수학 영역

가형 정답

1	⑤	2	②	3	④	4	②	5	①
6	③	7	⑤	8	④	9	①	10	①
11	④	12	③	13	⑤	14	②	15	①
16	⑤	17	④	18	③	19	③	20	①
21	②	22	4	23	6	24	24	25	15
26	100	27	26	28	8	29	486	30	125

가형 해설

1. [출제의도] 평면벡터의 성분의 합 계산하기

[eqn: 2 {vec{a}} - {vec{b}} `=`2(`4`,~5`)-(`-3`,~2`)=(`11`,~8`)]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 11+8`=`19`]

2. [출제의도] 지수함수의 극한 계산하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{e ^{3x} -1} over {2x} = {3} over {2} TIMES lim _{x` -> `0} {{e ^{3x} -1} over {3x} = {3} over {2}}} `]

3. [출제의도] 좌표공간에서 선분의 내분점의 좌표 계산하기

선분 [eqn: rm OA`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점 [eqn: rm P`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( `{1 TIMES 6+2 TIMES 0} over {1+2}` ,`~{1 TIMES 3+2 TIMES 0} over {1+2}` ,~ {1 TIMES 9+2 TIMES 0} over {1+2} `RIGHT )]

이므로 [eqn: LEFT ( `2`,~1`,~3` RIGHT ) `]

따라서 [eqn: a+b+c=6`]

4. [출제의도] 사건의 독립 이해하기

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]가 서로 독립이므로

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= rm P( it A) TIMES rm P( it B)`]

[eqn: rm P( it A)=1- rmP left( it A^C `right)=1- 2 over3 = 1 over3`]

따라서 [eqn: rm P(itB)= {1} over {4}`]

5. [출제의도] 곱의 미분법 이해하기

함수 [eqn: f(x)=x`lnx`]에서 [eqn: f` prime (x)=lnx+1`]이므로

[eqn: lim _{h` -> `0} {} ` {f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT )} over {h} =f`' LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

6. [출제의도] 원순열을 활용하여 확률 문제해결하기

[eqn: rm A`], [eqn: rm B`]를 포함한 [eqn: 6`]명이 원형의 탁자에 일정한 간격을 두고 앉는 경우의 수는

[eqn: LEFT ( 6-1 RIGHT ) !`=5!`=120]

[eqn: rm A`], [eqn: rm B`]가 이웃하여 [eqn: 6`]명이 원형의 탁자에 일정한 간격을 두고 앉는 경우의 수는

[eqn: 2! TIMES LEFT ( 5-1 RIGHT ) !`=2! TIMES 4!`=48]

따라서 구하는 확률은 [eqn: {48} over {120} = {2} over {5}]

7. [출제의도] 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법 이해하기

[eqn: {dx} over {dt} =2e ^{2t-6}`], [eqn: {dy} over {dt} =2t-1`]

[eqn: {dy} over {dx} = {{dy} over {dt}} over {{dx} over {dt}} = {2t-1} over {2e ^{2t-6}}`]

따라서 [eqn: t=3`]일 때, [eqn: {dy} over {dx} = {5} over {2e ^{0}} = {5} over {2}`]

8. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]일 때, 방정식 [eqn: sin2x= {1} over {3} `]을 만족시키는 해는 두 함수 [eqn: y=sin2x`], [eqn: y= {1} over {3} `]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표와 같다.

네 교점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: alpha `], [eqn: beta `], [eqn: gamma `], [eqn: delta `]에 대하여

[eqn: {alpha + beta } over {2} = {pi } over {4} `]이고 [eqn: {gamma + delta } over {2} = {5} over {4} pi `]이므로

방정식의 모든 해의 합은

[eqn: alpha + beta + gamma + delta =3 pi]

9. [출제의도] 분수함수의 정적분 이해하기

[eqn: int _{3} ^{6} {{2} over {x ^{2} -2x} dx} `][eqn: =` int _{3} ^{6} {LEFT ( {1} over {x-2} - {1} over {x} RIGHT ) dx}]
[eqn: = LEFT [ {}_{`}^{`} ln LEFT | x-2 RIGHT | -ln LEFT | x RIGHT | RIGHT ] _{3}^{6}]
[eqn: =`ln2]

10. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결하기

역사 동아리 학생 중 임의로 선택한 [eqn: 1`]명이

박물관 [eqn: rm A`]를 선택한 학생인 사건을 [eqn: X`],

[eqn: 1`]학년 학생인 사건을 [eqn: Y `]라 하면

[eqn: rm P it (Y``|`X)= {rm P it (X` SMALLINTER Y)} over {rm P it (X)} = {{9} over {32}} over {{24} over {32}} = {9} over {24} = {3} over {8} `]

11. [출제의도] 조합을 활용하여 문제해결하기

남학생 [eqn: 4`]명을 세 개의 모둠으로 나누는 경우의 수는
[eqn: ` _{4} rm C it rm _{2} TIMES _{2} rm C it rm _{1} TIMES _{1} rm C it rm _{1} TIMES {1} over {2!} =6`]

모든 모둠에 남학생과 여학생이 각각 [eqn: 1`]명 이상 포함되도록 세 개의 모둠으로 나누는 경우의 수는

[eqn: 6 TIMES 3!`=36`]

12. [출제의도] 포물선의 정의와 음함수의 미분법 이해하기

포물선 [eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x-1 RIGHT ) `]의 초점은 [eqn: rm F LEFT ( `2`,~0` RIGHT ) `], 준선은 [eqn: x=0`]이다.

[eqn: rm {bar{rm PF}} =3`]이므로 점 [eqn: rm P`]에서 준선 [eqn: x=0`]에 내린 수선의 발까지의 거리는 [eqn: 3`]

점 [eqn: RMP`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( `3`,~2 sqrt {2} ` RIGHT )]

[eqn: y ^{2} =4 LEFT ( x-1 RIGHT ) `]의 양변을 [eqn: x`]에 대하여 미분하면 [eqn: 2y {dy} over {dx} =4`]이므로

[eqn: x=3`], [eqn: y=2 sqrt {2} `]를 대입하면

[eqn: {dy} over {dx} = {1} over {sqrt {2}} = {sqrt {2}} over {2}]

따라서 점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {sqrt {2}} over {2}`]

13. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y=e ^{x} `]과 접선 [eqn: l`]이 만나는 접점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]라 하면 점 [eqn: left(`t`,~e ^{t} `right)`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: e ^{t} `]이므로 접선 [eqn: l`]의 방정식은

[eqn: y=e^t (x-t)+e^t`]

접선 [eqn: l`]이 점 [eqn: left(`1`,~0`right)`]을 지나므로

[eqn: e^t (1-t) + e^t =0`]

[eqn: LEFT ( 2-t RIGHT ) e ^{t} `=0]

[eqn: t=2`]

곡선 [eqn: y=e ^{x} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: l`]으로 둘러싸인 부분은 다음 그림의 색칠된 부분과 같다.

따라서 구하는 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S`][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT { e ^{x} - LEFT ( e ^{2} x-e ^{2} RIGHT ) RIGHT }} dx`][eqn: =` int _{0} ^{2} {left(e ^{x} -e ^{2} x+e ^{2}`right )`dx} `][eqn: = LEFT [ e ^{x} - {e ^{2}} over {2} x ^{2} +e ^{2} x RIGHT ] _{0}^{2}][eqn: =`e^2 -1]

14. [출제의도] 역함수 미분법 이해하기

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =0`]이므로 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =1`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = {2x` TIMES x- LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT )} over {x ^{2}} `= {x ^{2} +1} over {x ^{2}}]

[eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )} `]이므로

[eqn: g` prime LEFT ( 0 RIGHT ) = {1} over {f` prime LEFT ( g LEFT ( 0 RIGHT ) RIGHT )} = {1} over {f` prime LEFT ( 1 RIGHT )} = {1} over {2}`]

15. [출제의도] 지수함수와 로그함수 이해하기

점 [eqn: rmA LEFT (` 4`,~0 `RIGHT )`]을 지나고 [eqn: y`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=log` _{2} `x`]와 만나는 점은 [eqn: rmB LEFT ( `4`,~2` RIGHT )`]이다.

