수리영역 정답

1. ①	2. ③	3. ①	4. ②	5. ⑤

6. ④	7. ②	8. ③	9. ④	10. ②

11. ③	12. ④	13. ④	14. ①	15. ⑤

16. ①	17. ⑤	18. ③	19. ④	20. ⑤

21. ③	22. ②	23. ③	24. ②	25. ⑤

1. 행렬과 그래프

정답 ①

[eqn: A= pmatrix{````````0&`````````1`#`-1&`````````1`}]에서

[eqn: A ^{2} = pmatrix{````````0&`````````1`#`-1&`````````1`} pmatrix{````````0&`````````1`#`-1&`````````1`} = pmatrix{`-1&`````````1`#`-1&`````````0`}]

[eqn: A ^{3} =A ^{2} A= pmatrix{`-1&`````````1`#`-1&`````````0`} pmatrix{````````0&`````````1`#`-1&`````````1`} = pmatrix{`-1&```````````0`#````````0&`````-1`} =-E]

이므로 [eqn: A ^{6} =(A ^{3`} ) ^{2} =(-E) ^{2} =E]이다.

따라서 [eqn: A ^{2013} =(A ^{6} `) ^{335} `․`A ^{3} =A ^{3} =-E]

[eqn: A ^{2013} LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{1#2} RIGHT ) ,~ pmatrix{-1&``````````0`#````````0&````-1`} LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = LEFT ( pile{1#2} RIGHT )]

[eqn: LEFT ( pile{a#b} RIGHT ) = pmatrix{-1&``````````0`#````````0&````-1`} LEFT ( pile{1#2} RIGHT ) = LEFT ( pile{-1#-2} RIGHT )]

[eqn: THEREFORE ~a+b=(-1)+(-2)=-3]

2. 삼각함수

정답 ③

삼각형 [eqn: RMABC]의 외접원의 중심을 [eqn: RMO], 반지름을 [eqn: r]이라 하면

(원 [eqn: RMO]의 넓이) [eqn: =pir ^{ 2}=15 pi]   [eqn: THEREFORE ~r ^{2} =15]

(삼각형 [eqn: RMABC]의 넓이)

[eqn: =](삼각형 [eqn: rm ABO]의 넓이)[eqn: +](삼각형 [eqn: rm BCO]의 넓이)

[eqn: +](삼각형 [eqn: RMAOC]의 넓이)

[eqn: = {1} over {2} ` TIMES 15 TIMES sin( ANGLE rm AOB)+ {1} over {2} TIMES 15 TIMES sin( ANGLE rm BOC)]

[eqn: + {1} over {2} TIMES 15 TIMES sin( ANGLE rm AOC)]

[eqn: = {15} over {2} LEFT { sin( ANGLE rm AOB)+sin( ANGLE rm BOC)+sin( ANGLE rm AOC) RIGHT } it]

[eqn: =12]

[eqn: THEREFORE `sin( ANGLE rm AOB)+sin( ANGLE rm BOC)+sin( ANGLE rm AOC) it]

[eqn: =12 TIMES {2} over {15} = {24} over {15} = {8} over {5}]

3. 식의 계산

정답 ①

세균 [eqn: RMS]의 개체 수는 [eqn: 4]시간 마다 두 배로 증가하고, 세균

[eqn: RMT]의 개체 수는 [eqn: 6]시간 마다 두 배로 증가한다.

따라서 [eqn: 12]시간 후에는 세균의 개체 수가 [eqn: RMS]는 [eqn: 2^{ 3}=8]배,

[eqn: RMT]는 [eqn: 2 ^{2} =4]배 증가하여 [eqn: RMS]는 [eqn: 4 TIMES 2 ^{3}], [eqn: RMT]는 [eqn: 256 TIMES 2 ^{2}]이

된다. 또한 [eqn: 12]시간씩 [eqn: n]번이 지나면 세균 [eqn: RMS]의 개체 수는

[eqn: 4 TIMES LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{n}], 세균 [eqn: RMT]의 개체 수는 [eqn: 256 TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{n}]이 되므로

세균 [eqn: RMS]의 개체 수와 세균 [eqn: RMT]의 개체 수가

같아지려면[eqn: 4 TIMES LEFT ( 2 ^{3} RIGHT ) ^{n} =256 TIMES LEFT ( 2 ^{2} RIGHT ) ^{n}], [eqn: 2 ^{3n+2} =2 ^{2n+8}],

[eqn: 3n+2=2n+8,~n=6]

따라서 [eqn: 12]시간씩 [eqn: 6]번, 즉 [eqn: 72]시간 후면 두 세균의 개체

수가 같아지고 이때, 세균 [eqn: RMS]의 개체 수는 [eqn: 2 ^{20}]이 된다.

4. 지수함수와 로그함수

정답 ②

ㄱ.(참)[eqn: LEFT ( a,~2 ^{b} RIGHT ) IN G]이면, [eqn: 2 ^{b} =6 ^{a} LEFT ( a는`실수 RIGHT )]이므로

[eqn: log _{`2`} 6 ^{a} =b,~b=a`log _{`2`} 6]가 성립한다.

