수학 영역 (가형)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

수학 영역 (가형)

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

12

2019학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역 (가형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: LEFT ( 4 ^{{1} over {3}} RIGHT ) ^{3} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

2. [eqn: log _{`2} `12-log _{`2} `3`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

3. 반지름의 길이가 [eqn: 6`]이고 중심각의 크기가 [eqn: 5 over 6 pi`]인 부채꼴의 호의 길이는? [2점]

① [eqn: pi`]	② [eqn: 2pi`]	③ [eqn: 3pi`]	④ [eqn: 4pi`]	⑤ [eqn: 5pi`]

4. 실수 [eqn: x`]가 [eqn: 5` ^{x} = sqrt {3}]을 만족시킬 때, [eqn: 5` ^{2x} +5` ^{-2x} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {19} over {6}]	② [eqn: {10} over {3}]	③ [eqn: {7} over {2}]	④ [eqn: {11} over {3}]	⑤ [eqn: {23} over {6}]

5. [eqn: 0 LEQ x LEQ 2 pi `]일 때, 방정식

[eqn: 2cos` x - 1=0 `]

의 모든 해의 합은? [3점]

① [eqn: pi]	② [eqn: 3 over 2 pi]	③ [eqn: 2pi]	④ [eqn: 5 over 2 pi]	⑤ [eqn: 3pi]

6. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2` ^{x+3} -1 RIGHT . `]의 그래프의 점근선이 직선 [eqn: y=k`]일 때, [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) `]의 값은? (단, [eqn: k`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

7. 다음은 상용로그표의 일부이다.

이 표를 이용하여 구한 [eqn: log sqrt {6.04} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 0.3905]	② [eqn: 0.7810`]	③ [eqn: 1.3905`]

④ [eqn: 1.7810]	⑤ [eqn: 2.3905]

8. 좌표평면 위의 원점 [eqn: rm O`]에서 [eqn: x`]축의 양의 방향으로 시초선을 잡을 때, 원점 [eqn: rmO`]와 점 [eqn: rm P LEFT ( 5`,``12 RIGHT ) `]를 지나는 동경 [eqn: rmOP`]가 나타내는 각의 크기를 [eqn: theta`]라 하자. [eqn: sin` LEFT ( {3} over {2} pi+ theta RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: - {12} over {13} `]	② [eqn: - {7} over {13} `]	③ [eqn: - {5} over {13}]	④ [eqn: {5} over {13}]	⑤ [eqn: 7 over 13`]

9. [eqn: log `2=a`], [eqn: log` 3=b`]라 할 때, [eqn: log_{`5} `18`]을 [eqn: a`], [eqn: b`]로 나타낸 것은?

[3점]

① [eqn: {2a+b} over {1+a}]	② [eqn: {a+2b} over {1+a}]	③ [eqn: {a+b} over {1-a}]

④ [eqn: {2a+b} over {1-a}]	⑤ [eqn: {a+2b} over {1-a}]

10. 세 양수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]에 대하여 함수 [eqn: y=a`cos`bx`+c`]의 그래프가 그림과 같을 때, [eqn: 2a+b+c`]의 값은? [3점]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm 4]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: pi]

[eqn: -pi]

[eqn: -2]

[eqn: y=a`cos`bx`+c`]

① [eqn: 7]	② [eqn: 8]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 10]	⑤ [eqn: 11]

11. [eqn: -2 LEQ x LEQ 4`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{`x+a} `]의 최솟값이 [eqn: {1} over {8} `]일 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 최댓값은? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 4`]	④ [eqn: 8`]	⑤ [eqn: 16`]

12. 함수 [eqn: y=2+log _{`2} `x`]의 그래프를 [eqn: x`]축의 방향으로 [eqn: -8`]만큼, [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: k`]만큼 평행이동한 그래프가 제[eqn: 4`]사분면을 지나지 않도록 하는 실수 [eqn: k`]의 최솟값은? [3점]

① [eqn: -1]	② [eqn: -2]	③ [eqn: -3]	④ [eqn: -4]	⑤ [eqn: -5]

13. 부등식

[eqn: log _{`4} ` LEFT ( x+3 RIGHT ) -log _{`2} ` LEFT ( x-3 RIGHT ) ` GEQ 0`]

을 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x`]의 값의 합은? [3점]

① [eqn: 13]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 16]	⑤ [eqn: 17]

14. 양수 [eqn: a`]와 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]가

[eqn: 15 ^{`x} =8`], [eqn: a ^{`y} =2`], [eqn: {3} over {x} + {1} over {y} =2`]

를 만족시킬 때, [eqn: a`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1 over 15]	② [eqn: 2 over 15]	③ [eqn: 1 over 5]	④ [eqn: 4 over 15]	⑤ [eqn: 1 over 3]

15. 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원형 도선에 세기가 [eqn: I``]인 전류가 흐를 때, 원형 도선의 중심에서 수직 거리 [eqn: x`]만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 [eqn: B`]라 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: B`= {k`I``r ^{`2}} over {2(x ^{`2} +r ^{`2} ) ^{{3} over {2}}}] (단, [eqn: k`]는 상수이다.)

