• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	⑤	2	⑤	3	④	4	②	5	①
6	⑤	7	③	8	④	9	⑤	10	①
11	②	12	①	13	②	14	④	15	③
16	③	17	②	18	[eqn: 20]	19	[eqn: 18]	20	[eqn: 826]
21	[eqn: 14]	22	[eqn: 37]	23	[eqn: 25]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 45]

해 설

1. [출제의도] 로그를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {{3} over {2} `log2} over {log3} TIMES {2log3} over {log2} =3]

2. [출제의도] 행렬을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: AB ^{-1} +B][eqn: = pmatrix{1&2#1&0} pmatrix{````````3&`-1#-2&````````1} + pmatrix{1&1#2&3}][eqn: = pmatrix{-1&````````1#```````3&`-1} + pmatrix{1&1#2&3} = pmatrix{0&2#5&2}]

따라서 주어진 행렬의 모든 성분의 합은 [eqn: 9``]이다.

3. [출제의도] 함수의 극한을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: root3a+3 -3=0]에서 [eqn: a=2], [eqn: b=][eqn: lim _{ x->3} {sqrt 2x+3 - 3 }over{ x-3}][eqn: = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE] [eqn: a+b = 7 over 3]

4. [출제의도] 벡터의 연산과 내적을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 변 [eqn: rmOA], [eqn: rmOB`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta ``]라 하면

[eqn: `veca BULLETvec b `=` LEFT | `vec a `RIGHT | LEFT | `vec b `RIGHT |`cos theta `=`6cos theta `=2``]에서 [eqn: cos theta `=` 1 over 3]
∴ [eqn: sin theta`=`{2root2 }over 3]

∴ (넓이)[eqn: =LEFT | ` vec a` RIGHT | LEFT | `vecb`RIGHT |`sin theta `=`4root2]

5. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a over x+1 + 1 over x-3 > 0] [eqn: LRARROW] [eqn: left(x - {3a-1} over a+1 right) (x+1 )(x-3) >0]

이때, [eqn: \A subset B`]이기 위해서는 [eqn: 3a-1 over a+1 >=2``]이어야 하므로

[eqn: 3a-1>=2a+2]  [eqn: THEREFORE] [eqn: a>= 3]

6. [출제의도] 함수의 연속성을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: g(x) = cases { ``1 ~~( x!= 0 )#`` 0 ~~(x= 0 )``]이므로 [eqn: x = 0``]에서 불연속

ㄴ. [eqn: g(x) = cases {`` x^2 +5 ~~( x != 0 )#`` 5~~~~ ~~(x= 0 )``]이므로 [eqn: x = 0``]에서 연속

ㄷ. [eqn: g(x) = cases {`` sum_r=2^10`_10 {\C}_r ``x^r-1 +1 ~~( x != 0 )#````` 1~~~~~~~~~~~~~ ~~(x= 0 )``]에서
[eqn: lim_x->0`` g(x)=g(0)=1``]이므로 [eqn: x = 0``]에서 연속

7. [출제의도] 정사영을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

평면 [eqn: rmAFH`]와 평면 [eqn: rmEFGH`]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta``]라 하면 [eqn: TRIANGLE rmAFH`cos theta `=` TRIANGLE rm EFH`]이다.

[eqn: sqrt3 over 4 (4sqrt2 )^2 cos theta `=`1 over 2 cdot4^2]	∴ [eqn: cos theta `=` 1 over sqrt3]

이때, 구하는 넓이를 [eqn: S], 반원의 넓이를 [eqn: S``']이라 하면

[eqn: S`= {S`` prime } over {cos theta }= {sqrt {3}} over {2} pi]

8. [출제의도] 벡터의 연산을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: vec {rmAB}`=` 1 over 3 vec{rm AO} + 2 over 3 vec{rmAP} `=`{2vec{rmAP} +vec{ rm AO}} over 3``]이므로 [eqn: rmB`]는 선분 [eqn: rmOP]를 [eqn: 2```:`1``]로 내분하는 점이다.

