1. [eqn: log_2 16 + log_2 1over 8 = 4-3=1`]

2007학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 (수리영역-가형)  정답 및 해설

□ ①

2.

이므로

□ ⑤

3. [eqn: cos θ = { vec a cdot vec b } over{ |`vec a `|`| vec b |`}`]

[eqn: = 2+8-1 over{ root{ 2^2 + 2^2 +1^2 } root{ 1^2 + 4^2 + (-1)^2 }}`]

[eqn: = 9 over{ 3 cdot 3root2 }`]

[eqn: = 1over root2`]

[eqn: 0<= θ <= pi`]이므로 [eqn: θ = pi over 4`]

□ ②

4. 연립부등식

[eqn: cases{(x-2)(x-4)^2 (x-6)`>=`0 &# ` { 2x-7} over {x+1 }<=1}]

에서

[eqn: (x-2)(x-4)^2 (x-6)`>=`0][eqn: ⇔``(x-2) (x-6)`>=`0] 또는

[eqn: ∴ ``x>=6 ~또는~ x<=2] 또는  ----㉠

[eqn: { 2x-7} over {x+1 }<=1}]

[eqn: ⇔``{ (2x-7)}(x+1)``<=``(x+1)^2]

[eqn: (x+1)(x-8)`<=`0]

[eqn: ∴ ``-1`<`x`<=`8]----㉡

따라서 ㉠ , ㉡을 동시에 만족하는

[eqn: x]의 범위는

[eqn: -1<x<=2 ~또는~6<=x<=8]이므로

구하는 정수의 개수는

0, 1, 2, 4, 6, 7, 8 로 7개이다.

□ ④

5. [eqn: bar AB = root{ (b-a)^2 + a^2 + b^2 }][eqn: = root{ 8-2ab }]

[eqn: bar BC = root{b^2 + (b-a)^2 + a^2 }][eqn: = root{ 8-2ab }]

[eqn: bar CA = root{a^2 + b^2 + (b-a)^2 }][eqn: = root{ 8-2ab }]

에서 [eqn: bar AB =bar BC = bar CA]이므로 [eqn: triangle ABC]는 정삼각형이다. 따라서 [eqn: triangle ABC]의 넓이[eqn: S`]는

[eqn: S= root3 over 4 left( root8-2ab right)^2]

[eqn: = root3 over 4 (8- ab )]

이 때, [eqn: S`]가 최소가 되려면 [eqn: ab`]의 값이 최대가 되어야 한다.

[eqn: a >0, ~b >0]이므로

[eqn: 4= a^2 + b^2 >= 2 root{a^2 b^2 }]

[eqn: = 2ab]

∴ [eqn: ab <= 2`]

(단, 등호는 [eqn: a=b`]일 때, 성립한다.)

따라서 [eqn: ab`]의 최대값이 [eqn: 2`]이므로 [eqn: S`]의 최소값은 [eqn: root3 over 4 ( 8-4 ) = root3`]이다.

□ ②

6. [eqn: 0<x<1`]일 때, [eqn: f(x) = x-1 over x`]

[eqn: 1<x<2`]일 때, [eqn: f(x) = 2-x over x-1`]

ㄱ. [eqn: lim_x->1-0 f(x) g(x)=lim_x->1-0 (x-1)^3 over x `=0],

[eqn: lim_x->1+0 f(x) g(x)][eqn: =lim_x->1+0 (2-x )(x-1) = 0``]

∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)=0]

이 때, [eqn: f(1)g(1)=0×0=0`]이므로

[eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

ㄴ. [eqn: lim_x->1-0 f(x) g(x)]

[eqn: =lim_x->1-0 x-1 over x "{"(x-1)^3 +1"}"`][eqn: =0]

[eqn: lim_x->1+0 f(x) g(x)]

[eqn: =lim_x->1+0 2-x over x-1 "{"(x-1)^3 +1"}"`][eqn: =inf`]

따라서 [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)]의 값이 존재하지 않으므로 [eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 불연속이다.

