• 2교시 수학 영역 •

[가형]

1	①	2	②	3	①	4	③	5	⑤
6	⑤	7	②	8	②	9	④	10	④
11	③	12	③	13	③	14	⑤	15	①
16	④	17	⑤	18	④	19	⑤	20	①
21	②	22	12	23	81	24	36	25	9
26	27	27	6	28	100	29	43	30	134

1. [출제의도] 삼각함수 계산하기

[eqn: sin {3} over {2} pi =sin LEFT ( pi + {pi } over {2} RIGHT ) = it -1]

2. [출제의도] 지수함수의 미분법 계산하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =e ^{x} +1]이므로

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =e ^{0} +1=1+1=2]

3. [출제의도] 로그함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+x RIGHT )} over {4x}} = {1} over {4} TIMES lim _{x` -> `0} {{ln LEFT ( 1+x RIGHT )} over {x}} = {1} over {4}]

4. [출제의도] 함수의 극한 이해하기

[eqn: lim _{x` -> `0-} {f LEFT ( x RIGHT )} + lim _{x` -> `1+} {f LEFT ( x RIGHT )} = it -1+2=1]

5. [출제의도] 도함수의 활용 이해하기

[eqn: y` prime = it -6x ^{2} +5]이므로 점 [eqn: LEFT ( `1,``3 RIGHT )]에서의 접선의
기울기는 [eqn: -6 TIMES 1 ^{2} +5= it -1]

6. [출제의도] 등비수열의 극한 이해하기

[eqn: a _{n} =a _{1} TIMES 3 ^{n-1}]이므로

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{n} -2} over {3 ^{n+1} +2a _{n}}} = lim _{n` -> ` INF } {{a _{1} TIMES 3 ^{n-1} -2} over {3 ^{n+1} +2a _{1} TIMES 3 ^{n-1}}}]

분모, 분자를 [eqn: 3 ^{n-1}]으로 나누면
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{a _{1} - {2} over {3 ^{n-1}}} over {9+2a _{1}}} = {2} over {5}]에서 [eqn: {a _{1}} over {9+2a _{1}} = {2} over {5}]

따라서 [eqn: a _{1} =18]

7. [출제의도] 정적분 이해하기

[eqn: int _{-1} ^{1} {LEFT ( 4x ^{3} +x ^{2} - {1} over {2} x+a RIGHT ) dx}]

[eqn: =2 int _{0} ^{1} {LEFT ( x ^{2} +a RIGHT ) dx}][eqn: =2 LEFT [ {1} over {3} x ^{3} +ax RIGHT ] _{0}^{1}][eqn: = {2} over {3} +2a]

[eqn: {2} over {3} +2a=2]이므로 [eqn: a= {2} over {3}]

8. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

주어진 그래프를 [eqn: y]축의 방향으로 [eqn: -1]만큼 평행이동
하면 함수 [eqn: y=a`cos {pi } over {2b} x]의 그래프와 일치한다.

함수 [eqn: y=a`cos {pi } over {2b} x]의 최댓값이 [eqn: 3],
최솟값이 [eqn: -3]이므로 [eqn: LEFT | a RIGHT | =3]

[eqn: a>0]이므로 [eqn: a=3]

주기가 [eqn: 4]이므로 [eqn: {~2 pi ~} over {LEFT | {pi } over {2b} RIGHT |} =4]에서 [eqn: LEFT | b RIGHT | =1]

[eqn: b>0]이므로 [eqn: b=1]

따라서 [eqn: a+b=4]

9. [출제의도] 로그부등식 이해하기

진수조건에 의하여

[eqn: x-2>0], [eqn: 3x+4>0]이므로 [eqn: x>2] [eqn: CDOTS] ㉠

[eqn: log _{`2} `4+log _{`2} ` LEFT ( x-2 RIGHT ) <log _{`2} ` LEFT ( 3x+4 RIGHT )]

[eqn: log _{`2} `4 LEFT ( x-2 RIGHT ) <log _{`2} ` LEFT ( 3x+4 RIGHT )]

[eqn: 4x-8<3x+4]

[eqn: x<12] [eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 2<x<12]

따라서 정수 [eqn: x]의 개수는 [eqn: 9]

10. [출제의도] 부정적분 이해하기

[eqn: {d} over {dx} int _{} ^{} {LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} +4 RIGHT }} dx=f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} +4]

[eqn: int _{} ^{} {{d} over {dx} LEFT { 2f LEFT ( x RIGHT ) -3x+1 RIGHT } dx=}2f LEFT ( x RIGHT ) -3x+C]

(단, [eqn: C`]는 적분상수)

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -x ^{2} +4=2f LEFT ( x RIGHT ) -3x+C`]에서

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +3x+4-C]
[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =it-1+3+4-C=3]에서 [eqn: C`=3]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =it-x ^{2} +3x+1]

따라서 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =1]

11. [출제의도] 다항함수의 미분가능성 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 실수 전체의 집합에서 미분가능
하므로 [eqn: x=2]에서 미분가능하다.

