2012학년도 9월 고2 전국연합학력평가

정답 및 해설(1~3교시)

고 2	정답 및 해설	2012학년도 9월 전국연합학력평가

2012학년도 9월 전국연합학력평가	정답 및 해설	고 2

2

수학 영역

A형 정답

1	⑤	2	①	3	⑤	4	④	5	④
6	③	7	③	8	④	9	④	10	②
11	②	12	②	13	③	14	①	15	②
16	⑤	17	①	18	③	19	①	20	③
21	②	22	[eqn: 48]	23	[eqn: 100]	24	[eqn: 36]	25	[eqn: 6]
26	[eqn: 14]	27	[eqn: 10]	28	[eqn: 125]	29	[eqn: 15]	30	[eqn: 5]

해설

1. [출제의도] 지수 계산하기

[eqn: sqrt {5} TIMES root {3} of {5 sqrt {5}} `=`5 ^{{1} over {2} `+` {1} over {3} `+` {1} over {6} `} =5]

2. [출제의도] 행렬 계산하기

[eqn: {pmatrix{``2&``````-3``#``4&`````````````1``}} `][eqn: -2` {pmatrix{`````````1&`````0``#``-2&`````1``}} `][eqn: = {pmatrix{``0&``````-3``#``8&``````-1``}} `]

3. [출제의도] 지수방정식 계산하기

[eqn: LEFT ( `2 ^{`x} -2` RIGHT ) LEFT ( `2 ^{`x} +2` RIGHT ) `=4`]

[eqn: LEFT ( `2 ^{`x} ` RIGHT ) ^{2} `=8`]이므로 [eqn: 2 ^{`2x} `=2 ^{`3} `]  [eqn: THEREFORE `x= {3} over {2}]

4. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: 2 ^{x} = sqrt {2} +1`,~2 ^{`-x} = sqrt {2} -1] 이므로

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{-x} =2 sqrt {2} `]이고 [eqn: 2 ^{x} -2 ^{-x} =2`]

[eqn: {2 ^{x} -2 ^{-x}} over {4 ^{x} +2+4 ^{-x}} `=` {2 ^{x} -2 ^{-x}} over {(2 ^{x} +2 ^{-x} ) ^{2}} `=` {2} over {(2 sqrt {2} ) ^{2}} `=` {1} over {4}]

5. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

[eqn: a=1`,~b=0`,~c=1`]이므로 변의 개수는 모두 [eqn: 7`]개이다. 다섯 개의 꼭짓점에 연결된 변의 개수는 각각 [eqn: 3`,~2`,~4`,~2`,~3`]

6. [출제의도] 행렬과 연립일차방정식의 관계 이해하기

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식
[eqn: {pmatrix{``1-k`````&```2``#2``&``4-k``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 없으므로

행렬[eqn: {pmatrix{``1-k`````&```2``#2``&``4-k``}} `]의 역행렬이 존재하지 않는다.

[eqn: (1-k)(4-k)-4=0], [eqn: k=0`] 또는 [eqn: k=5]

(ⅰ) [eqn: k=0`]

[eqn: {pmatrix{``1`````&```2``#2``&``4``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 무수히 많다.

(ⅱ) [eqn: k=5`]

[eqn: {pmatrix{``-4`````&```2``#2``&``-1``}} {pmatrix{`x`#`y`}} `= {pmatrix{``2`#`4`}}]의 해가 없다.

따라서 [eqn: k=5`]

[eqn: {pmatrix{`4&``````````a``#``a&`````````4``}} {pmatrix{x#y}} = {pmatrix{0#0}}]이 [eqn: x=0`,~y=0`] 이외의 해를

가지므로 [eqn: a ^{2} -16=0] ([eqn: a>0`])

[eqn: THEREFORE] [eqn: a=4`]

7. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: A IN T _{1}]이므로 [eqn: A ^{2} =E],

[eqn: A ^{2} =E]이면

[eqn: A ^{6} = LEFT ( A ^{`2} RIGHT ) ^{3} =E]이므로 [eqn: A IN T _{3}]  (참)

ㄴ. (반례) [eqn: A= {pmatrix{``0&~~-1``#``1&~~```````0``}} `]

[eqn: A ^{2} ` != E`]이므로 [eqn: A NOTIN T _{1} `]

