• 수학 영역 •

수학 ‘가’형 정답

1	④	2	②	3	①	4	③	5	③
6	②	7	⑤	8	④	9	⑤	10	④
11	①	12	②	13	③	14	①	15	⑤
16	③	17	①	18	②	19	④	20	④
21	⑤	22	[eqn: 16]	23	[eqn: 4]	24	[eqn: 13`]	25	[eqn: 18`]
26	[eqn: 600`]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 128]	29	[eqn: 2]	30	[eqn: 67]

해 설

1. [출제의도] 다항식의 덧셈을 계산한다.

두 다항식 [eqn: A=x ^{2} -1], [eqn: B=x ^{2} +2x+7`]에서

[eqn: 2A+B`][eqn: =2 LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} +2x+7 RIGHT )]
[eqn: =2 x ^{2} -2+ x ^{2} +2x+7]
[eqn: =3x^2 +2x+5]

2. [출제의도] 교집합의 원소의 합을 구한다.

두 집합 [eqn: A=left{1`,``2`,``4`,``6right}], [eqn: B=left{2`,``4`,``5right}`]에서

[eqn: A CAPB`][eqn: = LEFT { 2`,``4 RIGHT }]이므로

[eqn: A CAPB`]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+4][eqn: =6]

3. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log_2 8+log_2 1over2`][eqn: =log _{2`} LEFT ( 8 TIMES ` {1} over {2} ` RIGHT) }]
[eqn: =log _{2} 4]
[eqn: =][eqn: it `2]

4. [출제의도] 복소수의 곱셈을 계산한다.

[eqn: (1+2i)(1-2i)][eqn: =1 ^{2} -(2i) ^{2} `]
[eqn: it =1-(-4)`]
[eqn: =5]

5. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 나머지를 구한다.

[eqn: f(x)=2x ^{3`} -3x+4`]라 하면 나머지정리에 의하여

[eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지는 [eqn: f(1)`]이므로

[eqn: f(1)=2-3+4=3`]

6. [출제의도] 두 직선의 수직 조건을 이용하여 상수의 값을 구한다.

직선 [eqn: x+y+2=0`]의 기울기는 [eqn: -1`]이고,

직선 [eqn: (a+2)x-3y+1=0`]의 기울기는 [eqn: a+2 over 3`]이다.

두 직선 [eqn: x+y+2=0], [eqn: (a+2)x-3y+1=0`]이 서로 수직이므로 두 직선의 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다.

따라서 [eqn: left(-1right) TIMES {a+2} over {3} = it -1]이므로

[eqn: a= 1]

7. [출제의도] 연립이차부등식의 해를 구한다.

연립부등식 [eqn: {cases{`2x-7 GEQ 0 ^{{}^{}} ` _{{}_{}} `#`x ^{2} -5x-14<0` _{{}_{}}^{{}^{}}}}]

을 풀면 [eqn: 2x-7ge0 `]에서 [eqn: x ge 7 over 2`] …… ㉠
[eqn: x ^{2} -5x-14<0`]에서 [eqn: (x-7)(x+2) <0]

[eqn: -2<x<7`] …… ㉡
이므로 ㉠, ㉡을 동시에 만족시키는 [eqn: x]의 값의 범위는 [eqn: {7} over {2} LEQ x<7`]

따라서 연립부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x`]는 [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`]이므로 모든 정수 [eqn: x`]의 값의 합은

[eqn: 4+5+6=15`]

8. [출제의도] 이차방정식의 판별식을 이용하여 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: (a ^{2} -9)x ^{2} =a+3`]

[eqn: (a+3)(a-3)x ^{2} =a+3`]

[eqn: a`]는 자연수이므로 [eqn: a+3>0`]

[eqn: (a-3)x ^{2} =1`]

이차방정식 [eqn: (a-3)x ^{2} -1=0`]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로

[eqn: D=0 ^{2} -4(a-3)(-1)=4(a-3)>0`]

[eqn: a-3>0`], [eqn: a>3`]

따라서 [eqn: 10`]보다 작은 자연수 [eqn: a`]는

[eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]

이므로 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

[다른 풀이]

[eqn: (a ^{2} -9)x ^{2} =a+3`]

[eqn: (a+3)(a-3)x ^{2} =a+3`]

[eqn: a`]는 자연수이므로 [eqn: a+3>0`]

[eqn: (a-3)x ^{2} =1`]

[eqn: x ^{2} = {1} over {a-3} `]

이차방정식이 두 실근을 가지므로 [eqn: {1} over {a-3} >0`]

[eqn: a-3>0`]이므로 [eqn: a>3`]

따라서 [eqn: 10`]보다 작은 자연수 [eqn: a`]는

[eqn: 4], [eqn: 5], [eqn: 6], [eqn: 7], [eqn: 8], [eqn: 9]

이므로 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

9. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 식의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{{a} over {2}} -2 ^{{b} over {2}} =3`]의 양변을 제곱하면

[eqn: LEFT ( 2 ^{{a} over {2}} -2 ^{{b} over {2}} RIGHT ) ^{2} =3 ^{2} `]

[eqn: 2 ^{a} -2 TIMES 2 ^{{a} over {2}} TIMES 2 ^{{b} over {2}} +2 ^{b}][eqn: =2 ^{a} -2 ^{{a+b} over {2} +1} +2 ^{b}]
[eqn: =9`]

[eqn: a+b=2`]이므로

[eqn: 2 ^{a} +2 ^{b} -2 ^{{2} over {2} +1}][eqn: =2^a +2^b -2^{2}][eqn: =9]

따라서 [eqn: 2^a +2^b =9+4=13]

10. [출제의도] 충분조건과 이차부등식의 성질을 이용하여 자연수의 개수를 구한다.

두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]의 진리집합을 각각 [eqn: P`], [eqn: Q`]라 하자.

[eqn: a`]는 자연수이므로 [eqn: 1<1+a`]이다.