(ⅰ) [eqn: x=2]에서 연속

[eqn: lim _{x` -> `2-} {f LEFT ( x RIGHT ) = lim _{x` -> `2+} {f LEFT ( x RIGHT )} =f LEFT ( 2 RIGHT )}]에서 [eqn: 4a+b=8] [eqn: CDOTS] ㉠

(ⅱ) [eqn: x=2]에서 미분가능

[eqn: lim _{x` -> `2-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2} = lim _{x` -> `2-} {{x ^{3} +ax ^{2} +b-16} over {x-2}}}]

[eqn: = lim _{x` -> `2-} {{LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT { x ^{2} + LEFT ( a+2 RIGHT ) x+ LEFT ( 2a+4 RIGHT ) RIGHT }} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2-} {LEFT { x ^{2} + LEFT ( a+2 RIGHT ) x+ LEFT ( 2a+4 RIGHT ) RIGHT }}][eqn: =4a+12]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2+} {{4x ^{2} -16} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2+} {{4 LEFT ( x+2 RIGHT ) LEFT ( x-2 RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2+} {4 LEFT ( x+2 RIGHT )}]
[eqn: =16]

[eqn: lim _{x` -> `2-} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}][eqn: = lim _{x` -> `2+} {{f LEFT ( x RIGHT ) -f LEFT ( 2 RIGHT )} over {x-2}}]에서

[eqn: 4a+12=16] [eqn: cdots] ㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: a=1], [eqn: b=4]

따라서 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =6]

12. [출제의도] 급수와 정적분의 관계 이해하기

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )}][eqn: = {1} over {2} TIMES lim _{n` -> ` INF } {{2} over {n} sum _{k=1} ^{n} f LEFT ( 1+ {2k} over {n} RIGHT )}][eqn: = {1} over {2} int _{1} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = {1} over {2} LEFT [ {}^{{}^{{}^{}} ^{}} x ^{3} -2x ^{2} +6x _{{}_{{}_{} _{}}} RIGHT ] _{1}^{3} =11]

13. [출제의도] 등비급수 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r _{1}], 수열 [eqn: LEFT { b _{n} RIGHT }]의 공비를 [eqn: r _{2}]라
할 때,

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} = {1} over {1-r _{1}} =4]이므로 [eqn: r _{1} = {3} over {4}]

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } b _{n} = {1} over {1-r _{2}} =2]이므로 [eqn: r _{2} = {1} over {2}]

[eqn: a _{n} b _{n} = LEFT ( {3} over {8} RIGHT ) ^{n-1}]이므로 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } a _{n} b _{n} = {1} over {1- {3} over {8}} = {8} over {5}]

14. [출제의도] 정적분을 활용하여 문제해결하기

[eqn: v LEFT ( t RIGHT ) =t ^{2} -2t-3= LEFT ( t+1 RIGHT ) LEFT ( t-3 RIGHT )]

[eqn: t=0]부터 [eqn: t=4]까지 점 [eqn: rm P]가 움직인 거리는

[eqn: int _{0} ^{4} {LEFT | v(t) RIGHT |} dt]

[eqn: = int _{0} ^{3} {LEFT ( -t ^{2} +2t+3 RIGHT )} dt+ int _{3} ^{4} {LEFT ( t ^{2} -2t-3 RIGHT )} dt][eqn: = LEFT [ - {1} over {3} t ^{3} +t ^{2} +3t RIGHT ] _{0}^{3} + LEFT [ {1} over {3} t ^{3} -t ^{2} -3t RIGHT ] _{3}^{4}][eqn: = {34} over {3}]

15. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

[eqn: log` _{3`} a=1], [eqn: log` _{3`} 27=b]이므로 [eqn: a=3], [eqn: b=3]
함수 [eqn: y=log` _{3`} x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: m]만큼
평행이동한 함수 [eqn: y=log`_{`3} LEFT ( x-m RIGHT )]의 그래프가
두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 중점의 좌표 [eqn: LEFT ( `15,``2 RIGHT )]를 지나므로
[eqn: log` _{3`} LEFT ( 15-m RIGHT ) =2]
따라서 [eqn: m=6]

16. [출제의도] 삼각함수의 그래프 이해하기

[eqn: cos ^{2} x=1-sin ^{2} x]이므로

[eqn: 2 LEFT ( 1-sin ^{2} x RIGHT ) + LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) sinx- LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =0]

