2006 사관학교 시험 해설	수리 영역(문과)

수리 영역(문과 A형)

1. ④	2. ④	3. ⑤	4. ②	5. ④

6. ⑤	7. ③	8. ③	9. ⑤	10. ③

11. ④	12. ⑤	13. ②	14. ④	15. ①

16. ③	17. ②	18. ④	19. ①	20. ①

21. ②	22. ⑤	23. ③	24. ②	25. 10

26. 20	27. 60	28. 395	29. 12	30. 39

1. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: n=2006,~a= 3over4]이므로

[eqn: A= `^n root {a^{n-1}} =a ^{{n-1} over {n}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2005} over {2006}}]

[eqn: B= `^n root {a ^{n+1}} =a ^{{n+1} over {n}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2007} over {2006}}]

[eqn: C= `^{n+1} root {a ^{n}} =a ^{{n} over {n+1}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2006} over {2007}}]

여기서 [eqn: 2005over2006 < 2006over2007 < 2007over2006]이므로

∴ [eqn: B<C<A]

2. 수열의 극한

정답 ④

수열 [eqn: {\{} a_n \}]의 공차가 8이므로

[eqn: b_n = sum _{ k=1} ^{n } (a_k+1 -a_k ) = sum _{ k=1} ^{n } 8 =8n]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} { 1 over (2n+1)^2 } sum _{ k=1} ^{n } b_k = lim _{ n->inf} { 1 over (2n+1)^2 } sum _{ k=1} ^{n } 8k]

[eqn: = lim _{ n->inf} { 4n(n+1) over (2n+1)^2 }]

[eqn: = { 4 over 4 } =1]

3. 확률

정답 ⑤

전류가 [eqn: A`]에서 [eqn: B`]로 흐를 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) [eqn: s_1 , s_2]가 닫혀 있고, [eqn: s_3]도 닫혀 있는 경우

[eqn: LEFT ( 1over3 times 1over3 RIGHT ) times 1over3 = 1over27]

(ⅱ) [eqn: s_1 , s_2]가 닫혀 있고, [eqn: s_3]는 열려 있는 경우

[eqn: LEFT ( 1over3 times 1over3 RIGHT ) times 2over3 = 2over27]

(ⅲ) [eqn: s_1 , s_2] 둘 다 닫혀 있지는 않고, [eqn: s_3]는 닫혀 있는 경우

[eqn: LEFT ( 1 - 1over3 times 1over3 RIGHT ) times 1over3 = 8over27]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 확률은

[eqn: 1over27 + 2over 27 + 8over27 = 11 over27]

4. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: lim _{n -> INF } { S _{n}} =2]로 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } { a _{n}} =0]이다.

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {a_n +S_n} over {S_n }^3}][eqn: = 0+2 over 8 = 1over4]

[다른 풀이]

[eqn: a_n = S_n -S_n-1]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{ a_n +S_n} over {S_{n} ^3} = lim _{n -> INF } {{ 2S_n - S_n-1 } over {S_{n} ^3} = 4-2over8 = 1over4}}]

5. 순열과 조합

정답 ④

혈액형이 A형, B형, AB형, O형인 학생 수를 각각 [eqn: a,``b,``c,``d]라 하면

(가) [eqn: a+b=c+d]

(나) [eqn: a+c=b+d]

(다) [eqn: a=4]

(가), (나), (다)에 의하여 [eqn: b=c,``d=4]이다.

∴ [eqn: a=4], [eqn: b=1,``c=1,``d=4]

따라서, A형 4명, B형 1명, AB형 1명, O형 4명이므로, 10개의 혈액팩 모두를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: 10! over{4! ``4!} = 6300](가지)

6. 함수의 극한

정답 ⑤

이항정리에 의하여

[eqn: lim_n->inf{ LEFT ( 1+ 1over n RIGHT )^n } = lim_n->inf{ sum _{k=0 } ^{n } `_n {\C}_ k ```LEFT ( 1over n RIGHT )^k }]

여기서 [eqn: k=0]일 때 [eqn: `_n {\C}_ 0 ```LEFT ( 1over n RIGHT )^0} =1],

[eqn: k=1]일 때 [eqn: `_n {\C}_ 1```LEFT ( 1over n RIGHT )^1} =1]이므로

∴ [eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( 1+ {1} over {n} RIGHT ) ^{n}}]

[eqn: = lim_n->inf{ sum _{k=0 } ^{n } `_n {\C}_ k ```LEFT ( 1over n RIGHT )^k }]

[eqn: =2+ lim_n->inf{ sum _{k=2 } ^{n } {n! overk!(n-k)!} ```times 1over n^k }]

[eqn: =`2``+` lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=2} ^{n _{}} `` {1} over {k!} ` TIMES ` {n`(n-1)`…(n-k+1)} over {n ^{k}} `]

[eqn: =2`+` lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=2} ^{n` _{}} `` {1} over {k!} ` LEFT { LEFT ( 1`-` {1} over {n} ` RIGHT ) ` LEFT ( 1`-` {2} over {n} ` RIGHT ) `…` LEFT ( 1`-` {k-1} over {n} ` RIGHT ) ` RIGHT } ``]

[eqn: <2`+` lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=2} ^{n` _{}} `` {1} over {k!} ``]

[eqn: <2`+` lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=2} ^{n` _{}} `` {1} over {2 ^{k-1}} `]

그런데, [eqn: lim _{n -> INF } {} `` sum _{k=2} ^{n _{}} `` {1} over {k!} ` TIMES ` {n`(n-1)`…(n-k+1)} over {n ^{k}} ``>``0``]이므로.

[eqn: 2`````<`` lim _{n -> INF } {} `` LEFT ( ``1`+` {1} over {n} `` RIGHT ) ^{n} ``<``3]

7. 행렬

정답 ③

[eqn: pmatrix{-22``#``-2``} =-2 pmatrix{11``#``1``} =-2A pmatrix{```````2``#-3``}]이므로

[eqn: A`` pmatrix{-22``#``-2``} `+`A` pmatrix{````20``#-30``} =A․(-2)A pmatrix{``````2``#-3``} +10A pmatrix{``````2``#-3``}]

[eqn: =(-2A^2 +10A) pmatrix{```````2``#-3``}]

[eqn: =12E `` pmatrix{```````2``#-3``}]

[eqn: ( BECAUSE A^2 -5A = -6E )]

[eqn: = pmatrix{```````24``#-36``}]

[다른 풀이]

[eqn: A ^{2} `-`5A`+`6E`=`O`,~``A` pmatrix{````2``#-3``} `=` pmatrix{11``#``1`} `]이므로

[eqn: A pmatrix{11``#``1`} `-5 pmatrix{11``#``1`} +6 pmatrix{2``#-3`}=O]

[eqn: ∴~A pmatrix{11``#``1`} `= pmatrix{43``#23`}]

∴ [eqn: A`` pmatrix{-22``#``-2``} `+`A` pmatrix{````20``#-30``} =-2A pmatrix{11#1} +10A pmatrix{``````2``#-3``}]

[eqn: =-2 pmatrix{43#23} +10 pmatrix{11#1}]

[eqn: =pmatrix{`````24#-36}]

8. 행렬

정답 ③

[eqn: ax ^{2} `+`y`=`4`], [eqn: b`y`=`7`]의 그래프가 점 [eqn: (1`,``3`)`]을 지나므로

[eqn: a+3=4]에서 [eqn: a=1]

[eqn: 3b`=`7`]에서 [eqn: b= 7 over3]

∴ [eqn: A=][eqn: pmatrix {1&1# 0& 7over3}]

∴ [eqn: A ^{-1} ` pmatrix{4`#7` } = 3over7 ` pmatrix{ 7over3`` &``-1`#0&````````1` }` pmatrix{4`#7` } = 3over7 ` pmatrix{ 7over3`#7` } =` pmatrix{1`#3 }]

따라서, 구하는 모든 성분의 합은 4이다.