원뿔의 전개도에서 [eqn: L``]은 선분 [eqn: rmAA prime`]이고 선분 [eqn: rmOA`]와 선분 [eqn: rmOA prime`]을 [eqn: 2```:`1``]로 내분하는 점을 각각 [eqn: rmX], [eqn: rmX prime`]이라 하면 점 [eqn: rmB]의 자취는 선분 [eqn: rmXX prime`]이다. 부채꼴의 중심각의 크기를 [eqn: theta ``]라 하면 [eqn: 30 TIMES theta `=`2pi TIMES10``]에서 [eqn: theta `=`2pi over 3``]이므로 삼각형 [eqn: rmOAA prime`]에서
[eqn: {bar {rmAA prime} over{ sin{2pi over 3 } }`=`30 over {sin{pi over 6}}]
∴ [eqn: bar {rmAA prime} = 30root3]

∴ [eqn: bar{rmXX prime}`=`2 over 3 bar {rmAA prime}`=`20sqrt3]

9. [출제의도] 삼차함수의 그래프의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f(a) = f(b) = f(c) =k``]라 할 때 삼차방정식 [eqn: f(x) = k``]의
세 근이 [eqn: a,`` b,`` c`]이므로 [eqn: f(x) =p(x-a)(x-b)(x-c) + k]
[eqn: (p>0)``]로 놓으면

[eqn: f`'(x) = p(x-b)(x-c)][eqn: +p (x-a)(x-c) +p (x-a) (x-b)]

ㄱ. [eqn: f`'(a) = p(a-b)(a-c) >0] (참)

ㄴ. [eqn: f`'(a) + f`'(b)][eqn: = p(a-b)^2 >0] (참)

ㄷ. [eqn: f`'(a) - f`'(c)][eqn: = p(c-a) (2b-a-c)= 0``]이므로
[eqn: b = a+c over 2] (참)

10. [출제의도] 정적분을 이용하여 도형의 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

포물선 [eqn: C_1`]의 방정식을 [eqn: y=ax^2 +b``]로 놓으면 곡선 [eqn: y=ax^2 +b``]가 점 [eqn: (1,~root3 )``]을 지나고 이 점에서 접선의 기울기가 [eqn: root3 `]이므로 [eqn: root 3 = a+b``]이고 [eqn: root3 = 2a``]이다.

따라서 [eqn: a =b= root3 over 2``]이므로 [eqn: y= root3 over2 x^2 + root3 over 2]

∴ [eqn: S= 12 int_0^1 left( root3 over 2 x^2 + root3 over 2 - root3 x right)dx][eqn: =][eqn: 2root3]

11. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = 3+(n-1)d =3d``]에서 [eqn: ``n=4- {3} over {d}]

[eqn: n, ``d``]가 자연수이므로 [eqn: d=1,`3]    [eqn: THEREFORE] [eqn: 1+3=4]

12. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [반례] [eqn: a = 10^ { 3over2 }`]이면 [eqn: f(a) = 1], [eqn: f(a^2 ) = 3] (거짓)

ㄴ. [eqn: log ``a = f(a)+g(a)], [eqn: log ``a ^2 = 2log``a =2 f(a)+2g(a)]
[eqn: log ``a^2 = f(a^2 ) + g(a^2 )] (참)

ㄷ. [반례] [eqn: a=b= 10 ^{- 1over2}`]이면
[eqn: g(a)+ g(b)= 1], [eqn: ab= {1} over {10}] (거짓)

13. [출제의도] 조합을 이용하여 등식을 증명할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: k^2 =][eqn: + 2 ``․``_k {\C}`_2``]로 나타낼 수 있으므로

[eqn: `_k {rmC}_1]

[eqn: 1^2 +2^2 +3^2 +cdots+n^2]

[eqn: =][eqn: ` _{1} rm C _{1} +(` _{2} rm C _{1} +2`․` _{2} rm C _{2} )][eqn: +`` CDOTS `+(][eqn: `_n {\C}`_1][eqn: +2`․] )

[eqn: `_n {\C}`_2]

[eqn: = (_1 \C_1 +_2 \C_1 + _3 \C_1 +cdots+][eqn: `_n {\C}`_1])[eqn: +2(_2 \C_2 + _3 \C_2 + cdots+`] )

[eqn: `_n {\C}`_2]

[eqn: = _n+1 {\C} `_2 +2`․`] [eqn: = {n(n+1)(2n+1)} over6]

[eqn: `_n+1 {\C}`_3]

14. [출제의도] 도형의 넓이에 관한 무한급수의 합을  이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

곡선 [eqn: y=log_{1over4} x``]와 직선 [eqn: y= 1over2], [eqn: y= 1], [eqn: y= {3} over {2} , ``CDOTS ``]이
만나는 점의 [eqn: x``]좌표는 각각 [eqn: 1over2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 , LEFT ( 1over2 RIGHT )^3 , CDOTS``]이다.