[eqn: 2sin ^{2} x- LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) sinx+ sqrt {3} =0]

[eqn: LEFT ( 2sinx- sqrt {3} RIGHT ) LEFT ( sinx-1 RIGHT ) =0]

[eqn: sinx= {sqrt {3}} over {2}] 또는 [eqn: sinx=1]이므로

[eqn: 0 LEQ x LEQ pi]에서

[eqn: x= {pi } over {3}] 또는 [eqn: x= {2} over {3} pi] 또는 [eqn: x= {pi } over {2}]

따라서 모든 해의 합은 [eqn: {3} over {2} pi]

17. [출제의도] 정적분을 활용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 최고차항의 계수가 양수이므로
함수 [eqn: y=f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 그림과 같다.

[eqn: f` prime LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이고 [eqn: x=0]의 좌우에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )]의 부호가
양에서 음으로 바뀌므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=0]에서
극댓값을 갖는다. (참)

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rmO]

[eqn: S]

[eqn: T]

[eqn: y=f`'(x)]

ㄴ. [eqn: alpha =it- beta]에 의하여

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x-beta RIGHT ) x LEFT ( x+beta RIGHT )][eqn: =kx ^{3} -k` beta ` ^{2} x]([eqn: k>0])
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {4} x ^{4} - {k` beta ` ^{2} `} over {2} x ^{2} +C`](단, [eqn: C`]는 적분상수)

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: y]축에 대하여 대칭인 함수이므로
[eqn: f LEFT ( - beta RIGHT ) = it f LEFT ( beta RIGHT )]

[eqn: S`= int _{alpha } ^{0} {LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx= int _{- beta } ^{0} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} dx=f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( - beta RIGHT )}][eqn: T`= int _{0} ^{beta } {LEFT | f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT | dx}][eqn: = int _{0} ^{beta } {LEFT { -f` prime LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } dx}]                              [eqn: =it-f LEFT ( beta RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )]

따라서 [eqn: S`=T] (참)

ㄷ. [eqn: S<T], [eqn: f LEFT ( alpha RIGHT ) =0]이므로
[eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) -f LEFT ( alpha RIGHT ) < it -f LEFT ( beta RIGHT ) +f LEFT ( 0 RIGHT )]에서 [eqn: f LEFT ( beta RIGHT ) <0]
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= alpha], [eqn: x=beta]에서 극솟값,
[eqn: x=0]에서 극댓값을 갖는다.
[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의 개형은 그림과 같다.

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: alpha]

[eqn: beta]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(x)]

방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =0]의 양의 실근의 개수는 [eqn: 2] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. [출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rmR(`it t ,``0)]이고, 점 [eqn: rm P it LEFT ( `t,``t ^{2} RIGHT )]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: y=2t LEFT ( x-t RIGHT ) +t ^{2} =2tx-t ^{2}]

[eqn: x]절편은 [eqn: {t} over {2}]이므로 [eqn: rm Q LEFT ( ` it {t} over {2} ,``0 RIGHT )]

[eqn: {bar{rm QR it}} = {t} over {2}], [eqn: {bar{rm PR it}} =t ^{2}]

따라서 삼각형 [eqn: rmPQR]의 넓이

[eqn: f LEFT ( t RIGHT ) = {1} over {2} TIMES {bar{rm QR it}} TIMES {bar{rm PR it}} = {1} over {2} TIMES {t} over {2} TIMES t ^{2} = {1} over {4} t ^{3}]

[eqn: x>0]일 때, 두 곡선 [eqn: y=x^2], [eqn: y=sqrtx]는
직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: rmP]와 [eqn: rmA]는 각각 두 곡선 위의 점이고,

기울기가 [eqn: -1]인 직선 위에 있으므로 직선 [eqn: y=x]에
대하여 대칭이다.
따라서 [eqn: rm A LEFT ( it `t ^{2} ,``t RIGHT )]

한 변의 길이가 [eqn: t-t ^{2}]인 정사각형 [eqn: rm PCAB]의 넓이

[eqn: g LEFT ( t RIGHT ) = LEFT ( t-t ^{2} RIGHT ) ^{2} =t ^{4} -2t ^{3} +t ^{2}]

따라서 [eqn: lim _{t` -> `0+} {{t TIMES g LEFT ( t RIGHT )} over {f LEFT ( t RIGHT )}} = lim _{t` -> `0+} {{t LEFT ( t ^{4} -2t ^{3} +t ^{2} RIGHT )} over {{1} over {4} t ^{3}}} =4]