9. 확률

정답 ⑤

구하는 확률은 상자 A에서 빨간 공 2개, 파란 공 1개를 꺼내는 확률과 같다.

[eqn: ∴~{`_4 {rmC}_2 times `_2 {rmC}_1 } over {`_6 {rmC}_3} = 3over5]

10. 수열

정답 ③

[eqn: sum _{k=1 } ^{n } ``2 ^{k} `= {2(2^n -1)}over2-1 = 2^n+1 -2]

그런데, 65의 배수의 끝자리 수는 0 또는 5이므로, [eqn: 2^n+1]의 끝자리 수는 2여야 한다.

[eqn: 2^9 = 512 ,~ 2^13 = 8192,~2^17 =131072 , …]이므로

[eqn: 2^9 -2 = 510 ,~ 2^13 -2= 8190,~2^17 -2=131070 , …]

이 중에서 [eqn: 2^13 -2= 8190]이 처음으로 65의 배수가 되므로, [eqn: n]의 최소값은 12이다.

11. 수열의 극한

정답 ④

한 회에 투여한 약의 양을 [eqn: a`]mg이라 하자.

12시간마다 계속하여 일정한 양을 투여하므로

12시간 후의 약의 양은

[eqn: a + a over 8]

24시간 후의 약의 양은

[eqn: a + 1 over 8 left( a + a over 8 right) = a + a over 8 + a over 8^2]

…

[eqn: 12n]시간 후의 약의 양은

[eqn: a + a over 8 + a over 8^2 + a over 8^3 + …+ a over 8^n = sum _k=1 ^n left(1 over 8 right)^n-1 a]

따라서, 이 약을 규칙적으로 장기간 투여하는 약의 양을 S라 하면

[eqn: S= lim _{n -> INF } {} sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {1} over {8} RIGHT ) ^{n-1} a= {a} over {1- {1} over {8}} = {8} over {7} a]

[eqn: THEREFORE {8} over {7} a <= 560]

[eqn: THEREFORE a <= 490]

따라서, 구하는 약의 최대량은 490mg이다.

12. 수열

정답 ⑤

[eqn: f(n) = left[ n over 4 right ]]이므로

[eqn: f(4k) = f(4k+1) = f(4k+2) = f(4k+3) = k](단, [eqn: k]는 자연수)

따라서, [eqn: a_1 = a_2 = a_3 = 0]이고,

[eqn: a_4m = a_4m+1 = a_4m+2 = a_4m+3 = sum_k=1 ^m k] (단, [eqn: m]은 자연수)이다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{28} a _{n} = LEFT ( 1+ {2 CDOT 3} over {2} + {3 CDOT 4} over {2} + {4 CDOT 5} over {2} + {5 CDOT 6} over {2} + {6 CDOT 7} over {2} RIGHT ) TIMES 4+ {7 CDOT 8} over {2}]

[eqn: = 252]

13. 확률분포와 통계적 추정

정답 ②

이 시험의 성적을 확률변수 X라 하면, X는 정규분포 [eqn: rm N(65,~10^2 )]을 따른다.

선발된 학생의 최저 점수를 [eqn: x](점)이라 하면,

[eqn: {rm P}(X ≧x) = 0.5 - 40 over 1600]

[eqn: {rm P} left (Z ≧ x-65 over 10 right ) = 0.475]

[eqn: therefore x-65 over 10 = 1.96]

[eqn: therefore x = 84.6](점)

14. 수열

정답 ④

두 점 [eqn: {rmP}_n (x_n , ~ y_n )], [eqn: {rm P}_n+1 (x_n+1 ,~ y_n+1 )]에 대하여, 선분 [eqn: {rmP}_n {rmP}_n+1]을 2 : 1로 내분하는 점을 [eqn: {rmP}_n+2 (x_n+2 , ~ y_n+2 )]라 하면

[eqn: x_n+2 = { x_n + 2 x_n+1 } over 2+1]

[eqn: x _{n+2} -x _{n+1} =- {1} over {3} (x _{n+1} -x _{n} )]

[eqn: x_2005 = x_1 + sum_k=1 ^2004 (x_2 -x_1 ) left( - 1 over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1 + 3 cdot { 1- left(- 1 over 3 right)^2004 } over { 1- left(- 1 over 3 right) }]

[eqn: = 1 + 9 over 4 left {1 - left( - 1 over 3 right)^2004 right }]

마찬가지 방법으로

[eqn: y_2005 = y_1 + sum_k=1 ^2004 (y_2 -y_1 ) left( - 1 over 3 right)^k-1]

[eqn: = -1 + (-1) cdot { 1- left(- 1 over 3 right)^2004 } over { 1- left(- 1 over 3 right) }]

[eqn: = -1 - 3 over 4 left {1 - left( - 1 over 3 right)^2004 right }]

[eqn: therefore x_2005 - y_2005 = 2 + left{ 1- left(- 1 over 3 right)^2004 right} left( 9 over 4 + 3 over 4 right)]

[eqn: = 2 + 3 - 3 left( - 1 over 3 right)^2004]

[eqn: = 5 - 3^-2003]

15. 확률변수와 확률분포

정답 ①

확률변수 X가 이항분포[eqn: {rmB} (n,~p)]를 따른다고 하면

[eqn: np = 80], [eqn: np(1-p) = 64]

[eqn: therefore n=400, ~ p = 1 over 5]

[eqn: therefore sum_r=0 ^n 5^r {rmP}(X=r) = sum_r=0 ^400 5^r cdot _400 {rmC}_r left( 1 over 5 right)^r left( 4 over 5 right)^n-r]

[eqn: = sum_r=0 ^400 `_400 {rmC} _r left( 5 over 5 right)^r left( 4 over 5 right)^n-r]

[eqn: = left( 1 + 4 over 5 right)^400]

[eqn: = left( 9 over 5 right)^400]

16. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: log_y (1-x^2 ) ≦ 2]에서

[eqn: y >0 ,~y≠1,~-1<x<1]이고

[eqn: 0 < y <1]일 때, [eqn: 1 - x^2 ≧ y^2 ~⇒~ x^2 + y^2 ≦ 1]

[eqn: y >1]일 때, [eqn: 1 - x^2 ≦ y^2 ~⇒~ x^2 + y^2 ≧ 1]

한편, [eqn: 2^y ≦ 2 CDOT 4^x]에서

[eqn: 2^y ≦ 2^1+2x]

[eqn: therefore y≦ 1+2x]

