• 수학 영역 [가형] •

정 답

1	④	2	②	3	⑤	4	②	5	③
6	②	7	①	8	③	9	⑤	10	③
11	④	12	⑤	13	③	14	④	15	③
16	①	17	④	18	②	19	⑤	20	①
21	⑤	22	[eqn: 5`]	23	[eqn: 19`]	24	[eqn: 8`]	25	[eqn: 64`]
26	[eqn: 11`]	27	[eqn: 71`]	28	[eqn: 80`]	29	[eqn: 60`]	30	[eqn: 152]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: LEFT ( 4 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} = 4^1 =4 `]

2. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{`2} `12-log _{`2} `3=log _{`2} ` {12} over {3} =log _{`2} `4=2]

3. [출제의도] 부채꼴의 호의 길이 계산하기

[eqn: r=6`], [eqn: theta= 5 over 6 pi `]이고 [eqn: l=r`theta`]이므로 [eqn: l=6 TIMES {5} over {6} pi=5 pi `]

4. [출제의도] 지수함수를 이용하여 식의 값 계산하기

[eqn: 5` ^{x} = sqrt {3} `]이므로 [eqn: 5` ^{2x} =3`], [eqn: 5` ^{-2x} = {1} over {3}]이다.

따라서 [eqn: 5` ^{2x} +5` ^{-2x} =3+ {1} over {3} = {10} over {3} `]이다.

5. [출제의도] 삼각함수의 그래프를 이용하여 삼각함수가 포함된 방정식 이해하기

[eqn: 1`]

[eqn: `y= {1} over {2} `]

[eqn: y`]

[eqn: x`]

[eqn: rmO`]

[eqn: -1`]

[eqn: {pi} over {3} `]

[eqn: pi`]

[eqn: {5} over {3} pi`]

[eqn: 2pi `]

[eqn: y=cos`x]

[eqn: 2cos`x- 1=0`]을 정리하면 [eqn: cos`x= {1} over {2} `]이므로
이 방정식의 해는 함수 [eqn: y=cos`x`]의 그래프와
직선 [eqn: y= {1} over {2} `]이 만나는 점의 [eqn: x`]좌표와 같다.

그러므로 구하는 해는 [eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {5} over {3} pi `]이다.

따라서 모든 해의 합은 [eqn: 2pi`]이다.

6. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2` ^{x+3} -1`]의 그래프의 점근선이 직선
[eqn: y=it-1`]이므로 [eqn: k=it-1`]이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =2` ^{-1+3} -1=2` ^{2} -1=3`]이다.

7. [출제의도] 상용로그표 이해하기

상용로그표에서 [eqn: log`6.04=0.7810`]이므로

[eqn: log sqrt {6.04} ={1} over {2} `log``6.04 = 1 over 2 times 0.7810 = 0.3905`]이다.

8. [출제의도] 삼각함수의 일반각 이해하기

[eqn: sin` LEFT ( {3} over {2} pi + theta RIGHT ) = it -cos` theta `]이다.

원점 [eqn: rm O`]와 점 [eqn: rm P LEFT ( 5`,``12 RIGHT ) `]를 지나는 동경 [eqn: rm OP`]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하면 [eqn: cos`theta= 5 over 13 `]이다.

따라서 [eqn: sin` LEFT ( {3} over {2} pi + theta RIGHT ) = it -cos` theta = it - {5} over {13} `]이다.

9. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: log _{`5} `18= {log`18} over {log`5} = {log`2+2`log`3} over {log`10-log`2} = {a+2b} over {1-a}]

10. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

주어진 삼각함수의 주기가 [eqn: {2 pi } over b = pi ``]이므로

[eqn: b=2`]이다. 이 함수의 최댓값이 [eqn: 4`], 최솟값이 [eqn: -2`]
이므로 [eqn: a+c`=4`], [eqn: -a+c=it-2`]에서 [eqn: a=3`], [eqn: c=1`]이다.

따라서 [eqn: 2a+b+c=9`]이다.

11. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x+a} `]은 [eqn: x`]의 값이 증가하면 [eqn: y`]의 값이 감소하므로 [eqn: x= it -2`]에서 최댓값을 가지고,

[eqn: x=4`]에서 최솟값 [eqn: 1 over 8 `]을 가진다.

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{4+a} = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`3} `]에서 [eqn: 4+a=3`]이므로
[eqn: a=it-1`]이고, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{x-1} `]이다.

따라서 최댓값은 [eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{-3} =8`]이다.

12. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: y=2+log _{`2} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -8`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 그래프를 나타내는 함수는 [eqn: y=log _{`2} `{left(x+8{right)+k+2`]이다.

이 함수의 그래프가 제[eqn: 4`]사분면을 지나지 않으려면 [eqn: x=0`]일 때 함숫값이 [eqn: 0] 이상이어야 한다.

