• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	⑤	2	④	3	⑤	4	①	5	②
6	④	7	①	8	③	9	③	10	②
11	③	12	④	13	①	14	⑤	15	①
16	③	17	⑤	18	25	19	27	20	29
21	21	22	11	23	12	24	83	25	72
미분과 적분
26	③	27	②	28	③	29	④	30	14
확률과 통계
26	③	27	②	28	③	29	②	30	588
이산수학
26	①	27	②	28	④	29	③	30	44

해 설

1. [출제의도] 지수와 로그를 포함한 식을 간단히 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root {3} of {27} +log _{3} sqrt {81} = root {3} of {3 ^{3}} +log _{3} sqrt {LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{2}} =3+2=5`]

2. [출제의도] 역행렬을 구하고 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A ^{-1} = {pmatrix{`````````1&`-1`#`-2&```````3}}]이므로

[eqn: A ^{-1} B= {pmatrix{`````````1&`-1`#`-2&```````3}} {pmatrix{`-1`````&2`#-2`````&3`}} = {pmatrix{`````````1`&-1`#-4&````````5`}} `]

3. [출제의도] 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim from {x`rarrow`3} `(x -3 ) = 0 `]이고, [eqn: lim from {x`rarrow`3} {x -3} over {ax^2 +b} = 1 over 6]이므로,

[eqn: lim from {x`rarrow`3} (ax^2 +b)=0`]이다. 즉, [eqn: 9a+b=0`]이므로

[eqn: lim _{x` -> `3} {} {x-3} over {a(x ^{2} -9)} = lim _{x` -> `3} {} 1 over {a(x+3)} = {1} over {6a}]이다. [eqn: a=1,~b=-9`]이므로 [eqn: a-b=10`]이다.

4. [출제의도] 좌표공간에서 직선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: LEFT ( 1,~-2,~3 RIGHT )]을 지나고 방향벡터가 [eqn: LEFT ( 2,~3,~4 RIGHT )]인 직선의 매개변수방정식은 [eqn: x=2t+1,~y=3t-2,~z=4t+3]이다.[eqn: x=2t+1=3]일 때 [eqn: t=1]이므로 조건에 맞는 직선은 점 [eqn: LEFT ( 3,~1,~7 RIGHT )]을 지난다. 따라서, [eqn: a+b=8`]이다.

5. [출제의도] 분수부등식과 고차부등식의 연립부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {1} over {x-1} + {1} over {x-3} >= 0] 에서 좌변을 통분하여 정리하면

[eqn: (x-1)(x-2)(x-3) >= 0 , `````x!=1,`` x!=3]

∴ [eqn: 1<x<=2] 또는 [eqn: x>~3] [eqn: cdots] ㉠

[eqn: (x-a)(x ^{2} -x+1)<0] 에서

항상  [eqn: x ^{2} -x+1>0]이므로

[eqn: (x-a)(x ^{2} -x+1)<0```` LRARROW ~(x-a)<0] [eqn: cdots] ㉡

㉠과 ㉡의 공통범위에서 조건을 만족하는 [eqn: a]의 범위를 구하면 [eqn: 5<a <= 6]이므로 최댓값은 [eqn: 6]이다.

6. [출제의도] 조건부확률의 개념을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ⅰ) 홀수번호의 주머니에서 흰 공을 꺼낼 확률은

[eqn: {1} over {6} TIMES {1} over {6} + {1} over {6} TIMES {3} over {6} + {1} over {6} TIMES {5} over {6} = {1} over {4}]

ⅱ) 짝수번호의 주머니에서 검은 공을 꺼낼 확률은            [eqn: {1} over {6} TIMES {2} over {6} + {1} over {6} TIMES {4} over {6} + {1} over {6} TIMES {6} over {6} = {12} over {36} = {1} over {3}]

따라서, 구하는 확률은 [eqn: 1 over 3 over{1 over3 + 1 over4} = 4 over7]

7. [출제의도] 규칙을 찾아 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmi)] [eqn: f(1)<f(2)=f(3)]일 때, [eqn: f(1),~f(2)=f(3)]을 정한        후, [eqn: f(4)]를 정하면 되므로 [eqn: `_4 rm C_2 times `_4 rm C_1 =24]

[eqn: rm ii)] [eqn: f(1)<f(2)<f(3)]일 때, [eqn: f(1),~f(2),~f(3)]을 정하는      것은 [eqn: 4]개에서 [eqn: 3]개를 정하는 경우이므로

[eqn: ` _{4} rm C _{3} TIMES ` _{4} rm C _{1} =16]

따라서, 구하는 경우의 수는

[eqn: `_4 rm C_2 times `_4 rm C_1 + ` _{4} rm C _{3} TIMES ` _{4} rm C _{1} =24+16=40]

8. [출제의도] 함수의 연속성의 정의에 대해 알고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: lim from {x`rarrow`-0} [`f(x)`]=0,~lim from {x`rarrow`+0} [`f(x)`]=0,~[f(0)]=0`] (연속)

ㄴ. [eqn: lim from {x`rarrow`-0} [`f(x)`]=1,~lim from {x`rarrow`+0} [`f(x)`]=0`] (불연속)

ㄷ. [eqn: lim from {x`rarrow`-0} [`f(x)`]= -1,~lim from {x`rarrow`+0} [`f(x)`]=-1,~[f(0)]= -1`]

(연속)

9. [출제의도] 이항분포에서의 확률을 정규분포에서의 확률을 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmi)] 한 번의 시행에서 5가 쓰여 있는 카드가 한 번도       나오지 않으면 세 수의 합이 9이하이고, 이때의        확률은 [eqn: {`_5 {rm C}_3 } over {`_10 rm C_3 } = 1 over12]

[eqn: rm ii)] [eqn: 5`]가 쓰여 있는 카드가 한 번 나오면, [eqn: 2`]가 쓰여 있      는 카드가 [eqn: 2`]번 나올 때만 세 수의 합이 [eqn: 9`]이하이고,      이때의 확률은 [eqn: {`_2 rm C_2 times `_5 C_1 } over {`_10 rm C_3} = 1over24]

따라서, 한 번의 시행에서 세 숫자의 합이 [eqn: 9`]이하       일 확률은 [eqn: 1 over 12 + 1 over 24 = 1 over 8]

한편, 세 숫자의 합을 확률변수 [eqn: X] 로 하는 확률분포는 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( 448,~ {1} over {8} RIGHT )]을 따른다. 그러므로 [eqn: X]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N left(56,~7`^2 right)]을 따른다.