ㄴ.(참)[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) IN G]이면, [eqn: b=6 ^{a}]이고 [eqn: a]가 실수이므로

양변은 [eqn: 0]이 아니다. 따라서 [eqn: b ^{`-1} =6 ^{`-a}]가

성립하므로 [eqn: LEFT ( -a,~ {1} over {b} RIGHT ) IN G]이다.

ㄷ.(거짓)(반례)[eqn: a=1,~b=6,~c=1,~d=6]이라 하면

[eqn: LEFT ( a,~b RIGHT ) IN G]이고 [eqn: LEFT ( c,~d RIGHT ) IN G]이다.

그러나 [eqn: 6 ^{a+c} =6 ^{2} =36 != b+d=6+6=12]

이므로 [eqn: LEFT ( a+c,~b+d RIGHT ) NOTIN G]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.

5. 방정식과 부등식

정답 ⑤

[eqn: cases{x ^{2} +2yz+2z=29&#y ^{2} +2zx+2x=34&#z ^{2} +2xy+2y=36&}]

에서 좌변과 우변을 각각 모두 더하면

[eqn: x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} +2 LEFT ( xy+yz+zx RIGHT ) +2 LEFT ( x+y+z RIGHT ) =99],

[eqn: LEFT ( x+y+z RIGHT ) ^{2} +2 LEFT ( x+y+z RIGHT ) =99`]              [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: x+y+z=A]라 두면,

㉠은 [eqn: A ^{2} +2A-99=0], [eqn: LEFT ( A-9 RIGHT ) LEFT ( A+11 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE ~A=9``또는``A=-11]

[eqn: x,~y,~z]가 모두 양수이므로 [eqn: A=x+y+z=9`]

6. 도형의 방정식

정답 ④

세 점 [eqn: RMP,~Q,~R]을 지나는 원의 방정식을

[eqn: x^{ 2}+y ^{ 2}+ax+by+c=0]이라 두면,

[eqn: 9+1+3a+b+c=0]                        [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 1+9+a-3b+c=0]                        [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

[eqn: 16+4a+c=0`]                              [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

㉠과 ㉡을 연립하면 [eqn: 20+5a+2c=0]          [eqn: CDOTS CDOTS]㉣

㉢과 ㉣을 연립하면 [eqn: 12+3a=0]  [eqn: THEREFORE ~a=-4]

㉢에서 [eqn: c=0], ㉠에서 [eqn: b=2]

따라서 구하려는 원의 방정식은 [eqn: x ^{2} +y ^{2} -4x+2y=0]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+1 RIGHT ) ^{2} =5]이다.

이때, 삼각형의 외심은 삼각형의 외접원의 중심과 같으므로

원 [eqn: RMO]의 중심 [eqn: LEFT ( 2,~-1 RIGHT )]에서 직선 [eqn: 3x-4y+10=0]까지

의 거리는 [eqn: {LEFT | `6+4+10` RIGHT |} over {sqrt {9+16}} = {20} over {5} =4]이다.

7. 수열의 극한

정답 ②

공비가 [eqn: r]인 무한등비급수가 수렴할 조건은 [eqn: -1<r<1]

이다. 따라서 무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } (2-log _{2} a) ^{n}]이 수렴할 조건

은 [eqn: -1<2-log _{`2`} a<1]                         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

무한급수 [eqn: sum _{n=1} ^{ INF } (2sin {a-3 } over {2 }) ^{ n}]가 수렴할 조건은

[eqn: -1<2sin {a-3} over {2} <1]                        [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠을 만족시키는 정수 [eqn: a]는 [eqn: 1<log _{`2`} a<3], [eqn: 2<a<8]에

서 [eqn: 3,~4,~5,~6,~7]이고, ㉠을 만족시키는 [eqn: a]값들 중에서

㉡을 만족시키는 정수 [eqn: a]는 [eqn: - {1} over {2} <sin {a-3} over {2} < {1} over {2}],

[eqn: - {pi } over {6} < {a-3} over {2} < {pi } over {6}]에서 [eqn: 3,~4]이므로 구하고자 하는 정

수 [eqn: a]의 개수는 2개이다.

8. 함수의 극한과 연속

정답 ③

[eqn: lim _{x-> INF } {LEFT { LEFT ( sqrt {x ^{4} +2x ^{3} +1} -x ^{2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x ^{2} +6} -x RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{LEFT ( x ^{4} +2x ^{3} +1-x ^{4} RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +6-x ^{2} RIGHT )} over {LEFT ( sqrt {x ^{4} +2x ^{3} +1} +x ^{2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x ^{2} +6} +x RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{x -> INF } {{12x ^{3} +6} over {LEFT ( sqrt {x ^{4} +2x ^{3} +1} +x ^{2} RIGHT ) LEFT ( sqrt {x ^{2} +6} +x RIGHT )}}]

