• 2교시 수학 영역 •

1	③	2	④	3	⑤	4	①	5	②
6	⑤	7	④	8	③	9	⑤	10	③
11	②	12	①	13	①	14	④	15	④
16	②	17	②	18	⑤	19	①	20	③
21	④	22	46	23	5	24	100	25	8
26	7	27	39	28	10	29	9	30	30

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A+B= LEFT ( 2x ^{2} +3xy RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} -2xy RIGHT ) =3x ^{2} +xy]

2. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A CUP B= LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이므로 [eqn: n LEFT ( A`CUPB RIGHT ) =4]

3. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: z=1+2i]에서 [eqn: {bar{z`}} =1-2i]
[eqn: z TIMES {bar{z`}} = LEFT ( 1+2i RIGHT ) TIMES LEFT ( 1-2i RIGHT ) =1-4i ^{2} =1+4=5]

4. [출제의도] 무리함수 이해하기

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =root{x+k}]에서

[eqn: sqrt {-1+k} =2]

따라서 [eqn: k=5]

5. [출제의도] 합성함수 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3x+1]에서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4], [eqn: f(2)=7]이므로
[eqn: g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =g LEFT ( 4 RIGHT ) =7]

6. [출제의도] 다항식의 인수분해 이해하기

다항식 [eqn: x ^{3} +x ^{2} -2]를 조립제법을 이용하여 인수분해하면

	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -2]
			[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]
		[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 0]

[eqn: x ^{3} +x ^{2} -2= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +2x+2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=2], [eqn: b=2]

따라서 [eqn: a+b=4]

7. [출제의도] 직선의 방정식 이해하기

두 점 [eqn: LEFT ( -1,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `2,``a RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: y-2= {a-2} over {2+1} LEFT ( x+1 RIGHT )], [eqn: y= {a-2} over {3} x+ {a+4} over {3}]

[eqn: y]축과 만나는 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( `0,``5 RIGHT )]이므로 [eqn: {a+4} over {3} =5]

따라서 [eqn: a=11]

8. [출제의도] 명제의 조건 이해하기

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면
[eqn: LEFT. P= LEFT { x` RIGHT | `-3 LEQ x<4 RIGHT }], [eqn: Q= LEFT { - sqrt {k} ,`` sqrt {k} RIGHT }]이다.

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P]

그러므로 [eqn: -3 LEQ it - sqrt {k}]이고 [eqn: sqrt {k} <4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 0 LEQ k LEQ 9]이고 [eqn: 0 LEQ k<16]

따라서 [eqn: 0 LEQ k LEQ 9]이므로 자연수 [eqn: k]의 개수는 [eqn: 9]

9. [출제의도] 연립부등식 이해하기

[eqn: {cases{LEFT | x-1 RIGHT | LEQ 3&~ CDOTS ``㉠#x ^{2} -8x+15>0&~ CDOTS ``㉡}}]

㉠의 해는 [eqn: -2 LEQ x LEQ 4]

㉡의 해는 [eqn: x<3] 또는 [eqn: x>5]

[eqn: 3]

[eqn: 5]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: -2]

[eqn: x]

㉠과 ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 범위는
[eqn: -2 LEQ x<3]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 5]

10. [출제의도] 내분점과 외분점 이해하기

두 점 [eqn: rm A LEFT ( `2,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( -1,``5 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를
[eqn: 1:2]로 외분하는 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는 각각

[eqn: rm {-1-4} over {1-2} =5], [eqn: rm {5-0} over {1-2} =it-5]이므로 [eqn: rm P LEFT ( `5,``-5 RIGHT )]

선분 [eqn: rmOP]를 [eqn: 3:2]로 내분하는 점의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표는
각각 [eqn: {15+0} over {3+2} =3], [eqn: {-15+0} over {3+2} =IT-3]

따라서 구하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `3,``-3 RIGHT )]

11. [출제의도] 근과 계수의 관계 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2x+4=0]의 두 근이 [eqn: alpha], [eqn: beta]이므로
근과 계수의 관계에 의해 [eqn: alpha + beta =2], [eqn: alpha beta =4]

[eqn: {beta ^{`2}} over {alpha } + {alpha ^{`2}} over {beta }][eqn: = {alpha ^{`3} + beta ^{`3}} over {alpha beta }]
[eqn: = {LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{3} -3 alpha beta LEFT ( alpha + beta RIGHT )} over {alpha beta }]
[eqn: = {2 ^{3} -3 TIMES 4 TIMES 2} over {4}]
[eqn: =it-4]