(i) [eqn: 0<y<1,~-1<x<1]일 때

[eqn: x^2 + y^2 ≦ 1, ~ y≦ 2x +1]을 만족하는 영역은 다음 그림의 빗금 친 부분과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

1

-1

1

[eqn: - 1 over 2]

O

따라서, 빗금 친 부분의 넓이는

[eqn: pi over 4 + 1 over 2 cdot 1 cdot 1 over 2 = pi over 4 + 1 over 4]

(ii) [eqn: y>1,~ -1<x<1]일 때,

[eqn: x^2 + y^2 ≧1, ~ y≦ 2x+1]을 만족하는 영역은 다음 그림의 빗금 친 부분과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

1

-1

1

[eqn: - 1 over 2]

O

3

따라서, 빗금 친 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 2 cdot 1 cdot 2 =1]

(i), (ii)에 의하여 구하는 넓이는

[eqn: pi over 4 + 1 over 4 +1 = 1 over 4 (pi + 5)]

17. 행렬

정답 ②

ㄱ. <참> [eqn: B=O]이면, [eqn: PAP^-1 = O]

[eqn: therefore A = P^-1 O P = O]

ㄴ. <참> [eqn: B^100 = P A^100 P^-1]

[eqn: = P (A^3 )^33 AP^-1]

[eqn: = PAP^-1 (becauseA^3 =E)]

[eqn: =B]

ㄷ. <거짓> [eqn: AB = APAP^-1]

[eqn: = pmatrix {a&b # a&0} pmatrix { 1&0 # 1&1} pmatrix { a&b # a&0 } pmatrix { 1&0 # -1&1 }]

[eqn: = pmatrix { a+b&b # a&0} pmatrix { a-b &b # a&0 }]

[eqn: = pmatrix { a^2 - b^2 + ab & ab+b^2 # a^2 - ab & ab } = pmatrix { 1&0 # 0&1 }]

[eqn: therefore cases { a^2 - b^2 +ab =1, ~ab+b^2 = 0 ~⋯~ ㉠ # a^2 -ab=0,~ab=1 }]

[eqn: ab=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: b^2 = -1]

[eqn: b]는 실수이므로 모순이다.

따라서, [eqn: AB=E]를 만족하는 행렬 [eqn: A]는 존재하지 않는다.

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

18. 지수함수와 로그함수

정답 ④

[eqn: 3(log_a c )^2 - 2(log_b c)^2 = - (log_a c)(log_b c)]에서

[eqn: log_a c =x], [eqn: log_b c =y]라 하면

[eqn: 3x^2 -2y^2 = -xy]

[eqn: (3x-2y)(x+y) =0]

[eqn: therefore y = 3 over 2 x] 또는 [eqn: y=-x]

그런데 [eqn: a >1], [eqn: b>1], [eqn: c>1]이므로 [eqn: x>0], [eqn: y>0]이다.

[eqn: therefore y= 3 over 2 x]

[eqn: log_b c = 3 over 2 log_a c]

[eqn: 1 over {log_c b} = 3 over 2 cdot 1 over { log_c a }]

[eqn: 3log_c b = 2 log_c a]

[eqn: log_c b^3 = log_c a^2]

[eqn: therefore b^3 = a^2 = 8(because a^2 b^3 = 64 )]

[eqn: therefore a =2^{3 over 2}], [eqn: b=2]

[eqn: therefore log_2 ab = log_2 2 ^ {5over2}} = 5 over 2]

19. 수열

정답 ①

수열 [eqn: \{a_n \}]이 등차수열이므로

[eqn: a_1 = a-3k]

[eqn: a_2 = a-k]⋯⋯ ①

[eqn: a_3 = a+k]⋯⋯ ②

[eqn: a_4 = a+3k]

①+②를 하면, [eqn: a = {a_2 + a_3 } over 2]

②-①을 하면, [eqn: k = {a_3 -a_2 } over 2 = d over 2]

[eqn: therefore a_1 cdot a_2 cdot a_3 cdot a_4 + d^4]

[eqn: = (a-3k)(a+3k)(a-k)(a+k) + d^4]

[eqn: = (a^2 - 9k^2 ) (a^2 -k^2 ) + 16k^4]

[eqn: = a^4 -10a^2 k^2 + 25k^4]

[eqn: = (``a^2 - 5k^2 ```)^2]

이 때, [eqn: (a^2 - 5k^2 )^2 = a_2 ^{```2} + a_2 d - d^2]이고, [eqn: a_2]와 [eqn: d]는 정수이므로 [eqn: a_1 cdot a_2 cdot a_3 cdot a_4 + d^4]은 정수의 제곱이 된다.

20. 수열

정답 ①

[eqn: a_n+1 ^{~~~~``2} + 4 a_n ^{~2} +(a_1 - 2 )^2 = 4a_n+1 a_n]에서

[eqn: (a_n+1 - 2a_n )^2 + (a_1 -2 )^2 = 0]

[eqn: therefore a_n+1 = 2a_n], [eqn: a_1 =2]

[eqn: therefore a_n = 2 cdot 2^n-1 = 2^n]

[eqn: b_n = log_root2 a_n = log_{2^{1 over2}} 2^n = 2n]

[eqn: therefore sum_k=1 ^m b_k = sum_k=1 ^m 2k = m(m+1)=72]

[eqn: (m+9)(m-8) =0]

[eqn: therefore m=8]([eqn: because m]은 자연수)

21. 수열

정답 ②

[eqn: a_n = 3n^2 -3n]이므로

[eqn: S_n = sum_k=1 ^n a_k = sum_k=1 ^n (3k^2 -3k)]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 2 - {3n(n+1)} over 2]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1-3)} over 2]

[eqn: = n(n+1)(n-1)]

[eqn: S_n]이 16자리의 수가 되려면

[eqn: n(n+1)(n-1)> 10^15]

여기서[eqn: n=10^5]이라 하면 [eqn: 10^15 - 10^5 ≯ 10^15]

[eqn: n=10^5 +1]이라 하면

[eqn: (10^5 +1 )(10^5 +2 ) 10^5 = 10^15 + 3 cdot 10^10 + 2 cdot 10^5 > 10^15]

따라서, [eqn: S_n]이 처음으로 16자리의 정수가 되도록 하는 [eqn: n]은 [eqn: 10^5 +1]이고, 이를 10으로 나눈 나머지는 1이다..

22. 확률

정답 ⑤

[eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시킬 확률을 [eqn: {rmP}_n]이라 하자.