[eqn: y=log_{1over4} x``]와 [eqn: y=log_{1over4}(- x)``]는 [eqn: y``]축에 대하여 대칭이므로

[eqn: sum _{ n=1} ^{inf }S_n][eqn: = 1over2 LEFT { 1+ 1over2 +LEFT ( 1over2 RIGHT )^2 + CDOTS RIGHT }= 1over 2 cdot 1over {1- 1over2}= 1]

15. [출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A+B=2E] 이면 [eqn: B=2E-A``]이므로
[eqn: AB=A(2E-A)=2A-A ^{2}][eqn: =(2E-A)A=BA] (참)

ㄴ. [반례] [eqn: A= LEFT ( matrix{0&`1#`1`&0} RIGHT ) ,```B= LEFT ( matrix{1``&0#1``&1} RIGHT )``]이면 [eqn: A ^{2} =E] 이므로
[eqn: A ^{2} B=BA ^{2} =B``]이지만 [eqn: AB= LEFT ( matrix{``1``&1#1&0} RIGHT ) != LEFT ( matrix{0&``1#1&``1} RIGHT )=BA] (거짓)

ㄷ. [eqn: A ^{2} B=A+E``]에서 [eqn: A ^{2} B-A=][eqn: A(AB-E)=E] … ㉠
[eqn: A ^{-1} =AB-E]에서 [eqn: (AB-E)A=E], [eqn: ABA-A=E] … ㉡
㉠, ㉡에서 [eqn: A ^{2} B=ABA]이고 [eqn: A ^{-1}]을 곱하면
[eqn: AB=BA] (참)

16. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y=3``]인 사건을 [eqn: A], [eqn: z=1``]인 사건을 [eqn: B``]라고 하면

[eqn: {rmP}(A)= 1over3 TIMES 1over3 = 1over9], [eqn: rm P it (B)= {2} over {3} TIMES {1} over {3} = {2} over {9}``]이고

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= {rmP}(A){rmP}(B) = {2} over {81}``]이므로

∴ [eqn: `{rm P}(A SMALLUNIONB )= {rmP}(A)+{RMP}(B)-{rmP}(A cap B )} = 25 over81]

17. [출제의도] 수열의 일반항을 구하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{n} =1+2+3+4+ CDOTS +(n+1)= {(n+1)(n+2)} over {2}]

[eqn: a _{2n} = {(2n+1)(2n+2)} over {2} =(2n+1)(n +1)]

[eqn: b_2n = b_2n+1 =(n+1)^2]

∴[eqn: lim _{ n->inf} {a_2n over b_2n }= lim _{ n->inf} { {(2n+1)(n+1)}over{(n+1)^2}}=2]

18. [출제의도] 정적분의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: int_0^6 `` left|`` 2x-4 ``right|` dx][eqn: =int_0^{2} (4-2x)dx + int_{2}^6 (2x-4)dx][eqn: = 20]

19. [출제의도] 쌍곡선의 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm F`' ( -3 ,`0`),~ rm F` (3 ,`0`)``]이고 주축의 길이는 [eqn: 4``]이므로

[eqn: rm bar PF' = {it a} ,~ bar PF = {it b}``]라 하면 [eqn: a-b=4]

[eqn: ∠ rmF`' PA`=∠ rmF PA``]이므로 [eqn: a``:``b```=``2``:``1]

∴ [eqn: a=8,~b=4]

따라서 삼각형 [eqn: rm PFF` prime `]의 둘레의 길이는 [eqn: 8+4+6=18]이다.

