• 수학 영역 •

가 형 정답

1	⑤	2	③	3	④	4	④	5	①
6	②	7	①	8	⑤	9	④	10	⑤
11	②	12	①	13	③	14	④	15	③
16	①	17	③	18	②	19	②	20	⑤
21	④	22	[eqn: 15]	23	[eqn: 24]	24	[eqn: 96]	25	[eqn: 48]
26	[eqn: 176]	27	[eqn: 31]	28	[eqn: 11]	29	[eqn: 74]	30	[eqn: 42]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} +y^2], [eqn: B=2x ^{2} +xy-y ^{2} `]에서

[eqn: A+B][eqn: = LEFT ( x ^{2} +y ^{2} RIGHT ) + LEFT ( 2x ^{2} +xy-y ^{2} RIGHT )]
[eqn: =3x ^{2} +xy]

2. [출제의도] 합집합의 원소의 합을 계산한다.

두 집합 [eqn: A][eqn: = LEFT { 1,```2,```3 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 3,```5 RIGHT } `]에서

[eqn: A cup B][eqn: = LEFT { 1,```2,```3,```5 RIGHT } `]이므로

집합 [eqn: A CUP B`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+3+5= 11]

3. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.

[eqn: i^2][eqn: =it-1`]이므로

[eqn: i` LEFT ( 2-i RIGHT )][eqn: =2i-i^2][eqn: =2i-(-1)][eqn: =2i+1][eqn: =1+2i]

4. [출제의도] 좌표평면에서 외분점의 좌표를 계산한다.

두 점 [eqn: rmA LEFT ( it-2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it a,```b RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {2 times a-1 times (-2)} over {2-1},```{2 times b-1 times 0} over {2-1} RIGHT )]

즉 [eqn: LEFT ( 2a+2,```2b RIGHT )]

이 점의 좌표가 [eqn: LEFT ( 10,```0 RIGHT ) `]이므로

[eqn: 2a+2][eqn: =10], [eqn: 2b=0]

[eqn: a=4], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: a+b=4]

[다른 풀이]

[eqn: rm P(10,```0)`]이라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점이므로 점 [eqn: rm B`]는 선분 [eqn: rm AP`]의 중점이다.

[eqn: rmA LEFT ( it-2,```0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( it a,```b RIGHT )], [eqn: rm P(10,```0)`]에서 선분 [eqn: rm AP`]의 중점의 좌표는

[eqn: LEFT ( {-2+10} over {2}, ```{0+0} over {2} RIGHT )]

즉 [eqn: LEFT ( 4,```0 RIGHT )]

이 점의 좌표와 점 [eqn: rm B]의 좌표가 같으므로

[eqn: a=4], [eqn: b=0]

따라서 [eqn: a+b=4]

5. [출제의도] 함숫값과 역함수의 함숫값을 구한다.

[eqn: f(6)=4]

[eqn: f(2)=8`]에서

[eqn: f` ^{-1} (8)=2]

따라서 [eqn: f(6)+f` ^{-1} (8)][eqn: =4+2][eqn: =6]

6. [출제의도] 곱셈 공식의 변형을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: left(a+b-c right)^2][eqn: =a^2 +b^2 +left(-c right)^2 +2 ab+2 b left(-c right)+2 left(-c right)a]
[eqn: = a^2 +b^2 +c^2 +2 left( ab-bc-ca right)]

[eqn: LEFT ( a+b-c RIGHT ) ^{2} =25], [eqn: ab-bc-ca= it -2`]이므로

[eqn: 25 = a^2 +b^2 +c^2 +2 times LEFT ( -2 RIGHT )]

따라서 [eqn: a^2 +b^2 +c^2][eqn: = 25+4][eqn: =29]

7. [출제의도] 이차부등식의 해를 구한다.

이차부등식 [eqn: x ^{2} -8x+a LEQ 0`]의 해가 [eqn: b LEQ x LEQ 6`]이므로

[eqn: x ^{2} -8x+a][eqn: = LEFT ( x-b RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT )]
[eqn: =x^2 - left(b+6 right)x+6b]

[eqn: 8=b+6], [eqn: a=6b]

[eqn: b=2], [eqn: a=12]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =12+2][eqn: =14]

[다른 풀이]

[eqn: x=6`]일 때, [eqn: x ^{2} -8x+a=0`]이므로

[eqn: 36-48+a=0]

[eqn: a=12]

[eqn: x ^{2} -8x+12 LEQ 0]

[eqn: (x-2)(x-6) LEQ 0]

[eqn: 2 LEQ x LEQ 6]

[eqn: b=2]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =12+2][eqn: =14]

8. [출제의도] 조합을 이용하여 조건에 맞는 자연수의 개수를 구한다.

자연수의 첫 자릿수는 [eqn: 0`]이 될 수 없으므로 [eqn: 1`]이다.

[eqn: 1,``□,``1,``□,``1,``□,``1,``□,``1,``□,``1,``□`]

나머지 [eqn: 5`]개 [eqn: 1`]의 좌우 [eqn: 6`]개의 빈 자리 □에 [eqn: 3`]개의 [eqn: 0]을 넣으면 [eqn: 0`]끼리는 어느 것도 이웃하지 않는 아홉 자리의 자연수를 만들 수 있다. 따라서 구하는 자연수의 개수는 [eqn: rm ` _{6} C _{3}][eqn: = {6times5times4} over {3times2times1}][eqn: =20]

9. [출제의도] 무리함수에서 역함수의 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)= sqrt {2x-4} +3`]에서

[eqn: f` ^{-1} (5)=k`]라 하면

[eqn: f(k)=5]

[eqn: f(k)][eqn: =sqrt{2k-4}+3][eqn: =5]

[eqn: sqrt{2k-4}][eqn: =2]

[eqn: 2k-4][eqn: =4]

따라서 [eqn: k=4`]이므로 [eqn: f` ^{-1} (5)`=4]

10. [출제의도] 곱의 법칙과 순열을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

[eqn: rmA], [eqn: rmB`]가 앉는 줄을 선택하는 경우의 수는 [eqn: 2], 한 줄에 놓인 [eqn: 3`]개의 좌석에서 [eqn: 2`]개의 좌석을 택하여 앉는 경우의 수는 [eqn: {}_{3} rm P it _{2}][eqn: =3 TIMES 2][eqn: =6]

그러므로 [eqn: rmA], [eqn: rmB`]가 같은 줄의 좌석에 앉는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 6][eqn: =12]

나머지 세 명이 맞은편 줄의 좌석에 앉는 경우의 수는 [eqn: 3! = 6]

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 12 TIMES 6][eqn: =72`]이다.