[eqn: n+1]번째에 10점 부분을 명중시킬 경우는 ([eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시키고 [eqn: n+1]번째에 명중)시키거나 ([eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시키지 못하고 [eqn: n+1]번째에 명중)시키는 경우가 있으므로

[eqn: {rmP}_n+1 = {rmP}_n cdot 8 over 9 + (1-{rmP}_n ) cdot 4 over 5]

[eqn: = 4 over 45 {rmP}_n + 4 over 5]

그런데, [eqn: lim_n→inf {rmP}_n = lim_n→inf {rmP}_n+1]이므로

[eqn: therefore lim_n→inf {rmP}_n = 4 over 5 cdot 45 over 41 = 36 over 41]

23. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: 9^x +a = b cdot 3^x +2]에서

[eqn: (3^x )^2 - b cdot 3^x +a -2 =0]

[eqn: 3^x =t]([eqn: becauset>0])라 하면

[eqn: t^2 - bt + a -2 =0]… ①

ㄱ. <거짓> ①이 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: D = b^2 - 4(a-2) >0]

[eqn: therefore b^2 > 4a-8]

ㄴ. <참> ①의 한 근이 [eqn: 3^{log_3 2} =2]이므로

[eqn: 4-2b+a-2 =0]

[eqn: therefore a=2b-2]

ㄷ. <참> ①의 두 근이 [eqn: 3^{log_3 2} =2, ~3^{log_3 k}=k]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 2k=a-2]

그런데 [eqn: k>2]이므로

[eqn: therefore a>6]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

24. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: {rm bar OQ_1} = 2 over 3 r_0], [eqn: {rm bar OQ_2} = 2 over 3^2 r_0], [eqn: {rm bar OQ_3} = 2 over 3^3 r_0], …

[eqn: {rm bar OP_1} = 1 over 3 r_0], [eqn: {rm bar OP_2} = 1 over 3^2 r_0], [eqn: {rm bar OP_3} = 1 over 3^3 r_0], …

이므로

[eqn: sum_n=1 ^inf S_n = pi left( 4 over 3^2 - 1 over 3^2 right)r_0 ^{````2} + pi left( 4 over 3^4 - 1 over 3^4 right)r_0 ^{````2} + pi left( 4 over 3^6 - 1 over 3^6 right)r_0 ^{````2} + …]

[eqn: = 1 over 3 pi r_0 ^{```2} + 1 over 3^3 pi r_0 ^{```2} + 1 over 3^5 pi r_0 ^{```2} + …]

[eqn: = {1 over 3 pi r_0 ^{```2}} over {1- 1 over 9 }]

[eqn: = 3 over 8 pi r_0 ^{```2}]

25. 행렬

정답 10

[eqn: A^2 X = X]에서

[eqn: pmatrix { 1&2 # 3&a } pmatrix { 1&2 # 3&a} X - pmatrix { 1&0 # 0&1 } X = pmatrix { 0#0 }]

[eqn: pmatrix { 7&2+2a # 3+3a&6+a^2 } X - pmatrix { 1&0 # 0&1 } X = pmatrix { 0#0 }]

[eqn: pmatrix { 6&2+2a # 3+3a&5+a^2 } X = pmatrix { 0#0 }]

이를 만족하는 행렬 [eqn: X]가 2개 이상 존재하므로

[eqn: 6(5+a^2 ) - (2+2a)(3+3a) =0]

[eqn: 24 - 12a = 0]

[eqn: therefore a=2]

[eqn: therefore A = pmatrix { 1&2 # 3&2 }]

[eqn: therefore pmatrix { p#q } = A^-1 pmatrix { 16#24 }]

[eqn: = - 1 over 4 pmatrix { 2&-2#-3&1} pmatrix { 16#24 }]

[eqn: = - 1 over 4 pmatrix { -16#-24 }]

[eqn: = pmatrix { 4#6 }]

[eqn: therefore p+q = 4+6 =10]

26. 지수함수와 로그함수

정답 20

[eqn: 2 over {log_x 4} + 1 over {log_y 2} = 3]에서

[eqn: 2log_4 x + log_2 y =3]

[eqn: therefore log_2 x + log_2 y = 3] … ㉠

[eqn: log_2 3x + log_root2 y = log_2 48]에서

[eqn: log_2 3 + log_2 x + 2log_2 y = 4 + log_2 3] … ㉡

㉡-㉠을 하면 [eqn: log_2 y =1] [eqn: therefore y=2]

이를 ㉠에 대입하면  [eqn: log_2 x = 2] [eqn: therefore x=4]

[eqn: therefore alpha ^2 + beta^2 = 4+16 =20]

27. 지수와 로그

정답 60

[eqn: {2^68 times 5^68 } over { 2^7 times 5^7 + 2^4 times 5^4 } = 10^68 over {10^7 + 10^4 } = 10^64 over { 10^3 +1 }]

그런데, [eqn: 10^3 < 10^3 +1 < 10^4]이므로

[eqn: 10^64 over {10^3 +1 } = alpha times 10^60] ([eqn: because 1≦ alpha <10])

[eqn: therefore n=60]

28. 지수와 로그

정답 395

[eqn: log_a I_0 - log_a I = kx]에 [eqn: x=0.2]를 대입하면

[eqn: log_a I_0 over I = 0.2 k]

[eqn: left ( 6 over 5 right)^5 = a^k]([eqn: because I = 5 over 6 I_0])

[eqn: therefore 1000log_10 a^k = 1000 log_10 left( 6 over 5 right)^5]

[eqn: = 5000log_10 6 over 5]

[eqn: = 5000( 2log_10 2 + log_10 3 -1 )]

[eqn: = 5000(0.602 + 0.477 -1)]

[eqn: = 5000 times 0.079]

[eqn: = 395]

29. 순열과 조합

정답 12

[eqn: f(x)= _6 {rm C} it _{0} +` _{6} {rm C} _{1} x ^{2} +` _{6} {rm C} _{2} x ^{4} +` _{6} {rm C} _{3} x ^{6} +` _{6} {rm C} _{4} x ^{8} +` _{6} {rm C} _{5} x ^{10} +` _{6} {rm C} _{6} x ^{12}]

[eqn: = (1+x^2 )^6]

[eqn: therefore f(tan theta) = (1+tan^2 theta )^6]

[eqn: = (sec^2 theta)^6]

[eqn: = sec^12 theta = 2^12]

[eqn: cos theta = 1 over 2]

[eqn: therefore theta = pi over 3]

[eqn: therefore 36theta over pi = 12]

30. 수열

정답 39

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2], [eqn: a_3 =5], [eqn: a_4 =26], [eqn: a_5 = 677], [eqn: a_6 = 458330], …이므로

[eqn: r_1 =1], [eqn: r_2 = 2], [eqn: r_3 = 5], [eqn: r_4 = 26], [eqn: r_5 = 0], [eqn: r_6 = 1], …

따라서, 어두운 부분에 채워지는 수들의 합은

[eqn: r_46 +(r_54 + r_55 + r_56 +r_57 + r_58 ) + r_66 + (r_75 + r_76 + r_77 )]

[eqn: = 1 + (26 +0+1+2+5) +1+(0+1+2)]

[eqn: = 39]

2006 사관학교 시험 해설	수리 영역(자연)

수리 영역(자연 A형)

1. ④	2. ③	3. ①	4. ③	5. ④

6. ③	7. ②	8. ④	9. ⑤	10. ⑤

11. ④	12. ⑤	13. ②	14. ④	15. ③

16. ③	17. ②	18. ⑤	19. ①	20. ①

21. ②	22. ⑤	23. ③	24. ①	25. 10

26. 65	27. 16	28. 190	29. 12	30. 39

1. 지수와 로그

정답 ④

[eqn: n=2006,~a= 3over4]이므로

[eqn: A= `^n root {a^{n-1}} =a ^{{n-1} over {n}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2005} over {2006}}]