따라서 구하는 확률은

[eqn: rm P it (49 <= X <= 70)][eqn: = rm P it LEFT ( {49-56} over {7} <= Z <= {70-56} over {7} RIGHT )]                           [eqn: = rm P it( -1≦Z≦2)][eqn: =0.3413+0.4772=0.8185]

10. [출제의도] 등비수열의 공비를 찾고 식을 만들 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n`]년 후 이산화탄소 배출량은 [eqn: 6 TIMES (1-0.`05) ^{n} `]억 톤이므로

[eqn: 6 TIMES 0.`95 ^{n} ` <= `4,``0.`95 ^{n} ` <= {2} over {3} `]

양변에 상용로그를 취하면 [eqn: n(log`9.5-1) <= log`2`-log`3`]

[eqn: 0.022`n` >= `0.`176,```n` >= 8`]

따라서, [eqn: 8`]년 후에 [eqn: 4`]억 톤 이하가 된다.

11. [출제의도] 쌍곡선의 정의와 성질을 이용하여 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주어진 원과 [eqn: x`]축과의 교점을 [eqn: rm A LEFT ( -5,``0 RIGHT ) ,`` rm B LEFT ( 5,``0 RIGHT ) `]이라 하자. 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -5,``0 RIGHT ) ,``rmB LEFT ( 5,``0 RIGHT )`]는 쌍곡선의 초점이다. [eqn: rm bar{AQ}=ita,``rmbar{BQ}=itb`]라 하면 쌍곡선의 정의에 의해 [eqn: a-b=8`]이고, 직각삼각형 [eqn: TRIANGLE rm ABQ`]에서 [eqn: a^{ 2} +b ^{ 2} =10 ^{ 2} `]이다.

[eqn: LEFT ( a-b RIGHT ) ^{ 2}= a ^{2} +b ^{2}-2ab]에서 [eqn: rm bar{AQ} TIMES rm bar{BQ} =ita it b`=18`]이다.

12. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

자연수 [eqn: n(n >= 3)]에 대하여 [eqn: S _{n} = sum _{i=1} ^{n-1} {n} over {(n-i)2 ^{i-1}}] 이라 하자.

(1) [eqn: n=3]일 때,  [eqn: S _{3} =3`<4`]이므로 성립한다.

(2) [eqn: n=k(k >= 3)]일 때, [eqn: S _{k} <4`]가 성립한다고 가정하자.

[eqn: n=k+1]일 때,

[eqn: S _{k+1} ```=`` sum _{i=1} ^{k} {k+1} over {k+1-i} TIMES {1} over {2 ^{i-1}}]

[eqn: = {k+1} over {k} + {k+1} over {k-1} TIMES {1} over {2} + {k+1} over {k-2} TIMES {1} over {2 ^{2}} + CDOTS + {k+1} over {2 ^{k-1}}]

[eqn: = {k+1} over {k} + {1} over {2} LEFT ( {k} over {k-1} + {k} over {k-2} TIMES {1} over {2} + CDOTS + {k} over {2 ^{k-2}} RIGHT ) `]

[eqn: + {1} over {2k} TIMES LEFT ( {k} over {k-1} + {k} over {k-2} TIMES {1} over {2} + CDOTS + {k} over {2 ^{k-2}} RIGHT )]

[eqn: =1+ {1} over {k} + {1} over {2} S _{k} + {1} over {2k} S _{k} `=`1+ {1} over {k} +` {k+1} over {2k} `S _{k}]

그런데, [eqn: k>=3,``S _{k} <4] 이므로

[eqn: S _{k+1} =1+ {1} over {k} +` {k+1} over {2k} ` TIMES S _{k} <4] 이다.

그러므로 (1),(2)에 의하여 [eqn: 3`]이상의 자연수 [eqn: n]에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

따라서, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) = {1} over {2k} + {k+1} over {2k} = {k+2} over {2k} `]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = {5} over {6} `]이다.

13. [출제의도] 행렬 사이의 관계를 통해 역행렬의 정의를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: AB ^{2} C``=AB``=` {pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`}} ,```CBA``=` {pmatrix{```````1&````-2`#`-1&``````````3}}]에서

[eqn: ABBC`= {pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`}} BC``= {pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`}} ``]이고 행렬 [eqn: {pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`}}]는 역행렬이 존재하므로 [eqn: BC=E``=CB``]이다.

[eqn: CBA``=` {pmatrix{```````1&````-2`#`-1&``````````3}} =A``]이므로

[eqn: AB``=` {pmatrix{````````3&````-2`#`-4&```````````3`}} = {pmatrix{````````1&````-2`#`-1&```````````3`}} B]

[eqn: B= {pmatrix{````````1&`````0`#`-1&`````1`}}]이므로 성분의 합은 [eqn: 1]이다.

14.  [출제의도] 평면 도형에서 벡터의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: rm bar{AB}]는 원의 지름이고, [eqn: anglermAPB=90 DEG]이므로 내적은 [eqn: 0]이다. (참)

ㄴ. [eqn: TRIANGLE rm ABC]에서 [eqn: rmbarAN]은 [eqn: rmangleCAB]의 이등분선이므로 [eqn: rmbar{BA}:bar{AC}=bar{BN}:bar{NC}=3:1]이다.

따라서, [eqn: rm vec{AN} = {1} over {4} rm vec{AB} + {3} over {4} vec{AC}]이다. (참)

ㄷ. [eqn: rm vec{AB} = vec{it b rm} ,~ rm vec{AC} = vec{it c rm}]라 하자.

[eqn: rm vec{AN} BULLET vec{BQ} =0` & LRARROW ` vec{AN} BULLET LEFT ( vec{AQ} - vec{AB} RIGHT ) =0# # ````````````````````````````````````````` & LRARROW ` vec{rm AN} BULLET LEFT ( it t rm vec{AM} - vec{AB} RIGHT ) =0``# # ````````````````````````````````````````` & LRARROW ` LEFT ( {1} over {4} vec{b} + {3} over {4} vec{c} RIGHT ) BULLET LEFT { t LEFT ( {1} over {2} vec{b} + {1} over {2} vec{c} RIGHT ) - vec{b} RIGHT } =0`# `# ````````````````````````````````````````` & LRARROW ` LEFT ( 2t-3 RIGHT ) LEFT ( vec{b} bullet vec{c }+3 RIGHT ) =0]

[eqn: vec{b} BULLET vec{c} >0]이므로, [eqn: t= {3} over {2}]이다.

따라서, [eqn: vec{rm AQ it} = {3} over {2} vec{rm AM it} ` LRARROW `2 vec{rm AQ it} =3 vec{rm AM it} `]이다. (참)

15. [출제의도] 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: RME]

[eqn: RMA]

[eqn: RMB]

[eqn: RMC]

[eqn: RMD]

그림과 같이 [eqn: TRIANGLE rm ACD`]□[eqn: ��` TRIANGLE rm AEB`]이다.

