• 2교시 수학 영역 •

1	④	2	③	3	⑤	4	②	5	①
6	①	7	③	8	②	9	⑤	10	⑤
11	①	12	②	13	④	14	⑤	15	④
16	①	17	②	18	②	19	④	20	③
21	③	22	6	23	10	24	14	25	9
26	256	27	5	28	7	29	231	30	50

1. [출제의도] 다항식 계산하기

[eqn: A+B= LEFT ( x ^{2} +xy RIGHT ) + LEFT ( x ^{2} +7xy RIGHT ) =2x ^{2} +8xy]

2. [출제의도] 항등식 이해하기

등식 [eqn: x ^{2} +x+a=x ^{2} +bx+6]이 [eqn: x]에 대한
항등식이므로 [eqn: a=6], [eqn: b=1]
따라서 [eqn: a+b=7]

3. [출제의도] 복소수의 성질 이해하기

복소수 [eqn: 5-i]의 켤레복소수가 [eqn: 5+i]이므로
[eqn: 5+i=a+bi]

[eqn: a]와 [eqn: b]는 실수이므로 [eqn: a=5], [eqn: b=1]

따라서 [eqn: a TIMES b=5]

4. [출제의도] 합성함수의 값 계산하기

[eqn: LEFT ( g CIRC f RIGHT ) LEFT ( 1 RIGHT )][eqn: =g LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT )][eqn: =g LEFT ( 2 RIGHT )][eqn: =9]

5. [출제의도] 명제 추론하기

세 조건 [eqn: p], [eqn: q], [eqn: r]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q], [eqn: R`]라 하자.

명제 [eqn: q`` -> ``r]가 참이므로 대우 [eqn: SIMr`` -> ` SIM q]도 참이다.

그러므로 [eqn: R ^{C} SUBSET Q ^{C}]이고 명제 [eqn: p`` -> ` SIM r]가 참이므로
[eqn: P SUBSET R ^{C}]

따라서 [eqn: P SUBSET R ^{C} SUBSET Q ^{C}]이 성립하므로 [eqn: P SUBSET Q ^{C}]이다.

따라서 명제 [eqn: p`` -> ` SIM q]가 항상 참이다.

6. [출제의도] 이차함수 이해하기

[eqn: rm 1]

[eqn: rm O]

[eqn: rm 3]

[eqn: rm 2]

[eqn: rm 5]

[eqn: x]

[eqn: rm 6]

[eqn: y]

[eqn: y= it -x ^{2} +2x+5]

[eqn: y= it -x ^{2} +2x+5= it - LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} +6]의 그래프가
그림과 같으므로 [eqn: x=3]일 때 최솟값은 [eqn: 2]

7. [출제의도] 연립이차방정식 이해하기

[eqn: {cases{2x-y=3````` CDOTS ㉠#`x ^{2} -y= it 2````` CDOTS ㉡}}]

㉠에서 [eqn: y=2x-3]을 ㉡에 대입하면

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 2x-3 RIGHT ) =2]

[eqn: x ^{2} -2x+1=0]

[eqn: LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} =0]

[eqn: THEREFORE] [eqn: x=1], [eqn: y=it-1]

따라서 [eqn: alpha=1], [eqn: beta=it-1]이므로 [eqn: alpha + beta =0]

8. [출제의도] 복소수 이해하기

[eqn: z=1+i]이므로 [eqn: z ^{2} = LEFT ( 1+i RIGHT ) ^{2} =2i]

[eqn: {1} over {z ^{2}} = {1} over {2i} = {1 TIMES i} over {2 i times i} = it - {i} over {2}]

9. [출제의도] 내분점을 활용하여 문제해결하기

변 [eqn: rmBC]의 중점을 [eqn: rm M LEFT ( `7,``4 RIGHT )]라 하고, 삼각형 [eqn: rm ABC]의
무게중심을 [eqn: rmG LEFT ( it`a,``b RIGHT )]라 하면 점 [eqn: rmG]는 선분 [eqn: rmAM]을
[eqn: 2:1]로 내분하는 점이므로 점 [eqn: rmG]의 좌표는

[eqn: LEFT ( ` {2times7+1 TIMES 1} over {2+1} ,`` {2times4+1 TIMES 1} over {2+1} ` RIGHT ) =(`5,``3)]
[eqn: therefore] [eqn: a=5], [eqn: b=3]

따라서 [eqn: a+b=8]

10. [출제의도] 다항식의 곱셈 이해하기

[eqn: a+b=X`]라 하면

[eqn: LEFT ( a+b-1 RIGHT ) LEFT { LEFT ( a+b RIGHT ) ^{2} +a+b+1 RIGHT }][eqn: = LEFT ( X-1 RIGHT ) LEFT ( X ^{2} +X+1 RIGHT )]
[eqn: =X ^{3} -1=8]