[eqn: B= `^n root {a ^{n+1}} =a ^{{n+1} over {n}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2007} over {2006}}]

[eqn: C= `^{n+1} root {a ^{n}} =a ^{{n} over {n+1}} = LEFT ( {3} over {4} RIGHT ) ^{{2006} over {2007}}]

여기서 [eqn: 2005over2006 < 2006over2007 < 2007over2006]이므로

∴ [eqn: B<C<A]

2. 다항함수의 적분법

정답 ③

이차 이하의 다항함수를 [eqn: f(x) = px^2 + qx + r]이라 하면

(좌변)[eqn: = int_0 ^2 f(x) dx = int_0 ^2 (px^2 +qx + r) dx]

[eqn: = left[ 1 over 3 px^3 + 1 over 2 q x^2 + rx right]_0 ^2]

[eqn: = 8 over 3 p + 2q + 2r] … ㉠

(우변)[eqn: =af(0) + bf(1)+cf(2)]

[eqn: = ar+b(q+q+r) + c(4p+2q+r)]

[eqn: = (b+4c)p +(b+2c)q + (a+b+c)r]  … ㉡

㉠=㉡이므로 [eqn: b+ 4c = 8 over 3], [eqn: b+2c = 2], [eqn: a+b+c =2]

[eqn: therefore a = 1 over 3], [eqn: b = 4 over 3], [eqn: c = 1 over 3]

[eqn: therefore abc = 4 over 27]

3. 다항함수의 미분법

정답 ①

구간 [eqn: [a,~x_1 ]], [eqn: [a,~x_2 ]]에서의 직선의 기울기는 각각

[eqn: {f(x_1 ) -f(a)} over {x_1 - a}], [eqn: {f(x_2 ) - f(a)} over {x_2 -a}]이고,

[eqn: {f(x_1 ) -f(a)} over {x_1 - a}]>[eqn: {f(x_2 ) - f(a)} over {x_2 -a}]이므로 [eqn: y = f(x)]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: a]

[eqn: x_1]

[eqn: x_2]

[eqn: b]

4. 다항함수의 적분법

정답 ③

[eqn: 1 over 2]

1

[eqn: y]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

[eqn: x]

O

[eqn: pi over 2 int_{ 1 over 2 }^1 y^2 dx = pi over 2 int_{1over2 } ^1 (1-x^2 )dx]

[eqn: = pi over 2 left[ x- 1 over3 x^3 right]_{1over2}^{```1}]

[eqn: = pi over 2 left( 1- 1 over 3 - 1 over 2 + 1 over 24 right)]

[eqn: = 5 over 48 pi]

5. 순열과 조합

정답 ④

혈액형이 A형, B형, AB형, O형인 학생 수를 각각 [eqn: a,``b,``c,``d]라 하면

(가) [eqn: a+b=c+d]

(나) [eqn: a+c=b+d]

(다) [eqn: a=4]

(가), (나), (다)에 의하여 [eqn: b=c,``d=4]이다.

∴ [eqn: a=4], [eqn: b=1,``c=1,``d=4]

따라서, A형 4명, B형 1명, AB형 1명, O형 4명이므로, 10개의 혈액팩 모두를 일렬로 나열하는 방법의 수는

[eqn: 10! over{4! ``4!} = 6300](가지)

6. 벡터

정답 ③

[eqn: vec OP = vec p], [eqn: vec OQ = vec q]라 하면

[eqn: vec PQ + vec OR = left( vec OQ - vec OP right) + left( vec OP + vec OQ right)]

[eqn: = ( vecq - vec p ) + ( vec q + vec p )]

[eqn: therefore{ DMATRIX { vecPQ + vec OR }} ^2]

[eqn: = {dmatrix { vec q - vecp}} ^2 + 2(vec q - vec p )cdot ( vec q + vecp ) + {dmatrix{ vecq + vecp }}^2]

[eqn: = 2( {dmatrix {vecp}}^2 + {dmatrix {vecq}}^2 ) + 2 ( vecq - vecp ) cdot ( vecq + vecp)]

[eqn: = 50 + 2 (vecq - vecp ) cdot (vecq + vecp ) ~]… ㉠

[eqn: ( because dmatrix{ vecp }=3,~dmatrix{vecq}=4)]

그런데,

[eqn: ( vec q - vec p ) cdot ( vecq + vec p ) ≦ dmatrix{vecq - vecp} dmatrix{vecq + vecp}]

[eqn: = root{ {dmatrix{vecq - vecp}}^2 {dmatrix{vecq + vecp}}^2}]

[eqn: = root{{({dmatrix{vecq}}^2 -2 vecp cdot vecq + {dmatrix{vecp}}^2})( {dmatrix {vecq}}^2 + 2 vecp cdot vecq + {dmatrix{vecp}}^2 )}}]

[eqn: = root{({dmatrix{vecp}}^2 + {dmatrix{vecq}}^2 )^2 -4 ( vecp cdot vecq )^2 } }]

[eqn: = root{ 25^2 - 4( vecp cdot vecq )^2 }] ⋯ ㉡

㉠, ㉡에 의해서 [eqn: dmatrix { vec PQ + vec OR }]의 최대값은 10이다.

7. 이차곡선

정답 ②

[eqn: 4x^2 - 9y^2 = 36]…… ①

이 [eqn: x]축과 만나는 점 A, B는

A(-3, 0), B(3, 0)

①이 직선 [eqn: x=t``(t>3)]와 만나는 점 C, D는

C[eqn: left( t,~ 2 over 3 root{t^2 - 9} right)], D[eqn: left( t,~ - 2 over 3 root{t^2 -9} right)]

따라서, 직선 AC, BD의 방정식은 각각

[eqn: y= { 2 over 3 root{t^2 -9} } over t+3 (x+3)]…… ②

[eqn: y = - {2 over 3 root{t^2 -9} } over t-3 (x-3)]

즉, [eqn: { 2 over 3 root{t^2 -9}} over t+3 (x+3) = - {2 over 3 root{t^2 -9}} over t-3 (x-3)]에서

[eqn: x= 9 over t]

이를 ②에 대입하면 [eqn: y= {2root{t^2 -9}} over 3]

[eqn: therefore {rmP} left( 9 over t ,~ {2root{t^2 -9}} over 3 right)]

여기서 [eqn: 9 over t = X], [eqn: {2root{t^2 -9}} over 3 = Y]라 하면

[eqn: t= 9 over X], [eqn: Y = {2root{ 81 over X^2 -9}} over 3 = 2root{9-X^2 }]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: therefore X^2 over 9 + Y^2 over 4 = 1]

이 타원의 초점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: c]라 하면

[eqn: c^2 = 9-4 = 5]    [eqn: therefore c = +- root5]

따라서, 이 곡선의 두 초점 사이의 거리는 [eqn: 2root5]이다.

