수리 영역(이과)

수리(이과) 영역

1. ⑤	2. ④	3. ②	4. ①	5. ②

6. ③	7. ②	8. ④	9. ⑤	10. ③

11. ⑤	12. ④	13. ③	14. ①	15. ⑤

16. ③	17. ①	18. ②	19. ⑤	20. ⑤

21. ④	22. ①	23. ②	24. ③	25. 15

26. 145	27. 140	28. 60	29. 16	30. 20

1. 수열의 극한

정답 ⑤

[eqn: a_n][eqn: = sqrt {4n+1-2 sqrt {4n^2 +2n}}]

[eqn: = sqrt { (2n+1)+2n-2 sqrt { 2n(2n+1)} }]

[eqn: =sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n}]

[eqn: b_n][eqn: = sqrt { 2n+1 -2 sqrt { n^2 +n} }]

[eqn: = sqrt { (n+1)+n -2 sqrt { n(n+1)} }]

[eqn: =sqrt { n+1}- sqrt { n}]

[eqn: therefore~`lim_n->inf { a_n } over { b_n}][eqn: =lim_n->inf {sqrt { 2n+1}- sqrt { 2n} } over { sqrt { n+1}- sqrt { n}}]

[eqn: =lim_n->inf {sqrt { n+1}+ sqrt { n} } over { sqrt { 2n+1}+ sqrt { 2n}}]

[eqn: =lim_n->inf {sqrt { 1+ 1overn}+ 1 } over { sqrt { 2+ 1 overn}+ sqrt { 2}}]

[eqn: = 2 over{2{sqrt2}} = sqrt { 2} over2]

2. 미분법

정답 ④

[eqn: f(x)=x`ln`x]에서 [eqn: f'`(x) =ln`x +1]이고,

[eqn: c]가 등식 [eqn: f(e^2 ) -f(e) =e(e-1)f'(c)]를 만족시키므로

[eqn: { 2e^2 -e} = e(e-1)(ln`c +1)]

[eqn: therefore~ ln`c= { e(2e -1)} over{e(e-1) } -1 = e over e-1]

3. 적분법

정답 ②

[eqn: S_n][eqn: = 3 over{n sqrt { n}} sum_k=1^n sqrt { n+2k}]

[eqn: = 3 overn sum_k=1^n sqrt { 1 + 2k overn }]

이므로

[eqn: lim_n->inf S_n][eqn: = 3 over 2`lim_n->inf sum_k=1^n sqrt { 1 + 2k overn } cdot 2 overn]

[eqn: = {3} over {2} int _{1} ^{3} {} sqrt {x} dx]

[eqn: = {3} over {2} LEFT [ {2} over {3} x sqrt {x} RIGHT ] _{1} ^{3}]

[eqn: =3 sqrt3 -1]

[eqn: therefore~lim_n->inf (S_n +1) = lim_n->inf S_n +1][eqn: =3 sqrt { 3}]

4. 미분법

정답 ①

[eqn: x=t-sin`2t,~y=1-cos`2t]에서

[eqn: {dx} over {dt} =1-2`cos`2t], [eqn: {dy} over {dt} =2`sin`2t]이므로

점 [eqn: rm P]의 시각 [eqn: t]에서의 속력은

[eqn: sqrt { LEFT ( dx overdt RIGHT )^2 + LEFT ( dy overdt RIGHT )^2 }]

[eqn: = sqrt {(1-2`cos`2t) ^{2} +4`sin ^{2} `2t}]

[eqn: = sqrt {eqalign{1-4`cos` 2t+4`cos ^{2} `2t+4`sin ^{2} `2t}}]

[eqn: = sqrt {5-4`cos`2t}]

이때, [eqn: -4 LEQ 4`cos`2t LEQ 4]이므로 점 [eqn: rmP]의 속력의 최댓값

은 [eqn: 3]이다.

5. 삼각함수

정답 ②

[eqn: 3`sin`x`+3`sin`x`cos`2x`-6`sin`x`cos`x`-cos`x+1]

[eqn: =3`sin`x`+3`sin`x(2`cos^2`x -1)-6`sin`x`cos`x]

[eqn: -cos`x+1]

[eqn: =6`sin`x`cos ^{2} `x-6`sin`x`cos`x-`cos`x+1]

[eqn: =6`sin`x`cos`x(cos`x-1)-(cos`x-1)]

[eqn: =(cos`x-1)(6`sin`x`cos`x-1)]

[eqn: =(cos`x-1)(3`sin`2x-1)][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE`~sin`2x= {1} over {3}][eqn: (because~0<x<2pi)]

[eqn: 0< a< {pi}over{4}]에 대하여 [eqn: sin`2a={1}over{3}]이라 두면

[eqn: 0<x<2pi]에서 방정식 [eqn: sin`2x= {1} over {3}]의 네 근은

[eqn: a,~ {pi}over{2} -a,] [eqn: pi +a,] [eqn: {3}over{2} pi -a]이므로 구하는 모든 실근의

합은 [eqn: 3pi]이다.

6. 통계

정답 ③

[eqn: sum_x=1^6 {rmP}(X=x)][eqn: = {1} over {k} ` sum _{x=1} ^{6} ` _{6}{ rm C} it rm _{x}][eqn: =1]이고,

[eqn: sum _{x=1} ^{6} ` _{6}{ rm C} it rm _{x} =2^6 -1 =63]이므로 [eqn: k=63]이다.