[eqn: therefore] [eqn: X ^{3} =9]

따라서 [eqn: LEFT ( a+b RIGHT ) ^{3} =9]

11. [출제의도] 인수정리 이해하기

다항식 [eqn: x ^{4} -4x ^{2} +a]가 [eqn: x-1]로 나누어떨어지므로
다항식 [eqn: x ^{4} -4x ^{2} +a]에 [eqn: x=1]을 대입하면 인수정리에
의해 [eqn: 1-4+a=0]에서 [eqn: a=3]
다항식 [eqn: x ^{4} -4x ^{2} +3]을 [eqn: x-1]로 나눈 몫이 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]이므로

[eqn: x ^{4} -4x ^{2} +3= LEFT ( x-1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]
[eqn: x=3]을 대입하면 [eqn: 2Q` LEFT ( 3 RIGHT ) =3 ^{4} -4 TIMES 3 ^{2} +3=48]

따라서 [eqn: Q` LEFT ( a RIGHT ) =Q` LEFT ( 3 RIGHT ) =24]

12. [출제의도] 명제의 조건 이해하기

두 조건 [eqn: p], [eqn: q]의 진리집합을 각각 [eqn: P], [eqn: Q`]라 하면
[eqn: x ^{2} -5x-6= LEFT ( x+1 RIGHT ) LEFT ( x-6 RIGHT ) LEQ 0]에서 [eqn: -1 LEQ x leq6],

[eqn: LEFT ( x-a RIGHT ) LEFT ( x-a-2 RIGHT ) leq0]에서 [eqn: a LEQ x LEQ a+2]이므로

[eqn: P`= LEFT { x LEFT | -1 LEQ x LEQ 6 RIGHT } RIGHT .], [eqn: Q= LEFT { x LEFT | a LEQ x LEQ a+2 RIGHT } RIGHT .]이다.

[eqn: p]가 [eqn: q]이기 위한 필요조건이므로 [eqn: Q SUBSET P]

[eqn: -1]

[eqn: 6]

[eqn: a]

[eqn: a+2]

[eqn: Q]

[eqn: P]

[eqn: a GEQ it-1] 이고 [eqn: a+2 LEQ 6]이므로 [eqn: -1LEQ a LEQ 4]
따라서 모든 정수 [eqn: a]의 개수는 [eqn: 6]

13. [출제의도] 이차함수를 활용하여 문제해결하기

선회 속도 [eqn: V _{1}], 선회각 [eqn: 30°]로 선회 비행할 때의
선회 반경이 [eqn: R _{1}]이고, [eqn: {1} over {tan30°} = sqrt {3}]이므로
[eqn: R _{1} = {V _{1}^{2}} over {g tan30 ° } = {sqrt {3}} over {g} TIMES V _{1}^{2}]

[eqn: V _{1} :V _{2} =2:3]이므로 [eqn: V _{2} = {3} over {2} V _{1}]

[eqn: R _{2}][eqn: = {V _{2}^{2}} over {g tan30° }]
[eqn: = {sqrt {3}} over {g} TIMES LEFT ( {3} over {2} V _{1} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: = {9} over {4} TIMES LEFT ( {sqrt {3}} over {g} TIMES V _{1}^{2} RIGHT ) = {9} over {4} R _{1}]

따라서 [eqn: {R _{1}} over {R _{2}} = {4} over {9}]

14. [출제의도] 절댓값을 포함한 부등식 이해하기

부등식 [eqn: LEFT | 3x-1 RIGHT | <x+a]의 해는

(ⅰ) [eqn: x geq {1} over {3}]일 때
[eqn: 3x-1<x+a]
[eqn: x< {a+1} over {2}]
[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: {1} over {3} LEQ x< {a+1} over {2}]

(ⅱ) [eqn: x< {1} over {3}]일 때
[eqn: -3x+1<x+a]
[eqn: {1-a} over {4} <x]
[eqn: a]가 양수이므로 [eqn: {1-a} over {4} <x< {1} over {3}]

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: {1-a} over {4} <x< {a+1} over {2}]

부등식 [eqn: LEFT | 3x-1 RIGHT | <x+a]의 해가 [eqn: -1<x<3]이므로
[eqn: a=5]

15. [출제의도] 도형의 평행이동 이해하기

직선 [eqn: 3x+4y+17=0]을 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: n]만큼
평행이동한 직선의 방정식은
[eqn: 3 LEFT ( x-n RIGHT ) +4y+17=0]
직선 [eqn: 3x+4y-3n+17=0]이 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =1]에
접하므로 원의 중심 [eqn: LEFT ( `0,``0 RIGHT )]과
직선 [eqn: 3x+4y-3n+17=0] 사이의 거리가 [eqn: 1]이다.

