나형 정답

1	③	2	②	3	④	4	③	5	④
6	②	7	②	8	⑤	9	④	10	①
11	⑤	12	④	13	①	14	③	15	⑤
16	③	17	②	18	③	19	①	20	⑤
21	①	22	[eqn: 2]	23	[eqn: 21]	24	[eqn: 60]	25	[eqn: 43]
26	[eqn: 84]	27	[eqn: 20]	28	[eqn: 112]	29	[eqn: 144]	30	[eqn: 82]

해 설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: 24 TIMES 2^-3 =24 times 1 over8 =3`]

2. [출제의도] 수열의 극한　계산하기

[eqn: lim _{ n->inf } { {2n^2 -6}over{n^2 +n}`][eqn: =lim _{ n->inf } {{2- 6 overn^2} over{1+ 1 overn}}`][eqn: =2`]

3. [출제의도] 이항분포 평균 계산하기

[eqn: rm E(itX`) = 12 times 1 over3 = 4`]

4. [출제의도] 집합의 연산 이해하기

[eqn: A ^{C} `= LEFT { 1,``2,``3,``9,``10 RIGHT }`], [eqn: B= LEFT { 1,``3,``4,``7,``8,``9 RIGHT } `]

[eqn: A ^{C} ` SMALLINTER B``=` LEFT { 1,`3,`9 RIGHT }]

따라서 [eqn: 1+3+9=13`]

5. [출제의도] 명제와 조건 이해하기

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하면
[eqn: P`= LEFT { ``x`` LEFT | `k LEQ x LEQ k+3` RIGHT }`]

[eqn: Q`= LEFT { ``x`` LEFT | `3 LEQ x LEQ 10` RIGHT }`]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P subset Q `]

[eqn: 3 LEQ k`], [eqn: k+3 LEQ 10`]

[eqn: 3 LEQ k LEQ 7`]

따라서 실수 [eqn: k`]의 최댓값은 [eqn: 7`]

6. [출제의도] 사건의 독립 이해하기

두 사건 [eqn: A`]와 [eqn: B`]는 서로 독립이므로

[eqn: rm P( it A SMALLINTER B)= rm P( it A) TIMES rm P( it B)`]

[eqn: rm P( it A)=1- rmP left( it A^C `right)=1- 2 over3 = 1 over3`]

따라서 [eqn: rm P(itB)= {1} over {4}`]

7. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> -1-} {f(x)} `+ lim _{x` -> `1+} {f(x)} `=0+(-1)=rm-1`]

8. [출제의도] 함수의 미분가능성 이해하기

[eqn: lim _{x -> 2-} {(x ^{3} -ax+2)} = lim _{x -> 2+} {(5x-2a)=f(2)} `]

함수 [eqn: f(x)`]는 [eqn: x=2`]에서 연속이다.

[eqn: f`'(2)`]가 존재해야하므로

[eqn: lim _{ h->`0-} {{f(2+h) -f(2)} over h }]

[eqn: = lim _{h -> `0-} {{(2+h) ^{3} -a(2+h)+2-(10-2a)} over {h}}][eqn: =12 -a`]

[eqn: lim _{ h->`0+} {{f(2+h) -f(2)} over h }]

[eqn: = lim _{h -> `0+} {{5(2+h)-2a-(10-2a)} over {h}}][eqn: =5`]

[eqn: 12-a =5]

따라서 [eqn: a=7`]

9. [출제의도] 무리함수 이해하기

함수 [eqn: y={rm-} sqrt {x+3} +a`]는 닫힌 구간 [eqn: [`-2,` 6`]`]에서 감소한다.

[eqn: x={rm}-2`]일 때, 최댓값 [eqn: 1`]을 가지므로

[eqn: 1={rm-} sqrt {-2+3} +a`], [eqn: a=2`]

[eqn: x=6`]일 때, 최솟값 [eqn: m`]을 가지므로
[eqn: m={rm-} sqrt {6+3} +2`], [eqn: m=rm-1]

따라서 [eqn: am=rm-2`]

10. [출제의도] 조건부확률을 활용하여 문제해결
하기

역사 동아리 학생 중 임의로 선택한 [eqn: 1`]명이

박물관 [eqn: rm A`]를 선택한 학생인 사건을 [eqn: X`],

[eqn: 1`]학년 학생인 사건을 [eqn: Y `]라 하면

[eqn: rm P it (Y``|`X)= {rm P it (X` SMALLINTER Y)} over {rm P it (X)} = {{9} over {32}} over {{24} over {32}} = {9} over {24} = {3} over {8} `]

11. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: f` prime (x)=3x ^{2} -2x+7`]

[eqn: f(x)=x^3 -x^2 +7x+C`][eqn: f(1)=1-1+7+C=0`], [eqn: C=rm-7`]

따라서 [eqn: f(2)=11`]

12. [출제의도] 여러 가지 수열의 합을 활용하여
문제해결하기

[eqn: a_n = n^3 + (1-n)n^2 +n=n(n+1)`]

[eqn: sum _{ n=1} ^{10 } ``{1 over n(n+1)} `][eqn: = sum _{ n=1} ^{10 } ``{ left(1 over n - 1 over n+1 right)}`]

[eqn: =left( 1 - 1 over2 right) +left( 1 over2 - 1 over3 right) +` cdots` + left( 1 over10 - 1 over 11 right)`]

[eqn: = 1- 1 over11 = 10 over11`]

13. [출제의도] 수열의 귀납적 정의 이해하기

[eqn: a _{n+2} =a _{n+1} -2a _{n} +5`]

[eqn: a _{3} =`3-4+5=4`]

[eqn: a _{4} =4-6+5=3`]

[eqn: a _{5} =3-8+5=0`]

[eqn: a _{6} =`0-6+5=rm-1`]

따라서 [eqn: a _{6} =rm-1`]

14. [출제의도] 정적분을 활용하여 속도와 거리
이해하기

두 점 [eqn: rm P`], [eqn: rm Q`]가 출발 후 [eqn: t=a`][eqn: `(][eqn: a>0][eqn: )`]에서
다시 만나므로

[eqn: int _{0} ^{a} { (3t ^{2} +6t-6)dt}`= int _{0} ^{a} { (10t-6)dt}`]

[eqn: a ^{3} +3a ^{2} -6a =5a ^{2} -6a`]

[eqn: a ^{3} -2a ^{2} =a ^{2} (a-2)=0]

따라서 [eqn: a=2`]

15. [출제의도] 같은 것이 있는 순열을 활용하여
문제해결하기

(ⅰ) [eqn: 6,~6,~2`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: {3!} over {2!} =3`]

(ⅱ) [eqn: 6,~5,~3`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: 3! = 6]

(ⅲ) [eqn: 6,~4,~4`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: {3!} over {2!} =3`]

(ⅳ) [eqn: 5,~5,~4`]인 경우 순서쌍의 개수 [eqn: 3! over2! =3`]

따라서 [eqn: 3+6+3+3=15]

(다른 풀이)

[eqn: a=6-a'], [eqn: b=6-b'], [eqn: c=6-c'] 이라 하자.

[eqn: (6-a')+(6-b')+(6-c')=14`]

[eqn: a`'+b`'+c`' =4`](단, [eqn: a` prime ,`b` prime ,`c` prime `]은 음이 아닌 정수)

따라서 [eqn: rm{}_3 H_4 = {}_6 C_4 ={}_6 C_2 =15`]

16. [출제의도] 합성함수를 이용하여 문제해결하기

[eqn: (f circ f)(x)`= {cases{````2f(x) _{{}_{{}_{}} ~~~~~~~}` LEFT ( 0 LEQ f(x)<1 RIGHT )#``-f(x)+3~ LEFT ( 1 LEQ f(x) LEQ 2 RIGHT )}}]

[eqn: (f CIRC f)(x)`= cases { ````4x_{}_{}_{} ~~~~~~~~ LEFT ( 0 LEQ x< {1} over {2} RIGHT )#``-2x+3_{}_{}_{}~~~ LEFT ( {1} over {2} LEQ x <1 RIGHT ) #````x_{}_{}_{}~~~~~~~~~ LEFT ( 1 LEQ x LEQ 2 RIGHT )}]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 1]

[eqn: {1} over {2}]

[eqn: 2]

[eqn: y= {1} over {2} x+1]

[eqn: y= LEFT ( f` CIRC `f` RIGHT ) `(x)`]