[eqn: {rmE}(X)][eqn: =sum_x=1^6 x cdot {rmP}(X=x)]

[eqn: = {1} over {63} ` sum _{x=1} ^{6} x CDOT ` _{6}{ rm C} it rm _{x}]

[eqn: = {1} over {63} left{_6{rmC}_1 +2cdot_6{rmC}_2 +`cdots`+ 6cdot_6{rmC}_6right}]

[eqn: ={1}over{63} (6cdot2^5 )=m]

[eqn: THEREFORE~mk ^{2} = {6`cdot`2 ^{5}} over {63} cdot 63^2 =2^6 cdot 3^3 cdot7]

[eqn: therefore~a=6], [eqn: b=3], [eqn: c=1]

[eqn: therefore~a+b+c=10]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ②

암석이 생성된 지 [eqn: k]년 후에 포타슘[eqn: -40]의 양이

아르곤[eqn: -40]의 양의 [eqn: 20]배가 되었으므로

[eqn: P(k) =20A(k)]이다.

따라서

[eqn: 2 ^{k} = LEFT { 1+8.3 TIMES {A(k)} over {20A(k)} RIGHT } ^{c}]

[eqn: = LEFT ( 1+8.3 TIMES 1 over{20} RIGHT ) ^{c}]

즉, [eqn: 2^k} =1.415^c]

양변에 상용로그를 취하면

[eqn: k`log`2=c`log`1.415]

[eqn: THEREFORE ~k= {log``1.415} over {log``2} c]

[eqn: = {0.15} over {0.30} c= {1} over {2} c]

8. 확률

정답 ④

조건 (가)에서 [eqn: {rmP}(A `cup`B`cup`C)=1]

조건 (나)에서

[eqn: {rmP}((A`smallinter`B)`smallinter`C)={rmP}(A`smallinter`B`smallinter`C)=emptyset]

조건 (다)에서

[eqn: rm P it (A SMALLINTER B)= rm P it (A) rm P it (B)= {1} over {2} times {1} over {3} = {1} over {6}]

이므로

[eqn: {rmP}(A`cup`B`cup`C)={rmP}(A) +{rmP}(B) +{rmP}(C)]

[eqn: -{rmP}(A`smallinter`B)-{rmP}(B`smallinter`C)-{rmP}(C`smallinter`A)]

[eqn: +{rmP}(A`smallinter`B`smallinter`C)]

[eqn: 1= {1} over {2} + {1} over {3} + {2} over {3} - {1} over {6} - rm P it (B` SMALLINTER `C)- rm P it (C` SMALLINTER `A)+0]

[eqn: therefore~{rmP} it (B` SMALLINTER`C)+ rm P it (C`SMALLINTER`A)= {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE ` rm P it (A`|`C`)+ rm P it (B``|`C`)][eqn: = {{rm P}(A cap C) + {rm P}(B cap C ) } over {{rmP}(C) }]

[eqn: = {1 over3} over { 2 over3} = 1 over2]

9. 일차변환과 행렬

정답 ⑤

점 [eqn: rm A][eqn: (a, ``b)]라 하고, 점 [eqn: rmA]를 원점을 중심으로 [eqn: pi over3]만큼

회전시킨 점을 [eqn: {rmB}(a',~b')]이라 하면

[eqn: pmatrix{a'#b'} = pmatrix{cos` {pi } over {3}&&-sin` {pi } over {3}#sin` {pi } over {3}&&``````cos` {pi } over {3}} pmatrix{a#b}][eqn: = pmatrix{{1 over 2 a - root3 over 2 b}#{root3 over2 a + 1 over2 b}}]

[eqn: therefore~{rmB}left({1 over 2 a - root3 over 2 b},~{root3 over2 a + 1 over2 b} right)]

이때, 점 [eqn: rmB]의 [eqn: x]좌표가 [eqn: -1]이므로

[eqn: 1 over 2 a - root3 over 2 b =-1][eqn: ~~cdotscdots㉠]

또, 점 [eqn: rmB]를 원점을 중심으로 [eqn: - 7 over12 pi]만큼 회전시킨 점은

점 [eqn: rmA]를 원점을 중심으로 [eqn: - pi over 4]만큼 회전시킨 점과 같으므

로 점 [eqn: {rmC}(a'' ,~b'')]이라 하면

[eqn: pmatrix{a prime prime #b prime prime } = pmatrix{cos` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )&&-sin` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )#sin` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )&&``````cos` LEFT ( - {pi } over {4} RIGHT )} pmatrix{a#b}]

[eqn: = pmatrix{{sqrt2} over {2} a+{{sqrt2} over {2} b}#-{sqrt2} over {2} a+ {sqrt2} over {2} b}]

이때, 점 [eqn: rm C]는 [eqn: x]축 위의 점이므로

[eqn: - sqrt { 2} over2 a + sqrt { 2} over2 b =0][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]을 연립하여 풀면

[eqn: a = 2 over{ sqrt { 3}-1 }][eqn: =sqrt { 3}+1],　[eqn: b= 2 over{ sqrt { 3}-1 }][eqn: =sqrt { 3}+1]

따라서 점 [eqn: rmA]의 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표의 곱은

[eqn: ab= ( sqrt { 3}+1 )^2 = 4 +2 sqrt { 3}]

10. 이차곡선

정답 ③

쌍곡선 [eqn: 4x^2 -y^2 =4] 즉, [eqn: x^2 -{y^2 over4} =1] 위의

점 [eqn: {rmP}({sqrt 2},~2)]에서의 접선의 방정식은

[eqn: l``:``{sqrt2}x - {y over 2 } =1]

주어진 쌍곡선의 두 점근선은 [eqn: y= +-2x]이므로 직선 [eqn: l]과의

교점을 구하면

[eqn: rm Q it ( sqrt {2} +1,~2( sqrt {2} +1) ) ,~ rm R it ( sqrt {2} -1,~-2( sqrt {2} -1 ) )]

이때, 두 점 [eqn: {rmQ,~`R]의 중점이 [eqn: rmP]이므로 [eqn: {bar{rmQR}}=2 {bar{rmPQ}}]

[eqn: therefore~k=2]

11. 함수의 극한과 연속

정답 ⑤

ㄱ. (거짓) [eqn: lim _{x -> -1-0} `g(f(x)) =g(-1)=-1]

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} `g(f(x))= lim _{t -> -1+0}`g(t)=1]

그러므로 [eqn: lim_x->-1 `g(f(x))]는 존재하지 않는다.