19. [출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT )][eqn: =6kx ^{2} -6 LEFT ( 3k+1 RIGHT ) x+18]
[eqn: =6 LEFT ( kx-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]
[eqn: =6k LEFT ( x- {1} over {k} RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]

[eqn: {1} over {k} =3]인 경우 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =2 LEFT ( x-3 RIGHT ) ^{2} GEQ 0]이므로
함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 따라서

[eqn: k=` {BOX{````` {1} over {3} `` _{} ` ^{{}^{{}^{}}} `}}]인 경우를 제외하고 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 실수
전체의 집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로

(ⅰ) [eqn: 0<k` LEQ `` {BOX{````` {1} over {3} `` _{} ` ^{{}^{{}^{}}} `}}]일 때,
[eqn: 0<x<3]에서 [eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) >0]이므로 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는
증가한다.
따라서 닫힌 구간 [eqn: [`0,``3]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의
최댓값이 [eqn: LEFT . f LEFT ( 3 RIGHT ) = {BOX{``````-27k+25 _{`}^{`} ```````}} RIGHT . `]이다. 그러나
[eqn: LEFT . {BOX{``````-27k+25 _{`}^{`} ```````}} `=12 RIGHT . `]를 만족하는 [eqn: k= {13} over {27}]이므로
[eqn: 0<k` LEQ `` {BOX{````` {1} over {3} `` _{} ` ^{{}^{{}^{}}} `}}]에 존재하지 않는다.

(ⅱ) [eqn: k`>`` {BOX{````` {1} over {3} `` _{} ` ^{{}^{{}^{}}} `}}]일 때,
닫힌 구간 [eqn: [`0,``3]]에서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: 0]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {1} over {k}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: 3]
[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]		[eqn: NEARROW]	극대	[eqn: SEARROW]

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x= {1} over {k}]에서 극대이면서
최대이다. [eqn: f LEFT ( {1} over {k} RIGHT ) = {2} over {k ^{2}} - {3 LEFT ( 3k+1 RIGHT )} over {k ^{2}} + {18} over {k} -2=12]

[eqn: LEFT ( 7k-1 RIGHT ) LEFT ( 2k-1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: k> {1} over {3}]이므로 [eqn: k= {1} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 닫힌 구간
[eqn: LEFT [ `0,``3 RIGHT ]]에서 최댓값 [eqn: 12]를 가질 때, [eqn: k`=`` {BOX{````` {1} over {2} `` _{} ` ^{{}^{{}^{}}} `}}]이다.

(가), (다)에 알맞은 수는 각각 [eqn: a= {1} over {3}], [eqn: b= {1} over {2}]

(나)에 알맞은 식은 [eqn: g LEFT ( k RIGHT ) =it-27k+25]

따라서 [eqn: {g LEFT ( a RIGHT )} over {b} =32]

20. [출제의도] 삼각함수의 극한을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rm D]에서 선분 [eqn: rm BC]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면
삼각형 [eqn: rm BED]와 삼각형 [eqn: rm DEH]는 닮음이므로
[eqn: rm ANGLE EBD= ANGLE EDH= theta]
선분 [eqn: rm AC]와 선분 [eqn: rm DH]는 서로 평행하므로
[eqn: rm ANGLE ACD= ANGLE CDH=2 theta]

[eqn: ANGLE rm DAC= ANGLE CDA= {pi } over {2} - theta]이므로
삼각형 [eqn: rm CAD]는 [eqn: rm {bar{CA}} = {bar{CD}}]인 이등변삼각형이다.

[eqn: rm {bar{AB}} =4]이므로 [eqn: rm {bar{CA}} = {bar{CD}} =4sin theta]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rmC]

[eqn: rmD]

[eqn: rmE]

[eqn: rmF]

[eqn: rmH]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

[eqn: theta]

[eqn: 2theta]

[eqn: ◦]

[eqn: ◦]

[eqn: ◦]

삼각형 [eqn: rm DHC]에서

[eqn: rm {bar{DH}} = {bar{CD}} cos2 theta =4sin theta cos2 theta]

삼각형 [eqn: rm DHE]에서
[eqn: rm {bar{DE}} = {rm {bar{DH}}} over {cos theta } =4tan theta cos2 theta]

점 [eqn: rm E]에서 선분 [eqn: rm CD]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm F]라 할 때,
[eqn: rm {bar{EF}} = {bar{DE}} sin theta]

삼각형 [eqn: rm CDE]의 넓이

[eqn: S`( theta )][eqn: = {1} over {2} TIMES rm {bar{CD}} TIMES {bar{EF}}]
[eqn: =8sin ^{2} theta tan theta cos2 theta]

따라서 [eqn: lim _{theta ` -> `0+} {{S`( theta )} over {theta ^{3}}} = lim _{theta ` -> `0+} {{8sin ^{2} theta tan theta cos2 theta } over {theta ^{3}}}]

[eqn: =8 TIMES lim _{theta ` -> `0+} {} LEFT { LEFT ( {sin theta } over {theta } RIGHT ) ^{2} TIMES LEFT ( {tan theta } over {theta } RIGHT ) TIMES cos2 theta RIGHT }]

=[eqn: 8]

21. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=1]에서 극댓값, [eqn: x=3]에서 극솟값을
갖고, [eqn: k]의 값에 따른 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의
그래프는 그림과 같다.

