수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2017학년도 3월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: sin` {7} over {6} pi `]의 값은? [2점]

12

① [eqn: - root3 over 2]	② [eqn: - root2 over 2]	③ [eqn: - 1 over 2]	④ [eqn: 1 over 2]	⑤ [eqn: root2 over 2]

2. [eqn: {}_{6`} {rm C} _{3} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

3. 함수 [eqn: f(x)=e ^{`x ^{`2} -1} `]에 대하여 [eqn: f`` prime(1)`]의 값은? [2점]

12

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. [eqn: int_1^e^{`2} {(lnx )^{`3}} overx `dx`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2`ln2]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4 `ln2]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 6` ln 2]

5. 좌표평면에서 곡선 [eqn: y=a ^{`x}`]을 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 곡선이 점 [eqn: (2,``3)`]을 지날 때, 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: sqrt3]	② [eqn: log _{`2} `3]	③ [eqn: root {4} of {`3}]

④ [eqn: root {3} of {`2}]	⑤ [eqn: log _{`3} `2]

6. 함수 [eqn: y=a`sin` {pi } over {2b} x`]의 최댓값은 [eqn: 2`]이고 주기는 [eqn: 2`]이다. 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]의 합 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {17} over {8}]	③ [eqn: {9} over {4}]	④ [eqn: {19} over {8}]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

7. 좌표평면에서 자연수 [eqn: n`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=log _{`2} `x], [eqn: y=log _{`2} `(2 ^{`n} -x)`]가 만나는 점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: a _{`n}`]이라 할 때, [eqn: sum _{n=1} ^{5} a _{`n}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

8. 곡선 [eqn: y=(`ln`x) ^{`2} -x+1`]의 변곡점에서의 접선의 기울기는?

[3점]

① [eqn: 1 over e -1]	② [eqn: 2 over e -1]	③ [eqn: 1 over e]	④ [eqn: 2 over e +1]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

9. 곡선 [eqn: y=sin ^{2} `x`cos`x`][eqn: left(0 LEQ x LEQ pi over 2 right)`]와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는? [3점]

① [eqn: 1 over4]	② [eqn: 1 over3]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

10. 점 [eqn: rmO`]를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 [eqn: 1], [eqn: root2`]인
두 원 [eqn: C _{`1}], [eqn: C _{`2} `]가 있다. 원 [eqn: C _{`1}] 위의 두 점 [eqn: \P], [eqn: rm Q`]와 원 [eqn: C _{`2}] 위의 점 [eqn: rm R`]에 대하여 [eqn: ANGLE rm QOP it = alpha], [eqn: angle{\ROQ} = beta`]라 하자. [eqn: rmbar{OQ} BOT bar{QR}`]이고 [eqn: sin `alpha= {4} over {5}`]일 때, [eqn: cos` LEFT ( alpha + beta)`]의 값은?
(단, [eqn: 0<alpha < pi over 2], [eqn: 0<beta < pi over 2]) [3점]

① [eqn: - {root6} OVER 10]	② [eqn: - {root5} OVER 10]	③ [eqn: - 1 over 5]

④ [eqn: - {root3} OVER 10]	⑤ [eqn: - root2 over 10]

11. 그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log `_a` x], [eqn: y=log `_b` x `]([eqn: 1 < a<b`])와 직선 [eqn: y=1`]이 만나는 점을 [eqn: {\A}_1], [eqn: {\B}_1`]이라 하고, 직선 [eqn: y=2`]가 만나는 점을 [eqn: {\A}_2], [eqn: {\B}_2`]라 하자. 선분 [eqn: rm`A it _{1} rm B it rm _{1}`]의 중점의 좌표는 [eqn: (2,``1)`]이고 [eqn: bar{rm`A it _{1} rm B it rm _{1}} = 1`]일 때, [eqn: bar{{\A}_2{\B}_2} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3 root2]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 4 root2]	⑤ [eqn: 6]

12. [eqn: c<b<a<10`]인 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]에 대하여 백의 자리의 수, 십의 자리의 수, 일의 자리의 수가 각각 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c`]인 세 자리의 자연수 중 [eqn: 500`]보다 크고 [eqn: 700`]보다 작은 모든 자연수의 개수는?

[3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

13. 좌표평면 위의 한 점 [eqn: rm P it (t,``0)`]을 지나는 직선 [eqn: x=t`]와 두 곡선 [eqn: y=ln `x], [eqn: y=it - ln`x`]가 만나는 점을 각각 [eqn: \A], [eqn: \B`]라 하자. 삼각형 [eqn: \AQB`]의 넓이가 [eqn: 1`]이 되도록 하는 [eqn: x`]축 위의 점을 [eqn: rmQ`]라 할 때, 선분 [eqn: \PQ`]의 길이를 [eqn: f(t)`]라 하자. [eqn: lim _{t`->`1+} (t-1) f(t)`]의 값은?