[eqn: P= LEFT { x`□`1 LEQ x LEQ 1+a RIGHT } `]

[eqn: Q= LEFT { x`□`-3<x LEQ 7 RIGHT } `]

[eqn: p`]가 [eqn: q`]이기 위한 충분조건이므로 [eqn: P SUBSET Q`]이어야 한다.

따라서

[eqn: 1+a LEQ 7`], [eqn: a LEQ 6`]

자연수 [eqn: a`]는 [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 3`], [eqn: 4`], [eqn: 5`], [eqn: 6`]이므로 [eqn: a`]의 개수는 [eqn: 6`]이다.

11. [출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식의 해를 구한다.

부등식 [eqn: LEFT | `3x-2` RIGHT | le`x+6`]에서

(ⅰ) [eqn: x GEQ {2} over {3} `]일 때, [eqn: 3x-2 GEQ 0`]이므로
[eqn: 3x-2 LEQ x+6`]
[eqn: 2x LEQ 8`], [eqn: x LEQ 4]
따라서 [eqn: {2} over {3} LEQ x LEQ 4`]

(ⅱ) [eqn: x< {2} over {3} `]일 때, [eqn: 3x-2<0`]이므로
[eqn: -(3x-2) LEQ x+6`]
[eqn: -4 LEQ 4x`], [eqn: -1 LEQ x]
따라서 [eqn: -1leqx< {2} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 주어진 부등식의 해는

[eqn: -1 LEQ x LEQ 4`]

따라서 [eqn: alpha][eqn: = it -1`], [eqn: beta][eqn: =][eqn: 4]

[eqn: alpha + beta][eqn: =][eqn: (-1)+4][eqn: =][eqn: 3]

12. [출제의도] 도형의 이동과 유리함수의 그래프의 성질을 이용하여 함숫값을 구한다.

함수 [eqn: f(x)`]의 그래프는 곡선 [eqn: y= it - 2overx]를 평행이동한 것이므로 두 상수 [eqn: m,~n]에 대하여

[eqn: f(x)=it- 2overx-m +n`]

이라 하자. 함수 [eqn: f(x)`]의 그래프가 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 두 점근선 [eqn: x=m`], [eqn: y=n`]의 교점 [eqn: (m`,``n)`]이 직선 [eqn: y=x`] 위에 있다.

따라서 [eqn: m=n`]

함수 [eqn: f(x)]의 정의역이 [eqn: LEFT { `x` LEFT | x != -2`]인 모든 실수[eqn: "}"]이므로 [eqn: m=it-2`], [eqn: n=it-2`]이다.

[eqn: f(x)][eqn: = it - {2} over {x+2} -2`]이므로

[eqn: f(4)][eqn: = it - {2} over {4+2} -2]
[eqn: = it - {1} over {3} -2]
[eqn: = it - {7} over {3}]

13. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하여 수열의 항을 구한다.

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면
[eqn: a_n = 20+(n-1)d`], [eqn: a_n+1 = 20+nd]
[eqn: b_n = a_n +a_n+1`]이므로

[eqn: b_n][eqn: = a_n +a_n+1]
[eqn: =left{20+(n-1)d right}+(20+nd)]
[eqn: =40 + (2n-1) d]

[eqn: a_10 = b_10 `]이므로

[eqn: 20 +9d = 40 +19d`]에서

[eqn: -10d =20], [eqn: d= it -2`]

따라서

[eqn: b_n][eqn: = 40-2(2n-1)]
[eqn: =42-4n`]

이므로

[eqn: b_8][eqn: =42-4 TIMES 8][eqn: =42-32`][eqn: =10`]

[다른 풀이]

[eqn: b _{10} =a _{10} +a _{11} `]이고 [eqn: a _{10} =b _{10} `]이므로

[eqn: a _{11} =0`]

등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: a _{11} =20+10d=0`]

[eqn: d=it-2`]

따라서 [eqn: a _{n} =20-2(n-1)=22-2n`]이므로

[eqn: b _{8} `][eqn: =a _{8} +a _{9} `]
[eqn: =(22-2 TIMES 8)+(22-2 TIMES 9)`]
[eqn: =10`]

14. [출제의도] 삼차방정식의 근을 이해하여 식의 값을 구한다.

[eqn: (1+x)(1+x ^{2} )(1+x ^{4} )=x ^{7} +x ^{6} +x ^{5} +x ^{4} `]

좌변을 전개하면

[eqn: 1+x+x ^{2} +x ^{3} +x ^{4} +x ^{5} +x ^{6} +x ^{7}]

이므로

[eqn: 1+x+x ^{2} +x ^{3} +x ^{4} +x ^{5} +x ^{6} +x ^{7}][eqn: =x ^{7} +x ^{6} +x ^{5} +x ^{4} `]

[eqn: 1+x+x ^{2} +x ^{3} =0`]

[eqn: (1+x)+x ^{2} (1+x)=0]

[eqn: (1+x)(1+x ^{2} )=0`]

[eqn: x=it-1] 또는 [eqn: x ^{2} =it-1]

따라서 주어진 방정식의 세 근은 [eqn: -1], [eqn: i], [eqn: -i`]이므로

[eqn: alpha ^{4} + beta ^{4} + gamma ^{4} `][eqn: =(-1)^4 +i^4 +(-i)^4]
[eqn: =1+1+1][eqn: =3]

[다른 풀이]

우변을 인수분해하면

[eqn: x ^{4} LEFT ( x ^{3} +x ^{2} +x+1 RIGHT )][eqn: =x ^{4} LEFT { x ^{2} LEFT ( x+1 RIGHT ) +x+1 RIGHT }]
[eqn: =x ^{4} LEFT ( x ^{2} +1 ^{`} RIGHT ) LEFT ( x+1 ^{`} RIGHT )]

[eqn: (1+x)(1+x ^{2} )(1+x ^{4} )=x ^{4} LEFT ( 1+x ^{`} RIGHT ) LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT ) ``]

[eqn: left(1+x ^{`} right)left(1+x ^{2} right)left(1+x ^{4} -x ^{4} right)=0``]

[eqn: LEFT ( 1+x ^{`} RIGHT ) LEFT ( 1+x ^{2} RIGHT ) =0`]

[eqn: x=it-1] 또는 [eqn: x ^{2} =it-1]

따라서 주어진 방정식의 세 근은 [eqn: -1], [eqn: i], [eqn: -i`]이므로

[eqn: alpha ^{4} + beta ^{4} + gamma ^{4} `][eqn: =(-1)^4 +i^4 +(-i)^4]
[eqn: =1+1+1][eqn: =3]

15. [출제의도] 거듭제곱근을 이해하여 자연수의 개수를 구한다.