20. [출제의도] 공간도형에서 직선의 위치 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: n``]이 홀수일 때, [eqn: f(n)`=`(n-2)+(n-1)`=`2n-3]

∴ [eqn: f(2k-1)= 4k-5]

(ⅱ) [eqn: n``]이 짝수일 때, [eqn: f(n)`=`(n-2)+(n-2)`=`2n-4]

∴ [eqn: f(2k)=4k-4]

∴ [eqn: sum_n=3^30 f(n)][eqn: = sum_k=2^15 "{"f(2k-1)+f(2k)"}"][eqn: =sum_k=2^15 (8k-9)=826]

21. [출제의도] 타원의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원의 반지름의 길이를 [eqn: r`]라 하면 타원의 장축과 단축의 길이는 각각 [eqn: 2( 10-r)], [eqn: 2( 6-r)]이므로 타원의 방정식은 [eqn: {x ^{2}} over {(10-r) ^{2}} + {y ^{2}} over {(6-r) ^{2}} =1] 이다.

타원의 두 초점사이의 거리가 [eqn: 4 sqrt {10} ``]이므로

[eqn: (10-r) ^{2} -(6-r) ^{2} =(2 sqrt {10} ) ^{2}]  [eqn: THEREFORE ```r=3]

따라서 타원의 장축의 길이는 [eqn: 2(10-3)=14]이다.

22. [출제의도] 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: X]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	…	[eqn: 10]
[eqn: {rmP}(X)]	[eqn: 1over55]	[eqn: 2 over55]	[eqn: 3over55]	…	[eqn: 10over55]

[eqn: {rmE}(X) = 1over55 LEFT ( 1^2 +2^2 +3^3 + cdots+10^2RIGHT ) =7]

[eqn: {rmE}(5X+2)=5{rmE}(X)+2 =37]

23. [출제의도] 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log _{x} (log _{y} 2x)<0], [eqn: log _{y} 2x>1] [eqn: left (because ``1 over2 <x<1` right )]
∴ [eqn: 2x>y] ([eqn: BECAUSE][eqn: y>1])

따라서 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 그림과 같다. (단, 경계선 제외)

이때, [eqn: S= 1over4]이므로 [eqn: 100S=25]이다.

24. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

그림에서 [eqn: {rmA}], [eqn: {rmB}`]영역에 칠할 수 있는 색은 각각 [eqn: 3``]가지, [eqn: 2``]가지이다.

(ⅰ) [eqn: \C], [eqn: \D``]영역에 같은 색을 칠하고 [eqn: \E``]영역을 칠하는 경우 : [eqn: 2TIMES2``]가지

(ⅱ) [eqn: \C], [eqn: \D``]영역에 다른 색을 칠하고
[eqn: \E``]영역을 칠하는 경우 : [eqn: 2TIMES1]가지

[eqn: THEREFORE] [eqn: 3 TIMES 2 TIMES( 2 TIMES 2 + 2 TIMES1) =36]

25. [출제의도] 접선을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(ⅰ) [eqn: y`'= 3x^2 - 6x +3``]이므로 [eqn: f`'(0)=3]
따라서 원점에서의 접선의 방정식은 [eqn: y=3x]
이때, [eqn: x ^{3`}-3x^2 +3x=3x``]에서 [eqn: x^2 (x-3)=0``]이므로
[eqn: x =3]

(ⅱ) 점 [eqn: (a , f(a))``]에서의 접선의 방정식은
[eqn: y-a^3 +3a^2 -3a = (3a^2 -6a +3)(x-a)]
이 접선이 원점을 지나므로 [eqn: x=0,``y=0``]을 대입하여 정리하면 [eqn: a = 3 over 2]

∴ [eqn: 10S=10 left( 3over2 + 3 right) = 45]

[미분과 적분]

26	①	27	③	28	⑤	29	④	30	[eqn: 50]

26. [출제의도] 정적분의 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: int _{ 0} ^{1over n } {1over{root{x+1}} } dx = int _{ 0} ^{1over n } { (x+1)^{- 1over2}} dx] [eqn: = {2(root n+1 -root n `)} over root n]