점 [eqn: rmB`]를 지나고 기울기가 [eqn: -1`]인 직선이 곡선 [eqn: y=2 ^{x+1} +1`]과 만나는 점을 [eqn: rm C left(it`a`,~b` right)`]라 하자. 점 [eqn: rmC`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동시킨 점 [eqn: rm C primeleft(`itb`,~a` right)`]는 곡선 [eqn: y=log `_{2} (x-1)`-1] 위에 있다.

점 [eqn: rmC prime`]을 [eqn: x`]축 방향으로 [eqn: -1`]만큼, [eqn: y`]축 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동시킨 점 [eqn: LEFT ( `b-1`,~a+1` RIGHT )`]은 [eqn: rmB]이다.

[eqn: a+1=2`], [eqn: b-1=4`]이므로

[eqn: a=1`], [eqn: b=5`]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 3=3]

16. [출제의도] 표준정규분포를 활용하여 문제해결하기

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N` LEFT ( `itm`,`` 8 ^{2} ` RIGHT ) `]을 따른다.

조건 (가)를 만족시키는 정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 100+k]

[eqn: k]

[eqn: m]

[eqn: x]

[eqn: DLINE]

[eqn: DLINE]

[eqn: m-k=(100+k)-m`], [eqn: k=m-50`]

[eqn: rm P LEFT ( itX GEQ 2k RIGHT ) = rm P LEFT ( itZ GEQ m-100 over 8 RIGHT ) =0.0668`]

[eqn: 0.5- {rmP}LEFT ( Z GEQ {m-100} over {8} RIGHT )][eqn: = rm P LEFT ( 0 LEQ itZ LEQ m-100 over8 RIGHT ) =0.4332`]

[eqn: m-100 over8 =1.5`]

따라서 [eqn: m=112`]

17. [출제의도] 정사영 이해하기

점 [eqn: rm C`]에서 선분 [eqn: rm AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmM`]이라 하자.

[eqn: {bar{rm OC it}} BOT](평면 [eqn: rmOAB]), [eqn: rmbar{rmCM} BOTbar{rmAB`]이므로

삼수선의 정리에 의하여 [eqn: rmbar{rmOM} BOTbar{rmAB}`]이고

[eqn: bar{rmOA}=bar{rmOB}`]이다.

[eqn: {bar{rm MC it}} =3 sqrt {3} `], [eqn: {bar{rm OM it}} =3 sqrt {2} `]

점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm MC`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 삼수선의 정리에 의하여
[eqn: {bar{rm OH it}} BOT](평면 [eqn: rm ABC])이므로 점 [eqn: rmO`]의 평면 [eqn: rmABC`] 위로의 정사영은 점 [eqn: rmH`]이다.

[eqn: {1} over {2} TIMES {bar{rm OM it}} TIMES {bar{rm OC it}} = {1} over {2} TIMES {bar{rm MC it}} TIMES {bar{rm OH it}} `]이므로

[eqn: {bar{rm OH it}} = sqrt {6} `], [eqn: {bar{rm HC it}} = sqrt {3} `], [eqn: {bar{rm MH it}} =2 sqrt {3} `]

삼각형 [eqn: rm OBC`]의 평면 [eqn: rm ABC] 위로의 정사영은 삼각형 [eqn: rmHBC`]이고 점 [eqn: rmH`]는 선분 [eqn: rmCM`]을 [eqn: 1:2`]로 내분한다.

([eqn: TRIANGLE rmHBC`]의 넓이)[eqn: =][eqn: { 1} over { 6}times]([eqn: TRIANGLE rmABC`]의 넓이)

따라서 정사영의 넓이는 [eqn: {1} over {6} TIMES 9 sqrt {3} = {3 sqrt {3}} over {2} `]

18. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정
추론하기

	공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 [eqn: N`]이라 하면 [eqn: N`]은 서로 같은 흰 공 [eqn: 4`]개와 서로 같은 검은 공 [eqn: 3`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: N= {BOX{~35~}} `]이고, 확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이다. (ⅰ) [eqn: X=2`]일 때, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 3`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 1 times { 5!} over { 2!times3!}`]이므로 [eqn: rm P it (X=2)= {10} over {N`}] (ⅱ) [eqn: X=3`]일 때, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!times {4!} over {2!times2!} `]이므로 [eqn: rm P it (X=3)= {12} over {N`} `] (ⅲ) [eqn: X=4`]일 때, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: box{~9~}`]이므로 [eqn: rm P it (X=4)= {box{~9~}} over {N`} `] (ⅳ) [eqn: X=5`]일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 [eqn: rm P it (X=5)=1- left{rm P it (X=2)] [eqn: + rm P it (X=3) +rm P it (X=4) right}`] 따라서 [eqn: rm E it (X)= sum _{k=2} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT } = {BOX{~ 16 over5 ~}}]

[eqn: a= {7!} over {4! TIMES 3!} =35`], [eqn: b = 3! over2! times 3! over2! =9`]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과

같다.

[eqn: X`]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)`]	[eqn: 10 over35]	[eqn: {12} over {35}]	[eqn: {9} over {35}]	[eqn: {4} over {35}]	[eqn: 1]

[eqn: c=2 TIMES {10} over {35} +3 TIMES {12} over {35} +4 TIMES {9} over {35} +5 TIMES {4} over {35} = {16} over {5} `]

따라서 [eqn: a+b+5c =60`]

19. [출제의도] 미분을 활용하여 함수의 그래프 추론하기

ㄱ. [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {ln3} TIMES {4x ^{3}} over {x ^{4} +2n} `]이므로
[eqn: g` prime LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g`' LEFT ( 0 RIGHT ) =0]
[eqn: h` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =g` prime LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0] (참)

ㄴ. [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) =log` _{3} LEFT [ LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} +2n RIGHT ] `]

[eqn: h` prime LEFT ( x RIGHT ) `][eqn: = {1} over {ln3} TIMES {4 LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{3} f` prime LEFT ( x RIGHT )} over {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ^{4} +2n} `]
[eqn: = {1} over {ln3} TIMES {4nx ^{n-1} LEFT ( x ^{n} -1 RIGHT ) ^{3}} over {LEFT ( x ^{n} -1 RIGHT ) ^{4} +2n}]

열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,~1` RIGHT ) `]에서 [eqn: -1<x ^{n`} -1<0`]이므로 [eqn: h prime LEFT ( x RIGHT ) <0`]이다.
열린 구간 [eqn: LEFT ( `0`,~1` RIGHT ) `]에서
함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]는 감소한다. (거짓)

ㄷ. [eqn: x>0`]에서 함수 [eqn: h left(x right)`]는 [eqn: x=1`]에서 극솟값 [eqn: log_{3}{2n}`]을 갖는다.
함수 [eqn: h left(x right)`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.
(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,

(ⅱ) [eqn: n geq2`]일 때,

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 방정식 [eqn: h left(x right)=n`]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 1`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

20. [출제의도] 여러 가지 함수의 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: u` prime LEFT ( x RIGHT ) =x,~v LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) `]라 하면

[eqn: u LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} x ^{2} `,~v` prime LEFT ( x RIGHT ) =g` prime LEFT ( x RIGHT )`]

조건 (가)에 의하여 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =0`], [eqn: g` prime LEFT ( x RIGHT ) = {f LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} over {x} `]

[eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx}`]

[eqn: = LEFT [ {1} over {2} x ^{2} g LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ] _{1}^{2} - int _{1} ^{2} {{1} over {2} x ^{2} g` prime LEFT ( x RIGHT ) dx}`]

[eqn: =2g LEFT ( 2 RIGHT ) - {1} over {2} g LEFT ( 1 RIGHT ) - int _{1} ^{2} {LEFT { {1} over {2} x ^{2} TIMES {f LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} over {x} RIGHT } dx} `]

[eqn: =2 TIMES 3- {1} over {2} TIMES 0- {1} over {2} int _{1} ^{2} {xf LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT ) dx}]

[eqn: x ^{2} +1=t`]라 하자.