따라서 교점의 개수는 3

17. [출제의도] 함수의 그래프를 활용하여 문제
해결하기

조건(가)와 조건(나)를 만족시키는
함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 5]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=p]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: f(x)-p =(x-2)^2 (x-5)`]

[eqn: f(0)=0`]이므로 [eqn: p=20`]

[eqn: f(x)=(x-2)^2 (x-5) +20`][eqn: =x^3 -9x^2 +24x`]

[eqn: int _{0} ^{2} {f (x)dx][eqn: = int _{0} ^{2} {LEFT ( x^3 -9x^2 +24x RIGHT )dx}]

[eqn: = left[ 1 over4 x^4 -3x^3 +12x^2 right]_0 ^2 =28`]

18. [출제의도] 확률변수의 평균을 구하는 과정
추론하기

	공에 번호를 부여하는 모든 경우의 수를 [eqn: N`]이라 하면 [eqn: N`]은 서로 같은 흰 공 [eqn: 4`]개와 서로 같은 검은 공 [eqn: 3`]개를 일렬로 나열하는 경우의 수와 같으므로 [eqn: N= {BOX{~35~}} `]이고, 확률변수 [eqn: X`]가 가질 수 있는 값은 [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`]이다. (ⅰ) [eqn: X=2`]일 때, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 2`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 3`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 1 times { 5!} over { 2!times3!}`]이므로 [eqn: rm P it (X=2)= {10} over {N`}] (ⅱ) [eqn: X=3`]일 때, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개, 번호 [eqn: 3`]이 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: 2!times {4!} over {2!times2!} `]이므로 [eqn: rm P it (X=3)= {12} over {N`} `] (ⅲ) [eqn: X=4`]일 때, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 앞에 흰 공 [eqn: 1`]개와 검은 공 [eqn: 2`]개, 번호 [eqn: 4`]가 부여된 흰 공 뒤에 흰 공 [eqn: 2`]개와 검은 공 [eqn: 1`]개를 나열하는 경우의 수는 [eqn: box{~9~}`]이므로 [eqn: rm P it (X=4)= {box{~9~}} over {N`} `] (ⅳ) [eqn: X=5`]일 때, 확률질량함수의 성질에 의하여 [eqn: rm P it (X=5)=1- left{rm P it (X=2)] [eqn: + rm P it (X=3) +rm P it (X=4) right}`] 따라서 [eqn: rm E it (X)= sum _{k=2} ^{5} LEFT { k` TIMES ` rm P it (X=k) RIGHT } = {BOX{~ 16 over5 ~}}]

[eqn: a= {7!} over {4! TIMES 3!} =35`], [eqn: b = 3! over2! times 3! over2! =9`]

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과

같다.

[eqn: X`]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	합계
[eqn: {rmP}(X=x)`]	[eqn: 10 over35]	[eqn: {12} over {35}]	[eqn: {9} over {35}]	[eqn: {4} over {35}]	[eqn: 1]

[eqn: c=2 TIMES {10} over {35} +3 TIMES {12} over {35} +4 TIMES {9} over {35} +5 TIMES {4} over {35} = {16} over {5} `]

따라서 [eqn: a+b+5c =60`]

19. [출제의도] 등비급수를 활용하여 추론하기

[eqn: S_1 =2 times]{(부채꼴 [eqn: rm C _{3} C _{2} P _{1} `]의 넓이)

-(직각삼각형 [eqn: rm C _{3} C _{2} A _{2} `]의 넓이)}

[eqn: =2 TIMES LEFT ( {3 pi } over {4} - {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) = {{3 pi }-2 sqrt { 3}} over {2}`]

정삼각형 [eqn: rm A_{itn} B_{itn} C_{itn}`]의 한 변의 길이를 [eqn: a_n `]이라 하면
삼각형의 중점연결 정리에 의해

[eqn: a _{n+1} = {1} over {2} a _{n} `]이므로 그림 [eqn: R_n `]에 새로 색칠된
부분의 넓이를 [eqn: b_n `]이라 하면

[eqn: b_n+1 = 1 over4 b_n`], [eqn: b_1 =S_1 `]

수열 [eqn: left{ b_n right}`]은 첫째항이 [eqn: {{3 pi }-2 sqrt { 3}} over {2}`]이고

공비가 [eqn: {1} over {4}]인 등비수열이다.