12. [출제의도] 유리식을 활용하여 문제해결하기

급식 인원이 [eqn: 700]명인 학교에서 식재료 [eqn: RMA`]의
폐기율이 [eqn: a]([eqn: %]), 정미 중량이 [eqn: 48]([eqn: rmg])일 때,

발주량 [eqn: H _{RMA}]([eqn: rmg])은 [eqn: {48 TIMES 100} over {100-a} TIMES 700]([eqn: rmg])

식재료 [eqn: RMB]의 폐기율이 [eqn: 2a]([eqn: %]), 정미 중량이 [eqn: 23]([eqn: rmg])
일 때, 발주량 [eqn: H _{RMB}]([eqn: rmg])은 [eqn: {23 TIMES 100} over {100-2a} TIMES 700]([eqn: rmg])

[eqn: H _{rm A it} = it 2H _{rm B it}]이므로

[eqn: {48 TIMES 100} over {100-a} TIMES 700][eqn: =2 TIMES {23 TIMES 100} over {100-2a} TIMES 700]

[eqn: 2400-48a=2300-23a], [eqn: 25a=100]

따라서 [eqn: a=4]

13. [출제의도] 유리함수를 활용하여 문제해결하기

직선 [eqn: l]과 함수 [eqn: y= {2} over {x}]의 두 교점 [eqn: rm P], [eqn: rm Q]는 원점에
대하여 대칭이고 함수 [eqn: y= {2} over {x}] 위의 점이므로

[eqn: rm P LEFT ( it `a`,`` {2} over {a} RIGHT )], [eqn: rm Q LEFT ( it -a`,``- {2} over {a} RIGHT )]라 하면 점 [eqn: RMR]의 좌표는
[eqn: LEFT ( `a`,``- {2} over {a} RIGHT )]이고, 삼각형 [eqn: rm PQR]는 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

[eqn: l]

[eqn: y= {2} over {x}]

[eqn: rm `R]

[eqn: rm {bar{QR}} = LEFT | ita- LEFT ( -a RIGHT ) RIGHT | = LEFT | 2a RIGHT |], [eqn: rm {bar{PR}} = LEFT | it {2} over {a} - LEFT ( - {2} over {a} RIGHT ) RIGHT | = LEFT | {4} over {a} RIGHT |]

따라서 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이는 [eqn: {1} over {2} TIMES LEFT | 2a RIGHT | TIMES LEFT | {4} over {a} RIGHT | =4]

14. [출제의도] 인수정리를 이용하여 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식
이므로 [eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]라 하면
[eqn: F` LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 삼차식이다.

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]라 하면

[eqn: F` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =it-2]이므로 [eqn: LEFT ( 1-2 RIGHT ) LEFT ( 1+a RIGHT ) =it-2]
[eqn: THEREFORE] [eqn: a=1]

[eqn: F ` LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]이므로 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT )]

따라서 [eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3]

15. [출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기

연립부등식 [eqn: {cases{``y GEQ x#``y LEQ -x ^{2} +5x}}]를 만족시키는 영역을
좌표평면 위에 나타내면 그림의 어두운 부분과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm`O]

[eqn: y=x]

[eqn: y=it-x ^{2} +5x]

[eqn: y=3x-k]

이차함수 [eqn: y=it-x ^{2} +5x]의 그래프와 직선 [eqn: y=x]의
교점은 [eqn: LEFT ( `0,``0 RIGHT )]과 [eqn: LEFT ( `4,``4 RIGHT )]이다.

[eqn: 3x-y=k]라 하면 직선 [eqn: y=3x-k]는 기울기가
[eqn: 3]이고 [eqn: y]절편이 [eqn: -k]이다.

이 직선을 주어진 부등식의 영역과 만나도록
평행이동하면서 [eqn: k]의 값의 변화를 조사하면
직선 [eqn: y=3x-k]가 점 [eqn: LEFT ( `4,``4 RIGHT )]를 지날 때
[eqn: k]는 최댓값을 갖는다.

[eqn: 4=3times4-k]에서 [eqn: k=8]

따라서 [eqn: 3x-y]의 최댓값은 [eqn: 8]

16. [출제의도] 대칭이동을 활용하여 문제해결하기

두 점 [eqn: rmA LEFT ( `0,``1 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `0,``2 RIGHT )]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여
대칭이동한 점은 각각 [eqn: rm A' LEFT ( `1,``0 RIGHT )], [eqn: rm B' LEFT ( `2,``0 RIGHT )]이다.