ㄴ. (참) [eqn: lim _{x -> -1-0} {} `f(g(x))= lim _{t -> -1-0} {} `f(t)`=-1]

[eqn: lim _{x -> -1+0} {} `f(g(x))= lim _{s -> 1-0} {} `f(s)`=-1]

[eqn: THEREFORE ` lim _{x `-> `-1} {} f(g(x))=-1]

ㄷ. (참) ㄴ에서 [eqn: lim _{x` -> `-1} {} f(g(x))=-1]이고,

[eqn: f(g(-1))=f(-1)=1]이므로

[eqn: lim _{x` -> `-1} {} f(g(x))!= f(g(-1))]

즉, 함수 [eqn: f(g(x))]는 [eqn: x=-1]에서 불연속이다.

또, [eqn: lim _{x -> 1+0} {} `f(g(x))= lim _{t -> 1+0} {} `f(t)`=1]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {} `f(g(x))= lim _{s -> -1+0} {} `f(s)`=-1]

이므로 함수 [eqn: f(g(x))]는 [eqn: x=1]에서 불연속이다.

그러므로 함수 [eqn: f(g(x))]의 불연속점의 개수는 [eqn: 2]이다.

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

12. 공간도형과 공간좌표

정답 ④

평면 [eqn: rm ABC]의 [eqn: x], [eqn: y], [eqn: z]절편이 각각 [eqn: 2], [eqn: 2], [eqn: 4]이므로

평면 [eqn: rm ABC]의 방정식은 [eqn: x over2 + y over2 + z over4 =1]

즉, [eqn: 2x+2y+z -4 =0]

따라서 선분 [eqn: rmDH]의 길이는 점 [eqn: rm D(2,~2,~4)]에서

평면 [eqn: 2x+2y+z -4 =0]에 이르는 거리이므로

[eqn: rm barDH][eqn: = {|` 2cdot2 +2 cdot2 +1 cdot4 -4`|} over { sqrt { 2^2 +2^2 +1^2} }][eqn: =][eqn: 8 over3]

13. 수열의 극한

정답 ③

[eqn: rm triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: rm= 1 over2 barAQ_{itn} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: rm triangle AP _{it n } R_{it n }][eqn: rm= 1 over2 bar{P_{itn}R_{itn}} times bar{P_{it n }Q_{itn}}][eqn: = 1 over2 n sqrt { n+1}]

이므로

[eqn: S_n = □ {rmAQ}_n{rmP}_n{rmR}_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n } + triangle AP _{it n } R_{it n }]

[eqn: = 1 over2 (2n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: T_n][eqn: rm = triangle AQ _{it n } P_{it n }][eqn: = 1 over2 (n+1) sqrt { n+1}]

[eqn: therefore~lim_n->inf { S_n +T_n} over { S_n -T_n}][eqn: = lim_n->inf {1 over2 (3n+2 ) sqrt { n+1} } over {1 over2 n sqrt { n+1} }]

[eqn: = lim_n->inf LEFT ( 3 + 2 overn RIGHT )][eqn: =3]

14. 미분법

정답 ①

[eqn: g(x) = e^-x^2 f(x)]에서

[eqn: g'(x) = -2x e^-x^2 f(x)+ e^-x^2 f'(x)]

ㄱ. (참) [eqn: g'(0) = f'(0)]이고

주어진 함수 [eqn: f(x)]의 그래프에서 [eqn: x=0]에서의 접선의

기울기가 양수이므로 [eqn: f'(0)>0]이다.

[eqn: therefore~g prime (0)>0]

ㄴ. (거짓) 그림에서 [eqn: f'(a)=0]이고,

[eqn: a>0,~`e ^-a ^{2}>0 ,~f(a)>0]이므로

[eqn: f prime (a)+g prime (a)`=g prime (a)`=-2ae ^{-a ^{2}} f(a)<0]

ㄷ. (거짓) 그림에서 [eqn: f'(b)=0]이고,

[eqn: b>0,~`e ^{-b ^{2}} >0,~f(b)<0]이므로

[eqn: g(b)][eqn: =e^-b^2 f(b)][eqn: <0]

[eqn: g'(b)][eqn: =-2b e^-b^2 f(b)][eqn: >0]

[eqn: therefore~g(b) g'(b)<0]

따라서 옳은 것은 ㄱ뿐이다.

15. 수열의 극한

정답 ⑤

사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형의 넓이는

처음 사각형의 [eqn: 1 over2]배가 되므로

[eqn: a_1 ={1}over{2},~ a_n+1 ={1}over{2} a_n]에서 [eqn: a_n =left(1 over {2} right)^n]

[eqn: b _{1} = {sqrt3} over {2} ,~b _{n+1} = {1} over {2} b _{n}]에서 [eqn: b _{n} = sqrt3 over 2 LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: c _{1} = {3} over {2} ,~c _{n+1} = {1} over {2} c _{n}]에서 [eqn: c _{n} = 3 over {2} ` LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: d _{1} = {sqrt {3}} over {2} ,~d _{n+1} = {1} over {2} d _{n}]에서 [eqn: d _{n} = {sqrt {3}} over {2} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]

[eqn: therefore~sum_n=1^inf (a_n -b_n +c_n -d_n )]

[eqn: = sum_{n=1} ^{inf} left{{1}over{2^n}(1-sqrt3 +3-sqrt3 ) right}]

[eqn: =(4-2 sqrt {3} )times {{1} over {2}} over {1- {1} over {2}}][eqn: =4-2sqrt3]

따라서 [eqn: p+q=4+(-2)=2]이다.