즉, [eqn: log_{`2} `8+k+2 GEQ 0`]에서 [eqn: k GEQ `-5`]이다.

따라서 실수 [eqn: k`]의 최솟값은 [eqn: -5`]이다.

13. [출제의도] 로그함수가 포함된 부등식 이해하기

로그의 진수 조건에 의해 [eqn: x+3>0`], [eqn: x-3>0`]에서

[eqn: x>3] [eqn: cdotscdots`]㉠

[eqn: log _{`4} `LEFT ( x+3 RIGHT ) -log _{`2} `LEFT ( x-3 RIGHT ) ` GEQ `0`]

[eqn: log _{`4} ` LEFT ( x+3 RIGHT ) GEQ log _{`2 ^{2}} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: log _{`4} ` LEFT ( x+3 RIGHT ) GEQ log _{`4} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2}`]

로그의 밑이 [eqn: 1`]보다 크므로 [eqn: LEFT ( x+3 RIGHT ) GEQ LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} ``]이다.

[eqn: x^2 -7x+6 le 0 `]에서 [eqn: 1 LEQ x LEQ 6`] [eqn: cdotscdots`]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 3`<`x` LEQ `6``]이고 자연수 [eqn: x`]는

[eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`]이다.

따라서 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합은 [eqn: 15``]이다.

14. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 15`^x = 8=2`^3`]에서 [eqn: 15= 2`^{ 3 over x } `]이고,

[eqn: a`^y =2 `]에서 [eqn: a= 2`^{ 1 over y } `]이다.

[eqn: 15 times a = 2^{3 over x } times 2^{1 over y} = 2^{3 over x + 1 over y } = 2`^2 =4`]이므로

[eqn: a= 4 over 15 `]이다.

15. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 실생활 문제 해결하기

[eqn: B _{1} `= {k`I` _{0} `r _{1}^{``2}} over {2 LEFT ( x _{1}^{``2} +r _{1}^{``2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}} `],

[eqn: B _{2} `= {k`I` _{0} ` LEFT ( 3r _{1} RIGHT ) ^{2}} over {2 LEFT { LEFT ( 3x _{1} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 3r _{1} RIGHT ) ^{2} RIGHT } ^{{3} over {2}}}][eqn: = {k`I` _{0} ` TIMES 9r _{1}^{``2}} over {2 LEFT ( 9x _{1}^{``2} +9r _{1}^{``2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}} `]

[eqn: = {9k`I` _{0} `r _{1}^{``2}} over {2 TIMES 9 ^{{3} over {2}} LEFT ( x _{1}^{``2} +r _{1}^{``2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}} `][eqn: = {k`I` _{0} `r _{1}^{``2}} over {6 LEFT ( x _{1}^{``2} +r _{1}^{``2} RIGHT ) ^{{3} over {2}}}][eqn: = {1} over {3} B _{1} `]

이므로 [eqn: {B _{`2}} over {B _{`1}} `= {1} over {3} `]이다.

16. [출제의도] 삼각함수의 성질을 이용하여 추론하기

[eqn: 3+2sin ^{2} ` theta =t`]로 놓으면

[eqn: 3+2sin ^{2} ` theta + {1} over {3-2cos ^{2} ` theta } =t+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} t-2 _{{}_{}} ~~~}} ^{{}^{{}^{}}}}]

이다. [eqn: 0< theta <2 pi `]에서 [eqn: t GEQ 3`]이므로

[eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} t-2 _{{} _{}} ~~~}} `][eqn: >0`]이다.

[eqn: t+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} t-2 _{{} _{}} ~~~}} ^{{} ^{{} ^{}}} `} `=`t-2+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} t-2 _{{} _{}} ~~~}} ^{{} ^{{} ^{}}} `} +2` GEQ 4`]

이다. (단, 등호는 [eqn: t-2= {1} over {t-2} `]에서 [eqn: t=`][eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} 3 _{{} _{}} ~~~}} `]
일 때 성립한다.)
따라서 [eqn: 3+2sin ^{2} ` theta =t=3``]일 때 [eqn: theta=`][eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} pi _{{} _{}} ~~~}} `]이고, 이때 [eqn: 3+2sin ^{2} ` theta + {1} over {3-2cos ^{2} ` theta } `]은 최솟값 [eqn: 4`]를

갖는다.

[eqn: f(t)=t-2`], [eqn: p=3`], [eqn: q=pi]이므로

[eqn: f(p)+tan ^{2} ` LEFT ( q+ {pi } over {3} RIGHT ) & =f(3)+tan ^{2} ` LEFT ( pi + {pi } over {3} RIGHT )# & =1+3=4]

이다.

17. [출제의도] 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이 문제해결하기

[eqn: r]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: C]

[eqn: pi over 6]

[eqn: 4-r]

[eqn: r]

[eqn: rm H]

[eqn: rm Q]

반원 [eqn: C`]의 중심을 [eqn: rm Q`], 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 [eqn: rm {bar{OA}} =4`]이므로 [eqn: rm {bar{OQ}} =4-itr`]이다. 선분 [eqn: rm OB`]와

반원 [eqn: C`]의 접점을 [eqn: rm H`]라 하면 [eqn: rm barQH = it r`]이다.