[eqn: {LEFT | -3n+17 RIGHT |} over {sqrt {3 ^{2} +4 ^{2}}} =1]에서

[eqn: -3n+17=5] 또는 [eqn: -3n+17=it-5]

[eqn: therefore] [eqn: n=4] 또는 [eqn: n= {22} over {3}]

[eqn: n]은 자연수이므로 [eqn: n=4]

16. [출제의도] 인수분해를 활용하여 문제해결하기

[eqn: 42=A]라 하면

[eqn: 42 TIMES LEFT ( 42-1 RIGHT ) TIMES LEFT ( 42+6 RIGHT ) +5 TIMES 42-5]
[eqn: =A LEFT ( A-1 RIGHT ) LEFT ( A+6 RIGHT ) +5A-5]
[eqn: =A LEFT ( A-1 RIGHT ) LEFT ( A+6 RIGHT ) +5 LEFT ( A-1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( A-1 RIGHT ) LEFT { A LEFT ( A+6 RIGHT ) +5 RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( A-1 RIGHT ) LEFT ( A ^{2} +6A+5 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( A-1 RIGHT ) LEFT ( A+1 RIGHT ) LEFT ( A+5 RIGHT )]
[eqn: =41 TIMES 43 TIMES 47]

따라서 [eqn: p+q+r=41+43+47=131]

17. [출제의도] 직선의 방정식을 활용하여 문제해결하기

[eqn: rm A]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm C]

[eqn: rm O]

[eqn: rm B]

[eqn: rm D]

[eqn: y=3x-6]

[eqn: y= it -5x+26]

[eqn: y=it-x+10]

[eqn: x]축 위의 점 [eqn: rm D LEFT ( it `a,``0 RIGHT )]([eqn: a>2])에 대하여
삼각형 [eqn: rm ABC]의 넓이와 삼각형 [eqn: rm ABD]의 넓이가
같으려면 직선 [eqn: rm AB]와 점 [eqn: rm C] 사이의 거리와
직선 [eqn: rm AB]와 점 [eqn: rm D] 사이의 거리가 같아야 하므로
점 [eqn: rmC]를 지나고 직선 [eqn: rmAB]에 평행한 직선 위에
점 [eqn: rmD]가 있어야 한다.

직선 [eqn: y=it-x+10]의 [eqn: y]절편이 [eqn: 10]이므로
점 [eqn: rm A]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( `0,``10 RIGHT )]이고
직선 [eqn: y=3x-6]의 [eqn: x]절편이 [eqn: 2]이므로
점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: rm LEFT ( `2,``0 RIGHT )]이다.
직선 [eqn: rmAB]의 기울기는 [eqn: {0-10} over {2-0} =it-5]이고
두 직선 [eqn: y= it -x+10], [eqn: y=3x-6]의 교점 [eqn: rm C]의
좌표는 [eqn: rm LEFT ( `4,``6 RIGHT )]이므로 점 [eqn: rmC]를 지나고
직선 [eqn: rmAB]에 평행한 직선의 방정식은
[eqn: y-6=it-5 LEFT ( x-4 RIGHT )], [eqn: y=it-5x+26]

점 [eqn: rmD LEFT ( `ita,``0 RIGHT )]이 직선 [eqn: y=it-5x+26] 위의 점이므로
[eqn: 0=it-5a+26]

따라서 [eqn: a= {26} over {5}]

18. [출제의도] 나머지정리를 이용하여 추론하기

조건 (가)에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x-2]로 나눈
몫과 나머지를 [eqn: a]라 하면

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) -g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-2 RIGHT ) a+a=a LEFT ( x-1 RIGHT )]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) -g LEFT ( 1 RIGHT ) =0] [eqn: CDOTS] ㉠

조건 (나)에 의해 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT )]를 [eqn: x ^{2} -1]로 나누었을
때의 몫을 [eqn: Q` LEFT ( x RIGHT )]라 하면 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=1]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) g LEFT ( 1 RIGHT ) =0] [eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡에 의해 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =g LEFT ( 1 RIGHT ) =0]이다.

인수정리에 의하여 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]와 [eqn: g LEFT ( x RIGHT )]는 각각 [eqn: x-1]을
인수로 가지므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+p RIGHT )], [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+q RIGHT )]라 하자.

