• 2교시 수학 영역 •

2013학년도 4월 고3 전국연합학력평가

정답 및 해설

[A 형]

1	①	2	③	3	②	4	①	5	⑤
6	⑤	7	①	8	⑤	9	③	10	④
11	④	12	③	13	③	14	②	15	①
16	⑤	17	④	18	④	19	④	20	③
21	②	22	99	23	4	24	23	25	14
26	15	27	13	28	3	29	150	30	252

1. [출제의도] 지수법칙을 알고 계산하기

[eqn: 2 TIMES 4 ^{- {3} over {2}} =2 TIMES 2 ^{-3}=2^-2 = 1over4]

2. [출제의도] 행렬의 실수배의 뜻을 알고 계산하기

[eqn: {1} over {2} A= {1} over {2} {pmatrix{`2`&`0`#`1`&`3`}} = {pmatrix{`1 _{{} _{}} `&`0 _{{} _{}} `#` {1} over {2} `&` {3} over {2} `}}]

따라서 행렬 [eqn: 1over2 A]의 모든 성분의 합은 [eqn: 3]

3. [출제의도] 무한등비수열의 극한 이해하기

[eqn: lim _{n -> INF } {{2·3 ^{n} -2} over {3 ^{n+1} +1}} = lim _{n -> INF } {{{2} over {3} - {2} over {3 ^{n+1}}} over {1+ {1} over {3 ^{n+1}}}} = {2} over {3}]

4. [출제의도] 함수의 연속의 뜻 이해하기

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수 [eqn: x]에서 연속이려면 [eqn: x=2]에서
연속이어야 한다.

[eqn: f(2)= lim _{x` -> `2} {{(x-2)(x+1)} over {x-2}} = lim _{x` -> `2} {(x+1)} =3]

따라서 [eqn: a=3]

5. [출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공차를 [eqn: d]라 하면 이 수열의 일반항
[eqn: a _{n} =3+(n-1)d]

[eqn: a _{5} =a _{3} +4]에서 [eqn: 3+4d = (3+2d)+4]이므로 [eqn: d=2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a _{n} =2n+1]

[eqn: a _{n}=2n+1 >100]이므로 [eqn: n> 99over2 = 49.5]

따라서 자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 50]

6. [출제의도] 무한등비수열의 수렴 이해하기

수열 [eqn: LEFT { LEFT ( {2x-1} over {5} RIGHT ) ^{n} RIGHT } `]이 수렴하므로 [eqn: -1< {2x-1} over {5} LEQ1]

[eqn: -5<2x-1 LEQ5], [eqn: -2<x LEQ3]

따라서 정수 [eqn: x]는 [eqn: -1], [eqn: 0], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3]이므로 [eqn: x]의 값의 합은 [eqn: 5]

7. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x ^{2} +1} > LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{2(x+2)}]에서 [eqn: x^2 +1< 2(x+2)]

[eqn: x^2 -2x -3<0], [eqn: (x+1)(x-3) <0]

[eqn: therefore] [eqn: -1<x<3]

따라서 [eqn: alpha=`-1], [eqn: beta=3]이므로 [eqn: beta- alpha=4]

8. [출제의도] 로그의 뜻을 알고 이해하기

[eqn: a=log _{`3} sqrt {7+ 2sqrt {12}}=log_{3}left(2+root3 right)]이므로

[eqn: 3^a =2+root3], [eqn: 3^-a =2-root3]

[eqn: {3^a - 3^-a} over {3^a + 3^-a}= {2root3}over4 = root3over2]

9. [출제의도] 로그부등식 이해하기

[eqn: x>4], [eqn: x>1]이므로 [eqn: x>4] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: log _{2} (x-4) ^{2} LEQ log _{2} `4(x-1)]

[eqn: (x-4) ^{2} LEQ 4 LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: x^2 -12x+20 LEQ0], [eqn: (x-2)(x-10) LEQ0]