부채꼴의 중심각의 크기가 [eqn: pi over 6 `]이므로

[eqn: sin` {pi } over {6} = {r} over {4-r} = {1} over {2} `]에서 [eqn: r= {4} over {3} `]이다.

따라서 [eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES 4 ^{2} TIMES {pi } over {6} = {4} over {3} pi `],

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES pi TIMES LEFT ( {4} over {3} RIGHT ) ^{2} = {8} over {9} pi `]이므로 [eqn: S _{1} -S _{2} = {4} over {9} pi `]이다.

18. [출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 로그함수문제 해결하기

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm A]

[eqn: rm P]

[eqn: rm B]

[eqn: C]

[eqn: y=log _{`a} `x`]

[eqn: {pi } over {3}]

[eqn: {pi } over {6}]

삼각형 [eqn: rmAPB`]는 빗변의 길이가 [eqn: 2`]인 직각삼각형이고 [eqn: rm bar{AP}=sqrt {3} `]이므로 [eqn: rmangleBAP`= {pi} over {6} `]이다. 원점을 [eqn: rmO`]라 하면 [eqn: rmangleBOP= {pi} over {3} `]이고, 점 [eqn: rmP`]의 좌표는

[eqn: LEFT ( cos` LEFT ( - {pi } over {3} RIGHT ) `,``sin` LEFT ( - {pi } over {3} RIGHT ) RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} `,``- {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) ``]이다.

점 [eqn: rmP`]는 함수 [eqn: y=log _{`a} `x`]의 그래프 위의 점이므로

[eqn: - {sqrt {3}} over {2} =log _{`a} ` {1} over {2} `]이다.

즉, [eqn: a ^{- {sqrt {3}} over {2}} = {1} over {2} `]이므로 [eqn: a ^{{sqrt {3}} over {2}} =2`]이다.

따라서 [eqn: a ^{sqrt {3}} =2` ^{2} =4`]이다.

19. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 명제의 참, 거짓 추론하기

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm H]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

ㄱ. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =h LEFT ( 1 RIGHT ) =a`]이므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1`,``a RIGHT ) `]이다. (참)

ㄴ. 점 [eqn: rm`A`]는 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 교점이므로 점 [eqn: rm`A`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 4`]일 때,
[eqn: log _{`2} `4=2 ^{1-4} +a-1`]이므로 [eqn: a=` {23} over {8}]이다.

[eqn: rm {bar{BD}} `]와 [eqn: rm`barCA`]가 평행하고, [eqn: bar{rmBD}=bar{rmCA}=a]이므로 사각형 [eqn: rm`ACBD`]는 평행사변형이다.
따라서 사각형 [eqn: rm ACBD`]의 넓이는 [eqn: 3 TIMES {23} over {8} = {69} over {8} `]이다. (참)

ㄷ. [eqn: {bar{rm CA it}} ``:` {bar{rm AH` it}} `=3``:`2`]에서 [eqn: 2 rm barCA = 3 barAH `]이다.

점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: k`]라 하면 [eqn: rm barCA = it a`], [eqn: rm {bar{AH}} =log` _{2} `itk`]이므로 [eqn: 2a=3`log _{`2} `k`]이다. [eqn: CDOTS CDOTS `]㉠

또한 점 [eqn: rm`A`]는 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프의 교점이므로 [eqn: log _{`2} `k=2 ^{1-k} +a-1`]이다. [eqn: CDOTS CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 2 ^{1-k} =1- {a} over {3}`]이다.

[eqn: a>0`]에서 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표 [eqn: k`]는 [eqn: 1`]보다 크다.

따라서 [eqn: 0<2`^{1-k} <1`]이다.

그러므로 [eqn: 0<1- {a} over {3} `<1`]에서 [eqn: 0<a<3`]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. [출제의도] 로그함수를 이용하여 함숫값 추론하기

조건 (가)에서 [eqn: LEFT | log _{`3} `a-log _{`3} `b RIGHT | LEQ 1]이므로

[eqn: -1 LEQ log _{`3} `{a} over {b} LEQ 1`]이고 [eqn: {1} over {3} LEQ {a} over {b} LEQ 3`]이다.

이때, [eqn: b>0`]이므로 [eqn: {1} over {3} b LEQ a LEQ 3b`]이다.