[eqn: root {5} of {8}]이 자연수 [eqn: N``]의 [eqn: n]제곱근이므로 거듭제곱근의 정의에 의하여 [eqn: LEFT ( root {5} of {8} RIGHT ) ^{n} =N`]이다. 따라서

[eqn: N][eqn: = LEFT ( root {5} of {8} RIGHT ) ^{n}][eqn: =8^{n OVER 5][eqn: =(2^3 )^{n OVER 5][eqn: =2^{{3n}over5}]

[eqn: N``]은 자연수이므로 [eqn: n`]의 값은 [eqn: 5`]의 배수이다.

따라서 [eqn: root {5} of {8}]이 어떤 자연수 [eqn: N]의 [eqn: n]제곱근이 되도록 하는 두 자리 자연수 [eqn: n`]은 [eqn: 10], [eqn: 15], [eqn: 20], [eqn: CDOTS], [eqn: 95`]이므로 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 18`]이다.

16. [출제의도] 부등식의 영역의 최대 · 최소를 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

두 메뉴 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 각각 [eqn: x `]인분, [eqn: y `]인분 만든다고 하면

[eqn: x GEQ 0], [eqn: y ge0`] …… ㉠

하루에 최대 [eqn: 35]인분을 만들 수 있으므로

[eqn: x+y LEQ 35`] …… ㉡

재료 [eqn: rmS`]의 가격은 [eqn: 10`rmg`]당 [eqn: 600`]원이므로 두 메뉴 [eqn: rmA`], [eqn: rmB] [eqn: 1`]인분을 만들기 위한 재료 [eqn: rmS`]의 구입 비용은 각각 [eqn: 6000`]원, [eqn: 3000`]원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 [eqn: rmS`]의 구입 비용은 [eqn: 6000x+3000y`](원)이다.

재료 [eqn: rmT`]의 가격은 [eqn: 10rmg`]당 [eqn: 400`]원이므로 두 메뉴 [eqn: rmA`], [eqn: rmB] [eqn: 1`]인분을 만들기 위한 재료 [eqn: rmT`]의 구입 비용은 각각 [eqn: 2000`]원, [eqn: 6000`]원이다. 따라서 하루 동안 사용할 재료 [eqn: rm T`]의 구입 비용은 [eqn: 2000x+6000y`](원)이다.

하루에 사용할 수 있는 두 재료 [eqn: rmS`], [eqn: rmT`]의 구입 비용은 최대 [eqn: 30`]만 원이므로

[eqn: (6000x+3000y)+(2000x+6000y)`le300000]

[eqn: 8000x+9000y` LEQ 300000`]

[eqn: 8x+9y`le300] …… ㉢

좌표평면 위에 세 부등식 ㉠, ㉡, ㉢을 모두 만족시키는 영역을 나타내면 그림과 같이 두 직선

[eqn: x+y=35], [eqn: 8x+9y=300`]

과 [eqn: x`]축, [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분이다.

한편, 하루 동안 두 메뉴 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]를 각각 [eqn: x`]인분, [eqn: y`]인분 판매하여 얻을 수 있는 판매 금액은

[eqn: 20000x+22000y`](원)이므로

[eqn: 20000x+22000y=k``]([eqn: k`]는 양의 실수)라 하면

[eqn: 10x+11y= {k} over {2000} `] …… ㉣

이때 두 직선 [eqn: x+y=35], [eqn: 8x+9y=300`]과 직선 ㉣ 의 기울기의 관계가

[eqn: -1<it- {10} over {11} <it- {8} over {9} `]

이므로 직선 ㉣이 두 직선

[eqn: x+y=35], [eqn: 8x+9y=300`]

이 만나는 점을 지날 때 [eqn: k`]의 값은 최대이다.

두 직선 [eqn: x+y=35], [eqn: 8x+9y=300`]의 교점은 [eqn: (15,``20)`]이고 따라서 식당에서 두 메뉴 [eqn: \A], [eqn: \B`]를 판매하여 얻을 수 있는 하루 최대 판매 금액은

[eqn: 20000times15+22000times20=740000`](원)이다.

17. [출제의도] 수학적 귀납법을 이용하여 주어진 명제를 증명한다.

(ⅰ) [eqn: n=1`]일 때,
(좌변)[eqn: =1times1=1`]
(우변)[eqn: = {1times2times3times4} over {24} =1`]
(좌변)[eqn: =](우변)[eqn: = {BOX{~~1~ _{`}^{`} ~}} `]이므로 (*)이 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m`]일 때, (*)이 성립한다고 가정하면
[eqn: sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+m _{`}^{`} RIGHT } `]
[eqn: = {m(m+1)(m+2)(3m+1)} over {24} `]
이다. [eqn: n=m+1`]일 때, (*)이 성립함을 보이자.
[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} k LEFT { k+(k+1)+(k+2)+` CDOTS `+(m+1) RIGHT } `]
[eqn: = sum_k=1^m k LEFT{k+(k+1)+`cdots`+(m+1) RIGHT } `]
[eqn: +`sum_k=m+1^m+1 k LEFT{k+(k+1)+`cdots`+(m+1) RIGHT }`]
[eqn: = sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+` CDOTS `+(m+1) RIGHT } `+` {BOX{`~(m+1) ^{2 ^{`}} ` _{`}^{`} ~}} `]
[eqn: =sum _{k=1} ^{m} k LEFT { k+(k+1)+` CDOTS `+m RIGHT } `]
[eqn: +``(m+1)`` sum _{k=1} ^{m} k`+` {BOX{`~(m+1) ^{2 ^{`}} ` _{`}^{`} ~}} `]
[eqn: = {BOX{`~ {m(m+1)(m+2)(3m+1) ^{`}} over {24} _{`}^{`} ~` _{`}}} `]
[eqn: + {m(m+1) ^{2}} over {2} +` {BOX{`~(m+1) ^{2 ^{`}} ` _{`}^{`} ~}} `]
[eqn: = {(m+1)(m+2)(m+3)(3m+4)} over {24} `]
따라서 [eqn: n=m+1`]일 때도 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 (*)이 성립한다. 따라서

