수학 영역

정 답

1	③	2	⑤	3	②	4	③	5	④
6	④	7	①	8	①	9	①	10	③
11	③	12	⑤	13	①	14	②	15	⑤
16	④	17	③	18	②	19	②	20	⑤
21	②	22	[eqn: 15]	23	[eqn: 4]	24	[eqn: 14]	25	[eqn: 22]
26	[eqn: 9]	27	[eqn: 6]	28	[eqn: 125]	29	[eqn: 2]	30	[eqn: 43]

해 설

1. [출제의도] 복소수 계산하기

[eqn: (1+2i)+(3-i)`][eqn: =(1+3)+left{2+ LEFT ( -1 RIGHT ) right}i`]

[eqn: =4+i`]

2. [출제의도] 다항식의 인수분해 계산하기

[eqn: x ^{3} -27= LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +3x+9 RIGHT ) `]이므로

[eqn: a=3`], [eqn: b=9`]

따라서 [eqn: a+b=12`]

3. [출제의도] 다항식의 연산 계산하기

[eqn: A+B=(x ^{2} -2x-4)+(2x-3)][eqn: =x ^{2} -7]

4. [출제의도] 두 점 사이의 거리 계산하기

[eqn: {bar{rm AB it}} = sqrt {(0-2) ^{2} +(a-0) ^{2}} `= sqrt {13} `]이므로

[eqn: a ^{2} +4=13`]

[eqn: a ^{2} =9] ([eqn: a>0])

따라서 [eqn: a=3`]

5. [출제의도] 항등식의 성질 이해하기

주어진 등식의 우변을 [eqn: x`]에 대하여 정리하면

[eqn: 2x ^{2} +3x+4=2x ^{2} +(4+a)x+(2+a+b)`]

항등식의 성질을 이용하여 양변의

동류항의 계수를 비교하면

[eqn: 4+a=3`], [eqn: 2+a+b=4`]

즉, [eqn: a=`-1`], [eqn: b=3`]

따라서 [eqn: a-b=`-4]

6. [출제의도] 이차방정식의 근의 판별 이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +4x+k-3=0`]이 실근을 가지려면

판별식을 [eqn: D`]라 할 때,

[eqn: {D} over {4} =4-(k-3) GEQ 0`] 즉, [eqn: k LEQ 7]

따라서 자연수 [eqn: k`]의 개수는 [eqn: 7]

7. [출제의도] 도형의 대칭이동 이해하기

직선 [eqn: y=ax-6`]을 [eqn: x`]축에 대하여 대칭이동한
직선은 [eqn: y=`-ax+6`]이고, 이 직선이

점 [eqn: (2,```4)`]를 지나므로 [eqn: 4=`-2a+6]

따라서 [eqn: a=1]

8. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계

이해하기

이차방정식 [eqn: x ^{2} +3x+1=0`]의 두 실근이

[eqn: alpha`], [eqn: beta`]이므로 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha `+ beta =`-3`], [eqn: alpha beta =1`]

[eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} -3 alpha beta = LEFT ( alpha + beta RIGHT ) ^{2} -5 alpha beta]

[eqn: =(-3) ^{2} -5 TIMES 1=4]

9. [출제의도] 점의 대칭이동 이해하기

[eqn: rm A(2,~3)`], [eqn: rm B(-2,~-3)`]이므로

[eqn: rm {bar{rm AB}} = sqrt {(-2-2) ^{2} +(-3-3) ^{2}} =2 sqrt {13} `]

10. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식

이해하기

부등식 [eqn: LEFT | 3x-2 RIGHT | le`a] ([eqn: a>0`])를 풀면

[eqn: {-a+2} over {3} LEQ `x` LEQ {a+2} over {3} `]이므로

[eqn: {a+2} over {3} =2`], [eqn: {-a+2} over {3} =b`]

즉, [eqn: a=4`], [eqn: b=`- {2} over {3} `]

따라서 [eqn: a+b= {10} over {3} `]

11. [출제의도] 복소수의 연산을 이용하여

수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 2-3i`], [eqn: 1+2i`], [eqn: 6+9i`]에서

[eqn: (2-3i)(6+9i)`=39`]

따라서 [eqn: a=39`]

12. [출제의도] 이차함수의 그래프 이해하기

두 이차함수 [eqn: y=`-(x-1) ^{2} +a`],

[eqn: y=2(x-1) ^{2} -1`]의 그래프의 축의 방정식은

[eqn: x=1`]로 서로 같다.