[eqn: rm {bar{AP}} = {bar{A'P}}], [eqn: rm {bar{BQ}} = {bar{B prime Q}}]이므로

[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PB it}} + {bar{rm BQ it}} + {bar{rm QC it}}][eqn: = {bar{rm A'P it}} + {bar{rm PB it}} + {bar{rm B'Q it}} + {bar{rm QC it}}][eqn: rmGEQ {bar{A'B}} + {bar{B'C}}]

[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PB it}} + {bar{rm BQ it}} + {bar{rm QC it}}]의 값이 최소일 때는
점 [eqn: rmP]가 두 점 [eqn: rmA'], [eqn: rmB]를 지나는 직선 위에 있고,
점 [eqn: rmQ]가 두 점 [eqn: rmB'], [eqn: rmC]를 지나는 직선 위에 있을 때
이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm `A]

[eqn: rm `B]

[eqn: rm `C]

[eqn: rm `A']

[eqn: rm `B']

[eqn: y=x]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

두 점 [eqn: rm A' LEFT ( `1,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `0,``2 RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: y=it-2x+2]

두 점 [eqn: rm B prime LEFT ( `2,``0 RIGHT )], [eqn: rmC(`0,``4)]를 지나는 직선의 방정식은
[eqn: y=it-2x+4]

점 [eqn: rm`P]는 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=it-2x+2]의 교점이고
점 [eqn: rm Q]는 두 직선 [eqn: y=x], [eqn: y=it-2x+4]의 교점이므로

[eqn: rmP LEFT ( `{2} over {3} ,`` {2} over {3} RIGHT )], [eqn: rmQ LEFT ( `{4} over {3} ,`` {4} over {3} RIGHT )]

따라서 [eqn: rm {bar{PQ}} = sqrt {{4} over {9} + {4} over {9}} = {2 sqrt {2}} over {3}]

17. [출제의도] 이차함수의 접선의 방정식 추론하기

양수 [eqn: a]에 대하여 곡선 [eqn: y=x ^{2}] 위의 점 [eqn: rm P LEFT ( `ita,``a ^{2} RIGHT )]에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=m _{1} LEFT ( x-a RIGHT ) +a ^{2}]이다.

곡선 [eqn: y=x ^{2}]과 직선 [eqn: y=m _{1} LEFT ( x-a RIGHT )+a ^{2}]이 접하므로

이차방정식 [eqn: x ^{2}=m _{1} LEFT ( x-a RIGHT ) +a ^{2}]이 중근을 갖는다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -m _{1} x+am _{1} -a ^{2} =0]의 판별식을
[eqn: D`]라 하면 [eqn: D=m _{1}^{``2} -4am _{1} +4a ^{2} =0]

[eqn: m _{1} =` LEFT . {BOX{```2a```}} RIGHT .]

[eqn: y=m _{2} LEFT ( x-a RIGHT ) +a ^{2}]이 점 [eqn: rm A LEFT ( `0,``1 RIGHT )]을 지나므로

[eqn: 1=it-am _{2} +a ^{2}]

[eqn: m _{2} = LEFT . {BOX{``````a- {1} over {a} ```````}} RIGHT .]

[eqn: m _{1} -m _{2}][eqn: =2a- LEFT ( a- {1} over {a} RIGHT )][eqn: =a+ {1} over {a}][eqn: GEQ 2]
(단, 등호는 [eqn: a=1]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: m _{1} -m _{2}]의 최솟값은 [eqn: LEFT . {BOX{`````````2````````}} RIGHT .] 이다.