ㄷ. [eqn: lim_x->1-0 f(x) g(x)][eqn: =lim_x->1-0 x-1 over x "("x^2 +1")"`][eqn: =0`]

[eqn: lim_x->1+0 f(x) g(x)][eqn: =lim_x->1+0 2-x over x-1 (x-1)^3 `]

[eqn: =lim_x->1+0 (2-x) (x-1)^2 `=0]

∴ [eqn: lim_x->1 f(x) g(x)=0]

이 때, [eqn: f(1)g(1)=0×2=0`]이므로

[eqn: y=f(x)g(x)`]는 [eqn: x=1`]에서 연속이다.

따라서 연속인 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ③

<참고>

[eqn: y= 1over x -1`]의 그래프는 [eqn: y= 1over x `]의 그래프를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이고,

[eqn: y= 1over x-1 -1`]의 그래프는 [eqn: y= 1over x `]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -1`]만큼 평행이동한 것이다.

이를 이용하여 [eqn: f(x)`]와 [eqn: g(x)`]의 그래프를 그려서 생각하면 좀 더 쉽게 연속성을 파악할 수 있다.

7.

이므로 함수 의 그래프는

의 그래프를 축의 방향으로 1만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 것이다.

따라서 의 그래프의 개형은 ②이다.

□ ②

8. [eqn: y= f``(x)`]의 그래프와 [eqn: y= f``(x-b)`]의 그래프는 다음과 같다.

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x)]

[eqn: -b]

[eqn: b]

[eqn: -a]

[eqn: a]

[eqn: x`]

[eqn: y`]

[eqn: O`]

[eqn: y=f``(x-b)]

[eqn: -a+b]

[eqn: 2b]

[eqn: b]

[eqn: a+b]

[eqn: int_-b^a ``f``(x)``dx = A`]

[eqn: int_a^a+b `f```(x-b) `dx = int_0^a`f``(x) `dx = B`]

∴ [eqn: int_-b^0 `f``(x)`dx` = int_-b^a`f``(x)`dx - int_0^a``f``(x)`dx`]

[eqn: = A-B`]

∴ [eqn: int_-b^a``|`f``(x)`|`dx `]

[eqn: = int_-b^0 `left{ -f``(x)`right}`dx + int_0^a`f``(x)``dx`]

[eqn: = - (A-B) + B`]

[eqn: = -A+2B`]

□ ①

9. 다음 그림에서 쌍곡선의 정의에 의하여

[eqn: barPF' -bar PF =6]  이고

[eqn: barPF = barPQ] 이므로 [eqn: barPF' -bar PQ =6]

F

F'

P

O

Q

P

따라서 점 [eqn: Q]는 점 [eqn: F']으로부터 거리가

항상 6인 점이므로 점 [eqn: F']을 중심으로 하고 반지름의 길이가 6인 원위의 점이다.

한편 주어진 쌍곡선의 점근선의 방정식이

[eqn: y= ±{ root3} over {3 }x] 이므로 점근선이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기는 각각

[eqn: { pi} over {6 } ,~{ 5pi} over {6 }] 이고  이 때 [eqn: ∠PF'F = θ] 라 하면 [eqn: x>0]일 때 [eqn: 0`<`θ `<{ pi} over {6 }] 이다.

따라서 점 [eqn: Q]가 움직이는 도형의 길이는

중심각의 크기가 [eqn: { pi} over {3 }] 이고 반지름의 길이가 6인 부채꼴의 호의 길이이므로

[eqn: 6× { pi} over {3 } = 2pi]

□ ③

10. 돼지의 무게를 [eqn: X`]라 하면 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N( 110, 10^2 )]을 따른다. 우량돼지 선발대회에 보낼 세 마리의 돼지에서 최소 무게를 [eqn: k`]라 하면

[eqn: P ( X>= k ) = 3 over 200][eqn: = 0.015`]

이므로

[eqn: P ( X>= k )][eqn: =P left( Z >= k-110 over 10 right)]

[eqn: = 0.5 -P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)]

[eqn: =0.015`]

∴ [eqn: P left( 0<= Z <= k-110 over 10 right)][eqn: =0.4850]

이 때,  표준정규분포표에서

[eqn: P left( 0<= Z <= 2.17 right) =0.4850]

이므로

[eqn: k-110 over 10 = 2.17]

∴ [eqn: k= 131. 7]

따라서 우량 돼지 선발대회에 보낼 돼지의 최소 무게는 [eqn: 131. 7 \kg`]이다.