[eqn: 2LEQx LEQ10] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: 4<x LEQ10]

따라서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10]이므로 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 6]

10. [출제의도] 수열의 극한의 성질 이해하기

(가)에서 [eqn: {6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)} <a _{n} <2b _{n}]

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{6 LEFT ( 2n ^{3} +3 RIGHT )} over {n(n+1)(2n+1)}} =6]이고,
(나)에서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {b _{n}}=3], [eqn: lim _{n` -> ` INF } {2b _{n}} =6]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {`a _{n}} =6]

11. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: x-1=t]라 하면

[eqn: lim _{x -> 1+0} {f(x-1)}=lim _{t -> +0} {f(t)} =0]

따라서 [eqn: lim _{x -> -1} {f(x)} `+ lim _{x -> 1+0} {f(x-1)} =1+0=1]

12. [출제의도] 등비중항 이해하기

[eqn: rm A LEFT ( it `k,``3 sqrt {k} ` RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it `k,`` sqrt {k} ` RIGHT )], [eqn: rmC LEFT (` itk,``0` RIGHT )]에서

[eqn: rm bar{BC}= it rootk], [eqn: rm barOC = itk], [eqn: rm barAC = it3rootk]

[eqn: rootk], [eqn: k], [eqn: 3rootk]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
[eqn: k ^{2} = sqrt {k} ·3 sqrt {k}], [eqn: k^2 =3k], [eqn: k(k-3)=0]

따라서 [eqn: k=3]([eqn: BECAUSE] [eqn: k>0])

13. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{k` -> `+0} {{rm bar{OA} - bar{AC} it} over {rm ` bar{OB} - bar{BC} it}} = lim _{k` -> `+0} {{sqrt {k ^{2} +9k} `-3 sqrt {k}} over {sqrt {k ^{2} +k} `- sqrt {k}}}]

[eqn: = lim _{k` -> `+0} {{sqrt {k+9} `-3} over {sqrt {k+1} `-1}} = lim _{k` -> `+0} {{k`( sqrt {k+1} `+1)} over {k( sqrt {k+9} `+3)}}]

[eqn: = lim _{k` -> `+0} {{sqrt {k+1} `+1} over {sqrt {k+9} `+3}} = {1} over {3}]

14. [출제의도] 등비수열의 합을 이용하여 문제해결하기

등비수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공비를 [eqn: r]라 하면

[eqn: a _{1} `a _{2} =a _{10}]에서 [eqn: a·ar=ar ^{`9}]

[eqn: a>0], [eqn: r>0]이므로 [eqn: a=r^{`8}] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: a _{1} +a _{9} =20]에서 [eqn: a+ar^{`8} = 20] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a+a^2 =20], [eqn: a^2 +a-20=0]

[eqn: (a+5)(a-4)=0]이므로 [eqn: a=4]([eqn: BECAUSE] [eqn: a>0])

㉠에 [eqn: a=4]를 대입하면 [eqn: r^{`8} =4], [eqn: r^{`4} =2]이고

[eqn: r ^{`20} = LEFT ( r ^{`8} RIGHT ) ^{`2} r ^{`4} =4 ^{`2} TIMES 2=32]

[eqn: LEFT ( a _{1} +a _{3} +a _{5} +a _{7} +a _{9} RIGHT ) LEFT ( a _{1} -a _{3} +a _{5} -a _{7} +a _{9} RIGHT )]

[eqn: = {a LEFT { 1- LEFT ( r ^{`2} RIGHT ) ^{5} RIGHT }} over {1-r ^{`2}} · {a LEFT { 1- LEFT ( -r ^{`2} RIGHT ) ^{5} RIGHT }} over {1- LEFT ( -r ^{`2} RIGHT )}]