[eqn: g LEFT ( 4 RIGHT ) = LEFT ( 4-1 RIGHT ) LEFT ( 4+q RIGHT ) =3]이므로 [eqn: q=it-3]

[eqn: g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x-3 RIGHT )]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) g LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) ^{2} LEFT ( x-3 RIGHT ) LEFT ( x+p RIGHT ) = LEFT ( x ^{2} -1 RIGHT ) Q` LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x=it-1]을 대입하면
[eqn: LEFT ( -2 RIGHT ) ^{2} times LEFT ( -4 RIGHT ) times LEFT ( -1+p RIGHT ) =0]에서 [eqn: p=1]

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x+1 RIGHT ) `]

따라서 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) +g LEFT ( 2 RIGHT ) =3+ LEFT ( -1 RIGHT ) =2]

19. [출제의도] 도형의 이동을 활용하여 문제해결하기

점 [eqn: rmR]는 직선 [eqn: y=1] 위에 있으므로 점 [eqn: rmR]의 좌표를
[eqn: LEFT ( `a,``1 RIGHT )]이라 하자. 점 [eqn: rmR]를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한
점을 [eqn: rm R']이라 하면 점 [eqn: rm R']의 좌표는 [eqn: LEFT ( `a,``-1 RIGHT )]이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm Q]

[eqn: rm P]

[eqn: rm R prime]

[eqn: rm R]

그림과 같이

[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR it}} = {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR prime it}} GEQ {bar{rm AR prime it}}],
[eqn: {bar{rm RQ it}} + {bar{rm QB it}} = {bar{rm R prime Q it}} + {bar{rm QB it}} GEQ {bar{rm R'B it}}]이므로

[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR it}} + {bar{rm RQ it}} + {bar{rm QB it}} GEQ {bar{rm AR prime it}} + {bar{rm R prime B it}}]

[eqn: {bar{rm AR prime it}} + {bar{rm R prime B it}}]의 값은 점 [eqn: rm R prime LEFT ( `ita,``-1 RIGHT )]의 위치에 따라
변하므로 [eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR it}} + {bar{rm RQ it}} + {bar{rm QB it}}]의 최솟값은
[eqn: {bar{rm AR prime it}} + {bar{rm R prime B it}}]의 최솟값과 같다.
세 점 [eqn: rm A LEFT ( `-4,``4 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( `5,``3 RIGHT )], [eqn: rmR prime LEFT ( ` it a,``-1 RIGHT )]을 [eqn: y]축의
방향으로 [eqn: 1]만큼 평행이동한 점을 각각 [eqn: rmA'], [eqn: rmB'], [eqn: rmR'']
이라 하면 [eqn: rm A' LEFT ( `-4,``5 RIGHT )], [eqn: rm B' LEFT ( `5,``4 RIGHT )], [eqn: rm R'' LEFT ( ` it a,``0 RIGHT )]이고
[eqn: {bar{rm AR prime it}} + {bar{rm R prime B it}} = {bar{rm A prime R '' it}} + {bar{rm R '' B prime it}}]이다.

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: rm R prime]

[eqn: rm R'']

[eqn: rm A']

[eqn: rm B']

점 [eqn: rm B prime]을 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm B'']이라
하면 점 [eqn: rmB'']의 좌표는 [eqn: LEFT ( `5,``-4 RIGHT )]이다.

[eqn: {bar{rm A prime R '' it}} + {bar{rm R '' B prime it}} = {bar{rm A prime R '' it}} + {bar{rm R '' B''}} GEQ {bar{rm A prime B '' it}}]

이므로

[eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR it}} + {bar{rm RQ it}} + {bar{rm QB it}}]의 최솟값은 [eqn: {bar{rm A prime B'' it}}]과 같다.

[eqn: rm O`]

[eqn: x]

[eqn: rm R'']

[eqn: rm B']

[eqn: y]

[eqn: rm A']

[eqn: rm B'']

점 [eqn: rm A prime LEFT ( `-4,``5 RIGHT )]이고 점 [eqn: rm B '' LEFT ( `5,``-4 RIGHT )]에 대하여

[eqn: {bar{rm A prime B '' it}} = sqrt {LEFT { 5- LEFT ( -4 RIGHT ) RIGHT } ^{2} + LEFT ( -4-5 RIGHT ) ^{2}} =9 sqrt {2}]

따라서 [eqn: {bar{rm AP it}} + {bar{rm PR it}} + {bar{rm RQ it}} + {bar{rm QB it}}]의 최솟값은 [eqn: 9 sqrt {2}]

20. [출제의도] 집합의 원소 추론하기

ㄱ. [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `2,``5 RIGHT }]에서 [eqn: 2inA], [eqn: 5inA]
[eqn: 2]와 [eqn: 5]가 [eqn: k]의 약수이므로 [eqn: k]는 [eqn: 10]의 배수이다.
[eqn: k]는 [eqn: 18] 이하의 자연수이므로 [eqn: k=10] (참)