□ ④

11. [eqn: a_n +a_n+1 = n`]이므로

[eqn: a_n+m-1 +a_n+m = n+m-1`]이다.

∴ [eqn: sum_k=n-m+1 ^n+m a_k `]

[eqn: =(a_n-m+1 + a_n-m+2 ) +(a_n-m+3 +a_n-m+4 )`][eqn: +⋯+(a_n+m-1 + a_n+m )`]

[eqn: = (n-m+1)+(n-m+3)+⋯+(n+m-1)`]

이 때, 첫째항이 [eqn: n-m+1`], 공차가 2인 등차수열에서

[eqn: n+m-1`][eqn: =(n-m+1)+2(m-1)`]은

제 [eqn: m`]째 항이므로 이 등차수열의 합은

[eqn: {m left{ (n-m+1)+(n+m-1)right}} over 2`][eqn: =mn`]

따라서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은 차례로

[eqn: n+m-1`], [eqn: m`], [eqn: mn`]이다.

□ ①

12. ㄱ.

(참)

ㄴ.

(참)

ㄷ.

(참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

13. ㄱ. [eqn: G(3) = P(X>3`)`]

[eqn: = 1- P(0<= X<= 3)`]

[eqn: = 1- F(3)`]  (참)

ㄴ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(0<= X<= 8 ) - P(0<= X<3 )`]

[eqn: = P(0<=X<=8 ) - P(0<=X<= 2 )`]

[eqn: = F(8) - F(2)`]  (거짓)

ㄷ. [eqn: P(3<= X<= 8 ) = P(X>= 3) - P(X>8 )`]

[eqn: = P(X>2 ) - P(X>8 )`]

[eqn: = G(2) - G(8)`]  (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

□ ④

14. [eqn: S_1 = 2+ { pi} over {2 }]

[eqn: S_2 = { pi} over {2 } + LEFT ( 1+ { pi} over {4 } RIGHT ) = 1+ LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } RIGHT )]

[eqn: S_3 = { pi} over {2 } + LEFT ( { 1} over {2 }+ { pi} over {4 }+ { pi} over {8 } RIGHT )]                  [eqn: = { 1} over {2 }+ LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } + { pi} over {8 }RIGHT )]

[eqn: ⋮]

[eqn: lim from { n -> inf }S_n = { { pi} over {2 }} over {1- { 1} over {2 } } =pi][eqn: S_n = 2 LEFT ({ 1} over {2 } RIGHT )^n-1 + LEFT ( { pi} over {2 } + { pi} over {4 } + { pi} over {8 } +⋯ +{ pi} over {2^n } RIGHT )]

이므로

[eqn: lim from { n -> inf }S_n = { { pi} over {2 }} over {1- { 1} over {2 } } =pi]

□ ④

15. [eqn: A= pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }]의 역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ac - b^2 = 0]

∴ [eqn: b^2 =ac]

ㄱ. [eqn: b^2 = ac`]에서 [eqn: b`]는 [eqn: a`]와 [eqn: c`]의 등비중항이므로 [eqn: a, ~b, ~c]는 이 순서로 등비수열을 이룬다. (참)

ㄴ. [eqn: A+ E = pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }+ pmatrix { ~1~&~0~ # ~0~&~1~ }]

[eqn: = pmatrix { ~a+1~&~b~ # ~b~&~c+1~ }]

이 때,

[eqn: (a+1)(c+1) - b^2][eqn: = ac + a+ c +1 - b^2]

[eqn: = a+c+1 !=0]

([eqn: because ac- b^2 = 0], [eqn: a>0, c>0])

따라서 [eqn: A+E`]는 역행렬이 존재한다. (참)

ㄷ. [eqn: A^2 = pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }]

[eqn: =pmatrix { ~a^2 + b^2 ~&~ab+bc~ # ~ab+bc~&~b^2 + c^2 ~ }]

[eqn: =pmatrix { ~a~&~b~ # ~b~&~c~ }][eqn: = A`]

에서 행렬이 서로 같을 조건에 의해

[eqn: ab + bc = b]

∴ [eqn: a+c = 1] ( [eqn: because b>0]) (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이다.