∴ [eqn: lim _{ n->inf} `left(n int _{ 0} ^{1over n } {1over{root{x+1}} } dx right)][eqn: =lim _{ n->inf} {2 root n }over {root n+1 + root n } =1]

27. [출제의도] 함수가 극값을 가질 조건을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`'(x)= a cos x +b =0``]에서 [eqn: f`'(x)``]의 최대값과 최소값의 부호가 달라야 하므로 [eqn: (a+b)(-a+b)=-a^2 +b^2 <0]

∴ [eqn: a^2 >b^2]

28. [출제의도] 넓이의 변화율을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S= pi (sinx) ^{2}``]에서 [eqn: dS over dt = 2pi ``sinx cosx × dx over dt]

[eqn: x= {t`^2} overpi``]로 놓으면 [eqn: dx over dt = 2t over pi``]이고 [eqn: t= pi over2``]일 때 [eqn: x= pi over4``]이다.

∴ [eqn: LEFT [ dS over dt RIGHT ]_{t= piover2} = 2pi × 1over root2 × 1over root2 × 1 = pi]

29. [출제의도] 삼각함수의 극한을 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

(가) : [eqn: r=][eqn: {cos theta }over{sin^2 theta }]

(나) : [eqn: lim_{theta->{ pi over 2}}{r cos theta } over{ 1- sin theta} = lim_{theta->{ pi over 2}} {cos^2 theta } over {( 1-sin theta )sin^2 theta} = 2]

30. [출제의도] 삼각함수의 여러 가지 공식을 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sin theta = 2 sin thetaover2 `cos theta over2][eqn: = 3over 5]

∴ [eqn: S=][eqn: 1 over {1- sin theta } = 1over{1- 3over5} = 5 over 2]	∴ [eqn: 20S = 50]

[확률과 통계]

26	⑤	27	①	28	④	29	②	30	[eqn: 77]

26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 자료의 개수는 [eqn: 20`]이므로 중앙값은 [eqn: 10`]번째로 작은 [eqn: 77`]과 [eqn: 11]번째로 작은 [eqn: 77]의 평균인 [eqn: 77`]이다. (참)

ㄴ. 범위는 [eqn: (90+d ) -(50+ a )][eqn: >= 91-58=33] (참)

ㄷ. 주어진 자료의 평균의 최대값은 [eqn: 79`]보다 작다. (참)

27. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구하는 확률은 [eqn: {0.4×0.3} over {0.4×0.3+0.2×0.3+0.4×0.4} = 6 over 17]

28. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: `_6 {\C}_1 left( 1over 2 right)^6 + _6 {\C}_3 left( 1over 2 right)^6 + _6{\C}_5 left( 1over 2 right)^6][eqn: = 1over 2]

29. [출제의도] 표본평균의 분포를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

확률변수 [eqn: bar {X ```}]는 정규분포 [eqn: {\N} left( 100, {left( sigma over rootn right)^2 }right)``]을 따르므로

[eqn: {\P}(n,~sigma)][eqn: ={\P}(`|`bar{ X```} -100``|<=10) ``][eqn: ={\ P} left( left|`Z`` right| <= {10rootn} over sigma right) ``]

따라서 옳은 것은 ㄴ이다.

30. [출제의도] 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {\E}(X)][eqn: = 0× 40 over 100 + 1× 43 over 100 + 2 × 17 over 100 = 0.77]

∴ [eqn: {\E}(100X)=100{\E}(X) =77]

[이산수학]

26	②	27	④	28	①	29	③	30	[eqn: 220]

26. [출제의도] 비둘기집의 원리를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.

비둘기집의 원리에 의하여 [eqn: k``]의 최대값은 [eqn: 4``]이다.

27. [출제의도] 적절하게 색칠하는 방법을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

각 기지국을 꼭지점으로 하고 두 기지국 사이의 거리가
[eqn: 150rmkm] 이내인 두 기지국을 나타내는 꼭지점끼리 변으로 연결하고, 최소의 색으로 구별하면 그림과 같다. 따라서 무선통신 회사가 확보해야 할 주파수의 최소 개수는 [eqn: 3]이다.

28. [출제의도] 수의 규칙성을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n = 2^n-2 + 1 over 2][eqn: (n≧2)``]이므로 조건을 만족하는 자연수 [eqn: n``]의 최소값은 [eqn: 12``]이다.

