2008학년도 경찰대학 제1차 시험 (수리영역)

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※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

1. 복소수[eqn: ``z=a+b``i``(a,`b``는```실수)]에 대하여 [eqn: {i`z} over {z-6} ``]가 실수일 때,

[eqn: a ^{2} +b ^{2} -6a``]의 값은?

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③  [eqn: 0]	④  [eqn: 2]	⑤  [eqn: 4]

2. 양의 실수의 집합에서 연산[eqn: AST]를

[eqn: a` AST b=-log _{2 ^{a}} ```2 ^{-b} ``]

로 정의할 때, 다음 중 가장 큰 수는?

① [eqn: 1 AST 1]    ② [eqn: 1 AST 2]    ③ [eqn: 2 AST 1]   ④  [eqn: 1 AST 3]    ⑤  [eqn: 3 AST 1]

3. 다음을 만족시키는 세 실수[eqn: ``a,``b,``c``]에 대하여 [eqn: 4a ^{2} +b ^{2} ``]의

최소값은?

다항식 [eqn: ax ^{3} +bx ^{2} +cx-8``]이 [eqn: (x-1) ^{2} ``]으로 나누어 떨어진다.

①  24	②  26	③  28	④  30      ⑤  32

4. [eqn: f`(x)= sqrt {2x-1-2 sqrt {x ^{2} -x}} ``]일 때, [eqn: f`(1)+f`(2)+f`(3)+f`(4)``]의    값은?

①  1	②  2	③  3	④  4	⑤  5

5. 두 조건

[eqn: p````:~|x-a`|+|y-b`|`＜`3,~][eqn: q~:~x ^{2} +y ^{2} `＜`16``]

에 대하여 [eqn: p``]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이 되도록 하는

두 정수[eqn: ``a```]와 [eqn: b``]의 순서쌍[eqn: ``(a,`b`)``]의 개수는?

①   5              ②    6            ③   7

④   8              ⑤  무수히 많다

6. 방정식 [eqn: x^4 - 3x^3 + 4x^2 -3x + 1 =0``]의 두 허근을 [eqn: alpha ,``` beta ``]라

할 때, [eqn: alpha ^{2008} + beta ^{`2008} ``]의 값은?

① [eqn: -2]      ② [eqn: -1]      ③  0       ④  1       ⑤  2

7. 일어날 확률이[eqn: ````p``]인 사건이 일어날 때 나타나는 놀람의

정도 [eqn: S(p)] [eqn: (0＜p <= 1)`]는

[eqn: S(p)=-C```log _{2} ``p~~(C``＞`0`)``]

로 주어진다. 놀람의 정도가 [eqn: 3C``]인 사건이 일어날 확률은

놀람의 정도가 [eqn: 6C``]인 사건이 일어날 확률의 몇 배인가?

①  2       ②  3       ③  4      ④  8      ⑤  9

8. 함수 [eqn: f`(x)``]는 정의역이 실수 전체의 집합인 함수이다. <보기>    에서 함수 [eqn: ``y=F`(x)]의 그래프가 [eqn: y``]축에 대하여 대칭인 것을    모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: F`(x) = f`(x) + f`(-x)] ㄴ. [eqn: F`(x) = | f`(x) - f`(-x) `|] ㄷ. [eqn: F`(x) = f`(x) f`(-x)]

① ㄱ                ② ㄴ               ③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ            ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

9. 세 점 [eqn: rmO(0,0),``A(2,2),``B(2,-4) rm ``]가 꼭지점인

삼각형[eqn: rmOAB`]의 외심이 [eqn: {rm C}`(a,b)]일 때, [eqn: 10a+b]의 값은?

① 18        ② 29      ③  38     ④  45      ⑤  53

10. 둘레의 길이가 [eqn: 24`]인 부채꼴의 넓이의 최대값은?

①  36	②  40	③  44	④  48       ⑤  52

11. 방정식 [eqn: 4 ^{sinx} +6 CDOT 4 ^{-sinx} =5``(0` <= `x` <= `2 pi `)``]의 근의 개수는?