분모의 최고 차항인 [eqn: x ^{3}]으로 분모, 분자를 각각 나눠주면

[eqn: lim _{x -> INF } {{12+ {6} over {x ^{3}}} over {LEFT ( sqrt {1+ {2} over {x} + {1} over {x ^{4}}} +1 RIGHT ) LEFT ( sqrt {1+ {6} over {x ^{2}}} +1 RIGHT )}}]

[eqn: = {12} over {(1+1)(1+1)} =3]

9. 식의 계산

정답 ④

[eqn: root {3} of {10+2 sqrt {27}} + root {3} of {10-2 sqrt {27}} =A]라 하면

[eqn: A ^{3} = LEFT ( root {3} of {10+2 sqrt {27}} + root {3} of {10-2 sqrt {27}} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: ``=20+3 root {3} of {LEFT ( 10+2 sqrt {27} RIGHT ) LEFT ( 10-2 sqrt {27} RIGHT )}]

[eqn: TIMES LEFT ( root {3} of {10+2 sqrt {27}} + root {3} of {10-2 sqrt {27}} RIGHT )]

[eqn: =20+3 root {3`} of {-8} LEFT ( root {3`} of {10+2 sqrt {27}} + root {3`} of {10-2 sqrt {27}} RIGHT )]

[eqn: =20+3(-2A)]

[eqn: A ^{3} +6A-20=0,~(A-2)(A ^{2} +2A+10)=0]

[eqn: THEREFORE root {3} of {10+2 sqrt {27}} + root {3} of {10-2 sqrt {27}} =A=2]

10. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: log _{`2`} 2 ^{6} <log _{2} 77<log _{`2`} 2 ^{7}], [eqn: 6<log _{2} 77<7]이므로

[eqn: log _{2} 77]의 정수 부분은 [eqn: 6]이다. 따라서 [eqn: a=log _{2} 77-6]

[eqn: log _{`5`} 5 ^{2} <log _{5} 77<log _{`5`} 5 ^{3}], [eqn: 2<log _{5} 77<3]이므로

[eqn: log _{5} 77]의 정수 부분은 [eqn: 2]이다. 따라서 [eqn: b=log _{5} 77-2]

[eqn: 2 ^{p+a`} 5 ^{q+b} =2 ^{p+log _{`2} 77-6} `5 ^{q+log _{`5} 77-2}]

[eqn: `= {77} over {64} 2 ^{`p} TIMES ` {77} over {25} 5 ^{`q}]

이때, [eqn: 2 ^{p+a`} 5 ^{q+b}]이 [eqn: 250]의 배수이므로 [eqn: 2 ^{`p} `5 ^{`q}]은 [eqn: 64]와 [eqn: 25]를

인수로 갖고 분모를 약분 할 수 있어야 하며, [eqn: 77]이 [eqn: 2,~5]와

서로소 이므로 약분한 후 [eqn: 250=2 TIMES 5 ^{3}]을 포함하고 있어

야 한다. 따라서 [eqn: 2 ^{`p} ``5 ^{`q} =2 ^{6+1``} 5 ^{2+3} =2 ^{7} ``5 ^{5}]이므로

[eqn: p+q]의 최솟값은 [eqn: 7+5=12]이다.

11. 확률

정답 ③

문제의 조건을 만족시키는 경우를 구하면

[eqn: LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~3,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )],

[eqn: LEFT ( 1,~5,~6 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~3,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4,~6 RIGHT )],

[eqn: LEFT ( 3,~3,~6 RIGHT )]인 총 [eqn: 9]가지이다.

위 각 경우가 일어날 수 있는 경우의 수를 구하면

[eqn: LEFT ( 1,~1,~2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~2,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 3,~3,~6 RIGHT )]은 각각 [eqn: {3`!} over {2`!} =3]

[eqn: LEFT ( 1,~2,~3 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~3,~4 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~4,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 1,~5,~6 RIGHT )],

[eqn: LEFT ( 2,~3,~5 RIGHT )], [eqn: LEFT ( 2,~4,~6 RIGHT )]은 각각 [eqn: 3`!`=6]이다.

따라서 모든 경우의 수는 [eqn: 3 TIMES 3+6 TIMES 6=45]

또한 세 개의 주사위를 던질 때 일어날 수 있는 모든

경우의 수는 [eqn: 6 ^{3} =216]이므로 구하고자 하는 확률은

[eqn: {45} over {216} = {5} over {24}]이다.

12. 순열과 조합

정답 ④

학생 [eqn: 15]명 중에서 적어도 한 명의 남학생과 적어도 한 명

의 여학생이 포함되도록 [eqn: 3]명의 대표를 선출하는 경우의 수

는 학생 [eqn: 15]명 중에서 세 명의 대표를 뽑는 모든 경우의 수

에서 남학생만 뽑거나 여학생만 뽑는 경우의 수를 뺀 것과

같다.