□ ⑤

16. [eqn: n=1,2,3,cdots`]일 때 [eqn: \P_n`]의 좌표를 차례로 나열하면 다음과 같다.

[eqn: (1,1)→(1,2)`]	: [eqn: 2^1]개

[eqn: →(2,1)→(2,2)→(2,3)→(2,2^2 )`]: [eqn: 2^2`]개

[eqn: →(3,1)→(3,2)→⋯→(3,2^3 )`]	: [eqn: 2^3`]개

[eqn: →(4,1)→(4,2)→⋯→(4,2^4 )`]	: [eqn: 2^4`]개

[eqn: ⋯`]

[eqn: →(10,1)→(10,2)→⋯→(10,2^10 )`]: [eqn: 2^10`]개

따라서 구하는 [eqn: n`]의 값은

[eqn: 2+2^2 +2^3 +⋯+2^10 = {2(2^10 -1)}over 2-1`][eqn: =2^11 -2`]

□ ③

17. 각 행에서 하나씩 택하여 곱하는 경우의 수는

(가지)

택한 수의 곱이 3으로 나누었을 때, 나머지가 1이 되는 경우는 택한 세 수의 지수의 합이 짝수일 때이다. 1행, 2행, 3행에서 택한 수의 지수를 순서쌍으로 나타내어 지수의 합이 짝수인 경우는 다음과 같다.

(ⅰ) (짝수, 짝수, 짝수)

(가지)

(ⅱ) (짝수, 홀수, 홀수)

(가지)

(ⅲ) (홀수, 짝수, 홀수)

(가지)

(ⅲ) (홀수, 홀수, 짝수)

(가지)

따라서 구하는 확률은

□ ③

18. [eqn: lim_x->0 `20x over{ root 4+x - root 4-x }`]

[eqn: = lim_x->0 ``{20x(root 4+x + root 4-x )` }over{ (root 4+x - root 4-x )(root 4+x + root 4-x )}`]

[eqn: = lim_x->0 ``{20x(root 4+x + root 4-x )` }over 2x`]

[eqn: = lim_x->0 ``10(root 4+x + root 4-x )`]

[eqn: = 10 (2+2)`]

[eqn: = 40`]

□ [eqn: 40`]

19. [eqn: f(x)=2x^3 -9x^2 +12x +2]에서

[eqn: f`'(x)=6x^2 -18x +12]

[eqn: = 6(x^2 -3x+2)]

[eqn: =6(x-1)(x-2)]

이 때 [eqn: f`'(x)=0]인 [eqn: x]의 값은

[eqn: x=1~또는~x=2]이므로 함수[eqn: f(x)]의

극대값 [eqn: M]과 극소값[eqn: m]의 곱은

[eqn: Mm = f(1)×f(2)]

이다. 따라서

[eqn: f(1)= 2-9+12+2 =7]

[eqn: f(2)= 16-36+24+2 =6]

이므로

[eqn: `Mm = f(1)×f(2)= 7×6 =42]

□ 42

20. [eqn: y`' = 3x^2 `]이므로 점 [eqn: P(t, t^3 )`]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y= 3t^2 (x-t) + t^3 `]

즉, [eqn: 3t^2 x -y - 2t^3 =0] [eqn: cdots ㉠]

직선 ㉠과 원점 사이의 거리 [eqn: f(t)]는

[eqn: f(t) = { vert - 2 t^3 vert } over { root{(3t^2 )^2 + (-1)^2 } }]

∴ [eqn: lim_t->inf {f(t)}over t][eqn: =lim_t->inf{ 2t^3 } over { t root{9t^4 + 1 } }]

[eqn: = 2over 3`]

∴ [eqn: 30 alpha = 20`]

□ [eqn: 20]