16. 행렬과 그래프

정답 ③

ㄱ. (참) 행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재한다고 가정하면

[eqn: (AB)^-1 = B^-1 A^-1]

[eqn: A^2 B^3 = O]의 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (A^2 B^3 )(B^-1 A^-1 )=O], [eqn: A^2 B^2 A^-1 =O]

다시 양변의 오른쪽에 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: A^2 B^2 =O]이다.

또, 양변의 오른쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (A ^{2} B ^{2} )(B ^{-1} A ^{-1} )=O], [eqn: A ^{2}BA^-1 =O]

다시 양변의 오른쪽에 [eqn: A]를 곱하면 [eqn: A^2 B=O]이다.

양변의 왼쪽에 [eqn: B^-1 A^-1]을 곱하면

[eqn: (B ^{-1} A ^{-1} )(A ^{2} B )=O], [eqn: B^-1 AB=O]

다시 양변의 왼쪽에 [eqn: B]를 곱하면 [eqn: AB=O]이다.

그러므로 행렬 [eqn: AB]의 역행렬이 존재한다는 가정에

모순이다. 즉, 행렬 [eqn: AB]의 역행렬은 존재하지 않는다.

ㄴ. (거짓) 【반례】 [eqn: A= pmatrix{``1``&``1``#``1``&``0``}], [eqn: B][eqn: = pmatrix{``{0}``&``{1}``#``{0}``&``{0}``}]이라 하면

행렬 [eqn: A]의 역행렬은 존재하고 [eqn: B^2 = O]이므로

[eqn: A^2 B^3 = O]를 만족시키지만

[eqn: AB][eqn: = pmatrix{``0``&``1``#``0``&``1``}], [eqn: BA = pmatrix{``{1}``&``{0}``#``{0}``&``{0}``}]

으로 [eqn: AB !=BA]이다.

ㄷ. (참) [eqn: 2A-B = E]에서 [eqn: B = 2A-E]

[eqn: AB = A(2A-E) = 2A^2 -A]

[eqn: BA=(2A-E)A=2A ^{2} -A]

[eqn: therefore~AB=BA]

[eqn: therefore~(AB) ^{2012}][eqn: = A^2012 B^2012]

[eqn: =(A ^{2} B ^{3} )(A ^{2010} B ^{2009} )]

[eqn: =O]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. 수열

정답 ①

[eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]에서

[eqn: 2n^2 +n -10 =(2n+5)(n-2) le0]

따라서 [eqn: n le2]일 때, [eqn: n^2 +n le 1 over2 n +5]가 성립한다.

(ⅰ) [eqn: n=1], [eqn: 2]일 때,

[eqn: A_n subset B_n]이므로 [eqn: A_n -B_n = emptyset]

[eqn: therefore~a_n =0]

(ⅱ) [eqn: n ge3]일 때,

[eqn: B_n subset A_n]이므로

[eqn: a_n][eqn: = n(A_n ) - n(B_n )]

[eqn: = n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right]]

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: sum_n=1^20 a_n][eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n - left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

[eqn: = sum_n=3^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT )][eqn: - sum_n=3^20 LEFT ( left[ 1 over2 n +5 right] RIGHT )]

[eqn: =left{ sum_n=1^20 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) - sum_n=1^2 LEFT ( n^2 +n RIGHT ) right}]

[eqn: -(6+7+7+`cdots`+14+14+15)]

[eqn: ={20 cdot 21cdot41}over{6} +{20cdot21}over{2} -8 -189]

[eqn: =2883]

18. 수열

정답 ②

(1) [eqn: n=1]일 때, (좌변) [eqn: =[log`3]], (우변) [eqn: =[log`3]]이므로

(*)이 성립한다.

(2) 임의의 자연수 [eqn: i]에 대하여

[eqn: a_i =sum_{k=1} ^i`{[log`3^k ] }over{k}]

[eqn: ~ b_i =(i+1)(a_i+1 -a_i )]

[eqn: =(i+1) LEFT ( {[log`3 ^{i+1} ]} over {i+1} RIGHT )]

[eqn: =]

[eqn: [log`3^i+1 ]]

이다.

이때, [eqn: n le m]([eqn: m]은 자연수)일 때, (*)이 성립한다고

가정하면

[eqn: a_i le [log`3^i ]] (단, [eqn: i]는 [eqn: m] 이하의 자연수이다.)

이제, [eqn: n=m+1]일 때, (*)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum_{k=1}^m`b_k = (m+1)a_m+1 -sum_{k=1}^m`a_k -a_1]

이므로

[eqn: (m+1)a_m+1 =sum_{k=1} ^m`a_k +sum_{k=1} ^m`b_k +a_1]

[eqn: =sum_{k=1} ^m`a_k +sum_{k=1} ^m`[log`3^k+1 ] +[log`3]]

[eqn: sum_{k=1} ^{m+1}`[log`3^k ]]

[eqn: =sum_{k=1} ^m`a_k +]

그런데

[eqn: [log`3^k ]+[log`3^m+1-k ] le [log`3^m+1 ]]이므로

[eqn: (m+1)a _{m+1} LEQ sum _{k=1} ^{m} `[log`3 ^{k} ]+ sum _{k=1} ^{m+1} `[log`3 ^{k} ]]

[eqn: =sum _{k=1}^m `([log`3^k ] +[log`3^m+1-k ] )]

[eqn: +]

[eqn: [ `log``3 ^{m+1} ` ]]

[eqn: le m`[log`3^m+1 ] +[log`3^m+1 ]]

[eqn: =(m+1)[log`3^m+1 ]]

[eqn: therefore~a_m+1 le [log`3^m+1 ]]

그러므로 [eqn: n=m+1]일 때도 (*)이 성립한다.