ㄴ. [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `5,``6 RIGHT }]에서 [eqn: 5 IN A], [eqn: 6 IN A]
[eqn: 5]와 [eqn: 6]이 [eqn: k]의 약수이므로 [eqn: k]는 [eqn: 30]의 배수이다.
[eqn: k]는 [eqn: 18] 이하의 자연수이므로 존재하지 않는다.
(거짓)

ㄷ. (ⅰ) [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `2,``5 RIGHT }]일 때,
[eqn: k=10]이고 [eqn: A= LEFT { `1,``2,``5,``10 RIGHT }]이므로
집합 [eqn: A-B= LEFT { `1,``10 RIGHT }]의 모든 원소의 합은 [eqn: 11]

(ⅱ) [eqn: A SMALLINTER B= LEFT { `2,``6 RIGHT }]일 때, [eqn: 2inA], [eqn: 6 IN A]
[eqn: 2]와 [eqn: 6]이 [eqn: k]의 약수이므로 [eqn: k]는 [eqn: 6]의 배수이다.
[eqn: k]는 [eqn: 18] 이하의 자연수이므로
가능한 [eqn: k]는 [eqn: 6], [eqn: 12], [eqn: 18]이다.

[eqn: k=6]인 경우,
[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``6 RIGHT }]이므로
집합 [eqn: A-B= LEFT { `1,``3 RIGHT }]의 모든 원소의 합은 [eqn: 4]

[eqn: k=12]인 경우,
[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``4,``6,``12 RIGHT }]이므로 집합
[eqn: A-B= LEFT { `1,``3,``4,``12 RIGHT }]의 모든 원소의 합은 [eqn: 20]

[eqn: k=18]인 경우,
[eqn: A= LEFT { `1,``2,``3,``6,``9,``18 RIGHT }]이므로 집합
[eqn: A-B= LEFT { `1,``3,``9,``18 RIGHT }]의 모든 원소의 합은 [eqn: 31]

[eqn: therefore] 집합 [eqn: A-B`]의 모든 원소의 합이 홀수가
되는 모든 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 10+18=28] (참)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ

21. [출제의도] 원과 직선의 위치 관계를 활용하여
문제해결하기

반지름의 길이가 [eqn: r]이고 중심이 이차함수
[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]의 그래프 위에 있는 원 중에서
직선 [eqn: y=x+7]에 접하는 원의 개수 [eqn: m]은 반지름
[eqn: r]의 길이에 따라 다음과 같은 세 가지 경우가 있다.
(ⅰ) [eqn: m=2]일 때,

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x+7]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]

(ⅱ) [eqn: m=3]일 때,

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x+7]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]

(ⅲ) [eqn: m=4]일 때,

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x+7]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]

이 중 [eqn: m]이 홀수인 경우는 [eqn: m=3]일 때이므로

직선 [eqn: y=x+7]에 접하는 원 중 직선 [eqn: y=x+7]의
아래쪽에 위치한 원이 한 개일 때이다.

이 원을 [eqn: C_1]이라 하면 원 [eqn: C _{1}]의 반지름의 길이 [eqn: r]는
이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]의 그래프에 접하고 기울기가
[eqn: 1]인 직선과 직선 [eqn: y=x+7] 사이의 거리와 같다.

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x+7]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: y=x+k]

[eqn: C _{1}]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]

이차함수 [eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]의 그래프에 접하고
기울기가 [eqn: 1]인 직선을 [eqn: y=x+k]라 하면

이차방정식 [eqn: {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2} =x+k]가 중근을 가져야하므로
[eqn: x ^{2} -2x+7-2k=0]의 판별식을 [eqn: D`]라 하면

[eqn: D=2 ^{2} -4 TIMES 1 TIMES LEFT ( 7`-`2k RIGHT ) =0]에서 [eqn: k=3]

두 직선 [eqn: y=x+7]과 [eqn: y=x+3] 사이의 거리는

직선 [eqn: y=x+3] 위의 점 [eqn: LEFT ( `0,``3 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=x+7]
사이의 거리와 같으므로

[eqn: {LEFT | -3+7 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} =2 sqrt {2}]

[eqn: therefore] [eqn: r=2 sqrt {2}]

직선 [eqn: y=x]와 직선 [eqn: y=x+3] 사이의 거리는

직선 [eqn: y=x] 위의 점 [eqn: LEFT ( `0,``0 RIGHT )]과 직선 [eqn: y=x+3]
사이의 거리와 같으므로

[eqn: {LEFT | 3 RIGHT |} over {sqrt {1 ^{2} +1 ^{2}}} = {3 sqrt {2}} over {2}]