[eqn: A ^{4} =`E`]이므로 [eqn: A` IN T _{2} `]  (거짓)

ㄷ. [eqn: A IN T _{2} CUP T _{3} `]이면 [eqn: A ^{4} `=E`] 또는 [eqn: A ^{6} `=E`]

[eqn: THEREFORE A ^{12} =E] 즉, [eqn: A IN T _{6}]   (참)

8. [출제의도] 로그부등식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 3 LEQ LEFT [ log _{`3} `n RIGHT ] LEQ 4] 에서

[eqn: 3 LEQ log _{`3} `n<5`]이므로 [eqn: 3 ^{3} LEQ n<3 ^{5} `]

[eqn: THEREFORE]자연수 [eqn: n`]의 개수는 [eqn: 216`]

9.  [출제의도] 로그방정식 이해하기

[eqn: (log`` _{4} ``x) ^{2} -3log`` _{4} ``x-1=0`]에서

[eqn: log`` _{4} ``x=t`]라 하면 [eqn: t ^{2} -3`t-1=0`]…… ㉠

[eqn: t`]에 대한 이차방정식 ㉠의 두 근은

[eqn: log` _{4} `` alpha `,````log` _{4} `` beta `]이므로 근과 계수와의 관계에 의해

[eqn: log``_4`` alpha+log``_4`` beta`=3] [eqn: THEREFORE ~alpha beta =4 ^{3} =64]

10. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: M _{1} & =`-2.81 TIMES log`50`-`1.43]

[eqn: M _{2} =`-2.81 TIMES log`5`-`1.43]

[eqn: THEREFORE M _{2} -M _{1} =2.81]

11. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-x+1`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a_11 = 1`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-x+2`]의 교점의 개수는 [eqn: 2]개이므로 [eqn: a _{12} =2`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-2x+1`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a _{21} =1`]

곡선 [eqn: y=f(x)]와 직선 [eqn: y=-2x+2`]의 교점의 개수는 [eqn: 1]개이므로 [eqn: a _{22} =1`]

[eqn: THEREFORE]행렬 [eqn: A`]의 모든 성분의 합은 [eqn: 5`]

12.  [출제의도] 로그함수 이해하기

[eqn: a+b=c+d]은 [eqn: {d-b} over {c-a} =``-1]이므로 점 [eqn: rm`P], [eqn: rm`Q`]는 [eqn: y=x`]에 대하여 대칭이므로 [eqn: a=d`], [eqn: b=c`]이고 [eqn: 0<a LEQ 1`]이다.

[eqn: b+c=2c=2 sqrt {2} `]

[eqn: c= sqrt {2} `]이므로 [eqn: d=log _{2} sqrt {2} `]이다.

[eqn: THEREFORE][eqn: d= {1} over {2} `]

13. [출제의도] 그래프와 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분은 첫째 날 각 팀의 끝난 경기의 수이다.

(행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 모든 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분의 합)

[eqn: =](첫째 날 끝난 모든 경기의 수)×[eqn: 2`]

(첫째 날 끝난 모든 경기의 수)

(행렬 [eqn: M ^{`2} `]의 모든 [eqn: LEFT ( `i,~i` RIGHT ) `]성분의 합)

[eqn: = {```````````````````````````````````````````` ``````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````````} over {2}]

[eqn: = {`2+3+3+3+3`} over {2} `=7]

총 경기의 수는 [eqn: rm _{5} rm C _{2} =10`]이므로 둘째 날 해야 할 경기의 경우의 수는 [eqn: 10-7=3`]이다.

(참고)

14. [출제의도] 지수를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

기온이 [eqn: 20`][eqn: ( CENTIGRADE )`]에서 포화수증기압은 [eqn: K`][eqn: LEFT ( ` rm hPa` RIGHT ) `]이므로 [eqn: K=6.11 TIMES 10 ^{{`7.5 TIMES 20`} over {`280+20`}}]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉠

기온이 [eqn: x`][eqn: ( CENTIGRADE )`]에서 포화수증기압은 [eqn: {K} over {`10`} `][eqn: LEFT ( ` rm hPa` RIGHT ) `]이므로 [eqn: {K} over {`10`} `=6.11 TIMES 10 ^{{7.5`x} over {`280+x`}}]	[eqn: CDOTS][eqn: CDOTS] ㉡

