn: 2 {vec{a}} + {vec{b}}`]의 모든 성분의 합은? [2점]

	①	[eqn: 10]	②	[eqn: 11]	③	[eqn: 12]	④	[eqn: 13]	⑤	[eqn: 14]

2. [eqn: sin {7} over {6} pi `]의 값은? [2점]

	①	[eqn: -1]	②	[eqn: - {sqrt {3}} over {2}]	③	[eqn: - {sqrt {2}} over {2}]
	④	[eqn: - {1} over {2}]	⑤	[eqn: 0]

3. 좌표공간의 두 점 [eqn: rm A(` it -1`,```0`,```1`)`], [eqn: rm B( it `2`,```1`,```-2`)`]에 대하여
선분 [eqn: rmAB`]의 길이는? [2점]

	①	[eqn: 3 sqrt {2}]	②	[eqn: sqrt {19}]	③	[eqn: 2 sqrt {5}]	④	[eqn: sqrt {21}]	⑤	[eqn: sqrt {22}]

4. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 독립이고

[eqn: rm P( it `A`)= {1} over {2}`], [eqn: rm P( it `A SMALLINTER B`)= {1} over {6}`]

일 때, [eqn: rm P( it `B`)`]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {1} over {6}]	②	[eqn: {1} over {4}]	③	[eqn: {1} over {3}]	④	[eqn: {5} over {12}]	⑤	[eqn: {1} over {2}]

5. [eqn: int _{0} ^{4} {LEFT ( 5x-3 RIGHT ) sqrt {x} `dx} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: 47]	②	[eqn: 48]	③	[eqn: 49]	④	[eqn: 50]	⑤	[eqn: 51]

6. 함수 [eqn: f(x)= {cases{`` {e ^{ax} -1} over {3x}&``` LEFT ( x<0 RIGHT )#``x ^{2} +3x+2&``` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT )}} `]이 실수 전체의 집합에서 연속일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? (단, [eqn: a != 0`]) [3점]

	①	[eqn: 6]	②	[eqn: 7]	③	[eqn: 8]	④	[eqn: 9]	⑤	[eqn: 10]

7. 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {13} =1`]의 두 초점을 [eqn: rm F LEFT ( `it 7`,```0` RIGHT )`], [eqn: rm F prime LEFT ( ` it -7`,```0` RIGHT ) `]이라 하자. 쌍곡선 위의 점 [eqn: rmP`]에 대하여 [eqn: LEFT | bar{rm PF it} - rm bar{rm PF prime } RIGHT |`]의 값은?
(단, [eqn: a>0]) [3점]

	①	[eqn: 8]	②	[eqn: 9]	③	[eqn: 10]	④	[eqn: 11]	⑤	[eqn: 12]

8. 숫자 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`] 중에서 중복을 허락하여 세 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 세 자리 자연수가 홀수인 경우의 수는?

[3점]

	①	[eqn: 45]	②	[eqn: 55]	③	[eqn: 65]	④	[eqn: 75]	⑤	[eqn: 85]

9. 매개변수 [eqn: t`(t>0)`]으로 나타내어진 함수

[eqn: x=t+sqrt {t}`], [eqn: y=t ^{3} + {1} over {t}`]

에서 [eqn: t=1`]일 때, [eqn: {dy} over {dx} `]의 값은? [3점]

	①	[eqn: {2} over {3}]	②	[eqn: 1]	③	[eqn: {4} over {3}]	④	[eqn: {5} over {3}]	⑤	[eqn: 2]

10. 한 개의 동전을 [eqn: 7`]번 던질 때, 앞면이 뒷면보다 [eqn: 3`]번 더 많이 나올 확률은? [3점]

	①	[eqn: {19} over {128}]	②	[eqn: {21} over {128}]	③	[eqn: {23} over {128}]	④	[eqn: {25} over {128}]	⑤	[eqn: {27} over {128}]

11. [eqn: 0 LEQ x LEQ pi`]일 때, 방정식 [eqn: LEFT ( sinx+cos`x RIGHT ) ^{2} = sqrt {3} `sinx+1`]의 모든 실근의 합은? [3점]