[eqn: int _{1} ^{2} {xg LEFT ( x RIGHT ) dx} `]

[eqn: =6- {1} over {2} int _{2} ^{5} {{1} over {2} f LEFT ( t RIGHT ) dt}]

[eqn: =6- {1} over {4} TIMES 16=2`]

21. [출제의도] 삼각함수의 극한값 추론하기

원 [eqn: C` _{`1}] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여 [eqn: {arch{rm ``PA`` it}} = {arch{rm ``AR`` it}} `]이므로

[eqn: ANGLE rm PQA it `=` ANGLE rm AQR it `=` {theta } over {2} `]
[eqn: ANGLE rm PRQ= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm PR it}} `=`2`sin` theta `], [eqn: {bar{rm QR it}} `=`2`cos` theta `]
[eqn: ANGLE rm QMR=` ANGLE rm QNR= {pi } over {2} `]이므로

[eqn: {bar{rm QM}} `=`2`cos` theta `cos theta `], [eqn: {bar{rm QN it}} `=`2`cos` theta `cos` {theta } over {2} `]

[eqn: S`( theta )`][eqn: = {1} over {2} TIMES {bar{rm QM it}} TIMES {bar{rm QN it}} TIMES sin` {theta } over {2} `][eqn: =` {1} over {2} TIMES 2`cos ^{2} ` theta TIMES 2`cos` theta `cos` {theta } over {2} ` TIMES `sin` {theta } over {2} `][eqn: =2`cos` ^{3} theta `cos {theta } over {2} `sin` {theta } over {2} `]

점 [eqn: rm N`]에서 선분 [eqn: rm QR`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하면 [eqn: T(theta)`=` { 1} over { 2} TIMESbar{rm PR} TIMES bar{rm HR}`]

[eqn: {bar{rm HR it}} `][eqn: =` {bar{rm QR it}} - {bar{rm QH it}} `=`2`cos` theta `-` {bar{rm QN it}} `cos` {theta } over {2} `][eqn: =`2`cos` theta `-`2cos` theta `cos` ^{2} {theta } over {2} `][eqn: =`2`cos` theta LEFT ( 1-cos` ^{2} {theta } over {2} RIGHT ) `]
[eqn: =`2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: T(theta)`][eqn: =` {1} over {2} TIMES `2`sin` theta ` TIMES `2`cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `][eqn: =`2`sin` theta `cos` theta `sin` ^{2} {theta } over {2} `]

[eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES S`( theta )} over {T`( theta )}} `]

[eqn: =` lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2} TIMES `2cos` ^{3} ` theta `cos` {theta `} over {2} `sin` {theta } over {2} `} over {2sin` theta` cos` theta `sin` ^{2} {theta `} over {2} `}}]

[eqn: = lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( cos ^{2} theta cos {theta } over {2} RIGHT ) TIMES lim _{theta ` -> `0+} {{theta ^{2}} over {sin theta sin {theta } over {2}}}}]

[eqn: =1 TIMES ` lim _{theta ` -> `0+} {LEFT ( 2 TIMES {theta } over {sin` theta } TIMES {{theta } over {2} `} over {sin` {theta } over {2}} RIGHT )}]

[eqn: =`2`]

22. [출제의도] 자연수의 분할 계산하기

자연수 [eqn: 7`]을 [eqn: 3`]개의 자연수로 분할하는 경우는

[eqn: 7`][eqn: =1+1+5]
[eqn: =1+2+4]
[eqn: =1+3+3]
[eqn: =2+2+3]

따라서 경우의 수는 [eqn: 4`]

23. [출제의도] 지수부등식 계산하기

[eqn: LEFT ( 2 ^{`x} RIGHT ) ` ^{2} -10 TIMES 2 ^{`x} +16 LEQ 0`]

[eqn: LEFT ( 2 ^{`x} -2 RIGHT ) LEFT ( 2 ^{`x} -8 RIGHT ) LEQ 0`]

[eqn: 2 LEQ 2 ^{`x} LEQ 8`]

[eqn: 1 LEQ x LEQ 3`]

만족시키는 자연수는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이다.