전류의 세기가 [eqn: I` _{0} `` LEFT ( I` _{0} >0 RIGHT ) `]으로 일정할 때, 반지름의 길이가 [eqn: r`_1 `]인 원형 도선의 중심에서 수직 거리 [eqn: x`_1 `]만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 [eqn: B`_1 `], 반지름의 길이가 [eqn: 3r`_1 `]인 원형 도선의 중심에서 수직 거리 [eqn: 3x`_1 `]만큼 떨어진 지점에서의 자기장의 세기를 [eqn: B`_2 `]라 하자. [eqn: {B`_2} over {B`_1 }`]의 값은? (단, 전류의 세기의 단위는 [eqn: rm A`],  자기장의 세기의 단위는 [eqn: rm T`], 길이와 거리의 단위는 [eqn: rmm`]이다.)

[4점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: 1 over 4 `]	③ [eqn: 1 over 3 `]	④ [eqn: 5 over 12 `]	⑤ [eqn: 1 over 2 `]

16. 다음은 [eqn: 0< theta <2 pi `]에서 [eqn: 3+2sin ^{2} ` theta + {1} over {3-2cos ^{2} ` theta } `]의 최솟값을 구하는 과정이다.

[eqn: 3+2sin ^{2} ` theta =t`]로 놓으면

[eqn: 3+2sin ^{2`} theta + {1} over {3-2cos ^{2} ` theta } =t+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{}^{{}^{}}} (가) _{{}_{}} ~~~}} ^{{}^{{}^{}}}}]

이다. [eqn: 0< theta <2 pi `]에서 [eqn: t GEQ 3`]이므로 [eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} (가) _{{} _{}} ~~~}} `][eqn: >0`]이다.

[eqn: t+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} (가) _{{} _{}} ~~~}} ^{{} ^{{} ^{}}} `} `=`t-2+ {1} over {{BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} (가) _{{} _{}} ~~~}} ^{{} ^{{} ^{}}} `} +2` GEQ 4`]

이다. (단, 등호는 [eqn: t=`][eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} (나) _{{} _{}} ~~~}} `]일 때 성립한다.)

따라서 [eqn: 3+2sin ^{2} ` theta + {1} over {3-2cos ^{2} ` theta } `]은 [eqn: theta=`][eqn: {BOX{~~~ ^{{} ^{{} ^{}}} (다) _{{} _{}} ~~~}} `]에서

최솟값 [eqn: 4`]를 갖는다.

위의 (가)에 알맞은 식을 [eqn: f(t)], (나)와 (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`]라 할 때, [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) +tan ^{2} ` LEFT ( q+ {pi } over {3} RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 5]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 8`]

17. 그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 4`]이고 중심각의 크기가 [eqn: pi over 6`]인 부채꼴 [eqn: rm OAB`]가 있다. 선분 [eqn: rm OA] 위의 점 [eqn: rm P`]에 대하여       선분 [eqn: rm PA`]를 지름으로 하고 선분 [eqn: rm OB`]에 접하는 반원을 [eqn: C``]라 할 때, 부채꼴 [eqn: rm OAB `]의 넓이를 [eqn: S`_ 1 `], 반원 [eqn: C``]의 넓이를 [eqn: S`_2 `]라 하자. [eqn: S`_1 -S`_2 `]의 값은? [4점]

[eqn: 4]

[eqn: rm O]

[eqn: rm P]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: C]

[eqn: pi over 6]

① [eqn: pi over 9 `]	② [eqn: 2 over 9 pi`]	③ [eqn: pi over 3`]	④ [eqn: 4 over 9 pi`]	⑤ [eqn: 5 over9 pi`]

18. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rm A LEFT ( -1`,``0 RIGHT ) `], [eqn: rmB LEFT ( 1`,``0 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 원 [eqn: C``]가 있다. [eqn: a>1`]인 실수 [eqn: a`]에 대하여 함수 [eqn: y=log_{`a} `x`]의 그래프와 원 [eqn: C``]가 만나는 두 점 중에서 [eqn: rmB`]가 아닌 점을 [eqn: rmP`]라 하자. [eqn: rm bar{AP}=sqrt {3} `]일 때, [eqn: a ^{sqrt {3}} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

19. 그림과 같이 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2 ^{`1-x} +a-1`]의 그래프가 두 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =log _{`2} `x`], [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) =a+log _{`2} `x`]의 그래프와 만나는 점을 각각
[eqn: rm`A`], [eqn: rmB`]라 하자. 점 [eqn: rmA`]를 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 만나는 점을 [eqn: rm`C`], [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm`H`]라 하고, 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점을 [eqn: rm`D`]라 하자. <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a>0`])

[4점]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: rm H]

[eqn: y=h LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: y]

		<보 기>
	ㄱ. 점 [eqn: rm B`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( 1`,``a RIGHT ) `]이다. ㄴ. 점 [eqn: rm A`]의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: 4`]일 때, 사각형 [eqn: rmACBD`]의 넓이는 [eqn: {69} over {8} `]이다. ㄷ. [eqn: {bar{rm CA it}} `:` {bar{rm AH it}} `=`3`:`2`]이면 [eqn: 0<a<3 `]이다.