[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =2a], [eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =a- {1} over {a}], [eqn: k=2]

따라서 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) TIMES g LEFT ( k RIGHT ) =4 TIMES LEFT ( 2- {1} over {2} RIGHT ) =6]

18. [출제의도] 삼차방정식의 근 추론하기

삼차방정식 [eqn: x ^{3} =1]의 한 허근이 [eqn: omega]이므로

[eqn: x ^{3} -1= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +x+1 RIGHT ) =0]에서

[eqn: omega ^{`3} =1], [eqn: omega ^{`2} + omega +1=0]

[eqn: omega]의 켤레복소수 [eqn: {bar{omega `}}]는 [eqn: x ^{3} =1]의 다른 한 허근이므로
[eqn: {bar{omega `}} ^{3} =1`], [eqn: {bar{omega `}} ^{2} + {bar{omega `}} +1=0`], [eqn: omega + {bar{omega `}} =it-1], [eqn: omega TIMES {bar{omega `}} = it 1]

ㄱ. [eqn: {bar{omega `}} ^{3} =1`] (참)

ㄴ. [eqn: {1} over {omega } + LEFT ( {1} over {omega } RIGHT ) ^{2} = { omega +1} over {omega ^{`2}} = {- omega ^{`2}} over {omega ^{`2}} = it -1]
[eqn: {1} over {{bar{omega }}} + LEFT ( {1} over {{bar{omega }}} RIGHT ) ^{2} = {{bar{omega `}} +1} over {{bar{omega `}} ^{2}} = {- {bar{omega `}} ^{2}} over {{bar{omega `}} ^{2}} = it -1]
[eqn: THEREFORE] [eqn: {1} over {omega } + LEFT ( {1} over {omega } RIGHT ) ^{2} = {1} over {{bar{omega `}}} + LEFT ( {1} over {{bar{omega `}}} RIGHT ) ^{2}] (참)

ㄷ. [eqn: LEFT ( - omega -1 RIGHT ) ^{n} = LEFT ( omega ^{`2} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: LEFT ( {{bar{omega }}} over {omega + {bar{omega }}} ` RIGHT ) ^{``n}][eqn: = LEFT ( - {bar{omega }} RIGHT ) ^{n}][eqn: = LEFT ( - {1} over {omega } RIGHT ) ^{n}]
[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES LEFT ( {1} over {omega } RIGHT ) ^{n}]
[eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES LEFT ( omega ^{2} RIGHT ) ^{n}]

[eqn: LEFT ( - omega -1 RIGHT ) ^{n} =][eqn: LEFT ( {{bar{omega `}}} over {omega + {bar{omega `}}} ` RIGHT ) ^{``n}]을 만족시키는 [eqn: n]은
[eqn: LEFT ( omega ^{`2} RIGHT ) ^{n}][eqn: = LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} TIMES LEFT ( omega ^{`2} RIGHT ) ^{n}], [eqn: 1= LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n}]을
만족시키므로 [eqn: n]은 짝수이다.
그러므로 [eqn: 100] 이하의 짝수 [eqn: n]의 개수는 [eqn: 50] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

19. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계를 활용하여 문제해결하기

[eqn: 3<a<7]일 때, 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax-20]의
그래프와 직선 [eqn: y=2x-12a]가 만나지 않으므로
기울기가 [eqn: 2]인 직선이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -2ax-20]에 접할 때의 접점이 점 [eqn: RMP]일 때,
점 [eqn: rm P]와 직선 [eqn: y=2x-12a] 사이의 거리가
최소가 된다.

[eqn: y=x ^{2} -2ax-20]에 접하고 기울기가 [eqn: 2]인 직선을
[eqn: y=2x+b]라 하면

[eqn: x ^{2} -2ax-20][eqn: =2x+b]

[eqn: x ^{2} -2 LEFT ( a+1 RIGHT ) x-20-b=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=4 LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} +4 LEFT ( 20+b RIGHT ) =0]

[eqn: b=it- LEFT ( a+1 RIGHT ) ^{2} -20=it-a ^{2} -2a-21]이므로

접선의 방정식은 [eqn: y=2x-a ^{2} -2a-21]

[eqn: f(a)]는 두 직선 [eqn: y=2x-12a]와

[eqn: y=2x-a ^{2} -2a-21] 사이의 거리와 같으므로

직선 [eqn: y=2x-12a] 위의 점 [eqn: LEFT ( `6a,``0 RIGHT )]과

직선 [eqn: y=2x-a ^{2} -2a-21] 사이의 거리를 구하면

[eqn: f LEFT ( a RIGHT )][eqn: = {LEFT | 12a-a ^{2} -2a-21 RIGHT |} over {sqrt {5}}]
[eqn: = {LEFT | -a ^{2} +10a-21 RIGHT |} over {sqrt {5}}]
[eqn: = {LEFT | - LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} +4 RIGHT |} over {sqrt {5}}] [eqn: LEFT ( 3<a<7 RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( a RIGHT )]의 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) = {4 sqrt {5}} over {5}]

20. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 추론하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-1]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT )],

나머지를 [eqn: R _{1}]이라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) +R _{1} ``cdots㉠]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나누었을 때의 몫을 [eqn: Q _{2} LEFT ( x RIGHT )],

나머지를 [eqn: R _{2}]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +R _{2} ``cdots㉡]

[eqn: ㉡]에 [eqn: x=2]를 대입하면

(가)에서 [eqn: R _{2} =f LEFT ( 2 RIGHT ) =Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) Q _{2} LEFT ( x RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT )]에

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =it-Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT ) =0]

[eqn: ㉠]에 [eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =R _{1} =0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차식이므로
[eqn: Q _{1} LEFT ( x RIGHT ) =x+a]라 하면 [eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+a RIGHT )]

[eqn: Q _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) =1+a], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2+a=Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT )]이므로

(나)에서 [eqn: Q _{1} LEFT ( 1 RIGHT ) +Q _{2} LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = LEFT ( 1+a RIGHT ) + LEFT ( 2+a RIGHT )]
[eqn: =2a+3=6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a= {3} over {2}], [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+ {3} over {2} RIGHT )]

따라서 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) = LEFT ( 3-1 RIGHT ) LEFT ( 3+ {3} over {2} RIGHT ) =9]

21. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 활용하여
문제해결하기

[eqn: rm `Q]

[eqn: C]

[eqn: rm`A LEFT ( `2,``2 RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm `O]

[eqn: l]

[eqn: rm `P]

[eqn: rm `Q]

원 [eqn: C`]의 반지름의 길이가 [eqn: r]이고 선분 [eqn: rm PQ]가 원 [eqn: C`]의
지름이므로 [eqn: rm {bar{PQ}} =it2r], [eqn: rm {bar{OP}} =itr]

삼각형 [eqn: rmAPQ]가 이등변삼각형이고
[eqn: rmANGLE APQ=90 DEG]이므로 [eqn: rm {bar{PA}} =it2r]

[eqn: rm {bar{OA}} = sqrt {4+4} =2 sqrt {2}]

삼각형 [eqn: rmAPO]에서 [eqn: 8=r ^{2} +4r ^{2}], [eqn: r ^{2} ={8over5}]

점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `a,``b RIGHT )]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} ={8over5}]

원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} = {8} over {5}] 위의 점 [eqn: RMP LEFT ( `ITa,``b RIGHT )]에서의
접선 [eqn: ax+by= {8} over {5}]이 점 [eqn: RMA LEFT ( `2,``2 RIGHT )]를 지나므로
[eqn: 2a+2b= {8} over {5}], [eqn: a+b= {4} over {5}]
[eqn: 2ab= LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} -(a ^{2} +b ^{2} )= {16} over {25} - {8} over {5} =it- {24} over {25}]이므로
[eqn: ab=it- {12} over {25}]

22. [출제의도] 등차수열의 일반항 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 50]이고 공차가 [eqn: -2]인
등차수열이므로 [eqn: a _{3} =50+ LEFT ( 3-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( -2 RIGHT ) =46]

23. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

직선 [eqn: y=3x-5]를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼,
[eqn: y]축의 방향으로 [eqn: 2a]만큼 평행이동한 직선은

[eqn: y-2a=3 LEFT ( x-a RIGHT ) -5]이고 [eqn: y=3x-a-5]가
[eqn: y=3x-10]과 일치하므로 [eqn: -a-5=it-10]

따라서 [eqn: a=5]

24. [출제의도] 등차수열의 합 이해하기

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a _{3} +a _{5} = LEFT ( a+2d RIGHT ) + LEFT ( a+4d RIGHT ) =2a+6d=14]

[eqn: a _{4} +a _{6} = LEFT ( a+3d RIGHT ) + LEFT ( a+5d RIGHT ) =2a+8d=18]

이므로 [eqn: a=1], [eqn: d=2]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은

[eqn: {10 LEFT ( 2+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} =100]

[다른 풀이]

등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d]라 하자.