그림과 같이 두 이차함수의 그래프의 교점을

각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하면

두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`] 사이의 거리가 [eqn: 4`]이므로

두 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]의 [eqn: x`]좌표는 각각 [eqn: -1`], [eqn: 3`]

[eqn: x=3`]일 때, 두 이차함수의 함숫값이 같으므로

[eqn: -(3-1) ^{2} +a=2 LEFT ( 3-1 RIGHT ) ^{2} -1`]

따라서 [eqn: a=11`]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

[eqn: 3]

[eqn: x=1]

[eqn: y=2 LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} -1]

[eqn: y=`- LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +a]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

13. [출제의도] 연립방정식 이해하기

[eqn: {cases{x ^{2} -3xy+2y ^{2} =0&`` CDOTS ㉠#2x ^{2} -y ^{2} =2&`` CDOTS ㉡}}]

[eqn: ㉠`]의 좌변을 인수분해하면

[eqn: LEFT ( x-y RIGHT ) LEFT ( x-2y RIGHT ) =0`]에서

[eqn: y=x`] 또는 [eqn: y= {1} over {2} x`]

i) [eqn: y=x`]일 때 [eqn: ㉡`]에 대입하면

[eqn: x ^{2} =2`], [eqn: y ^{2} =2`]

따라서 [eqn: alpha ^{2} +beta ^{2} =4`]

ii) [eqn: y= {1} over {2} x`]일 때 [eqn: ㉡`]에 대입하면

[eqn: x ^{2} = {8} over {7} `], [eqn: y ^{2} = {2} over {7} `]

따라서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} = {10} over {7} `]

i), ii)에서 [eqn: alpha ^{2} + beta ^{2} `]의 최댓값은 [eqn: 4`]

14. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치

관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: x`]에 대한 이차함수 [eqn: y=x ^{2} -4kx+4k ^{2} +k`]의

그래프와 직선 [eqn: y=2ax+b`]가 접하려면

이차방정식 [eqn: x ^{2} -2(2k+a)x+4k ^{2} +k-b=0]의

판별식을 [eqn: D`]라 할 때,

[eqn: {D} over {4} =(2k+a) ^{2} -4k ^{2} -k+b]

[eqn: =(4a-1)k+a ^{2} +b=0] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: ㉠`]이 [eqn: k]의 값에 관계없이 성립하므로

[eqn: a= {1} over {4} `], [eqn: b=`- {1} over {16} `]

따라서 [eqn: a+b= {3} over {16}]

15. [출제의도] 선분의 내분을 이용하여

수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: 3x+4y-12=0]이 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축과 만나는 점은

각각 [eqn: rm A(4,```0)], [eqn: rmB(0,```3)`]이므로

선분 [eqn: rmAB`]를 [eqn: 2```:```1`]로 내분하는 점은 [eqn: rm P LEFT ( {4} over {3} ,```2 RIGHT )]

점 [eqn: rmP`]를 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 점은

각각 [eqn: rm Q LEFT ( {4} over {3} ,```-2 RIGHT )], [eqn: rm R LEFT ( - {4} over {3} ,```2` RIGHT )]이므로

삼각형 [eqn: rm RQP`]의 무게중심의 좌표 [eqn: LEFT ( a,```b RIGHT ) `]는

[eqn: LEFT ( {4} over {9} ,``` {2} over {3} RIGHT ) `]

따라서 [eqn: a+b`= {10} over {9}]

16. [출제의도] 선분의 내분을 이용하여

수학 내적 문제 해결하기

조건 (가)에 의해 [eqn: TRIANGLE rm ADE it □ TRIANGLE rm �ABC it `]

조건 (나)에 의해

삼각형 [eqn: rm ADE`]와 삼각형 [eqn: rm ABC`]의 넓이의 비가

[eqn: 1:9`]이므로 두 삼각형의 닮음비는 [eqn: 1:3`]