[eqn: bar{rm CD it} `= {sqrt {2}} over {2} ,```] [eqn: ANGLE rm A`C`D=60 DEG ,``]  [eqn: bar{rm AD it} = {sqrt {6}} over {2} ,``] [eqn: bar{rm DE it} = {sqrt {2}} over {4}]

[eqn: THEREFORE `` bar{rm AE it} = {2 sqrt {6} - sqrt {2}} over {4}]

주어진 정육각형과 첫 번째 만들어진 정육각형의 닮음비는 [eqn: 1```:``` {2 sqrt {3} -1} over {4}]이므로

[eqn: lim _{n`-> ` INF } {} l _{n} =```6 TIMES {2} over {1- {2 sqrt {3} -1} over {4}} ```=``` {48(5+2 sqrt {3} )} over {13}]

16. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프의 성질과 관계를 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: f(x)`]는 감소함수이고, [eqn: g(x)`]는 증가함수이다. 따라   서, 제[eqn: `1`]사분면의 한 점에서 만나므로 [eqn: k=1`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: y= LEFT ( sqrt {2} RIGHT ) ^{x} `]은 [eqn: y=x`]와 두 점 [eqn: LEFT ( 2,``2 RIGHT ) `,`` LEFT ( 4,``4 RIGHT ) `]에서 만난다. 따라서, [eqn: y=f(x)`]와 [eqn: y=g(x)`]서로 다른 두 점에서 만나므로 [eqn: k=2`]이다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: a=6,~b= {1} over {2} `]이라 하면, [eqn: k=1`]이다. (거짓)

17. [출제의도] 삼차함수의 성질을 이용하여 접선과의 교점의 [eqn: x`]좌표 사이의 관계를 알 수 있는가를 묻는 문제이다.

삼차함수 [eqn: f(x)`]는 원점대칭이므로 [eqn: f (x) =x ^{3} +ax`], 접선은 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =bx+c]라 놓을 수 있다.

ㄱ. [eqn: f(x)-g(x) =x ^{3} + LEFT ( a-b RIGHT ) x-c`]의 이차항의 계수가 [eqn: 0`]이므로 [eqn: f(x)-g(x)=0`]의  세 근 [eqn: p,``p,``q`]의 합은 [eqn: 0]이다. 즉, [eqn: 2p+q=0`]이므로 [eqn: q=-2p`]이다. (참)

ㄴ. [eqn: y=f(x)`]는 원점대칭이므로 [eqn: beta=-alpha`]이고, [eqn: p=alpha`]인 경우를 생각하면, ㄱ에 의해 [eqn: q=r=-2alpha`]이므로 [eqn: alpha +2r=3 beta `]이다. (참)

ㄷ. [eqn: f(0)=0`]이므로

[eqn: lim from {p`rarrow`-0} f(p) over p = lim from {p`rarrow`-0} {f(p)-f(0)} over p = f`'(0)]

이고, [eqn: f`'(x)=3x^2 +a= 3(x-alpha)(x-beta)`]에서

[eqn: f`'(0)=3alpha beta`]이므로   [eqn: lim from {p`rarrow`-0} f(p) over p = 3alpha beta`]이다. (참)

18. [출제의도] 함수의 극한의 정의를 이용하여 주어진 함수의 계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim from {h`rarrow`0} f(2h) over h =5`]에서 [eqn: f(0)=0`]이고 [eqn: 2f`'(0)= 5`]이므로

[eqn: b=0,~a= 5 over 2 `]이다.

19. [출제의도] 무리방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {x ^{2} -5x+3} =X]로 놓으면

[eqn: X ^{2} +X-6=0], [eqn: (X-2)(X+3)=0] [eqn: THEREFORE `X=`2,`-3]

그런데 [eqn: X]≧0 이므로 [eqn: X= sqrt {x ^{2} -5x+3} =2]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: x ^{2} -5x-1=0].  [eqn: alpha + beta =5], [eqn: alpha beta=`-1]이므로  [eqn: alpha ^{2`} + beta ^{2} =27]

20. [출제의도] 직선 운동하는 점의 위치를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: t`]초 후의 [eqn: rm P,~Q`]의 좌표는 각각 [eqn: (3t+2,``0),~(0,``t-1)`]이다. 그런데 [eqn: 0 <= t<1`]에서 [eqn: rm Q`]의 [eqn: y`]좌표가 음수이므로

[eqn: S(t)= cases{{(3t+2)(1-t)} over {2} ~~(0 <= t<1)#{(3t+2)(t-1)} over {2} ~~(1 <= t <= 2)}]

이다. 따라서,

[eqn: int _{0} ^{2} {} S(t)`dt & = int _{0} ^{1} {} {1} over {2} (3t+2)(1-t)dt &# & ```````````+ int _{1} ^{2} {} {1} over {2} (3t+2)(t-1)dt &# & = {5} over {2} &]

21. [출제의도] 내적의 정의와 이차곡선의 접선의 방정식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm P]에서 직선 [eqn: {rm AB it}]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm P prime]이라 하면, 두 벡터의 내적 [eqn: vec{rm AB it} BULLET vec{rm AP it} = bar{rm AB it} TIMES rm bar{AP prime }]이다. [eqn: bar{rm AP it prime } rm]가 최대가 되는 점 [eqn: rm P]는 직선 [eqn: {rm AB it}]와 수직인 기울기를 갖고, 타원에 접하는 접점 중에서 제[eqn: 2`]사분면 위의 점이다. 따라서, 접선의 기울기는 [eqn: 2]이고, 접선의 방정식은

[eqn: y=2x+ sqrt {17}]

22. [출제의도] 이항정리를 이용하여 무한등비급수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (a+b) ^{n} `=` sum _{r=0} ^{n} ` _{n} rm C it rm _{it r} ``a ^{r} `b ^{n-r} `]에서

[eqn: a _{n} `=` sum _{r=0} ^{n} ` _{n} rm C _{it r rm} ``3 ^{it r rm} ``2 ^{itn-r} ``=(it3+2) ^{n} `=`5 ^{n} `]이다.