남학생의 수를 [eqn: x]이라 하면 여학생의 수는 [eqn: 15-x]이므로

[eqn: rm ` _{15} C _{3} - _{it x rm} C _{3} - _{15- it x rm} C _{3}]

[eqn: = {15 TIMES 14 TIMES 13} over {6} - {x(x-1)(x-2)} over {6}]

[eqn: - {(15-x)(14-x)(13-x)} over {6}]

[eqn: =286],

[eqn: {x(x-1)(x-2)+(15-x)(14-x)(13-x)} over {6} =169],

[eqn: 39x ^{2} -585x+1716=0],

[eqn: x ^{2} -15x+44=0,~(x-11)(x-4)=0]

[eqn: THEREFORE ~x=11] 또는 [eqn: x=4]

그러므로 남학생 [eqn: 11]명, 여학생 [eqn: 4]명 또는 남학생 [eqn: 4]명,

여학생 [eqn: 11]명이다.

따라서 남학생 수와 여학생 수의 차이는 7이다.

13. 함수

정답 ④

[eqn: f(x)]가 이차식이므로 [eqn: f(x)=ax ^{2} +bx+c][eqn: LEFT ( a != 0 RIGHT )]라

두면 [eqn: f(x ^{2} )=f(x)f(-x)]

[eqn: ax ^{4} +bx ^{2} +c= LEFT ( ax ^{2} +bx+c RIGHT ) LEFT ( ax ^{2} -bx+c RIGHT )]

[eqn: =a ^{2} x ^{4} +(2ac-b ^{2} )x ^{2} +c ^{2}]

이므로 [eqn: a=a ^{2} ,~2ac-b ^{2} =b,~c=c ^{2}]이다.

이때, [eqn: a != 0]이므로 [eqn: a=1]

따라서 조건을 만족하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,~b,~c RIGHT )]의 개수를

구하면

[eqn: LEFT ( 1,~1,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~-2,~1 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~0,~0 RIGHT ) ,~ LEFT ( 1,~-1,~0 RIGHT )]인

[eqn: 4]이다.

14. 다항함수의 적분법

정답 ①

[eqn: int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f(t)} dt=x ^{4} +ax ^{2} -10x+6]

위의 식에 [eqn: x=1]을 대입하면,

[eqn: int _{1} ^{1} {LEFT ( 1-t RIGHT ) f(t)} dt=1+a-10+6=0]

[eqn: THEREFORE ~a=3]

따라서 준식은 [eqn: int _{1} ^{x} {LEFT ( x-t RIGHT ) f(t)} dt=x ^{4} +3x ^{2} -10x+6]

[eqn: x int _{1} ^{x} {f(t)} dt- int _{1} ^{x} {tf(t)} dt=x ^{4} +3x ^{2} -10x+6]

위 식의 양변을 각각 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: int _{1} ^{x} {f(t)} dt=4x ^{3} +6x-10]

양변을 다시 한 번 각각 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: f(x)=12x ^{2} +6]

[eqn: THEREFORE ~f(1)=12+6=18]

15. 확률

정답 ⑤

[eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{24}]의 전개식에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는 [eqn: {} _{24} rm C _{22}]

[eqn: x LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{23}]의 전개식에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{23}]의

전개식에서 [eqn: x ^{21}]의 계수와 같으므로 [eqn: {} _{23} rm C _{21}]

[eqn: x ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{22}]의 전개식에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{22}]의

전개식에서 [eqn: x ^{20}]의 계수와 같으므로 [eqn: {} _{22} rm C _{20}]

⋮

[eqn: x ^{22} (x+1) ^{2}]의 전개식에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는 [eqn: (x+1) ^{2}]의

전개식에서 상수항과 같으므로 [eqn: {} _{2} rm C _{0}]

따라서 [eqn: LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{24} +x(x+1) ^{23} +` CDOTS `+x ^{22} (x+1) ^{2}]

에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는

[eqn: {} _{24} rm C _{22}][eqn: + _{23} rm C _{21}][eqn: + _{22} rm C _{20}][eqn: +` CDOTS `][eqn: + _{2} rm C _{0}]

[eqn: =][eqn: {} _{24} rm C _{2}][eqn: + _{23} rm C _{2}][eqn: + _{22} rm C _{2}][eqn: +` CDOTS][eqn: + _{2} rm C _{2}]

[eqn: = {24 TIMES 23} over {2} + {23 TIMES 22} over {2} + {22 TIMES 21} over {2} +` CDOTS `+ {2 TIMES 1} over {2}]

[eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{23} k(k+1)]

[eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{23} k ^{2} + {1} over {2} sum _{k=1} ^{23} k]

[eqn: = {1} over {2} TIMES {23 TIMES 24 TIMES 47} over {6} + {1} over {2} TIMES {23 TIMES 24} over {2}]

[eqn: =2162+138=2300]

따라서 주어진 다항식에서 [eqn: x ^{22}]의 계수는 [eqn: 2300]이다.