[eqn: = {a LEFT ( 1-r ^{`10} RIGHT )} over {1-r ^{`2}} · {a LEFT ( 1+r ^{`10} RIGHT )} over {1+r ^{`2}} = {a ^{2} LEFT ( 1-r ^{`20} RIGHT )} over {1-r ^{`4}}]

[eqn: = {4 ^{2} (1-32)} over {1-2} =16times31=496]

15. [출제의도] 로그방정식을 이용하여 문제해결하기

어느 맥동변광성의 반지름의 길이가 [eqn: 5.88 TIMES 10 ^{6}][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: 5000][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급이 [eqn: 0.7]이었고, 이 맥동변광성이 수축하여 반지름의 길이가 [eqn: R][eqn: (rmkm)], 표면온도가 [eqn: 7000][eqn: (rmK)]일 때의 절대등급이 [eqn: -0.3]이었으므로
[eqn: -0.3-0.7=5`log {5.88times10 ^{6}} over {R} +10`log {5000} over {7000}]

[eqn: -1=5`log {5.88times10 ^{6}} over {R} +10`log {5} over {7}]
[eqn: -0.2=log {5.88 TIMES 10 ^{6}} over {R} +2log {5} over {7}]
[eqn: =log {{588} over {100} TIMES 10 ^{6} TIMES 25} over {49R}]
[eqn: =log {3 TIMES 10 ^{6}} over {R}]
[eqn: 10 ^{-0.2} = {3times10 ^{6}} over {R}]
따라서 [eqn: R=3 TIMES 10 ^{6.2}]

16. [출제의도] 행렬의 연산을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: B ^{2} =B-E`]에서 [eqn: B-B ^{2} =E]

[eqn: B` LEFT ( E-B` RIGHT ) = LEFT ( E-B` RIGHT ) B=E``]이므로 [eqn: B ^{ -1}=E-B]

[eqn: THEREFORE] 행렬 [eqn: B`]가 역행렬을 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: A ^{2} +B=E``]에서 [eqn: B=E-A ^{2}]이므로

[eqn: AB=A-A ^{3}]이고 [eqn: BA=A-A ^{3}]이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: AB=BA] (참)

ㄷ. [eqn: A ^{2} =E`-B], [eqn: B^{ 2}=B-E]에서

[eqn: A ^{4} =(E-B) ^{2} =E-2B+B ^{2}]

[eqn: =E`-2B+B-E`=`-B]

[eqn: A ^{6}=A^4 A^2 = B^2 -B =`-E]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A ^{12} = LEFT ( A ^{6} RIGHT ) ^{2} =E] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. [출제의도] 행렬을 이용하여 문제해결하기

문제의 조건을 만족시키는

연립일차방정식 [eqn: {cases{`x+y=500#`7x+2y=2500}}]을 행렬로 나타내면

[eqn: {pmatrix{`1`&`1`#`7`&`2`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`500`#`2500`}}]

[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} =`-` {1} over {5} ` {pmatrix{````````2`&`-1`#-7`&`````````1`}} {pmatrix{`500`#`2500`}}][eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} =100` {pmatrix{-2`&`````````1`#````````7`&`-1`}} {pmatrix{`1`#`5`}}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1], [eqn: b=7]

따라서 [eqn: a+b=8]

18. [출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기

그림과 같이 [eqn: n]번째 정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n]이라 하자.

[eqn: rmA _{itn}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm C _{it n rm}]

[eqn: rm D _{it n rm}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n+1 rm}]

[eqn: a _{n+1}]

[eqn: a _{n}]

[eqn: rm E _{it n rm}]

[eqn: rm F _{it n rm}]

[eqn: rm G _{it n rm}]

[eqn: 3a_n+1 = root2 a_n], [eqn: a_n+1 = root2over3 a_n]이므로 [eqn: S_n+1 = 2over9 S_n]