8. 다항함수의 적분법

정답 ④

[eqn: F_n (x) = 1 over 3n-1 x^3n-1 - 1 over 3n-2 x^3n-2 + 1 over 3n-4 x^3n-4]

[eqn: - 1 over 3n-5 x^3n-5 + … + 1 over 2 x^2 -x+C]

(단, [eqn: C]는 적분 상수)

여기에 [eqn: x=1]을 대입하면

[eqn: F _{n} (1)= {1} over {3n-1} - {1} over {3n-2} + {1} over {3n-4} - {1} over {3n-5} +…+ {1} over {2} -1+C]

[eqn: therefore C=0]

∴[eqn: F_n (0) = C = 0]

9. 확률

정답 ⑤

구하는 확률은 상자 A에서 빨간 공 2개, 파란 공 1개를 꺼내는 확률과 같다.

[eqn: ∴~{`_4 {rmC}_2 times `_2 {rmC}_1 } over {`_6 {rmC}_3} = 3over5]

10. 이차곡선

정답 ⑤

그려지는 곡선은 타원이므로, 이 타원의 방정식을

[eqn: x^2 over a^2 + y^2 over b^2 =1]이라 하면,

[eqn: 2a = 14]에서 [eqn: a =7]

[eqn: b=root{a^2 -25} = root24]

[eqn: therefore x^2 over 7^2 + y^2 over 24 =1]

여기서 [eqn: x=5]이면 [eqn: y = 24 over 7]이므로, 구하는 꽃밭의 넓이는 [eqn: 5 times 24 over 7 times 4 = 480 over 7 rm (m^2 )]

11. 방정식과 부등식

정답 ②

유람선이 해안선을 따라서 이동한 거리를 [eqn: x](km)라 하면

7

[eqn: 7-x]

[eqn: x]

[eqn: root{9+(7-x)^2}]

B

A

P

3

[eqn: x over 12 + root{9+(7-x)^2 } over 10 = 45 over 60]… ㉠

[eqn: 5x+6root{9+(7-x)^2} = 45]

[eqn: 6root{9+(7-x)^2} = 45 - 5x]

양변을 제곱하여 정리하면,

[eqn: 11x^2 - 54x + 63 =0]

[eqn: (11x-21)(x-3) =0]

[eqn: therefore x= 21 over 11] 또는 [eqn: x=3]

이 중 ㉠을 만족하는 것은 [eqn: x= 21 over 11]뿐이다.

[eqn: therefore x = 21 over 11](km)

12. 수열

정답 ⑤

[eqn: f(n) = left[ n over 4 right ]]이므로

[eqn: f(4k) = f(4k+1) = f(4k+2) = f(4k+3) = k](단, [eqn: k]는 자연수)

따라서, [eqn: a_1 = a_2 = a_3 = 0]이고,

[eqn: a_4m = a_4m+1 = a_4m+2 = a_4m+3 = sum_k=1 ^m k] (단, [eqn: m]은 자연수)이다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{28} a _{n} = LEFT ( 1+ {2 CDOT 3} over {2} + {3 CDOT 4} over {2} + {4 CDOT 5} over {2} + {5 CDOT 6} over {2} + {6 CDOT 7} over {2} RIGHT ) TIMES 4+ {7 CDOT 8} over {2}]

[eqn: = 252]

13. 확률분포와 통계적 추정

정답 ②

이 시험의 성적을 확률변수 X라 하면, X는 정규분포 [eqn: rm N(65,~10^2 )]을 따른다.

선발된 학생의 최저 점수를 [eqn: x](점)이라 하면,

[eqn: {rm P}(X ≧x) = 0.5 - 40 over 1600]

[eqn: {rm P} left (Z ≧ x-65 over 10 right ) = 0.475]

[eqn: therefore x-65 over 10 = 1.96]

[eqn: therefore x = 84.6](점)

14. 수열

정답 ④

두 점 [eqn: {rmP}_n (x_n , ~ y_n )], [eqn: {rm P}_n+1 (x_n+1 ,~ y_n+1 )]에 대하여, 선분 [eqn: {rmP}_n {rmP}_n+1]을 2 : 1로 내분하는 점을 [eqn: {rmP}_n+2 (x_n+2 , ~ y_n+2 )]라 하면

[eqn: x_n+2 = { x_n + 2 x_n+1 } over 2+1]

[eqn: x _{n+2} -x _{n+1} =- {1} over {3} (x _{n+1} -x _{n} )]

[eqn: x_2005 = x_1 + sum_k=1 ^2004 (x_2 -x_1 ) left( - 1 over 3 right)^k-1]

[eqn: = 1 + 3 cdot { 1- left(- 1 over 3 right)^2004 } over { 1- left(- 1 over 3 right) }]

[eqn: = 1 + 9 over 4 left {1 - left( - 1 over 3 right)^2004 right }]

마찬가지 방법으로

[eqn: y_2005 = y_1 + sum_k=1 ^2004 (y_2 -y_1 ) left( - 1 over 3 right)^k-1]

[eqn: = -1 + (-1) cdot { 1- left(- 1 over 3 right)^2004 } over { 1- left(- 1 over 3 right) }]

[eqn: = -1 - 3 over 4 left {1 - left( - 1 over 3 right)^2004 right }]

[eqn: therefore x_2005 - y_2005 = 2 + left{ 1- left(- 1 over 3 right)^2004 right} left( 9 over 4 + 3 over 4 right)]

[eqn: = 2 + 3 - 3 left( - 1 over 3 right)^2004]

[eqn: = 5 - 3^-2003]

15. 다항함수의 미분법

정답 ③

ㄱ. <참> [eqn: g'(x) = cases {{xf`'(x) - f(x)} over x^2 ~& (x not=0)# f`″(0)~ &(x=0)}]

함수 [eqn: g(x)]가 [eqn: x=0]에서 미분가능하므로 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. <참>

[eqn: g(2x) = cases { f(2x) over 2x = 2f(x) over 2x = f(x) over x ~&(x not=0) # f`'(0) & (x=0)}]

[eqn: therefore g(2x) = g(x)]

ㄷ. <거짓> [eqn: f(x) = x]라 하면,

[eqn: g(x) = cases { f(x) over x =1 ~ &(x not= 0) # f`'(0) =1 ~&(x=0)}]

이 때, [eqn: g(x)]는 상수함수이다.

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

16. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: log_y (1-x^2 ) ≦ 2]에서

[eqn: y >0 ,~y≠1,~-1<x<1]이고

[eqn: 0 < y <1]일 때, [eqn: 1 - x^2 ≧ y^2 ~⇒~ x^2 + y^2 ≦ 1]

[eqn: y >1]일 때, [eqn: 1 - x^2 ≦ y^2 ~⇒~ x^2 + y^2 ≧ 1]

한편, [eqn: 2^y ≦ 2 CDOT 4^x]에서

[eqn: 2^y ≦ 2^1+2x]

[eqn: therefore y≦ 1+2x]

(i) [eqn: 0<y<1,~-1<x<1]일 때

[eqn: x^2 + y^2 ≦ 1, ~ y≦ 2x +1]을 만족하는 영역은 다음 그림의 빗금 친 부분과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

1

-1

1

[eqn: - 1 over 2]

O

따라서, 빗금 친 부분의 넓이는

[eqn: pi over 4 + 1 over 2 cdot 1 cdot 1 over 2 = pi over 4 + 1 over 4]

(ii) [eqn: y>1,~ -1<x<1]일 때,

[eqn: x^2 + y^2 ≧1, ~ y≦ 2x+1]을 만족하는 영역은 다음 그림의 빗금 친 부분과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=2x+1]