16. 수열

정답 ①

[eqn: sum _{k=1} ^{20} (2k+1) LEFT ( {1} over {k} + {1} over {k+1} + {1} over {k+2} +`` CDOTS `+ {1} over {20} RIGHT ) =S]라

하면

[eqn: S]

[eqn: =3 LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} + CDOTS + {1} over {20} RIGHT ) +5 LEFT ( {1} over {2} + {1} over {3} + {1} over {4} + CDOTS + {1} over {20} RIGHT )]

[eqn: +7 LEFT ( {1} over {3} + {1} over {4} + {1} over {5} + CDOTS + {1} over {20} RIGHT )] [eqn: + CDOTS +41 TIMES {1} over {20}]

위 식을 분모가 같은 항끼리 다시 정리하면

[eqn: S=3+ {3+5} over {2} + {3+5+7} over {3} + CDOTS]

[eqn: + {3+5+7+ CDOTS +41} over {20}]

이때, 분모가 [eqn: n]([eqn: n]은 자연수)인 각 항의 합이[eqn: sum _{k=1} ^{n} {2k+1} over {n}]

이다.

[eqn: THEREFORE ~S= sum _{n=1} ^{20} LEFT ( sum _{k=1} ^{n} {2k+1} over {n} RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{20} LEFT ( {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} 2k+1 RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{20} {1} over {n} LEFT ( 2 TIMES {n(n+1)} over {2} +n RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{20} {1} over {n} LEFT ( n ^{2} +2n RIGHT )]

[eqn: = sum _{n=1} ^{20} LEFT ( n+2 RIGHT ) = {20 TIMES 21} over {2} +40]

[eqn: ```=250]

17. 함수

정답 ⑤

[eqn: 2x ^{2} +y ^{2} -2x+ {4} over {x ^{2} +y ^{2} +1}]에서

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =t LEFT ( t>0 RIGHT )]으로 치환하여 정리하면

[eqn: t+x ^{2} -2x+ {4} over {t+1}]

[eqn: =t+ LEFT ( x ^{2} -2x+1 RIGHT ) -1+ {4} over {t+1}][eqn: =t-1+ {4} over {t+1} + LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =t+1+ {4} over {t+1} + LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -2]

이때, [eqn: f(t)=t+1+ {4} over {t+1}]라 하면 [eqn: t+1>0]이므로

산술평균과 기하평균의 관계에 의해

[eqn: t+1+ {4} over {t+1} GEQ 2 sqrt {LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( {4} over {t+1} RIGHT )} =4]

(단, 등호는 [eqn: t+1= {4} over {t+1}]일 때, 성립한다.)

따라서 [eqn: t+1= {4} over {t+1}], [eqn: t=x ^{2} +y ^{2} =1]일 때,

[eqn: f(t)]는 최솟값 4를 갖는다.

또한 [eqn: g(x)=(x-1) ^{2} -2]라 하면 [eqn: g(x)]는 [eqn: x=1]일 때,

최솟값 [eqn: -2]를 갖는다.

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에서 [eqn: x=1]이면 [eqn: y=0]이므로

[eqn: 2x ^{2} +y ^{2} -2x+ {4} over {x ^{2} +y ^{2} +1}]는 [eqn: x=1,~y=0]일 때,

최솟값 [eqn: 4-2=2]를 갖는다.

18. 수열의 극한

정답 ③

[eqn: A CUP B=A _{k+2} `= LEFT { 1,~2,~3,~ CDOTS ,~k+2 RIGHT }]에서

[eqn: n(A)=2]를 만족시키는 집합 [eqn: A]의 개수는 [eqn: {} _{k+2} rm C _{2}]와 같

고, [eqn: A CUP B=A _{k+2} `]가 되려면 집합 [eqn: B]가 집합 [eqn: A _{k+2}]에서

집합 [eqn: A]의 원소를 제외한 나머지 원소 [eqn: k]개를 반드시

포함해야 하므로 집합 [eqn: B]의 개수는 [eqn: 2 ^{2} =4]이다.

따라서 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,~B RIGHT )]의 개수를 [eqn: a _{k}]라 할 때,

[eqn: a _{k} = _{k+2} rm C _{2} TIMES 4= {LEFT ( it k+2 RIGHT ) (k+1) rm} over {2} TIMES 4]

[eqn: =2(k+1)(k+2)]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{INF } {1} over {a _{k}}]

[eqn: = sum _{k=1} ^{INF } {1} over {2(k+1)(k+2)}]

[eqn: = {1} over {2} sum _{k=1} ^{INF } LEFT ( {1} over {k+1} - {1} over {k+2} RIGHT )]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n-> INF } {LEFT { LEFT ( {1} over {2} - {1} over {3} RIGHT ) + LEFT ( {1} over {3} - {1} over {4} RIGHT ) + CDOTS + LEFT ( {1} over {n+1} - {1} over {n+2} RIGHT ) RIGHT }}]

[eqn: = {1} over {2} lim _{n-> INF } {LEFT ( {1} over {2} - {1} over {n+2} RIGHT )} = {1} over {4}]

19. 다항함수의 미분법

정답 ④

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -ax-3=0`]에서 [eqn: x ^{3} -x ^{2} -3=ax]이므로

[eqn: f(x)=x ^{3} -x ^{2} -3,~g(x)=ax]라 하면

[eqn: x ^{3} -x ^{2} -ax-3=0`]의 실근은 [eqn: f(x)]의 그래프와

[eqn: g(x)]의 그래프가 만나는 점의 [eqn: x] 좌표가 된다.

