• 2교시 수리 영역 •

‘가’형 정답

1	⑤	2	②	3	⑤	4	⑤	5	④
6	③	7	③	8	②	9	④	10	①
11	②	12	⑤	13	④	14	③	15	①
16	⑤	17	①	18	12	19	36	20	44
21	108	22	300	23	27	24	54	25	130
미분과적분
26	②	27	③	28	①	29	④	30	32
확률과통계
26	②	27	③	28	⑤	29	④	30	74
이산수학
26	②	27	⑤	28	①	29	④	30	29

해 설

1. [출제의도] 주어진 지수 로그의 식을 간단히 계산 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 3 ^{{2} over {3}} TIMES 27 ^{{1} over {9}} +log _{2} 8=3 ^{{2} over {3} + {1} over {3}}+3=6]

2. [출제의도] 행렬의 덧셈과 곱셈을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{1&2#0&1} + pmatrix{1&2#0&1} pmatrix{3&0#2&1} = pmatrix{1&2#0&1} + pmatrix{7&2#2&1}# = pmatrix{8&4#2&2} ```` THEREFORE 16]

3. [출제의도] 함수의 연속에 관한 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

함수 [eqn: f(x)]가 모든 실수에서 연속이므로
[eqn: lim _{x-> 1} {f(x)= lim _{x-> 1} {{x ^{2} -ax-2} over {x-1} =f(1)=b}}]
이어야 한다. 분모의 극한값이 [eqn: lim _{x-> 1} {(x-1)=0}]이므로, 분자의 극한값 [eqn: lim _{x -> 1} {(x ^{2} -ax-2)=0}] 이어야 한다. 따라서 [eqn: a=-1]이고,
[eqn: lim _{x-> 1} {{x ^{2} +x-2} over {x-1} = lim _{x-> 1} {{(x+2)(x-1)} over {x-1} =3=b}}]
∴[eqn: a+b=2]이다.

4. [출제의도] 이차곡선위의 점에서 그을 수 있는 접선의 기울기에 대해 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

포물선 [eqn: x ^{2} =4py``(p != 0)] 위의 점에서 그은 접선의 기울기들의 모임은 실수 전체의 집합이 된다. 즉, [eqn: M _{1} `=`R] …①
마찬가지로, 타원 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} + {y ^{2}} over {b ^{2}} =1] ([eqn: x != ±a]) 위의 점에서 그은 접선의 기울기들의 모임도 실수 전체의 집합이 된다. 즉, [eqn: M _{2} `=`R] …②
하지만, 쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]([eqn: LEFT | x RIGHT | >a]) 위의 접선 중 기울기가 [eqn: m]인 것은 [eqn: y=mx± sqrt {a ^{2`} m ^{2} -b ^{2}}] 이므로 [eqn: a ^{2`} m ^{2} -b ^{2}}>0] 즉, [eqn: m> LEFT | {b} over {a} RIGHT |] 이어야 한다. 결국, [eqn: M _{3} `=` LEFT { m`|`m> LEFT | { b} over { a} RIGHT | `RIGHT }]…③ 이 된다.
<보기>를 살펴보면,
ㄱ. ③에 의해 [eqn: LEFT | {2b} over {a} RIGHT | IN M _{3}] 이므로 참이다.
ㄴ. ①, ②에 의해 [eqn: M _{1} ``=``M _{2}] 이므로 참이다.
ㄷ. ②, ③에 의해 [eqn: M _{2} `` SUPERSET M _{3}] 이므로 참이다.
따라서, 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ 이므로 정답은 ⑤

5. [출제의도] 정적분을 활용하여 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: y= sqrt {x} `]와 [eqn: y=x ^{2} `]의 교점을 구하면 [eqn: x=0,`1]에서 만나므로 [eqn: (0,``0),```(1,``1)] 이다. 따라서 두 곡선으로 둘러싸인 부분을 회전시킨 회전체의 부피는
[eqn: pi int _{0} ^{1} {ydy- pi int _{0} ^{1} {(y ^{2} ) ^{2} dy= pi [ {y ^{2}} over {2} - {y ^{5}} over {5} ] _{0} ^{1} = {3} over {10} pi }}]
∴ [eqn: {3} over {10} pi]

6. [출제의도] 공간에서 방향코사인의 성질을 이해하여 주어진 벡터가 [eqn: xy]평면과 이루는 각의 크기를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

좌표공간에서 벡터 [eqn: vec{v}] 가 [eqn: x]축, [eqn: y]축과 이루는 각의 크기가 각각 [eqn: 60 ^{DEG }]일 때, 벡터 [eqn: vec{v}] 가 [eqn: z]축과 이루는 각의 크기를 [eqn: gamma]라 하면,
[eqn: cos ^{2} `60°+cos ^{2} `60°+cos ^{2} ` gamma =1]이 되어 [eqn: cos gamma = +- { 1} over { sqrt { 2} }]이므로 [eqn: gamma =45°] (∵ [eqn: cos gamma >0]) 가 된다.
즉, 벡터 [eqn: vec{v}] 가 [eqn: z]축과 이루는 각의 크기가 [eqn: 45°] 이므로 벡터 [eqn: vec{v}] 가 [eqn: xy]평면과 이루는 각도 [eqn: 45°]가 된다.