점 [eqn: rm E`]는 선분 [eqn: rm AC`]를 [eqn: 1:2`]로 내분하는 점이므로

[eqn: rm E(4,```3)`]

직선 [eqn: rmBE]의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} x+1`]

따라서 [eqn: k= {1} over {2} `]

17. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 수학 내적

문제 해결하기

[eqn: f(x)`]는 이차식, [eqn: g(x)`]는 일차식이므로

[eqn: f(x)-g(x)=0`]은 이차방정식이고

조건 (가)에 의해

[eqn: f(x)-g(x)=a(x-1) ^{2} `] ([eqn: a`]는 상수) [eqn: CDOTS ㉠`]

조건 (나)에 의해 [eqn: f(2)=2`], [eqn: g(2)=5`]

[eqn: ㉠`]에 [eqn: x=2`]를 대입하면

[eqn: f(2)-g(2)=a] 즉, [eqn: a=`-3`]

[eqn: f(x)-g(x)=`-3(x-1) ^{2}]

나머지정리에 의해 [eqn: f(-1)-g(-1)=`-12]

따라서 [eqn: -12]

18. [출제의도] 연립부등식을 이용하여 수학 외적

문제 해결하기

점 [eqn: rm A`]에서 선분 [eqn: rm CD`]에 내린 수선의 발을 [eqn: rmE`]라

하자.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: 30 DEG]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

[eqn: rm 60 DEG]

사각형 [eqn: rmACDB`]는 등변사다리꼴이고,

중앙 스크린의 가로인 선분 [eqn: rmAB`]의 길이가

[eqn: d`]([eqn: d>0`])이므로

[eqn: {bar{rm CE it}} =10- {1} over {2} d`], [eqn: {bar{rm AE it}} = sqrt {3} LEFT ( 10- {1} over {2} d` RIGHT ) `]

[eqn: {bar{rm AC it}} =2 LEFT ( 10- {1} over {2} d RIGHT ) `]

[eqn: d LEQ 4 TIMES 2 LEFT ( 10- {1} over {2} d RIGHT ) `]이므로

[eqn: d LEQ 16`] [eqn: cdots㉠`]

사다리꼴 [eqn: rm ACDB`]의 넓이가 [eqn: 75 sqrt {3}] 이하이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES (d+20) TIMES sqrt {3} LEFT ( 10- {1} over {2} d RIGHT ) LEQ 75 sqrt {3} `]

즉, [eqn: d LEQ -10`] 또는 [eqn: d GEQ 10`] [eqn: CDOTS ㉡`]

㉠, ㉡에 의해 [eqn: d LEQ -10`] 또는 [eqn: 10 LEQ d LEQ 16]

[eqn: d>0`]이므로 [eqn: 10 LEQ d LEQ 16`]

따라서 [eqn: d`]의 최댓값과 최솟값의 합은 [eqn: 26`]

19. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를

이용하여 추론하기

그림과 같이 세 점 [eqn: rmO`], [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 지나는 원 [eqn: C`]의
방정식은 [eqn: LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y+4 RIGHT ) ^{2} =25`]이므로

선분 [eqn: rmOA`]는 원 [eqn: C`]의 지름이다.

직선 [eqn: l _{1} `]은 직선 [eqn: rm OA`]와 수직이고 점 [eqn: rm O`]를
지나므로

직선 [eqn: l _{1} `]의 방정식은 [eqn: y= {BOX{~ {3} over {4} x~}} `]이다.

점 [eqn: rmA`]를 지나고 직선 [eqn: rmOB`]와
평행한 직선을 [eqn: l _{2} `]라 하면, 두 직선 [eqn: l _{1} `], [eqn: l _{2} `]가

만나는 점이 두 삼각형 [eqn: rm OAB`]와 [eqn: rm OPB`]의
넓이가 같게 되는 점 [eqn: rmP`]이다.

