• 수학 영역 •

수학 A 형 정답

1	④	2	①	3	⑤	4	②	5	⑤
6	⑤	7	④	8	③	9	④	10	②
11	③	12	①	13	①	14	③	15	⑤
16	③	17	①	18	④	19	②	20	②
21	③	22	[eqn: 50]	23	[eqn: 7]	24	[eqn: 31]	25	[eqn: 4]
26	[eqn: 16]	27	[eqn: 317]	28	[eqn: 3]	29	[eqn: 81]	30	[eqn: 73]

해 설

1. [출제의도] 지수가 유리수인 수들의 곱을 계산한다.

[eqn: 2 ^{`-1} = {1} over {2} `], [eqn: 36 ^{` {1} over {2}} = sqrt {36} = sqrt {6 ^{2}} =6`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: 2 ^{-1} ` TIMES `36 ^{{1} over {2}} `][eqn: = {1} over {2} TIMES 6=3]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 실수배의 뜻을 알고, 이를 계산한다.

[eqn: 2A=`][eqn: 2 {pmatrix{`-3`&`1`#````````2`&`4`}} `][eqn: = {pmatrix{`-6`&`2`#````````4`&`8`}} `], [eqn: B=][eqn: {pmatrix{`2`&`````````3`#`4`&``-1`}} `]이므로

[eqn: 2A+B`][eqn: = {pmatrix{`-6`&`2`#````````4`&`8`}} `+ {pmatrix{`2`&`````````3`#`4`&``-1`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`-4`&`5`#````````8`&`7`}} `]

3. [출제의도] 행렬의 곱셈과 분배법칙을 이용하여 계산한다.

[eqn: A(B+C``)`][eqn: = {pmatrix{````````4&`3`#`-2`&`1`}} left{` {pmatrix{`1`&``2`#`6`&``0`}} `+ {pmatrix{````````2`&```0`#`-7`&```3`}} `right]

[eqn: = {pmatrix{````````4&`3`#`-2`&`1`}} {pmatrix{`````````3`&``2`#`-1`&``3`}} `][eqn: = {pmatrix{````````9``&```17#-7`&`-1`}} `]

[다른풀이]

행렬의 연산에 대한 분배법칙을 적용하면

[eqn: A(B+C````)][eqn: =AB+AC`]

[eqn: AB= {pmatrix{````````4&`3`#`-2`&`1`}} ` {pmatrix{`1`&``2`#`6`&``0`}} `][eqn: = {pmatrix{`22&````````8`#`4`&`-4`}} `]

[eqn: AC= {pmatrix{````````4&`3`#`-2`&`1`}} ` {pmatrix{````````2`&```0`#`-7`&```3`}} `][eqn: = {pmatrix{``-13&```9`#``-11`&```3`}} `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: AB+AC`][eqn: = {pmatrix{`22&````````8`#`4`&`-4`}} ``+ {pmatrix{``-13&```9`#``-11`&```3`}} `][eqn: ={pmatrix{````````9``&```17#-7`&`-1`}} `]

4. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 구한다.

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{-1`&`a`#```````a`&`1`}} ` {pmatrix{-1`&`a`#````````a`&`1`}}][eqn: = {pmatrix{1+a ^{2}&``0#0&a ^{2} +1}}]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`4`&`0`#`0`&`4`}} `]이므로 [eqn: {pmatrix{1+a ^{2}&``0#0&a ^{2} +1}}][eqn: = {pmatrix{`4`&`0`#`0`&`4`}} `]에서 각각의 성분이 같아야 하므로 [eqn: 1+a ^{2} =4`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a ^{2} =3`]

5. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 지수방정식의 해를 구한다.

[eqn: 4 ^{`x} =32`]에서 [eqn: 2 ^{`2x} =2 ^{5} `]

[eqn: 2x=5`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: x= {5} over {2} `]

[eqn: 8 ^{`y} =16`]에서 [eqn: 2 ^{`3y} =2 ^{4} `]

[eqn: 3y=4`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: y= {4} over {3} `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: 2x+3y`][eqn: =2 TIMES {5} over {2} +3 TIMES {4} over {3}][eqn: =9`]

[참고]

지수함수 [eqn: y=2 ^{`x} `]은 일대일 함수이다. 따라서 [eqn: 2 ^{`x _{1}} =2 ^{`x _{2}} `]이면 [eqn: x _{1} =x _{2} `]이다.

6. [출제의도] 행렬의 역행렬을 이용하여 값을 구한다.

[eqn: B= {pmatrix{`-3`&`````````5`#````````1`&``-2`}} `]의 역행렬을 구하면

[eqn: B ^{-1} = {1} over {(-3) TIMES (-2)-5 TIMES 1} {pmatrix{-2&````-5#-1&````-3}}]

[eqn: = {pmatrix{-2&````-5#-1&````-3}}]

[eqn: A+B ^{-1} = {pmatrix{`3`&`a`#`1`&`4`}} +` {pmatrix{-2&````-5#-1&````-3}}][eqn: = {pmatrix{`1`&``a-5`#`0`&``1`}}]

[eqn: A+B ^{`-1} =E`]이므로 [eqn: a-5=0`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a=5`]

7. [출제의도] 행렬을 이용하여 연립일차방정식의 해의 조건에 맞는 값을 구한다.

주어진 연립방정식을

[eqn: {pmatrix{`5-k`&``4`#`3`&``3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}} `] [eqn: CDOTS `]㉠

이라 하면 ㉠이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가져야 하므로 행렬 [eqn: {pmatrix{`5-k`&``4`#`3`&``3`}} `]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 왜냐하면 행렬 [eqn: {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} `]이 역행렬을 가진다고 가정하면 다음과 같은 모순이 생긴다.

이 행렬의 역행렬을  [eqn: {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} ^{-1} `]이라 하자.