7. [출제의도] 공간도형의 성질을 이해하고 이를 활용하여 문제을 해결 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

점 C를 원점으로하고 선분 BC와 선분CE를 연결한 선분을 [eqn: x]축으로 선분 CD를 [eqn: y]축, 점 C를 지나며 평면 DCEF에 수직인 직선을 [eqn: z]축으로 하는 좌표공간을 정하자. 점 O에서 [eqn: xy] 평면에 내린 수선의 발을 G라 하면 G는 삼각형 ABC의 무게 중심이 된다. 따라서 G의 좌표는 (-1, [eqn: {sqrt {3}} over {3}], 0) 이다.
또한 O'에서 [eqn: xy]평면에 내린 수선의 발을 H라 하면 H는 사각형 CEFD의 대각선의 중심이 된다.
따라서 H좌표는 (1, 1, 0)이다. 사면체의 높이와 정사각뿔의 높이를 구하여 O와 O'의 좌표를 구하면
O(-1,[eqn: {sqrt {3}} over {3}],[eqn: {2 sqrt {6}} over {3}]) O'(1, 1, [eqn: sqrt {2}])가 된다.
∴ [eqn: vec{CO} =(-1,` {sqrt {3}} over {3} ,` {2 sqrt {6}} over {3} )], [eqn: vec{CO prime } =(1,`1,` sqrt {2} )]
[eqn: cos` theta = {vec{CO} BULLET vec{CO prime }} over {｜ vec{CO} ｜｜ vec{CO prime } ｜}]
[eqn: = {-1+ {sqrt {3}} over {3} + {2 sqrt {6}} over {3} sqrt {2}} over {2 TIMES 2}] [eqn: = {5} over {12} sqrt {3} - {1} over {4}]

8. [출제의도] 삼차함수 [eqn: f(x)]와 이의 도함수 [eqn: f`'(x)] 그래프 사이의 관계를 이해하여 방정식의 해와 관련된 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. (반례) [eqn: f(x)=x^3 +1] 이라 하자.
[eqn: f` prime (x)=3x^2 =0]  이므로 서로 같은 실근 0을 가진다. 하지만, [eqn: f(x)=x^3 +1=0]  ⇔ [eqn: x=-1] 또는 [eqn: {1± sqrt {3} i} over {2}] 가 되어 반드시 서로 같은 실근을 가진다고는 볼 수 없다 ∴ 거짓
ㄴ. 이차방정식 [eqn: f` prime (x)=0] 이 허근을 가지면, [eqn: f(x)]는 증가함수 또는 감소함수이므로 [eqn: f(x)=0] 은 단 하나의 실근과 서로 다른 두 허근을 가진다  ∴ 참
ㄷ. (반례) [eqn: f(x)= { 1} over { 3} x^3 - { 3} over {2 }x^2 +2x] 이라 하자.
[eqn: f` prime (x)=x^2 -3x +2=0]  ⇔  [eqn: x=1] 또는 [eqn: 2] 가 되어 서로 다른 실근을 갖는다.
하지만, [eqn: f(x)= { 1} over { 3} x^3 - { 3} over {2 }x^2 +2x=0]
⇔  [eqn: 2x ^{3} -9x^2 +12x=0]
⇔  [eqn: x(2x ^{2} -9x+12)=0]
⇔  [eqn: x=0] 또는 [eqn: { 9 +- sqrt { 15} i} over { 4}] 가 되므로
[eqn: f(x)= 0] 이 반드시 서로 다른 두 실근을 갖는다고 볼 수는 없다. ∴ 거짓
따라서, 옳은 것은 ㄴ 뿐이다.  정답은 ②

9. [출제의도] 부정 방정식을 이용하여 분수 부등식을 해결할 수  있는가를 묻는 문제이다.

분수부등식[eqn: {(x-b)(x-c)} over {(x-a)} <= 0`]을 정리하면
[eqn: (x-a)(x-b)(x-c) <= 0``(x != a)][eqn: CDOTS LEFT ( 1 RIGHT )]이 된다. [eqn: abc=-12]을 만족하는 정수  [eqn: a,``b,``c``]에 대하여 [eqn: (1)]을 만족하는 자연수해 [eqn: x]의 개수가 최대가 되기 위해서는 [eqn: b=-1] 일 때, [eqn: a]와 [eqn: c]가  각각 1 또는 12가 되는 경우이다. 따라서 자연수의 개수는 12개이지만 [eqn: a]가 무연근이므로 구하고자 하는 해의 최대 개수는 11개이다.

10. [출제의도] 로그함수의 밑과 진수에 대하여 그래프의 개형을 알고 있는 지를 알아보는 문제이다.

주어진 문제의 로그함수 [eqn: y=log _{b} ax]가 감소함수이므로 밑의 조건이 [eqn: 0<b<1]이고, [eqn: x]절편이 1보다 작기 때문에 [eqn: a>1]이다. 따라서 [eqn: y=log _{a} bx]의 그래프는 밑이 [eqn: a>1] 이므로 증가함수 이고, 진수조건에서 [eqn: 0<b<1]이므로 [eqn: x]절편이 1보다 큰 그래프이다.

11. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식을 이해하고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

초기 박테리아의 수를 [eqn: a]라 하면 [eqn: t]일 후의
박테리아 수는 배증시간이 12시간, 즉 [eqn: {1} over {2}]일 이므로 [eqn: a․2 ^{2t} >= a․20000]이 되므로 양변에 로그를 취하면 [eqn: 2t`log`2` >= `log20000]
따라서 [eqn: t >= ` {4+log2} over {2log2} = {4.3} over {0.6} `=`7.1...]이므로
[eqn: THEREFORE 8]일

12. [출제의도] 주어진 행렬 관계식을 통하여 행렬에 관한 성질을 연역적으로 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: A]의 역행렬이 존재하면 [eqn: A ^{-1}`` (A ^{2} -A)=O] 즉, [eqn: A=E] 가 되어 모순이 된다. 따라서, [eqn: A]는 역행렬이 존재하지 않는다.  [eqn: THEREFORE``]참
ㄴ. [eqn: A ^{2} -A=O] ⇔ [eqn: A ^{2} -A-2E=-2E] ⇔