[eqn: rmP]

[eqn: rmO]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: l _{1}]

[eqn: l _{2}]

[eqn: rm Q]

[eqn: C]

직선 [eqn: l _{2} `]의 기울기와 직선 [eqn: rmOB`]의 기울기는 같고,
직선 [eqn: l _{2} `]는 점 [eqn: rmA`]를 지나므로

[eqn: y-(-8)=- {1} over {7} (x-6)`]

즉, 직선 [eqn: l _{2} `]의 방정식은 [eqn: y= {BOX{~- {1} over {7} x- {50} over {7} ~}} `]이다.

점 [eqn: rmP`]는 두 직선 [eqn: l _{1} `], [eqn: l _{2} `]가 만나는 점이므로

점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는
방정식 [eqn: - {1} over {7} x- {50} over {7} `= {3} over {4} x`]의 근이다.

즉, 점 [eqn: rmP]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: {BOX{````-8````}} `]이다.

따라서 선분 [eqn: rm QO`]의 길이는 [eqn: LEFT | ` {BOX{````-8````}} ` RIGHT | `]이다.

따라서 [eqn: f(x)= {3} over {4} x], [eqn: g(x)=`- {1} over {7} x- {50} over {7} `]

[eqn: k=`-8`]이므로

[eqn: f(2k)+g(-1)=`-19`]

20. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치

관계를 이용하여 추론하기

ㄱ. 최고차항의 계수가 [eqn: 1`]이고 [eqn: x]축과 만나는

점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 1`], [eqn: a`]이므로
[eqn: f(x)=(x-1)(x-a)]

따라서 [eqn: f(2)=2-a] (참)

ㄴ. 이차함수 [eqn: y=f(x)`]의 축의 방정식이

[eqn: x= {a+1} over {2} `]이므로

점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {a+1} over {2} `][eqn: cdots㉠`]

이차함수 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: rmPB`]의 방정식을

연립하여 정리하면

[eqn: (x-1)(x-a)=m(x-a)]

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-1-m RIGHT ) =0`]에서

[eqn: x=a`] 또는 [eqn: x=m+1`]이므로

점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: m+1`][eqn: CDOTS ㉡`]

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에 의해 [eqn: a=2m+1`][eqn: CDOTS ㉢`]

이차함수 [eqn: y=f(x)`]와 직선 [eqn: rmAQ`]의 방정식을

연립하여 정리하면

[eqn: (x-1)(x-a)=m(x-1)]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-m-a RIGHT ) =0`]에서

[eqn: x=1`] 또는 [eqn: x=m+a`]이므로

두 점 [eqn: rmQ`], [eqn: rmR`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: m+a`]

[eqn: ㉢`]에 의해 [eqn: {bar{rm AR it}} = LEFT ( a+m RIGHT ) -1=3m`] (참)

ㄷ. [eqn: {bar{rm BR it}} =m`], [eqn: {bar{rm QR it}} =m(a+m-1)=3m ^{2} `]이고,

삼각형 [eqn: rm BRQ`]의 넓이가 [eqn: {81} over {2} `]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES `m` TIMES 3m ^{2} = {81} over {2} `]

즉, [eqn: m=3`], [eqn: a=7`]

따라서 [eqn: a+m=10`] (참)

21. [출제의도] 원의 성질을 이용하여 추론하기

i) [eqn: a=0`]일 때, 직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: x= {3} over {2} `]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: l]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm C]

[eqn: {bar{rm OC it}} = {3} over {2} sqrt {2} `]

ii) [eqn: a!=0`]일 때,

[eqn: angle{rmAOB}=angle{rmACB}=90DEG`]이므로

네 점 [eqn: rmA`], [eqn: rmO`], [eqn: rmB`], [eqn: rmC`]가 한 원 위에 있고,

선분 [eqn: rmAB`]는 이 원의 지름이다.

이 원의 방정식은

[eqn: LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y- {a} over {2} RIGHT ) ^{2} = {a ^{2} +9} over {4}] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: {bar{rmAC}}={bar{rmBC}}`]이므로 점 [eqn: rmC`]는 선분 [eqn: rmAB`]의
수직이등분선 [eqn: l`]과 원이 만나는 점이다.