21. 점 [eqn: \O`]에서 평면 [eqn: \ABCD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면 [eqn: bar \BH = root2`]이므로

[eqn: bar \OH = root{2^2 -(root2 )^2 } = root{2}`]

[eqn: \O`]

[eqn: \A`]

[eqn: \B`]

[eqn: \C`]

[eqn: \E`]

[eqn: \F`]

[eqn: \\G`]

[eqn: \O'`]

[eqn: \H`]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: z]

이 때, 그림과 같이 좌표공간을 설정하면 두 점 [eqn: \\B`], [eqn: \F`]의 좌표는 각각

[eqn: \\B`][eqn: (1,-1,-root2 )`], [eqn: \F`][eqn: (-1,3,-root2 )`]

∴ [eqn: vec \OB = (1,-1,-root2 )`], [eqn: vec \OF = (-1,3,-root2 )`]

∴ [eqn: \ left| {vec OB }` + {vec OF} right|^2`][eqn: =|(0,2,-2root2 )|^2`]

[eqn: = 0^2 +2^2 +(-2root2 )^2 `]

□ [eqn: 12]

22. 타원의 정의로부터

----- ㉠

또, 이므로 아래 그림과 같이 점 는 중심이 원점이고 지름의 길이가 인 원위의 점이다.

이 때, 이고 이므로

------㉡

따라서 ㉠과 ㉡으로부터

□ [eqn: 32`]

23. [eqn: a = log_2``n ``, ```b = 2^n`]이므로

[eqn: a+b = log_2``n `+ 2^n`]

[eqn: a+b`]가 세 자리의 자연수이고

[eqn: n<=6`]일 때, [eqn: a+b <= log_2``6 + 2^6 `<100`]

[eqn: n>=10`]일 때, [eqn: a+b >= log_2``10 + 2^10 `>1000`]

이므로 [eqn: 6<n<10`]

[eqn: n= 7`]일 때, [eqn: a+b = log_2`7 + 2^7 `]은 자연수가 아니다.

[eqn: n=8`]일 때, [eqn: a+b = log_2``8 + 2^8 = `259`]

[eqn: n=9`]일 때, [eqn: a+b = log_2``9 + 2^9`]은 자연수가 아니다.

∴ [eqn: a+b= 259`]

□ [eqn: 259`]

24. 여학생 5명을 1, 2호실에 각각 3명,

2명씩 배정하는 방법의 수는

[eqn: `_5 C_3 × `_2 C_2 = 10]

남학생 6명을 3, 4호실에 각각 3명씩

배정하는 방법의 수는

[eqn: `_6 C_3 × `_3 C_3 × { 1} over { 2!} ×2! = 20]

따라서 구하는 모든 방법의 수는

[eqn: 10 ×20 =200]

□ [eqn: 200`]

25. 반지름의 길이가 [eqn: 6`]인 원판이 평면 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]와 맞닿는 점을 각각 [eqn: A, B`]라 하고, 두 점 [eqn: A, B`]에서 교선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: O`]라 하고, 점 [eqn: O`]에서 선분 [eqn: AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: H~]라 하면 주어진 상황의 단면을 다음 그림과 같이 나타낼 수 있다.

[eqn: alpha`]

[eqn: beta`]

[eqn: 12]

[eqn: 30DEG]

[eqn: 60DEG]

[eqn: 6]

[eqn: 3]

태양광선

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: O]

[eqn: H]

[eqn: 30DEG]

따라서 그림자가 [eqn: S`]부분에 해당되는 영역 [eqn: S ``'`]은 원판에서 다음과 같다.

[eqn: A]

[eqn: B]

[eqn: 3]

[eqn: 6]

[eqn: 60DEG]

[eqn: C]

[eqn: P]

[eqn: Q]

[eqn: S``']

[eqn: S``'= 6^2 pi -]{(부채꼴[eqn: PQC]의 넓이)

-(삼각형 [eqn: PQC]의 넓이)}

[eqn: = 36pi - ( 1over 2 cdot 6^2 cdot 2pi over 3 - 1 over 2 cdot 6^2 cdot sin 2pi over 3 )]

[eqn: = 36pi - ( 12pi - 9 root3 )]

[eqn: = 24pi +9 root3]

이 때, [eqn: S= {S``' }over {cos 30DEG}]이므로

[eqn: S = {24pi +9 root3 } over { root3 over 2}][eqn: = 18 + 16 root3 pi]

∴ [eqn: a=18], [eqn: b= 16`]

∴ [eqn: a+b = 34`]

□ [eqn: 34`]

[미분과 적분]

26.