[eqn: x^2 + y^2 =1]

1

-1

1

[eqn: - 1 over 2]

O

3

따라서, 빗금 친 부분의 넓이는 [eqn: 1 over 2 cdot 1 cdot 2 =1]

(i), (ii)에 의하여 구하는 넓이는

[eqn: pi over 4 + 1 over 4 +1 = 1 over 4 (pi + 5)]

17. 행렬

정답 ②

ㄱ. <참> [eqn: B=O]이면, [eqn: PAP^-1 = O]

[eqn: therefore A = P^-1 O P = O]

ㄴ. <참> [eqn: B^100 = P A^100 P^-1]

[eqn: = P (A^3 )^33 AP^-1]

[eqn: = PAP^-1 (becauseA^3 =E)]

[eqn: =B]

ㄷ. <거짓> [eqn: AB = APAP^-1]

[eqn: = pmatrix {a&b # a&0} pmatrix { 1&0 # 1&1} pmatrix { a&b # a&0 } pmatrix { 1&0 # -1&1 }]

[eqn: = pmatrix { a+b&b # a&0} pmatrix { a-b &b # a&0 }]

[eqn: = pmatrix { a^2 - b^2 + ab & ab+b^2 # a^2 - ab & ab } = pmatrix { 1&0 # 0&1 }]

[eqn: therefore cases { a^2 - b^2 +ab =1, ~ab+b^2 = 0 ~⋯~ ㉠ # a^2 -ab=0,~ab=1 }]

[eqn: ab=1]을 ㉠에 대입하면

[eqn: b^2 = -1]

[eqn: b]는 실수이므로 모순이다.

따라서, [eqn: AB=E]를 만족하는 행렬 [eqn: A]는 존재하지 않는다.

따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

18. 다항함수의 미분법

정답 ⑤

삼차함수 [eqn: f(x)]를 [eqn: f(x) = ax^3 + bx^2 +cx+d]라 하면,

[eqn: g(x) = f``'(x) = 3ax^2 + 2bx+c]

[eqn: h(x) = g'(x) = 6ax +2b]

[eqn: h'(x) = 6a]

한편, [eqn: g(0) = h(0) = 0]이므로

[eqn: c=0], [eqn: b=0]

[eqn: therefore f(x) = ax^3 + d]

또, [eqn: f(0)h'(0)<0]이므로

[eqn: 6ad <0]

[eqn: therefore ad<0]

(i) [eqn: a>0]일 때, [eqn: f(0) = d<0]이므로

[eqn: d]

[eqn: y]

[eqn: x]

O

(ii) [eqn: a<0]일 때, [eqn: f(0)=d>0]이므로

[eqn: d]

[eqn: y]

[eqn: x]

O

따라서, [eqn: f(x)=0]은 한 개의 양의 실근을 갖는다.

19. 수열

정답 ①

수열 [eqn: \{a_n \}]이 등차수열이므로

[eqn: a_1 = a-3k]

[eqn: a_2 = a-k]⋯⋯ ①

[eqn: a_3 = a+k]⋯⋯ ②

[eqn: a_4 = a+3k]

①+②를 하면, [eqn: a = {a_2 + a_3 } over 2]

②-①을 하면, [eqn: k = {a_3 -a_2 } over 2 = d over 2]

[eqn: therefore a_1 cdot a_2 cdot a_3 cdot a_4 + d^4]

[eqn: = (a-3k)(a+3k)(a-k)(a+k) + d^4]

[eqn: = (a^2 - 9k^2 ) (a^2 -k^2 ) + 16k^4]

[eqn: = a^4 -10a^2 k^2 + 25k^4]

[eqn: = (``a^2 - 5k^2 ```)^2]

이 때, [eqn: (a^2 - 5k^2 )^2 = a_2 ^{```2} + a_2 d - d^2]이고, [eqn: a_2]와 [eqn: d]는 정수이므로 [eqn: a_1 cdot a_2 cdot a_3 cdot a_4 + d^4]은 정수의 제곱이 된다.

20. 수열

정답 ①

[eqn: a_n+1 ^{~~~~``2} + 4 a_n ^{~2} +(a_1 - 2 )^2 = 4a_n+1 a_n]에서

[eqn: (a_n+1 - 2a_n )^2 + (a_1 -2 )^2 = 0]

[eqn: therefore a_n+1 = 2a_n], [eqn: a_1 =2]

[eqn: therefore a_n = 2 cdot 2^n-1 = 2^n]

[eqn: b_n = log_root2 a_n = log_{2^{1 over2}} 2^n = 2n]

[eqn: therefore sum_k=1 ^m b_k = sum_k=1 ^m 2k = m(m+1)=72]

[eqn: (m+9)(m-8) =0]

[eqn: therefore m=8]([eqn: because m]은 자연수)

21. 수열

정답 ②

[eqn: a_n = 3n^2 -3n]이므로

[eqn: S_n = sum_k=1 ^n a_k = sum_k=1 ^n (3k^2 -3k)]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over 2 - {3n(n+1)} over 2]

[eqn: = {n(n+1)(2n+1-3)} over 2]

[eqn: = n(n+1)(n-1)]

[eqn: S_n]이 16자리의 수가 되려면

[eqn: n(n+1)(n-1)> 10^15]

여기서[eqn: n=10^5]이라 하면 [eqn: 10^15 - 10^5 ≯ 10^15]

[eqn: n=10^5 +1]이라 하면

[eqn: (10^5 +1 )(10^5 +2 ) 10^5 = 10^15 + 3 cdot 10^10 + 2 cdot 10^5 > 10^15]

따라서, [eqn: S_n]이 처음으로 16자리의 정수가 되도록 하는 [eqn: n]은 [eqn: 10^5 +1]이고, 이를 10으로 나눈 나머지는 1이다..

22. 확률

정답 ⑤

[eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시킬 확률을 [eqn: {rmP}_n]이라 하자.

[eqn: n+1]번째에 10점 부분을 명중시킬 경우는 ([eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시키고 [eqn: n+1]번째에 명중)시키거나 ([eqn: n]번째에 10점 부분을 명중시키지 못하고 [eqn: n+1]번째에 명중)시키는 경우가 있으므로

[eqn: {rmP}_n+1 = {rmP}_n cdot 8 over 9 + (1-{rmP}_n ) cdot 4 over 5]

[eqn: = 4 over 45 {rmP}_n + 4 over 5]

그런데, [eqn: lim_n→inf {rmP}_n = lim_n→inf {rmP}_n+1]이므로

[eqn: therefore lim_n→inf {rmP}_n = 4 over 5 cdot 45 over 41 = 36 over 41]

23. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: 9^x +a = b cdot 3^x +2]에서

[eqn: (3^x )^2 - b cdot 3^x +a -2 =0]

[eqn: 3^x =t]([eqn: becauset>0])라 하면

[eqn: t^2 - bt + a -2 =0]… ①

ㄱ. <거짓> ①이 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: D = b^2 - 4(a-2) >0]

[eqn: therefore b^2 > 4a-8]

ㄴ. <참> ①의 한 근이 [eqn: 3^{log_3 2} =2]이므로

[eqn: 4-2b+a-2 =0]

[eqn: therefore a=2b-2]

ㄷ. <참> ①의 두 근이 [eqn: 3^{log_3 2} =2, ~3^{log_3 k}=k]이므로

근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: 2k=a-2]

그런데 [eqn: k>2]이므로

[eqn: therefore a>6]

따라서, 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

24. 벡터

정답 ①

[eqn: {rmT}(3,~-2,~0)], [eqn: {rmS} ( 1,~ 0,~3)]이므로, 이 두 점을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: {x-1} over 2 = y over -2 = {z-3} over -3]

여기서 [eqn: x=0]이면 [eqn: y=1], [eqn: z= 9over2]이므로 레이저를 쏜 창가는 ㄱ이다.