11. [출제의도] 판별식을 이용하여 절대부등식이 성립하도록 하는 정수 [eqn: k`]의 개수를 구한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2kx+2k+15=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하자.

모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 부등식 [eqn: x ^{2} -2kx+2k+15ge0`]이 성립하려면 [eqn: D LEQ 0`]이어야 한다.

[eqn: {D} over {4}][eqn: = LEFT ( -k RIGHT ) ^{2} -1 TIMES LEFT ( 2k+15 RIGHT )][eqn: LEQ 0]

[eqn: k^2 -2k-15le0]

[eqn: LEFT ( k-5 RIGHT ) LEFT ( k+3 RIGHT )le0]

[eqn: -3 le k le 5]

따라서 정수 [eqn: k`]는 [eqn: -3], [eqn: -2], [eqn: -1], [eqn: cdots], [eqn: 5`]이므로 그 개수는 [eqn: 9`]이다.

12. [출제의도] 곱셈 공식의 변형을 이용하여 정육면체의 부피의 합을 구한다.

두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하자.

한 정육면체의 모서리가 [eqn: 12`]개이고, 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합이 [eqn: 60`]이므로

[eqn: 12 LEFT ( a+b RIGHT )=60], 즉 [eqn: a+b=5]

한 정육면체의 면이 [eqn: 6`]개이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합이 [eqn: 126`]이므로

[eqn: 6 LEFT ( a^2 +b^2 RIGHT )=126], 즉 [eqn: a^2 + b^2 =21]

[eqn: (a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab`]에서

[eqn: 25=21+2ab]

[eqn: ab=2]

따라서 두 정육면체의 부피의 합은

[eqn: a^3 +b^3][eqn: =(a+b)^3 -3ab(a+b)]
[eqn: =5^3 - 3 times 2times 5]
[eqn: =125-30]
[eqn: =95]

[다른 풀이]

두 정육면체의 한 모서리의 길이를 각각 [eqn: a], [eqn: b`]라 하자.

한 정육면체의 모서리가 [eqn: 12`]개이고, 두 정육면체의 모든 모서리 길이의 합이 [eqn: 60`]이므로

[eqn: 12 LEFT ( a+b RIGHT )=60], 즉 [eqn: a+b=5]

한 정육면체의 면이 [eqn: 6`]개이고, 두 정육면체의 겉넓이의 합이 [eqn: 126`]이므로

[eqn: 6 LEFT ( a^2 +b^2 RIGHT )=126], 즉 [eqn: a^2 + b^2 =21]

[eqn: (a+b) ^{2} =a ^{2} +b ^{2} +2ab`]에서

[eqn: 25=21+2ab]

[eqn: ab=2]

따라서 두 정육면체의 부피의 합은

[eqn: a ^{3} +b ^{3}][eqn: =(a+b)(a ^{2} -ab+b ^{2} )]
[eqn: =5 TIMES LEFT ( 21-2 RIGHT )]
[eqn: =95]

13. [출제의도] 연립이차방정식의 해를 구한다.

[eqn: x ^{2} -2xy-3y ^{2} =0]

[eqn: (x-3y)(x+y)=0`]에서

[eqn: x=3y] 또는 [eqn: x=it-y]

[eqn: x>0], [eqn: y>0`]이므로

[eqn: x=3y]

[eqn: x ^{2} +y ^{2} =20`]에서

[eqn: LEFT ( 3y RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =20]

[eqn: y ^{2} =2]

[eqn: a>0], [eqn: b>0`]이므로 [eqn: a=3 sqrt {2}], [eqn: b= sqrt {2}]

따라서 [eqn: a+b][eqn: =4 sqrt {2}]

14. [출제의도] 곱의 법칙과 조합을 이용하여 숫자를 선택하는 경우의 수를 구한다.

[eqn: 3`]개의 가로줄 중 [eqn: 2`]개의 가로줄을 택하는 경우의 수는 [eqn: `_3 rm C_2][eqn: =3]

택한 [eqn: 2`]개의 가로줄 중 한 가로줄에서 [eqn: 1`]개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: ` _{3} rm C _{1} =3`]이고, 조건 (나)로부터 나머지 한 가로줄에서 이미 선택한 숫자와 다른 세로줄에 있는 [eqn: 1`]개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: `_2 rm C_1 = 2]

따라서 조건을 만족시키도록 [eqn: 2`]개의 숫자를 선택하는 경우의 수는 [eqn: 3 times 3 times 2][eqn: =18`]이다.

15. [출제의도] 무리함수의 그래프와 직선의 교점에 관한 문제를 해결한다.

함수 [eqn: y=5-2 sqrt {1-x} ``]의 그래프는 그림과 같다.

직선 [eqn: y=it-x+k`]가 점 [eqn: (1,```5)`]를 지날 때의 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 5][eqn: =it-1+k`]에서 [eqn: k=6]

함수 [eqn: y=5-2 sqrt {1-x} `]의 그래프와 [eqn: y`]축과의 교점의 [eqn: y`]좌표를 구하면

[eqn: y][eqn: =5-2][eqn: =3]

직선 [eqn: y=it-x+k`]가 점 [eqn: (0,```3)`]을 지날 때의 [eqn: k`]의 값은

[eqn: 3=0+k`]에서 [eqn: k=3]

따라서 함수 [eqn: y=5-2 sqrt {1-x} `]의 그래프와 직선 [eqn: y=it-x+k`]가 제[eqn: 1]사분면에서 만나도록 하는 [eqn: k`]의 값의 범위는 [eqn: 3<k le 6]

따라서 모든 정수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 4+5+6][eqn: =15`]이다.