[eqn: tan theta = {2tan theta over 2} over { 1- tan^2 theta over 2 }`][eqn: = {4over 3} over{ 1- 4 over 9}`][eqn: = 12 over 5`]

∴ [eqn: cos theta = 5 over 13`] (∵ [eqn: 0< theta < pi over 2 `])

□ ⑤

27. 양변을 에 대하여 미분하면

따라서 점 에서의 접선의 기울기는  즉, 이다.

□ ①

28. ㄱ. [eqn: f``(x)`]는 미분가능하므로 연속함수이다.

[eqn: f``(-1) = -1 ,``f``(0) = 1`]이므로

중간값의 정리에 의하여

[eqn: f``(c_1 ) = 1over2`]인 실수[eqn: c_1`]이 구간[eqn: (-1, 0)`]에 적어도 한 개 존재한다.

또한, [eqn: f``(0) = 1 ,```f``(1) = 0`]이므로

[eqn: f``(c_2 ) = 1over2`]인 실수[eqn: c_2`]가 구간[eqn: (0,1)`]에 적어도 한 개 존재한다.

따라서,[eqn: f``(a)= 1over2`]인 실수[eqn: a`]가 구간[eqn: (-1, 1)`]에 적어도 두 개 존재한다. (참)

ㄴ. [eqn: g(x) = f``(x) + x`]로 놓으면

[eqn: f``(x)`]가 연속함수이므로 [eqn: g(x)`]도 연속함수이다.

[eqn: g(0) = f``(0)+0 = 1+0 = 1`]

[eqn: g(1) = f``(1) +1 = 0+1 = 1`]

이므로 롤의 정리에 의하여

[eqn: g`'(b) = 0`]인 실수[eqn: b`]가 구간[eqn: (0,1)`]에 적어도 한 개 존재한다.

[eqn: g`'(x) = f``'(x) + 1`]이므로

[eqn: g``'(b) = f``'(b) +1 =0`]에서 [eqn: f``'(b) = -1`]

따라서, [eqn: f``'(b) = -1`]인 실수[eqn: b`]가 구간[eqn: (0,1)`]에 적어도 한 개 존재한다. (참)

ㄷ. (반례) [eqn: f``(x) = - 3over2 x^2 + 1over2 x+1`]이면

[eqn: f``(-1) = -1 ,``f``(0) = 1 ,``f``(1) = 0`]이지만

[eqn: f``'(x) = -3x + 1over2`]

[eqn: f``''(x) = -3`]이므로

[eqn: f``''(c) =0`]인 실수[eqn: c`]는 존재하지 않는다. (거짓)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

□ ②

29. 오른쪽 그림에서

A

B

O

[eqn: a]

[eqn: r]

[eqn: θ]

삼각형 [eqn: OAB]

넓이는

[eqn: △OAB = { 1} over {2 } r^2 sinθ]

한편 삼각형 [eqn: OAB]의

내접원의 반지름의

길이를 [eqn: a]라 하면

[eqn: △OAB = { 1} over {2 } ra+{ 1} over {2 } ra+{ 1} over {2 } a ×barAB]      이 때 [eqn: barAB = 2r sin { θ} over { 2}] 이므로

[eqn: { 1} over {2 } r^2 sinθ = ar+ ar sin{ θ} over {2 }]

[eqn: ∴ ```a= { { 1} over {2 } r sinθ} over {1+sin{ θ} over { 2} }]

따라서[eqn: l_1 = rθ , ```l_2 = { pi r sinθ} over { 1+ sin { θ} over {2 } }]이므로

[eqn: lim from { θ ->0 } { l_2} over {l_1 } = lim from { θ ->0 }{ 1} over {rθ }× { pi r sinθ} over {1+ sin { θ} over {2 } }]