이 역행렬을 ㉠의 양변의 왼쪽에 곱하면

[eqn: {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} ^{-1} {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} ^{-1} {pmatrix{`0`#`0`}} `]

즉, [eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`5-k`&`4`#`3`&`3`}} ^{-1} {pmatrix{`0`#`0`}} `][eqn: = {pmatrix{`0`#`0`}} `]이 되어 해는 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 뿐이다. 이는 ㉠이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖는다는 조건에 모순이므로 행렬 [eqn: {pmatrix{`5-k`&``4`#`3`&``3`}} `]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서

[eqn: (5-k) TIMES 3-4 TIMES 3=0`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: k=1]

[다른풀이]

주어진 연립방정식

[eqn: {pmatrix{`5-k`&``4`#`3`&``3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`0`#`0`}} `]

을 정리하면

[eqn: {cases{(5-k)x+4y=0&#3x+3y=0&}} `]

와 같이 나타낼 수 있다. 이 연립방정식이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가져야 하므로 해가 무수히 많아야 한다.

[eqn: 3x+3y=0`]에서 [eqn: y=-x`]이므로 이를 [eqn: (5-k)x+4y=0`]에 대입하여 [eqn: x`]에 관하여 정리하면,

[eqn: (1-k)x=0`]

위 등식이 [eqn: x`]의 값에 관계없이 항상 성립해야 하므로 [eqn: 1-k=0] [eqn: THEREFORE ````][eqn: k=1`]

8. [출제의도] 지수법칙을 이해하고 식을 간단히 한다.

[eqn: sqrt {a} TIMES {root {3} of {a ^{`2}}} over {a} `]

[eqn: =a ^{{1} over {2}} TIMES {a ^{{2} over {3}}} over {a}]

[eqn: =a ^{{1} over {2} + {2} over {3} -1} `]

[eqn: =a ^{{1} over {6}} `]

한편 [eqn: root {n} of {a} =a ^{{1} over {n}} `]이므로

[eqn: {1} over {6} = {1} over {n} `][eqn: THEREFORE ````][eqn: n=6]

9. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추측하여 조건에 맞는 값을 구한다.

[eqn: A= {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} `]에서

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} ` {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} `][eqn: `= {pmatrix{`1`&```0`#`0`&```1`}} `][eqn: =E``]이므로

[eqn: A ^{2012} =(A ^{2} ) ^{1006} `=E ^{1006} =E`]

따라서

[eqn: A ^{2012} ` {pmatrix{`p`#`q`}} =][eqn: E` {pmatrix{`p`#`q`}} = {pmatrix{`p`#`q`}} = {pmatrix{`-2`#````````3`}} `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: p=-2], [eqn: q=3]이므로 [eqn: p+q=1`]

[참고]

케일리-해밀턴 정리에 의하면

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a`&```b`#`c`&```d`}} `]에 대하여 등식

[eqn: A ^{2} -(a+d)A+(ad-b`c)E=O`]

이 항상 성립한다.

따라서 [eqn: A= {pmatrix{`-2`&```3`#`-1`&```2`}} `]에 대하여 다음과 같이 성립한다.

[eqn: A ^{2} -(-2+2)`A`+ LEFT { (-2) TIMES ``2-3 TIMES (-1) RIGHT } E=O``]

[eqn: A ^{2} -E=O``]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: A ^{2} =E`]

10. [출제의도] 조건에 맞는 행렬을 이해하고 그 결과를 파악한다.

행렬 [eqn: A`]의 거듭제곱을 차례로 구해 보면

[eqn: A= {pmatrix{````````0``&``1#-1`&```0`}} `]

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{````````0``&``1#-1`&```0`}} ` {pmatrix{````````0``&``1#-1`&```0`}} `][eqn: =` {pmatrix{`-1``&`````````0#``````0`&``-1`}} `=-E`]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A=-EA=-A`=][eqn: {pmatrix{``0``&`-1#1`&`````````0`}} `]

[eqn: A ^{4} = LEFT ( A ^{2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( -E RIGHT ) ^{2} =E`]

[eqn: A ^{5} =A ^{4} `A`=E`A`=A`]

[eqn: A ^{6} =A ^{4} `A ^{2} `=E`(-E)`=-E`]

[eqn: CDOTS]

위와 같이 반복되어 나타난다. 따라서 음이 아닌 자연수 [eqn: k]에 대하여 다음과 같이 성립한다.

ⅰ) [eqn: n=4k`]이면 [eqn: A ^{n} = LEFT ( A ^{4} RIGHT ) ^{k} =E ^{k} =E`]

ⅱ) [eqn: n=4k+1`]이면 [eqn: A ^{n} = LEFT ( A ^{4} RIGHT ) ^{k} A=E ^{n} A=EA=A`]

ⅲ) [eqn: n=4k+2`]이면

[eqn: A ^{n} = LEFT ( A ^{4} RIGHT ) ^{k} A ^{2} =E ^{n} A ^{2} =E(-E)=-E`]

ⅳ) [eqn: n=4k+3`]이면

[eqn: A ^{n} = LEFT ( A ^{4} RIGHT ) ^{k} A ^{3} =E ^{n} A ^{3} =E(-A)=-A`]

따라서 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A ^{n} `]은 네 행렬

[eqn: A`], [eqn: -A`], [eqn: E`], [eqn: -E`] 중에서 어느 하나와 일치한다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: S= LEFT { A,``-E,``-A,``E` RIGHT } `]이므로 집합 [eqn: S`]의 원소의 개수는 [eqn: 4`]이다.

[참고]

케일리-해밀턴 정리에 의하면

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`a`&```b`#`c`&```d`}} `]에 대하여 등식

[eqn: A ^{2} -(a+d)A+(ad-b`c)E=O`]

이 항상 성립한다.