16. [출제의도] 인수정리를 이용하여 주어진 성질이 성립함을 추론한다.

함수 [eqn: f(x)=x^2 -(k+1)x+2k`] ([eqn: k`]는 [eqn: 2`]가 아닌 실수)에서 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여

[eqn: f(x)-x][eqn: =x^2 - LEFT ( k+2 RIGHT )x+2k]
[eqn: = LEFT ( x-k RIGHT ) LEFT ( ` {BOX{ ~~x-2~~}} ` RIGHT )]

이다.

이때 [eqn: f(k)-k =0], [eqn: f(2)-2=0]에서 [eqn: f(k)=k], [eqn: f(2 )=2]

함수 [eqn: g(x)][eqn: =(f CIRC f)(x)][eqn: =f(f(x))`]에 대하여

[eqn: g(k)][eqn: =f(f(k))][eqn: =f(k)][eqn: = {BOX{~~ k ~~}} `]

[eqn: g(2)][eqn: =f(f(2))][eqn: =f(2)][eqn: = {BOX{~~ 2 ~~}} `]

[eqn: g(k)-k=0], [eqn: g(2)-2=0]에서 다항식 [eqn: g(x)-x`]는 [eqn: x-k`]와 [eqn: {BOX{~~ x-2 ~~}} `]를 인수로 가지므로

다항식 [eqn: g(x)-x`]는 다항식 [eqn: left(x-k right) left(x-2 right)], 즉 [eqn: f(x)-x`]로 나누어떨어진다.

[eqn: p(x)=x-2], [eqn: q(k)][eqn: =k], [eqn: a=2]이므로

[eqn: p(5)+q(4)+a`][eqn: =3+4+2][eqn: =9]

17. [출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 방정식을 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: rmA LEFT ( 8,```6 RIGHT ) `]이므로 두 점 [eqn: rm O], [eqn: rm A`]를 지나는 직선의 방정식은 [eqn: y= 3 over 4 x], 즉 [eqn: 3x-4y=0]

점 [eqn: rm B]의 좌표를 [eqn: ( it a,```0)`][eqn: LEFT ( 0<a<8 RIGHT ) `]이라 하면

[eqn: bar{rm BI}][eqn: = {LEFT | 3timesa-4 times0 RIGHT |} over { sqrt{``3 ^{2} +left(-4 right) ^{2}``}}][eqn: = {3a} over{ 5}]

[eqn: bar{rm BH}][eqn: =8-a]

[eqn: bar{rm BI}][eqn: =][eqn: bar{rm BH}]에서

[eqn: {3a} over {5} = 8-a]

[eqn: a=5]

그러므로 점 [eqn: rm B LEFT ( it 5,```0 RIGHT ) `]이다.

두 점 [eqn: rmA LEFT ( 8,```6 RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( it 5,```0 RIGHT ) `]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-0 = {6-0} over {8-5} left(x-5 right)]

[eqn: y=2x-10]

따라서 [eqn: m=2], [eqn: n=it-10`]이므로

[eqn: m+n][eqn: =2+ left(-10 right)][eqn: =it-8]

[다른 풀이 1]

점 [eqn: rmA LEFT ( 8,```6 RIGHT ) `]이므로 [eqn: bar{rm AH}=6], [eqn: bar{rm OH}=8]

직각삼각형 [eqn: rm OAH`]에서

[eqn: bar{rm OA}][eqn: = sqrt {{bar{rm AH it}} ^{2} + {bar{rm OH it}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt{6^2 +8^2}]
[eqn: =10]

[eqn: bar{rm BH}][eqn: =bar{rm BI}][eqn: =x`]라 하면 [eqn: bar{rm OB}][eqn: =8-x]

두 삼각형 [eqn: rm OBI`]와 [eqn: rm OAH`]가 서로 닮음이므로

[eqn: {bar{rm OB it}} : {bar{rm BI it}} = {bar{rm OA it}} : {bar{rm AH it}}]

[eqn: LEFT ( 8-x RIGHT ) :x=10:6]

[eqn: 10x=48-6x`]에서 [eqn: x=3]

그러므로 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( it 5,```0 RIGHT ) `]이다.

두 점 [eqn: rmA LEFT ( 8,```6 RIGHT ) `], [eqn: rm B LEFT ( it 5,```0 RIGHT ) `]을 지나는 직선의 방정식은

[eqn: y-0 = {6-0} over {8-5} left(x-5 right)]

[eqn: y=2x-10]

따라서 [eqn: m=2], [eqn: n=it-10`]이므로

[eqn: m+n][eqn: =2+ left(-10 right)][eqn: =it-8]

[다른 풀이 2]

직선 [eqn: y=mx+n`]과 [eqn: y`]축의 교점을 [eqn: rmC`]라 하면 두 직선 [eqn: rmOC], [eqn: rm AH``]가 서로 평행하므로

[eqn: rmangleOCB= ANGLE HAB]

[eqn: bar{rmBI}=bar{rmBH}`]이고 [eqn: bar{rmAB}`]는 공통이므로 두 직각삼각형 [eqn: rmAIB], [eqn: rmAHB`]는 서로 합동이다.