조건 (나)에서 [eqn: a=3-b`]이므로 [eqn: {1} over {3} b LEQ 3-b LEQ 3b``]이고, 이 부등식의 해는 [eqn: {3} over {4} LEQ b LEQ {9} over {4} `]이다. 한편,

[eqn: ab= LEFT ( 3-b RIGHT ) b= it - LEFT ( b- {3} over {2} RIGHT ) ^{`2} + {9} over {4} `] [eqn: LEFT ( {3} over {4} {le}b{le} {9} over {4} RIGHT )]

이므로 [eqn: ab`]는 [eqn: b= 3 over 4 `] 또는 [eqn: b= 9 over 4 `]에서
최솟값 [eqn: m= 27 over 16 `]을 가진다.

그러므로 [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) =log _{`3} ` {27} over {16} =3-log _{`3} `16`]이다.

따라서 [eqn: k=16`]이다.

21. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 순서쌍의 개수 문제 해결하기

(ⅰ) [eqn: p`], [eqn: q`]가 모두 홀수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) = root {4} of {9 TIMES 2 ^{p+1}} TIMES root {4} of {9 TIMES 2 ^{q+1}} `]	[eqn: =3 times root {4} of {2^p+q+2}`]

에서 [eqn: p+q+2`]가 [eqn: 4`]의 배수일 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) `]는
자연수이다.

두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]가 각각 [eqn: 10] 이하이므로 조건에 맞는

순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]는

① [eqn: p+q+2=4`]일 때, [eqn: LEFT ( 1`,``1 RIGHT )`]

② [eqn: p+q+2`=8`]일 때, [eqn: left(1`,``5{right)], [eqn: LEFT ( 3`,``3 RIGHT ) `], [eqn: left(5`,``1{right)]

③ [eqn: p+q+2`=12``]일 때, [eqn: left(1`,``9{right)], [eqn: left(3`,``7{right)], [eqn: left(5`,``5{right)],

[eqn: left(7`,``3{right)], [eqn: left(9`,``1{right)]

④ [eqn: p+q+2`=16``]일 때, [eqn: left(5`,``9{right)], [eqn: left(7`,``7{right)], [eqn: left(9`,``5{right)]

⑤ [eqn: p+q+2`=20``]일 때, [eqn: {left(9`,``9{right)]이므로
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 13`]이다.

(ⅱ) [eqn: p`]는 홀수, [eqn: q`]는 짝수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) = root {4} of {9 TIMES 2 ^{p+1}} TIMES root {4} of {4 TIMES 3 ^{q}} = root {4} of {2 ^{p+3} TIMES 3 ^{q+2}} `]

에서 [eqn: p+3`]과 [eqn: q+2`]가 각각 [eqn: 4`]의 배수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) `]는 자연수이다.

두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]가 각각 [eqn: 10] 이하이므로

[eqn: p+3`=4`], [eqn: 8`], [eqn: 12`],

[eqn: q+2`=4`], [eqn: 8`], [eqn: 12`]이고,

조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]는

[eqn: left(1`,``2{right)`], [eqn: left(1`,``6{right)`], [eqn: left(1`,``10{right)`], [eqn: left(5`,``2{right)`], [eqn: left(5`,``6{right)`],

[eqn: left(5`,``10{right)`], [eqn: left(9`,``2{right)`], [eqn: left(9`,``6{right)`], [eqn: left(9`,``10{right)`]이므로

모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 9`]이다.

(ⅲ) [eqn: p`]는 짝수, [eqn: q`]는 홀수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) = root {4} of {4 TIMES 3 ^{p}} TIMES root {4} of {9 TIMES 2 ^{q+1}} = root {4} of {2 ^{q+3} TIMES 3 ^{p+2}} `]

에서 [eqn: q+3`]과 [eqn: p+2`]가 각각 [eqn: 4`]의 배수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) `]는 자연수이다.

두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]가 각각 [eqn: 10`] 이하이므로

[eqn: p+2`=4`], [eqn: 8`], [eqn: 12`],

[eqn: q+3`=4`], [eqn: 8`], [eqn: 12`]이고,

조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT ) `]는

[eqn: left(2`,``1{right)`], [eqn: left(2`,``5{right)`], [eqn: left(2`,``9right)`], [eqn: left(6`,``1{right)`], [eqn: left(6`,``5{right)`], [eqn: left(6`,``9{right)`],     [eqn: left(10`,``1{right)`], [eqn: left(10`,``5{right)`], [eqn: left(10`,``9{right)`]이므로

모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 9`]이다.

(ⅳ) [eqn: p`], [eqn: q`]가 모두 짝수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) = root {4} of {4 TIMES 3 ^{p}} TIMES root {4} of {4 TIMES 3 ^{q}} `][eqn: =2` TIMES root {4} of {3 ^{p+q}} `]

에서 [eqn: p+q`]가 [eqn: 4`]의 배수일 때,

[eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) `]는 자연수이다.

