2013학년도 경찰대학 1차시험 (수리영역)

[eqn: 2][eqn: 3]

※ 총 4쪽 25문항입니다. 각 문항의 답을 하나만 고르시오.

4 -

1. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{~``0&``1#-1`&``1}}]에 대하여 [eqn: A ^{2013} ` {pmatrix{`a`#`b`}} `=` {pmatrix{`1`#`2`}}]일 때, [eqn: a+b`]의  값은?

① [eqn: -3]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 3]

2. 삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이는 [eqn: 12`]이고, 이 삼각형의 외접원의 넓이는 [eqn: 15 pi`]이다. 이 외접원의 중심을 [eqn: \O]라고 할 때, 다음 식의 값은?

[eqn: sin `(rm angle AOB ) + sin`(rm angle BOC) + sin ` (rm angle COA )`]

① [eqn: 6 over5]	② [eqn: 7 over5]	③ [eqn: 8 over5]	④ [eqn: 9 over5]	⑤ [eqn: 2]

3. 어떤 살아있는 쥐에 있는 세균 S의 개체 수는 4이고, 세균 T의 개체 수는 256이다. 그 쥐가 살아 있는 동안에는 두 세균의 개체 수에 변함이 없고, 죽는 순간부터 세균 S의 개체 수는 4시간마다 두 배로 증가하며, 세균 T의 개체 수는 6시간마다 두 배로 증가한다. 쥐가 죽은 후 두 세균 S와 T의 개체 수가 같아졌을 때, 세균 S의 개체 수는?

① [eqn: 2^20]	② [eqn: 2^21]	③ [eqn: 2^22]	④ [eqn: 2^23]	⑤ [eqn: 2^24]

4. 집합 [eqn: G = left{ (x, ``y) ``|``` y=6^x ,```x `는 ```실수 \}]에 대하여 <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: (a, ``2^b ) in G``]이면 [eqn: b= a `log_2 ``6]이다.

ㄴ. [eqn: (a,`` b ) in G``]이면 [eqn: left(-a, `` 1 over b right) in G``]이다.

ㄷ. [eqn: (a, ``b ) in G`]이고 [eqn: (c, ``d ) in G``]이면 [eqn: (a+c, ``b+d) in G``]이다.

<보 기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

5. 다음 연립방정식을 만족시키는 세 양수 [eqn: x, ``` y, ``` z`]에 대하여

[eqn: x + y + z`]의 값은?

[eqn: cases { `x^2 + 2yz + 2 z = 29 # `y^2 + 2zx + 2x = 34 # ` z^2 + 2xy + 2y = 36 }]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

6. 세 점 [eqn: \P(3,``1)], [eqn: \Q(1,``-3)], [eqn: \R(4,``0)]을 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: \PQR]의 외심에서 직선 [eqn: 3x-4y+10=0`]까지의 거리는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

7. 두 무한급수 [eqn: sum_{n=1}^{infty} left( 2- log_2 `a right)^n `]와 [eqn: sum_{n=1}^{infty} left(2 ` sin a-3 over 2right )^n `]이 모두 수렴하도록 하는 정수 [eqn: a]의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

8. [eqn: lim _{x` -> ` INF } {LEFT { left ( sqrt {x ^{4} +2x ^{3} +1} -x ^{2}right ) left ( sqrt {x ^{2} +6} -x right) RIGHT }}]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

9. [eqn: sqrt 3 of { 10 + 2sqrt 27 } + sqrt 3 of { 10 - 2sqrt 27 }]의 값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: root2]	③ [eqn: root3]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 2root 3]

10. [eqn: log_2`77]의 소수 부분을 [eqn: a`], [eqn: log_5 `77]의 소수 부분을 [eqn: b`]라 하자. 다음을 만족시키는 두 자연수 [eqn: p`]와 [eqn: q`]에 대하여 [eqn: p+q`]의 최솟값은?

[eqn: 2`^p+a `5`^q+b `]은 [eqn: 250`]의 배수이다.

① [eqn: 11]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 13]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 15]

11. 세 개의 주사위를 동시에 던질 때, 세 주사위에 나타난 눈의 수가 2, 5, 3 또는 1, 1, 2 또는 6, 4, 2와 같이 두 주사위에 나타난 눈의 수의 합이 나머지 주사위의 눈의 수와 같을 확률은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 2 over 9]	③ [eqn: 5 over 24]	④ [eqn: 1 over 4]	⑤ [eqn: 5 over 18]

12. 학생 15명 중에서 적어도 한 명의 남학생과 적어도 한 명의 여학생이 포함되도록 3명의 대표를 선출하는 서로 다른 방법이 286가지일 때, 남학생 수와 여학생 수의 차는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

13. [eqn: f(x ^{2} )=f(x)f(-x)]을 만족시키는 이차식 [eqn: f(x)]의 개수는?

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

14. 다음을 만족시키는 미분가능한 함수 [eqn: f(x)]에 대하여 [eqn: f(1)]의 값은?