[eqn: 1+2+3=6`]

24. [출제의도] 벡터의 내적 이해하기

[eqn: {vec{a}} + {vec{b}} `= LEFT (` 4t`,~ {3} over {t}` RIGHT )]

[eqn: LEFT | {vec{a}} `+ {vec{b}} RIGHT | ^{2} =16t ^{2} + {9} over {t ^{2}}`]이고 [eqn: t ^{`2} >0`]이므로

절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: 16t ^{`2} + {9} over {t ^{`2}} GEQ 2 sqrt {16t ^{`2} TIMES {9} over {t ^{`2}}} =24]

따라서 [eqn: t= {sqrt {3}} over {2} `]일 때, [eqn: LEFT | {vec{a}} `+ {vec{b}} RIGHT | ^{2}`]의 최솟값은 [eqn: 24`]

25. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리 이해하기

[eqn: tan LEFT ( alpha- beta RIGHT ) `=` { tan alpha -tan beta } over { 1+tan alpha`tan beta }`=` { 7} over { 8} `]

[eqn: { tan alpha `-`1} over { 1 `+`tan alpha }`=` { 7} over { 8}`]

[eqn: 8 LEFT ( tan alpha `-`1 RIGHT ) `=`7 LEFT ( 1`+`tan alpha RIGHT )`]

[eqn: tan alpha `=`15`]

26. [출제의도] 중복조합 이해하기

[eqn: 9`]이하의 음이 아닌 정수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]에 대하여 네 자리 이하의 자연수를

[eqn: a`TIMES10^3 +b TIMES 10^2 + c TIMES10 + d`]라 하자.

[eqn: 3000`]보다 작은 네 자리 자연수 중 각 자리의 수의 합이 [eqn: 10`]이므로

[eqn: 1≤a≤2`]이고 [eqn: a+b+c+d=10 `]

(ⅰ) [eqn: a=1`]인 경우
[eqn: b+c+d=9`]를 만족시키는 음이 아닌 세 정수 [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 순서쌍 [eqn: (`b`,~c`,~d`)`]의 개수는
[eqn: ` _{3} rm H it rm _{9} =` _{11} rm C it rm _{9} =`55]

(ⅱ) [eqn: a=2`]인 경우
[eqn: b+c+d=8`]을 만족시키는 음이 아닌 세 정수 [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]의 순서쌍 [eqn: (`b`,~c`,~d`)`]의 개수는
[eqn: {}_{3} rm H it rm _{8} = _{10} rm C it rm _{8} `=45`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 경우의 수는 [eqn: 100]

27. [출제의도] 도함수를 활용하여 문제해결하기

곡선 [eqn: y= sqrt { x}-3] 위의 임의의 점 [eqn: rm Q`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( t,~ sqrt {t} -3 RIGHT )``]([eqn: t≥0`])이라 하고, 원점을 [eqn: rmO`]라 하자.

선분 [eqn: {{rm PQ it}}`]의 길이가 최소가 되려면 점 [eqn: rmQ`]에 대하여 선분 [eqn: rmOQ`]와 원 [eqn: x^2 +y^2 =1`]이 만나는 점이 [eqn: rmP`]이고, 원 [eqn: x^2 +y^2 =1] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기와 곡선 [eqn: y= sqrt {x} -3] 위의 점 [eqn: rmQ`]에서의 접선의 기울기가 같아야 한다.

곡선 [eqn: y= sqrt { x} }-3] 위의 점 [eqn: rm Q it LEFT ( t,~ sqrt {t} -3 RIGHT ) ``][eqn: left(t>0 right)] 에서의 접선과 직선 [eqn: rmOQ`]는 수직이다.

[eqn: {1} over {2 sqrt {t}} times` {sqrt {t} -3} over {t} `=-1]

[eqn: 2LEFT ( sqrt { t} RIGHT )^3 + sqrt { t}-3`=`0`]

[eqn: LEFT ( sqrt {t} -1 RIGHT ) LEFT ( 2t+2 sqrt {t} +3 RIGHT ) `=`0]

[eqn: t=1`]이므로 [eqn: rm Q(1,~-2)`]이다.

[eqn: bar{rm PQ}`][eqn: =` bar{rm OQ}-1`]
[eqn: =sqrt { 5}-1]

[eqn: a=5`], [eqn: b=1`]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =26]

28. [출제의도] 타원의 정의를 활용하여 문제해결하기

[eqn: bar{rmQM}=bar{rmFM}=bar{rmPM}=5`]이므로 세 점 [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`], [eqn: rmF`]는 중심이 [eqn: rmM`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 5`]인 원 위의 점이다.