[eqn: (A-2E)(A+E)=-2E] 이므로
[eqn: (A+E) ^{-1} =- {1} over {2} A+E] 이다.  [eqn: THEREFORE``]참
ㄷ.  [eqn: (A+kE)(A+(-k-1)E)=]
[eqn: A ^{2} -A+k(-k-1)E=-k(k+1)E]              [eqn: -k(k+1)` != 0]일 때, [eqn: A+kE] 는 역행렬을 갖는다.
[eqn: (A+kE) ^{-1} = {1} over {-k(k+1)} A+ {k(-k-1)} over {-k(k+1)} E] [eqn: THEREFORE``]참

13. [출제의도] 수열의 합과 관련된 부등식의 증명과정을 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: TRIANGLE rm ABC]□[eqn: TRIANGLE rm ACD] 이므로 [eqn: bar{rm AC it} `: bar{rm AB it} = bar{rm AD it} : bar{rm AC it}]이다.
따라서, [eqn: 1: sqrt {k} = bar{rm AD it} :1] [eqn: THEREFORE bar{rm AD it} = {1} over {sqrt {k}} `=(가)]
[eqn: bar{rm AE it} = bar{rm AB it} - bar{rm BE it} = bar{rm AB it} - bar{rm BC it} = sqrt {k} - sqrt {k-1} =(나)]
[eqn: 1+ sum _{k=2} ^{n} ( sqrt {k} - sqrt {k-1} )=1+ sqrt {n} -1= sqrt {n} =(다)]

14.  [출제의도] 두 개의 도형이 연결된 도형에서 패턴 찾기를 이용해 어떤 점까지의 경로의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a_n+2 =2a_n+1 +(a_n+1 -a_n)]

⇔ [eqn: a_n+2 =3a_n+1 -a_n]

[eqn: a _{1} =3], [eqn: a _{2} =3a _{1} -1=8], [eqn: a _{3} =3a _{2} -a _{1} =21][eqn: a _{4} =3a _{3} -a _{2} =55], [eqn: a _{5} =3a _{4} -a _{3} =144]

15. [출제의도]  어떤 자연수의 약수의 개수를 구하고 이를 이용한 확률값을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

자연수 [eqn: 24]의 양의 약수는[eqn: 1,```2,```3,```4,```6,```8,``12,```24] 이다. 이 약수들을 분류하여 다음과 같이 [eqn: A _{0} = LEFT { 3,``6,`12,`24 RIGHT }],  [eqn: A _{1} = LEFT { 1,`4 RIGHT }],  [eqn: A _{2} = LEFT { 2,``8 RIGHT }]라 하자.  세 수의 합이 [eqn: 3]의 배수인 경우는
i) [eqn: A _{0}]에서 세 개를 택하는 경우 [eqn: {} _{4} C _{3}=4]
ii) [eqn: A _{0}, A_1 ,A_2]에서 각각 한 개씩 택하는 경우   [eqn: {} _{4} C _{1} TIMES {} _{2} C _{1} TIMES{} _{2} C _{1}= 16]이다.
전체 경우의 수  [eqn: {} _{8} C _{3}=]56이다.
따라서 구하고자하는 확률값은 [eqn: {4+16} over {56} = {5} over {14}]이다.

16. [출제의도] 두 수열을 수학적 귀납법으로 정의하고 두 수열의 성질을 이해고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 산술기하평균의 성질 [eqn: {a+b} over {2} >= sqrt {ab}] 이므로
[eqn: a _{n+1} = {a _{n} +b _{n}} over {2} >= sqrt {a _{n} b _{n}} =b _{n+1}](참)
ㄴ. [eqn: {a _{n+1}} over {b _{n+1}} = {{a _{n} +b _{n}} over {2}} over {sqrt {a _{n} b _{n}}} = sqrt {{LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2}} over {4a _{n} b _{n}}}]
[eqn: = sqrt {{a _{n} ^{2} +2a _{n} b _{n} +b _{n} ^{2}} over {4a _{n} b _{n}}} = sqrt {{2+ {a _{n}} over {b _{n}} + {b _{n}} over {a _{n}}} over {4}}]

[eqn: = {sqrt {LEFT ( sqrt {{a _{n}} over {b _{n}}} + sqrt {{b _{n}} over {a _{n}}} RIGHT ) ^{2}}} over {2} = {sqrt {{a _{n}} over {b _{n}}} + sqrt {{b _{n}} over {a _{n}}}} over {2}]
(참)
ㄷ. 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]이 수렴하므로 [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} =} lim _{n -> INF } {a _{n+1} =a}], [eqn: lim _{n -> INF } {b _{n} =} lim _{n -> INF } {b _{n+1} =b}] 라 하면, [eqn: a _{n+1} = {a _{n} +b _{n}} over {2}]에서 [eqn: a= {a+b} over {2}]---①
[eqn: b _{n+1} = sqrt {a _{n} b _{n}}]에서 [eqn: b= sqrt {ab}]---②
①, ② 연립해서 풀면 [eqn: a=b]이다.(참)

17. [출제의도] 등차수열의 합과 무한등비급수를 실생활에 적용시킬 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: i)]올라가면서 움직인 거리의 합은 공차가 [eqn: {5pi } over {18}]이고 항의 개수가 17인 등차수열의 합이다.
[eqn: 5 {pi } over {18} +5 {2 pi } over {18} +5 {3 pi } over {18} + CDOTS +5 {17 pi } over {18} = {85 pi } over {2}]
[eqn: ii)]내려오면서 움직인 거리의 합은 첫째항이 [eqn: {9} over {2} pi]이고 공비가 [eqn: {9} over {10}]인 무한등비급수이다. [eqn: {5 pi TIMES {9} over {10}} over {1- {9} over {10}} =45 pi]
[eqn: THEREFORE {85} over {2} pi +45 pi =87.5 pi]