①  1        ②  2       ③  3       ④  4       ⑤  5

12. <보기>에서 두 함수의 그래프가 여러 번의 대칭이동과 평행     이동으로 일치할 수 있는 것을 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: y= sqrt {4x-x ^{2}} -1]과 [eqn: y=- sqrt {1-x ^{2}} +4] ㄴ. [eqn: y=2 ^{x-3} -1]과 [eqn: y=3+2`log _{{1} over {4}} (x-1)] ㄷ. [eqn: y= {1} over {pi } `sin( pi x-1)+3]과 [eqn: y=- {1} over {pi } `cos( pi x+3)-1]

①   ㄱ	②   ㄷ           ③   ㄱ, ㄴ

④   ㄴ, ㄷ	⑤   ㄱ, ㄴ, ㄷ

13. 모든 실수[eqn: x, `y``]에 대하여 부등식

[eqn: f` LEFT ( {x+y} over {2} RIGHT ) ` <= {`f`(x)+f`(y)} over {2}]

를 만족시키는 [eqn: f`(x)`]를  <보기>에서 모두 고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: f`(x)= sqrt {|x`|}] ㄴ. [eqn: f`(x)=2 ^{|x`|}] ㄷ. [eqn: f`(x)=log _{2} (|x`|+1)]

①   ㄱ	②   ㄴ            ③   ㄱ, ㄷ

④   ㄴ, ㄷ	⑤   ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: z]	[eqn: scale 80 P(0``≦``Z``≦``z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49]

14. 어느 시험의 점수 분포가 평균 [eqn: m],

분산 [eqn: sigma ^{2} ``]인 정규분포를 따른다고 한      다. 이 시험에서 [eqn: m`]과 [eqn: m+ sigma] 사이의

점수는 성적 ‘우’를 부여할 때, ‘우’의     성적이 나올 확률을 오른쪽 표준정규     분포표를 이용하여 구한 것은?

①   0.11             ②   0.16            ③   0.34

④   0.43             ⑤   0.48

15. 확률변수 [eqn: X`]가 [eqn: 5]보다 작은 자연수에서 값을 취하고

[eqn: X`]의 확률분포가

[eqn: {rmP`}(X=k+1)= {2} over {5} {rmP`}(X=k)~~(k=1,2,3)]

로 주어질 때, [eqn: {rmP}`(`X` >= `3``)``]의 값은?

①  [eqn: 2 over 29]    ②  [eqn: 3 over 29]    ③  [eqn: 4 over 29]    ④  [eqn: 5 over 29]    ⑤  [eqn: 6 over 29]

16. 다음을 만족시키는 집합 [eqn: A``]와 [eqn: B``]의 순서쌍[eqn: ``(A,B`)``]의 개수는?

(i) [eqn: A` CUP `B= rm LEFT { 1,2,3,4,5,6,7,8 RIGHT } it]

(ii) [eqn: n`(A)=n`(B)=5]

① 560	② 588	③ 616	④ 644	⑤ 672

17. 각 자리의 수의 합이 [eqn: 19`]인 세 자리 자연수의 개수는?

①  41	②  42	③  43	④  44	⑤  45

18. police academy에는 [eqn: 2``]개의 a, c, e를 포함하여 [eqn: 13``]개의     문자가 있다. 이 중에서 [eqn: 6``]개를 뽑을 때, 뽑힌 문자가 모두     다를 확률은?

①   [eqn: 827 over 1716]        ②   [eqn: 833 over 1716]        ③   [eqn: 839 over 1716]

④   [eqn: 845 over 1716]        ⑤   [eqn: 851 over 1716]

19. 넓이가[eqn: `363`]인 정삼각형[eqn: rmABC]에서 선분[eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rmP _{0}]라

하고, 선분[eqn: rmP _{0} A]를 [eqn: 121`]등분한 점과 끝점을 [eqn: rmP _{0}]로부터 차례로

[eqn: rm P _{0} ,`P _{1} ,`P _{2} ,` CDOTS ,P _{120} ,`P _{121} =A]

라 하자. 점[eqn: {rmP} _{k} ```(k=1,2,3, CDOTS ,120)]를 지나고 직선[eqn: rmP _{0} A]에 수직인

직선이 선분[eqn: rmAB]와 만나는 점을 [eqn: {rmB} _{k}]라 하고, 선분[eqn: rmAC``]와 만나    는 점을 [eqn: {rmC} _{k}]라 하자. 삼각형[eqn: {rmP } _{k-1} {rmB} _{k} {rmC} _{k} (k=1,`2,`3, CDOTS ,120)]의

넓이를 [eqn: a _{k} ``]라 할 때, [eqn: sum _{k=1} ^{120} a _{k} ``]의 값은?