29. [출제의도] 가중치 선거를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: f_6 ({rmA}) = 3over5 ,~ f_6 ({rm B})= 1over5 ,~ f_6 ({rmC})= 1over5] (참)

ㄴ. [eqn: f_5 ({rm A})=1] (거짓)

ㄷ. [eqn: n=9]일 때, [eqn: f _{n} ( rm A it )=f _{n} ( rm B it )=f _{n} ( rm C it )] (참)

30. [출제의도] 중복조합을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: rm `_10+3-1 C_3 =_12 C_3 =220``](가지)

‘나’형 정답

1	⑤	2	⑤	3	④	4	③	5	④
6	⑤	7	④	8	①	9	①	10	②
11	②	12	①	13	②	14	④	15	③
16	③	17	②	18	[eqn: 21]	19	[eqn: 24]	20	[eqn: 400]
21	[eqn: 11]	22	[eqn: 37]	23	[eqn: 25]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 43]
26	⑤	27	③	28	①	29	③	30	[eqn: 96]

해 설

1～2. ‘가’형과 같음.

3. [출제의도] 독립사건과 확률의 덧셈정리를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 사건 [eqn: A,`` B``]가 독립이므로 [eqn: {rmP}(A SMALLINTER B)= {rmP}(A){rmP}(B)]

[eqn: {rmP}(A SMALLUNIONB)][eqn: = {rmP}(A)+{rmP}(B) -][eqn: {rmP}(A){rmP}(B)]

[eqn: 2over3 = 1over3 +{rmP}(B)- 1over3 {rmP}(B)]       ∴ [eqn: {RMP}(B)= 1over2]

4. [출제의도] 등비수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: S_6 ={a(2^6 -1)}over{2-1}= 21]   [eqn: THEREFORE~a= 1over3]

5. [출제의도] 역행렬을 이용하여 연립방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( matrix{a-1~&-2#8&b} RIGHT )LEFT ( matrix{x#y} RIGHT ) = pmatrix{-1&``0#``````0&``2b} LEFT ( matrix{x#y} RIGHT )]에서 [eqn: LEFT ( matrix{```a~&-2#8&-b} RIGHT )LEFT ( matrix{x#y} RIGHT ) =LEFT ( matrix{0#0} RIGHT )]

[eqn: x=0]，[eqn: y=0] 이외의 해를 가지므로 [eqn: ab=16`]이다.

∴ [eqn: a+b>= 2rootab = 2root16 = 8]

따라서 [eqn: a+b``]의 최소값은 [eqn: 8]이다.

6. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 그래프를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: left({1} over {2} right) ^{d} =c] (참)

ㄴ. [eqn: left( 1over2 right) ^a = e`]에서 [eqn: a= -log_2 e], [eqn: d=log _{2} e] [eqn: THEREFORE a+d =0] (참)

ㄷ. [eqn: left( 1 over 2 right) ^d = c], [eqn: log_2 e= d``]에서 [eqn: 2^d `=e] [eqn: THEREFORE ce=1] (참)

7. [출제의도] 조합을 이용하여 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

직사각형의 윗변과 아랫변을 선택하는 경우는 다음과 같이 여섯 가지이다.

[eqn: a,``b``]인 경우 : [eqn: {} _{4} \C` _{2} `=`6],	[eqn: a,``c`]인 경우 : [eqn: {} _{4} \C` _{2} `=`6]

[eqn: a,``d`]인 경우 : [eqn: {} _{4} \C` _{2} `=`6],	[eqn: b,``c`]인 경우 : [eqn: {} _{6} \C` _{2} `=`15]

[eqn: b,``d`]인 경우 : [eqn: {} _{6} \C` _{2} `=`15],	[eqn: c,``d`]인 경우 : [eqn: {} _{8} \C` _{2} `=`28]

따라서 직사각형의 개수는 [eqn: 76]개이다.