따라서 (1)과 (2)에 의해 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 (*)이

성립한다.

[eqn: THEREFORE~f(n)+g(n)-h(n)]

[eqn: =[log`3 ^{n+1} ]+ sum _{k=1} ^{n+1} `[log`3 ^{k} ]-[log`3 ^{n+1} ]]

[eqn: =[log`3]`+[log`3 ^{2} ]+`cdots`+[log`3^n+1 ]]

[eqn: =9]

[eqn: therefore~n=6]

19. 이차곡선

정답 ⑤

ㄱ. (참) 점 [eqn: {rmM}(x,~y)]는 선분 [eqn: RmAB]의 중점이므로

[eqn: x=1+{sin`theta + cos`theta}over{2}],

[eqn: y=sqrt3 left(1+{ sin`theta-cos`theta}over{2}} right)]

[eqn: x-1={sin`theta + cos`theta}over{2}], [eqn: y over sqrt3 -1 ={ sin`theta-cos`theta}over{2}}]

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4(x-1)^2 =1+2`sin`theta`cos`theta][eqn: ~~cdotscdots㉠]

[eqn: 4 over3 (y-sqrt3 )^2 =1-2`sin`theta`cos`theta][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,~㉡]을 각 변끼리 더하면

[eqn: 4(x-1)^2 + 4 over3 (y-sqrt3 )^2 =2]

[eqn: {{(x-1)^2} over{{1}over{2}}} + {{(y-sqrt3 )^2 } over {3 over2 }} =1]

그러므로 점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이다.

ㄴ. (참) ㄱ에서 점 [eqn: rmM]이 그리는 도형은 타원이고,

점 [eqn: {rmC(1,~0)]은 장축의 연장선 위에 존재하므로 그림과

같이 점 [eqn: rmD]와 [eqn: rmE]는 타원의 장축의 양 끝점이다.

[eqn: therefore~rm barCD][eqn: = sqrt {3} - sqrt {{3} over {2}}], [eqn: rm bar{CE} = sqrt {3} + sqrt {{3} over {2}}]

[eqn: therefore~rm barCD +barCE][eqn: = 2 sqrt { 3}]

ㄷ. (참) [eqn: rm ANGLE DOE= alpha]이므로 [eqn: rm ANGLE COD= beta]라 하면

[eqn: tan` (alpha +beta)][eqn: = rm bar{CE}][eqn: =sqrt { 3}+ sqrt { { 3} over { 2} }]

[eqn: tan`beta][eqn: =][eqn: rm bar CD = sqrt { 3}- sqrt { 3 over2}]

[eqn: therefore~tan`alpha][eqn: = tan ((alpha+beta)-beta)]

[eqn: = {tan`( alpha + beta )-tan` beta } over {1+tan`(alpha +beta)` tan`beta]

[eqn: = { 2 sqrt { 3 over2} } over { 1+ LEFT ( 3 - 3 over2 RIGHT ) }][eqn: = 2 over5 sqrt { 6}]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. 미분법

정답 ⑤

[eqn: f(x)= 1 overx `ln`x]에서

[eqn: f'(x) = - 1 overx^2 `ln `x + `1 overx^2 = 1 overx^2 (1- ln`x)]

[eqn: f''(x)][eqn: = - 2 overx^3 (1-ln`x) - 1 overx^3 = - 1 overx^3 (3 - 2`ln `x )]

ㄱ. (참) [eqn: f`'(x)=0]에서 [eqn: x=e]이고, [eqn: f`''(x)=0]에서

[eqn: x=e^{{3}over{2}}]이므로 [eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표를

만들면 다음과 같다.

[eqn: x]	⋯	[eqn: e]	⋯	[eqn: e^{3 over2}]	⋯
[eqn: f'(x)]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]
[eqn: f''(x)]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f(x)]	□	극대	□	변곡점	□

또, [eqn: lim_{x`->`inf}`{ln`x} overx} =0]이므로 점근선은 [eqn: x]축이다.

따라서 함수 [eqn: f(x)= 1 overx `ln`x]의 개형을 그리면 다음

그림과 같으므로 함수 [eqn: f(x)]의 최댓값은 [eqn: f(e)={1}over{e}]

ㄴ. (참) [eqn: x>e]일 때, [eqn: f`'(x)<0] 즉, 함수 [eqn: f(x)]는 감소함

수이므로

[eqn: 1 over2011 ` ln `2011 > 1 over2012 `ln `2012]

[eqn: ln`2011^2012 > ln`2012^2011]

[eqn: therefore~2011^2012 >2012^2011]

ㄷ. (참) 열린 구간 [eqn: (0,~e)]에서 [eqn: f''(x)<0]이므로

[eqn: y=f(x)]의 그래프는 위로 볼록하다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. 적분법

정답 ④

[eqn: y=e^-x]에서 [eqn: y`'=-e^-x]이므로 곡선 [eqn: y=e^-x] 위의

점 [eqn: (-1,~e)]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y = -e(x+1)+e,~][eqn: y = -ex]

[eqn: therefore~{rmQ}(0,~0)]

따라서 점 [eqn: rm Q]를 지나고 접선 [eqn: l]에 수직인 직선의 방정식은

[eqn: y = 1 overe x]