①  [eqn: 177]    ②  [eqn: 178]     ③ [eqn: 179]     ④ [eqn: 180]     ⑤ [eqn: 181]

20. 집합[eqn: ``S``]는

[eqn: S= LEFT { pmatrix{a&``b#0&```a``} `□~a,`b``는```양의```실수이다. RIGHT }]

이다. [eqn: S`]에 속하는 두 행렬[eqn: ``A`]와[eqn: ``B`]가 [eqn: B ^{2} =4A]를 만족시킬 때,

[eqn: F`(A)=B``]로 나타내자.

[eqn: ``F _{1} `(A)=F`(A),``F _{n+1} `(A)=F`(F _{n} `(A))~~(n=1,2,3, CDOTS )`]

이다. [eqn: A= pmatrix{4&1#0&4`} `]일 때, [eqn: F _{2008} ` LEFT ( A RIGHT ) `]의 [eqn: (1,1)`]성분과 [eqn: (1,2)]성분의 곱    을 [eqn: alpha ``]라고 하자. [eqn: log _{2} `` {1} over {alpha } `]의 값은?

①  2000             ②  2003            ③  2006

④  2009             ⑤  2012

21. 행렬 [eqn: A= pmatrix{-1&`````1#``````0&-1`} `]에 대하여 집합 [eqn: M``]을

[eqn: M= LEFT { pmatrix{x#y} `|`A ^{n} pmatrix{x#y} = pmatrix{1#1} ``인````자연수``n``이```존재한다. RIGHT }]

라고 하자. [eqn: M``]에 속하는 것은?

① [eqn: pmatrix { 5 # 1 } ``]   ② [eqn: pmatrix { 6 # 1 } ``]   ③ [eqn: pmatrix { ````7 # -1`` } ``]  ④ [eqn: pmatrix { 16 # 2 } ``]   ⑤ [eqn: pmatrix { 17 ``# 2 } ``]

22. 양의 상수 [eqn: c`]에 대하여 다음 식

[eqn: a _{1} =1,```` {1} over {a _{n+1}} = {c} over {a _{n}} +1~~(n=1,2,3, CDOTS )]

로 정의된 수열[eqn: `` LEFT { a _{n} RIGHT }]에 대하여, <보기>에서 옳은 것을 모두     고른 것은?

	<보 기>
ㄱ. [eqn: c = 1`]이면 [eqn: lim_{n -> infty} a_n =0 `]이다. ㄴ. [eqn: c ``>` 1`]이면 [eqn: lim_{n -> infty} a_n = c -1`]이다 ㄷ. [eqn: 0`< c ```< 1]이면 [eqn: lim_{n -> infty} a_n = 1-c ``]이다.

①   ㄱ             ②   ㄴ            ③   ㄱ, ㄴ

④   ㄱ, ㄷ         ⑤   ㄱ, ㄴ, ㄷ

23. 일반항이

[eqn: a _{n} = sqrt {9n ^{2} -2n} `- LEFT [ sqrt {9n ^{2} -2n} `` RIGHT ] `]

인 수열[eqn: ``LEFT { a _{ n} RIGHT }]에 대하여 [eqn: lim _{n -> INF } {``a _{n}}]의 값은?

(단, [eqn: [x]``]는 [eqn: x``]보다 크지 않은 최대의 정수이다.)

①  [eqn: 1 over 9]    ②  [eqn: 1 over 7]    ③  [eqn: 2 over 9]     ④  [eqn: 1 over 3]      ⑤  [eqn: 2 over 3]

24. 정의역이 실수 전체의 집합인 함수 [eqn: f`(x)``]가 다음을 만족시킬       때, [eqn: f`(6)``]의 값은?

모든 실수 [eqn: x, ``y``]에 대하여 [eqn: f`(2x+y) = 4f`(x) + f`(y) + xy +4] 이다.

①  7	②  8        ③  9	④  10        ⑤  11

25. 모든 자연수[eqn: ``n``]에 대하여 부등식

[eqn: 0`<` {1} over {3} - sum _{k=1} ^{n} {a _{k}} over {5 ^{k}} `<` {1} over {5 ^{n}} ``]

이 성립하도록 자연수 [eqn: a _{1} ,`a _{2} ,`a _{3} , `CDOTS `]을 차례로 정할 때,

[eqn: a _{2007} +a _{2008} ``+a _{2009}]의 값은?

①  5	②  6	③  7	④  8       ⑤  9