	①	[eqn: {7} over {6} pi]	②	[eqn: {4} over {3} pi]	③	[eqn: {3} over {2} pi]	④	[eqn: {5} over {3} pi]	⑤	[eqn: {11} over {6} pi]

[eqn: z]	[eqn: rmP(it0leq Z leq z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.3413]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.4332]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.4772]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.4938]
[eqn: 3.0]	[eqn: 0.4987]

12. 어느 양계장에서 생산하는 계란 [eqn: 1`]개의 무게는 평균이 [eqn: 52rmg`],
표준편차가 [eqn: 8rmg`]인 정규분포를
따른다고 한다. 이 양계장에서
생산하는 계란 중 임의로 [eqn: 1`]개를
선택할 때, 이 계란의 무게가 [eqn: 60rmg]
이상이고 [eqn: 68 rm g] 이하일 확률을 오른쪽
표준정규분포표를 이용하여 구한
것은? [3점]

	①	[eqn: 0.0440]	②	[eqn: 0.0655]	③	[eqn: 0.0919]
	④	[eqn: 0.1359]	⑤	[eqn: 0.1525]

13. 어느 고등학교의 전체 학생을 대상으로 생활복 도입에 대한 찬반투표를 한 결과 전체 학생의 [eqn: 80`]%가 찬성하였고, [eqn: 20`]%는 반대하였다. 이 고등학교의 전체 학생의 [eqn: 40`]%가 여학생이었고, 생활복 도입에 찬성한 학생의 [eqn: 70`]%가 남학생이었다.
이 고등학교의 전체 학생 중 임의로 선택한 한 학생이 여학생일 때, 이 학생이 생활복 도입에 찬성하였을 확률은?

[3점]

	①	[eqn: {1} over {5}]	②	[eqn: {3} over {10}]	③	[eqn: {2} over {5}]	④	[eqn: {1} over {2}]	⑤	[eqn: {3} over {5}]

14. 그림과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 4`]인 정사각형을 밑면으로 하고 [eqn: {bar{rm OA it}} = {bar{rm OB it}} = {bar{rm OC it}} = {bar{rm OD it}} =2 sqrt {5}]인 정사각뿔 [eqn: rmO`-` ABCD`]가 있다. 두 선분 [eqn: rmOA`], [eqn: rmAB`]의 중점을 각각 [eqn: rmP], [eqn: rmQ`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rmOPQ`]의 평면 [eqn: rmOCD] 위로의 정사영의 넓이는? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

	①	[eqn: 1 over2]	②	[eqn: 3 over4]	③	[eqn: 1]	④	[eqn: 5 over4]	⑤	[eqn: 3 over2]

15. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=3x+ {2} over {x}`][eqn: (x>0)`]와 [eqn: x`]축 및

직선 [eqn: x=1`], 직선 [eqn: x=2]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: x`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: it1]

[eqn: it 2]

[eqn: it x]

[eqn: it y]

[eqn: it y=3x+ {2} over {x}]

	①	[eqn: {35 sqrt {3}} over {4}]	②	[eqn: {37 sqrt {3}} over {4}]	③	[eqn: {39 sqrt {3}} over {4}]
	④	[eqn: {41sqrt {3}} over {4}]	⑤	[eqn: {43 sqrt {3}} over {4}]

16. 함수 [eqn: f(x)=tan ^{3} x`] [eqn: LEFT ( - {pi } over {2} <x< {pi } over {2} RIGHT )`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라
할 때, 곡선 [eqn: y=g(x)`] 위의 점 [eqn: left(`1`,```g(1)`right)`]에서의 접선의
기울기는? [4점]

	①	[eqn: {1} over {6}]	②	[eqn: {1} over {3}]	③	[eqn: {1} over {2}]	④	[eqn: {2} over {3}]	⑤	[eqn: {5} over {6}]

17. 함수 [eqn: f(x)= {1} over {2} x ^{2} -3x- {k} over {x} `]가 열린 구간 [eqn: (`0`,```inf`)]에서 증가할 때, 실수 [eqn: k`]의 최솟값은? [4점]

	①	[eqn: 3]	②	[eqn: {7} over {2}]	③	[eqn: 4]	④	[eqn: {9} over {2}]	⑤	[eqn: 5]

18. [eqn: 1`]부터 [eqn: 6`]까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 [eqn: 6`]개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 [eqn: 1`]개의 공을 꺼내어 공에 적혀 있는 수를 확인한 후 다시 넣는다. 이와 같은 시행을 [eqn: 3`]번 반복할 때, 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 차례로
[eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x _{3} `]이라 하고, 이 세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x _{3} `] 중에서
최댓값과 최솟값의 차를 확률변수 [eqn: X``]라 하자. 예를 들어 [eqn: rm `P(itX =1) `=` 5 over36`]이다. 다음은 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E( it X`)`]를 구하는 과정의 일부이다.