이고, [eqn: 1 overe x= e^-x]에서 점 [eqn: rmR]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1,~ 1 overe RIGHT )]

그러므로 구하는 회전체의 부피는

[eqn: piint_-1^1 (e^-x )^2 dx - pi int_-1^0 (-ex)^2 dx - pi int_0^1 LEFT ( x overe RIGHT )^2 dx]

[eqn: = pi ` LEFT { LEFT [ - {1} over {2} e ^{-2x} RIGHT ] _{-1} ^{1} - LEFT [ {e ^{2}} over {3} x ^{3} RIGHT ] _{-1} ^{0} - LEFT [ {1} over {3e ^{2}} x ^{3} RIGHT ] _{0} ^{1} RIGHT }]

[eqn: = pi ` LEFT { LEFT ( - {1} over {2} e ^{-2} + {1} over {2} e ^{2} RIGHT ) - {e ^{2}} over {3} - {1} over {3e ^{2}} RIGHT }]

[eqn: = pi ` LEFT ( {e ^{2}} over {6} - {5} over {6e ^{2}} RIGHT )]

22. 삼각함수

정답 ①

점 [eqn: rmM]은 변 [eqn: rmBC]의 중점이므로 [eqn: {bar{rmAB}} ={bar{rmBM} }=1]

즉, 삼각형 [eqn: rmABM]은 이등변삼각형이다.

[eqn: rm angle ABM = pi - 2alpha], [eqn: cos`( pi -2 alpha )=-`cos`2 alpha =- {1} over {4}]

이므로 삼각형 [eqn: rmABC]에서 제이코사인법칙에 의하여

[eqn: rm bar AC][eqn: rm = sqrt {{ barAB} ^{2} + {barBC} ^{2} -2 bar{AB} CDOT bar{BC} CDOT cos(` pi -2 alpha )}]

[eqn: =sqrt { 1^2 +2^2 -2 cdot1cdot2 cdot LEFT ( - 1 over4 RIGHT ) }]

[eqn: = sqrt { 6}]

[eqn: angle rm ACM = alpha-beta]이므로 [eqn: angle rm AMC = pi -alpha]이고,

[eqn: cos`2 alpha =1-2`sin ^{2} ` alpha = {1} over {4}]에서 [eqn: sin alpha = sqrt { 6} over4]이므로

삼각형 [eqn: rm AMC]에서 사인법칙에 의하여

[eqn: {1} over {sin` beta } = {sqrt6 it} over {sin`( pi - alpha )}]

[eqn: therefore~sin `beta][eqn: = 1 over4], [eqn: cos` beta =sqrt{1-sin^2`beta}=` {sqrt {15}} over {4}]

또, [eqn: sin`2 alpha =sqrt{1-cos^2`2alpha}= sqrt { 15} over4]이므로

[eqn: cos`(2alpha - beta )][eqn: =cos`2 alpha `cos` beta +sin`2 alpha `sin` beta]

[eqn: = 1 over4 cdot sqrt { 15}over4 + sqrt { 15}over4 cdot 1 over4]

[eqn: = sqrt { 15} over8]

[eqn: THEREFORE ~8`cos`(2 alpha - beta )= sqrt {15}]

23. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: {rmP}(a,~1),~{rmQ}(b,~1),~{rmR}left({1}over{a},~-1right),~{rmS}left({1}over{b},~-1right)]이므로

[eqn: alpha =(]직선 [eqn: {rmPS}]의 기울기[eqn: )={2}over{a-{1}over{b} }={2b}over{ab-1}]

[eqn: beta =(]직선 [eqn: {rmPR}]의 기울기[eqn: )= {2} over {a- {1} over {a}} = {2a} over {a ^{2} -1}]

[eqn: gamma=(]직선 [eqn: rm QS it]의 기울기[eqn: )= {2} over {b- {1} over {b}} = {2b} over {b ^{2} -1}]

[eqn: delta=(]직선 [eqn: rm QR it]의 기울기[eqn: )= {2} over {b- {1} over {a}} = {2a} over {ab-1}]

이때, [eqn: 0<a<b<1]에서 [eqn: 0<`a ^{2} < ab<b^2 <1]이므로

[eqn: a^2 -1 <ab-1<b^2 -1 <0]

즉, [eqn: {1}over{a^2 -1} > {1}over{ab-1} > {1}over{b^2 -1}]

[eqn: therefore~alpha > gamma,~ beta>delta,~delta>alpha]

[eqn: therefore~gamma<alpha<delta<beta]

24. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: h(x)][eqn: =|``f(x)-g(x)``|]

[eqn: =|``a ^{2x} -a ^{x+1} +2``|]

에서 [eqn: a^x = t(t>0)]라 하면

[eqn: k(t)][eqn: =|`` t^2 -at +2``|]

이차방정식 [eqn: t^2 -at +2 =0]의 판별식을 [eqn: D]라 하면

[eqn: D = a^2 -8]이므로 함수 [eqn: y=k(t)]의 그래프는 다음과

같다.

(ⅰ) [eqn: D>0] 즉, [eqn: a>2sqrt2]일 때,

[eqn: y=k(t)]

(ⅱ) [eqn: D=0] 즉, [eqn: a=2 sqrt {2}]일 때,

[eqn: y=k(t)]

(ⅲ) [eqn: D<0] 즉, [eqn: a <2 sqrt {2}]일 때,

[eqn: y=k(t)]

ㄱ. (참) [eqn: a=2sqrt2]일 때, [eqn: y=k(t)]의 그래프와 [eqn: x]축은

한 점에서 만나므로 [eqn: y=h(x)]의 그래프와 [eqn: x]축은

한 점에서 만난다.

