“나”형 정답

1	②	2	①	3	④	4	①	5	④
6	⑤	7	③	8	②	9	④	10	③
11	③	12	④	13	③	14	①	15	②
16	⑤	17	⑤	18	[eqn: 17]	19	[eqn: 12]	20	[eqn: 15]
21	[eqn: 64]	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 756]	24	[eqn: 11]	25	[eqn: 35]
26	④	27	③	28	②	29	②	30	[eqn: 10]

해설

1. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 계산하기

[eqn: log _{4} {16} over {9} +log _{2} 3`=`log _2 { 4} over {3 }+log_2 3=2]

2. [출제의도] 수열의 극한값 계산하기

[eqn: lim _{n-> INF } {( sqrt { n^2 +2n +3}-n)]

[eqn: =lim _{n-> INF } {{( sqrt { n^2 +2n +3}-n)( sqrt { n^2 +2n+3 }+n)} over { { sqrt { n^2 +2n+3} +n}}]

[eqn: =lim _{n-> INF } { { 2n+3} over { sqrt { n^2 + 2n +3}+n } }=1]

3. [출제의도] 역행렬을 이용하여 행렬의 곱셈의 성질 이해하기

[eqn: X ^{-1} ` pmatrix{`5`#`6`} = pmatrix{`3`#`4`}]이므로 [eqn: X ^{`} pmatrix{`3`#`4`} = pmatrix{`5`#`6`}]

[eqn: X ^{`} pmatrix{`1`#`2`} = pmatrix{`3`#`4`}]이므로 [eqn: X ^{2`} pmatrix{`1`#`2`} = X ~pmatrix{`3`#`4`}`=`pmatrix{`5`#`6`}]

∴ 성분의 합은 [eqn: 11]

4. [출제의도] 진법을 활용한 수열의 합 계산하기

자연수 [eqn: n]을 [eqn: 2]진법으로 나타내면

[eqn: 1 _{(2)} ,`10 _{(2)} ,~11 _{(2)} ,~100 _{(2)} ,~101 _{(2),} `110 _{(2)} , CDOTS]

[eqn: left{a _{n}right}]은 [eqn: 1,~0,~1,~0,~1,~0, CDOTS]

[eqn: THEREFORE sum _{k=1} ^{30} ka _{k} =`1+3+5+ CDOTS +29=225]

5. [출제의도]  행렬의 거듭제곱의 성질 이해하기

[eqn: A ^{10} it `= pmatrix{`1~&10m`#`0~&1`}]

[eqn: BX=AB`]이면 [eqn: X=B^-1`AB`]

[eqn: X^10`=B^-1`A^10`B`]

[eqn: X^10`]의 모든 성분의 합 [eqn: 10m+2=52]

∴ [eqn: m=5]

6. [출제의도] 내분점을 이용하여 지수함수의 그래프 이해하기

[eqn: {rmP}(a,~4^a )]이라 하자.

원점 [eqn: rmO]와 점 [eqn: {rmP}(a,~4^a )]을 [eqn: 1:3]으로 내분하는 점[eqn: left( {a} over {4} ,~ {4 ^{a}} over {4} right)]이 [eqn: g(x)=2^x] 위의 점이므로

[eqn: 2^2a-2 = 2^ {{a } over { 4}}]          [eqn: THEREFORE `a= {8} over {7}]

7. [출제의도] 등차수열의 합의 성질 이해하기

[eqn: LEFT { theta _{n} RIGHT }]이 등차수열이므로 [eqn: A _{n~}]도 등차수열이다.

[eqn: sum _{k=1} ^{n} A _{k} = {n LEFT ( A _{1} +A _{n} RIGHT )} over {2}=` A]

[eqn: A _{1} +A _{n} = {1} over {5} A] 이므로 [eqn: n=10]

8. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질 추론하기

ㄱ.(반례) [eqn: x=2,~m=2,~```n=3]일 때

[eqn: f(2^2+3 ) = f(32)=1]

[eqn: f(2^2 )+f(2^3 ) =f(4)+f(8) =0]  (거짓)

ㄴ.(반례) [eqn: a=6]일 때 성립하지 않는다.  (거짓)

ㄷ. [eqn: log x + log x^2 + CDOTS +log x^n]

[eqn: =f(x) +f(x^2 )+ CDOTS +f(x^n )]

[eqn: + g(x) +g(x^2 )+ CDOTS +g(x^n )]

[eqn: {n(n+1)} over {2} it `logx``=``f(x)+f(x ^{2} )+ CDOTS +f(x ^{n} )+1] (참)