[eqn: a=1]

[eqn: f(m)=(m+1)^2`]

[eqn: g(m)= {m(m+1)(m+2)(3m+1)^{`}} over {24}]

이므로

[eqn: a+f(2)+g(3)][eqn: = 1+(2+1)^2 +{3(3+1)(3+2)(3times3+1)^{`}} over {24}]
[eqn: =1+9+25]
[eqn: =35]

18. [출제의도] 이차방정식과 집합의 연산을 이용하여 교집합의 원소의 개수를 구한다.

집합 [eqn: A`]의 원소는 [eqn: 20] 이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: f(n)=(n ^{2} -7n+11)(n ^{2} +3n+3)`]

이고 집합 [eqn: B`]의 원소가 [eqn: 100] 이하의 소수이므로 집합 [eqn: A CAPB`]의 원소는 [eqn: f(n)=(n ^{2} -7n+11)(n ^{2} +3n+3)] 중에서 [eqn: 100`]이하의 소수이다.

집합 [eqn: A CAPB`]의 원소는 두 수

[eqn: n ^{2} -7n+11`], [eqn: n ^{2} +3n+3`]

의 곱으로 나타낼 수 있고, [eqn: n ^{2} +3n+3`]이 [eqn: 1`]보다 큰 자연수이므로

[eqn: n^2 -7n +11=1`], [eqn: n ^{2} +3n+3=p`]([eqn: p`]는 소수)

가 되어야 한다.

[eqn: n ^{2} -7n+11=1`]

[eqn: n^2 -7n+10=0`]

[eqn: (n-2)(n-5)=0`]

[eqn: n=2] 또는 [eqn: n=5`]

(ⅰ) [eqn: n=2]일 때,
[eqn: f(2)=1 TIMES (2 ^{2} +3 TIMES 2+3)][eqn: =13]

(ⅱ) [eqn: n=5`]일 때,
[eqn: f(5)=1times( 5^2 +3times5 +3)=43]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 13`]과 [eqn: 43`]이 모두 [eqn: 100`]이하의 소수이므로 [eqn: A cap B = left{13,``43right}`]

따라서 [eqn: n(A cap B`)=2`]

19. [출제의도] 선분의 내분점과 직선의 방정식을 활용하여 점의 좌표를 구한다.

직선 [eqn: rm AD`]의 기울기는 [eqn: {4-0} over {1-3} =it-2`]

직선 [eqn: rm BC`]의 기울기는 [eqn: {6-0} over {3-6} = it -2`]

에서 두 직선 [eqn: rmAD`], [eqn: rmBC`]는 평행이므로 사각형 [eqn: rm ABCD`]는 사다리꼴이다.

두 밑변의 길이가 각각 [eqn: a], [eqn: b`]이고 높이가 [eqn: h`]인 사다리꼴의 넓이를 [eqn: S`]라 하면

[eqn: S= 1over2 times (a+b)timesh]

이다. 직선 [eqn: l`]이 사다리꼴 [eqn: \ABCD`]의 넓이를 이등분하려면 나누어진 두 개의 사다리꼴의 두 밑변의 길이의 합이 서로 같아야 한다.

선분 [eqn: rm AD`]를 [eqn: 1`:`3`]으로 내분하는 점을 [eqn: rmE`]라 하고 점 [eqn: rmE`]를 지나는 직선 [eqn: l`]이 사다리꼴 [eqn: rm ABCD`]의 넓이를 이등분할 때, 선분 [eqn: rmBC`]와 만나는 점 [eqn: rmF`]에 대하여 점 [eqn: rmF`]가 선분 [eqn: rmBC`]를 [eqn: m`:`n`]으로 내분한다고 하자.

[eqn: {bar{rmAD}} =2 sqrt {5} `], [eqn: {bar{rm BC it}} =3 sqrt {5} `]이고

[eqn: {bar{rm AE it}} + {bar{rm BF it}} `= {bar{rm DE it}} + {bar{rm CF it `}}]이므로

[eqn: {1} over {4} TIMES 2 sqrt {5} + {m} over {m+n} TIMES 3 sqrt {5} `][eqn: = {3} over {4} TIMES 2 sqrt {5} + {n} over {m+n} TIMES 3 sqrt {5}]

[eqn: {1} over {2} + {3m} over {m+n} = {3} over {2} + {3n} over {m+n} `]

[eqn: {3 LEFT ( m-n RIGHT )} over {m+n} =1`]에서

[eqn: 3m-3n=m+n]

[eqn: 2m=4n], [eqn: m=2n]

따라서 [eqn: m`:`n=2`:`1`]이므로

점 [eqn: rmF`]의 좌표는

[eqn: rm F LEFT ( {2 TIMES 3+1 TIMES 6} over {3} ,` {2 TIMES 6+1 TIMES 0} over {3} RIGHT ) `]

에서 [eqn: rm F LEFT ( 4`,``4 RIGHT ) `]이다.