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y- {a} over {2} = {3} over {a} LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) `] [eqn: cdots㉡`]

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에 의해

[eqn: LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + {9} over {a ^{2}} LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} = {a ^{2} +9} over {4} `]

[eqn: LEFT ( x- {3} over {2} RIGHT ) ^{2} = {a ^{2}} over {4} `]

[eqn: x= {3+a} over {2}] 또는 [eqn: x= {3-a} over {2} `]

[eqn: ㉡`]에 대입하면 점 [eqn: rmC`]의 좌표는

[eqn: {rm C} LEFT ( {3+a} over {2} ,``` {3+a} over {2} RIGHT ) `] 또는 [eqn: rm C it LEFT ( {3-a} over {2} ,```- {3-a} over {2} RIGHT ) `]

[eqn: rmO] [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: l] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rm C]	[eqn: rmO] [eqn: rmA] [eqn: rm B] [eqn: l] [eqn: x] [eqn: y] [eqn: rm C]
①	②

① [eqn: {rm C} LEFT ( {3+a} over {2} ,``` {3+a} over {2} RIGHT ) `]일 경우

[eqn: {bar{rm OC it}} = sqrt {LEFT ( {3+a} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {3+a} over {2} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {2} LEFT | {3+a} over {2} RIGHT | `]

[eqn: -1 LEQ `a` LEQ 2]([eqn: a!=0`])이므로
[eqn: sqrt {2} LEQ {bar{rm OC it}} < {3 sqrt {2}} over {2}] 또는 [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} < {bar{rm OC it}} LEQ {5 sqrt {2}} over {2}]

② [eqn: rm C it LEFT ( {3-a} over {2} ,```- {3-a} over {2} RIGHT ) `]일 경우

[eqn: {bar{rm OC it}} = sqrt {LEFT ( {3-a} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( - {3-a} over {2} RIGHT ) ^{2}} = sqrt {2} ` LEFT | {3-a} over {2} RIGHT |]

[eqn: -1 LEQ `a` LEQ 2]([eqn: a!=0`])이므로
[eqn: {sqrt {2}} over {2} LEQ {bar{rm OC it}} < {3 sqrt {2}} over {2}] 또는 [eqn: {3 sqrt {2}} over {2} < {bar{rm OC it}} LEQ 2 sqrt {2}]

i), ii)에 의해 [eqn: M= {5} over {2} sqrt {2}], [eqn: m= {sqrt {2}} over {2}]

따라서 [eqn: {M} over {m} =5]

22. [출제의도] 다항식의 연산 계산하기

[eqn: (x+6) LEFT ( 2x ^{2} +3x+1 RIGHT ) =2x ^{3} +15x ^{2} +19x+6]

따라서 [eqn: x ^{2} `]의 계수는 [eqn: 15`]

23. [출제의도] 인수정리 이해하기

[eqn: f(x)=x ^{3} -2x-a`]라 하면

인수정리에 의해 [eqn: f(2)=8-4-a=0]

따라서 [eqn: a=4`]

24. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를

이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: y=2x+k`]를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: 2`]만큼,

[eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -3`]만큼 평행이동한

직선의 방정식은 [eqn: y+3=2(x-2)+k]

직선 [eqn: 2x-y-7+k=0]이 원과 한 점에서

만나므로

[eqn: {LEFT | -7+k RIGHT |} over {sqrt {2 ^{2} +(-1) ^{2}}} = sqrt {5} `] 즉, [eqn: |-7+k`|=5`]

[eqn: k=2`] 또는 [eqn: k=12`]

따라서 모든 상수 [eqn: k`]의 값의 합은 [eqn: 14`]

25. [출제의도] 이차함수의 최대, 최소 이해하기

[eqn: f(x)=2x ^{2} -4x+k`=2(x-1) ^{2} +k-2]

이차함수의 그래프의 꼭짓점의

[eqn: x`]좌표 [eqn: 1`]은 주어진 [eqn: x`]의 값의 범위에 속한다.