따라서 [eqn: rmangleBAI=angleBAH]

삼각형 [eqn: rmOAC`]에서 [eqn: rmangleOAC=angleOCA`]이므로

[eqn: bar{rmOC][eqn: =bar{rmOA][eqn: = sqrt {8 ^{2} +6 ^{2}}][eqn: =10]

따라서 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 0,```-10 RIGHT ) `]이므로 직선 [eqn: rmAC`]의 기울기 [eqn: m`]은

[eqn: m][eqn: = {6- LEFT ( -10 RIGHT )} over {8-0}]
[eqn: =2]

[eqn: y`]절편이 [eqn: -10`]이므로

[eqn: n=it-10]

따라서 [eqn: m+n][eqn: =2+ left(-10 right)][eqn: =it-8]

18. [출제의도] 집합의 연산을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

은행 [eqn: rm A`]와 은행 [eqn: rm B`]를 이용하는 고객의 집합을 각각 [eqn: A], [eqn: B`]라 하면 조건 (가)에서

[eqn: n(A)+n(B)][eqn: =82]

[eqn: n(A CUP B)][eqn: =65]

[eqn: n(A SMALLINTER B)][eqn: =n(A)+n(B)-n(A CUP B)]
[eqn: =82-65]
[eqn: =17]

따라서 한 은행만 이용하는 고객의 수는 [eqn: 65-17]=[eqn: 48]이고 조건 (나)에서 두 은행 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 중 한 은행만 이용하는 남자 고객의 수와 두 은행 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 중 한 은행만 이용하는 여자 고객의 수는 각각 [eqn: 24]명이다.

따라서 은행 [eqn: rm A`]와 은행 [eqn: rm B`]를 모두 이용하는 여자 고객의 수는 [eqn: 30-24][eqn: =6`]이다.

[다른 풀이]

조건 (나)에서 두 은행 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 중 한 은행만 이용하는 남자 고객의 수와 두 은행 [eqn: rm A], [eqn: rm B] 중 한 은행만 이용하는 여자 고객의 수가 같으므로 이를 [eqn: x`]라 하면 은행 [eqn: rmA]와 은행 [eqn: rmB`]를 모두 이용하는 남자 고객의 수는 [eqn: 35-x`]이고, 은행 [eqn: rmA]와 은행 [eqn: rmB`]를 모두 이용하는 여자 고객의 수는 [eqn: 30-x`]이다.

조건 (가)에서

[eqn: LEFT { x+2 LEFT ( 35-x RIGHT ) RIGHT } + LEFT { x+2 LEFT ( 30-x RIGHT ) RIGHT }][eqn: =82]

[eqn: 2x+ LEFT ( 70-2x RIGHT ) + LEFT ( 60-2x RIGHT )][eqn: =82]

[eqn: 2x=48]

[eqn: x=24]

따라서 은행 [eqn: rm A`]와 은행 [eqn: rmB`]를 모두 이용하는 여자 고객의 수는 [eqn: 30-24][eqn: =6`]이다.

19. [출제의도] 평행이동과 대칭이동을 이용하여 문제를 해결한다.

네 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 네 점을 각각 [eqn: rmA _{1}], [eqn: rmB _{1}], [eqn: rmC _{1}], [eqn: rmD _{1} `]이라 하고, 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 네 점을 각각 [eqn: rmA _{2}], [eqn: rmB _{2}], [eqn: rmC _{2}], [eqn: rmD _{2} `]라 하자.

직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 두 대각선의 교점이 원점이고 각 변은 [eqn: x`]축 또는 [eqn: y`]축에 평행하며 [eqn: {bar{rm AD it}} > {bar{rm AB it}} >2`]이므로 두 직사각형 [eqn: rmABCD], [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]은 그림과 같다.

이때 제[eqn: 1]사분면 위의 점 [eqn: rmD`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]라 하면

[eqn: rmA][eqn: LEFT ( it-a,```b RIGHT ) `], [eqn: rmB][eqn: LEFT ( it-a,```-b RIGHT ) `], [eqn: rmC][eqn: LEFT ( a,```-b RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rm B _{1} `]은 점 [eqn: rmB`]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 평행이동한 점이므로 [eqn: bar{rmAD}][eqn: =2a], [eqn: {bar{rm AB _{1} it}}][eqn: =2b-2]

조건 (가)에서 직사각형 [eqn: rm A _{1} B _{1} C _{1} D _{1} `]의 내부와 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 내부와의 공통부분의 넓이가 [eqn: 18`]이므로

[eqn: 2a TIMES LEFT ( 2b-2 RIGHT )][eqn: =18]	[eqn: cdotscdots] ㉠

한편 직사각형 [eqn: rm A _{2} D _{2} C _{2} B _{2} `]는 직사각형 [eqn: rmABCD`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 도형이므로 두 직사각형 [eqn: rm ABCD], [eqn: rm A _{2} D _{2} C _{2} B _{2} `]는 그림과 같다.

조건 (나)에서 직사각형 [eqn: rm A _{2} D _{2} C _{2} B _{2} `]의 내부와 직사각형 [eqn: rm ABCD`]의 내부와의 공통부분의 넓이가 [eqn: 16`]이고 그림에서 공통부분은 한 변의 길이가 선분 [eqn: rmAB`]의 길이와 같은 정사각형이므로

[eqn: LEFT ( 2b RIGHT ) ^{2}][eqn: =16]

[eqn: b ^{2} =4]

[eqn: b`]는 양수이므로

[eqn: b][eqn: =2]

[eqn: b][eqn: =2]를 ㉠에 대입하면

[eqn: a][eqn: = {9} over {2}]

따라서 직사각형 [eqn: rmABCD`]의 넓이는

[eqn: {bar{rm AD it}} times {bar{rm AB it}}][eqn: =2a TIMES 2b][eqn: =4ab][eqn: =4times {9} over {2} times2][eqn: =36]

20. [출제의도] 인수정리와 이차방정식의 판별식을 이용하여 방정식의 근을 추론한다.