[eqn: rm TRIANGLE A_1 B_1 E_1 □ TRIANGLE B_1 G_1 E_1]에서 [eqn: rm bar{A _{1} E _{1}} : bar{B _{1} E _{1}} = sqrt {5}: 1]이므로 [eqn: rm TRIANGLE A_1 B_1 E_1 : TRIANGLE B_1 G_1 E_1 = 5: 1]

[eqn: THEREFORE] [eqn: TRIANGLE rmB _{1} G _{1} E _{1} = {1} over {5}]

점 [eqn: rmB_2]는 [eqn: rm TRIANGLEB_1 C_1 D_1]의 무게중심이므로

[eqn: rm TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2} = {1} over {6} TRIANGLE B _{1} C _{1} D _{1} = {1} over {3}]

[eqn: rm TRIANGLE A _{1} E _{1} C _{1}]과 [eqn: rmTRIANGLE B _{1} C _{1} F _{1}]의 공통부분이 [eqn: rm □E _{1} C _{1} B _{2} G _{1}]이고, [eqn: rm TRIANGLE A _{1} E _{1} C _{1} = TRIANGLE B _{1} C _{1} F _{1}]이므로

[eqn: rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} = TRIANGLE B _{1} E _{1} G _{1} + TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2} =` {1} over {5} ` +{1} over {3}= 8over15]

[eqn: S _{1} = rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} + TRIANGLE B _{1} E _{1} G _{1} + TRIANGLE C _{1} F _{1} B _{2}]

[eqn: =2 rm TRIANGLE A _{1} G _{1} B _{2} = {16} over {15}]

따라서 수열 [eqn: LEFT { S_n RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 16over15]이고 공비가 [eqn: 2over9]인 등비수열이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }S_n = 16over15over{1- 2over9} = 48over35]이다.

[참고] [eqn: □rmA_{itn+1}B_{itn+1}C_{itn+1}D_{itn+1}]은 정사각형이다.

[eqn: rmA _{itn}]

[eqn: rm B _{it n rm}]

[eqn: rm C _{it n rm}]

[eqn: rm D _{it n rm}]

[eqn: rm A _{itn+1}]

[eqn: rm B _{it n+1 rm}]

[eqn: rm C _{it n+1 rm}]

[eqn: rm D _{it n+1 rm}]

[eqn: rm M]

[eqn: rm N]

정사각형 [eqn: rmA_{itn}B_{itn}C_{itn}D_{itn}]에서 두 선분 [eqn: rm A _{it n rm} C _{it n rm}], [eqn: rmC_{itn+1}D_{itn+1}]이 선분 [eqn: rm B _{it n rm} D _{it n rm}]과 만나는 점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rm N]이라 하자.

[eqn: rm TRIANGLE B _{it n+1 rm} C _{it n rm} C _{it n+1 rm}]이 직각이등변삼각형이므로

[eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} = bar{C _{it n rm} B _{it n+1 rm}}]이고

점 [eqn: rm B _{it n+1 rm}]은 [eqn: rm TRIANGLE B _{it n rm} C _{it n rm} D _{it n rm}]의 무게중심이므로

[eqn: rm bar{C _{it n rm} B _{it n+1 rm}} =2` bar{B _{it n+1 rm} M}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} =2` bar{B _{it n+1 rm} M}] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: rm ANGLE B _{it n+1 rm} = ANGLE C _{it n+1 rm} =90 DEG], [eqn: rm bar{A _{it n rm} C _{it n rm}} BOT bar{B _{it n rm} D _{it n rm}}]로

[eqn: rm □MB _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} N]이 직사각형이므로

[eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} M} = bar{C _{it n+1 rm} N}],

[eqn: rm TRIANGLE NC _{it n+1 rm} D _{it n rm}]과 [eqn: rm TRIANGLE ND _{it n rm} D _{it n+1 rm}]이 직각이등변삼각형이므로 [eqn: rm bar{C _{it n+1 rm} N} = bar{ND _{it n+1 rm}}] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: rm bar{B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm}} = bar{C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm}}]