	세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3`]을 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]과 같이 나타내자. 세 수 [eqn: x_1`], [eqn: x_2`], [eqn: x_3 `] 중에서 최댓값을 [eqn: p`], 최솟값을 [eqn: q`]라 하고 [eqn: p-q =k`]라 하자. ⑴ [eqn: k=0`]일 때 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: box{~(가)~}]이고, [eqn: rmP it (itX=0)`=` {1} over {6 ^{3}} TIMES {BOX{~(가)~}}] ⑵ [eqn: k ne 0`]일 때 ⅰ) [eqn: k=1`]을 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` ) `]의 개수는 [eqn: 5` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} RIGHT ) `] 이다. ⅱ) [eqn: k=2`]를 만족시키는 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` )`]의 개수는 [eqn: 4` TIMES ` LEFT ( {3!} over {2!} + {3!} over {2!} +3! RIGHT )] 이다. [eqn: VDOTS] 그러므로 [eqn: 1 LEQ k LEQ 5 `]일 때, 순서쌍 [eqn: (`x _{1}` ,``x _{2}` ,``x _{3}` ) `]의 개수는 [eqn: (6-k)` TIMES ` LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + LEFT ( ` BOX{~(나)~} ` RIGHT ) ` TIMES `3! RIGHT }] 이고 [eqn: rm P( it X=k`)`=` {1} over {6 ^{3}} TIMES (6-k) TIMES LEFT { {3!} over {2!} + {3!} over {2!} + LEFT ( ` BOX{~(나)~} ` RIGHT ) TIMES 3! RIGHT }] ⑴, ⑵에 의하여 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: rm E (it X`)`]는 다음과 같다. [eqn: rm E( it X`)`=` sum _{k=0} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT }][eqn: `=` {1} over {6 ^{2}} sum _{k=1} ^{5} LEFT ( ` BOX{~(다)~} ` RIGHT )][eqn: `=` 35 over 12]

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: a`]라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(k)`], [eqn: g(k)`]라 할 때, [eqn: {f(5) TIMES g(3)} over {a} `]의 값은? [4점]

	①	[eqn: 15]	②	[eqn: 18]	③	[eqn: 21]	④	[eqn: 24]	⑤	[eqn: 27]

19. 좌표평면 위를 움직이는 점 [eqn: rmP`]의 시각 [eqn: t`(0leqt LEQ 2 pi )`]에서의
위치 [eqn: (`x`,```y`)`]가

[eqn: x=t+2cos`t`], [eqn: y= sqrt {3} `sin` t`]

일 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: t= {pi} over {2}`]일 때, 점 [eqn: rmP`]의 속도는 [eqn: (`-1`,```0`)`]이다. ㄴ. 점 [eqn: rmP`]의 속도의 크기의 최솟값은 [eqn: 1`]이다. ㄷ. 점 [eqn: rm P`]가 [eqn: t= pi`]에서 [eqn: t=2pi`]까지 움직인 거리는 [eqn: 2 pi +2`]이다.

	①	ㄱ	②	ㄷ	③	ㄱ, ㄴ
	④	ㄴ, ㄷ	⑤	ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]가

[eqn: g(x)= int _{0} ^{x} {{t} over {f(t)} `dt} `]

일 때, 함수 [eqn: g(x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: g` prime (-x)=`-g` prime (x)`]이다. (나) 점 [eqn: LEFT ( `1`,```g(1)` RIGHT )]은 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 변곡점이다.