따라서 [eqn: a=4`], [eqn: b=4`]이므로

[eqn: a+b=8`]

20. [출제의도] 무리함수의 그래프의 성질을 이용하여 주어진 명제의 참, 거짓을 판단한다.

두 함수 [eqn: f(x)], [eqn: g(x)`]를

[eqn: f(x)=it- sqrt {kx+2k} +4`], [eqn: g(x)= it sqrt {- it kx+2k} -4`]

라 하자.

ㄱ. [eqn: f(-x)][eqn: = it - sqrt {- it kx+2k} +4`]
[eqn: =it- LEFT ( sqrt {- it kx+2k} -4` RIGHT )]
[eqn: =it-g(x)]

이므로 [eqn: g(x)=it - f(-x)`]
따라서 두 곡선
[eqn: y=it- sqrt {kx+2k} +4`], [eqn: y`][eqn: = it sqrt {- it kx+2k} -4`]
는 원점에 대하여 대칭이다. (참)

ㄴ. [eqn: k<0`]이면 두 곡선은 다음과 같다.

따라서 두 곡선은 만나지 않는다. (거짓)

ㄷ. ([eqn: ⅰ]) [eqn: k<0`]일 때
ㄴ에 의하여 두 곡선은 만나지 않는다.

([eqn: ⅱ]) [eqn: k>0`]일 때
ㄱ에서 두 곡선은 원점에 대하여 대칭이고 [eqn: k]의 값이 커질수록 곡선 [eqn: y=f(x)`]는 직선 [eqn: y=4]와 멀어지고 곡선 [eqn: y=g(x)`]는 직선 [eqn: y= it -4`]와 멀어진다.
따라서 두 곡선이 서로 다른 두 점에서 만나도록 하는 [eqn: k`]의 최댓값은 그림과 같이 곡선 [eqn: y=f(x)`]가 곡선 [eqn: y=g(x)] 위의 점 [eqn: LEFT ( `2,``- it 4` RIGHT )]를 지날 때이다.

[eqn: -4`= it - sqrt {2k+2k} +4`]
[eqn: sqrt4k][eqn: =8], [eqn: 4k=64`]
따라서 [eqn: k=16] (참)

21. [출제의도] 이차부등식과 이차함수의 성질을 이용하여 최댓값과 최솟값의 차를 구한다.

조건 (가)에서 [eqn: {1-x} over {4} =t`]라 하면 [eqn: x=1-4t`]이고,

부등식 [eqn: f LEFT ( {1-x} over {4} RIGHT ) LEQ 0``]의 해가 [eqn: -7 LEQ x le9`]이므로

[eqn: -7 LEQ 1-4t LEQ 9`], [eqn: -2 LEQ t LEQ 2`]

따라서 [eqn: f(t)=k(t-2)(t+2)`]([eqn: k>0`])에서

[eqn: f(x)=k(x-2)(x+2)=k(x ^{2} -4)`] …… ㉠

라 할 수 있다.

조건 (나)에서 부등식

[eqn: f(x)ge2x- {13} over {3} `]

이 항상 성립하므로 이차부등식

[eqn: kx ^{2} -2x-4k+ {13} over {3} ge0`]

의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식

[eqn: kx ^{2} -2x-4k+ {13} over {3} =0`]

의 판별식을 [eqn: D`]라 놓으면

[eqn: {D} over {4}][eqn: =1-k LEFT ( -4k+ {13} over {3} RIGHT ) `]
[eqn: =4k ^{2} - {13} over {3} k+1 LEQ 0`]

[eqn: 12k ^{2} -13k+3le0`]

[eqn: (4k-3)(3k-1)le0`]

[eqn: {1} over {3} le`k`le {3} over {4} `]

㉠에서 [eqn: f(3)=5k`]이므로

[eqn: {5} over {3} LEQ f(3) LEQ {15} over {4} `]

따라서 [eqn: M= 15over4], [eqn: m= 5over3`]에서

[eqn: M-m= {15} over {4} - {5} over {3} = {25} over {12} `]

[다른 풀이]

[eqn: 0`]이 아닌 실수 [eqn: k`]와 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여

[eqn: f(x)=k(x-a)(x-b)`]라 하자.

조건 (가)에서 [eqn: f LEFT ( {1-x} over {4} RIGHT ) le0`]

[eqn: k` LEFT ( {1-x} over {4} -a RIGHT ) LEFT ( {1-x} over {4} -b RIGHT ) le0`]

[eqn: k` left( {1-4a-x} over {4} right)left( {1-4b-x} over {4}right) LEQ 0`]

부등식 [eqn: k(x+4a-1)(x+4b-1)le0`]의 해가

[eqn: -7`le`x`le9`]이므로 [eqn: k>0`]

[eqn: -4a+1=it-7`], [eqn: -4b+1=9`]라 하면

[eqn: a=2`], [eqn: b=it-2`]

따라서 [eqn: f(x)=k(x-2)(x+2)][eqn: =k(x ^{2} -4)`] …… ㉠

조건 (나)에서 부등식

[eqn: f(x)ge2x- {13} over {3} `]

이 항상 성립하므로 이차부등식

[eqn: kx ^{2} -2x-4k+ {13} over {3} ge0`]

의 해는 모든 실수이다. 따라서 방정식

[eqn: kx ^{2} -2x-4k+ {13} over {3} =0`]

의 판별식을 [eqn: D`]라 놓으면

[eqn: {D} over {4} =1-k LEFT ( -4k+ {13} over {3} RIGHT )][eqn: =4k ^{2} - {13} over {3} k+1 LEQ 0`]

[eqn: 12k ^{2} -13k+3le0`], [eqn: (4k-3)(3k-1)le0`]

[eqn: {1} over {3} le`k`le {3} over {4} `]

㉠에서 [eqn: f(3)=5k`]이므로

[eqn: {5} over {3} LEQ f(3) LEQ {15} over {4} `]

따라서 [eqn: M= 15over4], [eqn: m= 5over3`]에서

[eqn: M-m= {15} over {4} - {5} over {3} = {25} over {12} `]

22. [출제의도] 등비수열의 성질을 이용하여 주어진 항을 구한다.