두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]가 각각 [eqn: 10`] 이하이므로

조건에 맞는 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]는

① [eqn: p+q=4``]일 때, [eqn: left(2`,``2right)`]

② [eqn: p+q=8`]일 때, [eqn: left(2`,``6right)], [eqn: left(4`,``4right)], [eqn: left(6`,``2right)]

③ [eqn: p+q=12``]일 때, [eqn: left(2`,``10right)], [eqn: left(4`,``8right)], [eqn: left(6`,``6{right)],

[eqn: left(8`,``4right)], [eqn: left(10`,``2{right)]

④ [eqn: p+q=16``]일 때, [eqn: left(6`,``10{right)], [eqn: left(8`,``8{right)], [eqn: left(10`,``6{right)]

⑤ [eqn: p+q=20``]일 때, [eqn: left(10`,``10{right)]이므로
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 13`]이다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해

구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT )`]의 개수는 [eqn: 44`]이다.

22. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: root {3} of {5} TIMES root {3} of {25} = root {3} of {5 ^{3}}=5`]

23. [출제의도] 삼각함수 사이의 관계를 이용하여 함숫값 계산하기

[eqn: cos ^{2} ` theta =1-sin ^{2} ` theta =1- {17} over {36} = {19} over {36} `]이므로

[eqn: 36cos ^{2} ` theta =19`]이다.

24. [출제의도] 로그의 정의 이해하기

로그의 밑 조건에 의해 [eqn: a+3>0`], [eqn: a+3 != 1`]에서

[eqn: a> it -3`], [eqn: a != -2`]이다.

로그의 진수 조건에 의해 [eqn: -a ^{2} +3a+28>0`]에서

[eqn: a ^{2} -3a-28<0`]이므로 [eqn: -4<a<7`]이다.

두 조건을 동시에 만족하는 범위는

[eqn: -3<a< it -2] 또는 [eqn: -2<a<7`]이므로

정수 [eqn: a`]는 [eqn: -1`], [eqn: 0`], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`]이다.

따라서 모든 정수 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 8`]이다.

25. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이용하여 로그함수가 포함된 방정식 문제 해결하기

[eqn: rm A it LEFT ( k`,``1+log _{`2} `k RIGHT ) `], [eqn: rm B it LEFT ( k`,``log _{`4} `k` RIGHT ) `]이고 [eqn: k>1`]이므로

[eqn: rm {bar{AB}} = LEFT ( 1+log _{`2} ` it k RIGHT ) -log _{`4} ` it k=1+ {1} over {2} `log _{`2} it `k=4`]에서

[eqn: log _{`2} `k=6`]이다. 따라서 [eqn: k=2^6 = 64 `]이다.

26. [출제의도] 거듭제곱근 이해하기

[eqn: x^a =b`]에서 [eqn: x`]는 [eqn: b`]의 [eqn: a`]제곱근이다.

(ⅰ) [eqn: a=5`]일 때,

[eqn: b`]의 [eqn: 5`]제곱근 중에서 실수인 것은 [eqn: b`]의 값에 관계    없이 오직 하나 존재한다. 따라서 실수인 [eqn: x`]는

[eqn: root 5 of -3`], [eqn: root 5 of -2`], [eqn: root 5 of 2`], [eqn: root 5 of 3`], [eqn: root 5 of 4`]

이므로 개수는 [eqn: 5`]이다.

(ⅱ) [eqn: a=6`]일 때,

① [eqn: b>0`], 즉 [eqn: b=2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`]일 때, [eqn: b`]의 [eqn: a`]제곱근 중
실수인 것은 양수와 음수 각각 한 개씩 존재한다.

따라서 실수인 [eqn: x`]는 [eqn: root6 of 2`], [eqn: -root6 of 2`], [eqn: root6 of 3`], [eqn: -root6 of 3`],     [eqn: root6 of 4`], [eqn: -root6 of 4`]이므로 개수는 [eqn: 6`]이다.

② [eqn: b<0`], 즉 [eqn: b= it -3`], [eqn: -2`]일 때, [eqn: b`]의 [eqn: a`]제곱근 중
실수인 것은 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 공통인 [eqn: x`]의 값은 존재하지 않는다.

따라서 [eqn: n LEFT ( C` RIGHT ) `=11`]이다.

27. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 지수함수가 포함된 부등식 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{f LEFT ( x RIGHT )} ` LEQ 4 ^{x} =2` ^{2x} `]에서 밑이 [eqn: 1`]보다 크므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x`]이다. 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 직선 [eqn: y=2x`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 구하자.

[eqn: rm O]

[eqn: 6]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=2x]

[eqn: 12]

[eqn: {6} over {5} `]

(ⅰ) [eqn: x<3`]일 때, [eqn: -3x+6=2x`]에서 [eqn: x= {6} over {5} `]

(ⅱ) [eqn: x ge 3 `]일 때, [eqn: 3x-12=2x`]에서 [eqn: x=12`]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 부등식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) LEQ 2x`]의 해는

[eqn: {6} over {5} LEQ x LEQ 12`]이므로 실수 [eqn: x`]의 최댓값 [eqn: M`]은 [eqn: 12`]이고 최솟값 [eqn: m`]은 [eqn: {6} over {5} `]이다.