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

20. 함수 [eqn: f left(x right)=log _{`3}` x`]에 대하여 두 양수 [eqn: a`], [eqn: b`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: LEFT | f(a)-f(b) RIGHT | LEQ 1]

(나) [eqn: f LEFT ( a+b RIGHT ) =1]

[eqn: ab`]의 최솟값을 [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: f LEFT ( m RIGHT ) = it 3-`log_{`3} `k`]이다. 자연수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: 16]	② [eqn: 19]	③ [eqn: 22]	④ [eqn: 25]	⑤ [eqn: 28]

21. 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) `]이 다음과 같다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {cases{` root {4 _{`}} of {9 TIMES 2 ^{`n+1}} ~~ LEFT ( n`이~홀수 RIGHT ) _{` _{` _{`}}}#` root {4 _{`}} of {4 TIMES 3` ^{n}} ~~````~ LEFT ( n`이~짝수 RIGHT )}}]

[eqn: 10] 이하의 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]에 대하여 [eqn: f LEFT ( p RIGHT ) TIMES f LEFT ( q RIGHT ) `]가 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( p`,``q RIGHT ) `]의 개수는? [4점]

① [eqn: 36`]	② [eqn: 38]	③ [eqn: 40]	④ [eqn: 42]	⑤ [eqn: 44]

단답형

22. [eqn: root {3_`} of {5} TIMES root {3_`} of {25} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. [eqn: sin ^{2} ` theta = {17} over {36} `]일 때, [eqn: 36`cos ^{2} ` theta `]의 값을 구하시오. [3점]

24. [eqn: log _{` LEFT ( a+3 RIGHT )} ` LEFT ( -a ^{2} +3a+28 RIGHT ) `]이 정의되도록 하는 모든 정수 [eqn: a`]의 개수를 구하시오. [3점]

25. [eqn: k>1`]인 실수 [eqn: k`]에 대하여 직선 [eqn: x=k`]가 두 곡선 [eqn: y=1+log _{`2} `x`], [eqn: y=log _{`4} `x`]와 만나는 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rm B`]라 하자. [eqn: {bar{rm AB it}} =4`]일 때, [eqn: k`]의 값을 구하시오. [3점]

26. 두 집합 [eqn: A`= LEFT { `5`,``6` RIGHT } `], [eqn: B= LEFT { `-3`,``-2`,``2`,``3`,``4` RIGHT } `]가 있다. 집합 [eqn: C`= LEFT { `x`` LEFT | ``x` ^{a} =b`,````x`는~실수`,````a` IN A`,````b` IN B RIGHT . ` RIGHT }]에 대하여 [eqn: n LEFT ( C`` RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [4점]

27. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`-3x+6&`` LEFT ( x<`3 RIGHT ) _{` _{`}}#```````3x-12&`` LEFT ( x GEQ 3 RIGHT )}} `]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: rm O]

[eqn: 2]

[eqn: -3]

[eqn: 6]

[eqn: 4]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

부등식 [eqn: 2` ^{f LEFT ( x RIGHT )} ` LEQ `4` ^{x} `]을 만족시키는 [eqn: x`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`], [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M+m`= {q} over {p} `]이다. [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: p`]와 [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

28. [eqn: 100] 이하의 자연수 [eqn: k`]에 대하여 [eqn: 2 LEQ log _{`n} `k<3`]을 만족시키는 자연수 [eqn: n`]의 개수를 [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) `]라 하자. 예를 들어 [eqn: f LEFT ( 30 RIGHT ) =2`]이다. [eqn: f LEFT ( k RIGHT ) =4`]가 되도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값을 구하시오. [4점]

29. [eqn: 0{le}x{le}8`]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`2` ^{x} -1~&`` LEFT ( 0 LEQ x LEQ 1 RIGHT ) _{` _{`}}#`2-2` ^{x-1~}&`` LEFT ( 1<`x LEQ 2 RIGHT )}}]

(나) [eqn: n=1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`]일 때,

[eqn: 2` ^{n} f LEFT ( x RIGHT ) =f LEFT ( x-2n RIGHT ) `]  [eqn: left(2n<x LEQ 2n+2right)`]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT ) `]의 그래프와 [eqn: x`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S``]라 할 때, [eqn: 32S``]의 값을 구하시오. [4점]

30. [eqn: 2 LEQ k<500`]인 자연수 [eqn: k`]에 대하여 네 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`], [eqn: d`]는 [eqn: 2`]이상 [eqn: k`]이하이다.

(나) [eqn: a ^{{1} over {b}} TIMES c ^{{1} over {d}} `=24 ^{{1} over {5}} `]

모든 순서쌍 [eqn: left(a`,``b`,``c`,``d`right)`]의 개수가 [eqn: 59`]가 되도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값과 최솟값을 각각 [eqn: M`], [eqn: m`]이라 할 때, [eqn: M+m`]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.