첫째항이 [eqn: {1} over {2} `]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]의 일반항은

[eqn: a _{n} = {1} over {2} times2 ^{n-1} =2 ^{n-2} `]

따라서 [eqn: a _{6} =2 ^{4} =16`]

[다른 풀이]

첫째항이 [eqn: {1} over {2} `]이고 공비가 [eqn: 2`]인 등비수열[eqn: "{"a_n"}" `]을 순서대로 나열하면

[eqn: "{"a _{n} "}"``:`][eqn: {1} over {2} `], [eqn: 1`], [eqn: 2`], [eqn: 4`], [eqn: 8`], [eqn: 16,`] …

따라서 [eqn: a _{6} =16`]

23. [출제의도] 이차방정식의 두 근의 합과 곱을 알고 식의 값을 구한다.

이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x-2=0`]의 두 근을 [eqn: alpha], [eqn: beta`]라 하면

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: alpha + beta =it-8`], [eqn: alpha beta =it-2`]

따라서 [eqn: {alpha+beta} over {alphabeta} = {-8} over {-2} =4`]

[다른 풀이]

이차방정식 [eqn: x ^{2} +8x-2=0`]의 근을 구하면

[eqn: x=-4+-3 sqrt {2} `]이므로

[eqn: alpha + beta `][eqn: =(-4+3 sqrt {2} )+(-4-3 sqrt {2} )`]
[eqn: =it-8`]

[eqn: alpha beta][eqn: =(-4+3 sqrt {2} )(-4-3 sqrt {2} )]
[eqn: =IT-2`]

따라서 [eqn: {alpha + beta } over {alpha beta } = {-8} over {-2} =4`]

24. [출제의도] 역함수를 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: (g CIRC f ^{`-1} )(2)=g(f ^{`-1} (2))`]

[eqn: f ^{`-1} (2)=k`]라 하면 [eqn: f(k)=2`]

[eqn: {1} over {2} k=2`], [eqn: k=4`]

따라서 [eqn: g(f ^{`-1} (2))=g(4)=13`]

[다른 풀이]

[eqn: f(x)= {1} over {2} x`]이므로 함수 [eqn: f ^{`-1} (x)`]는

[eqn: x= {1} over {2} y`]에서 [eqn: y=2x`]

즉, [eqn: f ^{`-1} (x)=2x`]이므로

[eqn: (g CIRC f ^{`-1} )(x)][eqn: =g(f ^{`-1} (x))`]
[eqn: =g(2x)`]
[eqn: =4x+5`]

따라서

[eqn: (g CIRC f ^{`-1} )(2)][eqn: =4 TIMES 2+5]
[eqn: =13``]

25. [출제의도] 원의 접선의 방정식을 이해하여 점의 좌표를 구한다.

점 [eqn: LEFT ( 0`,``3 RIGHT ) `]을 지나고 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1`]에 접하는 직선의 기울기를 [eqn: m`]이라 하면 접선의 방정식은

[eqn: y=mx+3`] 즉, [eqn: mx-y+3=0`]

원의 중심 [eqn: LEFT ( 0`,``0 RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: mx-y+3=0`]까지의 거리는 원의 반지름의 길이와 같으므로

[eqn: {LEFT | m TIMES 0-0+3 RIGHT |} over {sqrt {m ^{2} +1}} =1`]

[eqn: 3= sqrt {m ^{2} +1} `], [eqn: m ^{2} =8`]

[eqn: m=2 sqrt {2} `], [eqn: m=it-2 sqrt {2} `]

(ⅰ) [eqn: m=2 sqrt {2} `]일 때
접선의 방정식이 [eqn: y= it 2 sqrt {2} x+3`]이므로
[eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: k`]는
[eqn: k=- {3} over {2 sqrt {2}} `]에서 [eqn: k ^{`2} = {9} over {8}]

([eqn: ⅱ]) [eqn: m=it-2 sqrt {2} `]일 때
접선의 방정식이 [eqn: y=it-2 sqrt {2} x+3`]이므로
[eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표 [eqn: k`]는
[eqn: k= it {3} over {2 sqrt {2}} `]에서 [eqn: k ^{`2} = {9} over {8}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 16k ^{`2} `][eqn: =16 TIMES {9} over {8} `][eqn: =18`]

26. [출제의도] 연립방정식을 이용하여 실생활 문제를 해결한다.

조건 (가)에서 [eqn: \R`]석의 티켓의 수를 [eqn: a`], [eqn: \S`]석의 티켓의 수를 [eqn: b`], [eqn: \A`]석의 티켓의 수를 [eqn: c`]라 놓으면

[eqn: a+b+c=1500] …… ㉠

조건 (나)에서 [eqn: rmR`]석, [eqn: rmS`]석, [eqn: rmA`]석 티켓의 가격은 각각 [eqn: 10`]만 원, [eqn: 5`]만 원, [eqn: 2`]만 원이므로

[eqn: 10a+5b+2c=6000] …… ㉡

[eqn: rm A`]석의 티켓의 수는 [eqn: RMR`]석과 [eqn: RMS`]석 티켓의 수의 합과 같으므로

[eqn: a+b=c] …… ㉢

세 방정식 ㉠, ㉡, ㉢을 연립하여 풀면

㉠, ㉢에서 [eqn: 2c=1500`]이므로 [eqn: c= 750`]

㉠, ㉡에서 연립방정식

[eqn: cases{`a+b=750_{`}`#`2a+b=900^{`}`]

을 풀면 [eqn: a=150], [eqn: b=600`]이다.

따라서 구하는 [eqn: \S`]석의 티켓의 수는 [eqn: 600`]

27. [출제의도] 일대일 대응의 뜻을 이용하여 함수의 최댓값을 구한다.