[eqn: f(-2)=k+16`], [eqn: f(1)=k-2`], [eqn: f(3)=k+6`]

[eqn: 1]

[eqn: k-2]

[eqn: x]

[eqn: 3]

[eqn: k+6]

[eqn: -2]

[eqn: k+16]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

함수 [eqn: f(x)`]의 최솟값은

[eqn: f(1)=k-2=1`]이므로 [eqn: k=3]

함수 [eqn: f(x)`]의 최댓값은

[eqn: M=f(-2)=16+k=19`]

따라서 [eqn: k+M=22]

26. [출제의도] 연립부등식 이해하기

[eqn: 3x-1<5x+3`]에서 [eqn: x>-2`] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: 5x+3le4x+a`]에서 [eqn: x LEQ a-3`] [eqn: CDOTS ㉡`]

두 부등식 [eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]을 만족시키는 정수 [eqn: x`]의

개수가 [eqn: 8`]이 되도록 수직선 위에 나타내면

[eqn: -2]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: a-3]

[eqn: x]

[eqn: 6 LEQ a-3<7`]

[eqn: 9 LEQ a<10`]

따라서 [eqn: a=9`]

27. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를

이용하여 수학 내적 문제 해결하기

원 [eqn: (x-a) ^{2} +(y-a) ^{2} =b ^{2} `]을 [eqn: y]축의 방향으로
[eqn: -2]만큼 평행이동한 도형은 중심이 [eqn: (a, ~a-2)], 반지름이 [eqn: a-2`]([eqn: a>2`])인 원이다.

또한 이 원이 직선 [eqn: y=x`]와 접하므로

[eqn: {LEFT | a-(a-2) RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +(-1) ^{2}}} =a-2]

[eqn: a=2+ sqrt {2}]

[eqn: b=a-2= sqrt {2}]

따라서 [eqn: a ^{2} -4b=6`]

[eqn: rmO]

[eqn: LEFT ( a,```a-2 RIGHT )]

[eqn: y=x]

[eqn: x]

[eqn: y]

28. [출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치

관계를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

직선 [eqn: l _{1} `]의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면

직선 [eqn: l _{1} `]의 방정식은

[eqn: y-1=m(x-1)]

직선 [eqn: l _{1} `]이 이차함수 [eqn: y=x ^{2} `]의 그래프와 접하므로

이차방정식 [eqn: x ^{2} -mx+m-1=0`]의 판별식을

[eqn: D`]라 할 때

[eqn: D=(-m) ^{2} -4(m-1)][eqn: =(m-2) ^{2} =0`]

즉, [eqn: m=2`]

직선 [eqn: l _{1} `]의 방정식은 [eqn: y=2x-1`]이므로

[eqn: rm Q( it 0,```-1)`]

두 직선 [eqn: l _{1} `], [eqn: l _{2} `]가 서로 수직이므로 직선 [eqn: l _{2} `]의

기울기는 [eqn: - {1} over {2} `]

직선 [eqn: l _{2} `]의 방정식은 [eqn: y=`- {1} over {2} x+ {3} over {2} ``]이고

[eqn: y=x ^{2} `]과 연립하여 정리하면

[eqn: 2x ^{2} +x-3=0`]

[eqn: (x-1)(2x+3)=0`]이므로 [eqn: rm R LEFT ( - {3} over {2} ,``` {9} over {4} RIGHT ) `]

[eqn: rm TRIANGLE PRQ= {1} over {2} TIMES {bar{rmPQ}} TIMES {bar{rmPR}}]

[eqn: = {1} over {2} TIMES sqrt {5} TIMES {5 sqrt {5}} over {4} = {25} over {8}]

따라서 [eqn: 40S=125`]

29. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를

이용하여 추론하기

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: x]

[eqn: y]

직선 [eqn: y=mx-m+1=m(x-1)+1`]은

[eqn: m`]의 값에 관계없이 점 [eqn: (1,```1)`]을 지난다.

점 [eqn: rmP`]의 [eqn: x]좌표는 점 [eqn: rmQ`]의 [eqn: x]좌표보다 크므로

[eqn: rmP(1,```1)]

[eqn: S _{1} =S _{2} `]이므로 [eqn: {bar{rm PQ it}} = {bar{rm OQ it}} `]

삼각형 [eqn: rm PQO`]가 이등변삼각형이므로

선분 [eqn: rmOP`]의 수직이등분선은 점 [eqn: rmQ`]를 지난다.

