[eqn: 2 ^{3} TIMES 4 ^{{1} over {2}}]의 값은? [2점]

2019학년도 11월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(가형)

제 2 교시

수학 영역(가형)

수학 영역(가형)

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14~]	⑤ [eqn: 16]

12

[eqn: tan` {7} over {6} pi]의 값은? [2점]

① [eqn: -1]	② [eqn: - {sqrt {3}} over {3}]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: {sqrt {3}} over {3}]	⑤ [eqn: 1]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 [eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( 4+h RIGHT ) -f` LEFT ( 4 RIGHT )} over {3h}} =7]일 때,
[eqn: f` prime LEFT ( 4 RIGHT )]의 값은? [2점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 1]

[eqn: 3]

[eqn: -1]

[eqn: -3]

[eqn: rm O]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) + lim _{x` -> `1-} {f LEFT ( x RIGHT )}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

[eqn: sin` theta +cos` theta = {sqrt {6}} over {2}]일 때, [eqn: sin` theta `cos` theta]의 값은? [3점]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {5}]	③ [eqn: {1} over {4}]	④ [eqn: {1} over {3}]	⑤ [eqn: {1} over {2}]

두 양수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여

[eqn: log _{`9} `a ^{3} b=1+log _{`3} `ab]

가 성립할 때, [eqn: {a} over {b}]의 값은? [3점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]은 [eqn: a _{1} =1]이고, 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: a _{n+1} = {cases{``a _{n} +3 _{{}_{`}} ~~``&`` LEFT ( n``````````````````````````````````````````````` RIGHT ) _{{}_{`}}#``2a _{n}^{{}^{`}} -1``````&`` LEFT ( n``````````````````````````````````````````````` RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

이 홀수인 경우

이 짝수인 경우

를 만족시킨다. [eqn: a _{5}]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

좌표평면 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 동경 [eqn: rmOP]가 나타내는
각의 크기 중 하나를 [eqn: theta][eqn: LEFT ( {pi } over {2} < theta < pi RIGHT )]라 하자.
각의 크기 [eqn: 6theta]를 나타내는 동경이 동경 [eqn: rmOP]와 일치할 때, [eqn: theta]의 값은?
(단, [eqn: rmO]는 원점이고, [eqn: x]축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [3점]

① [eqn: {3} over {5} pi]	② [eqn: {2} over {3} pi]	③ [eqn: {11} over {15} pi]	④ [eqn: {4} over {5} pi]	⑤ [eqn: {13} over {15} pi]

부등식 [eqn: 10 ^{n} <24 ^{10} <10 ^{n+1}]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의 값은?
(단, [eqn: log`2=0.3010], [eqn: `log`3=0.4771]로 계산한다.) [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

그림과 같이 중심각의 크기가 [eqn: {pi } over {3}]인 부채꼴 [eqn: rmOAB]의
호의 길이가 [eqn: pi]일 때, 삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이는? [3점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: pi]

[eqn: {pi} over {3}]

① [eqn: 2 sqrt {3}]	② [eqn: {9 sqrt {3}} over {4}]	③ [eqn: {5 sqrt {3}} over {2}]	④ [eqn: {11 sqrt {3}} over {4}]	⑤ [eqn: 3 sqrt {3}]

두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{x}], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =3 ^{2-x} +a]의 그래프가 만나는 점의
[eqn: x]좌표가 [eqn: 2]일 때, 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `1,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]의
최솟값은? (단, [eqn: a]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: 31]	② [eqn: 32]	③ [eqn: 33]	④ [eqn: 34]	⑤ [eqn: 35]

실수 전체의 집합에서 연속인 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 모든 실수 [eqn: x]에 대하여

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +ax+b]

를 만족시킨다. [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =4]일 때, [eqn: a TIMES b]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

그림과 같이 두 곡선 [eqn: y=log` _{2} ` LEFT ( x+4 RIGHT )], [eqn: y=log` _{2} `x`+1]이 [eqn: x]축과
만나는 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rm B]라 하고 두 곡선이 만나는 점을 [eqn: rm C]라 할 때, 삼각형 [eqn: RMABC]의 넓이는? [3점]

[eqn: rmA]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B]

[eqn: rmC]

[eqn: y=log _{`2} `x+1]