25. 행렬

정답 10

[eqn: A^2 X = X]에서

[eqn: pmatrix { 1&2 # 3&a } pmatrix { 1&2 # 3&a} X - pmatrix { 1&0 # 0&1 } X = pmatrix { 0#0 }]

[eqn: pmatrix { 7&2+2a # 3+3a&6+a^2 } X - pmatrix { 1&0 # 0&1 } X = pmatrix { 0#0 }]

[eqn: pmatrix { 6&2+2a # 3+3a&5+a^2 } X = pmatrix { 0#0 }]

이를 만족하는 행렬 [eqn: X]가 2개 이상 존재하므로

[eqn: 6(5+a^2 ) - (2+2a)(3+3a) =0]

[eqn: 24 - 12a = 0]

[eqn: therefore a=2]

[eqn: therefore A = pmatrix { 1&2 # 3&2 }]

[eqn: therefore pmatrix { p#q } = A^-1 pmatrix { 16#24 }]

[eqn: = - 1 over 4 pmatrix { 2&-2#-3&1} pmatrix { 16#24 }]

[eqn: = - 1 over 4 pmatrix { -16#-24 }]

[eqn: = pmatrix { 4#6 }]

[eqn: therefore p+q = 4+6 =10]

26. 함수의 극한과 연속성

정답 65

[eqn: lim_x->inf f(x) over {x^3 - 2x^2 + 3x -4} =1]이므로 [eqn: f(x)]는 삼차함수이고 첫째항의 계수는 1이다.

[eqn: lim_x->1 f(x) over {x^2 - 3x +2} = 4]⋯ ①, [eqn: lim_x->2 13f(x) over {x^2 - 3x + 2 } = alpha]이므로 [eqn: f(x) = (x-t)(x-1)(x-2)]라 둘 수 있다.

이를 ①에 대입하면

[eqn: lim_x->1 f(x) over {x^2 -3x + 2 } = lim_x->1 {(x-t)(x-1)(x-2)} over {(x-1)(x-2)}]

[eqn: = lim_x->1 (x-t)]

[eqn: = 1-t = 4]

[eqn: therefore t = -3]

[eqn: therefore f(x) = (x+3)(x-1)(x-2)]

[eqn: therefore lim_x->2 13f(x) over {x^2 - 3x + 2} = lim_x->2 {13(x+3)(x-1)(x-2)} over {(x-1)(x-2)}]

[eqn: = lim_x->2 13(x+3)]

[eqn: = 13 cdot 5 = 65]

27. 지수함수와 로그함수

정답 16

[eqn: xy =10]에서 [eqn: y= 10 over x]이므로,

[eqn: log_10 y = log_10 10 over x = 1 - log_10 x]

∴[eqn: (log_10 y)^3 + 3(log_10 x)^2 - 6log_10 x +15]

[eqn: =(1-log_10 x)^3 + 3(log_10 x)^2 - 6 log_10 x +15]

여기서 [eqn: log_10 x = t]로 치환하면

[eqn: 1≦x≦10^4 ~⇔ ~0 ≦t≦4]이다.

∴ [eqn: f(t) = (1-t)^3 + 3t^2 - 6t + 15]

[eqn: = -t^3 + 6t^2 -9t +16]

[eqn: f`'(t) = -3t^2 + 12t -9]

[eqn: = -3(t^2 - 4t +3)]

[eqn: =-3(t-1)(t-3)]

[eqn: t]	0		1		3		4
[eqn: f`'(t)]	-	-	0	+	0	-	-
[eqn: f(t)]	↘	↘	극소	↗	극대	↘	↘

따라서, [eqn: f(t)]는 [eqn: t=3]일 때 최대값 [eqn: f(3) =16]을 가진다.

28. 다항함수의 적분법

정답 190

A의 속력을 m/s 단위로 변환하면 20m/s가 된다. 따라서, A가 제동장치를 작동한 후 4초간 이동한 거리는

[eqn: vt + 1 over 2 at^2 = 20 cdot 4 + 1 over 2 cdot (-5) cdot16 = 40 rm (m)]

따라서, 4초 때 A와 B 사이의 거리는 100 - 40 = 60(m)이다.

이때부터 A가 [eqn: 10 rm m/s^2]의 가속도로 운동한 거리가, B가 [eqn: 6 rm m/s^2]의 가속도로 운동한 거리보다 60m만큼 더 많으면 A가 B를 추월하게 된다.

A가 이동한 거리를 [eqn: S_A],  B가 이동한 거리를 [eqn: S_B]라 하면

[eqn: S_A = 1 over 2 times 10 times t^2 = 5t^2], [eqn: S_B = 1 over 2 times 6times t^2 = 3t^2]이므로

[eqn: 5t^2 = 3t^2 + 60]에서 [eqn: t=root30]

따라서, 구하는 거리는 [eqn: 40 + 5 cdot (root30 )^2 = 190 rm(m)]이다.

29. 순열과 조합

정답 12

[eqn: f(x)= _6 {rm C} it _{0} +` _{6} {rm C} _{1} x ^{2} +` _{6} {rm C} _{2} x ^{4} +` _{6} {rm C} _{3} x ^{6} +` _{6} {rm C} _{4} x ^{8} +` _{6} {rm C} _{5} x ^{10} +` _{6} {rm C} _{6} x ^{12}]

[eqn: = (1+x^2 )^6]

[eqn: therefore f(tan theta) = (1+tan^2 theta )^6]

[eqn: = (sec^2 theta)^6]

[eqn: = sec^12 theta = 2^12]

[eqn: cos theta = 1 over 2]

[eqn: therefore theta = pi over 3]

[eqn: therefore 36theta over pi = 12]

30. 수열

정답 39

[eqn: a_1 =1], [eqn: a_2 =2], [eqn: a_3 =5], [eqn: a_4 =26], [eqn: a_5 = 677], [eqn: a_6 = 458330], …이므로

[eqn: r_1 =1], [eqn: r_2 = 2], [eqn: r_3 = 5], [eqn: r_4 = 26], [eqn: r_5 = 0], [eqn: r_6 = 1], …

따라서, 어두운 부분에 채워지는 수들의 합은

[eqn: r_46 +(r_54 + r_55 + r_56 +r_57 + r_58 ) + r_66 + (r_75 + r_76 + r_77 )]

[eqn: = 1 + (26 +0+1+2+5) +1+(0+1+2)]

[eqn: = 39]