[eqn: 3`]이상 [eqn: 5`]이하의 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: f(n)f(n+2)`]의 값이 짝수이므로

[eqn: f(3) TIMES f(5)], [eqn: f(4) TIMES f(6)], [eqn: f(5) TIMES f(7)]은 모두 짝수이다.

[eqn: f(4)`] 또는 [eqn: f(6)`]은 적어도 하나가 짝수이고, 집합 [eqn: X`]의 원소 중 짝수인 것은 [eqn: 4`], [eqn: 6`]뿐이므로 [eqn: f(3) TIMES f(5)]와 [eqn: f(5) TIMES f(7)]이 모두 짝수이려면 [eqn: f(5)`]는 짝수가 되어야 한다.

따라서 [eqn: f left(3 right)], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT )]은 모두 홀수이므로 [eqn: f(3)+f(7)`]의 최댓값은 [eqn: f(3)=5], [eqn: f(7)=7`] 또는 [eqn: f(3)=7], [eqn: f(7)=5`]일 때 [eqn: 5+7=12`]이다.

28. [출제의도] 도형의 이동과 직선의 수직 조건을 이용하여 원의 둘레의 길이를 구한다.

두 상수 [eqn: a], [eqn: b`]에 대하여 점 [eqn: rmA`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( a`,``b RIGHT ) `]라 하면 점 [eqn: rmC]는 점 [eqn: \A`]를 직선 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 [eqn: rmC`]의 좌표는 [eqn: LEFT ( b`,``a RIGHT ) `]이다.

점 [eqn: rmC`]는 직선 [eqn: y=2x] 위의 점이므로 [eqn: a=2b`]이다.

따라서 점 [eqn: \A`]의 좌표는 [eqn: rm A it (2b`,``b RIGHT ) `]이다.

[eqn: {bar{rm OA it}}][eqn: =2 sqrt {5} `]이므로

[eqn: {bar{rm OA it}} ` ^{2}][eqn: = LEFT(2SQRT5 RIGHT)^2][eqn: =20]

[eqn: {LEFT . LEFT ( 2b RIGHT . RIGHT ) ^{2} +b ^{2}}][eqn: =20], [eqn: 5b^2][eqn: =20`]

[eqn: b^2][eqn: =4`]에서 [eqn: b=2]

따라서 두 점 [eqn: \A], [eqn: \C`]의 좌표는

[eqn: rm A LEFT ( 4`,``2) `], [eqn: rm C LEFT ( 2,```4) `]

[eqn: y]축 위의 점 [eqn: rm B`]의 좌표를 [eqn: LEFT ( 0`,``c right)`]라 하면

[eqn: {bar{rm AB it}} =bar{rmOA}][eqn: =2 sqrt {5} `], [eqn: {bar{rm AB it}} ` ^{2}][eqn: = LEFT(2SQRT5 RIGHT)^2][eqn: =20]

[eqn: LEFT ( 4-0 RIGHT ) ^{2} +(2-c) ^{2}][eqn: =20]

[eqn: 16+4-4c+c ^{2}=20]

[eqn: -4c+c^2 =0], [eqn: c(c-4)=0]

[eqn: c>0]이므로  [eqn: c=4`]

따라서 점 [eqn: rmB`]의 좌표는 [eqn: LEFT(0`,``4RIGHT)`]이다.

점 [eqn: RMD`]는 직선 [eqn: RMAB`]와 직선 [eqn: y=x`]의 교점이므로

[eqn: x= it- 1over2 x+4], [eqn: 3over2 x=4]

[eqn: x= 8over3], [eqn: y= 8over3`]

따라서 [eqn: rm D it LEFT ( {8} over {3} ,``` {8} over {3} RIGHT )]

한편, 직선 [eqn: \AB`]의 기울기는 [eqn: -`1OVER2]이고 직선 [eqn: y=2x]의 기울기는 [eqn: 2]이므로 두 직선은 서로 수직이다.

따라서 삼각형 [eqn: rm ODE`]는 [eqn: ANGLE rm OED=90DEG]인 직각삼각형이고, 삼각형 [eqn: rm ODE`]의 외접원의 지름의 길이는 선분 [eqn: RMOD]의 길이와 같다.

[eqn: BAR{RMOD][eqn: = sqrt {LEFT ( {8} over {3} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {8} over {3} RIGHT ) ^{2} `}][eqn: ={8} over {3} sqrt {2}]

삼각형 [eqn: RMODE]의 외접원의 둘레의 길이는

[eqn: k` pi][eqn: ={8} over {3} sqrt {2} pi], [eqn: k= {8} over {3} sqrt {2}]

따라서

[eqn: 9k ^{`2}][eqn: =9`times LEFT ( {8} over {3} sqrt {2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =9 TIMES 128 over9]
[eqn: =128]

29. [출제의도] 절댓값과 이차함수의 성질을 이용하여 상수의 최솟값을 구한다.

[eqn: x ^{2} +2x-8][eqn: =(x+4)(x-2)=0]

[eqn: x=it-4`] 또는 [eqn: x=2`]

따라서 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: x=it-4`]와 [eqn: x=2`]이다.

부등식 [eqn: {|`f(x)`|} over {3} -f(x) GEQ m(x-2)`]에서

(ⅰ) [eqn: f(x) ge0`], 즉 [eqn: x`le it-4``] 또는 [eqn: x ge2`]일 때
[eqn: f(x) over3 -f(x) gem(x-2)`]이므로
[eqn: - 2 over3 f(x) ge m(x-2)]

(ⅱ) [eqn: f(x)<0`], 즉 [eqn: -4<x<2`]일 때
[eqn: - f(x) over3 -f(x) ge m(x-2)`]이므로
[eqn: - 4 over3 f(x) ge m(x-2)]

여기서 [eqn: g(x)=it- 4over3 f(x)`], [eqn: h(x)=it - 2over3 f(x)`]라 하면

[eqn: {|`f(x)`|} over {3} -f(x)][eqn: = {cases{`g(x) _{{}_{}}^{{}^{}} ~&(`-4<x<2`) pile{#}#`h(x) _{{}_{}}^{{}^{}}&(`x LEQ it -4,~x GEQ 2`) pile{#}}}]

한편, 직선 [eqn: y=m(x-2)`]는 점 [eqn: (2,``0)`]을 지나고 기울기 [eqn: m`]이 양수이므로 함수 [eqn: y={|`f(x)`|} over {3} -f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=m(x-2)`]를 좌표평면에 나타내면 그림과 같다.