18. [출제의도] 미분계수의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f(1+kh)-f(1)} over {h}}][eqn: = lim _{h` -> `0} {{(1+kh) ^{2} -5(1+kh)+6-(1-5+6)} over {h}}][eqn: = lim _{h -> 0} {} {k ^{2} h ^{2} -3kh} over {h} = lim _{h -> 0} {(k ^{2} h-3k)=-3k=-36}]∴ [eqn: k=12]

19. [출제의도] 정적분의 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (준식)=` lim _{n -> INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} (1+ {1} over {n} k) ^{4}}] [eqn: = int _{1} ^{2} {x ^{4} dx} =[ {x ^{5}} over {5} ] _{1} ^{2} = {31} over {5}]  ∴ 36

20.  [출제의도] 포물선의 반사성질과 초점과 준선과의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

포물선 [eqn: y ^{2} =16(x+8)]의
초점은 F(-4,0)이고, 준선은 [eqn: x=-12] 이다.
포물선에 반사된 빛은 초점으로 모이므로 포물선 [eqn: y ^{2} =-16(x-28)]의 초점은 C(24,0), 준선은 [eqn: x=32] 가 된다.
초점과 준선의 성질을 이용하면 선분 FA는 A에서 준선 [eqn: x=-12]까지의 거리가 되며 선분 BC는 B에서 준선 [eqn: x=32]까지의 거리가 되므로 [eqn: bar {FA} + bar{AB} + bar {BC}] 는 준선과 준선까지의 거리가 되므로 32-(-12)=44이다.

[eqn: THEREFORE 44]

21. [출제의도] 이항분포에서 [eqn: E(X ^{2} `)]의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

5지선다형 문항 [eqn: 50]개에 대하여 각각의 문항에 답을 하나만 선택했을 때, 맞힌 문항의 개수를 확률변수 [eqn: X] 라 하면, [eqn: X]는 이항분포 [eqn: B(50,`` {1} over {5} )]을 따른다. 그러므로, [eqn: E(X `) =50 TIMES { 1} over {5 }=10], [eqn: V(X `) =50 TIMES { 1} over {5 } TIMES { 4} over {5 } =8]
그러므로, [eqn: E(X ^{2} `)=V(X)+ LEFT { E(X) RIGHT } ^{2}] [eqn: =8+10 ^{2} =108]
따라서, 정답은 [eqn: 108]

22. [출제의도] 내접원의 성질을 활용하여 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원점을 [eqn: rm O] , 두 점 [eqn: rm A,``B]를 [eqn: x]축 위의 오도록 좌표축을 설정하고, 점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x,``0)]이라 하면, 구하고자 하는 극한값 [eqn: m]은  [eqn: m= lim _{x -> 3-0} {{rm bar{PQ} it} over {rm bar{PR} it}} = lim _{x -> 3-0} {{sqrt {9-x ^{2}}} over {sqrt {1-(x-2) ^{2}}}}]
[eqn: = lim _{x -> 3-0} {} sqrt {{(3+x)(3-x)} over {(x-1)(3-x)}} = lim _{x -> 3-0} {} sqrt {{(3+x)} over {(x-1)}} = sqrt {3}]
따라서, [eqn: 100m ^{2} =300]

23. [출제의도] 공간에서 직선, 평면, 구 사이의 관계를 이해할 수 있는가를 묻는 문제이다.

좌표 공간 위의 세 점 [eqn: rm P(3,`0,`0)], [eqn: rm Q(`0,3`,`0)], [eqn: rm R(0,`0,`3)]을 포함하는 평면을 [eqn: rm alpha]의 방정식은 [eqn: x+y+z=3] 이다.
또한, [eqn: rm TRIANGLE PQR]의 외접원 [eqn: rm C _{1}] 은 중심이 [eqn: rm (1,`1,`1)]이고 반지름이 [eqn: sqrt {6}]인 원이다.
그리고, 구 [eqn: S]의 방정식은 [eqn: (x-6) ^{2``} +(y+3) ^{2} +(z+3) ^{2} =1]  이고,  평면 [eqn: alpha]와 구 [eqn: S] 가 만나서 생기는 원 [eqn: rm C _{2}] 의 중심은 구 의 중심 [eqn: (6,-3,-3)]에서 평면 [eqn: alpha]에 내린 수선 [eqn: x-6=y+3=z+3] 이 평면 [eqn: alpha] 와 만나는 점 이므로
연립방정식 [eqn: cases{x-6=y+3=z+3``#``x+y+z=3}] 의 해 [eqn: (7,-2,-2)] 가 된다.  또한, 구의 중심, 원 [eqn: rm C _{2}] 의 중심, 접점을 연결하여 얻은 삼각형이 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의해 원 [eqn: rm C _{2}]의 반지름은 [eqn: sqrt {r ^{2`} -3}] 이 된다.
한편, 두 원 [eqn: rm C _{1}], [eqn: rm C _{2}]는 외접하므로 반지름의 합과 중심거리가 같게 된다.  즉, [eqn: sqrt {r ^{2`} -3} + sqrt { 6} =3 sqrt { 6}]
따라서, [eqn: r ^{2} =27]

24. [출제의도] 공간도형에 대한 삼수선의 성질과 넓이에 대한 정사영의 성질을 이해하고 있는 가를 묻는 문제이다.