㉠ [eqn: ÷] ㉡ 에서 [eqn: 10=10 ^{{`150`} over {`300`} `-` {7.5x} over {`280+x`}} `]

[eqn: {150} over {`300`} `-` {7.5`x} over {`280+x`} `=1`]  [eqn: THEREFORE ````x=`-17.5`]

15. [출제의도] 역행렬을 이용하여 추론하기

<증명>

[eqn: A ^{2} +A+E=O`]에서 [eqn: A LEFT ( A+E RIGHT ) =-E`]이므로
[eqn: A ^{-1} =` BOX{-1} (A+E)]

[eqn: B ^{-1} =A+kE`]이므로
[eqn: (A+kE)B=E=B(A+kE)`]이다.
따라서 [eqn: AB=BA`]
[eqn: LEFT ( A ^{2} B ^{2} RIGHT ) ^{-1} = LEFT ( A ^{-1} RIGHT ) ^{2} LEFT ( B ^{-1} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( A ^{-1} B ^{-1} RIGHT ) ^{2} `]
[eqn: = LEFT { (-A-E)(A+kE) RIGHT } ^{2} `]
[eqn: = LEFT { `kA+left(` BOX{k-1}"`" right)E` RIGHT } ^{`2}]

[eqn: =LEFT ( `box{k ^{`2} -2k}` RIGHT ) A+(1-2k)E`]

[eqn: f LEFT ( `k` RIGHT ) =k ^{`2} `-2k`,~g LEFT ( `k` RIGHT ) =k-1`]이고 [eqn: p=-1]

[eqn: THEREFORE ````f LEFT ( `-1` RIGHT ) TIMES ``g LEFT ( -1` RIGHT ) `=`-6]

16. [출제의도] 상용로그를 이용하여 추론하기

[eqn: x ^{2} - LEFT ( 3n+ {1} over {3n} RIGHT ) x+1=0`]의 두 근은 [eqn: 3n`]과 [eqn: {1} over {`3n`} `]이므로, [eqn: logA ^{3}]의 지표는 [eqn: 3n`]이고 [eqn: logA ^{2}]의 가수는 [eqn: {1} over {`3n`} `]이다.

[eqn: logA ^{3}][eqn: =3n+ alpha ``] ([eqn: 0 LEQ alpha <1`])라 하자.

[eqn: logA ^{2} =2n+ {2} over {3} alpha `]이고 [eqn: 0 LEQ {2} over {3} alpha `< {2} over {3} ``]이므로

[eqn: logA ^{2} `]의 가수는 [eqn: {2} over {3} alpha`]이다.

[eqn: {2} over {3} alpha= {1} over {3n} `]이므로 [eqn: alpha= {1} over {2n} `]

[eqn: logA=n+ {`1} over {6n} `]

ㄱ. [eqn: n=1`]일 때 [eqn: logA ^{3} `]의 지표는 [eqn: 3`]  (참)

ㄴ. [eqn: log`A`]의 가수는 [eqn: {`1} over {6n} `] (참)

ㄷ. [eqn: log`A ^{12} =12log`A`=12n+ {2} over {n}]이므로

[eqn: n=`1`] 또는 [eqn: n=2`]일 때 [eqn: A ^{12} `]은 자연수이다.  (참)

17. [출제의도] 지수방정식 이해하기

방정식 [eqn: 3 ^{2x} `-`k`․`3 ^{x+1} `+3k+15=0`]의 두 실근을 [eqn: alpha `,~2 alpha `]라 하자.

[eqn: 3 ^{x} =t``(`t>0`)`]라 하면

[eqn: t ^{2} -3`k`t+3k+15=0`]의 두 실근은 [eqn: 3 ^{alpha } `,~3 ^{2 alpha } `]

따라서 근과 계수와의 관계에 의해서

[eqn: {cases{##}}]	[eqn: 3 ^{alpha } `+`3 ^{2 alpha } =`3k`]	…… ㉠
	[eqn: 3 ^{alpha } `․`3 ^{2 alpha } `=3k+15]	…… ㉡

㉠과 ㉡에 의하여

[eqn: LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ^{3} =3 ^{` alpha } + LEFT ( `3 ^{` alpha } ` RIGHT ) ` ^{2} +15]