[eqn: a _{4}]는 [eqn: a _{3}]과 [eqn: a _{5}]의 등차중항이므로

[eqn: 2a _{4} =a _{3} +a _{5} =14], [eqn: a _{4} =7]

[eqn: a _{5}]는 [eqn: a _{4}]와 [eqn: a _{6}]의 등차중항이므로

[eqn: 2a _{5} =a _{4} +a _{6} =18], [eqn: a _{5} =9]

[eqn: therefore] [eqn: d=a _{5} -a _{4} =9-7=2]

[eqn: a _{4} =a+3d=a+3times2=7]

[eqn: therefore] [eqn: a=1]

따라서 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: 10]항까지의 합은

[eqn: {10 LEFT ( 2+9 TIMES 2 RIGHT )} over {2} =100]

25. [출제의도] 집합의 포함관계 이해하기

[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4,``5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { `1,``3,``5,``9 RIGHT }]이므로
[eqn: A-B= LEFT { `2,``4 RIGHT }]

[eqn: LEFT ( A-B` RIGHT ) SMALLINTER C= EMPTYSET]이므로 [eqn: 2 NOTIN C`], [eqn: 4 NOTIN C`]이고,
[eqn: A SMALLINTER C`=C`]이므로 [eqn: C SUBSET A]

즉, 집합 [eqn: C`]는 [eqn: 2 NOTIN C`], [eqn: 4 NOTIN C`]인 [eqn: A`]의 부분집합이다.

따라서 집합 [eqn: C`]의 개수는 [eqn: 2 ^{5-2} =2 ^{3} =8]

26. [출제의도] 역함수 이해하기

함수 [eqn: g]의 역함수가 존재하므로 함수 [eqn: g]는
일대일대응이다.
[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) =3]
[eqn: g ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =3]이므로 [eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) =1]

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT ) =g LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =2], [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이므로 [eqn: g LEFT ( 1 RIGHT ) =2]

[eqn: therefore] [eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) =4], [eqn: g ^{`-1} LEFT ( 4 RIGHT ) =4]

따라서 [eqn: g ^{`-1} LEFT ( 4 RIGHT ) + LEFT ( f CIRC g RIGHT ) LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =4+f LEFT ( g LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT )]
[eqn: =4+f LEFT ( 3 RIGHT )]
[eqn: =4+3=7]

27. [출제의도] 연립방정식을 활용하여 문제해결하기

두 삼각형 [eqn: rm ABC], [eqn: rm �DBA]에서
[eqn: rm ANGLE BAD= ANGLE BCA], [eqn: rm ANGLE B]는 공통이므로
[eqn: rm TRIANGLE ABC□ TRIANGLE DBA]

[eqn: rm {bar{CD}} = it x], [eqn: rm {bar{AC}} = it x-1], [eqn: rm {bar{AB}} = it y]라 하면

[eqn: rm {bar{AB}} : {bar{AC}} = {bar{DB}} : {bar{DA}}]이므로 [eqn: y: LEFT ( x-1 RIGHT ) =8:6]

[eqn: therefore] [eqn: x= {3} over {4} y+1``cdots㉠]

[eqn: rm {bar{AB}} : {bar{BC}} = {bar{DB}} : {bar{BA}}]이므로 [eqn: y: LEFT ( 8+x RIGHT ) =8:y]

[eqn: therefore] [eqn: y ^{2} =8x+64`` CDOTS ㉡]

[eqn: ㉠]을 [eqn: ㉡]에 대입하면 [eqn: y ^{2} =8 TIMES LEFT ( {3} over {4} y+1 RIGHT ) +64]
[eqn: y ^{2} -6y-72=0], [eqn: LEFT ( y-12 RIGHT ) LEFT ( y+6 RIGHT ) =0]

[eqn: therefore] [eqn: y=12] [eqn: LEFT ( BECAUSE ```y>0 RIGHT )]

[eqn: y=12]를 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: x=10]

[eqn: therefore] [eqn: rm {bar{AB}} =12], [eqn: rm {bar{BC}} =8+10=18], [eqn: rm {bar{CA}} =9]

따라서 삼각형 [eqn: rm ABC]의 둘레의 길이는
[eqn: 12+18+9=39]

28. [출제의도] 절대부등식을 이용하여 문제해결하기

두 직선 [eqn: l], [eqn: m]이 원 [eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-3 RIGHT ) ^{2} =1]의
넓이를 [eqn: 4]등분하므로 두 직선 [eqn: l], [eqn: m]은
원의 중심 [eqn: (`1,``3)]을 지나고 서로 수직인 직선이다.