[eqn: int_1^x (x-t) f(t) `dt = x^4 +ax^2 -10x +6]

① [eqn: 18]	② [eqn: 21]	③ [eqn: 24]	④ [eqn: 27]	⑤ [eqn: 30]

15. 다음 다항식에서 [eqn: x^22]의 계수는?

[eqn: ( x+ 1)^24 + x ( x+ 1 )^23 + x^2 ( x + 1 )^22 + ` cdots ` + x^22 ( x +1 )^2]

① [eqn: 1520]	② [eqn: 1760]	③ [eqn: 2020]	④ [eqn: 2240]	⑤ [eqn: 2300]

16. [eqn: sum_{k=1}^20 (2k+1) left( 1 over k + 1 over k+1 + 1 over k+2 +``cdots `+ 1 over 20 right)]의 값은?

① [eqn: 250]	② [eqn: 254]	③ [eqn: 258]	④ [eqn: 262]	⑤ [eqn: 266]

17. 두 실수 [eqn: x`]와 [eqn: y`]에 대하여 [eqn: 2x^2 +y^2 -2x + 4 over { x^2 + y^2 +1}]의 최솟값은?

① [eqn: 1]	② [eqn: 5 over4]	③ [eqn: 3 over2]	④ [eqn: 7 over 4]	⑤ [eqn: 2]

18. 1부터 [eqn: k]까지 모든 자연수의 집합을 [eqn: A_k`]라고 하자. 그리고 [eqn: A cup B = A_k+2 `]와 [eqn: n(A) =2 `]를 만족시키는 두 집합 [eqn: A]와 [eqn: B`]의 순서쌍 [eqn: (A,```B`)]의 개수를 [eqn: a_k`]라 할 때, [eqn: sum_{k=1}^inf 1 over {a_k }]의 값은?

① [eqn: 1 over 6]	② [eqn: 1 over 5]	③ [eqn: 1 over 4]	④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over2]

19. 다음을 만족시키는 한 자리 자연수 [eqn: a`]의 개수는?

방정식 [eqn: x^3 -x^2 -ax -3=0`]이 서로 다른 세 실근을 가진다.

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20. 방정식 [eqn: x`[x]`+187`=`[x ^{2} ]`+[x]]의 근의 개수는?

(단, [eqn: [`x]]는 [eqn: x]보다 크지 않은 최대 정수이다.)

① [eqn: 58]	② [eqn: 67]	③ [eqn: 76]	④ [eqn: 85]	⑤ [eqn: 94]

21. 두 함수 [eqn: f`]와 [eqn: g`]는 임의의 두 실수 [eqn: x`]와 [eqn: y`]에 대하여 다음을 만족시킨다.

[eqn: f(0)=3], [eqn: f`(x+g`(y))= (x +y^2 -1 )^2 -1]

이때, [eqn: f(7)+ g(7)]의 값이 될 수 있는 수 중에서 가장 큰 값은?

① [eqn: 92]	② [eqn: 113]	③ [eqn: 126]	④ [eqn: 135]	⑤ [eqn: 147]

22. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {} ` sum _{k=1} ^{2n} {k ^{2} (5k ^{2} +3)} over {n ^{3} (n ^{2} +1)}]의 값은?

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

23. 곡선 [eqn: y = x^3 `]에 있는 점 [eqn: {rm A} ( a, ``` a^3 )]에서의 접선이 이 곡선과 점 B에서 만나고, 점 B에서의 접선은 이 곡선과 점 C에서 만난다고 하자. 선분 BC와 이 곡선 사이의 넓이를 선분 AB와 이 곡선 사이의 넓이로 나눈 값은? (단, [eqn: a ne 0]이다.)

① [eqn: 4]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 32]	⑤ [eqn: 64]

24. 행렬 [eqn: A= {pmatrix{`0&```4`#`5&```1`}}]와 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: A^n `]의 [eqn: (1,``1)``]성분을 [eqn: x_n]이라고 할 때,  [eqn: lim_{n`->` inf} {x_n} over {5^n }]의 값은?

① [eqn: 7 over18]	② [eqn: 4 over9]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 5 over 9]	⑤ [eqn: 11 over 18]

25. 연립부등식 [eqn: x ge 0], [eqn: y ge 0], [eqn: x+y le 3`]의 영역에 있는 점 [eqn: (a, ``b )]에 대하여 [eqn: A =a^2 b + b^2 (3-a-b) + (3-a-b)^2 a `]라 하자. <보기>에서 참인 명제만을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. [eqn: 2<a le 3`]이면 [eqn: a^2 (3-a) < 4`]이다.

ㄴ. [eqn: 2<a le 3`]이면 [eqn: a ^{2} (3-a)-A ge 0]이다.

ㄷ. [eqn: A=4`]일 때, [eqn: 10a+b`]의 최댓값은 [eqn: 21`]이다.

<보 기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄴ, ㄷ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

※확인사항

▷ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입․표기 했는지 확인하시오.