(단, 점 [eqn: \Q`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: t`]보다 작다.) [3점]

① [eqn: 1 over 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 5 over 2]

14. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f(x+2)=f(x)`]이고, [eqn: 0 LEQ x<2`]일 때 [eqn: f(x)= {(x-a) ^{2}} over {x+1}`]인 함수 [eqn: f(x)`]가 [eqn: x=0`]에서 극댓값을 갖는다. 구간 [eqn: [`0,``2)`]에서 극솟값을 갖도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -1]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

15. 여학생 [eqn: 3`]명과 남학생 [eqn: 6`]명이 원탁에 같은 간격으로 둘러앉으려고 한다. 각각의 여학생 사이에는 [eqn: 1`]명 이상의 남학생이 앉고 각각의 여학생 사이에 앉은 남학생의 수는 모두 다르다. [eqn: 9`]명의 학생이 모두 앉는 경우의 수가 [eqn: n` TIMES 6!`]일 때, 자연수 [eqn: n`]의 값은? (단, 회전하여 일치하는 것들은 같은 것으로 본다.) [4점]

① [eqn: 10]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 14]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 18]

16. 연속함수 [eqn: f(x)`]가

[eqn: int _{-1} ^{1} {f(x)`dx=12}], [eqn: int _{0} ^{1} {xf(x)`dx= int _{0} ^{-1} {xf(x)`dx}}]

를 만족시킨다. [eqn: int _{-1} ^{x} {f(t)`dt=F`(x)}`]라 할 때, [eqn: int _{-1} ^{1} {F`(x)`dx}`]의 값은? [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 10]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 14]

17. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 1`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 2`]인 부채꼴 [eqn: \OAB`]가 있다. 호 [eqn: \AB`] 위의 점 [eqn: \P`]에 대하여 점 [eqn: \B`]에서 선분 [eqn: \OP`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q], 점 [eqn: \Q`]에서 선분 [eqn: \OB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \R`]라 하자. [eqn: {angle \BOP } = theta`]일 때, 삼각형 [eqn: \RQB`]에 내접하는 원의 반지름의 길이를 [eqn: r(theta)`]라 하자. [eqn: lim _{theta`-> ` 0+} {r(theta)} over{ theta ^{`2} }`]의 값은? (단, [eqn: 0< theta < pi over 2`]) [4점]

① [eqn: 1 over2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 3 over 2`]	④ [eqn: 2`]	⑤ [eqn: 5 over 2]

18. 그림은 함수 [eqn: f(x)=x ^{`2} e ^{`-x+2}`]의 그래프이다.

함수 [eqn: y = (f CIRCf)(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y= 15 over e^{`2}`]의 교점의 개수는?
(단, [eqn: lim _ {x`->`inf} f(x) =0`]) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 5]	⑤ [eqn: 6]

19. 곡선 [eqn: y=e ^{`x} `]과 [eqn: y`]축 및 직선 [eqn: y=e`]로 둘러싸인 도형을 밑면으로 하는 입체도형이 있다. 이 입체도형을 [eqn: y`]축에 수직인 평면으로 자른 단면이 모두 정삼각형일 때, 이 입체도형의 부피는? [4점]

① [eqn: {sqrt {3}(e+1)} over {4}]	② [eqn: {sqrt {3}(e-1)} over {2}]	③ [eqn: {sqrt {3}(e-1)} over {4}]

④ [eqn: {sqrt 3 {(e-2)}} over {2}]	⑤ [eqn: {sqrt 3 {(e-2)}} over {4}]

20. 그림과 같이 가로로 [eqn: n`]개, 세로로 [eqn: 2`]개씩 총 [eqn: 2n`]개의 크기가 같은 정사각형 모양의 타일을 이어 붙인다.

	[eqn: n`]개 [eqn: OVERBRACE {~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~} {pile}]
첫째 줄
둘째 줄

이 타일 중에서 [eqn: 3`]개를 골라 검은색으로 칠하되, 검은색으로 칠한 타일이 서로 이어 붙지 않게 하려고 한다. 다음은 검은색으로 칠한 타일이 이어 붙지 않은 경우와 이어 붙은 경우의 한 예이다.

이어 붙지 않은 경우 :
이어 붙은 경우 :

다음은 [eqn: n GEQ 6`]일 때, 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수 [eqn: S`(n)`]을 구하는 과정이다.

첫째 줄에 있는 타일 중 검은색으로 칠할 타일의 개수를 [eqn: k`]([eqn: k=0,``1,``2,``3])이라 하면

(ⅰ) [eqn: k=0`]일 때 둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(가)~}}`]이다.