[eqn: y=log _{`2} ` LEFT ( x+4 RIGHT )]

① [eqn: 5]	② [eqn: {21} over {4}]	③ [eqn: {11} over {2}]	④ [eqn: {23} over {4}]	⑤ [eqn: 6]

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]이 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여

[eqn: sum _{k=1} ^{n} a _{2k-1} =3n ^{2} -n], [eqn: sum _{k=1} ^{2n} a _{k} =6n ^{2} +n]

을 만족시킬 때, [eqn: sum _{k=1} ^{24} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{k} `a _{k}]의 값은? [4점]

① [eqn: 18]	② [eqn: 24]	③ [eqn: 30]	④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 42]

그림과 같이 자연수 [eqn: n]에 대하여 함수 [eqn: y=a ^{x} -1][eqn: LEFT ( a>1 RIGHT )]의
그래프가 두 직선 [eqn: y=n], [eqn: y=n+1]과 만나는 점을
각각 [eqn: rm A it rm _{itn}], [eqn: rm A it rm _{itn+1}]이라 하자. 선분 [eqn: rm A _{itn} A _{itn+1}]을 대각선으로 하고,
각 변이 [eqn: x]축 또는 [eqn: y]축과 평행한 직사각형의 넓이를 [eqn: S _{n}]이라 하자.
[eqn: sum _{n=1} ^{14} S _{n} =6]일 때, 상수 [eqn: a]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: itx]

[eqn: it y]

[eqn: it y=n+1]

[eqn: it y=n]

[eqn: it y=a ^{x} -1]

[eqn: rm A _{it n+1 rm}]

[eqn: rm A _{itn}]

① [eqn: sqrt {2}]	② [eqn: sqrt {3}]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: sqrt {5}]	⑤ [eqn: sqrt {6}]

[eqn: 0 LEQ t LEQ 3]인 실수 [eqn: t]와 상수 [eqn: k]에 대하여 [eqn: t LEQ x LEQ t+1]에서
방정식 [eqn: sin {pi} over {2} x=k]의 모든 해의 개수를 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]라 하자.
함수 [eqn: f LEFT ( t RIGHT )]가

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {cases{``1 _{{}_{`}}&``````` LEFT ( 0 LEQ t<a````````````````````````a<t LEQ b RIGHT ) _{{}_{`}}#``2 _{{}_{`}}^{{}^{`}}&``````` LEFT ( t=a RIGHT ) _{{}_{`}}^{{}^{`}}#``0 ^{{}^{`}}&``````` LEFT ( b<t LEQ 3 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

또는

일 때, [eqn: a ^{2} +b ^{2} +k ^{2}]의 값은?
(단, [eqn: a], [eqn: b]는 [eqn: 0<a<b<3]인 상수이다.) [4점]

① [eqn: 2]	② [eqn: {5} over {2}]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: {7} over {2}]	⑤ [eqn: 4]

다음은 [eqn: 21] 이하의 서로 다른 [eqn: 4]개의 자연수
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c], [eqn: d][eqn: LEFT ( `a<b<c<d RIGHT )]에 대하여 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키는
모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수를 구하는 과정이다.

세 자연수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: d]는 [eqn: 2b=a+d]를 만족시키므로
이 순서대로 등차수열을 이룬다.

이 등차수열의 공차가 될 수 있는 가장 작은 값은 [eqn: 2],
가장 큰 값은 [eqn: LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.
이 등차수열의 공차를 [eqn: k][eqn: LEFT ( 2 LEQ k LEQ LEFT . {BOX{```````(가) _{`}^{`} ```````}} RIGHT . ` RIGHT )]라 하면
[eqn: a<a+k<c<a+2k]이므로

[eqn: c]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: k-1]이고
[eqn: a]가 될 수 있는 모든 자연수의 개수는 [eqn: LEFT . {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} RIGHT .]이다.