[eqn: THEREFORE `` sum _{n=1} ^{INF } `` {3 ^{n} -2 ^{n}} over {a _{n}} ``=` sum _{n=1} ^{INF } {3 ^{n} -2 ^{n}} over {5 ^{n}} `][eqn: LEFT. LEFT. =` sum _{n=1} ^{INF } RIGHT ( {3} over {5} RIGHT ) ^{n} -` sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2} over {5} RIGHT ) ^{n} `][eqn: =` {{3} over {5}} over {1- {3} over {5}} - {{2} over {5}} over {1- {2} over {5}} `=` {3} over {2} - {2} over {3} `=` {5} over {6} `= {q} over {p}]

[eqn: THEREFORE ``p+q=11]

23. [출제의도] 수열의 점화식을 이용하여 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 [eqn: rm Q _{1}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( {sqrt {3}} over {4} ,``0 RIGHT )]이므로 [eqn: x _{1} = {sqrt {3}} over {4}]

점 [eqn: rm Q _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: (x _{n} ,```0)]이므로 점 [eqn: rm Q _{it n rm}]을 지나고 [eqn: bar{rm AB it}]에 평행한 직선의 방정식은

[eqn: `y=`- {1} over {sqrt {3}} x+ {1} over {sqrt {3}} x _{n}]

따라서 점[eqn: rm `R _{it n rm}]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0, {1} over {sqrt {3}} x _{n} RIGHT )]이므로 점 [eqn: rm `R _{it n rm}]을 지나고 [eqn: bar{rm AB it}]에 수직인 직선의 방정식은 [eqn: y= sqrt {3} x+ {1} over {sqrt {3}} x _{n}]이고, 이 직선과 [eqn: bar{rm AB it}]의 교점[eqn: rm `P _{it n+1 rm}]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: x _{n+1}]이므로

[eqn: x _{n+1} =- {1} over {4} x _{n} + {sqrt {3}} over {4}],  [eqn: x _{n} = {sqrt {3}} over {5} + {sqrt {3}} over {20} (- {1} over {4} ) ^{n-1}]이다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n -> INF } {} x _{n} =` {sqrt {3}} over {5} `]이므로 [eqn: ``100`a ^{2} `=`100 TIMES {3} over {25} =12]

24. [출제의도] 구분구적법의 정의를 알고, 이를 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k=1,``2,``cdots,``n`]에 대하여

[eqn: A_n (1)+A_n (2)+cdots+A_n (k)&= int from 0 to {k over n} f`'(x)dx&##&= [`f(x)]_0 ^{k over n} = f left( k over n right) - f(0)= f left( k over n right) -2&]

이므로,

[eqn: f left( k over n right)= 1 over 2 left( k over n right)^3 +2 left( k over n right)+2] 이다. 따라서 곡선 [eqn: y=xf(x)`]와 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축, [eqn: x=1`]로 둘러싸인 도형의 넓이 [eqn: S`]는

[eqn: S= int _{0} ^{1} {xf(x)} dx & = lim _{n` -> ` INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} f LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) &# # & = lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n}} sum _{k=1} ^{n} {k} over {n} LEFT { {1} over {2} LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{3} +2 LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) +2 RIGHT } &# # & = int _{0} ^{1} {} LEFT ( {1} over {2} x ^{4} +2x ^{2} +2x RIGHT ) dx &# # & = {53} over {30} &]

25. [출제의도] 공간도형과 이차곡선에 관한 수학 내적 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

꼭짓점이 [eqn: rmA]이고 구에 접하는 접선들로 이루어진 직원뿔을 [eqn: xy]평면으로 자른 단면은 타원이므로, 두 점 [eqn: rmP,~Q]는 타원 위의 점이다. 따라서, 타원의 장축은 직선 [eqn: x=y,~z=0] 위에 존재하고, 장축의 한 끝점은 원점이다. 그림과 같이 원점을 [eqn: rmO], 구의 중심을 [eqn: rmO prime], [eqn: rmO prime]에서 [eqn: z]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rmT`], 원점이 아닌 장축의 다른 끝점을 [eqn: rmR], [eqn: bar { rmAR}]과 구의 접점을 [eqn: rm U], 점 [eqn: rmT`]에서 [eqn: bar { rmAO prime }]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmH]라 하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rm T]

[eqn: rm U]

[eqn: rmR]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: z]

[eqn: bar{rm OT it} =1,~ bar{rm AT it} = bar{rm AU it} =2,~ bar{rm AO prime it} = sqrt {6}]이므로 직각삼각형

[eqn: rmO prime]

[eqn: rmA]

[eqn: rm T]

[eqn: rmO]

[eqn: rmR]

[eqn: rmH]

[eqn: rm U]

[eqn: rm ATO prime]에서 [eqn: bar{rm TH it} = {2} over {sqrt {3}}]이고 [eqn: rm TRIANGLE ATU]에서 제이코사인법칙에 의하여 [eqn: cos LEFT ( ANGLE rm T AU RIGHT ) = {1} over {3}]이다. 직각삼각형 [eqn: rm AOR]에서 최댓값 [eqn: M= bar{rm OR it} =6 sqrt {2}]이므로 [eqn: M ^{2} =72]이다.

[미분과 적분]

26. [출제의도] 삼각함수의 합성을 이용하여 주어진 식의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root3 `sintheta+ cos theta = 2 left( root3 over 2 `sin theta + 1 over 2 `cos theta right)= 2 sin left( theta + pi over 6 right)=1`]

이므로 [eqn: sin left( theta + pi over 6 right)= 1 over 2 `]이다.

따라서, [eqn: theta + pi over 6 = n pi+ (-1)^n pi over 6 ~~Rarrow~~theta = n pi+(-1)^n pi over 6 - pi over 6]

이다. 그런데, [eqn: pi over 2 <theta < pi `]이므로 [eqn: n=1`]이고 [eqn: theta = 2pi over 3 `]이다.

[eqn: THEREFORE ```2cos theta `cos2 theta =2cos {2 pi } over {3} `cos {4 pi } over {3} =2 TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) TIMES LEFT ( - {1} over {2} RIGHT ) = {1} over {2} `]

27. [출제의도] 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S(a) & =1+1+ int _{2} ^{a} {} 2`e ^{2-x} dx &# # & =2+ LEFT [ -2`e ^{2-x} RIGHT ] _{2} ^{a} &# # & =4-2`e ^{2-a} &]

따라서, [eqn: lim _{a` -> ` INF } {} S(a)= lim _{a` -> ` INF } {} (4-2`e ^{2-a} )=4`]

28. [출제의도] 접선의 방정식과 함수의 극한을 이용하는 여러 가지 성질을 알 수 있는가를 묻는 문제이다.

접점을 [eqn: rm Q(it t,``1+lnt)`]라 하면, 접선 [eqn: l`]의 방정식은 다음과 같다.