(ⅰ) [eqn: k<0]일 때

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: -8k]

그림과 같이 한 점에서만 미분가능하지 않도록 하는
[eqn: a], [eqn: b]가 존재하지 않는다.

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=g(x)]

(ⅱ) [eqn: k=0]일 때

[eqn: rmO]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

그림과 같이 [eqn: b=3]일 때 [eqn: g` prime LEFT ( 3 RIGHT ) =0]이므로
[eqn: g LEFT ( 3 RIGHT ) = int _{0} ^{3} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} RIGHT ] _{0}^{3} =27=c]

[eqn: g LEFT ( a RIGHT ) =27]에서

[eqn: a ^{4} -8a ^{3} +18a ^{2} =27], [eqn: LEFT ( a+1 RIGHT ) LEFT ( a-3 RIGHT ) ^{3} =0]
[eqn: a= it -1]

따라서 [eqn: a= it -1], [eqn: b=3], [eqn: c=27]

[eqn: rmO]

[eqn: 3]([eqn: =b])

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -1]

([eqn: =a])

[eqn: 27]

[eqn: y=g(x)]

(ⅲ) [eqn: k=1]일 때

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -8]

[eqn: y=f(x)]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =4x ^{3} -24x ^{2} +36x-8]에서

[eqn: f LEFT ( 2- sqrt {3} RIGHT ) =f LEFT ( 2 RIGHT ) =f LEFT ( 2+ sqrt {3} RIGHT ) =0]이므로

그림과 같이 함수 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는
[eqn: x=2- sqrt {3}], [eqn: x=2+ sqrt {3}]에서 극솟값 [eqn: -1],
[eqn: x=2]에서 극댓값을 갖는다.

[eqn: g LEFT ( 2 RIGHT ) = int _{0} ^{2} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}][eqn: = LEFT [ x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} -8x RIGHT ] _{0}^{2} =8=c]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) =8]에서

[eqn: x ^{4} -8x ^{3} +18x ^{2} -8x=8]

[eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-2+ sqrt {6} RIGHT ) LEFT ( x-2- sqrt {6} RIGHT ) =0]

따라서 [eqn: a=2- sqrt {6}], [eqn: b=2], [eqn: c=8]
또는 [eqn: a=2], [eqn: b=2+ sqrt {6}], [eqn: c=8]

[eqn: 2]([eqn: =b])

[eqn: 2-sqrt6]

([eqn: =a])

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 8]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: 2]([eqn: =a])

[eqn: 2+sqrt6]([eqn: =b])

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: 8]

[eqn: y=g(x)]

(ⅳ) [eqn: k=2]일 때

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -16]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: 1]

그림과 같이 [eqn: a=1]일 때, [eqn: g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이므로

[eqn: g LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: = int _{0} ^{1} {f LEFT ( x RIGHT ) dx}] [eqn: = LEFT [ {}^{{}^{}} x ^{4} -8x ^{3} +18x _{` ^{`}}^{2} -16x _{{}_{}} RIGHT ] _{0}^{1} = it -5=c]

[eqn: g LEFT ( b RIGHT ) = it -5]에서

[eqn: b ^{4} -8b ^{3} +18b ^{2} -16b= it -5], [eqn: LEFT ( b-1 RIGHT ) ^{3} LEFT ( b-5 RIGHT ) =0]
[eqn: b=5]

따라서 [eqn: a=1], [eqn: b=5], [eqn: c=it-5]

[eqn: 1]([eqn: =a])

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: -5]

[eqn: y=g(x)]

([eqn: =b])

[eqn: 5]

(ⅴ) [eqn: k GEQ 3]일 때

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=g(x)]

(ⅰ)의 경우와 마찬가지로 조건을 만족하는
[eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]는 존재하지 않는다.