직선 [eqn: l]의 기울기가 [eqn: a]([eqn: 0<a<3])이므로

직선 [eqn: m]의 기울기는 [eqn: b=it- {1} over {a}]

[eqn: l:y=a LEFT ( x-1 RIGHT ) +3], [eqn: m:y=it- {1} over {a} LEFT ( x-1 RIGHT ) +3]

직선 [eqn: l]의 [eqn: x]절편과 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: 1- {3} over {a}], [eqn: 3-a]이고,

직선 [eqn: m]의 [eqn: x]절편과 [eqn: y]절편은 각각 [eqn: 1+3a], [eqn: 3+ {1} over {a}]
이므로 직선 [eqn: l]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의
넓이 [eqn: S _{`1}]은 [eqn: S _{`1} = {1} over {2} LEFT ( {3} over {a} -1 RIGHT ) LEFT ( 3-a RIGHT )]

직선 [eqn: m]과 [eqn: x]축, [eqn: y]축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이
[eqn: S _{`2}]는 [eqn: S _{`2} = {1} over {2} LEFT ( 1+3a RIGHT ) LEFT ( 3+ {1} over {a} RIGHT )]

[eqn: S _{`1} +S _{`2}][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {3} over {a} -1 RIGHT ) LEFT ( 3-a RIGHT ) + {1} over {2} LEFT ( 1+3a RIGHT ) LEFT ( 3+ {1} over {a} RIGHT )][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {10} over {a} +10a RIGHT ) GEQ 10]
(단, 등호는 [eqn: a=1]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: S _{`1} +S _{`2}]의 최솟값은 [eqn: 10]

29. [출제의도] 등비수열을 이용하여 추론하기

[eqn: LEFT . U= LEFT { r ^{k} RIGHT | k는``102``이하의``자연수 RIGHT }]의 부분집합 [eqn: A]의
원소들은 모두 [eqn: r]의 거듭제곱으로 표현된다.

(가)에 의해 [eqn: r IN A]

(나)에 의해 집합 [eqn: A]의 원소들을 작은 수부터
차례대로 배열한 수열은 등비수열이고 [eqn: r>1]이므로

첫째항은 [eqn: r]이다.
공비를 [eqn: r ^{`a}]([eqn: a]는 자연수)라 하면
일반항은 [eqn: r LEFT ( r ^{`a} RIGHT ) ^{n-1}][eqn: LEFT ( n GEQ 2 RIGHT )]이다.

[eqn: r ^{31} IN A], [eqn: r ^{100} IN A]이므로 두 자연수 [eqn: n _{1}], [eqn: n _{2}]에 대하여
[eqn: r LEFT ( r ^{a} RIGHT ) ^{n _{1} -1} =r ^{31}], [eqn: r LEFT ( r ^{a} RIGHT ) ^{n _{2} -1} =r ^{100}]
[eqn: r ^{a LEFT ( n _{1} -1 RIGHT )} =r ^{30}], [eqn: r ^{a LEFT ( n _{2} -1 RIGHT )} =r ^{99}]

따라서 [eqn: a]는 [eqn: 30]과 [eqn: 99]의 공약수이므로
[eqn: a=1] 또는 [eqn: a=3]

(다)에 의해 [eqn: A]는 전체집합 [eqn: U]의
진부분집합이므로 [eqn: a=3]이고,
일반항은 [eqn: r LEFT ( r ^{3} RIGHT ) ^{n-1} =r ^{3n-2}]

전체집합 [eqn: U]의 원소들의 합은

첫째항이 [eqn: r], 공비가 [eqn: r]인 등비수열의 제[eqn: 102]항까지의
합과 같으므로 [eqn: {r LEFT ( r ^{102} -1 RIGHT )} over {r-1}]이다.

집합 [eqn: A]의 원소의 개수를 [eqn: n]이라 하면

[eqn: 3n-2 LEQ 102], [eqn: n LEQ 34]

집합 [eqn: A]의 원소들의 합은

첫째항이 [eqn: r], 공비가 [eqn: r^3]인 등비수열의 제[eqn: 34]항까지의
합과 같으므로 [eqn: {r LEFT { LEFT ( r ^{3} RIGHT ) ^{34} -1 RIGHT }} over {r ^{3} -1}]이다.