8. [출제의도] 조건부확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

구입후 구입전	소형차	중대형차	계
소형차	[eqn: x]	[eqn: z]	[eqn: 60]%
중대형차	[eqn: y]	[eqn: w]	[eqn: 40]%

[eqn: x+z=60](%), [eqn: x:z=60:40] 이므로 [eqn: x=36](%),[eqn: z=24](%)

[eqn: y+w=40](%), [eqn: y:w=20:80] 이므로 [eqn: y=8](%),[eqn: w=32](%)

중대형차를 구입한 사건을 [eqn: A], 소형차를 타던 사건을 [eqn: B``]라 하면

[eqn: {\P}(B``|A)= {{\P}(A cap B )} over {{\P}(A)}= {24over100} over {56 over 100} = 3 over 7]

9. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

주사위의 눈의 수가 [eqn: k]일 확률은 [eqn: 1 over 6]

동전 [eqn: 6]개에서 앞면의 개수가 [eqn: k``]일 확률은 [eqn: `_6 {\C}_k left( 1 over 2 right) ^6]

[eqn: THEREFORE] [eqn: sum _{k=1} ^{6}{1} over {6} cdot ` _{6} {\C} _{k} left( {1} over {2} right) ^{6} = {1} over {6} left{ sum _{k=0} ^{6} ` _{6} {\C} _{k} left( {1} over {2} right) ^{6} -left( {1} over {2} right) ^{6} right}] [eqn: = 21over128]

10. [출제의도] 정규분포를 이용하여 실생활 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

학생의 점수를 [eqn: X]라 하자.

[eqn: 0.11<0.5-{\P}(0<=Z<=z)<=0.23]

[eqn: 0.27<={\P}(0<=Z<=z)<0.39]

[eqn: 0.74<=z= X-60.2 over 20 <1.23]     [eqn: THEREFORE] [eqn: 75<=X<84.8]

따라서 구하는 최소점수는 [eqn: 75]점이다.

11～17. ‘가’형과 같음.

18. [출제의도] 이항분포를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: `_n {rmC }_2 LEFT ( 1over2 RIGHT )^10 =10 `_n{rmC}_1 LEFT ( 1over2 RIGHT )^10], [eqn: {n(n-1)}over2 =10n] 이므로 [eqn: n=21]

19. [출제의도] 등차수열의 일반항을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

등차수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT } ``]의 첫째항을 [eqn: a], 공차를 [eqn: d``]라 하면

[eqn: {a }_{3 } + {a }_{5 } =36 ``]에서 [eqn: a+3d=18]

[eqn: {a }_{2} {a }_{4 } =180 ``]에서 [eqn: a+d=10]   [eqn: THEREFORE] [eqn: a=6,`` d=4]

[eqn: { a}_{n }][eqn: =4n+2<100``]에서 [eqn: n`]의 최대값은 [eqn: 24]이다.

20. [출제의도] 행렬의 거듭제곱을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A^n = pmatrix { 1&-2n #0 &1 }], [eqn: (A^-1 )^n =(A^n )^-1 = pmatrix { 1&2n #0 &1 }``]이므로 [eqn: B^n = pmatrix { 2& 0# 0& 2}]

따라서 모든 성분의 합은 [eqn: 4×100=400]이다.

21. [출제의도] 근과 계수의 관계를 이용하여 무한등비급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 9x^2 -6x -1=0``]의 두 근은 [eqn: x= {1+-root2}over3``]이고

[eqn: dmatrix{`alpha` } `＜`1], [eqn: dmatrix{` beta`}`＜`1``]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } alpha^n ,~ sum _{n=1} ^{INF } beta^n``]은 수렴한다.

근과 계수와의 관계에서 [eqn: alpha + beta = 2over3`,~alpha` beta =- 1over9``]이므로

[eqn: 1over{ beta- alpha}sum_n=1^inf ( beta^n - alpha^n )= 1over{ beta- alpha}left( beta over{1- beta} - alpha over{1- alpha} right)= 9over2]

[eqn: THEREFORE] [eqn: p+q=2+9=11]

22～24. ‘가’형과 같음.