[eqn: = lim from { θ ->0 }{ sinθ} over {θ }× { pi} over {1+ sin { θ} over {2 } }]

[eqn: = 1 × pi =pi]

□ ③

30. [eqn: S_n = int_(n-1)pi ^ {n pi} left| left( 1over 2 right)^n sin x right vert dx]

[eqn: = left( 1over 2 right)^n int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx]

이 때, [eqn: y= vert sin x ` vert]는 주기가 [eqn: pi`]인 주기함수이므로 임의의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx = int_0 ^pi sin x dx]

[eqn: = left[ - cos x right]_0 ^pi][eqn: =2`]

∴ [eqn: S_ n = left( 1over 2 right)^n int_(n-1)pi ^ {n pi} left|sin x right vert dx]

[eqn: = 2 cdot left( 1over 2 right)^n]

[eqn: = left( 1over 2 right)^n-1]

∴ [eqn: SUM_n=1 ^inf S_n = SUM_n=1 ^inf left( 1over 2 right)^n-1][eqn: = 1over { 1- 1over 2 }][eqn: =2]

∴ [eqn: alpha = 2`]

∴ [eqn: 50 alpha = 100]

□ [eqn: 100]

[확률과 통계]

26. (평균)

[eqn: ="{"{1+2+4×10+(10+a)+2×20+2(20+b)`}][eqn: +4×30+(30+c)+40+2×42+43 "}"`][eqn: ÷``20`]

[eqn: = {450+a+2b+c} over 20 = 23`]

∴ [eqn: a+2b+c = 10`] ⋯ ㉠

한편, 중간값은 20개의 자료 중 10번째로 큰 수와 11번째로 큰 수의 평균과 같으므로

(중간값)

[eqn: = {(20+b)+(20+b)} over 2 =20+b = 24`]

∴ [eqn: b=4`] ⋯ ㉡

㉠[eqn: -`]㉡을 계산하면

[eqn: a+b+c = 6`]

□ ①

27. 완주시간을 확률변수 라 하면 는 정규분포 을 따른다.

이 때, 참가자 중 임의추출한 100명의 평균완주시간을 라 하면 표본평균 는 정규분포  즉,  을 따른다.

따라서 구하는 확률은

□ ②

28. 한 상자에서 3개를 임의추출할 때 나오는 상한 과일의 개수를 확률변수[eqn: X`]라고 하면

[eqn: P(X=0)= {``_38 C_3 } over{ ``_40 C_3 }` = `111over130`]

[eqn: P(X>=1 )` = 1- P(X=0 )` = 1- 111 over 130 = 19 over 130`]

이므로 한 상자를 판매할 때 판매액의 기댓값은

[eqn: 5000 × 111 over 130 + 6000 × 19 over 130`] (원)

이고, 130상자를 판매할 때 전체 판매액의 기댓값은

[eqn: 130 × left( 5000 × 111 over 130 + 6000 × 19 over 130 ``right)`]

[eqn: = 555000 + 114000`]

[eqn: = 669000`](원)

□ ⑤

29. 표본비율을 [eqn: hatp]이라 하면

[eqn: hatp = { 400} over {1000 } =0.4]이므로

신뢰도 95%의 신뢰구간의 길이 [eqn: N]은

[eqn: N=2×1.96 × root{{hatp hatq } over {n }}]

[eqn: = 2×1.96 × root{{0.4× 0.6 } over {1000 }}]

한편 이 때의 최대 허용 표본 오차 [eqn: M]은

[eqn: M=1.96 × root{{1 } over {4n }} = 1.96 × root{{1 } over {4000 }}]

[eqn: ∴````{ N} over { 2M} ={ 2×1.96 × root{{0.4× 0.6 } over {1000 }}} over {2×1.96 × root{{1 } over {4000 }}}]

[eqn: ={ root{{0.4× 0.6 } over {1000 }}} over { root{{1 } over {4000 }}}]

[eqn: = { 2root6} over {5 }]