[eqn: r=2 sqrt {2} > {3 sqrt {2}} over {2}]이므로 [eqn: n=2]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: y=x]

[eqn: y=x+3]

[eqn: r]

[eqn: r]

[eqn: y= {1} over {2} x ^{2} + {7} over {2}]

따라서 [eqn: m+n+r ^{2} =3+2+ LEFT ( 2 sqrt {2} RIGHT ) ^{2} =13]

22. [출제의도] 집합 이해하기

[eqn: A ^{C} = LEFT { `1,``2,``3 RIGHT }]이므로

집합 [eqn: A ^{C}]의 모든 원소의 합은

[eqn: 1+2+3=6]

23. [출제의도] 함수 이해하기

함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { `4,``6 RIGHT }]

따라서 치역의 모든 원소의 합은 [eqn: 4+6=10]

24. [출제의도] 선분의 외분점 이해하기

[eqn: rm A LEFT ( `-2,``0 RIGHT )], [eqn: rm B LEFT ( `0,``7 RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rm AB]를 [eqn: 2:1]로
외분하는 점의 좌표는 [eqn: LEFT ( `2,``a RIGHT )]이므로

[eqn: a= {2 TIMES 7-1 TIMES 0} over {2-1} =14]

25. [출제의도] 명제 이해하기

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =x ^{2} +6x+k]라 하자.

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 최솟값이 [eqn: 0]보다 크거나 같으면

모든 실수 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} +6x+k GEQ 0]이다.

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT ( x+3 RIGHT ) ^{2} +k-9]는

[eqn: x=it-3]일 때 최솟값 [eqn: k-9]를 갖는다.
[eqn: k-9geq0]

[eqn: therefore] [eqn: k GEQ 9]

따라서 [eqn: k]의 최솟값은 [eqn: 9]

26. [출제의도] 원의 성질을 활용하여 문제해결하기

두 점 [eqn: rmA LEFT ( `5,``12 RIGHT )], [eqn: rmB LEFT ( `ita,``b RIGHT )]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]의
길이가 [eqn: 3]이므로

[eqn: sqrt {(a-5) ^{2} +(b-12) ^{2}} =3]

[eqn: LEFT ( a-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b-12 RIGHT ) ^{2} =9]

[eqn: x]

[eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-12 RIGHT ) ^{2} =9]

[eqn: rm O]

[eqn: 5]

[eqn: rm B prime]

[eqn: y]

[eqn: 12]

[eqn: rm A]

점 [eqn: rmB]는 원 [eqn: LEFT ( x-5 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-12 RIGHT ) ^{2} =9] 위의 점이다.

원점 [eqn: rmO]에 대하여 [eqn: a ^{2} +b ^{2}][eqn: = {bar{rm OB it}} ^{`2}]이므로
[eqn: bar{rmOB}]의 길이가 최대일 때 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]이 최댓값을 갖는다.

직선 [eqn: rmOA]가 원과 만나는 두 점 중 원점에서
더 멀리 있는 점을 [eqn: rm B']라 하면 선분 [eqn: rmOB]의 길이의
최댓값은 선분 [eqn: rmOB']의 길이와 같다.

[eqn: {bar{rm OB prime it}}][eqn: = {bar{rm OA it}} + {bar{rm AB prime it}}]
[eqn: = sqrt {5 ^{2} +12 ^{2}} +3]
[eqn: = sqrt {169} +3]
[eqn: =13+3]
[eqn: =16]

선분 [eqn: rmOB]의 길이의 최댓값은 [eqn: 16]
따라서 [eqn: a ^{2} +b ^{2}]의 최댓값은 [eqn: 16 ^{2} =256]

27. [출제의도] 이차함수를 활용하여 문제해결하기

[eqn: y]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: x]

[eqn: 4-a]

[eqn: rm O]

[eqn: y=k]

[eqn: y=x ^{2} -8x+12]

[eqn: a]

[eqn: a]

[eqn: 4+a]

[eqn: x=4]

[eqn: y=x ^{2} -8x+12= LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} -4]이므로
이차함수 [eqn: y=x ^{2} -8x+12]의 그래프는
직선 [eqn: x=4]에 대하여 대칭이다.