ㄴ. (거짓) [eqn: a =4]일 때, [eqn: k(t)][eqn: =|``t ^{2} -4t+2``|]이고,

[eqn: t^2 - 4t +2 =0]에서 [eqn: t = 2+- sqrt { 2}]이므로 [eqn: y=k(t)]의

그래프는 [eqn: 0 < t <2- sqrt { 2}]에서 감소하고,

[eqn: 2- sqrt { 2}<t <2]에서 증가한다.

따라서 [eqn: x < 1 over2]일 때, [eqn: 0 <t< 4^{1 over2}=2]이므로

[eqn: h(x_1 )], [eqn: h(x_2 )]의 대소를 비교할 수 없다.

ㄷ. (참)  [eqn: y = k(t)]의 그래프가 직선 [eqn: y =1]과 접할 때,

[eqn: y=k(t)]의 그래프와 직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에

서 만난다.

방정식 [eqn: t^2 -at +2 =1] 즉, [eqn: t^2 -at +1 =0]이

[eqn: a =2]일 때, 중근을 가지므로 [eqn: y=h(x)]의 그래프와

직선 [eqn: y =1]이 오직 한 점에서 만나는 [eqn: a]의 값이

존재한다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

25. 수열

정답 15

수열 [eqn: left{a_n right}]의 공차를 [eqn: d]라 하면

[eqn: a_10 - a_1][eqn: =27]에서 [eqn: d =3]

또, [eqn: S_10 ={10(2a_1 +9cdot3)}over{2}]이고, [eqn: a_10 =a_1 +27]이므로

[eqn: S_10 = a_10]에서 [eqn: 5(2a_1 +9cdot3 ) =a_1 +27]

[eqn: therefore~a_1 =-12]

[eqn: therefore~S _{10}][eqn: =a_10][eqn: =a _{1} +27][eqn: =15]

26. 순열과 조합

정답 145

[eqn: sum _{k=1} ^{5} x _{k} =a], [eqn: sum_k=6 ^10 x_k][eqn: =b]라 하면

[eqn: a,~b]가 음이 아닌 정수이므로 [eqn: 2a+3b =8]을 만족시키는

경우는 다음의 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: (a,~b) = (4,~0)]인 경우

순서쌍 [eqn: (x_1 ,~ x_2 ,~x_3 ,~cdots,~ x_10 )]의 개수는

[eqn: ` _{5+4-1} rm C _{4} TIMES ` _{5+0-1} C _{0}][eqn: =` _{8} rm C _{4} TIMES ` _{4} C _{0} =70](개)

(ⅱ) [eqn: (a,~b) = (1,~2)]인 경우

순서쌍 [eqn: (x_1 ,~ x_2 ,~x_3 ,~cdots,~ x_10 )]의 개수는

[eqn: `_5+1-1 rmC_1 times `_5+2-1 C_2][eqn: = `_5 rmC_1 times `_6 C_2 =75](개)

따라서 구하는 순서쌍의 개수는 [eqn: 70+75= 145](개)이다.

27. 방정식과 부등식

정답 140

[eqn: (x-2)^2 over{(x-4)(x-6)} le0]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x-2)^2 (x-4)(x-6) le0], [eqn: x!=4], [eqn: x!=6]

[eqn: LRARROW] [eqn: x=2] 또는 [eqn: 4 <x<6]

[eqn: therefore~A = left{ x`|``x=2] 또는 [eqn: 4 <x<6right}]

조건 (가)에서

[eqn: A cap B][eqn: = left{2 right}][eqn: cup][eqn: left{x`` |` ` 5 le x <6 right}]

조건 (나)에서

[eqn: A^{rmC} cap B^{rmC} = left{x ``|``3<x le4 right}]

즉, [eqn: A cupB = left{x `|` x le3] 또는 [eqn: x>4right}]

이므로 [eqn: B = left{ x``|``x le3] 또는 [eqn: x ge5 right}]이어야 한다.

그런데, [eqn: B= left{x``|``(x-6)f(x) ge0 right}]이므로

[eqn: f(x)]는 [eqn: x-3], [eqn: x-5]를 인수로 갖는다.

또한, [eqn: f(x)]가 [eqn: x-6]을 인수로 가질 때,

[eqn: x ge 5]인 모든 [eqn: x]에 대하여 [eqn: (x-6)f(x)][eqn: ge0]이고,

[eqn: f(x)]는 삼차항의 계수가 [eqn: 1]이므로

[eqn: f(x) = (x-3)(x-5)(x-6)]

[eqn: therefore~f(10) = 7 cdot 5 cdot4 =140]

28. 행렬과 그래프

정답 60

[eqn: x^2 +y^2 -2x -4y -11 =0]

[eqn: LRARROW] [eqn: (x-1)^2 + (y-2)^2 =4^2]

직선 [eqn: y=2x]는 원의 중심 [eqn: (1, ``2)]를 지나므로 선분 [eqn: rm PQ]는

원의 지름이 된다. 즉, 삼각형 [eqn: rmPRQ]는 [eqn: rm angle PRQ = pi over2]인

직각삼각형이다.