따라서 [eqn: M+m=12+ {6} over {5} = {66} over {5} `]이고 [eqn: p+q=71`]이다.

28. [출제의도] 로그의 정의를 이용하여 함숫값 문제 해결하기

[eqn: 2 LEQ log _{`n} `k<3`]에서 [eqn: n^2 le k < n^3 `]이고

로그의 밑 조건에 의해 [eqn: n>1`]이다.

[eqn: 1`]보다 큰 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: n ^{2} {le}k<n ^{3} `]을 만족시키는 [eqn: 100`]이하의 자연수 [eqn: k`]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: n=2`]: [eqn: 4 le k < 8 `]에서 [eqn: k=4`,``5`,``6`,``7`]

[eqn: n=3 `]: [eqn: 9 le k < 27 `]에서 [eqn: k=9`,``10`,``cdots`,``26`]

[eqn: n=4`]: [eqn: 16 le k < 64 `]에서 [eqn: k=16`,``17`,``cdots`,``63`]

[eqn: n=5`]: [eqn: 25 le k < 125`]에서 [eqn: k=25`,``26`,``cdots`,``100`]

[eqn: n=6`]: [eqn: 36 le k<216`]에서 [eqn: k=36`,``37`,``cdots`,``100`]

[eqn: n=7`]: [eqn: 49 le k < 343`]에서 [eqn: k=49`,``50`,``cdots`,``100`]

[eqn: n=8`]: [eqn: 64le k < 512`]에서 [eqn: k=64`,``65`,``cdots`,``100`]

[eqn: n=9`]: [eqn: 81 le k<729`]에서 [eqn: k=81`,``82`,``cdots`,``100`]

[eqn: n=10]: [eqn: 100 le k < 1000`]에서 [eqn: k=100]

그러므로 [eqn: k`]의 값에 따라 조건을 만족시키는 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) `]를 구하면 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: k=1`,``2`,``3`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =0`]

(ⅱ) [eqn: k=4`,``5`,``6`,``7`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1`]

(ⅲ) [eqn: k=8`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =0`]

(ⅳ) [eqn: k=9`,``10`,``cdots`,``15`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =1`]

(ⅴ) [eqn: k=16`,``17`,``cdots`,``24`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =2`]

(ⅵ) [eqn: k=25`,``26`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3`]

(ⅶ) [eqn: k=27`,``28`,``cdots`,``35`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =2`]

(ⅷ) [eqn: k=36`,``37`,``cdots`,``48`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =3`]

(ⅸ) [eqn: k=49`,``50`,``cdots`,``80`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =4`]

(ⅹ) [eqn: k=81`,``82`,``cdots`,``99`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =5`]

(ⅺ) [eqn: k=100`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =6`]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =4`]가 되도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 80`]이다.

29. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 도형의 넓이 문제 해결하기

조건 (가)에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2 ^{x} -1~~~`` LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT )#`2-2 ^{x-1} ~`` LEFT ( 1<`x LEQ 2 RIGHT ) `}}]

이고, 조건 (나)에서

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때, [eqn: 2f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-2 RIGHT ) `] [eqn: LEFT (2 < x le 4 RIGHT ) `]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} f LEFT ( x-2 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-3} - {1} over {2}&`` LEFT ( 2<x LEQ 3 RIGHT )#1-2 ^{x-4}~&`` LEFT ( 3<x LEQ 4 RIGHT )}}]

(ⅱ) [eqn: n=2`]일 때, [eqn: 2 ^{2} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-4 RIGHT ) `] [eqn: LEFT (4 < x le 6 RIGHT ) `]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {4} f LEFT ( x-4 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-6} - {1} over {4}&`` LEFT ( 4<x LEQ 5 RIGHT )#{1} over {2} -2 ^{x-7} ~&`` LEFT ( 5<x LEQ 6 RIGHT )}}]

(ⅲ) [eqn: n=3`]일 때, [eqn: 2 ^{3} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-6 RIGHT ) `] [eqn: LEFT (6 < x le 8 RIGHT ) `]

즉, [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {8} f LEFT ( x-6 RIGHT ) `]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{2 ^{x-9} - {1} over {8}&`` LEFT ( 6<x LEQ 7 RIGHT )#{1} over {4} -2 ^{x-10} ~&`` LEFT ( 7<x LEQ 8 RIGHT )}}]

이다. 따라서 [eqn: 0 le x le 8`]에서

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: {1} over {4} `]

[eqn: {1} over {8} `]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: 0 LEQ x LEQ 1`]에서 함수 [eqn: y=2 ^{x} `-1]의 그래프를 [eqn: x`]축에

대하여 대칭이동한 후 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동한 그래프는

[eqn: 1 LEQ x LEQ 2``]에서 함수 [eqn: y=2-2 ^{x-1`} `]의 그래프와 일치한다. 그림에서 색칠한 두 부분의 넓이가 서로 같으므로 [eqn: 0 le x le 2 `]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1`]이다.