(ⅰ) ~ (ⅴ)에 의하여 조건을 만족하는
[eqn: k], [eqn: a], [eqn: b], [eqn: c]의 합 [eqn: k+a+b+c]의 값은
각각 [eqn: 29], [eqn: 13- sqrt {6}], [eqn: 13+ sqrt {6}], [eqn: 3]

따라서 [eqn: k+a+b+c]의 최솟값은 [eqn: 3]

22. [출제의도] 부정적분 계산하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{} ^{} {LEFT ( 2x+1 RIGHT ) dx}][eqn: =x ^{2} +x+C]
(단, [eqn: C`]는 적분상수)

이고 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: C`=0]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +x]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3 ^{2} +3=12]

23. [출제의도] 지수함수의 그래프 이해하기

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{x-5}]은 닫힌 구간 [eqn: [`1,``5]]에서
감소하므로 최댓값은 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) = LEFT ( {1} over {3} RIGHT ) ^{1-5} =81]

24. [출제의도] 급수의 성질 이해하기

급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {a _{n}} over {4} -9 RIGHT )]가 수렴하므로 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( {a _{n}} over {4} -9 RIGHT ) }=0]

따라서 [eqn: lim _{n-> INF } {a _{n} }=36]

25. [출제의도] 삼각함수의 미분법 이해하기

[eqn: lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( pi +3h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {h}}][eqn: =3times lim _{h` -> `0} {{f LEFT ( pi +3h RIGHT ) -f LEFT ( pi RIGHT )} over {3h}}][eqn: =3f` prime LEFT ( pi RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) = it -sinx-3cosx]이므로 [eqn: f` prime LEFT ( pi RIGHT ) =3]

따라서 [eqn: 3f` prime LEFT ( pi RIGHT ) =9]

26. [출제의도] 미분계수 이해하기

[eqn: {1} over {n} =h]라 하면, [eqn: n` -> ` INF]일 때, [eqn: h` -> `0+]이다.

(준식)[eqn: = lim _{h` -> `0+} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) g LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: = lim _{h` -> `0+} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) g LEFT ( 1+3h RIGHT ) -f LEFT ( 1+h RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: + lim _{h` -> `0+} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]
[eqn: =3times lim _{h` -> `0+} {{f LEFT ( 1+h RIGHT ) LEFT { g LEFT ( 1+3h RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT }} over {3h}}]

[eqn: + lim _{h` -> `0+} {{LEFT { f LEFT ( 1+h RIGHT ) -f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT } g LEFT ( 1 RIGHT )} over {h}}]

[eqn: =3f LEFT ( 1 RIGHT ) g` prime LEFT ( 1 RIGHT ) +f` prime LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =27]

27. [출제의도] 수열의 극한을 활용하여 문제해결하기

원 [eqn: C _{n}]은 [eqn: x]축에 접하는 원이므로 반지름의 길이는
[eqn: 3n]이다. 원 [eqn: C _{n}]의 중심을 [eqn: rm G _{itn} ( it `4n,``3n)]이라 하면
[eqn: {bar{rm OG _{itn} it}} = sqrt {(4n) ^{2} +(3n) ^{2}} =5n]

그림과 같이 직선 [eqn: rm OG _{itn}]과 원 [eqn: C _{n}]이 만나는 점을
각각 [eqn: rmA], [eqn: rm B]라 하면 선분 [eqn: rmOP]의 길이는

[eqn: rmbar{OB} LEQ {bar{rm OP it}} LEQ bar{OA}]

[eqn: {bar{rm OA it}} = {bar{rm OG _{itn} it}} +3n=8n], [eqn: {bar{rm OB it}} = {bar{rm OG _{itn} it}} -3n=2n]

[eqn: rmA]

[eqn: rmB]

[eqn: rm G _{itn}]

[eqn: rmP]

[eqn: C_n]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

([eqn: rmP])

[eqn: {bar{rm OP it}} =2n] 또는 [eqn: {bar{rm OP it}} =8n]일 때 점 [eqn: rmP]의 개수는 각각
[eqn: 1]개이고, [eqn: 2n+1 LEQ bar{rmOP} LEQ 8n-1]일 때
선분 [eqn: rmOP]의 길이가 자연수인 점 [eqn: rmP]의 개수는 각각
[eqn: 2]개이다.