선분 [eqn: rmOP`]를 수직이등분하는 직선의 방정식은

[eqn: y- {1} over {2} =`- LEFT ( x- {1} over {2} RIGHT )]

즉, [eqn: y=`-x+1] [eqn: cdots㉠`]

[eqn: ㉠`]을 [eqn: x ^{2} + LEFT ( y-1 RIGHT ) ^{2} =1`]에 대입하여 정리하면

[eqn: x ^{2} +(-x+1-1) ^{2} =1]

즉, [eqn: x=`- {1} over {sqrt {2}} `] 또는 [eqn: x= {1} over {sqrt {2}} `]

[eqn: rmQ LEFT ( - {1} over {sqrt {2}} ,```1+ {1} over {sqrt {2}} ` RIGHT )] 또는 [eqn: rmQ LEFT ( {1} over {sqrt {2}} ,```1- {1} over {sqrt {2}} ` RIGHT )]

[eqn: m`]은 직선 [eqn: rmPQ`]의 기울기이므로

[eqn: m=1- sqrt {2} `] 또는 [eqn: m=1+ sqrt {2}]

따라서 모든 실수 [eqn: m`]의 값의 합은 [eqn: 2`]

참고로 [eqn: m=1+ sqrt {2}]일 때의 그림은 아래와 같다.

[eqn: rmO]

[eqn: rmP]

[eqn: rmQ]

[eqn: x]

[eqn: y]

30. [출제의도] 이차함수의 최대, 최소를

이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmP]

[eqn: rm Q]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm S]

[eqn: rm R]

[eqn: rmO]

[eqn: bar{rmAB}=5`]

선분 [eqn: rmPQ`]의 길이를 [eqn: a`]라 하면,

사각형 [eqn: rm PRSQ`]는 사다리꼴이므로 [eqn: {5} over {2} <a`<5`]

점 [eqn: rmC`]와 직선 [eqn: rmAB`]사이의 거리는 [eqn: {37}over{5}`] [eqn: cdots㉠`]

삼각형 [eqn: rmABC`]와 삼각형 [eqn: rmPQC`]는

닮음비가 [eqn: 5:a`]인 닮은 도형이므로

점 [eqn: rmC`]와 직선 [eqn: rmPQ`]사이의 거리는 [eqn: {37}over{25}a`] [eqn: cdots㉡`]

[eqn: ㉠`], [eqn: ㉡`]에 의해

사다리꼴 [eqn: rmPRSQ`]의 높이는 [eqn: {37} over {5} - {37} over {25} a`]

두 사각형 [eqn: rmBQPR`]와 [eqn: rmSQPA`]는

각각 평행사변형이므로

[eqn: {bar{rm BS it}} + {bar{rm SR it}} =a`= {bar{rm AR it}} + {bar{rm SR it}}] 즉, [eqn: {bar{rm BS it}} = {bar{rm AR it}} `]

[eqn: {bar{rm BS it}} + {bar{rm SR it}} + {bar{rm AR it}} = {bar{rm BS it}} +a=5`] 즉, [eqn: bar{rmBS}=5-a`]

[eqn: {bar{rm SR it}} =5-2 {bar{rm BS it}} `=5-2 LEFT ( 5-a RIGHT ) =2a-5]

사다리꼴 [eqn: rmPRSQ`]의 넓이를 [eqn: S(a)`]라 하면,

[eqn: LEFT . S(a)= {1} over {2} LEFT { (2a-5)+a RIGHT } LEFT ( {37} over {5} - {37} over {25} a` RIGHT ) `]

[eqn: =`- {111} over {50} LEFT ( a- {10} over {3} RIGHT ) ^{2} + {37} over {6} ````` LEFT ( {5} over {2} <a<5 RIGHT ) `]

이므로 [eqn: a= {10} over {3} `]일 때, [eqn: S(a)`]의 최댓값은 [eqn: {37} over {6} `]

따라서 [eqn: p+q`=43`]

[eqn: rmO]

[eqn: y=S(a)]

[eqn: {10} over {3}]

[eqn: a]

[eqn: y]

[eqn: {5} over {2}]

[eqn: 5]

[eqn: {37} over {6}]