따라서 구하는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `a,``b,``c,``d RIGHT )]의 개수는
[eqn: sum _{k=2} ^{{}_{`} {BOX{```(가) _{`}^{`} ```}} _{`}} LEFT { LEFT ( `k-1 RIGHT ) ` TIMES LEFT ( ` {BOX{```````(나) _{`}^{`} ```````}} ` RIGHT ) RIGHT } = {BOX{```````(다) _{`}^{`} ```````}} `]

위의 (가), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p], [eqn: q]라 하고,
(나)에 알맞은 식을 [eqn: f LEFT ( k RIGHT )]라 할 때, [eqn: p+q+f LEFT ( 3 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 304]	② [eqn: 307]	③ [eqn: 310]	④ [eqn: 313]	⑤ [eqn: 316]

[eqn: x`ge0]에서 정의된 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =a`cos`bx+c]의 최댓값이 [eqn: 3],
최솟값이 [eqn: -1]이다. 그림과 같이 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와
직선 [eqn: y=3]이 만나는 점 중에서 [eqn: x]좌표가 가장 작은 점과
두 번째로 작은 점을 각각 [eqn: rmA], [eqn: rmB]라 하고,
함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프와 [eqn: x]축이 만나는 점 중에서
[eqn: x]좌표가 가장 작은 점과 두 번째로 작은 점을 각각 [eqn: rmC], [eqn: rmD]라 하자.
사각형 [eqn: rm ACDB]의 넓이가 [eqn: 6 pi]일 때,
[eqn: 0 LEQ x LEQ 4 pi]에서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2]의 모든 해의 합은?
(단, [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 양수이다.) [4점]

[eqn: -1]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: y=3]

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

① [eqn: 6 pi]	② [eqn: {13} over {2} pi]	③ [eqn: 7 pi]	④ [eqn: {15} over {2} pi]	⑤ [eqn: 8 pi]

그림과 같이 길이가 [eqn: 2]인 선분 [eqn: rmAB]를 지름으로 하는 반원과
선분 [eqn: rmAB]의 중점 [eqn: rmO]가 있다. 호 [eqn: rmAB] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 점 [eqn: rmP]를
지나고 직선 [eqn: rmAB]와 평행한 직선과 점 [eqn: rmB]를 지나고 직선 [eqn: rmOP]와
평행한 직선이 만나는 점을 [eqn: rmQ]라 하자. [eqn: {bar{rmBP}} =t]라 할 때,
[eqn: lim _{t` -> `0+} {{3- {bar{rm AQ it}}} over {t ^{2}}}]의 값은? (단, [eqn: 0<t< sqrt {2}]) [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

① [eqn: {1} over {6}]	② [eqn: {1} over {3}]	③ [eqn: {1} over {2}]	④ [eqn: {2} over {3}]	⑤ [eqn: {5} over {6}]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{`` _{{}_{`}} x ^{2}&`````` LEFT ( x<0 RIGHT ) _{{}_{`}}#` ^{{}^{`}} `x&`````` LEFT ( x GEQ 0 RIGHT ) ^{{}^{`}}}}]

이고, 좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A LEFT ( `-1,``3 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `1,``3 RIGHT )], [eqn: rmC LEFT ( `1,``5 RIGHT )]가 있다.
실수 [eqn: x]에 대하여 점 [eqn: rm P LEFT ( it `x,``f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]와 삼각형 [eqn: rmABC]의 세 변 위의
임의의 점 [eqn: rm Q]에 대하여 [eqn: rm {bar{PQ}} ^{2}]의 최댓값을 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]라 하자.
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로
고른 것은? [4점]

		보 기
ㄱ. [eqn: g LEFT ( 0 RIGHT ) =26] ㄴ. 닫힌구간 [eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값은 [eqn: 10]이다. ㄷ. 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하지 않은 모든 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 2]이다.

[eqn: rm O]

[eqn: itx]

[eqn: it y]

[eqn: it y=f(x)]

[eqn: rmB]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A]

[eqn: -1]

[eqn: 1]

[eqn: 5]

[eqn: 3]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

세 실수 [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]에 대하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {cases{``- LEFT | 2x+a RIGHT | _{{}_{`}}&`````` LEFT ( x`<`0 RIGHT ) _{{}_{`}}#``x ^{2} +bx+c ^{{}^{{}^{`}}}&`````` LEFT ( x` GEQ 0 RIGHT ) ^{{}^{{}^{`}}}}}]

이고, 함수 [eqn: LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]는 실수 전체의 집합에서 연속이다.
실수 [eqn: t]에 대하여 직선 [eqn: y=t]가 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y= LEFT | f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT |]의
그래프와 만나는 점의 개수를 각각 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )], [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]라 할 때,
두 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )], [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 함수 [eqn: g LEFT ( t RIGHT )]의 치역은 [eqn: LEFT { `1,``2,``3,``4 RIGHT }]이다.