따라서 [eqn: A= {pmatrix{````````0``&``1#-1`&```0`}} `]에 대하여 다음과 같이 성립한다.

[eqn: A ^{2} -(0+0)`A`+ LEFT { 0 TIMES 0-1` TIMES (-1) RIGHT } E=O``]

[eqn: A ^{2} +E=O``] [eqn: THEREFORE ````][eqn: A ^{2} =-E`]

11. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하여 대소 관계를 구한다.

지수함수 [eqn: y=3 ^{`x} `]에서 밑이 [eqn: 3`]이므로 [eqn: 1`]보다 크다. 따라서 함수 [eqn: y=3 ^{`x} `]의 그래프에서 [eqn: x`]의 값이 증가하면 [eqn: y`]의 값도 증가한다. 즉, [eqn: m<n`]이면 [eqn: 3 ^{`m} <3` ^{n} `]이 성립한다.

주어진 조건에서

[eqn: a=3`], [eqn: b= root {3} of {9} =3 ^{{2} over {3}} `]

한편 지수함수의 성질에 의하여

[eqn: {2} over {3} <1]이므로 [eqn: 3 ^{` {2} over {3}} <3 ^{1} `]

따라서 [eqn: b=3 ^{` {2} over {3}} <3 ^{1} =a `] [eqn: THEREFORE ````][eqn: b`<`a`] [eqn: CDOTS `]㉠

또, [eqn: 0< {2} over {3}]이므로 [eqn: 3 ^{0} <3 ^{{2} over {3}} `], 즉 [eqn: 1<b`]

따라서 [eqn: 3 ^{1} <3 ^{b} `]이므로 [eqn: a<a ^{b} `] [eqn: CDOTS `]㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: b<a<a ^{b} `]

[다른풀이]

함수 [eqn: y=3 ^{`x} `]의 그래프와 [eqn: y=x`]의 그래프를 이용하여 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: a ^{b} `]의 대소 관계를 표현하면 다음과 같다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: b<a<a ^{b} `]

12. [출제의도] 지수함수를 이해하고 합성함수의 그래프의 개형을 구한다.

합성함수 [eqn: y=(g` CIRC `f)(x)]는 다음과 같다.

[eqn: y=(g` CIRC `f)(x)=g` LEFT ( f(x) RIGHT ) `][eqn: =g(x-1)`][eqn: =3 ^{` LEFT | `x-1` RIGHT |} `]

따라서 [eqn: g(f(x))= {cases{3` ^{x-1}&````(x GEQ 1)#3 ^{`-(x-1)}&````(x<1)}} `]

ⅰ) [eqn: x GEQ 1`]일 때,

[eqn: y=3` ^{x-1}]의 그래프는 [eqn: y=3` ^{`x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동시킨 것이다.

ⅱ) [eqn: x<1`]일 때,

[eqn: 3 ^{-(x-1)} = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{`x-1} `]이므로 [eqn: y=3` ^{-(x-1)} `]의 그래프는 [eqn: y= LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x}]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 평행이동시킨 것이다.

ⅰ), ⅱ)에 의하여 [eqn: y=(g` CIRC `f)(x)`]의 그래프의 개형을 그리면 다음과 같다.

13. [출제의도] 생태계의 먹이 사슬 관계를 행렬로 표현하고 이를 해석한다.

각 생물을 꼭짓점으로 하고 연결선을 변으로 하는 그래프는 다음과 같다.

한편 위 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이

	[eqn: rm A``][eqn: rm B```][eqn: RMC```][eqn: RMD```][eqn: rm E```]
[eqn: rm A``] [eqn: RMB``] [eqn: RMC``] [eqn: RMD``] [eqn: RME``]	[eqn: {pmatrix{``0``&``1``&``1``&``1``&``0``#``1``&``0``&``1``&``0``&``1``#``1``&``1``&``0``&``0``&``1``#``1``&``0``&``0``&``0``&``1``#``0``&``1``&``1``&``1``&``0``}}]

이므로 제[eqn: `i`]행에 있는 모든 성분의 합은 제[eqn: `i`]행에 해당하는 생물이 먹이 사슬 관계를 가지는 생물의 수와 일치한다. 각 행의 모든 성분의 합은 [eqn: 3`], [eqn: 3`], [eqn: 3`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]이다. 따라서 제[eqn: `4`]행에 해당하는 생물 [eqn: rm D`]는 [eqn: 2`]개의 생물과 먹이 사슬 관계를 맺고 있으므로 ‘풀’이다.

14. [출제의도] 행렬의 역행렬과 거듭제곱을 이용하여 행렬의 성질을 증명한다.

[eqn: A= {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]를 [eqn: T``]의 원소라 하면 어떤 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: A ^{n} =O`] [eqn: CDOTS `](*)

이다.

(ⅰ) [eqn: n LEQ 2`]일 때, [eqn: A IN S``]이다.

(ⅱ) [eqn: n GEQ 3`]일 때, [eqn: A`]가 역행렬을 갖는다고 하자.

(*)의 양변에 [eqn: LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{n-1} `]을 곱하면 [eqn: A=O`]

그런데 영행렬 [eqn: O`]는 역행렬을 갖지 않으므로 모순이다.

그러므로 [eqn: A`]의 역행렬이 존재하지 않는다. 따라서

이다.

[eqn: ad-bc=0`]

이때, [eqn: A` ^{2}][eqn: = {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} ` {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: = {pmatrix{`a ^{2} +bc&```ab+bd``#`ac+cd&```bc+d ^{`2} `}} `]

[eqn: = {pmatrix{`a ^{2} +ad&```ab+bd``#`ac+cd&```ad+d ^{`2} `}} `]

[eqn: =(a+d) {pmatrix{`a&```b`#`c&```d`}} `]

[eqn: =(a+d)A`]

그러므로

[eqn: A ^{n} =A ^{2} `A ^{n-2}]

[eqn: =(a+d)A`A ^{n-2}][eqn: =(a+d)A ^{n-1} ``]

[eqn: =(a+d)A ^{2} `A ^{n-3}][eqn: =(a+d)(a+d)A`A ^{n-3} `]

[eqn: =(a+d) ^{2} A ^{n-2}=` CDOTS `=(a+d) ^{n-1} A`]에서

[eqn: A ^{n} =`][eqn: A`]이다.