[eqn: {r LEFT ( r ^{102} -1 RIGHT )} over {r-1}][eqn: =91` TIMES ` {r LEFT ( r ^{102} -1 RIGHT )} over {r ^{3} -1}][eqn: =91` TIMES ` {r LEFT ( r ^{102} -1 RIGHT )} over {r-1} TIMES {1} over {r ^{2} +r+1}]

[eqn: r ^{2} +r+1=91]

[eqn: r ^{2} +r-90= LEFT ( r+10 RIGHT ) LEFT ( r-9 RIGHT ) =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: r= it -10] 또는 [eqn: r=9]

따라서 [eqn: r=9]

30. [출제의도] 원의 방정식을 이용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmA]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `x,``y RIGHT )]라 하면 점 [eqn: rm B]는 점 [eqn: rm A]를
원점에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 [eqn: rmB]의 좌표는
[eqn: LEFT ( -x,``-y RIGHT )]이다.

세 점 [eqn: rm A LEFT ( it`x,``y RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it-x,``-y RIGHT )], [eqn: rm C LEFT ( `0,``10 RIGHT )]을
꼭짓점으로 하는 삼각형의 세 변의 길이
[eqn: {bar{rmAB}}], [eqn: {bar{rm BC it}}], [eqn: {bar{rm CA it}}]에 대하여

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} = it 4x ^{2} +4y ^{2}]

[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} = it x ^{2} + LEFT ( y+10 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: rm {bar{CA}} ^{2} = it x ^{2} + LEFT ( y-10 RIGHT ) ^{2}]

삼각형 [eqn: rm ABC]가 직각삼각형인 경우는

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} = {bar{CA}} ^{2}] 또는
[eqn: rm {bar{BC}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2}] 또는

[eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2}] 이다.

i) [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{BC}} ^{2} = {bar{CA}} ^{2}] 일 때,
[eqn: LEFT ( 4x ^{2} +4y ^{2} RIGHT ) + LEFT { x ^{2} + LEFT ( y+10 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =x ^{2} + LEFT ( y-10 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{2} + LEFT ( y+5 RIGHT ) ^{2} =25]

ii) [eqn: rm {bar{BC}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} = {bar{AB}} ^{2}] 일 때,
[eqn: LEFT { x ^{2} + LEFT ( y+10 RIGHT ) ^{2} RIGHT } + LEFT { x ^{2} + LEFT ( y-10 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =4x ^{2} +4y ^{2}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{2} +y ^{2} =100]

iii) [eqn: rm {bar{AB}} ^{2} + {bar{CA}} ^{2} = {bar{BC}} ^{2}] 일 때,
[eqn: LEFT ( 4x ^{2} +4y ^{2} RIGHT ) + LEFT { x ^{2} + LEFT ( y-10 RIGHT ) ^{2} RIGHT } =x ^{2} + LEFT ( y+10 RIGHT ) ^{2}]
[eqn: THEREFORE] [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =25]

i), ii), iii)을 좌표평면 위에 나타내면 그림과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =100]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =25]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( y+5 RIGHT ) ^{2} =25]

점 [eqn: rmA]는 [eqn: y]축 위의 점이 아니므로 그림의 원 위에
존재하는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점 [eqn: rmA]의
개수는 제[eqn: 1]사분면 위의 점의 개수의 [eqn: 4]배와
[eqn: x]축 위의 두 점 [eqn: LEFT ( `10,``0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -10,``0 RIGHT )]의 개수 [eqn: 2]를
더한 것이다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm`O]

[eqn: rm `3]

[eqn: rm `4]

[eqn: rm `5]

[eqn: rm `6]

[eqn: rm `8]

[eqn: rm `2]

[eqn: rm `1]

[eqn: rm `5]

[eqn: rm `6]

[eqn: rm `8]

[eqn: rm `9]

[eqn: rm `10]

[eqn: x ^{2} + LEFT ( y-5 RIGHT ) ^{2} =25]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =100]

[eqn: x=3]일 때, [eqn: LEFT ( `3,``1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `3,``9 RIGHT )]

[eqn: x=4]일 때, [eqn: LEFT ( `4,``2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4,``8 RIGHT )]

[eqn: x=5]일 때, [eqn: LEFT ( `5,``5 RIGHT )]

[eqn: x=6]일 때, [eqn: LEFT ( `6,``8 RIGHT )]

[eqn: x=8]일 때, [eqn: LEFT ( `8,``6 RIGHT )]

따라서 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수이면서
삼각형 [eqn: rm ABC]가 직각삼각형이 되는 점 [eqn: rm A]의 개수는
[eqn: 7 TIMES 4+2=30]