[eqn: 3 ^{` alpha } =s``(`s>0`)`]라 하면 [eqn: s ^{3} -s ^{2} -s-15=0]

[eqn: LEFT ( `s-3` RIGHT ) LEFT ( `s ^{2} `+`2s`+`5 RIGHT ) =0]이므로 [eqn: s=3 ^{` alpha } =3]

[eqn: 3k & =3 ^{` alpha } + LEFT ( 3 ^{` alpha } RIGHT ) ^{2} =3+3 ^{2} =12]  [eqn: THEREFORE ~k=4]

18. [출제의도] 로그부등식 이해하기

(가)에서 진수가 양수이므로 [eqn: y>x]…… ㉠

[eqn: log` _{2} (y-x)<log` _{2} 1`]이므로 [eqn: y<x+1`]…… ㉡

(나)에서 진수가 양수이므로

[eqn: -2<x<2`]이고 [eqn: y>0`]…… ㉢

[eqn: log` _{2} `y< rm log` _{4} (4- it x ^{2} )`]이므로

[eqn: 2`log` _{2} `y< rm log` _{2} (4- it x ^{2} )]

따라서 [eqn: x ^{`2} +y ^{`2} <4]…… ㉣

㉠, ㉡, ㉢, ㉣을 모두 만족하는 영역을 어두운 부분으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

19. [출제의도] 지수방정식을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 2 ^{x} =X`,````2 ^{y} =Y`]라 하면 [eqn: X>0`,~Y>0`]

[eqn: 4 ^{x} +4 ^{y} =2]이므로 [eqn: X ^{2} +Y ^{2} =2`]

[eqn: 2 ^{x} +2 ^{y+1} =X+2Y`]

[eqn: X+2Y`=k`]라 하면, 직선 [eqn: X+2Y-k=0]과 사분원 [eqn: X ^{2} +Y ^{2} =2`]이 제 [eqn: 1]사분면에서 접할 때, [eqn: k`]가 최댓값을 갖는다.

[eqn: LEFT ( `0`,~0` RIGHT ) `]에서 직선 [eqn: X+2Y-k=0`]까지의 거리가 [eqn: sqrt {2`} `]이므로 [eqn: {□``-k``□} over {sqrt {1 ^{`2} +2 ^{`2}}} ` LEQ ` sqrt {2`} `]

[eqn: THEREFORE] [eqn: LEFT | `k` RIGHT | ` LEQ sqrt {10} `]이므로 최댓값은 [eqn: sqrt {10}]

20. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 성질을 이용하여 추론하기

ㄱ. [eqn: 0<x _{1} <x _{2} `]이면 [eqn: f(`x _{1} )<f(`x _{2} )`]이므로

[eqn: 2 ^{`f(x _{1} )} <2 ^{`f(x _{2} )} `]  (참)

ㄴ. [eqn: x _{1} <x _{2} <0`]이면 [eqn: f(x _{1} )>f(x _{2} )>1`]이므로

[eqn: log _{2} f(x _{1} )>log _{2} f(x _{2} )``]  (참)

ㄷ. (반례) [eqn: x _{`1} =-2`,~x _{`2} =3`]이면

[eqn: log _{{1} over {2}} `f` LEFT ( `-2` RIGHT ) ``>log _{{1} over {2}} it f` LEFT ( `3` RIGHT )]  (거짓)

21. [출제의도] 지수함수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: rm P`]

[eqn: rm A`]

[eqn: rm O`]

[eqn: rm 3]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: y=a ^{x} `]

[eqn: y= LEFT ( root {10} of {3} RIGHT ) ^{x} `]

[eqn: rmB`]

점 [eqn: rm`A]의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: 3`]이므로 [eqn: x`]좌표는 [eqn: 10`]

[eqn: rm `A`(`10`,`3`)`]

점 [eqn: rm`A]에서 [eqn: x`]축에 내린 수선의 발 [eqn: rm`B`(`10`,`0`)`]

점 [eqn: rm`P`]는 [eqn: y=a ^{x`} `]과 [eqn: y=3`]의 교점이므로

[eqn: rm`P`(`log` _{a} 3`,`3`)`]

삼각형 [eqn: rm `BAP`]는 [eqn: ANGLE rm`A`=`90°`]인 직각삼각형이고

선분 [eqn: RM`BP`]는 원의 지름이다.