[eqn: (a+d) ^{n-1}]

또, [eqn: A ^{n} =O`]이므로 [eqn: a+d=0`]이다.

따라서 [eqn: A ^{2} =(a+d)A=O`]이므로 [eqn: A IN S`]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: T SUBSET S`]

한편, [eqn: S`]의 원소는 모두 [eqn: T``]의 원소이므로 [eqn: S SUBSET T``]이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: S```=T``]

15. [출제의도] 주어진 조건에 맞는 행렬의 성질을 추론한다.

ㄱ. [eqn: A IN S`], [eqn: B` IN S`]이므로 [eqn: AP=PA`], [eqn: BP=PB`]이다.

따라서 [eqn: (AB)P=A(BP)=A(PB)`]

[eqn: =(AP)B=(PA)B=P(AB)] [eqn: THEREFORE ````][eqn: AB` IN S``] (참)

ㄴ. [eqn: A IN S`]에 대하여 [eqn: A= {pmatrix{`a`&``b`#`c`&``d`}} ``]라 하자.

[eqn: AP= {pmatrix{`a`&``b`#`c`&``d`}} ` {pmatrix{```````1&`````````0`#-2&``-1`}} `][eqn: = {pmatrix{`a-2b&`````-b`#`c-2d&`````-d`}} `]

[eqn: PA= {pmatrix{```````1&`````````0`#-2&``-1`}} ` {pmatrix{`a`&``b`#`c`&``d`}} ``][eqn: = {pmatrix{````````a&```````````b`#`-2a-c&`````-2b-d`}} `]

따라서 [eqn: AP=PA`]이므로 [eqn: b=0`], [eqn: d=a+c`] (참)

ㄷ. ㄴ에 의해 [eqn: A= {pmatrix{`a`&``0`#`c`&``a+c`}} `], [eqn: B= {pmatrix{`p&``0`#`r&``p+r`}} `]라 놓을 수 있다. 그러면

[eqn: AB= {pmatrix{`a`&``0`#`c`&``a+c`}} ` {pmatrix{`p`&``0`#`r`&``p+r`}}]

[eqn: = {pmatrix{ap&``0#`cp+(a+c)r``&```(a+c)(p+r)`}} `]

[eqn: BA= {pmatrix{`p`&``0`#`r`&``p+r`}} ` {pmatrix{`a`&``0`#`c`&``a+c`}} `]

[eqn: = {pmatrix{pa&``0#`ra+(p+r)c``&```(p+r)(a+c)`}} `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: AB=BA`] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

16. [출제의도] 지수함수의 그래프 위의 점을 좌표로 표현하여 값을 구한다.

점 [eqn: rm A`]가 선분 [eqn: rm OB`]의 중점이므로 [eqn: rm ` bar{OA} : bar{OB} =1:2`]이다.

따라서 두 점 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`]의 좌표를 [eqn: rm A( alpha `,`` alpha )`], [eqn: rm B(2 alpha` ,``2 alpha )`]로 놓을 수 있다.

곡선 [eqn: y=k``․`2` ^{x} `]과 직선 [eqn: y=x`]가 점 [eqn: rm A`]를 지나므로

[eqn: alpha =k``․`2` ^{alpha } `][eqn: CDOTS `]㉠

또, 곡선 [eqn: y=k``․`2` ^{x} `]과 직선 [eqn: y=x`]가 점 [eqn: rm B`]를 지나므로

[eqn: 2alpha =k``․`2` ^{2alpha } `][eqn: CDOTS `]㉡

[eqn: ㉡÷㉠`]에서

[eqn: {2 alpha } over {alpha } = {k``․`2 ^{2 alpha }} over {k``․`2 ^{alpha }}]

[eqn: 2=2 ^{alpha } `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: alpha =1`]이고 ㉠에서 [eqn: k= {alpha } over {2 ^{alpha }} = {1} over {2} `]

17. [출제의도] 검색과 관련하여 주어진 조건에 맞는 행렬의 성분을 구한다.

[eqn: 1`]번 책은 [eqn: 1`]번 키 워드 ‘기초’와 [eqn: 4`]번 키 워드 ‘이론’만 포함하고, [eqn: 2`]번 키 워드 ‘수학’과 [eqn: 3]번 키 워드 ‘심화’는 포함하지 않으므로

[eqn: a _{11} =1`], [eqn: a _{12} =0`], [eqn: a _{13} =0`], [eqn: a _{14} =1`]

[eqn: 2`]번 책은 [eqn: 1`]번 키 워드 ‘기초’, [eqn: 2`]번 키 워드 ‘수학’과 [eqn: 4`]번 키 워드 ‘이론’을 포함하고, [eqn: 3]번 키 워드 ‘심화’는 포함하지 않으므로

[eqn: a _{21} =1`], [eqn: a _{22} =1`], [eqn: a _{23} =0`], [eqn: a _{24} =1`]

[eqn: 3`]번 책은 [eqn: 3]번 키 워드 ‘심화’만 포함하고, [eqn: 1`]번 키 워드 ‘기초’, [eqn: 2`]번 키 워드 ‘수학’과 [eqn: 4`]번 키 워드 ‘이론’은 포함하지 않으므로

[eqn: a _{31} =0`], [eqn: a _{32} =0`], [eqn: a _{33} =1`], [eqn: a _{34} =0`]

[eqn: 4`]번 책은 [eqn: 2`]번 키 워드 ‘수학’과 [eqn: 3]번 키 워드 ‘심화’를 포함하고, [eqn: 1`]번 키 워드 ‘기초’와 [eqn: 4`]번 키 워드 ‘이론’은 포함하지 않으므로

[eqn: a _{41} =0`], [eqn: a _{42} =1`], [eqn: a _{43} =1`], [eqn: a _{44} =0`]

따라서 행렬 [eqn: A`]를 구하면 다음과 같다.