두 점 [eqn: rmA], [eqn: rmB]의 좌표를 [eqn: LEFT ( `4-a,``k RIGHT )], [eqn: LEFT ( `4+a,``k RIGHT )]라 하면
[eqn: rm {bar{AB}} =2ita]

점 [eqn: rmA LEFT ( `it4-a,``k RIGHT )]가 이차함수 [eqn: y= LEFT ( x-4 RIGHT ) ^{2} -4] 위의
점이므로 [eqn: k=a ^{2} -4] [eqn: CDOTS] ㉠

삼각형 [eqn: rmAOB]의 넓이가 [eqn: 15]이므로

[eqn: {1} over {2} TIMES 2a TIMES k=ak=15] [eqn: CDOTS] ㉡

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: a LEFT ( a ^{2} -4 RIGHT ) =15], [eqn: a ^{3} -4a-15=0]

조립제법을 이용하여 [eqn: a ^{3} -4a-15]를 인수분해하면

	[eqn: 3]	[eqn: 1]	[eqn: 0]	[eqn: -4]	[eqn: -15]
			[eqn: 3]	[eqn: 9]	[eqn: 15]
		[eqn: 1]	[eqn: 3]	[eqn: 5]	[eqn: 0]

[eqn: LEFT ( a-3 RIGHT ) LEFT ( a ^{2} +3a+5 RIGHT ) =0]

[eqn: a ^{2} +3a+5>0]이므로 [eqn: a=3]

따라서 [eqn: k=5]

28. [출제의도] 함수의 성질을 이용하여 추론하기

조건 (가)에서 함수 [eqn: f]의 치역의 원소의 개수가
[eqn: 7]이므로 집합 [eqn: X]의 서로 다른 두 원소 [eqn: a], [eqn: b]에 대하여
[eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =f LEFT ( b RIGHT ) =n]을 만족하는 집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: n]은
한 개 있다. 이때 집합 [eqn: X]의 원소 중 함숫값으로
사용되지 않은 원소를 [eqn: m]이라 하자.

[eqn: 1+2+3+4+5+6+7+8=36]이므로

조건 (나)에서

[eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) +f LEFT ( 2 RIGHT ) +f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 4 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) +f LEFT ( 6 RIGHT ) +f LEFT ( 7 RIGHT ) +f LEFT ( 8 RIGHT )]

[eqn: =36+n-m=42]

[eqn: therefore] [eqn: n-m=6]

집합 [eqn: X]의 원소 [eqn: n], [eqn: m]에 대하여 [eqn: n-m=6]인 경우는
다음 두 가지이다.

(ⅰ) [eqn: n=8], [eqn: m=2]일 때
함수 [eqn: f`]의 치역은 [eqn: LEFT { `1,``3,``4,``5,``6,``7,``8` RIGHT }]이므로
조건 (다)를 만족시키지 않는다.

(ⅱ) [eqn: n=7], [eqn: m=1]일 때
함수 [eqn: f]의 치역은 [eqn: LEFT { `2,``3,``4,``5,``6,``7,``8` RIGHT }]이므로
조건 (다)를 만족시킨다.

따라서 [eqn: n=7]

29. [출제의도] 이차함수와 이차방정식의 관계를 이용하여 추론하기

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm A']

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm B]

[eqn: y=nx]

[eqn: x= {n} over {2}]

[eqn: y=2x ^{2}]

[eqn: y= LEFT ( n+2 RIGHT ) x]

점 [eqn: rm A]는 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와

직선 [eqn: y=nx]의 교점이다.

[eqn: 2x ^{2} =nx]에서 [eqn: x!=0]이므로 [eqn: x= {n} over {2}]

[eqn: THEREFORE] 점 [eqn: rmA]의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {n} over {2} ,`` {n ^{2}} over {2} RIGHT )]

점 [eqn: rm B]는 이차함수 [eqn: y=2x ^{2}]의 그래프와

직선 [eqn: y= LEFT ( n+2 RIGHT ) x]의 교점이다.

[eqn: 2x ^{2} = LEFT ( n+2 RIGHT ) x]에서 [eqn: x!=0]이므로 [eqn: x= {n+2} over {2}]

[eqn: THEREFORE] 점 [eqn: rm B]의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {n+2} over {2} ,`` {LEFT ( n+2 RIGHT ) ^{2}} over {2} RIGHT )]

점 [eqn: rmA]를 지나고 [eqn: x]축에 수직인 직선이
직선 [eqn: y= LEFT ( n+2 RIGHT ) x]와 만나는 점을 [eqn: rm A']이라 하자.