삼각형의 중점연결 정리에 의하여 선분 HG와 EF의 길이는 선분 BC 길이의 [eqn: 1over {2 }]로 같다. 그리고 BC□HG, BC□EF이므로 사각형 EFGH는 평행사변형이다. 그리고 BC위의 한 점 I에서 HG에 수선을 내린점을 J, EF에 수선을 내린점을 K라 하면 삼수선의 정리에 의하여 BC와 JK는 서로 수직이므로 JK와 EF는 서로 수직이 된다.
제2코사인법칙을 이용하면 [eqn: cos ANGLE rm ABC= {5} over {7}]이므로
[eqn: TRIANGLE rm ABC= {1} over {2} bar{AB} TIMES bar{BC} TIMES sin ANGLE rm ABC=6 sqrt {6}]이다.
따라서, [eqn: TRIANGLE rm ABC]의 높이는 [eqn: 2 sqrt {6}]이다.
삼각형 ABC와 삼각형 DCB는 서로 합동이므로
IJ=IK=삼각형 ABC의 높이×[eqn: {1} over {2}]=[eqn: sqrt {6}] 이 되고 두 삼각형이 이루는 각이 60°이므로 IJK는 정삼각형이다.
사각형 EFGH는 평행사변형이므로 그 넓이는
EF의 길이 × JK =[eqn: 3 sqrt {6}] 이 되고 사잇각이 60°이므로 구하고자하는 정사영의 넓이
[eqn: S=3 sqrt {6} TIMES `cos`60°=` {3} over {2} sqrt {6}] 이다.
∴ [eqn: 4S ^{2} =54]

25. [출제의도] 분배의 개념과 원순열의 개념을 이해하고 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

6명을 2개조로 나누는 방법은 구성원이 2명이상 이므로 2명과 4명, 3명과 3명으로 나누는 2가지가 있다.
i)2명과 4명의 경우
[eqn: {} _{6} C _{2} TIMES (2-1)! TIMES (4-1)!``=90]가지
ii)3명과 3명의 경우
[eqn: {} _{6} C _{3} TIMES {1} over {2!} TIMES (3-1)! TIMES (3-1)!``=40]
따라서 90 + 40 =130 가지이다.

(미분과적분)

26. [출제의도] 삼각함수의 최대 최솟값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: f`(x)`=`-2`sin ^{2} x+sin2x+1]

= [eqn: -2 {1-cos2x} over {2} +sin2x+1]
=[eqn: sin2x`+`cos2x`= sqrt {2} `sin(2x+ {pi } over {4} )`]이고
[eqn: -1` <= sin(2x+ {pi } over {4} ) <= 1]이므로 [eqn: f`(x)]의 최대값은 [eqn: sqrt {2} `]이다.

27. [출제의도] 지수 로그 함수의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: lim _{x -> 0} {{ln(1+x)(1+3x)(1+5x)(1+7x)} over {e ^{4x} -1}}]
=[eqn: lim _{x -> 0} {{{ln(1+x)+ln(1+3x)+ln(1+5x)`+ln(1+7x)} over {4x}} over {{e ^{4x} -1} over {4x}}}]
=[eqn: {1+3+5+7} over {4} =4]

28. [출제의도] 미분법을 활용하여 시각에 대한 변화율을 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.

선분 [eqn: rmBC]의 길이를 [eqn: x`(km)] 선분 [eqn: AC`]의 길이를 [eqn: y(km)]라 하자. 제 2 [eqn: cos]법칙으로부터
[eqn: y ^{2} =x ^{2} +3 ^{2} -2x3cos120 DEG = x ^{2`} + 3x+9][eqn: CDOTS(1)]한편 점 [eqn: C]에서 만나는 지점에서의
[eqn: TRIANGLEABC]=[eqn: {1} over {2} TIMES 3 TIMES x TIMES sin120°= {15} over {4} sqrt {3}]에서
[eqn: x=5]이므로  [eqn: y=7]이다.
[eqn: (1)]에서 [eqn: 2y {dy} over {dt} =2x {dx} over {dt} +3 {dx} over {dt} CDOTS (2)]  된다.
조건에서 [eqn: {dx} over {dt} = {28} over {13} (km/h),``x=5,````y=7]을[eqn: (2)]식에 대입하면 [eqn: {dy} over {dt} =2(km/h)]가 된다.

29. [출제의도] 초월함수의 오목 볼록성, 역함수의 미분법, 평균값의 정리의 내용을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. [eqn: f`(x)`]가 위로 오목(아래로 볼록)하므로 참이다.
ㄴ. [eqn: f`(x)]의 역함수가[eqn: g(x)]이므로 [eqn: g(f(x))=x]에서 [eqn: g'(f(x))f`'(x)=1]이다. 한편
[eqn: f(x)= {e ^{x} +e ^{-x}} over {2} = {e ^{2} -e ^{-2}} over {2}] 를 만족하는 [eqn: x=2] 된다. [eqn: f`(x)]의 도함수 [eqn: f`'(x)`=` {e ^{x} -e ^{-x`}} over {2}] 이므로[eqn: g'( {e ^{2} +e ^{-2}} over {2} )`= {1} over {f'(2)} = {2} over {e ^{2} -e ^{-2}}] 가되어  거짓이다.
ㄷ. [eqn: t]초 후의 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: LEFT ( k,` {e ^{k} +e ^{-k}} over {2} RIGHT )]이라 하자. 한편, [eqn: t]초 동안 점 [eqn: rmP]가 움직인 거리는 [eqn: t]이므로 [eqn: t= int _{0} ^{k} {sqrt {1+ LEFT { f prime (x) RIGHT } ^{2}}} dx] [eqn: = int _{0} ^{k} {sqrt {1+ LEFT ( {e ^{x} -e ^{-x}} over {2} RIGHT ) ^{2}}} dx][eqn: = int _{0} ^{k} {{e ^{x} +e ^{-x}} over {2}} dx= {e ^{k} -e ^{-k}} over {2}]

[eqn: (e ^{k} ) ^{2} -2te ^{k} -1=0]에서 [eqn: e ^{k} =t+ sqrt {t ^{2} +1}]
[eqn: THEREFORE k=ln(t+ sqrt {t ^{2} +1} )] (참)