[eqn: l````:``y= 1 over t (x-t)+1+lnt= 1 over t x +lnt]

따라서 두 점 [eqn: rm P,~R`]의 좌표는 [eqn: rm P( it 0,``lnt),~ rm R( it 0,``1+lnt)`]이다.

ㄱ. [eqn: rm bar{PR} =(1+lnt)-lnt=1] (참)

ㄴ. [eqn: a= -t lnt`]에서 [eqn: a `rarrow`-0`]이면, [eqn: t`rarrow`1+0`]이므로

[eqn: lim from {a`rarrow`-0} S(a)= lim from {t`rarrow`1+0} t over 2 = 1 over 2`]이다. (참)

ㄷ. [eqn: a= -t lnt`]에서 [eqn: a `rarrow`-inf `]이면, [eqn: t`rarrow`+inf `]이므로

[eqn: lim from {a`rarrow`-inf} S(a) over a = lim from {t`rarrow`+inf} t over 2 over {-t lnt} = lim from {t`rarrow`+inf} -1 over {2 lnt} =0`]이다. (거짓)

29. [출제의도] 도형의 성질을 이용한 삼각함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

정 [eqn: 2n`]다각형의 한 변의 길이는 [eqn: 1-cos {pi } over {n} `]이고, 정 [eqn: 2n`]다각형의 중심에서 한 변까지의 길이를 [eqn: l`]이라 하면, [eqn: tan pi over {2n} = {1 over 2 left( 1- cos pi over {n} right)} over l`]이므로, [eqn: l= {1- cos pi over {n}} over {2 tan pi over {2n}} `]이다.

따라서,

[eqn: S _{n} =2n TIMES LEFT { {1} over {2} TIMES l TIMES LEFT ( 1-cos {pi } over {n} RIGHT ) RIGHT } = {n LEFT ( 1-cos {pi } over {n} RIGHT ) ^{2}} over {2tan {pi } over {2n}} = {2n TIMES sin ^{4} {pi } over {2n}} over {tan {pi } over {2n}}]

이다. 그러므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} n ^{2} S _{n} & = lim _{n` -> ` INF } {} {2n ^{3} TIMES sin ^{4} {pi } over {2n}} over {tan {pi } over {2n}} = {1} over {4} lim _{x` -> `0} {} {sin ^{4} pi x} over {x ^{3} TIMES tan pi x} `````````` LEFT ( {1} over {2n} =x`치환 RIGHT ) &# # & = {1} over {4} TIMES lim _{x` -> `0} {} LEFT ( {sin pi x} over {x} RIGHT ) ^{3} TIMES lim _{x` -> `0} {} {sin pi x} over {tan pi x} &# # & = {1} over {4} TIMES pi ^{3} TIMES 1= {1} over {4} pi ^{3} &]

30. [출제의도] 평면 운동하는 점의 속력을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: dx over dt = 2 cost +2 sint , ~dy over dt = 3 cos2t`]이므로 점 [eqn: rm P`]의 속력 [eqn: |`v`|`]는

[eqn: |`v`|&=root{left( dx over dt right)^2 + left( dy over dt right)^2}& ##&= root{(2 cost + 2 sint )^2 + 9 cos^2 2t}& ##&= root{4+4 sin2t +9 (1- sin^2 2t )}& ##&= root{-9 sin^2 2t + 4 sin2t +13}&]

[eqn: sin2t = A`]라 하면 [eqn: -1<= A <= 1`]이고

[eqn: |`v`|= root{-9A^2 +4A+13} `]이므로 [eqn: |`v`|`]는 [eqn: A= 2 over 9 `]일 때, 최댓값 [eqn: root{121 over 9} = 11 over 3 `]이다.

[확률과 통계]

26. [출제의도] 비율의 가중평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

생산하는 제품의 개수는 모두 [eqn: 100]개이므로 제품

[eqn: rm A, ~``B,~C] 별 가중치는 각각 [eqn: 48 over100], [eqn: 28 over100], [eqn: 24 over100]이다. 따라

서, 성분 [eqn: rmK]의 비율에 대한 가중평균은

[eqn: 30 TIMES {48} over {100} +25 TIMES {28} over {100} +12.5 TIMES {24} over {100} =14.4+7+3=24.4%]

27. [출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

1회 시행에서 빨강, 노랑, 파랑 구슬이 나올 확률은 각각 [eqn: 3 over6 , ``~ 2 over6 ,~ 1 over 6]이다. 빨강, 노랑, 파랑 구슬이 나오는 횟수를 각각 [eqn: x, ~y, ~z]라 하면 [eqn: x+y+z=3,~x+2y+3z=5]에서 [eqn: x=1,~y=2,~z=0] 또는 [eqn: x=2,~y=0,~z=1]이므로

[eqn: rm i)] [eqn: x=1,~y=2,~z=0]일 때,  [eqn: {} _{3} rm C _{1} {1} over {2} LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2} = {1} over {6} `]

[eqn: rm ii)] [eqn: x=2,~y=0,~z=1]일 때,  [eqn: {} _{3} rm C _{2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} {1} over {6} = {1} over {8} `]

따라서, [eqn: rm i)]과 [eqn: rm ii)]에 의하여 구하는 확률은 [eqn: {1} over {6} + {1} over {8} = {7} over {24`}]

28. [출제의도] 기댓값의 정의를 이용하여 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm i)] [eqn: X=0]일 확률은 세 시민 모두가 반대하는 경우이므    로 [eqn: {1} over {3} TIMES {2} over {5} times 1 over2 = {2} over {30}]

[eqn: rm ii)] [eqn: X=1]일 확률은 세 시민 중 한 명만 찬성하는 경우    이므로 [eqn: {2} over {3} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {2} + {1} over {3} TIMES {3} over {5} TIMES {1} over {2} + {1} over {3} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {2} = {9} over {30}]

[eqn: rmiii)] [eqn: X=2]일 확률은 세 시민 중 한 명만 반대하는 경우    이므로 [eqn: {1} over {3} TIMES {3} over {5} TIMES {1} over {2} + {2} over {3} TIMES {2} over {5} TIMES {1} over {2} + {2} over {3} TIMES {3} over {5} TIMES {1} over {2} = {13} over {30}]

[eqn: rm`iv)] [eqn: X=3]일 확률은 세 시민 3명 모두 찬성하는 경우

이므로 [eqn: 2 over3 times 3 over 5 times 1 over2 = 6 over30 = 1 over5]

따라서, 구하는 기댓값은

[eqn: 0 TIMES {2} over {30} +1 TIMES {9} over {30} +2 TIMES {13} over {30} +3 TIMES {6} over {30} = {53} over {30}]