[eqn: g(1)`]의 값은? [4점]

	①	[eqn: {1} over {5} `ln2]	②	[eqn: {1} over {4} `ln2]	③	[eqn: {1} over {3} `ln2]	④	[eqn: {1} over {2} `ln2]	⑤	[eqn: ln2]

21. 그림과 같이 [eqn: bar{rmAB}=2]이고 [eqn: ANGLE rm ABC=2 ANGLE rm BAC`]를 만족하는 삼각형 [eqn: rmABC`]가 있다. 선분 [eqn: rm AC`]를 지름으로 하는 원과 직선 [eqn: rmAB`]가 만나는 점 중 [eqn: rmA`]가 아닌 점을 [eqn: rmP`], 점 [eqn: rmP]를 지나고 선분 [eqn: rmBC`]에 평행한 직선이 선분 [eqn: rmAC`]와 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자.
[eqn: ANGLE rmBAC= theta`]라 할 때, 삼각형 [eqn: rm APQ`]의 넓이를 [eqn: S( theta )`]라 하자.
[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S( theta )} over {theta }} `]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < {pi } over {4}`]) [4점]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm 2]

[eqn: theta]

[eqn: 2theta]

	①	[eqn: {16} over {27}]	②	[eqn: {17} over {27}]	③	[eqn: {2} over {3}]	④	[eqn: {19} over {27}]	⑤	[eqn: {20} over {27}]

	단답형

22. 방정식 [eqn: LEFT ( {1} over {5} RIGHT ) ^{5-x} =25`]를 만족시키는 실수 [eqn: x`]의 값을 구하시오.

[3점]

23. [eqn: {} _{it 3`} rm H _{it `n rm} =21`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f(x)=log _{`6} (x-a)+b`]의 그래프의 점근선이 직선
[eqn: x=5`]이고, [eqn: f(11)=9`]이다. 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 두 함수 [eqn: f(x)=kx ^{2} -2x``], [eqn: g(x)=e ^{3x} `+1`]이 있다. 함수 [eqn: h(x)=(f CIRC g)(x)`]에 대하여 [eqn: h` prime (0)=42]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 서로 다른 인형 [eqn: 5`]개를 [eqn: 3`]개의 가방 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]에 남김없이
넣으려고 할 때, 각 가방에 인형을 적어도 [eqn: 1`]개 이상 넣는
경우의 수를 구하시오. [4점]

27. 함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: f(x)=e ^{x} + int _{0} ^{1} {t`f(t)`dt}`]

를 만족시킬 때, [eqn: f(ln10)`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 그림과 같이 초점이 [eqn: rm F`]인 포물선 [eqn: y ^{2} =12x`]가 있다. 포물선 위에 있고 제[eqn: 1`]사분면에 있는 점 [eqn: rmA`]에서의 접선과 포물선의 준선이 만나는 점을 [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: bar{rm AB it} =2 bar{rm AF it}]일 때, [eqn: bar{rm AB it} ` TIMES bar{` rm AF it}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: rmA]

[eqn: rm O]

[eqn: rm F]

[eqn: y ^{2} =12x]

[eqn: y]

29. 평면 위에 반지름의 길이가 [eqn: 13`]인 원 [eqn: C`]가 있다. 원 [eqn: C] 위의 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} `=24`]이고, 이 평면 위의 점 [eqn: rmP]가 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) [eqn: LEFT | {vec{rm AP it}} RIGHT | =5`] (나) [eqn: vec{rm AB it}`]와 [eqn: vec{rm AP it} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 할 때, [eqn: 5cos`theta`]는 자연수이다.

원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmQ]에 대하여 [eqn: {vec{rm AP it}} BULLET {vec{rm AQ it}} `]의 최댓값을 구하시오.

[4점]

30. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 [eqn: f(x)]가 있다. 함수 [eqn: g(x)`]가

[eqn: g(x)= LEFT | f` prime (x) RIGHT | e ^{f(x)}`]

일 때, 함수 [eqn: g(x)`]는 다음 조건을 만족시킨다.

	(가) 함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 극솟값을 갖는다. (나) 함수 [eqn: g(x)`]의 최댓값은 [eqn: 4 sqrt {e}`]이다. (다) 방정식 [eqn: g(x)=4 sqrt {e}`]의 근은 모두 유리수이다.

[eqn: LEFT | f(-1) RIGHT |`]의 값을 구하시오. [4점]

* 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.