30. [출제의도] 도형을 이용하여 삼각함수의 값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

원 위의 점과 직선사이의 점 사이의 최소거리 [eqn: l``]은 원의 중심 [eqn: rmO(5 sqrt {2} ,5 sqrt {2} )]에서 직선 [eqn: x+y= sqrt {2} `]까지의 거리 [eqn: {LEFT | 5 sqrt {2} +5 sqrt {2} - sqrt {2} RIGHT |} over {sqrt {1+1}} =9]이다.
거리가 최소인 직선위의 점 [eqn: rmP]에서 원에 그은 한 접선의 접점 [eqn: rmQ]라  하고 [eqn: ANGLEOPQ] 를 [eqn: {theta } over {2}]라 하면 [eqn: sin {theta } over {2} `= {4} over {9}]가 된다.
[eqn: cos theta =`1-2sin ^{2} {theta } over {2} =1-2( {4} over {9} ) ^{2} = {49} over {81}]이 되어
[eqn: a-b=32]이다.

(확률통계)

26. [출제의도] 줄기 잎 그림을 이용한 자료해석을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 중앙값=[eqn: {63+64} over {2} =63.5] (거짓)
ㄴ. 50회 이하인 사람은 4명 (거짓)
ㄷ. 송신횟수의 범위는 [eqn: 89-31=58] (참)

27. [출제의도] 주어진 조건을 만족하는 확률을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: x= {b} over {a} >= 2]
[eqn: a=1,``b=2,`3,`4,`5,`6]
[eqn: a=2,``b=4,`5,`6]
[eqn: a=3,``b=6]
[eqn: THEREFORE {9} over {36} = {1} over {4}]

28. [출제의도] 이산확률변수의 평균의 개념을 알고 있는 가를 묻는 문제이다.

[eqn: E(X)=0 TIMES {1} over {4} +1 TIMES {1} over {2} +2 TIMES {1} over {8} +3 TIMES {1} over {8} +4 TIMES 0]
[eqn: = {9} over {8}]

29. [출제의도] 분할과 분배의 개념을 이용하여 경우의 수를 구할수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: {} _{5} C _{1} TIMES _{4} C _{2} TIMES _{2} C _{2} TIMES {1} over {2} TIMES 3!``=90]

30. [출제의도] 모비율의 개념을 알고 있는가를 묻는 문제이다.

표본모비율은 정규분포 [eqn: N(0.8`,`(0.04) ^{2} )]를 따른다.
[eqn: P LEFT ( {k} over {100} <= hat{p} RIGHT ) =P``` LEFT ( {{k} over {100} -0.8} over {0.04} <= z RIGHT ) <= 0.9332]
[eqn: P LEFT ( 0 <= z <= {80-k} over {4} RIGHT ) <= 0.4332# {80-k} over {4} <= 1.5#k≧74]

(이산수학)

26. [출제의도] 그래프로부터 생성수형도의 개수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

5

4

3

2

1

1,2,3,4,5중 [eqn: a]와 [eqn: b]가 동시에 변으로 연결된 꼭짓점은 단 한 개이고, 나머지는 [eqn: a]와 [eqn: b]둘 중에 한 개와만 연결되어야 하므로 [eqn: 5`․`2 ^{4} =80](개)의 생성수형도가 생긴다.

27. [출제의도] 각 투표자가 투표에 미치는 영향력은 투표권한과 반드시 비례하지 않는 것을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A,`B,`C,`D]로 구성된 어떤 위원회에서 투표를 할 때, 개표결과로 나올 수 있는 모든 경우의 수와 그에 따른 결과를 표로 나타내면 다음과 같다.

찬성	찬성표수	통과/ 부결
없음	0	부결
[eqn: A]	19	부결
[eqn: B]	16	부결
[eqn: C]	10	부결
[eqn: D]	4	부결
[eqn: A],[eqn: B]	35	통과
[eqn: A],[eqn: C]	29	통과
[eqn: A],[eqn: D]	23	부결
[eqn: B],[eqn: C]	26	통과
[eqn: B],[eqn: D]	20	부결
[eqn: C],[eqn: D]	14	부결
[eqn: A],[eqn: B],[eqn: C]	45	통과
[eqn: A],[eqn: B],[eqn: D]	39	통과
[eqn: A],[eqn: C],[eqn: D]	33	통과
[eqn: B],[eqn: C],[eqn: D]	30	통과
[eqn: A, B,C,D]	49	통과

	통과에서 부결로 바뀌는 경우의 수	[eqn: (비율)= {(각경우의수)} over {(합계)}]
[eqn: A]	4	[eqn: {1} over {3}]
[eqn: B]	4	[eqn: {1} over {3}]
[eqn: C]	4	[eqn: {1} over {3}]
[eqn: D]	0	0
계	12	1

[eqn: A,`B,`C]의 영향력은 같고 [eqn: D]의 영향력은 0이다.

28. [출제의도] 수의 분할에 대한 정의를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 8=6+1+1=5+2+1=4+3+1]
=[eqn: 4 + 2 + 2=3 + 3 + 2] 따라서 [eqn: rmP(8,3)=5]이다.

29. [출제의도] 그래프 이론의 기초적인 개념을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

ㄱ. 행렬의 모든 성분의 합이 14이므로 변의 개수는 [eqn: {14} over {2} =7] 이다.    ∴  참
ㄴ. 주어진 인접행렬을 그래프로 나타내면 오른쪽 그림과 같이 모든 변이 꼭짓점에서 만나게 그려지므로 평면 그래프이다.  ∴거짓

ㄷ. 다음 그림과 같이 [eqn: rm G]의 생성수형도는 반드시 3개의 변을 제거해야 만들 수 있다. 참.