(ⅱ) [eqn: k=1`]일 때 둘째 줄에 있는 [eqn: n`]개의 타일 중에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 2`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {}_{3`} {\H}_n-3`]이고, 첫째 줄에서 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 1`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {BOX{~(나)~}}`]이므로, 검은색으로 칠할 타일 [eqn: 3`]개를 고르는 경우의 수는 [eqn: {}_{3`} {\H}_n-3 times][eqn: {BOX{~(나)~}}`]이다.

(ⅲ) [eqn: k=2`]일 때 (ⅱ)와 같은 방법으로 구할 수 있다.

(ⅳ) [eqn: k=3`]일 때 (ⅰ)과 같은 방법으로 구할 수 있다.

따라서 [eqn: S`(n)][eqn: ={2 (n-2)(2n^{`2} -8n+9)} over 3`]이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 [eqn: f(n)], [eqn: g(n)`]이라 할 때, [eqn: f(10)+g(8)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 60]	② [eqn: 61]	③ [eqn: 62]	④ [eqn: 63]	⑤ [eqn: 64]

21. 구간 [eqn: [`0,``1`]`]에서 정의된 연속함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수

[eqn: F`(x)=int _0 ^{`x} f(t)` dt`] ([eqn: 0 le x le 1`])

은 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: F`(x) = f(x) -x`]

(나) [eqn: int_0 ^1 F`(x)`dx = e - 5 over 2`]

<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: F`(1) = e] ㄴ. [eqn: int_0 ^1 xF`(x)` dx = 1 over 6] ㄷ. [eqn: int _0 ^1 left{F`(x)right}^{`2}` dx = 1 over 2 e^{`2} -2 e + 11 over 6`]

① ㄴ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. 부등식 [eqn: 3 ^{`x-4} le 1 over {9} `]을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합을 구하시오. [3점]

23. 함수 [eqn: f(theta) = 1- {1} over {1+2`sin` theta }`]일 때, [eqn: lim _{theta `->` 0} {} {10f( theta )} over {theta }`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 구간 [eqn: (-1,``INF)`]에서 정의된 함수 [eqn: f(x)=xe ^{`x} +e`]의 역함수를 [eqn: g(x)`]라 할 때, [eqn: 60`g ``prime (e)`]의 값을 구하시오. [3점]

25. 그림과 같이 길이가 [eqn: 12`]인 선분 [eqn: \AB`]를 지름으로 하는 반원이 있다. 반원 위에서 호 [eqn: \BC`]의 길이가 [eqn: 4pi`]인 점 [eqn: \C`]를 잡고 점 [eqn: \C`]에서 선분 [eqn: \AB`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하자. [eqn: {bar {\CH}} ^{`2}`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 다음 조건을 만족시키는 네 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d`]로 이루어진 모든 순서쌍 [eqn: (a,``b,``c,``d)`]의 개수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: a+b+c+d=6`]

(나) [eqn: a TIMES b TIMES c TIMES d`]는 [eqn: 4`]의 배수이다.

27. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=2^{`x} `]을 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 후, [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 1 over 4`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 1 over4`]만큼 평행이동한 곡선을 [eqn: y=f(x)`]라 하자. 곡선 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: y=x+1`]이 만나는 점 [eqn: \A`]와 점 [eqn: rm B(0,``1)`] 사이의 거리를 [eqn: k`]라 할 때, [eqn: 1 over k^{`2}`]의 값을 구하시오. [4점]

28. 연속함수 [eqn: f(x)`]와 그 역함수 [eqn: g(x)`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(1) =1], [eqn: f(3) =3], [eqn: f(7) =7`]

(나) [eqn: x!=3`]인 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: f``''(x)<0`]이다.

(다) [eqn: int _{1} ^{7} {f(x)} `dx= 27], [eqn: int _{1} ^{3} {g(x)} `dx=3`]

[eqn: 12 int _{3} ^{7} {} LEFT | `f(x)-x RIGHT |` dx`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 그림과 같은 [eqn: 7`]개의 사물함 중 [eqn: 5`]개의 사물함을 남학생 [eqn: 3`]명과 여학생 [eqn: 2`]명에게 각각 [eqn: 1`]개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오. [4점]

3층 →
2층 →
1층 →

30. 그림과 같이 제[eqn: `1`]사분면에 있는 점 [eqn: rm P LEFT ( it a,``2a RIGHT ) `]에서 곡선 [eqn: y= it - {2} over {x} `]에 그은 두 접선의 접점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]라 할 때, [eqn: {bar{\PA}} ^{`2} + {bar{\PB}} ^{`2} + {bar{\AB}} ^{`2} `]의 최솟값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.