[eqn: A= {pmatrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`&`0`}} `]

[참고]

도서관에 있는 많은 책들 중에서 원하는 도서를 찾아내기 위해서는 검색 엔진을 사용한다. 모든 책에는 키 워드가 부여되어 있는데, 검색어와 키 워드가 맞으면 원하는 도서를 찾을 수 있다.

행렬 [eqn: A= {pmatrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`&`0`}} `]이고 키 워드 ‘수학’과 ‘이론’은 각각 두 번째, 네 번째 키 워드에 해당하므로 [eqn: {pmatrix{`0`#`1`#`0`#`1`}} `]을 곱하여 검색 결과를 찾는다. 그러면

[eqn: {pmatrix{`1`&`0`&`0`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`1`&`1`&`0`}} `][eqn: {pmatrix{`0`#`1`#`0`#`1`}} `][eqn: = {pmatrix{`1`#`2`#`0`#`1`}} `]

이 되어, 키 워드 ‘수학’과 ‘이론’ 중에서 1번 책은 한 개, 2번 책은 두 개, [eqn: 4`]번 책은 한 개를 포함하고 있음을 알 수 있다. 이때, 2번 책이 검색 결과에 따른 우선순위가 가장 높다.

18. [출제의도] 재료와 관련하여 연립일차방정식을 세워 행렬의 성분을 구한다.

제품 [eqn: rmP], [eqn: rmQ]를 각각 [eqn: x]개, [eqn: y]개 만들 때 사용되는 금과 은의 양이 각각 [eqn: 130]g, [eqn: 145]g이므로 연립방정식을 세우면

[eqn: {cases{4x+2y=130&#x+3y=145&}} ``]

정리하면

[eqn: {cases{2x+y=65&#x+3y=145&}} `]

이고, 이를 행렬로 표현하면 다음과 같다.

[eqn: {pmatrix{`2`&`1`#`1`&`3`}} {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`65`#`145`}} `]

행렬 [eqn: {pmatrix{`2`&`1`#`1`&`3`}}]의 역행렬을 양변의 왼쪽에 곱하면

[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`2`&`1`#`1`&`3`}} ^{-1} {pmatrix{`65`#`145`}}]

[eqn: = {1} over {5} {pmatrix{````````3`&`-1`#`-1`&````````2`}} {pmatrix{`65`#`145`}} ```]

[eqn: = {pmatrix{```````3`&`-1`#`-1`&````````2`}} {pmatrix{`13`#`29`}} `]

한편 주어진 조건에서 [eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} = {pmatrix{`````````a`&`-1`#`-1`&```````b`}} {pmatrix{`13`#`29`}} `]이므로

[eqn: a=3], [eqn: b=2]  [eqn: THEREFORE ````][eqn: a+b=5]

19. [출제의도] 역행렬이 존재하기 위한 조건을 이용하여 값을 구한다.

주어진 행렬이 역행렬을 가지려면

[eqn: x(x-2)-3(2x-k) != 0]

[eqn: x ^{2} -8x+3k != 0]

[eqn: f(x)=x ^{2} -8x+3k`]라 하면 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가  [eqn: x`]축과 만날 때, [eqn: f(x)`]의 값은 [eqn: 0`]이다. 따라서 위 조건을 만족시키려면 [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]에서 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x]축과 만나지 않아야 한다. 그러기 위해서는 [eqn: 1 LEQ x LEQ 5]인 임의의 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x)>0`] 또는 [eqn: f(x)<0`]이어야 한다.

[eqn: f(x)=x ^{2} -8x+3k=(x-4) ^{2} +3k-16]이므로 다음과 같은 두 가지 경우를 생각한다.

ⅰ) [eqn: f(x)>0`]인 경우

최솟값 [eqn: f(4)=3k-16>0]에서 [eqn: k> {16} over {3}]

ⅱ) [eqn: f(x)<0`]인 경우

최댓값 [eqn: f(1)`=3k-7<0`]에서 [eqn: k< {7} over {3}]

ⅰ), ⅱ)에서 구하는 [eqn: k]값의 범위는

[eqn: k> {16} over {3}] 또는 [eqn: k< {7} over {3}]

따라서 [eqn: 10`] 이하의 자연수 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9], [eqn: 10`]이고 개수는 [eqn: 7]이다.

20. [출제의도] 거듭제곱근의 성질을 이용하여 그래프를 이해한다.

[eqn: t ^{4} =x ^{2} -4]에서

ⅰ) [eqn: x ^{2} -4>0]일 때,

[eqn: (x-2)(x+2)>0`]

즉, [eqn: `x``<`-2`] 또는 [eqn: x>2`]일 때,

[eqn: t= root {4} of {x ^{2} -4} `] 또는 [eqn: t=- root {4} of {x ^{2} -4} `]이므로 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: 2`]개이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: `f(x)=2]

ⅱ) [eqn: x ^{2} -4=0`]일 때,

[eqn: (x-2)(x+2)=0`]

즉, [eqn: `x``=`-2`] 또는 [eqn: x=2`]일 때, [eqn: t=0`]이므로 실수 [eqn: t`]의 값은 [eqn: 1`]개이다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: f(x)=1]

ⅲ) [eqn: x ^{2} -4<0`]일 때,

[eqn: t ^{4} =x ^{2} -4<0`]을 만족시키는 실수 [eqn: t`]의 값은 존재하지 않는다.