따라서 [eqn: □ rm A _{it n+1 rm} B _{it n+1 rm} C _{it n+1 rm} D _{it n+1 rm}]은 정사각형

19. [출제의도] 지수함수의 그래프의 대칭이동과 평행이동을 활용하여 문제해결하기

함수 [eqn: y =2 ^{x-2}]의 역함수는 [eqn: y=log_{`2}` x +2]이고,
함수 [eqn: y=log_{`2}` x +2]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: -2]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: a]만큼 평행이동시키면
함수 [eqn: y=log _{`2} `(x+2)+a+2]의 그래프가 된다.

두 함수 [eqn: f(x)=2 ^{`x-2}], [eqn: g(x)=log _{`2} `(x+2)+a+2]의 그래프가 직선 [eqn: y=1]과 만나는 점은
각각 [eqn: rmA(2,``1)], [eqn: rmB(2^{it-a -1}-2,``1)]이다.

선분 [eqn: rmAB]의 중점의 좌표가 [eqn: (`8,``1)]이므로

[eqn: {2+2^{-a-1} -2} over2 =8], [eqn: 2^{-a-1 }=16=2^4], [eqn: -a-1=4]

따라서 [eqn: a=`-5]

20. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 추론하기

[eqn: p=`-10], [eqn: f(n) = 2^n-1], [eqn: g(n) =2^n -1]

따라서
[eqn: {2 TIMES p TIMES g` LEFT ( 10 RIGHT )} over {5 TIMES f(3)} = {2 TIMES (-10) TIMES (2 ^{10} -1)} over {5 TIMES 2 ^{2}} =`-1023]

21. [출제의도] 함수의 연속의 뜻을 이해하여 추론하기

[eqn: f(x)= {cases{``1&LEFT ( x != 0 RIGHT )#``2~~~&LEFT ( x=`0 RIGHT ) ^{`}}}], [eqn: g(t)= {cases{``0&LEFT ( t LEQ -1 RIGHT )#``1~~~&LEFT ( -1<t<1 RIGHT ) ^{`}#``0~~~&LEFT ( t GEQ 1 RIGHT ) ^{`}}}]

ㄱ. [eqn: g(0)=1] (참)

ㄴ. [eqn: lim _{`x` -> `1-0} {g LEFT ( x RIGHT ) ``} + lim _{x` -> `-1+0} {g LEFT ( x RIGHT )} `=1+1=2] (참)

ㄷ. [eqn: lim _{x -> -0} {` {g(x)} over {f(x)}}=lim _{x -> +0} {` {g(x)} over {f(x)}}=1], [eqn: g(0)overf(0) = 1over2]이므로

[eqn: lim _{x` -> `0} {` {g(x)} over {f(x)}} != {g(0)} over {f(0)}]

[eqn: THEREFORE] 함수 [eqn: {g LEFT ( x RIGHT )} over {f LEFT ( x RIGHT )}]는 [eqn: x=0]에서 불연속이다. (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

22. [출제의도] 여러 가지 수열 이해하기

[eqn: sum _{k=1} ^{n} {1} over {k` LEFT ( k+1 RIGHT )} = sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {k} - {1} over {k+1} RIGHT ) =1- {1} over {n+1} = {n} over {n+1}]

이므로 [eqn: n+1`=100]

따라서 [eqn: n=99]

23. [출제의도] 연립방정식과 행렬 이해하기

연립일차방정식 [eqn: {pmatrix{`1-k`````&2`#`4`````&3-k`}} LEFT ( pile{`x`#`y`} RIGHT ) = LEFT ( pile{`0`#`0`} RIGHT )]가

[eqn: x=0], [eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로

[eqn: (1-k)(3-k)-8=0], [eqn: k ^{2} -4k-5=0]

[eqn: THEREFORE] 근과 계수의 관계에 의하여 모든 실근의 합은 [eqn: 4]

따라서 모든 실수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 4]

24. [출제의도] 로그함수의 그래프의 성질 이해하기

함수 [eqn: y=log _{{1} over {3}} (x+a)]는 밑이 [eqn: {1} over {3}]이므로
[eqn: x]가 증가할 때 [eqn: y]가 감소한다.
[eqn: THEREFORE] [eqn: x=4]일 때 최댓값 [eqn: -3]을 갖는다.