직선 [eqn: y=m(x-2)`]와 함수 [eqn: y= {|`f(x)`|} over {3} -f(x)`]의 그래프의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: t`]([eqn: t< it -4`])라 하면 부등식

[eqn: {|`f(x)`|} over {3} -f(x) GEQ m(x-2)`]

의 해는 [eqn: t LEQ x LEQ 2`]

[eqn: t LEQ x LEQ 2`]인 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 10`]이 되기 위한 실수 [eqn: t`]의 범위는 [eqn: -8< t le -7`]이고, [eqn: m`]의 값의 범위는 직선[eqn: y=m(x-2)`]가 점 [eqn: (-7`,``h(-7))`]을 지날 때보다 크거나 같고, 점 [eqn: (-8`,``h(-8))`]을 지날 때보다 작다.

[eqn: t=it-7`]일 때

[eqn: h(-7)=it- {2} over {3} LEFT { LEFT ( -7 RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( -7 RIGHT ) -8 RIGHT }][eqn: = it - {2} over {3} TIMES 27=it-18`]

이므로 [eqn: m= {0- LEFT ( -18 RIGHT )} over {2- LEFT ( -7 RIGHT )} =2`] …… ㉠

[eqn: t= it -8`]일 때

[eqn: h(-8)= it - {2} over {3} LEFT { LEFT ( -8 RIGHT ) ^{2} +2 TIMES LEFT ( -8 RIGHT ) -8 RIGHT }][eqn: = it - {2} over {3} TIMES 40= it - {80} over {3} `]

이므로 [eqn: m= {0- LEFT ( - {80} over {3} RIGHT )} over {2- LEFT ( -8 RIGHT )} = {8} over {3} ``] …… ㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: m`]의 범위는 [eqn: 2le`m< {8} over {3}]

따라서 [eqn: m`]의 최솟값은 [eqn: 2`]이다.

30. [출제의도] 등차수열과 등비수열의 성질을 활용하여 수열의 항을 구한다.

[eqn: a _{7} `], [eqn: a _{8} `], [eqn: a _{k} `]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로
이 수열의 공비를 [eqn: r`]라 하면

[eqn: a _{8} `][eqn: =a _{7} r`], [eqn: a _{k} `][eqn: =a _{7} r ^{2}] …… ㉠

등차수열 [eqn: "{"a _{n} "}"`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

조건 (가)에서

[eqn: a _{n} `][eqn: =a _{1} +(n-1)d] ([eqn: a _{1} `]은 정수, [eqn: d`]는 자연수)

이므로

[eqn: a _{8} -a _{7} `][eqn: =d`], [eqn: a _{k} -a _{8} `][eqn: =(k-8)d`]

이 식에 ㉠을 대입하면

[eqn: a _{7} LEFT ( r-1 RIGHT ) =d`], [eqn: a _{7} LEFT ( r-1 RIGHT ) r= LEFT ( k-8 RIGHT ) d`]

위 식으로부터

[eqn: dr`][eqn: =(k-8)d`]

[eqn: d != 0`]이므로 [eqn: r][eqn: =k-8`] …… ㉡

㉡을 ㉠에 대입하면

[eqn: a _{k} `][eqn: =a _{7} (k-8) ^{2} `], [eqn: a _{k} `][eqn: =144`][eqn: =12 ^{2} `]

위 식으로부터

[eqn: a _{7} (k-8) ^{2} `][eqn: =12 ^{2} `]

조건 (가)에서 [eqn: k-8`]과 [eqn: a _{7} `]이 정수이므로 [eqn: a _{7} `]은 완전제곱수이다. 따라서 [eqn: a_7`]은 [eqn: 12`]의 약수의 제곱수인

[eqn: 1], [eqn: 2^2], [eqn: 3^2], [eqn: 4^2], [eqn: 6^2], [eqn: 12 ^{2} `]

중 하나이다.

(ⅰ) [eqn: a _{7} `][eqn: =1`]일 때
[eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =12 ^{2} `]이므로
[eqn: k][eqn: =20`]([eqn: k>8`])

(ⅱ) [eqn: a _{7} `][eqn: =2 ^{2} `]일 때
[eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =6 ^{2} `]이므로
[eqn: k][eqn: =14`]([eqn: k>8`])

(ⅲ) [eqn: a _{7} `][eqn: =3 ^{2} `]일 때
[eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =4 ^{2} `]이므로
[eqn: k`][eqn: =12`]([eqn: k>8`])

(ⅳ) [eqn: a _{7}][eqn: =4 ^{2} `]일 때
[eqn: (k-8) ^{2}][eqn: =3 ^{2} `]이므로
[eqn: k][eqn: =11]([eqn: k>8`])

(ⅴ) [eqn: a _{7} `][eqn: =6 ^{2} `]일 때
[eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =2 ^{2} `]이므로
[eqn: k`][eqn: =10`]([eqn: k>8`])

(ⅵ) [eqn: a _{7} `][eqn: =12 ^{2} `]일 때
[eqn: (k-8) ^{2} `][eqn: =1`]이므로
[eqn: k`][eqn: =9``]([eqn: k>8`])
그런데 [eqn: k=9`]이면 ㉡에서 [eqn: r=1`]이므로 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차가 [eqn: 0`]이다. 따라서 [eqn: k!=9`]이다.

(ⅰ)~(ⅵ)에서 구하는 모든 [eqn: k`]의 값의 합은

[eqn: 20+14+12+11+10`][eqn: =67`]