[eqn: THEREFORE ````][eqn: f(x)=0]

ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의해 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[다른풀이]

[eqn: t ^{4} =x ^{2} -4]를 만족시키는 실수 [eqn: t`]는 [eqn: x ^{2} -4`]의 네제곱근 중 실수인 것이다.

ⅰ) [eqn: x ^{2} -4>0]일 때,

[eqn: x ^{2} -4`]의 네제곱근 중 실수인 것은

[eqn: root {4} of {x ^{2} -4} `], [eqn: - root {4} of {x ^{2} -4} `]이므로 [eqn: f(x)=2`]

ⅱ) [eqn: x ^{2} -4=0`]일 때,

[eqn: x ^{2} -4`]의 네제곱근 중 실수인 것은

[eqn: root {4} of {x ^{2} -4} `= root {4} of {0} =0`]이므로 [eqn: f(x)=1]

ⅲ) [eqn: x ^{2} -4<0`]일 때,

[eqn: x ^{2} -4`]의 네제곱근 중 실수는 존재하지 않으므로 [eqn: f(x)=0`]

21. [출제의도] 국악과 관련하여 지수함수의 함숫값을 이용하여 참, 거짓을 판단한다.

ㄱ. [eqn: {f(4)} over {f(3)} = {C``․`2 ^{{4-1} over {12}}} over {C``․`2 ^{{3-1} over {12}}}][eqn: =2 ^{{3} over {12} - {2} over {12}}][eqn: =2 ^{{1} over {12}}] (참)

ㄴ. ‘고선’의 진동수 [eqn: a`]는

[eqn: a=f(5)=C```․``2 ^{{5-1} over {12}} =C```․``2 ^{{4} over {12}} =C```․``2 ^{{1} over {3}}]

이때, ‘무역’의 진동수는

[eqn: f(11)=C```․``2 ^{{11-1} over {12}} =C```․``2 ^{{10} over {12}}][eqn: =C```․``2 ^{{4+6} over {12}}][eqn: =C```․``2 ^{{4} over {12} + {6} over {12}}]

[eqn: =C```․``2 ^{{4} over {12}} ․`2 ^{{6} over {12}}][eqn: =a`․`2 ^{{6} over {12}}][eqn: =a`․`2 ^{{1} over {2}}][eqn: = sqrt {2} a`] (참)

ㄷ. ‘대려’의 진동수 [eqn: b`]는

[eqn: b=f(2)=C```․``2 ^{{2-1} over {12}} =C```․``2 ^{{1} over {12}}]

이때, ‘협종’의 진동수는

[eqn: f(4)=C```․``2 ^{{4-1} over {12}} =C```․``2 ^{{3} over {12}}]

또, ‘중려’의 진동수는

[eqn: f(6)=C```․``2 ^{{6-1} over {12}} =C```․``2 ^{{5} over {12}}]

[eqn: f(4) TIMES f(6)= LEFT ( C```․``2 ^{{3} over {12}} RIGHT ) LEFT ( C```․``2 ^{{5} over {12}} RIGHT ) `][eqn: LEFT . =C``` ^{2} ``․``2 ^{{3} over {12} + {5} over {12}} RIGHT .]

[eqn: LEFT . =C`` ^{2} ``․``2 ^{{8} over {12}} RIGHT .][eqn: LEFT . = LEFT ( C```․``2 ^{{1} over {12}} RIGHT . RIGHT ) ^{2} ``․``2 ^{{6} over {12}}][eqn: =b` ^{2} `․`2 ^{{1} over {2}}]	[eqn: = sqrt {2} `b` ^{2}] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

[다른풀이]

ㄱ. [eqn: {f(n+1)} over {f(n)} = {C```․``2 ^{{(n+1)-1} over {12}}} over {C```․``2 ^{{n-1} over {12}}}][eqn: =2 ^{{(n+1)-1} over {12} - {n-1} over {12}}][eqn: =2 ^{{1} over {12}}]

이므로 번호가 [eqn: 1]씩 증가할 때마다 진동수는 [eqn: 2 ^{{1} over {12}}]배가 된다. (참)

ㄴ. ‘무역’의 번호는 ‘고선’의 번호보다 [eqn: 6`]만큼 크므로 ‘무역’의 진동수는 [eqn: a`]의 [eqn: LEFT ( 2 ^{{1} over {12}} RIGHT ) ^{6} =2 ^{{6} over {12}} =2 ^{{1} over {2}} = sqrt {2}]배이다. (참)

ㄷ. ‘협종’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 [eqn: 2`]만큼 크고, ‘중려’의 번호는 ‘대려’의 번호보다 [eqn: 4`]만큼 크므로 ‘협종’과 ‘중려’의 진동수의 곱은

[eqn: LEFT ( 2 ^{{2} over {12}} `․`b RIGHT ) LEFT ( `2 ^{{4} over {12}} `․`b RIGHT ) =2 ^{{1} over {2}} ․`b ^{`2} `= sqrt {2} `b ^{`2} `] (거짓)

22. [출제의도] 행렬이 서로 같을 조건을 이해하여 값을 구한다.

[eqn: A=B`]가 성립하려면 두 행렬 [eqn: A], [eqn: B`]의 각각의 성분이 같아야 하므로 [eqn: 10=2a`], [eqn: -b=a-15], [eqn: a-b=-5],

따라서 [eqn: a=5`], [eqn: b=10`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: ab=50`]

23. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하고, 이를 이용하여 값을 구한다.