(나) [eqn: lim _{t` -> it `2-} {h LEFT ( t RIGHT )} ` TIMES lim _{t` -> it `2+} {h LEFT ( t RIGHT )} =12]

[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT )]의 값은? [4점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

단 답 형

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{3} +x ^{2} -x+3]에 대하여 [eqn: f` prime LEFT ( 1 RIGHT )]의 값을 구하시오.

[3점]

부등식 [eqn: 4 ^{x-2} le32]를 만족시키는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 합을
구하시오. [3점]

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합을 [eqn: S_n]이라 하자.

[eqn: S_n = n^2 +n+1]

일 때, [eqn: a _{1} +a _{4}]의 값을 구하시오. [3점]

다항함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가

[eqn: lim _{x` -> ` INF } {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x ^{2}}} =2], [eqn: lim _{x` -> `2} {{f LEFT ( x RIGHT )} over {x-2} =7}]

을 만족시킬 때, [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT )]의 값을 구하시오. [3점]

곡선 [eqn: y=3 ^{x} +1]을 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동한 후,
[eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: b]만큼 평행이동한 곡선을
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]라 하자. 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 점근선이 직선 [eqn: x=5]이고
곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]가 곡선 [eqn: y=3 ^{x} +1]의 점근선과 만나는 점의
[eqn: x]좌표가 [eqn: 6]일 때, 두 상수 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여 [eqn: a+b]의 값을 구하시오.

[4점]

[eqn: {1} over {4}]과 [eqn: 16] 사이에 [eqn: n]개의 수를 넣어 만든
공비가 양수 [eqn: r]인 등비수열

[eqn: {1} over {4}], [eqn: a _{1}], [eqn: a _{2}], [eqn: a _{3}], [eqn: cdots], [eqn: a _{n}], [eqn: 16]

의 모든 항의 곱이 [eqn: 1024]일 때, [eqn: r ^{9}]의 값을 구하시오. [4점]

그림과 같이 반지름의 길이가 [eqn: 6]인 원에 내접하는
사각형 [eqn: rmABCD]에 대하여 [eqn: rm {bar{AB}} = {bar{CD}} =3 sqrt {3}], [eqn: rm {bar{BD}} =8 sqrt {2}]일 때,
사각형 [eqn: rmABCD]의 넓이를 [eqn: S`]라 하자. [eqn: {S ^{`2}} over {13}]의 값을 구하시오. [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rmC]

[eqn: rm 3 sqrt {3}]

[eqn: rm D]

[eqn: 8 sqrt {2}]

[eqn: rm 3 sqrt {3}]

상수 [eqn: a]와 최고차항의 계수가 [eqn: 1]인 이차함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에 대하여
함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -x+a RIGHT ) f LEFT ( x RIGHT )]라 할 때,
두 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: lim _{x` -> `1} {{g LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( x RIGHT )} over {x-1}} =0]

(나) [eqn: g`' LEFT ( 1 RIGHT ) != 0]

(다) [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =f`' LEFT ( alpha RIGHT )]이고 [eqn: g` prime LEFT ( alpha RIGHT ) =2f` prime LEFT ( alpha RIGHT )]인 실수 [eqn: alpha]가 존재한다.

[eqn: g LEFT ( alpha +4 RIGHT ) = {q} over {p}]일 때, [eqn: p+q]의 값을 구하시오.
(단, [eqn: p]와 [eqn: q]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

두 정수 [eqn: l], [eqn: m]에 대하여 두 등차수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }], [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 일반항이

[eqn: a _{n} =12+ LEFT ( n-1 RIGHT ) l],

[eqn: b _{n} =it-10+ LEFT ( n-1 RIGHT ) m]

일 때,

[eqn: sum _{k=1} ^{10} LEFT | a _{k} +b _{k} RIGHT | = sum _{k=1} ^{10} LEFT ( LEFT | a _{k} RIGHT | - LEFT | b _{k} RIGHT | RIGHT ) =31]

을 만족시키는 모든 순서쌍 [eqn: LEFT ( `l,``m RIGHT )]의 개수를 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.