[eqn: lim _{n -> INF } {`S _{`n}} = lim _{n -> INF } {`` sum _{k=1} ^{n} `b _{k}}]

[eqn: =` {{3 pi -2 sqrt {3}} over {2}} over {1- {1} over {4}} `=` {6 pi -4 sqrt {3}} over {3}`]

20. [출제의도] 정적분의 성질을 활용하여 참,
거짓 추론하기

ㄱ. [eqn: f`'(-x)={rm-}f`'(x)`]이고 [eqn: f`'(1)=0`]
[eqn: f` prime (-1)={rm-}f` prime (1)=0`] (참)

ㄴ. [eqn: f` prime (-1)=f` prime (1)=0`], [eqn: f`'(0)=0`]
[eqn: f` prime (x)=4x(x-1)(x+1)`]
[eqn: f(x)=x^4 -2x^2 +C]
[eqn: f(1)=2`], [eqn: C=3`]
[eqn: f(x)=x ^{4} -2x ^{2} +3`]
[eqn: f(-x)=f(x)`]이므로
[eqn: int _{ -k} ^{0 } { }f(x) dx = int _{0} ^{k } { }f(x) dx`] (참)

ㄷ. 함수 [eqn: f(x)=x ^{4} -2x ^{2} +3`]의 그래프는 그림과
같다.

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: y=f(x)`]

[eqn: -t]

[eqn: t]

[eqn: x={rm-}t`], [eqn: x=t`], [eqn: x`]축, [eqn: y=f(x)`]로
둘러싸인 영역의 넓이 [eqn: int _{ -t} ^{t } { }f(x) dx`]는
[eqn: x={rm-}t`], [eqn: x=t`], [eqn: x`]축, [eqn: y=3`]으로
둘러싸인 직사각형의 넓이 [eqn: 6t`]보다 작다. (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

21. [출제의도] 함수의 그래프 이해하기

[eqn: f(x)= {cases{``````````(x _{{}_{}} -1)(x _{{}_{}} -a)&~(x GEQ a) _{{}_{}}#``-(x-1)(x-a)&~(x<a)}} `]

함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: a<1`]일 때	(ⅱ) [eqn: a=1`]일 때
[eqn: a] [eqn: 1] [eqn: x]	[eqn: x] [eqn: 1]
(ⅲ) [eqn: a>1`]일 때
[eqn: x] [eqn: a] [eqn: 1]

함수 [eqn: f(x)`]의 극댓값이 [eqn: 1`]이므로 그래프의

개형은 (ⅲ)과 같아야 하고, 극댓값을 갖는

[eqn: x`]의 값은 [eqn: a+1 over2 `]

[eqn: f left(a+1 over2 right)= {rm-} left( a+1 over2 -1right)left( a+1 over2 -a right)=1`]

[eqn: (a-1)^2 over4 =1], [eqn: a>1]이므로 [eqn: a=3`]

그림과 같이 영역 [eqn: S_1`]의 넓이와 영역 [eqn: S_2 `]의 넓이
가 같으므로

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: 1]

[eqn: rmO]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: S _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: int _{ 0} ^{4 } {f(x)dx }`=int _{ 1} ^{3 }left {-(x-1)(x-3) right}dx`]

[eqn: = LEFT [ - {1} over {3} x ^{3} +2x ^{2} -3x RIGHT ] _{1}^{3} = {4} over {3} `]

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log` _{6} `3`+`log` _{6} `12=log` _{6} `36=2`]

23. [출제의도] 미분계수 계산하기

[eqn: f'(x)= 6x^2 -3`], [eqn: f prime (2)=21`]

24. [출제의도] 이항정리 이해하기

[eqn: LEFT ( 2x-1 RIGHT ) ^{6} = sum _{r=0} ^{6} ` _{6} rm C it rm _{r} (2x) ^{6-r} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{r}]

[eqn: 6-r=2`], [eqn: r=4`]

따라서 [eqn: x^2`]의 계수는 [eqn: {}_6 {rmC}_4 times 2^2 =60`]

25. [출제의도] 수열의 합과 일반항 사이의 관계
이해하기

[eqn: a _{2} =a _{1} +d=7]  [eqn: cdotscdots] ㉠

[eqn: S _{7} -S _{5} =a _{7} +a _{6} =2a _{1} +11d=50]  [eqn: cdotscdots] ㉡

두 식 ㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a_1 =3`], [eqn: d=4`]