[eqn: a= root {3} of {2} `], [eqn: b= root {4} of {3} `]을 등식 [eqn: 6=a ^{x} ``b ^{y} `]에 대입하면

[eqn: 2 TIMES 3=( root {3} of {2} ) ^{x} ``( root {4} of {3} ) ^{y} `]

[eqn: =2 ^{{x} over {3}} `․``3 ^{{y} over {4}} `]

즉, [eqn: 2 ^{1- {x} over {3}} =3 ^{{y} over {4} -1} `]

[eqn: x`], [eqn: y`]가 유리수이므로 [eqn: 1- {x} over {3} =0`], [eqn: {y} over {4} -1=0`]

따라서 [eqn: x=3`], [eqn: y=4]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: x+y=7`]

24. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 이용하여 값을 계산한다.

[eqn: A ^{2} = {pmatrix{`-1&`````````a`#````````0&``-1`}}{pmatrix{`-1&`````````a`#````````0&``-1`}}][eqn: = {pmatrix{`1&```-2a`#``0&`````````1`}}]

[eqn: A ^{3} = {pmatrix{1&```-2a`#``0&````````1`}} {pmatrix{`-1&`````````a`#````````0&``-1`}}][eqn: = {pmatrix{`-1&`````````3a`#````````0&``-1`}}]

따라서 [eqn: A ^{3} = {pmatrix{`-1&`````````3a`#````````0&``-1`}}]이고, 모든 성분의 합은 [eqn: 3a-2=91]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a=31`]

[참고]

[eqn: A ^{n} = {pmatrix{(-1) ^{n}&```(-1) ^{n+1} `n`a`#``0&`````(-1) ^{n} `}}]임을 추론할 수 있다.

25. [출제의도] 행렬이 나타내는 그래프를 그려서 조건에 맞는 경로를 추론한다.

주어진 행렬을 그래프로 나타내면

이다. 꼭짓점 [eqn: rmA`]를 출발하여 모든 꼭짓점을 오직 한 번씩만 지나 꼭짓점 [eqn: rmA`]로 돌아오는 경로를 살펴보면,

ⅰ) [eqn: rm ABCDEA`]

ⅱ) [eqn: rm ABDCEA`]

ⅲ) [eqn: rm AEDCBA`]

ⅳ) [eqn: rm AECDBA`]

이상에서 구하는 개수는 [eqn: 4`]이다.

26. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이용하여 주어진 선분의 길이를 구한다.

두 점 [eqn: rm A``], [eqn: rm B`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: a`]이므로

[eqn: rm A][eqn: LEFT ( a,```3 ^{`a} RIGHT ) `], [eqn: rm B][eqn: LEFT ( a,``` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{a} RIGHT ) `]

선분 [eqn: rm AB`]의 중점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: sqrt {5} `]이므로

[eqn: {3 ^{`a} +3 ^{-a}} over {2} = sqrt {5}]

[eqn: 3 ^{`a} +3 ^{-a} =2 sqrt {5}]

양변에 [eqn: 3 ^{`a}]를 곱하여 정리하면

[eqn: 3 ^{2a} -2 sqrt {5} TIMES 3 ^{a} +1=0]

이를 풀면

[eqn: 3 ^{`a} = sqrt {5} -2`] 또는 [eqn: 3 ^{`a} = sqrt {5} +2`]

[eqn: a>0`]이므로 [eqn: 3 ^{`a} >1`]

[eqn: 3 ^{`a} = sqrt {5} +2`]에서

[eqn: 3 ^{-a} = {1} over {sqrt {5} +2} = sqrt {5}-2]

따라서 선분 [eqn: rm AB`]의 길이 [eqn: l`]은

[eqn: l= LEFT ( sqrt {5} +2 RIGHT ) - LEFT ( sqrt {5} -2 RIGHT ) =4]

∴ [eqn: l` ^{2} =16`]

[다른풀이]

[eqn: 3 ^{`a} =s], [eqn: LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{a} =t]라 하면

선분 [eqn: rm AB`]의 길이는 [eqn: s-t]이다.

선분 [eqn: rm AB`]의 중점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: sqrt {5} `]이므로

[eqn: {s+t} over {2} = sqrt {5}], [eqn: s+t=2 sqrt {5}]

[eqn: s`t=3 ^{`a} `․` LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{a} =1]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: l ^{`2} =(s-t) ^{2} =(s+t) ^{2} -4st`][eqn: = LEFT ( 2 sqrt {5} RIGHT ) ^{2} -4 TIMES 1`][eqn: =16`]

27. [출제의도] 역행렬의 정의를 이용하여 행렬의 성분의 값을 구한다.

조건 (가)에서

[eqn: (A+E)(A+2E)=E`]

[eqn: A ^{2} +3A+E=O`]

[eqn: A(A+3E)=-E]

조건 (나)에서

[eqn: (A+3E) {pmatrix{```````1#-3}} = {pmatrix{-`1#````````2}} `]

[eqn: A {pmatrix{```````1#-3}} +3E` {pmatrix{```````1#-3}} = {pmatrix{-`1#````````2}} `]

[eqn: A {pmatrix{```````1#-3}} = {pmatrix{-`1#````````2}} -3E` {pmatrix{```````1#-3}} `]

[eqn: = {pmatrix{-1#```````2}} - {pmatrix{```````3#-9}}][eqn: = {pmatrix{-4#11}}] [eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)의 양변의 왼쪽에 [eqn: A]를 곱하면

[eqn: A(A+3E) {pmatrix{```````1#-3}} =A {pmatrix{`-1#````````2}}]

[eqn: A {pmatrix{`-1#````````2}} =-E` {pmatrix{```````1#-3}} = {pmatrix{-1#```````3}}] [eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에서

[eqn: A {pmatrix{```````1&-1#-3&````````2}} = {pmatrix{-4&-1#````11&```````3}} ``]

[eqn: `A= {pmatrix{-4&-1#````11&```````3}} {pmatrix{```````1&-1#-3&````````2}} ^{-1}]

[eqn: `= {pmatrix{-4&-1#````11&```````3}} {pmatrix{-2&``-1#-3&-1}}]

[eqn: = {pmatrix{````````````8+3&``````````````4+1#-22-9&``-11-3}} `]

[eqn: = {pmatrix{`````````11&``````````5#-31&-14}} `]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: a=11`], [eqn: d=-14]이므로

[eqn: `a ^{2} +d ^{`2} =11 ^{2} + LEFT ( -14 RIGHT ) ^{2}][eqn: =121+196=317`]

28. [출제의도] 지수부등식과 집합의 관계를 이해하고 주어진 최댓값을 구한다.