같은 방법으로 [eqn: 2 le x le 4 `]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의

그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 2 `],

[eqn: 4 le x le 6 `]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 4 `],

[eqn: 6 le x le 8`]에서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 8 `]이다.

따라서 [eqn: S=1+ {1} over {2} + {1} over {4} + {1} over {8} = {15} over {8} `]이므로

[eqn: 32S``=60`]이다.

30. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 순서쌍의 개수 추론하기

(ⅰ) [eqn: a=c`]일 때,

① [eqn: k <24`]일 때, 조건을 만족시키는 순서쌍은
존재하지 않는다.

② [eqn: 24`le`k``<500`]일 때,

[eqn: a ^{{1} over {b}} TIMES c ^{{1} over {d}} `= 24^{1overb} TIMES 24 ^{{1} over {d}} `= 24^{ 1overb + 1overd} = 24^ {1over5}`]

따라서 [eqn: {1} over {b} + {1} over {d} = {b+d} over {bd} = {1} over {5} `]이므로

[eqn: bd=5 LEFT ( b+d RIGHT ) `]이고

[eqn: bd - 5b-5d = 0`]이 되어 [eqn: LEFT ( b-5 RIGHT ) LEFT ( d-5 RIGHT )=25`]이다.

[eqn: b-5`]	[eqn: 1`]	[eqn: 5`]	[eqn: 25`]
[eqn: d-5`]	[eqn: 25`]	[eqn: 5`]	[eqn: 1`]

[eqn: LEFT ( b`,``d RIGHT )= LEFT ( 6`,``30 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 10`,``10 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 30`,``6 RIGHT )`]이다.

[eqn: 24 le k <30`]이면 조건을 만족시키는 순서쌍
[eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]는 [eqn: LEFT ( 24`,``10`,``24`,``10 RIGHT )`]이므로 모든
순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는 [eqn: 1`]이다.

[eqn: 30 LEQ k<500`]이면 조건을 만족시키는 순서쌍
[eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]는 [eqn: LEFT ( 24`,``6`,``24`,``30 RIGHT )`], [eqn: LEFT ( 24`,``10`,``24`,``10 RIGHT )`],   [eqn: LEFT ( 24`,``30`,``24`,``6 RIGHT )`]이므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의   개수는 [eqn: 3`]이다.

(ⅱ) [eqn: a != c`]일 때,

[eqn: 24^{1over5}`][eqn: = LEFT ( 2 TIMES 12 RIGHT ) ^{{1} over {5}} `=`2 ^{{1} over {5}} TIMES 12 ^{{1} over {5}} `]

[eqn: = LEFT ( 2 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 12 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}} `]   [eqn: cdotscdots`]㉠

[eqn: 24^{1over5}`][eqn: = LEFT ( 3 TIMES 8 RIGHT ) ^{{1} over {5}} `=`3 ^{{1} over {5}} TIMES 8 ^{{1} over {5}}`]

[eqn: = LEFT ( 3 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 8 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}} `]   [eqn: cdotscdots`]㉡

[eqn: 24^{1over5}`][eqn: = LEFT ( 4 TIMES 6 RIGHT ) ^{{1} over {5}} `=`4 ^{{1} over {5}} TIMES 6 ^{{1} over {5}} `]                            [eqn: = LEFT ( 4 ^{p} RIGHT ) ^{{1} over {5p}} TIMES LEFT ( 6 ^{q} RIGHT ) ^{{1} over {5q}} `]   [eqn: cdotscdots`]㉢

[eqn: 24 ^{{1} over {5}} `=(24 ^{2} ) ^{{1} over {10}} = LEFT ( 24 ^{3} RIGHT ) ^{{1} over {15}} = LEFT ( 24 ^{4} RIGHT ) ^{{1} over {20}} =` CDOTS `][eqn: cdotscdots`]㉣

의 네 가지 경우가 있다.

한편, ㉠, ㉡, ㉢에서 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 값이 커지   면 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`,``b`,``c`,``d RIGHT ) `]의 개수도 증가한다.

[eqn: 2` ^{p}], [eqn: 3` ^{p} `], [eqn: 4` ^{p} `], [eqn: 6` ^{q} `], [eqn: 8` ^{q} `], [eqn: 12` ^{q} `]의 값은 각각 [eqn: 2] 이상
[eqn: k] 이하이므로 ㉠, ㉡, ㉢에서

[eqn: 2 ^{6} =64`], [eqn: 3` ^{4} =81`], [eqn: 2` ^{7} =128`], [eqn: 12 ^{2} `=`144`], …을 이용   하여 조건을 만족하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( a`,``b`,``c`,``d RIGHT ) `]의 개   수가 [eqn: 59`]인 경우를 찾아보자.