29. [출제의도] 정규분포를 표준화하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm `P` it (X >= x)= rm P it LEFT ( {X-m} over {sigma } >= {x-m} over {sigma } RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z >= {x-m} over {sigma } RIGHT ) `], [eqn: rm `P` it (Y >= y)= rm P it LEFT ( {Y-am} over {sqrt {b} ` sigma } >= {y-am} over {sqrt {b} sigma } RIGHT ) = rm P LEFT ( it Z >= {y-am} over {sqrt {b} sigma } RIGHT ) ``]이므로

(가)에서 [eqn: - m over sigma = - am over {sqrtb sigma}]  [eqn: therefore] [eqn: a= sqrt b][eqn: cdotscdots]①

(나)에서

[eqn: rm 1=`P` it (X <= 1)+ rm P it (Y >= 2)]                               [eqn: = rm P it LEFT ( {X-m} over {sigma } <= {1-m} over {sigma } RIGHT ) + rm P it LEFT ( {Y-am} over {sqrt {b} ` sigma } >= {2-am} over {sqrt {b} sigma } RIGHT )]

[eqn: =rm P it left(Z<= 1-m oversigma right) + rm P it left( Z>= 2-am over{sqrt b sigma} right)]

이므로 [eqn: 1-m over sigma = 2-am over{sqrtb sigma][eqn: cdotscdots]②

①, ②를 연립하여 풀면, [eqn: a=2,~ b=4]이다.

30. [출제의도] 표본비율로부터 모비율을 추정할 수 있는가를 묻는 문제이다.

표본비율은 [eqn: hat{p} = {100} over {1000} =0.1]이고, 표본비율 [eqn: hatp]는 근사적으로 정규분포 [eqn: rm N it LEFT ( p,~ {0.1 TIMES 0.9} over {1000} RIGHT )]을 따른다. 따라서, 표본의 크기가 [eqn: n]일 때, 모비율 [eqn: p]에 대한 신뢰도 [eqn: 95]%의 신뢰구간은

[eqn: LEFT [ hat{p} -1.96 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} ,`` hat{p} +1.96 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} `` RIGHT ]]에서

[eqn: b-a=2 TIMES 1.96 sqrt {{hat{p} hat{q}} over {n}} `]이다. 따라서

[eqn: 2 TIMES 1.96 sqrt {{{0.1` TIMES `0.9} } over {n}} ≦0.002]에서

[eqn: sqrt {n} >= 588`]이므로 [eqn: sqrt {p} =588]이다.

[이산수학]

26. [출제의도] 수를 분할하는 방법을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 7`]을 [eqn: 3`]개의 자연수의 합으로 나타내는 방법을 구하면 된다. 즉, [eqn: 5+1+1,```4+2+1,``3+3+1,```3+2+2``]

와 같이 [eqn: 4`]가지 방법이 있다.

27. [출제의도] 최소색칠문제를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

강사 [eqn: rm A,B,C,D,E``]를 꼭짓점으로 하고 한 강사가 다른 강사의 강의를 듣고 싶은 경우, 두 강사 사이를 변으로 연결한 그래프는 아래와 같다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

이때, 이 그래프의 색채수가 강의를 위해 필요한 최소한의 시간수이다. 이 그래프를 적절하게 색칠하는데 필요한 최소의 색의 개수는 [eqn: 3`]이므로 [eqn: 3`]시간만 있으면 강사들이 듣고 싶은 강의를 모두 들을 수 있도록 시간배정이 가능하다. 따라서 오후 [eqn: 2`]시부터 강의가 시작되므로 오후 [eqn: 5`]시면 모든 강의를 끝마칠 수 있다.

28. [출제의도] 재산을 공평하게 분배하는 방법을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

집과 임야를 가장 높은 가격으로 책정한 [eqn: rm A`]와 [eqn: rm C`]에게 각각 배정한다. 배정된 재산과 각 사람이 예상하는 몫과의 차이를 계산하여 그 차만큼 현금으로 지불하게 한다. 즉, [eqn: rm A`]는 [eqn: 2600`]만원인 집을 받았는데 예상하는 몫이 [eqn: 1020`]만원이므로 그 차는 [eqn: 1580`]이다. 이 금액을 현금으로 지불한다. 다시 [eqn: rm A`]가 지불한 [eqn: 1580`]만원으로 자기 몫보다 적게 배정받은 사람의 몫을 채워준다. 즉, [eqn: rm B`]에게 [eqn: 950`]만원, [eqn: rm C`]에게 [eqn: rm 300`]만원을 배정한다.

몫을 채워주고 남은 돈이 있으면 [eqn: 3`]등분하여 각자에게 추가 배정한다. 즉, [eqn: rm 330`]만원이 남았으므로 [eqn: rm A,``B,``C`]모두에게 각각 [eqn: rm 110`]만원씩 추가로 배정한다. 최종적으로 세사람에게 배정된 재산과 그 금액은 다음과 같다.

구분	A	B	C
예상하는 몫	[eqn: 1020]	[eqn: 950]	[eqn: 1100]
배정받은 재산	집	없음	토지
지불할 금액	[eqn: 1470]	[eqn: -1060]	[eqn: -410]
상속받는 금액	[eqn: 1130]	[eqn: 1060]	[eqn: 1210]

그러므로 [eqn: rm A`]가 상속받는 금액은 [eqn: 1130`]만원이다.

29. [출제의도] 인접행렬을 그래프로 나타낼 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 행렬 [eqn: rm A ^{2}]의 [eqn: (i,``i)]성분은 한 꼭짓점에 연결된 변의       개수를 나타내므로 [eqn: 5`]의 꼭짓점을 차래대로 [eqn: rm A,``B,]       [eqn: rm C,``D,``E`]라고 할 때, 각 꼭짓점에 연결된 변의 개        수는 [eqn: 4,2,4,3,3]이므로 이것을 그래프로 나타내면        아래 그림과 같다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

그러므로 변의 개수는 [eqn: 8]이다. (참)

ㄴ. 아래 그림은 주어진 그래프의 생성수형도 중 하       나이다. 따라서 생성수형도를 만들기 위해서는 [eqn: 4`]       개의 변을 제거해야 한다. (참)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

ㄷ. 오일러 회로는 모든 꼭짓점의 차수가 짝수가 되  어야 하므로, 꼭짓점 [eqn: rm D]와 [eqn: rm E]를 연결하는 하나의  변을 추가하면 오일러 회로를 만들 수 있다. (거짓)

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 수열의 일반항들 사이의 관계식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n}]을 문제의 조건을 만족시키는 [eqn: n]자리의 문자열의 개수라고 할 때

(ⅰ) 처음의 문자가 [eqn: rm B`]인 경우:

처음의 문자를 제외한 나머지 문자열들은 [eqn: rm A`]가 연속으로 [eqn: 3`]번 이상 나오지 않는 [eqn: (n-1)`]자리수이며 이런 문자열의 개수는 [eqn: a_n-1]이다.