ㄱ. [eqn: f(1)][eqn: =1+(2a-1)+(b ^{2} -2a)-b ^{2}][eqn: =0`]이므로 인수정리에 의하여 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x-1`]을 인수로 갖는다. (참)

ㄴ. [eqn: f(x)][eqn: =x ^{3} + LEFT ( 2a-1 RIGHT ) x ^{2} + LEFT ( b ^{2} -2a RIGHT ) x-b ^{2} `]이므로 조립제법에 의하여

[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2a-1]	[eqn: b ^{2} -2a]	[eqn: -b ^{2}]
		[eqn: 1]	[eqn: 2a]	[eqn: b ^{2}]
	[eqn: 1]	[eqn: 2a]	[eqn: b ^{2}]	[eqn: 0]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: =(x-1)(x ^{2} +2ax+b ^{2} )]
이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2} =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면 [eqn: {D} over {4} =a ^{2} -b ^{2} =(a-b)(a+b)`]이다.
이때 [eqn: a<b<0`]이면 [eqn: a-b<0], [eqn: a+b<0`]이므로 [eqn: D>0`]이 되어 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2} =0`]은 항상 서로 다른 두 실근을 갖는다. 한편 삼차방정식 [eqn: f(x)=0`]이 서로 다른 두 실근을 가지려면 이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2} =0`]이 [eqn: x=1`]을 근으로 가져야 하고 [eqn: 1+2a+b ^{2} =0`]이어야 한다.
예를 들어 [eqn: a=it-2], [eqn: b=it- sqrt {3}]이면
[eqn: a<b<0`]이고 [eqn: 1+2a+b ^{2} =0`]이며,
[eqn: f(x)][eqn: =(x-1)(x ^{2} -4x+3)][eqn: =(x-1) ^{2} (x-3)]이므로
방정식 [eqn: f(x)][eqn: =0]의 서로 다른 실근의 개수는 [eqn: 2]이다. (참)

ㄷ. 방정식 [eqn: f(x)=0`]이 서로 다른 세 실근을 가지므로
이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2}][eqn: =0`]이 [eqn: 1`]이 아닌 서로 다른 두 실근을 가져야 한다.
이차방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2}][eqn: =0`]의 서로 다른 두 실근의 합이 [eqn: -2a`]이므로 방정식 [eqn: f(x)=0`]의 서로 다른 실근의 합은 [eqn: 1+(-2a)][eqn: =7`]에서 [eqn: a][eqn: = it -3]
[eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2} =0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면
[eqn: {D} over {4} =a ^{2} -b ^{2} >0`]이어야 하므로 [eqn: b^2 <a^2 = 9]
또, [eqn: x=1`]이 방정식 [eqn: x ^{2} +2ax+b ^{2} =0`]의 근이 아니어야 하므로 [eqn: 1+2a+b^2 !=0], 즉 [eqn: b^2 !=5]
그러므로 두 정수 [eqn: a], [eqn: b`]의 순서쌍 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]는
[eqn: LEFT ( -3,```-2 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -3,```-1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -3,```0 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -3,```1 RIGHT )], [eqn: LEFT ( -3,```2 RIGHT ) `]이다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

21. [출제의도] 연립이차방정식과 이차함수의 그래프를 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(g(x))][eqn: =f(x)]에서

[eqn: LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} -2g(x)-3][eqn: =x ^{2} -2x-3]

[eqn: LEFT { g(x) RIGHT } ^{2} -x ^{2} -2 LEFT { g(x)-x RIGHT }][eqn: =0]

[eqn: LEFT { g(x)-x RIGHT } LEFT { g(x)+x-2 RIGHT }][eqn: =0]

따라서 [eqn: g(x)][eqn: =x] 또는 [eqn: g(x)][eqn: =it-x+2]이므로

[eqn: x ^{2} +2x+a][eqn: =x]

[eqn: x ^{2} +x+a=0]	…… ㉠

[eqn: x ^{2} +2x+a][eqn: =it-x+2]

[eqn: x ^{2} +3x+a-2=0]	…… ㉡

㉠의 판별식을 [eqn: D _{1}]이라 하면

[eqn: D _{1}][eqn: =1-4a]

㉡의 판별식을 [eqn: D _{2} `]라 하면

[eqn: D _{2}][eqn: =9-4(a-2)][eqn: =17-4a]

(ⅰ) 방정식 ㉠은 서로 다른 두 실근을 갖고, 방정식 ㉡이 실근을 갖지 않는 경우
[eqn: D _{1} >0`]에서
[eqn: a< {1} over {4}]
[eqn: D _{2} <0`]에서
[eqn: a> {17} over {4}]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅱ) 두 방정식 ㉠, ㉡이 중근을 갖는 경우
[eqn: D _{1} =0`]에서
[eqn: a= {1} over {4}]
[eqn: D _{2} =0`]에서
[eqn: a= {17} over {4}]
따라서 조건을 만족시키는 실수 [eqn: a`]의 값은 존재하지 않는다.

(ⅲ) 방정식 ㉠은 실근을 갖지 않고, 방정식 ㉡이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우
[eqn: D _{1} <0`]에서
[eqn: a> {1} over {4}]
[eqn: D _{2} >0`]에서
[eqn: a< {17} over {4}]
따라서 [eqn: {1} over {4}][eqn: <a][eqn: < {17} over {4}]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 정수 [eqn: a`]는 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]이므로 개수는 [eqn: 4`]이다.

[참고]

함수 [eqn: g(x)]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1]이고 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: x= it -1`]에 대하여 대칭이다. 즉, 이차함수의 그래프에서 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]가 되려면 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 두 직선 [eqn: y=x] 또는 [eqn: y=it-x+2`]와 만나는 모든 서로 다른 점의 개수가 [eqn: 2`]이어야 하므로 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]와는 만나지 않고, 함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=it-x+2`]와 서로 다른 두 점에서 만나야 한다. 즉, 방정식 ㉠의 실근의 개수가 [eqn: 0], 방정식 ㉡의 서로 다른 실근의 개수가 [eqn: 2`]이어야만 한다.

22. [출제의도] 조합의 수를 계산한다.

[eqn: {}_{5} rm C _{1} + _{5} rm C _{2}][eqn: =5+ {5times4} over {2times1}]
[eqn: =5+10]
[eqn: =15]

23. [출제의도] 충분조건을 이용하여 포함되는 집합을 구한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면 [eqn: P SUBSET Q`]이므로

[eqn: k>6], [eqn: k+2<12]

[eqn: 6<k<10]

따라서 정수 [eqn: k`]는 [eqn: 7], [eqn: 8`], [eqn: 9`]이므로 정수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 7+8+9][eqn: =24`]이다.