위 그림에서 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: g(x)]의 그래프가 접하는

접점을 [eqn: LEFT ( t,~t ^{3} -t ^{2} -3 RIGHT )]라 할 때, 접선의 기울기는

[eqn: f` prime (t)=3t ^{2} -2t]이고, [eqn: LEFT ( 0,~0 RIGHT )]과 접점사이의 기울기와 같다.

따라서  [eqn: 3t ^{2} -2t=][eqn: {t ^{3} -t ^{2} -3} over {t}],

[eqn: 2t ^{3} -t ^{2} +3=0,~(t+1)(2t ^{2} -3t+3)=0]

[eqn: THEREFORE ~t=-1], [eqn: f(-1)=5]

그러므로 직선 [eqn: y=ax]가 곡선 [eqn: y=x ^{3} -x ^{2} -3]과 접할 때,

기울기 [eqn: a=5]이다.

또한, [eqn: a]는 한자리 자연수 이므로 주어진 조건을 만족시키는

[eqn: a]의 개수는 [eqn: 6,~7,~8,~9]인 [eqn: 4]이다.

20. 방정식과 부등식

정답 ⑤

[eqn: x=n+ alpha (n은`정수,~0 LEQ alpha <1)]이라 하면

[eqn: x`[x]`+187`=`[x ^{2} ]`+[x]],

[eqn: n(n+ alpha )+187= LEFT [ LEFT ( n+ alpha RIGHT ) ^{2} RIGHT ] +n],

[eqn: n ^{2} +n alpha +187= LEFT [ n ^{2} +2n alpha + alpha ^{2} RIGHT ] +n```]       [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

[eqn: 0 LEQ alpha <1]이므로

[eqn: n ^{2} LEQ LEFT [ n ^{2} +2n alpha + alpha ^{2} RIGHT ] <n ^{2} +2n+1```]

㉠에서 [eqn: LEFT [ n ^{2} +2n alpha + alpha ^{2} RIGHT ] =n ^{2} +n LEFT ( alpha -1 RIGHT ) +187]이므로

[eqn: n ^{2} LEQ n ^{2} +n LEFT ( alpha -1 RIGHT ) +187<n ^{2} +2n+1],

[eqn: 0 LEQ n LEFT ( alpha -1 RIGHT ) +187<2n+1],

[eqn: {186} over {3- alpha } <n LEQ {187} over {1- alpha }],

[eqn: 93<n LEQ 187` LEFT ( BECAUSE `0 LEQ alpha <1 RIGHT )]

[eqn: n=94,~95,~ CDOTS ,~187]이므로 주어진 방정식의 근의

개수는 [eqn: 187-93=94]이다.

21. 함수

정답 ③

[eqn: f`(x+g`(y))=(x+y ^{2} -1) ^{2} -1]에 [eqn: y=7]을 대입하면

[eqn: f`(x+g`(7))=(x+7 ^{2} -1) ^{2} -1=(x+48) ^{2} -1]

[eqn: g(7)=-x]라 하면

[eqn: f(x-x)=f(0)=(x+48) ^{2} -1=3]

[eqn: (x+48) ^{2} =4,~x+48=±2]

[eqn: THEREFORE ~x=-46``또는``x=-50]

따라서 [eqn: g(7)=46``또는``g(7)=50]이다.

(ⅰ) [eqn: g(7)=46]일 때,

[eqn: f`(x+g`(y))][eqn: =f(x+46)=(x+48) ^{2} -1][eqn: CDOTS CDOTS]㉠

㉠에 [eqn: x=-39]를 대입하면

[eqn: f(7)=(-39+48) ^{2} -1=9 ^{2} -1=80]

[eqn: THEREFORE ~f(7)+g(7)=80+46=126]

(ⅱ) [eqn: g(7)=50]일 때,

[eqn: f`(x+g`(y))][eqn: =f(x+50)=(x+48) ^{2} -1][eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡에 [eqn: x=-43]을 대입하면

[eqn: f(7)=(-43+48) ^{2} -1=5 ^{2} -1=24]

[eqn: THEREFORE `f(7)+g(7)=24+50=74]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: f(7)+g(7)]의 값 중에서 가장 큰

값은 [eqn: 126]이다.

22. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} {k ^{2} LEFT ( 5k ^{2} +3 RIGHT )} over {n ^{3} LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} {5k ^{4} +3k ^{2}} over {n ^{3} LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} LEFT { {5k ^{4}} over {n ^{3} LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} + {3k ^{2}} over {n ^{3} LEFT ( n ^{2} +1 RIGHT )} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} LEFT { 5` TIMES ` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} TIMES ` {1} over {n} TIMES {n ^{2}} over {n ^{2} +1} RIGHT }}]

[eqn: + lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} LEFT { 3` TIMES LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {n} TIMES {1} over {n ^{2} +1} RIGHT }}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {n ^{2} +1} TIMES lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} LEFT { 5` TIMES ` LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{4} TIMES ` {1} over {n} RIGHT }}}]

[eqn: + lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{2} +1} TIMES lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{2n} LEFT { 3` TIMES LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2} TIMES {1} over {n} RIGHT }}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {{n ^{2}} over {n ^{2} +1} TIMES int _{0} ^{2} {5x ^{4} + lim _{n -> INF } {{1} over {n ^{2} +1} TIMES int _{0} ^{2} {3x ^{2}}}}}]

[eqn: =1 TIMES LEFT [ x ^{5} RIGHT ] _{0} ^{2} +0 TIMES LEFT [ x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{2}]

[eqn: =2 ^{5} =32]

23. 다항함수의 적분법

정답 ③

함수[eqn: f(x)=x ^{3}]의 그래프 위의 점 [eqn: RMA(ITa,~a ^{3} )]에서

접선의 방정식은 [eqn: y=f prime (a)(x-a)+a ^{3} =3a ^{2} x-2a ^{3}]

위의 접선이 곡선 [eqn: y=x ^{3}]과 만나는 점의 [eqn: x]좌표를 구하면

[eqn: x^{ 3}=3a ^{ 2}x-2a ^{ 3}]

[eqn: x ^{3} -3a ^{2} x-2a ^{3} =0], [eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) ^{2} LEFT ( x+2a RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE `x=a] 또는 [eqn: x=-2a]

따라서 [eqn: RMB LEFT ( IT-2a,~-8a ^{ 3} RIGHT )]

함수 [eqn: f(x)=x ^{3}]의 그래프의 점 [eqn: rm B]에서 접선의 방정식은

[eqn: y=f prime (-2a)(x+2a)-8a ^{3} =12a ^{2} x+16a ^{3}]

따라서 같은 방법으로 점 [eqn: RMC]의 좌표를 구하면

[eqn: rm C LEFT ( it 4a,~64a ^{3} RIGHT )]

그러므로 선분 [eqn: RMBC]와 곡선 [eqn: y=x ^{3}]사이의 넓이는

[eqn: int _{-2a} ^{4a} {-x ^{3} `+12a ^{2} x+16a ^{3} dx}]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {4} x ^{4} +6a ^{2} x ^{2} +16a ^{3} x RIGHT ] _{-2a} ^{4a}]

[eqn: = LEFT ( -64a ^{4} +96a ^{4} +64a ^{4} RIGHT ) - LEFT ( -4a ^{4} +24a ^{4} -32a ^{4} RIGHT )]

[eqn: =108a ^{4}]

선분 [eqn: rm AB]와 곡선 [eqn: y=x ^{3}]사이의 넓이는

[eqn: int _{-2a} ^{a} {x ^{3} -3a ^{2} x+2a ^{3} `dx}]

[eqn: = LEFT [ {1} over {4} x ^{4} - {3} over {2} a ^{2} x ^{2} +2a ^{3} x RIGHT ] _{-2a} ^{a}]

[eqn: = LEFT ( {1} over {4} a ^{4} - {3} over {2} a ^{4} +2a ^{4} RIGHT ) - LEFT ( 4a ^{4} -6a ^{4} -4a ^{4} RIGHT ) = {27} over {4} a ^{4}]

이므로 구하고자 하는 값은 [eqn: {108a ^{4}} over {{27} over {4} a ^{4}} = {108} over {{27} over {4}} =16]

24. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: A= pmatrix{0``&`4#5``&``1}]일 때, [eqn: A ^{n}]의 [eqn: LEFT ( 1,~1 RIGHT )] 성분을 [eqn: x _{n}]이라 하고

[eqn: LEFT ( 1,~2 RIGHT )] 성분을 [eqn: y _{n}]이라 하면,

[eqn: x _{n} =5y _{n-1}], [eqn: y _{n+1} =4x _{n} +y _{n}]이 성립한다.

따라서 [eqn: y _{n+1} =20y _{n-1} +y _{n} ``]                 [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

㉠을 변형하면 [eqn: y _{n+1} +4y _{n} =5 LEFT ( y _{n} +4y _{n-1} RIGHT )]이고,

[eqn: y _{1} =4,~y _{2} =4]이므로 수열 [eqn: LEFT { y _{n+1} +4y _{n} RIGHT }]은 첫째항이

[eqn: y _{2} +4y _{1} =20], 공비가 [eqn: 5]인 등비수열이다.

따라서 [eqn: y _{n+1} +4y _{n} =20``․``5 ^{n-1}]               [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉡의 양변을 [eqn: 5 ^{n+1}]로 나누면 [eqn: {y _{n+1}} over {5 ^{n+1}} + {4y _{n}} over {5 ^{n+1}} = {20} over {25}]이고

[eqn: lim _{n -> INF } {LEFT ( {y _{n+1}} over {5 ^{n+1}} + {4y _{n}} over {5 ^{n+1}} RIGHT )}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( {y _{n+1}} over {5 ^{n+1}} + {4} over {5} ``․`` {y _{n}} over {5 ^{n}} RIGHT ) =} {20} over {25}]               [eqn: CDOTS CDOTS]㉢

이 성립한다.