[eqn: a _{11} =a _{1} +10d=43`]

26. [출제의도] 중복조합을 활용하여 문제해결하기

서로 다른 [eqn: 4`]개의 상자 중 빈 상자의 개수가 [eqn: 1`]인
경우의 수는 [eqn: 4`]

빈 상자가 아닌 서로 다른 [eqn: 3`]개의 상자에 넣은 공
의 개수를 각각 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]라 하자. 공을 넣는 경우의 수는 방정식 [eqn: a+b+c `=`8]을 만족시키는

자연수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 순서쌍 [eqn: (a,~b,~c)`]의 개수와
같으므로 [eqn: {}_3 rm H_5 = {}_7 C_5 = {}_7 C_2 = 21`]

따라서 [eqn: 4 times 21=84`]

27. [출제의도] 함수의 극한의 성질을 활용하여
문제해결하기

[eqn: g(x)=f(x)-x^2`]이라 하자.

[eqn: g(1)=f(1)-1=0`], [eqn: f(1)=1`]

[eqn: lim _{x -> 1 } {{g(x)-g(1)} over {x-1} =g` prime (1)={rm-2}]

[eqn: g`'(x)=f`'(x)-2x`], [eqn: f`'(1)=0`]

[eqn: f(x)=x ^{3} +ax ^{2} +bx+c`]라 하면

[eqn: f(0)=2`], [eqn: c=2`]

[eqn: f(1)=1+a+b+2`=1`], [eqn: a+b`=rm-2`]

[eqn: f`'(x)=3x ^{2} +2ax`+b`]

[eqn: f`'(1)=3+2a+b=0`], [eqn: 2a+b=rm-3`]

[eqn: a=rm-1`], [eqn: b=rm-1`]

따라서 [eqn: f`'(3)`=20`]

28. [출제의도] 표준정규분포를 활용하여 문제
해결하기

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: rm N` LEFT ( it`m`,`` 8 ^{2} ` RIGHT ) `]을 따른다.

조건 (가)를 만족시키는 정규분포의 확률밀도함수의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: 100+k]

[eqn: k]

[eqn: m]

[eqn: x]

[eqn: DLINE]

[eqn: DLINE]

[eqn: m-k=(100+k)-m`], [eqn: k=m-50`]

[eqn: rm P LEFT (it X GEQ 2k RIGHT ) = rm P LEFT (it Z GEQ m-100 over 8 RIGHT ) =0.0668`]

[eqn: 0.5- {rmP}LEFT ( Z GEQ {m-100} over {8} RIGHT )][eqn: = rm P LEFT ( 0 LEQ it Z LEQ m-100 over8 RIGHT ) =0.4332`]

[eqn: m-100 over8 =1.5`]

따라서 [eqn: m=112`]

29. [출제의도] 집합의 원소를 활용하여 추론하기

(ⅰ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2`]인 경우

[eqn: rm2 times left (rm {}_5 C_2 +{}_5 C_3 +{}_5 C_4 +{}_5 C_5 right)`]

[eqn: rm=2 times left (2^5 - rm {}_5 C _0 - {}_5 C _1 right)=52`]

(ⅱ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^2`]인 경우

[eqn: rm2^2 times left (rm {}_4 C_2 +{}_4 C_3 +{}_4 C_4 right)`]

[eqn: rm=2^2 times left (2^4 -rm {}_4 C _0 - {}_4 C _1 right)=44`]

(ⅲ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^3`]인 경우

[eqn: rm2^3 timesleft (rm {}_3 C_2 +{}_3 C_3 right)=32`]

(ⅳ) 가장 작은 원소가 [eqn: 2^4`]인 경우

[eqn: rm2^4 times {}_2 C_2`=16`]

따라서 [eqn: 52+44+32+16=144]

(다른 풀이)

각 부분집합에서 가장 작은 원소의 합은
[eqn: 2 TIMES 2 ^{5} +2 ^{2} TIMES 2 ^{4} +` CDOTS `+`2 ^{6} TIMES 1]

[eqn: =6 TIMES 2 ^{6} =384]

원소의 개수가 [eqn: 1`], [eqn: 2`]인 부분집합의 가장 작은
원소의 합은

[eqn: (2+2 ^{2} +2 ^{3} +2 ^{4} +2 ^{5} +2 ^{6} )]