9. [출제의도] 연립방정식과 행렬의 관계 이해하기

[eqn: c=- {1} over {sqrt {2}} a+ {1} over {sqrt {2}} b], [eqn: d= {1} over {sqrt {2}} a+ {1} over {sqrt {2}} b]

[eqn: M ````pmatrix{`a`#`b`}`=` pmatrix{- {1} over {sqrt {2}}&{1} over {sqrt {2}}#{1} over {sqrt {2}}&{1} over {sqrt {2}}} ` pmatrix{a#b} `= pmatrix{c#d} `]

[eqn: M+M`` ^{-1}]의 모든 성분의 합은 [eqn: 2 sqrt {2}]

10. [출제의도] 지수 방정식 계산하기

[eqn: a^6xyz = 7^6yz], [eqn: b^6xyz = 7^3xz], [eqn: c^6xyz = 7^2xy]

[eqn: (abc)^6xyz = 7^12xyz = 7^{6yz+3xz+2xy}]

[eqn: 6 over x + 3 over y + 2 over z = 12]

11. [출제의도] 수학적귀납법을 이용하여 주어진 식 증명하기

(1) [eqn: n=1]일 때,

(좌변)[eqn: = sum _{k=1} ^{1} a _{k} `=`a _{1} `][eqn: =]

[eqn: N~!]

(우변)[eqn: =] [eqn: {N+1} over {N+1} ``a _{1} `=`a _{1} `][eqn: =]

[eqn: N~!]

이므로 (★)이 성립한다.

(2) [eqn: n=m`]일 때, (★)이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{k=1} ^{m} a _{k} `] [eqn: = {{N}+m} over {N+1} ``a _{m}]이다.

[eqn: n=m+1]일 때, (★)이 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{k=1} ^{m+1} a _{k} `][eqn: = {{N}+m} over {{N}+1} ``a _{m} `+] [eqn: ``a _{m+1}]

[eqn: = {{N}+m} over {{N}+1} ``a _{m} `+]

[eqn: {(m+ N ) !} over {m!}]

[eqn: = {1} over { N it +1} TIMES {(m+ N it )!} over {(m-1)!} `+~]
[eqn: = {1} over {N+1}][eqn: LEFT { RIGHT .][eqn: LEFT . RIGHT }]

[eqn: {(m+ N ) !} over {m!}]

[eqn: {(m+ N it +1)!} over {m!}]

[eqn: = {N+m+1} over {N+1} ``a _{m+1}]

12. [출제의도] 확률을 이용한 수학외적 문제해결하기

임의로 한 상자를 택하는 확률 : [eqn: {1} over {n}]

상자에서 구슬 2개 꺼낼 때, 흰 구슬이 나올 확률

[상자1] 확률 : [eqn: 0]

[상자2] 확률 : [eqn: {` _{2} rm C it _{2}} over {` _{n} rm C it _{2}}]

[상자3] 확률 : [eqn: {`_3 {rmC}_2 } over {` _{n} rm C it _{2} }]

[eqn: VDOTS]

[상자[eqn: n]] 확률 : [eqn: {`_n {rmC}_2 } over {` _{n} rm C it _{2} }]

[eqn: rm P it rm _{itn} `=` {1} over {n} TIMES {` _{2} rm C it rm _{2} +` _{3} rm C it rm _{2} +` CDOTS `+` _{n} rm C it rm _{2}} over {` _{n} rm C it rm _{2}} `=` {` _{n+1} rm C it rm _{3} `} over {n`․` _{n} rm C it rm _{2}}]

[eqn: = {n+1} over {3n}]

[eqn: {rmP_ {10 }`=` { 11} over {30 }]

13. [출제의도] 두 곡선의 관계 추론하기

ㄱ. [eqn: -1<x_1 <0] (참)

ㄴ. [eqn: LEFT | `x _{1} `y _{1} RIGHT | < LEFT | `x _{2`} y _{2`} RIGHT |] (거짓)

ㄷ. [eqn: LEFT | x _{1} ``․``y _{2} RIGHT | - LEFT | x _{2} ``․``y _{1} RIGHT | ``= LEFT | x _{1} ``․``x _{2} ` ^{2} RIGHT | - LEFT | x _{2} ``․``x _{1} ` ^{2} RIGHT |]

[eqn: = LEFT | x _{1} ``․``x _{2} ` RIGHT | `( LEFT | x _{2} RIGHT | - LEFT | x _{1} RIGHT | )>0] (참)

14. [출제의도] 도형의 규칙성을 추론하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm S _{3} `=` {1} over {2} LEFT ( {2 pi } over {3} TIMES 3 ^{2} `+ {2 pi } over {3} TIMES 2 ^{2} `+ {2 pi } over {3} TIMES 1 ^{2} ` RIGHT )]