[eqn: -3=log_{1over3 }(4+a)], [eqn: 4+a=LEFT ( {1} over {3}right)^-3 =27]

따라서 [eqn: a=23]

25. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 활용하여 문제해결하기

(가), (나)에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x-1]을 인수로 갖는 일차함수 또는 이차함수이므로

[eqn: f(x)=(ax+b)(x-1)]이라 하면

(나)에서 [eqn: lim _{x` -> `1} {{(ax+b)(x-1)} over {x-1} = lim _{x` -> `1} {(ax+b)=}} 1]

[eqn: a+b=1] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

(다)에서 [eqn: f(2)=4]이므로 [eqn: 2a+b=4] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a=3], [eqn: b=`-2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: f(x)=(3x-2) LEFT ( x-1 RIGHT )]

따라서 [eqn: f(3)=14]

26. [출제의도] 지수방정식과 로그방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: log_2 (x-2) - log_2 y=1]에서 [eqn: log_2 x-2overy =1]

[eqn: x-2overy =2], [eqn: 2y=x-2] [eqn: CDOTSCDOTS㉠]

[eqn: 2 ^{x} -2·4 ^{-y} =7]에서 [eqn: 2 ^{x} -2·2 ^{-2y} =7] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -7·2 ^{x} -8=0]

[eqn: 2 ^{x} =t]([eqn: t>0])라 하면 [eqn: t ^{2} -7t-8=0]

[eqn: (t+1)(t-8)=0], [eqn: t=8]([eqn: BECAUSE] [eqn: `t>0])

[eqn: 2^x =8]이므로 [eqn: x=3], ㉠에 대입하면 [eqn: y= 1over2]

따라서 [eqn: ` alpha =3], [eqn: beta= 1over2]이므로 [eqn: 10 alpha beta=15]

27. [출제의도] 알고리즘과 순서도를 이해하여 추론하기

[eqn: n]	[eqn: S]
[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: =~3]
[eqn: 3]	[eqn: 3+3]	[eqn: =~6]
[eqn: 5]	[eqn: 3+3+5]	[eqn: =11]
[eqn: 7]	[eqn: 3+3+5+7]	[eqn: =18]
[eqn: 9]	[eqn: 3+3+5+7+9]	[eqn: =27]
[eqn: 11]	[eqn: 3+3+5+7+9+11]	[eqn: =38]
[eqn: 13]	[eqn: 3+3+5+7+9+11+13]	[eqn: =51]

따라서 인쇄되는 [eqn: n]의 값은 [eqn: 13]

28. [출제의도] 행렬의 정의를 이해하여 문제해결하기

[eqn: a _{ij} +a _{ji} =0]에서 [eqn: a_ij =`-a_ji]이므로

[eqn: a_11 =0], [eqn: a_12 =`-a_21], [eqn: a_22 =0]

[eqn: A= {pmatrix{`a _{11} `&`a _{12} `#`a _{21} `&a _{22}}} = {pmatrix{````0`&`a _{12} `#`-a _{12} `&`0`}}]

[eqn: b _{ij} -b _{ji} =0]에서 [eqn: b _{ij} =b _{ji}]이므로 [eqn: b_12 =b_21]

[eqn: B= {pmatrix{`b _{11} `&`b _{12} `#`b _{21} `&`b _{22} `}} = {pmatrix{`b _{11} `&`b _{12} `#`b _{12} `&`b _{22} `}}]