30. [출제의도] 피보나치술의 응용으로 항들 사이의 관계에 대하여 추론을 할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: a _{1} =2], [eqn: a _{2} =1] ,   [eqn: a _{3} =a _{2} +a _{1} =3]
[eqn: a _{4} =a _{3} +a _{2} =4] ,  [eqn: a _{5} =a _{4} +a _{3} =7]
[eqn: a _{6} =a _{5} +a _{4} =11] , [eqn: a _{7} =a _{6} +a _{5} =18]
[eqn: a _{8} =a _{7} +a _{6} =29] 이다.

‘나’형 정답

1	⑤	2	②	3	③	4	③	5	①
6	②	7	③	8	④	9	④	10	①
11	②	12	⑤	13	④	14	③	15	①
16	⑤	17	①	18	17	19	29	20	16
21	108	22	25	23	20	24	30	25	130
26	②	27	⑤	28	④	29	⑤	30	15

해 설

1. 가형 1번과 동일

2. 가형 2번과 동일

3. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한 값을 구하는 문제이다.

(준식)=[eqn: lim _{n -> INF } {{1+ {3} over {n}} over {sqrt {4+ {1} over {n}}} = {1} over {2}}]

4.  [출제의도] 지수법칙을 이해하고 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: sqrt {2} - {1} over {sqrt {2}} + sqrt {LEFT ( sqrt {2} - {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} +4}# = sqrt {2} + {2} over {sqrt {2}}]
이므로  [eqn: THEREFORE LEFT ( sqrt {2} + {2} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} =8]

5. [출제의도] 지표와 가수의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: loga=5+ alpha ```(단,```0 <= alpha <1)# log sqrt {a} = {5+ alpha } over {2} =2+ {1+ alpha } over {2} ```( {1} over {2} <= {1+ alpha } over {2}<1)]
가수의 합이 [eqn: {3} over {4}]이므로 [eqn: alpha + {1+ alpha } over {2} = {3} over {4} ,` alpha = {1} over {6}]이다.
[eqn: THEREFORE `log`a=5+ {1} over {6} = {31} over {6}]

6. [출제의도] 무한급수의 합의 수렴을 묻는 문제로 무한급수의 합의 수렴성을 이해를 측정하는 문제이다.

ㄱ. [eqn: a _{n} = {n-1} over {2n+1}]이라고 하면, [eqn: lim _{n -> INF } {a _{n} = {1} over {2} != 0}]
이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {n-1} over {2n+1}]은 발산한다.
ㄴ. 무한등비급수의 등비 [eqn: r=- {1} over {sqrt {2}}]로 [eqn: -1<r<1]이므로 무한등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( - {1} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{n}]은 수렴한다.
ㄷ. [eqn: sum _{n=1} ^{INF } {1} over {sqrt {n+1} + sqrt {n}} = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} {1} over {sqrt {k+1} + sqrt {k}}}]
[eqn: = lim _{n -> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( {sqrt {n+1} - sqrt {n}} over {LEFT ( sqrt {n+1} + sqrt {n} RIGHT ) LEFT ( sqrt {n+1} - sqrt {n} RIGHT )} RIGHT )}][eqn: = lim _{n-> INF } {sum _{k=1} ^{n} LEFT ( sqrt {k+1} - sqrt {k} RIGHT )}][eqn: = lim _{n -> INF } {LEFT ( sqrt {n+1} -1 RIGHT ) =}]발산.

7. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하여 지수방정식을 풀수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: n TIMES 2 ^{n} =2 TIMES (2 ^{n+2} -2 ^{n} )``#n=2 TIMES3# THEREFOREn=6]

8. [출제의도] 분할과 분배를 이해하고 이를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: i)]1명, 1명, 3명으로 분할한 후 분배하는 경우의 수
[eqn: {} _{5} C _{1} TIMES _{4} C _{1} TIMES {1} over {2} TIMES 3!``=60`]
[eqn: ii)]2명, 2명, 1명으로 분할한 후 분배하는 경우의 수
[eqn: {} _{5} C _{2} TIMES _{3} C _{2} TIMES {1} over {2} TIMES 3!``=90`]
[eqn: THEREFORE 60+90=150]

9. [출제의도] 모집단의 분산을 이용하여 표본평균의 분산을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: E(X)= {1+3+5+7+9} over {5} =5]
[eqn: V(X)= {16+4+0+4+16} over {5} =8]
[eqn: V( bar{X} )= {8} over {2} =4]

10. 가형 10번과 동일

11. 가형 11번과 동일

12. 가형 12번과 동일

13. 가형 13번과 동일

14. 가형 14번과 동일

15. 가형 15번과 동일

16. 가형 16번과 동일

17. 가형 17번과 동일

18. [출제의도] 등차중항의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 20=1-a+2+2a``` #THEREFORE a=17]

19. [출제의도] 로그부등식을 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: (log _{2} x) ^{2} -6log _{2} x+5<0]
[eqn: (log _{2} x-1)(log _{2} x-5)<0]
[eqn: 1<log _{2} x<5]
[eqn: 2<x<32``````` THEREFORE 29]

20. [출제의도] 행렬의 성분에 대한 정의를 알고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: pmatrix{a _{11}&a _{12}#a _{21}&a _{22}} = pmatrix{3&3#4&6} ` THEREFORE 16]