[eqn: =` { pi } over { 3}( 3^2`+2^2`+1^2`)]

[eqn: rmS_4`=` { 1} over {2 }left( { pi } over {2}× 4^2`+{ pi } over { 2}×3^2`+{ pi } over { 2}×2^2`+{ pi } over { 2}×1^2`right)]

[eqn: =` { pi } over {4}( 4^2`+3^2`+2^2`+1^2`)]

[eqn: VDOTS]

[eqn: LEFT. rm S _{20} `=` {pi } over {20} (20 ^{2} `+19 ^{2} `+~ CDOTS ~+1 ^{2} ` )]

[eqn: ={ 287 pi } over {2 }]

15. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질을 이용한 수학내적 문제해결하기

[eqn: 2 ^{4} TIMES 3 ^{3}]은 [eqn: 20]개의 양의 약수를 갖는다.

약수들의 곱 [eqn: rm A=(``2 ^{4} TIMES 3 ^{3} ``) ^{10} `=2 ^{40} ` TIMES 3 ^{30}]

[eqn: LEFT [ {rmA} over {10 ^{n-1}} RIGHT ]]는 [eqn: rmA]의 최고자리의 숫자이고

[eqn: log rm A=40log`2`+30log`3`=`26.353]이다.

[eqn: log `2<0.353<log 3]이므로

[eqn: LEFT [ {rmA} over {10 ^{n-1}} RIGHT ]=2]

16. [출제의도] 순열과 조합의 경우의 수를 이용하여 수학내적 문제해결하기

남자 [eqn: 3]명, 여자 [eqn: 1]명인 경우 : [eqn: `_5{rmC}_3`․`_3{rmC}_1`․`4!`=`720]

남자 [eqn: 2]명, 여자 [eqn: 2]명인 경우 : [eqn: `_5{rmC}_2`․`_3{rmC}_2`․`4!`=`720]

남자 [eqn: 1]명, 여자 [eqn: 3]명인 경우 : [eqn: `_5{rmC}_1`․`_3{rmC}_3`․`4!`=`120]

따라서, 구하는 경우의 수는 [eqn: 1560](가지)이다.

17. [출제의도] 역행렬의 존재성 추론하기

ㄱ.  두 직선이 만나지 않으면 [eqn: a=c], [eqn: b!=d]

∴ [eqn: ad-bc!=0] (참)

ㄴ.  두 직선이 일치하면 [eqn: a=c], [eqn: b=d]

∴ [eqn: ad-bc=0] (참)

ㄷ.  두 직선이 [eqn: x`]축 위에서 만나면 [eqn: -{ b} over {a }=-{ d} over {c }]

∴ [eqn: ad-bc=0] (참)

18. [출제의도] 거듭제곱근 계산하기

[eqn: a>0], [eqn: a!=1]인 [eqn: a]에 대하여,

[eqn: LEFT { {sqrt {a ^{3}}} over {sqrt {root {3} of {a ^{4}}}} ``` TIMES ` sqrt {LEFT ( {1} over {a} RIGHT ) ^{-4}} RIGHT } ^{6} `]

[eqn: = left(a^{ { 3} over { 2}- { 2} over { 3}+2} right)^6 =left(a^{ { 17} over { 6}} right)^6 =a^17]   [eqn: THEREFORE~ k=17]

19. [출제의도] 등차중항의 성질 이해하기

[eqn: a _{n} `=`an+b]라 하면,

[eqn: b _{n} =a _{3n-2} +2a _{3n-1} +a _{3n}]

[eqn: =4a_3n-1`=`12an-4a+4b]

[eqn: A_n`=` {an(n+1) } over { 2}+bn]

[eqn: B_n`=` {12an(n+1) } over { 2}-(4a-4b)n]

[eqn: lim _{n -> INF } {{B _{n}} over {A _{n}} `}`=`12]

20. [출제의도] 무한등비수열의 극한의 성질 이해하기

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }]의 첫째항 [eqn: a], 공비 [eqn: r] 이라면

[eqn: lim _{ n->inf} { { S_n} over { a_n} }= lim _{ n->inf} { {a(1-r^n ) } over {ar^n-1 (1-r)} }]

[eqn: =lim _{ n->inf} { { 1} over {1-r } }․ { 1-r^n} over {r^n-1 }= -{ r } over {1-r }= { 15} over { 14}]

[eqn: THEREFORE~r=15]

21. [출제의도] 로그함수의 밑의 성질을 이용한 그래프 이해하기

[eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]가 [eqn: (2,~-4)]를 항상 지나므로

직사각형과 만나려면 [eqn: a>1]

따라서, [eqn: y`=`log _{a} (x-1)-4]는 증가함수이므로

[eqn: rm B(5,~-1)]을 지날 때, [eqn: a]의 최댓값 [eqn: M`=`4 ^{{1} over {3}}]