직선 [eqn: RM`OP`]와 직선 [eqn: RM`BP`]는 수직이므로 기울기의 곱은 [eqn: -1`]이다.

[eqn: {3} over {log` _{a`} 3} TIMES {3} over {log _{a} 3-10} =-1`]

[eqn: LEFT ( log _{a} 3 RIGHT ) ^{2} -10`log` _{a} 3`+9=0`]

[eqn: log _{a} 3=1`]또는 [eqn: log _{a} 3=9`]

[eqn: a=3`]또는 [eqn: a=3 ^{{1} over {9} `}]

[eqn: THEREFORE]모든 실수 [eqn: a]의 값의 곱은 [eqn: 3 ^{{10} over {9}} `]

22. [출제의도] 로그함수 계산하기

함수 [eqn: y=`log _{`7} ` LEFT ( `x+a` RIGHT ) `]의 그래프가 점 [eqn: LEFT ( `1`,~2` RIGHT ) `]을 지나므로 [eqn: 2=log _{`7} ` LEFT ( `1+a` RIGHT ) `] [eqn: THEREFORE `a=48`]

23. [출제의도] 로그방정식 계산하기

[eqn: `x ^{`log``x} = LEFT ( {x} over {`10`} RIGHT ) ^{`4} `]의 양변에 로그를 취하면

[eqn: LEFT ( `log``x` RIGHT ) ^{2} `=4`log``x``-4`] 즉, [eqn: LEFT ( `log`x``-2` RIGHT ) ^{`2} =0`]

[eqn: log``x=2`] [eqn: THEREFORE] [eqn: x=100`]

24. [출제의도] 로그방정식 이해하기

준식에서

[eqn: {cases{##}}]	[eqn: log _{2`} `x```+`log _{2} `y=7]
	[eqn: 2log _{2} `x-log _{2} ``y=`-1]

연립하면 [eqn: log _{`2`} x=2`], [eqn: log _{`2} y=5]

따라서 [eqn: x=alpha =4], [eqn: y=beta =32`] [eqn: THEREFORE][eqn: alpha + beta =36`]

25. [출제의도] 지수부등식 이해하기

[eqn: f(x)=`x ^{`2} -2 ^{`a+1} `x+9``‧``2 ^{`a} `]라 하면

[eqn: f`(x) GEQ 0]이므로 방정식 [eqn: f(x)=0`]에서

[eqn: D/4= LEFT ( 2 ^{`a} RIGHT ) ^{2} -9`․`2 ^{`a} LEQ 0`]

[eqn: 2 ^{a} =t`` LEFT ( `t>0` RIGHT ) `]라 하면 [eqn: t ^{2} -9t LEQ 0`]

[eqn: 0<`t LEQ 9] 이므로 [eqn: 0<2 ^{a} LEQ 9`]…… ㉠

㉠을 만족시키는 자연수 [eqn: a`]는 [eqn: 1`,~2`,~3`]

[eqn: THEREFORE] 모든 자연수 [eqn: a]의 값의 합은 [eqn: 6]

26. [출제의도] 거듭제곱근을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: 1]

[eqn: -8]

[eqn: 3]

[eqn: -2]

[eqn: 9]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: THEREFORE `x ^{`2} +y ^{`2} `+z ^{2} = LEFT ( `-2` RIGHT ) ^{`2} +3 ^{`2} `+`1 ^{`2} =14]

27. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

집합 [eqn: X= LEFT { `a`,`b`,`c`,`d` RIGHT } `]에서 집합 [eqn: Y= LEFT { `1`,~2` RIGHT } `]로의 함수 [eqn: f`:`X` -> `Y`]의 개수는 [eqn: 2 TIMES 2 TIMES 2 TIMES 2=16`]

[eqn: LEFT ( {matrix{``f` LEFT ( `a` RIGHT )&`````f` LEFT ( `b` RIGHT )#``f` LEFT ( `c` RIGHT )&`````f` LEFT ( `d` RIGHT )}} `` RIGHT ) `]의 역행렬이 존재하지 않으려면 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `f` LEFT ( `d` RIGHT ) `=f` LEFT ( `b` RIGHT ) `f` LEFT ( `c` RIGHT ) `]

이를 만족하는 [eqn: LEFT ( `f` LEFT ( `a` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `d` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `b` RIGHT ) `,~`f` LEFT ( `c` RIGHT ) ` RIGHT ) `]는 다음과 같다.