[eqn: +(2 TIMES 5+2 ^{2} TIMES 4+2 ^{3} TIMES 3+2 ^{4} TIMES 2+2 ^{5} TIMES 1)]

[eqn: = {2 TIMES (2 ^{6} -1)} over {2-1} +(10+16+24+32+32)]

[eqn: =126+114=240]

따라서 [eqn: 384-240=144]

30. [출제의도] 함수의 연속성을 활용하여 문제
해결하기

함수 [eqn: y=|`f(x)`|`]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2 sqrt {3}]

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: y=|`f(x)`|]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

[eqn: 16]

함수 [eqn: g(t)`]가 [eqn: t=0`]에서 불연속이 되는 경우는

[eqn: f(a)=0`] 또는 [eqn: f(a)=16`]인 경우뿐이다.

(ⅰ) [eqn: f(a)=0`]인 경우
[eqn: a=rm-2 sqrt {3}], [eqn: a=2 sqrt {3} `]

① [eqn: a=rm-2 sqrt {3}]인 경우
[eqn: x < -2 sqrt {3} `]인 범위에서
[eqn: |`f(x)`|`= rm - it f(x)`]이므로
[eqn: -f'(-2 sqrt { 3})=rm-24`]
따라서 그림과 같이 [eqn: t=rm-24`]일 때

함수 [eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중

가장 작은 값은 [eqn: 0`]이 아니다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2 sqrt {3}]

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: y=|`f(x)`|]

② [eqn: a=2 sqrt {3}]인 경우
그림과 같이 점 [eqn: (2 sqrt {3} ,0)`]을 지나는 직선이
[eqn: -2<x<0`]인 범위에서 곡선 [eqn: y=|`f(x)`|]와
접할 때의 기울기 [eqn: t`]의 값 [eqn: t=k`]에 대하여
함수 [eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중 가장
작은 값은 [eqn: 0`]이 아니다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2 sqrt {3}]

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: y=|`f(x)`|]

[eqn: -2]

(ⅱ) [eqn: f(a)=16`]인 경우
[eqn: a=rm-2`], [eqn: a=4`]
[eqn: a=rm-2`]일 때, 그림과 같이
두 점 [eqn: (-2,`16)`], [eqn: (2 sqrt {3} ,`0)`]을 지나는 직선
의 기울기 [eqn: t`]의 값 [eqn: t=k`]에 대하여 함수
[eqn: g(t)`]가 불연속이므로 [eqn: k`]의 값 중 가장 작은
값은 [eqn: 0`]이 아니다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2 sqrt {3}]

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: y=|`f(x)`|]

따라서 주어진 조건을 만족하는 [eqn: a`]의 값은 [eqn: 4`]

그러므로 점 [eqn: (4,`16)`]을 지나고, 기울기가 [eqn: t`]인

직선과 함수 [eqn: y=|`f(x)`|`]의 그래프의 개형은 그림
과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: -2 sqrt {3}]

[eqn: 2 sqrt {3}]

[eqn: rmO]

[eqn: y=|`f(x)`|]

[eqn: (4,``16)]

직선 [eqn: y=t(x-4)+16]의 [eqn: x]절편이 [eqn: 4- {16} over {t}][eqn: (t!=0)]
이고, 곡선 [eqn: y=x^3 -12x] 위의 점 [eqn: (4,~16)`]에서의
접선의 기울기가 [eqn: 36`]이므로

[eqn: t=1`], [eqn: 2`]일 때, [eqn: g(t)=6`]

[eqn: t=3`]일 때, [eqn: g(t)=4`]

[eqn: t=4`]일 때, [eqn: g(t)=3`]

[eqn: t=5`], [eqn: 6`], [eqn: cdots`], [eqn: 35`]일 때, [eqn: g(t)=2`]

[eqn: t=36`]일 때, [eqn: g(t)=1`]

[eqn: sum _{n=1} ^{36} g(n)`=6 TIMES 2+4+3+2 TIMES 31+1=82]

(참고)

[eqn: a=4`]일 때, 함수 [eqn: y=g(t)`]의 그래프는 그림과
같다.

[eqn: rmO]

[eqn: t]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 4]

[eqn: 36]

[eqn: 8(2- sqrt {3} )]

[eqn: y=g(t)]