그러므로 구하는 점 [eqn: rmP]의 개수는

[eqn: 2+2 TIMES LEFT ( 6n-1 RIGHT ) =12n]이므로 [eqn: a _{n} =12n]

따라서 [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{1} over {n ^{2}} sum _{k=1} ^{n} a _{k}}]=[eqn: lim _{n` -> ` INF } {` LEFT { {1} over {n ^{2}} TIMES {12n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} RIGHT }} =6]

28. [출제의도] 함수의 극한 추론하기

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 [eqn: x=0]에서 불연속이고
그 개형은 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: -2]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]에 대하여

(ⅰ) [eqn: -2<t<2]일 때
[eqn: k]값에 관계없이 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의
그래프가 만나는 점의 개수는 [eqn: 2]이므로 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]

(ⅱ) [eqn: t GEQ 2]일 때
[eqn: lim _{x` -> `0-} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} =3k]이고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
기울기가 [eqn: 2]이므로
(a) [eqn: 3k<2]이면 [eqn: f` prime LEFT ( x _{0} RIGHT ) =2]인 [eqn: x=x _{0}]([eqn: x _{0} <0])가
존재한다.

[eqn: t_0]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: x_0]

[eqn: rmO]

[eqn: y=f(x)]

[eqn: y=g(x)]

[eqn: -2]

[eqn: 2]

즉, [eqn: x=x _{0}]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의
그래프가 접할 때 [eqn: t=t _{0}]이라 하면,
[eqn: t=2]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: 2<t<t _{0}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3]

[eqn: t=t _{0}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]

[eqn: t>t _{0}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

(b) [eqn: 3k GEQ 2]이면 [eqn: t GEQ 2]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

(ⅲ) [eqn: t LEQ -2]일 때
[eqn: lim _{x` -> `0+} {f` prime LEFT ( x RIGHT )} = {4} over {3k}]이고, 함수 [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프의
기울기가 [eqn: 2]이므로
(a) [eqn: {4} over {3k} <2]이면 [eqn: f` prime LEFT ( x _{1} RIGHT ) =2]인 [eqn: x=x _{1}]([eqn: x _{1} >0])가 존재한다.
즉, [eqn: x=x _{1}]에서 두 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )], [eqn: y=g LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 접할 때 [eqn: t=t _{1}]이라 하면,
[eqn: t _{1} <t LEQ -2] 에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =3]
[eqn: t=t _{1}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: t<t _{1}]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]
(b) [eqn: {4} over {3k} GEQ 2]이면
[eqn: t= it -2]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =2]
[eqn: t< it -2]에서 [eqn: h LEFT ( t RIGHT ) =1]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여

[eqn: k< {2} over {3}]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t<IT-2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2 LEQ t LEQ 2 RIGHT )#~3~&~ LEFT ( 2<t<t _{0} RIGHT )#~2~&~ LEFT ( t=t _{0} RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t>t _{0} RIGHT )}}]

[eqn: k> {2} over {3}]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t<t _{1} RIGHT )#~2~&~ LEFT ( t=t _{1} RIGHT )#~3~&~ LEFT ( t _{1} <t LEQ it -2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2<t<2 RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

[eqn: k= {2} over {3}]일 때

[eqn: h LEFT ( t RIGHT ) = {cases{~1~&~ LEFT ( t< it -2 RIGHT )#~2~&~ LEFT ( -2 LEQ t<2 RIGHT )#~1~&~ LEFT ( t GEQ 2 RIGHT )}}]

그러므로 함수 [eqn: h LEFT ( t RIGHT )]가 [eqn: t= alpha]에서 불연속이 되는
실수 [eqn: alpha]의 개수가 [eqn: 2]가 되도록 하는 [eqn: k= {2} over {3}]

따라서 [eqn: 150k=100]

29. [출제의도] 삼각함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: sin theta = {sqrt {10}} over {10}]이므로 [eqn: tan theta = {1} over {3}]

[eqn: tan2 theta =tan LEFT ( theta + theta RIGHT ) = {2tan theta } over {1-tan ^{2} theta } = {3} over {4}]

[eqn: ANGLE rm CBA= alpha]라 하면 이등변삼각형 [eqn: rm ABC]에 의하여
[eqn: tan alpha = {4} over {3}]이고, [eqn: rm ANGLE CBE= beta]라 하면
[eqn: beta = alpha -2 theta]이므로 [eqn: tan beta = {tan alpha -tan2 theta } over {1+tan alpha tan2 theta } = {7} over {24}]
[eqn: rm {bar{BH}} = {rm {bar{FH}}} over {tan beta }], [eqn: rm {bar{CH}} = {rm {bar{FH}}} over {tantheta}], [eqn: rm {bar{BH}} + {bar{CH}} =12]

[eqn: rm {bar{FH}} it LEFT ( {1} over {tan beta } + {1} over {tan theta } RIGHT ) = 12]에서 [eqn: rm {bar{FH}} = {28} over {15}]

따라서 [eqn: p=15], [eqn: q=28]이므로 [eqn: p+q=43]

30. [출제의도] 도함수를 활용하여 추론하기

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =k LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-1 RIGHT ) =k LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT )]([eqn: k>0])라 하면
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {k} over {3} x ^{3} -kx+C _{0}](단, [eqn: C _{0}]은 적분상수)

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 극대인 점 [eqn: LEFT ( -1,``f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]과
극소인 점 [eqn: LEFT ( `1,``f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )]이 원 [eqn: C] 위에 있으므로
두 점은 원점에 대하여 대칭이다.