24. [출제의도] 함수의 정의를 이용하여 조건을 만족시키는 경우의 수를 구한다.

[eqn: x][eqn: =1`]일 때, [eqn: f(1)`]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 3], [eqn: 4`]로 경우의 수는 [eqn: 2`]이다.

[eqn: x=2`]일 때, [eqn: f(2)`]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]로 경우의 수는 [eqn: 3`]이다.

[eqn: x=3`]일 때, [eqn: f(3)`]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]로 경우의 수는 [eqn: 4`]이다.

[eqn: x=4`]일 때, [eqn: f(4)`]의 값이 될 수 있는 것은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4`]로 경우의 수는 [eqn: 4`]이다.

따라서 구하는 경우의 수는 [eqn: 2 TIMES 3 TIMES 4 TIMES 4][eqn: =96`]이다.

25. [출제의도] 집합의 포함관계를 이용하여 조건에 맞는 집합을 추론한다.

[eqn: sqrt {25} =5`]이므로

[eqn: A _{25}][eqn: = LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]

[eqn: 1 LEQ][eqn: sqrt {n}][eqn: <7`]이면

[eqn: A _{n} SUBSET A _{25} `]이므로

[eqn: 1 LEQ][eqn: n][eqn: <49]

따라서 자연수 [eqn: n`]의 최댓값은 [eqn: 48`]이다.

26. [출제의도] 인수분해를 이용하여 큰 수의 제곱근의 값을 구한다.

[eqn: x=10`]이라 하면

[eqn: 10 TIMES 13 TIMES 14 TIMES 17+36]

[eqn: =x LEFT ( x+3 RIGHT ) LEFT ( x+4 RIGHT ) LEFT ( x+7 RIGHT ) +36]

[eqn: =(x^2 +7x )(x^2 +7x+12)+36`]

[eqn: =(x^2 +7x )^2 +12(x^2 +7x)+36`]

[eqn: =(x^2 +7x+6 )^2`]

[eqn: = LEFT ( 100+70+6 RIGHT ) ^{2}]

[eqn: =176 ^{2}]

따라서

[eqn: sqrt {10 TIMES 13 TIMES 14 TIMES 17+36}][eqn: =176]

27. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 접선의 기울기를 구하는 문제를 해결한다.

원 [eqn: ` LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} `]의 중심을 [eqn: rm C`]라 하면 좌표는 [eqn: rm C LEFT ( {5} over {2} ,```0 RIGHT ) `]이다.

원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA`]라 하고 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 원 [eqn: C`] 위의 점이고 선분 [eqn: rm OA`]가 원 [eqn: C`]의 지름이므로 [eqn: rm ANGLE OPA=90°`]

삼각형 [eqn: rm OAP`]에서 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm AP it}}][eqn: = sqrt {{bar{rm OA it}} ^{2} - {bar{rm OP it}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}}]
[eqn: =4]

삼각형 [eqn: rm OAP`]와 삼각형 [eqn: rm OPH`]에서

[eqn: rm ANGLE OPA][eqn: = rm ANGLE OHP][eqn: =90°]

[eqn: rm ANGLE AOP][eqn: = rm ANGLE POH]

[eqn: rm TRIANGLE OAP□triangleOPH] ([eqn: because][eqn: rm AA`]닮음)

[eqn: {bar{rm OA it}} : {bar{rm OP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm OH it}} `]이고

조건 (가)에서 [eqn: {bar{rm OP it}} =3`]이고 [eqn: {bar{rm OA it}} =5`]이므로

[eqn: 5:3=3: {bar{rm OH}}]

[eqn: {bar{rmOH it}}][eqn: = {9} over {5}]

[eqn: {bar{rm OH it rm }} : {bar{rm HP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm PA it}}]

[eqn: {9} over {5} : {bar{rm HP it rm }}][eqn: =3:4]

[eqn: bar{rmHP{it}}][eqn: = {12} over {5}]

따라서 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( {9} over {5} ,``` {12} over {5} RIGHT )]이다.

[eqn: rmC LEFT ( {5} over {2} ,```0 RIGHT )]이므로 직선 [eqn: rmCP`]의 기울기는

[eqn: {- {12} over {5}} over {{5} over {2} - {9} over {5}}][eqn: = {- {24} over {10}} over {{7} over {10}}]
[eqn: = it - {24} over {7}]

점 [eqn: rmP`]에서의 접선과 직선 [eqn: rm CP`]는 서로 수직이고

두 직선의 기울기의 곱이 [eqn: -1`]이므로

점 [eqn: rm P`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {7} over {24}]

따라서 [eqn: p=24], [eqn: q=7`]이므로

[eqn: p+q][eqn: =31]

[다른 풀이 1]

원 [eqn: ` LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} `]의 중심을 [eqn: rm C`]라 하면 좌표는 [eqn: rm C LEFT ( {5} over {2} ,```0 RIGHT ) `]이다.

원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA`]라 하고 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 원 [eqn: C`] 위의 점이고 선분 [eqn: rm OA`]가 원 [eqn: C`]의 지름이므로 [eqn: rm ANGLE OPA=90°`]

삼각형 [eqn: rm OAP`]에서 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm AP it}}][eqn: = sqrt {{bar{rm OA it}} ^{2} - {bar{rm OP it}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}}]
[eqn: =4]

삼각형 [eqn: rm OAP`]와 삼각형 [eqn: rm OPH`]에서

[eqn: rm ANGLE OPA][eqn: = rm ANGLE OHP][eqn: =90°]

[eqn: rm ANGLE AOP][eqn: = rm ANGLE POH]

[eqn: rm TRIANGLE OAP□triangleOPH] ([eqn: because][eqn: rm AA`]닮음)

[eqn: {bar{rm OA it}} : {bar{rm OP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm OH it}} `]이고

조건 (가)에서 [eqn: {bar{rm OP it}} =3`]이고 [eqn: {bar{rm OA it}} =5`]이므로

[eqn: 5:3=3: {bar{rm OH}}]

[eqn: {bar{rmOH it}}][eqn: = {9} over {5}]

[eqn: {bar{rm OH it rm }} : {bar{rm HP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm PA it}}]

[eqn: {9} over {5} : {bar{rm HP it rm }}][eqn: =3:4]

[eqn: bar{rmHP{it}}][eqn: = {12} over {5}]

따라서 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( {9} over {5} ,``` {12} over {5} RIGHT )]이다.