삼각형 [eqn: rm PQF`]는 직각삼각형이므로 [eqn: 6 ^{2} + {bar{rm PF it}} ^{`2} =10 ^{2}]

[eqn: bar{rmPF}=8]
[eqn: bar{rmPF}+bar{rmPF prime}=2a`], [eqn: {bar{rm QF it}} + {bar{rm QF prime it}} =2a`]이므로
[eqn: {bar{rm PF it}} + {bar{rm PF prime it}}+{bar{rm QF it}} + {bar{rm QF prime it}} ={bar{rm PF it}} + {bar{rm PQ it}}+{bar{rm QF it}}=24=4a]

[eqn: a=6]

[eqn: {bar{rm PF it}} + {bar{rm PF prime it}} =12`]이므로 [eqn: {bar{rm PF prime it}} =4]

삼각형 [eqn: rm PF prime F`]는 직각삼각형이므로
[eqn: 4 ^{2} +8 ^{2} = {bar{rmF F prime it}} ^{`2}]

[eqn: {bar{rmF F prime it}} =4 sqrt { 5}`]이므로 [eqn: c=2 sqrt {5}`]

[eqn: c ^{2} =a ^{2} -b ^{2}`]이므로 [eqn: b^{2}=16], [eqn: b=4`]
따라서 이 타원의 단축의 길이는 [eqn: 8]

29. [출제의도] 평면벡터의 내적을 활용하여 문제 해결하기

조건 (가)에 의하여 세 점 [eqn: rmP`,~Q`,~R`]는 한 직선 위에 있고, 조건 (나)에 의하여 직선 [eqn: rm AR`]와 직선 [eqn: RM PQ`]는 수직이므로 [eqn: {bar{rm AR it}} BOT {bar{rm PR it}} `]이다. 점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm PQ`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

[eqn: {bar{rm OH it}} =a`], [eqn: {bar{rm HP it}} = {bar{rm HQ it}} =b`], [eqn: {bar{rm QR it}} =c`]라 하면

[eqn: {bar{rm AR it}} = sqrt {6} b`]

삼각형 [eqn: rm OHQ`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} +b ^{2} =5`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉠]

삼각형 [eqn: rm OHR`]는 직각삼각형이므로

[eqn: a ^{2} + LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} =14`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉡`]

점 [eqn: rm O`]에서 선분 [eqn: rm AR`]의 연장선에 내린 수선의 발을 [eqn: rm I`]라 하면

[eqn: {bar{rm OI it}} = {bar{rm HR it}} =b+c`], [eqn: {bar{rm IA it}} =a+ sqrt {6} b`]이므로

삼각형 [eqn: rm AIO`]에서

[eqn: LEFT ( a+ sqrt {6} b RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b+c RIGHT ) ^{2} =44`]	[eqn: CDOTS CDOTS㉢]

㉡과 ㉢에서

[eqn: 2 sqrt {6} ab+6b ^{2} =30`]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉣]

㉠과 ㉣에서

[eqn: 6a ^{2} -2 sqrt {6} ab=0]

[eqn: a=0] 또는 [eqn: a= {sqrt {6}} over {3} b`]

세 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmP`], [eqn: rmQ`]가 한 직선 위에 있지 않으므로 [eqn: a != 0`]이고 [eqn: a= {sqrt {6}} over {3} b`]

[eqn: a= sqrt {2}`], [eqn: b= sqrt {3}`]

[eqn: {bar{rm PQ it}} =2 sqrt {3}`], [eqn: {bar{rm AR it}} =3 sqrt {2}`]이고 원 [eqn: C_{`1}] 위의 점 [eqn: rm S`]에 대하여

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AS it}][eqn: =` {vec{rm AR it}} BULLET LEFT ( {vec{rm AO it}} + {vec{rm OS it}} RIGHT )][eqn: = {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AO it}} + {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}}]

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AO it}} = LEFT | {vec{rm AR it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm AI it}} RIGHT | =3 sqrt {2} TIMES 4 sqrt {2} =24`]

[eqn: {vec{rm AR it}} `]와 [eqn: {vec{rm OS it}} `]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 하자.