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = it -f LEFT ( 1 RIGHT )], [eqn: C _{0} =0]

따라서 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여
대칭이다.

점 [eqn: LEFT ( -1,``f LEFT ( -1 RIGHT ) RIGHT )]이 원 [eqn: C] 위에 있으므로
[eqn: LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2} +y ^{2} =n], [eqn: y= sqrt {n-1}]

[eqn: f LEFT ( -1 RIGHT ) = {k} over {3} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{3} -k TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) = {2} over {3} k= sqrt {n-1}]
이므로 [eqn: k= {3} over {2} sqrt {n-1}]

따라서 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {1} over {2} sqrt {n-1} LEFT ( x ^{3} -3x RIGHT )]

원 [eqn: C`]와 함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프는 원점에 대하여
대칭이므로 영역 [eqn: S _{2}]와 영역 [eqn: S _{3}] 내부에 있는
[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점의 개수는 같다.
따라서 [eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =g _{3} LEFT ( n RIGHT )]

[eqn: 3]보다 큰 자연수 [eqn: n]에 대하여 [eqn: x= it -2]에서

원 [eqn: C`]는 점 [eqn: LEFT ( -2,` sqrt {n-4} RIGHT )]와
점 [eqn: LEFT ( -2,`- sqrt {n-4} RIGHT )]를 지나고
[eqn: f LEFT ( -2 RIGHT ) = {1} over {2} sqrt {n-1} LEFT ( -8+6 RIGHT ) = it - sqrt {n-1}]이므로
[eqn: - sqrt {n-4} > it - sqrt {n-1}]

그러므로 점 [eqn: LEFT ( -2,``f(-2) RIGHT )]는 원 [eqn: C] 외부의 점이다.

(ⅰ) [eqn: n=4]일 때
영역 [eqn: S _{1}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은
존재하지 않고, 영역 [eqn: S _{2}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가
모두 정수인 점은 [eqn: x=it-1]과 [eqn: x=0] 위에
존재한다.

[eqn: g _{1} LEFT ( 4 RIGHT ) =0], [eqn: g _{2} LEFT ( 4 RIGHT ) =3+1=4]

(ⅱ) [eqn: 5 LEQ n LEQ 9]일 때
영역 [eqn: S _{1}]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은
[eqn: x= it -2] 위에 존재하고, 영역 [eqn: S _{2}]에는 [eqn: x]좌표와
[eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=it-1]과 [eqn: x=0] 위에
존재한다.
[eqn: g _{1} LEFT ( 5 RIGHT ) =1], [eqn: g _{2} LEFT ( 5 RIGHT ) =3+2=5]
[eqn: n=6], [eqn: 7], [eqn: 8]에서 [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =3], [eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =5+2=7]
[eqn: g _{1} LEFT ( 9 RIGHT ) =5], [eqn: g _{2} LEFT ( 9 RIGHT ) =5+2=7]

(ⅲ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 16]일 때
영역 [eqn: S_1]에는 [eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은
[eqn: x=it-3]과 [eqn: x= it -2] 위에 존재하고, 영역 [eqn: S _{2}]에는
[eqn: x]좌표와 [eqn: y]좌표가 모두 정수인 점은 [eqn: x=it-1]과
[eqn: x=0] 위에 존재한다.
[eqn: g _{1} LEFT ( 10 RIGHT ) =1+5=6], [eqn: g _{2} LEFT ( 10 RIGHT ) =5+3=8]
[eqn: n=11], [eqn: 12], [eqn: 13]에서
[eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =3+5=8], [eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =7+3=10]
[eqn: n=14], [eqn: 15], [eqn: 16]에서
[eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) =5+7=12], [eqn: g _{2} LEFT ( n RIGHT ) =7+3=10]

[eqn: C]

[eqn: rmO]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f(x)]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 [eqn: g _{1} LEFT ( n RIGHT ) >g _{3} LEFT ( n RIGHT )]을 만족하는
자연수 [eqn: n]의 최솟값은 [eqn: 14]

따라서
[eqn: a+ LEFT { g _{1} LEFT ( a RIGHT ) timesg _{3} LEFT ( a RIGHT ) RIGHT } =14+ LEFT { g _{1} LEFT ( 14 RIGHT ) timesg _{3} LEFT ( 14 RIGHT ) RIGHT } =134]