점 [eqn: rmA']의 좌표는 [eqn: LEFT ( ` {n} over {2} ,`` {n ^{2} +2n} over {2} RIGHT )]

선분 [eqn: rmAA']의 길이는

[eqn: rm {bar{AA prime }} = {BOX{{it n ^{2} +2n rm} over {2} rm}} `- it {n ^{2}} over {2} =n]

삼각형 [eqn: rmOAB]의 넓이 [eqn: S(n)]은 삼각형 [eqn: rmOAA']의
넓이와 삼각형 [eqn: rmABA']의 넓이의 합이므로

[eqn: S` LEFT ( n RIGHT )][eqn: = {1} over {2} TIMES n TIMES {n} over {2} + {1} over {2} TIMES n TIMES LEFT ( {n+2} over {2} - {n} over {2} RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} TIMES n TIMES LEFT ( `` {BOX{{n} over {2} +1}} `` RIGHT )]
[eqn: = {n LEFT ( n+2 RIGHT )} over {4}][eqn: >100]

부등식 [eqn: n LEFT ( n+2 RIGHT ) >400]의 양변에 [eqn: 1]을 더하면

[eqn: LEFT ( n+1 RIGHT ) ^{2} >{401}]

[eqn: n+1> sqrt {401}]

[eqn: 20< sqrt {401} <21]이므로 [eqn: sqrt {401} =20+alpha]([eqn: 0<alpha<1])
[eqn: therefore] [eqn: n> sqrt {401} -1= LEFT ( 20+alpha RIGHT ) -1=19+alpha]
따라서 [eqn: S` LEFT ( n RIGHT ) >100]을 만족시키는 자연수 [eqn: n]의
최솟값은 [eqn: {BOX{````20 _{{}_{}} ` ^{{}^{}} ``}} `]이다.

[eqn: f LEFT ( n RIGHT ) = {n ^{2} +2n} over {2}], [eqn: g LEFT ( n RIGHT ) = {n} over {2} +1], [eqn: k=20]이므로

[eqn: f LEFT ( k RIGHT ) +g LEFT ( k RIGHT ) =f LEFT ( 20 RIGHT ) +g LEFT ( 20 RIGHT ) =220+11=231]

30. [출제의도] 합성함수와 역함수를 이용하여 추론하기

함수 [eqn: f]는 역함수가 존재하므로 일대일대응이다.

조건 (가)에서 [eqn: x=1], [eqn: 2], [eqn: 6]일 때
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( x RIGHT ) =2x]이므로

(ⅰ) [eqn: x=1]일 때,

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이고
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) IN X], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT ) IN X]이므로

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 1 RIGHT ) RIGHT ) =f ^{`-1} LEFT ( 1 RIGHT ) =1]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]

(ⅱ) [eqn: x=2]일 때,

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =4]이고
[eqn: LEFT . f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) IN X], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) IN X]이므로

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =1]이면 [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이므로 함수 [eqn: f]가
일대일대응인 것에 모순이다.

[eqn: f ^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =1]이면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =2]이므로 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =1]에 모순이다.

따라서 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 2 RIGHT ) RIGHT ) =f ^{`-1} LEFT ( 2 RIGHT ) =2]
[eqn: THEREFORE] [eqn: f LEFT ( 2 RIGHT ) =2]

(ⅲ) [eqn: x=6]일 때,

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) != 6], [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) +f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =12]이고
[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) IN X], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) IN X]이므로

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =7], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =5] 또는 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =5], [eqn: `f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =7]

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =7], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =5]인 경우

[eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =6]이고 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) =10]이므로 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =4]

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =a]라 하면 [eqn: f LEFT ( a RIGHT ) =7]이므로 [eqn: a=6] 또는 [eqn: a=7]

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) !=6]이므로 [eqn: a != 6]

[eqn: a=7]이면 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =7]이고 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =7]에서
[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =7]이므로 함수 [eqn: f]가 일대일대응인 것에
모순이다.

[eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =5], [eqn: f ^{`-1} LEFT ( 6 RIGHT ) =7]인 경우

[eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =6`]이고 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) +f LEFT ( 5 RIGHT ) =10]이므로
[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =3], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =7] 또는 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =7], [eqn: f LEFT ( 5 RIGHT ) =3]

따라서 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =4] 또는 [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =5]

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =5]이면 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =5]에서 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 5 RIGHT ) =5]
이므로 함수 [eqn: f]가 일대일대응인 것에 모순이다.

[eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =4]이면 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =5]이고 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( 6 RIGHT ) RIGHT ) =f LEFT ( 4 RIGHT ) =5]이다.
이때 함수 [eqn: f]는 주어진 조건을 모두 만족한다.

따라서 [eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) =5], [eqn: f LEFT ( 6 RIGHT ) =4], [eqn: f LEFT ( 7 RIGHT ) =6]이므로

[eqn: f LEFT ( 4 RIGHT ) times LEFT { f LEFT ( 6 RIGHT ) +f LEFT ( 7 RIGHT ) RIGHT } =5times LEFT ( 4+6 RIGHT ) =50]