원 [eqn: ` LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} `]과 점 [eqn: rmP LEFT ( it {9} over {5} ,``` {12} over {5} RIGHT ) `]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: - {5} over {2} `]만큼 평행이동한 원과 점을 각각 [eqn: C _{1}], [eqn: rmP _{1} `]이라 하면

[eqn: C _{1} :`x ^{2} +y ^{2} = {25} over {4}], [eqn: rm P _{1} LEFT ( it - {7} over {10} ,``` {12} over {5} RIGHT )]

원 [eqn: C _{1}] 위의 점 [eqn: rmP _{1} `]에서의 접선의 방정식은

[eqn: - {7} over {10} x+ {12} over {5} y= {25} over {4}]

위의 직선의 기울기는

[eqn: {{7} over {10}} over {{12} over {5}}][eqn: = {7} over {24}]

이고 이 직선은 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선과 서로 평행하므로 원 [eqn: C] 위의 점 [eqn: rmP`]에서의 접선의 기울기는 [eqn: {7} over {24} `]이다.

따라서 [eqn: p=24], [eqn: q=7`]이므로

[eqn: p+q][eqn: =31]

[다른 풀이 2]

원 [eqn: ` LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} `]의 중심을 [eqn: rm C`]라 하면 좌표는 [eqn: rm C LEFT ( {5} over {2} ,```0 RIGHT ) `]이다.

원이 [eqn: x`]축과 만나는 점 중 원점이 아닌 점을 [eqn: rmA`]라 하고 점 [eqn: rm P`]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H`]라 하자.

점 [eqn: rm P`]가 원 [eqn: C`] 위의 점이고 선분 [eqn: rm OA`]가 원 [eqn: C`]의 지름이므로 [eqn: rm ANGLE OPA=90°`]

삼각형 [eqn: rm OAP`]에서 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: {bar{rm AP it}}][eqn: = sqrt {{bar{rm OA it}} ^{2} - {bar{rm OP it}} ^{2}}]
[eqn: = sqrt {5 ^{2} -3 ^{2}}]
[eqn: =4]

삼각형 [eqn: rm OAP`]와 삼각형 [eqn: rm OPH`]에서

[eqn: rm ANGLE OPA][eqn: = rm ANGLE OHP][eqn: =90°]

[eqn: rm ANGLE AOP][eqn: = rm ANGLE POH]

[eqn: rm TRIANGLE OAP□triangleOPH] ([eqn: because][eqn: rm AA`]닮음)

[eqn: {bar{rm OA it}} : {bar{rm OP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm OH it}} `]이고

조건 (가)에서 [eqn: {bar{rm OP it}} =3`]이고 [eqn: {bar{rm OA it}} =5`]이므로

[eqn: 5:3=3: {bar{rm OH}}]

[eqn: {bar{rmOH it}}][eqn: = {9} over {5}]

[eqn: {bar{rm OH it rm }} : {bar{rm HP it}}][eqn: = {bar{rm OP it}} : {bar{rm PA it}}]

[eqn: {9} over {5} : {bar{rm HP it rm }}][eqn: =3:4]

[eqn: bar{rmHP{it}}][eqn: = {12} over {5}]

따라서 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( {9} over {5} ,``` {12} over {5} RIGHT )]이다.

점 [eqn: rmP`]를 지나고 기울기가 [eqn: m`]인 직선의 방정식은

[eqn: y][eqn: =m LEFT ( x- {9} over {5} RIGHT ) + {12} over {5}]

[eqn: 5mx-5y-9m+12=0]

위의 직선이 원 [eqn: ` LEFT ( x- {5} over {2} RIGHT ) ^{2} +y ^{2} = LEFT ( {5} over {2} RIGHT ) ^{2} `]에 접하므로 원의 중심 [eqn: rm C LEFT ( {5} over {2} ,```0 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: 5mx-5y-9m+12=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이 [eqn: {5} over {2} `]와 같다.

[eqn: {LEFT | {25} over {2} m-9m+12 RIGHT |} over {sqrt {LEFT ( 5m RIGHT ) ^{2} + LEFT ( -5 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: = {5} over {2}]

[eqn: {LEFT | {7} over {2} m+12 RIGHT |} over {5 sqrt {m ^{2} +1}}][eqn: = {5} over {2}]

[eqn: 25 sqrt {m ^{2} +1} = LEFT | 7m+24 RIGHT |]

위 식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 625m ^{2} +625][eqn: =49m ^{2} +336m+576]

[eqn: 576m ^{2} -336m+49=0]

[eqn: LEFT ( 24m-7 RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: m= {7} over {24}]

따라서 [eqn: p=24], [eqn: q=7`]이므로

[eqn: p+q][eqn: =31]

28. [출제의도] 원의 방정식과 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 원의 평행이동을 추론한다.

원 [eqn: C _{1} `]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 2+m,```3 RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: LEFT ( 2+m,```3 RIGHT ) `]과 직선 [eqn: 4x-3y=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 [eqn: 3`]보다 작다. 즉,

[eqn: {LEFT | 4 LEFT ( 2+m RIGHT ) -9 RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: <3]

[eqn: -15<4m-1<15]

[eqn: -14<4m<16]

[eqn: - {7} over {2} <m<4]

조건 (가)를 만족시키는 자연수 [eqn: m`]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3`]이다.

(ⅰ) [eqn: m=1`]일 때,
원 [eqn: C _{2} `]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 3,```3+n RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: LEFT ( 3,```3+n RIGHT ) `]과 직선 [eqn: 4x-3y=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 [eqn: 3`]보다 작다.
[eqn: {LEFT | 12-3 LEFT ( 3+n RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: <3]
[eqn: -15<3n-3<15]
[eqn: -12<3n<18]
[eqn: -4<n<6]
따라서 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5`]이므로 이 경우 [eqn: m+n`]의 최댓값은 [eqn: 6`]이다.