[eqn: f(a)]	[eqn: f(d)]	[eqn: f(b)]	[eqn: f(c)]
[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 1]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 1]	[eqn: 2]
[eqn: 2]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 1]
[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 2]	[eqn: 2]

[eqn: THEREFORE] 역행렬이 존재하는 함수의 개수는

[eqn: 16-6=10``]

28. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: A= {pmatrix{``3&``````1``#``5&``````2``}} `,~B= {pmatrix{``20&``````10``#``30&``````20``}} `]에 대하여

[eqn: AX=B`]이므로 [eqn: X= {pmatrix{````````10&``````0``#`-10&``````10``}} `]

[eqn: LEFT ( `10`,~0` RIGHT ) `,~ LEFT ( `-10`,~10` RIGHT ) `]을 지름의 양 끝점으로 하는 원의 반지름은 [eqn: 5 sqrt {`5`} `]  [eqn: THEREFORE ~ {1} over {` pi `} `S` LEFT ( X` RIGHT ) =125`]

29. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수 이해하기

[eqn: f(a)=n`]이라 하자.

[eqn: 6 LEFT { `g` LEFT ( `a` RIGHT ) RIGHT } ^{`2} `-5`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`1=0]

[eqn: LEFT { `3`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `-1` RIGHT } ` LEFT { `2`g` LEFT ( `a` RIGHT ) `-1` RIGHT } `=0`]

[eqn: THEREFORE ``g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`3`} `] 또는 [eqn: {1} over {`2`} `]

(ⅰ) [eqn: g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`3`} `]

[eqn: log``a`=n`+` {1} over {`3`}]

[eqn: log``a ^{`2} `=2``log``a`=2n`+` {2} over {`3`}]

[eqn: log``a ^{`3} `=3``log``a`=3n`+`1]

따라서 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`2} ` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`3} ` RIGHT ) `=6n+1``]

그런데 [eqn: 6n+1=14`]를 만족하는 정수 [eqn: n`]이 존재하지 않으므로 [eqn: g(a)]는 [eqn: {1} over {`3`} `]이 아니다.

(ⅱ) [eqn: g` LEFT ( `a` RIGHT ) = {1} over {`2`} `]

[eqn: log``a`=n`+` {1} over {`2`}]

[eqn: log``a ^{`2} `=2``log``a`=2n`+`1]

[eqn: log``a ^{`3} `=3``log``a`=3n`+` {3} over {2}]

따라서 [eqn: f` LEFT ( `a` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`2} ` RIGHT ) `+`f` LEFT ( `a ^{`3} ` RIGHT ) `=6n+2``]

[eqn: 6n+2=14`]를 만족하는 정수 [eqn: n`]은 [eqn: 2`]이다.

따라서 [eqn: log``a`=2`+` {1} over {2} `]

[eqn: `log``a ^{`6} `=6`log``a=6 TIMES LEFT ( `2`+` {1} over {2} ` RIGHT ) `=15][eqn: THEREFORE ``f(a ^{6} )=15`]

30. [출제의도] 로그함수와 역함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: f(x)=2^ x-2 +1]는 [eqn: g(x)=log `_2 (x-1) +2]의

역함수이므로 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이다.

함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 [eqn: x`]축과 두 직선 [eqn: x=2`],[eqn: x=3`]으로 둘러싸인 부분의 넓이를 [eqn: S _{2} `]라 할 때, [eqn: S _{2} `]는 함수 [eqn: g(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=2], [eqn: y=3], [eqn: y`]축으로 둘러싸인 부분의 넓이와 같다.

그러므로 [eqn: S_ 1 +2S_2]는 네 개의 직선 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: x=3,~y=3]으로 둘러싸인 정사각형의 넓이와 네 개의 직선 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: x=2], [eqn: y=2`]로 둘러싸인 정사각형의 넓이의 차와 같다.

[eqn: THEREFORE ~S _{1} +2S _{2} =9-4=5]

[eqn: 3]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rmO]

[eqn: boldS _{1}]

[eqn: S _{2}]

[eqn: 2]

[eqn: S _{2}]

[eqn: rm {A} `]

[eqn: rm B`]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: y=x]