(ⅱ) 처음의 문자가 [eqn: rm A`]인 경우:

이 경우 [eqn: rm A`]다음으로 [eqn: rm A`]또는 [eqn: rm B`]가 나올 수 있으므로

① 처음 두 자리가 [eqn: rm AB]인 경우:

처음의 두 자리의 문자열을 제외한 나머지 문자열들은 [eqn: rm A`]가 연속으로 [eqn: 3]번 이상 나오지 않는 [eqn: (n-2)`]자리수이며 이런 문자열의 개수는 [eqn: a _{n-2}]이다.

② 처음 두 자리가 [eqn: rm AAB]인 경우:

처음의 세 자리의 문자열을 제외한 나머지 문자열들은 [eqn: rm A`]가 연속으로 [eqn: 3]번 이상 나오지 않는 [eqn: (n-3)`]자리수이며 이런 문자열의 개수는 [eqn: a _{n-3}]이다.

이제 위의 세 경우 모두 동시에 일어나지 않으므로 합의 법칙에 의해

[eqn: a _{n} =a _{n-1} +a _{n-2} +a _{n-3} ```````(n >= 4)]

(단, [eqn: a_1 =2,~ a_2 = 4,~ a_3 =7] )

이므로,  [eqn: a _{6} =44]이다.

‘나’형 정답

1	⑤	2	④	3	①	4	③	5	②
6	④	7	①	8	②	9	③	10	②
11	⑤	12	④	13	①	14	③	15	①
16	③	17	④	18	27	19	10	20	81
21	25	22	11	23	12	24	48	25	6
26	②	27	②	28	⑤	29	④	30	9

해 설

1. 가형 1번과 동일

2. 가형 2번과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {` {2n+1} over {sqrt {n ^{2} +1} +n}} = lim _{n -> INF } {{2+ {1} over {n}} over {sqrt {1+ {1} over {n ^{2}}} +1}} `=`1`]

4. [출제의도] 지수의 성질을 이해하고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 4 ^{x} =`2 ^{y}]에서 [eqn: 2 ^{2x} =`2 ^{y} `,``y=2x`] 이므로 [eqn: `` {y} over {x} + {2x} over {y} `=3] 이다.

5. [출제의도] 확률의 정의를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 개의 주사위를 던져서 나온 눈의 수를 순서쌍으로 나타내면, 합이 4이하가 되는 경우는

[eqn: (1,~1),~(1,~2),~(1,~3),~(2,~1),~(2,~2),~(3,~1)]의 [eqn: 6]가지이

다. 따라서 구하는 확률은 [eqn: {1} over {6}]이다.

6. 가형 6번과 동일

7. 가형 7번과 동일

8. [출제의도] 평균과 분산의 기본성질을 이용하여 이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm E it (aX+b)=a rm E it(X)+b=10a+b =9], [eqn: rm V it (aX+b)=a^2 rm V(it X)=16a^2 =4]에서 [eqn: a= 1 over2 ,~b=4]  [eqn: therefore ~ `ab=2]

9. 가형 9번과 동일

10. 가형 10번과 동일

11. [출제의도] 연립방정식이 무수히 많은 해를 가질  조건을  알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {pmatrix{a``&```1#6`&```a}} {pmatrix{``x`#y}} = {pmatrix{`3````````````0`#`0`````-2`}} {pmatrix{``x`#y}} `]를 정리하면

[eqn: ` {pmatrix{a-3&````1#6````&``````a+2}} {pmatrix{``x`#y}} = {pmatrix{`0`#0}} ``]이고

[eqn: x=0,``y=0`]이외의 해를 가지려면 역행렬이 존재하지 않아야 하므로 [eqn: (a-3)(a+2)-6=0``]이다.

[eqn: a ^{2} -a-12=0`] 따라서, [eqn: a`]의 값의 곱은 [eqn: -12`]

12. 가형 12번과 동일

13. 가형 13번과 동일

14. [출제의도] 독립시행의 확률을 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

빨간색 공 [eqn: 1`]개, 노란색 공 [eqn: 2`]개, 파란색 공 [eqn: 3`]개를 뽑는 경우의 수는 [eqn: rm `_6 C_1 · `_5 C_2 ·`_3 C_3]이므로 구하는 확률은

[eqn: rm ` _{6} C _{1} TIMES ` _{5} C _{2} TIMES ` _{3} C _{3} TIMES {1} over {6} LEFT ( {2} over {6} RIGHT ) ^{2} LEFT ( {3} over {6} RIGHT ) ^{3} = {5} over {36}]

15. 가형 15번과 동일

16. 가형 16번과 동일

17. [출제의도] 수열의 규칙성을 파악할 수 있는가를 묻는 문제이다.

호의 길이를 수열로 나타내면

수열 [eqn: LEFT { `l _{n} RIGHT }] : [eqn: {pi } over {2} ,`` pi ,`` {3 pi } over {2} ,``2 pi ,` CDOTS]

수열 [eqn: LEFT { `l _{n} RIGHT }]은 공차가 [eqn: {pi } over {2}], 첫째항이 [eqn: {pi } over {2}]인 등차수열을 이룬다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} `l _{k} `=` {n LEFT { pi +(n-1) {pi } over {2} RIGHT }} over {2} ``=``189 pi]

[eqn: THEREFORE `````n`=`27]이므로  [eqn: A _{it 27 rm}]의 좌표는 [eqn: (14, 0 )]이다.