[eqn: 2A-B=2 {pmatrix{``0`&`a _{12} `#-a _{12} `&0}} - {pmatrix{`b _{11} `&`b _{12} `#`b _{12} `&`b _{22} `}}]

[eqn: = {pmatrix{`-b _{11} `&`2a _{12} -b _{12} `#`-2a _{12} -b _{12} `&-b _{22} `}} = LEFT ( {matrix{```````1```&``2`#`-2````&`4}} RIGHT )]

[eqn: -b _{11} =1]에서 [eqn: b _{11`} =`-1], [eqn: -b_22 = 4]에서 [eqn: b_22 = `-4]

[eqn: 2a_12 -b_12 =2] [eqn: CDOTSCDOTS㉠], [eqn: -2a _{12} -b _{12} =`-2] [eqn: CDOTSCDOTS㉡]

㉠, ㉡에서 [eqn: a _{12} =1], [eqn: b _{12} =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: A= {pmatrix{```````0`&``1`#-1`&`0}}], [eqn: B= {pmatrix{-1`&`````````0`#``````0`&-4}}]

[eqn: A ^{2} -B`= {pmatrix{-1`&`````````0`#``````0`&-1}} - {pmatrix{-1`&`````````0`#``````0`&-4}} = {pmatrix{`0`&`0`#`0`&3}}]

따라서 행렬 [eqn: A ^{2} -B`]의 [eqn: LEFT ( 2,```2 RIGHT )]성분은 [eqn: 3]

29. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하여 문제해결하기

(가)에서 [eqn: (x]의 자릿수[eqn: )][eqn: <(y]의 자릿수[eqn: )<(z]의 자릿수[eqn: )]
(나)에서 자연수 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]의 숫자 배열은 모두 같다.

(다)에서 자연수 [eqn: x]는 두 자릿수 또는 세 자릿수이다.

ⅰ) [eqn: x]가 두 자릿수인 경우

①　[eqn: y=10x], [eqn: z=10 ^{2} x]일 때,

[eqn: x+y+z=x+10x+10 ^{2} x=111x]
[eqn: 111x=15873]인 두 자릿수 자연수　[eqn: x]는 존재하지 않는다.
②　[eqn: y=10x], [eqn: z=10^3 x]일 때,

[eqn: x+y+z=x+10x+10 ^{3} x=1011x]
[eqn: 1011x=15873]인 자연수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

③　[eqn: y=10^2 x], [eqn: z=10^3 x]일 때,

[eqn: x+y+z=x+10 ^{2} x+10 ^{3} x=1101x]
[eqn: 1101x=15873]인 자연수 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

ⅱ) [eqn: x]가 세 자릿수인 경우

[eqn: y=10 x], [eqn: z=10^2 x]일 때,

[eqn: x+y+z=x+10 x+10 ^{2} x=111x=15873]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=143], [eqn: y=1430], [eqn: z=14300]

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: x=143], [eqn: y=1430], [eqn: z=14300]

따라서 [eqn: x+f LEFT ( y RIGHT ) +f LEFT ( z RIGHT )=143+3+4=150]

30. [출제의도] 여러 가지 수열을 이해하여 추론하기

자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: 2n]행의 첫 번째 원 안에 써넣은 수를 차례로 나열하여 만든 수열 [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 20], [eqn: CDOTS] 을 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]이라 하면 이 수열의 일반항

[eqn: a_n =2+ sum _{k=1 } ^{n-1 }(2k+2)=n^2 +n]이므로

[eqn: 20]행의 첫 번째 원 안에 써 넣은 수 [eqn: a_10 =110]

[eqn: 20]행에 나열된 원 안에 써 넣은 수는
[eqn: 110]부터 연속되는 [eqn: 21]개의 자연수이므로 그 합

[eqn: S= {21 LEFT ( 2times110+20 RIGHT )} over {2} =2520]

따라서 [eqn: 1over10 S =252]