그러므로 [eqn: {bar{rmPR}}=a,~{bar{rmRQ}}=b]로 놓으면 [eqn: a^2 +b^2 =8^2]이고,

[eqn: A][eqn: = pmatrix{{sin`alpha}&&{sin`beta}#{cos`alpha}&&{cos`beta}}]

[eqn: = pmatrix{{b over8}&&{a over8}#{a over8}&&{b over8}}][eqn: = 1 over 8 pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}}]

[eqn: therefore~A^2][eqn: = 1 over 64 pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}} pmatrix{{b }&&{a }#{a }&&{b}}]

[eqn: = {1} over {64} pmatrix{a ^2`+b ^{2}&&2ab#2ab&&a ^2`+b ^{2}}]

[eqn: ={1} over {64} pmatrix{64&&2ab#2ab&&64}]

[eqn: 8A^2 =4A +7E]에 대입하면

[eqn: pmatrix{8&& ab over4#ab over4&&8}][eqn: = pmatrix{{b} over {2}&&{a} over {2}#{a} over {2}&&{b} over {2}}][eqn: + pmatrix{7&&0#0&&7}]

[eqn: 8 = b over {2} `+7,~ ab over 4 = {a}over{2}]이므로

[eqn: b=2], [eqn: a=sqrt{64-2^2 }=sqrt60]

[eqn: therefore~S =sqrt60 times2 times{1}over{2} =sqrt60]

[eqn: therefore~S^2 =60]

29. 함수의 극한과 연속

정답 16

[eqn: sin` {pi } over {n} = {a _{n}} over {2+a _{n}}]에서

[eqn: (2+a_n )`sin` pi overn = a_n], [eqn: a_n left(1-`sin`pi overn right) =2`sin`pi overn]

[eqn: THEREFORE `a _{n} = {2`sin` {pi } over {n}} over {1-`sin` {pi } over {n}}][eqn: = {2`sin` {pi } over {n} LEFT ( 1+`sin` {pi } over {n} RIGHT )} over {cos ^{2} ` {pi } over {n}}]

[eqn: sin` {pi } over {n} = {b _{n}} over {2-b _{n}}]에서

[eqn: (2-b _{n} )`sin` {pi } over {n} =b _{n}], [eqn: b_n left(1+`sin`pi overn right) =2`sin`pi overn]

[eqn: THEREFORE ~b _{n} = {2`sin` {pi } over {n}} over {1+`sin` {pi } over {n}}][eqn: = { 2sin pi overn LEFT ( 1-sin pi overn RIGHT ) } over { cos^2 pi overn}]

그러므로

[eqn: a_n +b_n][eqn: = {4`sin` {pi } over {n}} over {cos ^{2} ` {pi } over {n}}], [eqn: a_n -b_n][eqn: = {4`sin ^{2} ` {pi } over {n}} over {cos ^{2} ` {pi } over {n}}]

[eqn: therefore~{1} over {pi ^{3}} ` lim _{n -> INF } {} n ^{3} (a _{n} +b _{n} )(a _{n} -b _{n} )]

[eqn: = {1} over {pi ^{3}} ` lim _{n -> INF }`n^3 times {4`sin` {pi } over {n}} over {cos ^{2} ` {pi } over {n}} times{4`sin ^{2} ` {pi } over {n}} over {cos ^{2} ` {pi } over {n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} ` {16} over {cos ^{4} ` {pi } over {n}} TIMES left({sin ` {pi } over {n}} over {{pi } over {n}}right)^3][eqn: =16]

30. 벡터

정답 20

선분 [eqn: rm AB]의 중점을 [eqn: rm M]이라 하면 삼각형 [eqn: rm OAB]와 삼각형

[eqn: rm CAB]가 합동인 정삼각형이므로 [eqn: rm barOM = barCM]이고, 삼각형

[eqn: rm OAB]와 삼각형 [eqn: rmCAB]가 이루는 이면각의 크기가 [eqn: pi over3]이므

로 삼각형 [eqn: rm OMC]는 정삼각형이다.

[eqn: rm barOC =barOM =it a]라 하면 [eqn: rm barOG = 2 over3 barOM =it 2 over3 a]이고,

[eqn: angle rm COM = pi over3]이므로

[eqn: rmvecOG bullet vecOC][eqn: = 2 over3 a cdot a cdot cos pi over3 = 1 over3 a^2]

또, 점 [eqn: rm H]는 선분 [eqn: {rm CG}]의 내분점이므로

[eqn: rm vec OH = it t vec{rm OG} +(1-t) vec{rm OC}][eqn: ~~cdotscdots㉠]

를 만족시키는 [eqn: t]([eqn: 0 <t<1])가 존재한다.

이때, [eqn: rm bar OH bot bar CG]이므로 [eqn: rm vec OH bullet vec CG][eqn: =0]이다.

[eqn: therefore~rm vec OH bullet vec CG][eqn: = rm vec OH bullet LEFT ( vecOG - vecOC RIGHT )]

[eqn: =LEFT { it t vec{rm OG} +(1-t) vec{rm OC} RIGHT } bullet LEFT (rm vecOG - vecOC RIGHT )]

[eqn: = t left|`vec{rmOG}`right|^2 +(1-2t) vec{rmOG } bullet vec{rm OC}]

[eqn: -(1-t) left|` vec{rm OC}` right|^2]

[eqn: = 4 over9 a^2 t +(1-2t) 1 over3 a^2 -(1-t)a^2][eqn: =0]

[eqn: 7 over9 t =][eqn: 2 over3]에서 [eqn: t = 6 over7]

그런데 점 [eqn: rm G]는 삼각형 [eqn: rm OAB]의 무게중심이므로

[eqn: rm vecOG = 1 over3 left( vec OA +vecOB` right)] [eqn: (because~㉠)]

[eqn: therefore~rm vec OH][eqn: = 6 over7 vec{rm OG} + 1 over7 vec{rm OC}]

[eqn: = 2 over7 vec{rm OA} + 2 over7 vec{rm OB}+ 1 over7 vec{rm OC}]

[eqn: = 2 over7 vec{a} + 2 over7 vec{b}+ 1 over7 vec{c}]

[eqn: therefore~p= 2 over7 ,~ q= 2 over7 ,~r= 1 over7]

[eqn: therefore~28(p+q+r)][eqn: = 28 times {5}over{7}][eqn: =20]