(ⅱ) [eqn: m=2`]일 때,
원 [eqn: C _{2} `]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 4,```3+n RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: LEFT ( 4,```3+n RIGHT ) `]과 직선 [eqn: 4x-3y=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 [eqn: 3`]보다 작다.
[eqn: {LEFT | 16-3 LEFT ( 3+n RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: <3]
[eqn: -15<3n-7<15]
[eqn: -8<3n<22]
[eqn: - {8} over {3} <n< {22} over {3}]
따라서 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7`]이므로 이 경우 [eqn: m+n`]의 최댓값은 [eqn: 9`]이다.

(ⅲ) [eqn: m=3`]일 때,
원 [eqn: C _{2} `]의 중심의 좌표는 [eqn: LEFT ( 5,```3+n RIGHT ) `]이므로 점 [eqn: LEFT ( 5,```3+n RIGHT ) `]과 직선 [eqn: 4x-3y=0] 사이의 거리는 원의 반지름의 길이인 [eqn: 3`]보다 작다.
[eqn: {LEFT | 20-3 LEFT ( 3+n RIGHT ) RIGHT |} over {sqrt {4 ^{2} + LEFT ( -3 RIGHT ) ^{2}}}][eqn: <3]
[eqn: -15<3n-11<15]
[eqn: -4<3n<26]
[eqn: - {4} over {3} <n< {26} over {3}]
따라서 자연수 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 3], [eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8`]이므로 이 경우 [eqn: m+n`]의 최댓값은 [eqn: 11`]이다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 [eqn: m+n`]의 최댓값은 [eqn: 11`]이다.

29. [출제의도] 다항식의 나눗셈과 나머지 정리를 이용하여 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 다항식 [eqn: f(x)`]를 다항식 [eqn: g(x)`]로 나눈 나머지가 [eqn: g(x)-2x ^{2} `]이고 나머지 [eqn: g(x)-2x ^{2} `]의 차수는 다항식 [eqn: g(x)`]의 차수보다 작아야 하므로 다항식 [eqn: g(x)`]는 최고차항의 계수가 [eqn: 2`]인 이차식이다. 즉,

[eqn: g(x)][eqn: =2x ^{2} +ax+b]([eqn: a], [eqn: b`]는 상수)

조건 (가)를 식으로 나타내면

[eqn: f(x)][eqn: =g(x) LEFT { g(x)-2x ^{2} RIGHT } +g(x)-2x ^{2}]
[eqn: = LEFT { g(x)+1 RIGHT } LEFT { g(x)-2x ^{2} RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( 2x ^{2} +ax+b+1 RIGHT ) LEFT ( ax+b RIGHT )]

[eqn: f(x)`]의 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: a= {1} over {2}]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} + {1} over {2} x+b+1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} x+b RIGHT )]

조건 (나)에서 나머지 정리에 의해 [eqn: f(1)=it- {9} over {4} `]이므로

[eqn: f(1)][eqn: = LEFT ( 2+ {1} over {2} +b+1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} +b RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( b+ {7} over {2} RIGHT ) LEFT ( b+ {1} over {2} RIGHT )]
[eqn: =b ^{2} +4b+ {7} over {4}]
[eqn: =it- {9} over {4}]

[eqn: b ^{2} +4b+4=0]

[eqn: LEFT ( b+2 RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: b= it -2]

따라서 [eqn: f(x)][eqn: = LEFT ( 2x ^{2} + {1} over {2} x-1 RIGHT ) LEFT ( {1} over {2} x-2 RIGHT ) `]이고

[eqn: f(6)][eqn: = LEFT ( 72+3-1 RIGHT ) times LEFT ( 3-2 RIGHT )]
[eqn: =74]

30. [출제의도] 유리함수의 그래프와 이차함수의 그래프를 이용하여 함수를 구하는 문제를 해결한다.

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

함수 [eqn: g(x)`]는 [eqn: x<5`]에서 [eqn: x`]의 값이 커지면 [eqn: g(x)`]의 값도 커지므로 [eqn: g(t)<g(t+2)`]이다.

[eqn: t<1`]일 때 [eqn: h(t)=f(g(t+2))`]이고 [eqn: g(t)le{x}le{g(t+2)`]이므로 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=g(t+2)`]에서 최솟값을 갖는다. 따라서 [eqn: g(t)le{x}le{g(t+2)`]에서 [eqn: x`]의 값이 커지면 [eqn: f(x)`]의 값은 작아진다.

[eqn: 1{le}t<3`]일 때 [eqn: h(t)=6`]이므로 [eqn: g(t)le{x}le{g(t+2)`]에서 [eqn: f(x)`]의 최솟값이 [eqn: 6`]으로 일정하므로 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프의 꼭짓점의 좌표를 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]라 하면 [eqn: a`]는 [eqn: 1{le}t<3`]인 모든 [eqn: t`]에 대하여 [eqn: g(t) LEQ a LEQ g(t+2)`]이어야 하므로 [eqn: a=g(3)`]이고, [eqn: b=6`]이다.

한편 [eqn: g(3)][eqn: =2`]이므로

[eqn: f(x)][eqn: =alpha LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +6]

[eqn: h(-1)=7`]에서 [eqn: h(-1)][eqn: =f(g(1))][eqn: =7]

[eqn: g(1)][eqn: = {3} over {2} `]에서

[eqn: f LEFT ( {3} over {2} RIGHT )][eqn: =alpha LEFT ( {3} over {2} -2 RIGHT ) ^{2} +6]
[eqn: = {alpha} over {4} +6]
[eqn: =7]

[eqn: alpha=4]

[eqn: f(x)][eqn: =4 LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} +6]

[eqn: f(5)][eqn: =4times3 ^{2} +6]
[eqn: =42]