이때, [eqn: lim _{n -> INF } {{y _{n+1}} over {5 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{y _{n}} over {5 ^{n}}}]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {{y _{n+1}} over {5 ^{n+1}}} = lim _{n -> INF } {{y _{n}} over {5 ^{n}}} =k]라 하면 ㉢에서

[eqn: k+ {4} over {5} k= {20} over {25}]   [eqn: THEREFORE ~k= {4} over {9}]

이때, [eqn: {x _{n}} over {5 ^{n}} = {5y _{n-1}} over {5 ^{n}} = {y _{n-1}} over {5 ^{n-1}}]

[eqn: THEREFORE ~ lim _{n -> INF } {{x _{n}} over {5 ^{n}}} = lim _{n -> INF } {{y _{n-1}} over {5 ^{n-1}} = {4} over {9}}]이다.

25. 도형의 방정식

정답 ⑤

ㄱ.(참) [eqn: f(x)=x ^{2} (3-x)]라 두면 함수 [eqn: f(x)]의 그래프는

다음과 같다.

[eqn: f(2)=4], [eqn: f(3)=0]이므로

[eqn: 2<a LEQ 3]이면 [eqn: f(3) LEQ f(a)<f(2)],

즉 [eqn: a ^{2} (3-a)<4]가 성립한다.

ㄴ.(참) [eqn: a]를 고정된 상수라 하고, [eqn: A]를 [eqn: b]에 대한 함수

[eqn: f(b)=a ^{2} b+b ^{2} LEFT ( 3-a-b RIGHT ) + LEFT ( 3-a-b RIGHT ) ^{2} a]라

하면

[eqn: f prime LEFT ( b RIGHT ) =a ^{2} +2b LEFT ( 3-a-b RIGHT ) -b ^{2} -2 LEFT ( 3-a-b RIGHT ) a]

[eqn: =-3 LEFT { b ^{2} -2b+a LEFT ( 2-a RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =-3 LEFT ( b-a RIGHT ) LEFT ( b+a-2 RIGHT )]

조건에서 [eqn: x GEQ 0,~y GEQ 0,~x+y LEQ 3]의 영역에

점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]가 있고, [eqn: a]를 고정된 상수라 했으므로,

[eqn: a GEQ 0,~b GEQ 0,~a+b LEQ 3]에서 [eqn: 0 LEQ b LEQ 3-a]

이다. [eqn: 2<a LEQ 3]일 때, [eqn: 2-a<0,~3-a<a]이

므로 함수 [eqn: f(b)]의 그래프는 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: 0 LEQ b LEQ 3-a]에서 [eqn: 2<a LEQ 3]일 때,

함수 [eqn: f(b)]는 [eqn: b=3-a]일 때, 최댓값을 갖는다.

따라서 [eqn: 2<a LEQ 3]일 때, [eqn: A]의 최댓값은 주어진

식 [eqn: A]에 [eqn: b=3-a]을 대입한 값이므로 [eqn: a ^{2} (3-a)]

이 된다.

[eqn: a ^{2} (3-a)-A=a ^{2} (3-a)-a ^{2} (3-a) GEQ 0]

즉 [eqn: a ^{2} (3-a)]에서 [eqn: A]의 최댓값을 빼도

[eqn: a ^{2} (3-a)-A GEQ 0]이므로 항상 성립한다

ㄷ.(참) ㄴ에서 [eqn: 0 LEQ b LEQ 3-a]이므로

[eqn: 10a LEQ 10a+b LEQ 9a+3]이다. 따라서 [eqn: 10a+b]의

최댓값은 [eqn: a]의 값에 따라 결정되어지고, [eqn: a]값이 커질

수록 [eqn: 10a+b]의 최댓값도 커지게 된다.

조건에서 [eqn: x GEQ 0,~y GEQ 0,~x+y LEQ 3]의 영역에

점 [eqn: LEFT ( a,~b RIGHT )]가 있으므로 [eqn: 0 LEQ a LEQ 3]이고 ㄱ, ㄴ에서

[eqn: 2<a LEQ 3]이면, [eqn: A` LEQ a ^{2} (3-a)<4]이므로

[eqn: A<4]가 되어 [eqn: A=4]를 만족시키는 점 [eqn: (a,~b)]가

존재하지 않는다. 따라서 [eqn: a=2]이고, [eqn: A=4]일 때,

[eqn: 10a+b]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: A=a ^{2} b+b ^{2} LEFT ( 3-a-b RIGHT ) + LEFT ( 3-a-b RIGHT ) ^{2} a=4]에

[eqn: a=2]를 대입하면,

[eqn: 4b+b ^{2} (1-b)+2(1-b) ^{2} =4]

[eqn: b ^{3} -3b ^{2} +2=0], [eqn: (b-1)(-b ^{2} +2b+2)=0]

따라서 [eqn: a=2,~b=1]일 때, [eqn: 10a+b]는 최댓값

[eqn: 21]을 갖는다.

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