21. 가형 21번과 동일

22. [출제의도] 두 지수방정식의 해를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 2 ^{x} =- {1} over {2 ^{x}} + {5} over {2}]의 지수 방정식을 정리하면,
[eqn: 2 LEFT ( 2 ^{x} RIGHT ) ^{2} -5 ․ 2 ^{x} +2=0]이고 이를 인수분해하면
[eqn: LEFT ( 2 ^{x} -2 RIGHT ) LEFT ( 2 ․` 2 ^{x} -1 RIGHT ) =0]
[eqn: THEREFORE 2 ^{x} =2``] 또는 [eqn: 2 ^{x} = {1} over {2}]이다.
[eqn: THEREFORE x=1] 또는 [eqn: x=-1]이므로 [eqn: A LEFT ( -1, {1} over {2} RIGHT ) ,``B LEFT ( 1,`2 RIGHT )]이다. 따라서 [eqn: A]와 [eqn: B]의 중점 [eqn: M LEFT ( 0, {5} over {4} RIGHT )]이다.
따라서 [eqn: 20(a+b)=25] 이다.   3

23. [출제의도] 조건부확률의 개념을 이해하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

두 카드 중 한 장을 뽑을 때, 양면이 다른 색인 카드가 나오는 사건을 A, 같은 색인 카드가 나오는 사건을 B라 한다. 한 장의 카드를 2번 던졌을 때 모두 노란색이 나오는 사건을 C라 하자.
이 때, 구하고자 하는 확률은 [eqn: rm P(A`|`C)] 이므로,
[eqn: rm P(A`|`C)= { P(A SMALLINTER C)} over {P(A SMALLINTER C)+P(B SMALLINTER C) }]
[eqn: rm= {P(A)P(C|A)} over {P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B) }]
[eqn: rm= {LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )․LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT ) ^2} over { LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )․LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT ) ^2 +LEFT ( { 1} over {2 } RIGHT )․1 }][eqn: rm= { 1} over { 5}]
따라서, [eqn: 100p=100`․ {1} over {5} =20]

24. [출제의도] 좌표평면상에서 삼각형의 넓이를 활용하여 수열의 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: A _{k} (k,`2k),`B _{k} (2k,`k)] (단, [eqn: k]는 정수)라 하면,
[eqn: bar{OB _{k}} = sqrt {4k ^{2} +k ^{2}} = sqrt {5} k], [eqn: A _{k} (k,`2k)]에서 직선 [eqn: y= {1} over {2} x]까지의 거리는 [eqn: h= {|k-4k|} over {sqrt {5}} = {|3k|} over {sqrt {5}}]이다.
따라서, 삼각형의 넓이 [eqn: S _{k} = {3} over {2} k ^{2}]이다.
[eqn: alpha = lim _{n -> INF } {{sum _{k=1} ^{n} S _{k}} over {n ^{3}}}# = lim _{n -> INF } {{{1} over {4} n(n+1)(2n+1)} over {n ^{3}} = {1} over {2}}]

[eqn: THEREFORE `60 alpha =30]

25. 가형 25번과 동일

26. [출제의도] 순환소수와 등비중항을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: LEFT ( {a} over {90} RIGHT ) ^{2} = {1} over {9} TIMES {9} over {900} `#`a ^{2} =9``` THEREFORE a=3]

27. [출제의도] 독립시행의 확률을 이해하고 이를 계산할 수  이해하고 있는가를 묻는 문제이다.

5번의 독립시행 중 소수가 나온 횟수가 3회이므로
[eqn: {} _{5} C _{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{3} LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{2} = {5} over {16}]

28. [출제의도] 동전의 경우의 수의 개념과 배열의 개념 그리고 원순열의 개념을 이해하고 계산을 할수 있는가를 묻는 문제이다.

1) 바둑돌 1개          2)바둑돌 2개

3)바둑돌 3개

4)바둑돌 4개           5)바둑돌 5개

따라서 경우의 수 = 1+2+2+1+1 = 7가지이다.

29. [출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수를 설정하고, 이항분포와 정규분포사이의 관계를 이용하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.

[eqn: 180]번의 독립시행에서 당첨금으로 [eqn: 900]원을 받는 횟수를 [eqn: X], [eqn: 100]원을 손해 보는 횟수를 [eqn: Y] 라 하자. 이 때, 당첨금으로 [eqn: 22000]원 이상을 받게 되려면,
[eqn: cases{X+Y=180#900X-100Y >= 22000}] 이 성립해야 한다. 즉, [eqn: X >= 40]
여기서, 확률변수 [eqn: X] 의 분포가 이항분포 [eqn: rm B LEFT ( it 180,`` {1} over {6} RIGHT )]를 따르고, 구하고자 하는 확률은 [eqn: rm P(X >= 40)]이다.
[eqn: rm E( it X)=180 TIMES {1} over {6} =30], [eqn: rm V( it X)=180 TIMES {1} over {6} TIMES {5} over {6} =5 ^{2}] 이고,
[eqn: n=180]는 충분히 크므로, 확률변수 [eqn: X]는 정규분포 [eqn: rm N( it 30,~5 ^{2} )]을 근사적으로 따른다.
따라서 [eqn: rm P(X >= 40)] [eqn: = rm P(Z >= {40-30} over {5} )]                 [eqn: = rm P(Z >= 2)][eqn: =0.5- rm P(0 <= Z <= 2)]                    [eqn: =0.5-0.4772=0.0228]

30. [출제의도] 역행렬이 존재하지 않을 조건과 점과 직선사이의 거리를 계산할 수 있는가를 묻는 문제이다.

역행렬이 존재하지 않으므로 [eqn: ps-qr=0]이다. 이를 변형하면 [eqn: {q-0} over {p-0} = {s-0} over {r-0}]이므로(기울기가 같으므로)
원점과 점A,점B는 일직선상에 있다.
선분[eqn: AB]의 최소길이는 원점과 점A,점B가 일직선상에 있으면서 원 위의 점으로부터 직선 위의 있는 점까지 최단거리이다.
원점에서 직선 [eqn: x+y= sqrt {2}]까지 거리는 1이고 원점에서 원의 중심까지의 거리는 20이고 원의 반지름이 4이다.  따라서 최단거리는  [eqn: 20-4-1=15]이다.