① [eqn: 64 le k < 81`]일 때,

㉠에서 [eqn: p= 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`], [eqn: q=1`],
즉, [eqn: 5p=5`], [eqn: 10`], [eqn: 15`], [eqn: 20`], [eqn: 25`], [eqn: 30`], [eqn: 5q=5`]이다.

그런데 [eqn: a=2`^p `], [eqn: c=12`^q`]인 경우와

[eqn: a=12`^q`], [eqn: c=2`^p`]인 경우가 있고 각각의 경우

순서쌍의 개수는 같으므로 모든 순서쌍

[eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는 [eqn: 6` times 1 TIMES 2=12`]이다.

㉡에서 [eqn: p= 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: q=1`], [eqn: 2`],

즉, [eqn: 5p=5`], [eqn: 10`], [eqn: 15`], [eqn: 5q=5`], [eqn: 10`]이다.

그런데 [eqn: a=3`^p`], [eqn: c=8`^q`]인 경우와 [eqn: a=8`^q`], [eqn: c=3`^p`]인     경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는

같으므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는

[eqn: 3 times 2 TIMES 2=12`]이다.

㉢에서 [eqn: p= 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: q=1`], [eqn: 2`],

즉, [eqn: 5p=5`], [eqn: 10`], [eqn: 15`], [eqn: 5q=5`], [eqn: 10`]이다.

그런데 [eqn: a=4`^p`], [eqn: c=6`^q`]인 경우와 [eqn: a=6`^q`], [eqn: c=4`^p`]인     경우가 있고 각각의 경우 순서쌍의 개수는

같으므로 모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는

[eqn: 3 times 2 TIMES 2=12`]이다.

한편, 음이 아닌 세 정수 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]와 [eqn: 2`]이상인 자연수     [eqn: n`]에 대하여

[eqn: LEFT ( 24^n RIGHT )^{1 over 5n} = LEFT ( 2^3n times 3^n RIGHT )^{1 over 5n}]

[eqn: = LEFT { LEFT ( 2^p times 3^q RIGHT )^r times 2^3n-pr times 3^n-qr RIGHT }^{1 over 5n}]

이 성립한다. ㉣에서 ㉠, ㉡, ㉢ 이외의 순서쌍을     구하기 위해 위 식의 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`], [eqn: n`]에 자연수를 순차     적으로 대입하자. [eqn: a`] 또는 [eqn: c`]가 [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 6`], [eqn: 8`],       [eqn: 12`]의 거듭제곱이 아닌 경우를 모두 구하면 다음     과 같다.

[eqn: 24 ^{{1} over {5}} `=(24 ^{2} ) ^{{1} over {10}}]

[eqn: =18 ^{{1} over {10}} TIMES 32 ^{{1} over {10}}][eqn: = 18 ^{1 over 10 } times 2 ^{1 over 2 } = 18^{1 over 10 } times 4^{1 over 4}]

[eqn: = 18^{1 over 10} times 8^{1 over 6}][eqn: = 18 ^{1 over 10 } times 16^{1 over 8} = 18^{1 over 10} times 64 ^{1 over 12}]

[eqn: =12 ^{{1} over {10}} TIMES 48 ^{{1} over {10}}][eqn: = 72 ^{{1} over {10}} times 8 ^{{1} over {10}} `][eqn: = 72 ^{{1} over {10}} times 64 ^{{1} over {20}}`],

[eqn: 24^{1 over 5 } = LEFT ( 24^7 RIGHT )^{1 over 35} = 48^{1 over 7 } times 18^{1 over 35 }]

따라서 ㉣에서 ㉠, ㉡, ㉢ 이외의 모든 순서쌍       [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는 [eqn: k <72`]일 때 [eqn: 8 times 2 =16`],      [eqn: k ge 72`]일 때 [eqn: 10 times 2=20`]이다.

그러므로 (ⅰ)과 (ⅱ)의 ①에서 [eqn: 64 le k <72`]일 때      모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의 개수는

[eqn: 3+12+12+12+16=55`]이므로 조건에 맞지 않고     [eqn: 72 le k <81`]일 때에는 모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]의      개수는 [eqn: 3+12+12+12+20=59`]이므로 조건에 맞다.

그러므로 [eqn: k`]의 최솟값 [eqn: m`]은 [eqn: 72`]이다.

② [eqn: k=81`]일 때,

㉡에서 [eqn: p= 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: q=1`], [eqn: 2`],

즉, [eqn: 5p=5`], [eqn: 10`], [eqn: 15`], [eqn: 20`], [eqn: 5q=5`], [eqn: 10`]이다.

①에서 구한 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`] 이외에도 [eqn: 2`]              개 이상의 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d{right)`]가 더 생긴다. 따라서        주어진 조건을 만족하지 않는다.

그러므로 [eqn: k`]의 최댓값 [eqn: M`]은 [eqn: 80`]이다.

따라서 [eqn: M+m=`80+72=`152`]이다.