[eqn: THEREFORE ````a+50=64]

18. [출제의도] 등차수열의 첫째항과 공차를 구하고 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d```]라 하면

[eqn: a _{3} =`a+2d``=`2``````````` CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: a _{6} `=`a+5d`=`17```````` CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠`,``㉡]을 연립하여 풀면 [eqn: a=`-8,```d=`5]

[eqn: THEREFORE ````a _{8} =`27]

19. [출제의도] 이항정리를 이용하여 식을 전개할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: left( x^2 + 1 overx right)^5]의 전개식에서 일반항은

[eqn: ` _{5} rm C _{it r rm} it LEFT ( x ^{2} ` RIGHT ) ^{5-r} LEFT ( {1} over {x} RIGHT ) ^{r} =` _{5} rm C _{it r rm}it x ^{10-3r}]에서 [eqn: 10-3r=4]  [eqn: therefore~r=2]

따라서, [eqn: x^4]의 계수는 [eqn: `_5 rm C_2 =10]

20. [출제의도] 로그방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (log _{3} `x) ^{2} -12`=``log _{3} `x ^{4}]는 [eqn: (log _{3} `x) ^{2} -4``log _{3} `x ^{} -12=0]

[eqn: (log _{3} x-6)(log _{3} x+2)=0`], [eqn: log _{3} x=6,`-2] 이므로

[eqn: x=3 ^{6} ,``3 ^{-2}]이다. ∴ [eqn: alpha beta =81]

21. [출제의도] 연속확률변수의 정의를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 1 over 2 = rm P it left( a <= X<=b right)=(b-a)k] [eqn: therefore~ (b-a)k= 1 over 2][eqn: cdots cdots]①

[eqn: 1= rm P it (0 <=X<=2) = 1 over 2 ak + (b-a)k + 1 over2 (2-b)k]에서

[eqn: (b-a+2)k=2][eqn: cdots cdots]②

①, ②을 연립하여 풀면 [eqn: k= 3 over 4]

22. 가형 22번과 동일

23. 가형 23번과 동일

24. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

(가)에서 [eqn: 1 <= logM<2]임을 알 수 있고

(가)에 의해 [eqn: log`M=1+ alpha ``]([eqn: 0 <= alpha <1])라 하면

[eqn: logM ^{2} =2+2 alpha ``=2log`M``]에서 [eqn: 2 <= log`M ^{2} ``<3`]이므로

[eqn: 0 <= 2 alpha <1``] 즉, [eqn: 0 <= alpha `<` {1} over {2}]이다.

이때, (다)는 [eqn: log`M]와 [eqn: log`M ^{2}]의 가수의 합이 [eqn: 1]임을 나타내므로 [eqn: log`M`+logM ^{2} `=`3+3 alpha ``]는 정수이다.

[eqn: 0 <= 3 alpha <3]이므로 [eqn: 3 alpha =0,```1,``2]이고 [eqn: alpha =` {1} over {3}](∵가수의 합이 [eqn: 1]이고 [eqn: 0 <= alpha `<` {1} over {2}])

[eqn: ``log`M`=`1+ {1} over {3} `= {4} over {3}]    ∴ [eqn: 36``log`M`=36 TIMES ` {4} over {3} =48]

25. [출제의도] 수열의 규칙성을 파악하고 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ```:`4,13,``26,``43`` CDOTS]

[eqn: LEFT { b _{n} RIGHT } ```:`4,``10,``18,``28,``` CDOTS] 이므로

[eqn: a _{n} `=`2n ^{2} +3n-1],  [eqn: b _{n} `=`n ^{2} +3n]이다.

[eqn: THEREFORE ``` lim _{n-> INF } {`` {a _{2n} `+b _{2n}} over {a _{n}} ``=` lim _{n-> INF } {`` {12n ^{2} +12n-1} over {2n ^{2} +3n-1} ``=`6}}]

26. [출제의도] [eqn: a _{n} `]과 [eqn: S _{`n}]사이의 관계를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{7} `=S` _{7} -S` _{6} =320`]

27. [출제의도]정규분포에서 표본의 분포를 구하여 표본의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

비누의 무게 [eqn: X`]가 정규분포 [eqn: rm N left(250,~20^2 right)]을 따르므로 크기 [eqn: n]인 표본평균의 분포는 정규분포 [eqn: rm N it left(250, ~ `20^2 over n right)]을 따른다. 따라서

[eqn: LEFT . LEFT . rm P RIGHT ( it 242 <= bar{X`} <= 258 RIGHT ) = rm P it LEFT ( {242-250} over {20} sqrt {n} <= Z <= {258-250} over {20} sqrt {n} RIGHT ) `# `````````````````````````````````````````````````````````````````` <= 0.9544]

에서 [eqn: {8} over {20} sqrt {n} <= 2] [eqn: therefore ~ ``n<=25]이므로 최댓값은 [eqn: 25`]이다.

28. [출제의도] 행렬의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: ABA=E`]이면 [eqn: AB]와 [eqn: A]는 역행렬 관계이다.

[eqn: (AB)A=A(AB)=A ^{2} B``]이므로

[eqn: A ^{-1} (ABA)=A ^{-1} (A ^{2} B)````````````````` THEREFORE BA=AB] (참)

ㄴ. [eqn: A ^{-1} +B ^{-1} =E``]이면 [eqn: A+B=AB]이므로

[eqn: AB-A-B`=`O`,```(A-E)(B-E)=E```]이다.

[eqn: A-E``]와 [eqn: B-E``]는 서로 역행렬 관계이므로

[eqn: (A-E)(B-E)=(B-E)(A-E)] (참)

ㄷ. [eqn: AB`=`BA`]이면 [eqn: B ^{`-1} A` ^{-1}=A ^{-1} B` ^{`-1}]이므로

[eqn: A ^{-1} (B+B ^{-1} )A=A ^{-1} BA+A ^{-1} B ^{-1} A]                                [eqn: =A ^{-1} AB+B ^{-1} A ^{-1} A`][eqn: =B+B ^{-1}] (참)

29. [출제의도] 수열의 점화식을 보고 규칙성을 찾아 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ``:``1,```1,```-1,```-1,```-1,```1,```1,```1,```-1,```-1,```-1,```1,```1`,1, CDOTS ```]

제[eqn: 1`]항부터 [eqn: 6`]개의 항이 규칙적으로 반복되므로

[eqn: 2011=6 TIMES 335+1]에서

[eqn: sum _{k=1} ^{2011} a _{k} `=` sum _{k=1} ^{2010} a _{k} +`a _{2011} =1]이다. [eqn: LEFT ( BECAUSE ````a _{2011} `=`1 RIGHT )]

30. [출제 의도] 조건에 맞는 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 자연수의 백의 자리 숫자의 합을 [eqn: a], 십의 자리 숫자의 합을 [eqn: b], 일의 자리 숫자의 합을 [eqn: c]라 하자.

[eqn: a=3=1+2]일 때, [eqn: b]에는 [eqn: 1,``2]를 제외한 [eqn: 3,``4,``5,``6]에서 두 수를 골라 더한 값이 올 수 있다. 즉, [eqn: 7,``8,``9,``10,``11]이 가능하므로 [eqn: 5]가지이다. 같은 방법으로 [eqn: a=4=1+3`]일 때, [eqn: b`]는 [eqn: 6,``7,``8,``9,``10,``11`]중 [eqn: 10`]과 [eqn: 11`~]은 제외되므로 [eqn: 4`]가지이다. 따라서, [eqn: 500]미만의 자연수의 개수는 [eqn: 5+4=9`]이다.