□ ④

30. [eqn: 1]일째 표본의 범위는 [eqn: 77-50 =27`]

[eqn: 2`]일째 표본의 범위는 [eqn: 70- 48 = 22`]

[eqn: 3`]일째 표본의 범위는 [eqn: 69 - x`] ([eqn: because x<70])

이들 세 범위의 평균은

[eqn: {27+22+69-x} over 3 = 2 cdot 11]

[eqn: {118-x} over 3 = 22]

∴ [eqn: x= 118- 66 = 52]

□ [eqn: 52`]

[이산수학]

26. [eqn: n=1,2,3,cdots`]일 때 [eqn: 3^n`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지를 차례로 쓰면

[eqn: 3,~4,~2,~1,~3,~4,~2,~1,~⋯`]

과 같이 [eqn: 3,~4,~2,~1`]이 주기적으로 반복된다.

이 때, [eqn: 303=4×75+3`]이므로 [eqn: 3^303`]을 [eqn: 5`]로 나눈 나머지는 [eqn: 2`]이다.

□ ②

27. 반례는 꼭지점을 적절하게 색칠하는 데 필요한 최소의 색의 수가 2이지만 수형도는 아닌 것이다.

수형도는 회로를 갖지 않는 연결된 그래프이므로 보기 중 수형도가 아닌 것은 ③, ④, ⑤이다.

이 중 ③과 ⑤는 꼭지점을 색칠하는데 필요한 최소의 색수는 3개이고 ④는 2개이므로 반례로 알맞은 것은 ④이다.

□ ④

28. 주어진 인접행렬을 이용하여 5개의 꼭지점을 연결한 그래프를 그리면 다음과 같다.

•

[eqn: e]

[eqn: d]

[eqn: c]

[eqn: b]

[eqn: a]

•

•

•

•

ㄱ. 변의 개수는

[eqn: ab ,``ac ,``ad ,``bc ,``be,``cd,``ce,``de`]

의 8개이다. (참)

ㄴ. 각 꼭지점의 차수는

[eqn: a``:``3`], [eqn: b``:``3`], [eqn: c``:``4`], [eqn: d``:``3`], [eqn: e``:``3`]

이므로 차수가 3차인 꼭지점은 [eqn: a,b,d,e`]의 4개이다. (참)

ㄷ. 꼭지점[eqn: a`]에서 꼭지점[eqn: c`]를 잇는 두 개의 변으로 이루어진 경로는

[eqn: abc ,```adc`]

의 2개이다. (참)

따라서 보기 중 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

□ ⑤

29. 도시 D와 도시 E 사이를 직접 연결하   면서 모든 도시가 연결되도록 도로망을

연결할 때 최소비용으로 연결하는 방법은

다음과 같다.

A

F

B

D

E

G

H

C

15

16

18

15

17

20

30

따라서 필요한 최소비용은

[eqn: 15+16+30+17+15+18 +20 = 131]

□ ①

30. 지점 [eqn: A`]에서 출발하여 [eqn: 5`]개의 지점을 거쳐[eqn: B, C, D, I, J, K`] 지점 [eqn: L`]에 도착하는 경우는 다음과 같다.

(i)의 [eqn: 6`]개의 점에서 한 점을 거친 후에 [eqn: E, F, G, H`]를 거치는 경우

[eqn: `_6 C_ 1 = 6](가지)

(ii)[eqn: E`]와 [eqn: H`]를 거치고, [eqn: F`]와 [eqn: G`] 중 한 점을 거치지 않고, [eqn: B]와 [eqn: C], [eqn: C]와 [eqn: D], [eqn: I`]와 [eqn: J`], [eqn: J]와 [eqn: K`]를 연속하여 거치는 경우의 수는

[eqn: 4`](가지)

(iii)[eqn: E`]와 [eqn: H`]를 거치고, [eqn: F`]와 [eqn: G`]를 모두 거치지 않는 경우의 수는

[eqn: 2`](가지)

따라서 (i), (ii), (iii)에서 구하는 경우의 수는

[eqn: 6+4+2 = 12`] (가지)

□ [eqn: 12`]