[eqn: x ^{2} -(a+b)x+ab<0`]

[eqn: (x-a)(x-b)<0`], [eqn: a<b`]이므로 [eqn: a<x<b`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: A= LEFT { x`□``a<x<b RIGHT } `]

한편, [eqn: 2 ^{2`x+2} -9`․`2 ^{x} +2<0`]

[eqn: 4(2` ^{x} ) ^{2} -9`․`2` ^{x} +2<0`]

[eqn: (4``․`2` ^{x} -1)(2 ^{`x} -2)<0`]

[eqn: {1} over {4} <2` ^{x} <2`], [eqn: 2 ^{-2} <2` ^{x} <2 ^{1}]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: B= LEFT { x`□``-2``<x<1 RIGHT }]

[eqn: A SUBSET B`]이므로

[eqn: -2 LEQ a<b LEQ 1]

따라서 [eqn: b-a`]의 최댓값은 [eqn: 1-(-2)=3]

29. [출제의도] 두 직선의 수직조건과 지수함수의 그래프를 활용하여 주어진 값을 구한다.

점 [eqn: rm P`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0`,`1 RIGHT ) `]이다.

곡선 [eqn: y=3 ^{`x} `]위의 점 [eqn: rmQ`]의 좌표를 [eqn: rm Q`( it t``,``3)`]이라 하면 [eqn: 3` ^{t} =3`], [eqn: t=1`] [eqn: THEREFORE ````][eqn: rmQ`(1`,``3)`]

직선 [eqn: rm PQ`]의 기울기는 [eqn: 2`]이고 [eqn: rm ANGLE RPQ`=90°`]이므로

직선 [eqn: rm PR`]의 기울기는 [eqn: - {1} over {2} `]이다.

두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm``R`]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y=- {1} over {2} x+1]

점 [eqn: rm R`]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 3`]이므로 점 [eqn: rm R`]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( -4,`3 RIGHT ) `]

또, 점 [eqn: rm R`]는 곡선 [eqn: y=a` ^{x} `]위의 점이므로

[eqn: 3=a ^{-4} `], [eqn: LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{4} =3]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{16} =3 ^{4} =81`]

[다른풀이]

두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rmQ`]의 좌표는 [eqn: rm P LEFT ( 0`,`1 RIGHT ) `], [eqn: rm Q LEFT ( 1`,`3 RIGHT ) `]이다.

이때, [eqn: rm bar{PQ`} = sqrt {(1-0) ^{2} +(3-1) ^{2}} = sqrt {5} `]

곡선 [eqn: y=a ^{``x} `]위의 점 [eqn: rmR`]의 좌표를 [eqn: ` rm R( it b`,``3)`]이라 하면

[eqn: a ^{`b} =3`] [eqn: CDOTS](*)

이때, [eqn: rm bar{RQ`} = it 1-b``]이고

[eqn: rm bar{RP`} = it sqrt {(b-0) ^{2} +(3-1) ^{2}} = sqrt {b ^{`2} +4} `]이다.

삼각형 [eqn: rmPQR`]는 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리에 의해

[eqn: rm bar{RQ} ` ^{2} = bar{PQ} ` ^{2} + bar{RP} ` ^{2}]

[eqn: (1-b) ^{2} =5+ LEFT ( b ^{2} +4 RIGHT ) `]

[eqn: 1-2b+b ^{2} =b ^{2} +9`]

[eqn: 2b=-8`] [eqn: THEREFORE ````][eqn: b=-4`]

[eqn: b=-4`]를 (*)에 대입하면

[eqn: a ^{-4} =3`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{16} =81`]

30. [출제의도] 연립방정식과 행렬의 성질을 이용하여 주어진 조건에 맞는 값을 구한다.

주어진 연립방정식은 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 갖는다. 정리하면

[eqn: {pmatrix{5&``2#2&``5}} {pmatrix{x#y}} - {pmatrix{`k`&`0`#`0`&`k`}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}} `]

[eqn: {pmatrix{5-k&``2#2&``5-k}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}} `][eqn: CDOTS] ㉠

㉠이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가지므로

[eqn: (5-k) ^{2} -4`=0] [eqn: THEREFORE ````][eqn: k=7`] 또는 [eqn: k=3`]

ⅰ) [eqn: k=7`]일 때, 주어진 연립방정식의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `]라 하면

[eqn: {pmatrix{``-2&````````2#``````````2&``-2`}} {pmatrix{`alpha` #`beta` }} = {pmatrix{0#0}} `]

따라서 [eqn: alpha - beta =0]이고 [eqn: alpha ` beta = alpha ^{2} >0]이므로 [eqn: p=7`]

ⅱ) [eqn: k=3`]일 때, 주어진 연립방정식의 해를 [eqn: x= alpha], [eqn: y= beta `]라 하면

[eqn: {pmatrix{`2`&`2`#`2`&`2`}} {pmatrix{alpha #beta }} = {pmatrix{0#0}} `]

따라서 [eqn: alpha + beta =0]이고 [eqn: alpha ` beta =- alpha ^{2} <0`]이므로 [eqn: q=3`]

[eqn: THEREFORE ````][eqn: 10`p+q=73`]