25. [출제의도] 로그의 성질을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 200<=x<=300``]이므로 [eqn: 7<log`_2` x < 9]

(ⅰ) [eqn: 7<log_2 x < 8] 즉, [eqn: 200<=x<256`]일 때
[eqn: [log_2 x ] = 7], [eqn: [log_4 x ] = [{ 1over2 } rmlog _ 2 itx ]=3``]이므로 [eqn: [log_3 x] = 4]
[eqn: THEREFORE] [eqn: 4<=log_3 x <5], [eqn: 200<=x < 243]

(ⅱ) [eqn: 8<=log_2 x < 9] 즉, [eqn: 256<=x<=300`]일 때
[eqn: [log_2 x ] = 8], [eqn: [log _{4} x]=4], [eqn: [log_3 x] = 5``]이므로 조건 (나)를 만족하는 자연수는 없다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 자연수 [eqn: x]는 [eqn: 43]개이다.

26. [출제의도] 역행렬을 이용한 행렬의 연산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

행렬 [eqn: A= LEFT ( matrix{a``&```````b#b``&-c} RIGHT )``]에서 [eqn: a,``b,``c``]가 양수이므로 [eqn: -ac-b ^{2} <0]

따라서 행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 항상 존재한다.

[eqn: A ^{4} =3A ^{2}``]에서 양변에 [eqn: (A ^{-1} ) ^{2}``]을 곱하면 [eqn: A ^{2} =3E]

∴ [eqn: A ^{2} = LEFT ( matrix{a``&````````b#b``&-c} RIGHT ) LEFT ( matrix{a``&````````b#b``&-c} RIGHT ) = LEFT ( matrix{a ^{2} +b ^{2} ````&ab-bc#ab-bc``&b ^{2} +c ^{2}} RIGHT ) = LEFT ( matrix{3``&0#0``&3} RIGHT )]

∴ [eqn: a^2 +2b^2 +c^2 =(a^2 +b^2 )+(b^2 +c^2 )][eqn: =3+3=6]

27. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A= LEFT {` x `|` 2^x(x-3a) <2^a(x-3a) RIGHT }][eqn: = LEFT { x `|`(x-a)(x-3a) <0 RIGHT }]

[eqn: `B= LEFT { x`|`log _{3} (x ^{2} -2x+6)<2 RIGHT }][eqn: =LEFT { x `|`-1<x<3 RIGHT }]

[eqn: A SMALLINTER B = A] 즉, [eqn: A SUBSET B]가 성립해야 하므로

(ⅰ) [eqn: a>0]일 때
[eqn: A = LEFT { x `| ` a<x<3a RIGHT } SUBSET LEFT { x` |`-1<x<3 RIGHT } = B``]에서
[eqn: 0<a<=1]

(ⅱ) [eqn: a=0]일 때 [eqn: A= LEFT { x`|`x ^{2} <0 RIGHT } =][eqn: phi SUBSET B] 이므로 [eqn: a=0]

(ⅲ) [eqn: a<0]일 때
[eqn: A= LEFT { x`|`3a<x<a RIGHT } SUBSET LEFT { x`|`-1<x<3 RIGHT } =B``]에서
[eqn: - 1over3 <=a<0]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: - 1over3 <=a<=1]이다.

28. [출제의도] 외적 상황에서 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
국	수	영
	영	수
영	국	수

[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 4]
국	수	영
	영	수
수	국	영

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 4]
국	영	수
수	국	영

[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]
국	영	수
수	국	영
	영	국

이상에서 구하는 방법의 수는 [eqn: 11]이다.

29. [출제의도] 수열의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: log_4 x=n]에서 [eqn: {rmA}_n (4^n ,``n)], [eqn: log_2 x=n]에서 [eqn: {rmB}_n (2^n ,``n)]

[eqn: lim_n->inf`S_n+1 over S_n =][eqn: lim_n->inf { 1over2 (n+1)(4^n+1 -2^n+1 )}over {1over2 n(4^n -2^n )}=4]

30. [출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하면 [eqn: S_1 =a_1 =3]이고 [eqn: a_n = S_n -S_n-1] ([eqn: n>=2])

[eqn: S_n-1 =sum _{ k=1} ^{n-1 } a_n]이므로 [eqn: S_n = 2S_n-1 +3]

[eqn: S_n =][eqn: 6cdot2^n-1 -3]  [eqn: THEREFORE] [eqn: a _{6} =S _{6} -S _{5} =96]