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} ``][eqn: = LEFT | {vec{rm AR it}} RIGHT | LEFT | {vec{rm OS it}} RIGHT | cos theta `]
[eqn: =3 sqrt {2} ` TIMES sqrt {5} TIMES cos` theta`]이므로

[eqn: {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} `]는 [eqn: cos theta =1`]일 때 최댓값을 갖고 [eqn: cos theta =-1`]일 때 최솟값을 가지므로

[eqn: -3 sqrt {10} LEQ {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm OS it}} LEQ 3 sqrt {10}`]

[eqn: 24-3 sqrt {10} ` LEQ {vec{rm AR it}} BULLET {vec{rm AS it}} ` LEQ `24+3 sqrt {10}]

[eqn: M=24+3 sqrt {10} `], [eqn: m=24-3 sqrt {10} `]

[eqn: Mm= LEFT ( 24+3 sqrt {10} RIGHT ) TIMES LEFT ( 24-3 sqrt {10} RIGHT ) =486]

30. [출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: a>0]	(ⅱ) [eqn: a<0]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = int _{0} ^{x} {f LEFT ( t RIGHT ) dt}`]에서 [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =0`], [eqn: g`' LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x RIGHT )`]

조건 (가)에 의하여 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )`]는 [eqn: x=- {b} over {a} `]에서 극댓값 [eqn: alpha `]를 가지므로 [eqn: a<0`]이고 [eqn: b>0`]이다.
[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -k GEQ xf LEFT ( x RIGHT )`]에서 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) GEQ k`]이므로

[eqn: p LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT )`]라 하면

[eqn: p` prime LEFT ( x RIGHT ) =g` prime LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT ) -xf` prime LEFT ( x RIGHT ) =-xf` prime LEFT ( x RIGHT )`]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =- {1} over {2} a LEFT ( x-2+ {b} over {a} RIGHT ) e ^{- {x} over {2}} `]

[eqn: p` prime LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} ax LEFT ( x-2+ {b} over {a} RIGHT ) e ^{- {x} over {2}} `]

조건 (가), (나)를 만족시키는 함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )`]의 그래프의 개형은 다음과 같다.

[eqn: g LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =alpha`], [eqn: f left(- { b} over {a } right)=0`]에 의하여 [eqn: p LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) =g LEFT ( - {b} over {a} RIGHT ) - LEFT ( - {b} over {a} RIGHT )f left(- { b} over { a}right) = alpha]

[eqn: 2=- {b} over {a}]

[eqn: p LEFT ( x RIGHT ) =g LEFT ( x RIGHT ) -xf LEFT ( x RIGHT ) GEQ k`]에서 양수 [eqn: x`]의 범위에서 함수 [eqn: p LEFT ( x RIGHT )`]의 최댓값은 [eqn: h LEFT ( k RIGHT )`]의 값이 존재하는 [eqn: k`]의 최댓값이므로 [eqn: p LEFT ( 4 RIGHT ) =8e ^{-2}`]

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{4} {a LEFT ( t-2 RIGHT ) e ^{- {t} over {2}} dt}][eqn: = LEFT [ a LEFT ( t-2 RIGHT ) LEFT ( -2e _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ) RIGHT ] _{0}^{4} - int _{0} ^{4} {LEFT ( -2ae _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ) dt}][eqn: =-4ae ^{-2} -4a- LEFT [ 4ae _{{matrix{&#&}}}^{- {t} over {2}} RIGHT ] _{0}^{4}][eqn: =-4ae ^{-2} -4a-4ae ^{-2} +4a]
[eqn: =-8ae ^{-2}]

[eqn: p LEFT ( 4 RIGHT )`][eqn: =g LEFT ( 4 RIGHT ) -4f LEFT ( 4 RIGHT )]
[eqn: =-8ae ^{-2} -4 TIMES 2ae ^{-2}]
[eqn: =-16ae ^{-2}]

[eqn: -16ae ^{-2} =8e ^{-2}] 이므로 [eqn: a=- {1} over {2}`], [eqn: b=1`]

따라서 [eqn: 100 LEFT ( a ^{2} +b ^{2} RIGHT ) =125`]