[eqn: rmD(3,~2)]를 지날 때, [eqn: a]의 최솟값 [eqn: N`=`2^{ { 1} over {6 }}]

[eqn: LEFT ({M} over {N} ` RIGHT ) ^{12} `=`64]

22. [출제의도] 역행렬을 이용한 연립방정식의 문제해결과정 이해하기

[eqn: LEFT (`` 1~-1``#``2~-3`` right)LEFT (`` 2^x``#``3^y-1`` right)`_=`LEFT (``~~5``#`-17`` right)]

[eqn: LEFT (`` 2^x``#``3^y-1`` right)`_=LEFT (`` 1~-1``#``2~-3`` right)^-1`LEFT (``~~5``#`-17`` right)`_=`LEFT (``32``#``27`` right)]

[eqn: a=5,~b=4]    ∴ [eqn: ab=20]

23. [출제의도] 경우의 수를 이용한 수학외적 문제해결하기

[eqn: 10]가지 중 [eqn: 8]장의 표를 사는 경우: [eqn: `_10{rmC}_8]

[eqn: 8]장을 [eqn: 3]장, [eqn: 3]장, [eqn: 2]장으로 나누어 갖는 경우

: [eqn: rm{} _{8} C _{3} ` TIMES _{5} C _{3} ` TIMES _{2} C _{2} ` TIMES {1} over {2!} TIMES 3!`]

∴ [eqn: x`= _{10} {rmC _{8}` TIMES{} _{8} C _{3}` TIMES{} _{5} C _{3}` TIMES{} _{2} C _{2}` TIMES { 1} over { 2!}TIMES3!`=`75600]

∴ [eqn: { x} over {100 }=756]

24. [출제의도] 무한등비급수를 이용한 수학내적 문제해결하기

[eqn: TRIANGLE rm OA _{1} `A _{2}]=[eqn: TRIANGLE rm OO _{1} `A _{1} `+TRIANGLE OO _{1} `A _{2} `+TRIANGLE O _{1} `A _{1} `A _{2} `]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 4`=` {1} over {2} TIMES r _{1} ` TIMES (6+ 2sqrt {5} `)] ∴[eqn: r_1`=3-sqrt5]

[eqn: TRIANGLE rm OA _{2} `A _{3}]=[eqn: TRIANGLE rm OO _{2} `A _{2} `+ TRIANGLE OO _{2} `A _{3} `+TRIANGLE O _{2} `A _{2} `A _{3} `]

[eqn: {1} over {2} TIMES 2 TIMES 1`=` {1} over {2} TIMES r _{2} ` TIMES (3+ sqrt {5} `)]

∴ [eqn: r _{2} `= {1} over {2} (3- sqrt {5} `)]

따라서 [eqn: r _{n} `= (3- sqrt {5} `)LEFT ( {1} over {2} RIGHT ) ^{n-1}]이다.

[eqn: sum _{n=1} ^{INF } r _{n} `=`6-2 sqrt {5}]이므로 [eqn: a+b=11]

25. [출제의도] 확률을 이용한 수학외적 문제해결하기

전구가 [eqn: n]개 켜져 있을 경우 [eqn: 1]열, [eqn: 2]열, [eqn: 3]열, [eqn: 4]열은 각각 [eqn: n,~4n,~16n,~64n]의 수를 나타내고, 전광판이 나타내는 수가 짝수일 사건은 홀수인 사건의 여사건이다.

홀수일 확률은 [eqn: 1]열에서 [eqn: 1]개,

나머지 열 중에서 [eqn: 1]개 켜질 때이므로

[eqn: rm THEREFORE ` {{} _{3} C _{1} `․ _{``9} C _{1}} over {{} _{12} C _{2}} = {9} over {22}]

따라서, 구하는 확률은 [eqn: ~ 1- { 9} over { 22}= { 13} over {22 }]

[eqn: p+q=35]

26. [출제의도] 근의 분리를 이용한 지수부등식 이해하기

[eqn: f(x)=(2^x`)^2`-(k+1)2^x`+4>=0]

[eqn: g({t})={t}^2`-(k+1){t}`+4>=0] ([eqn: t=2^x`>0])

(1) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 양수 일 때,

[eqn: -1<k<=3]

(2) [eqn: y=g({t})]의 대칭축이 음수 일 때,

[eqn: k< -1]

(3) [eqn: k=-1]일 때, [eqn: g({t})={t}^2`+4>0]

(1), (2), (3)에서 [eqn: k<=3]

27. [출제의도] 로그함수의 그래프를 해석하여 수학내적 문제해결하기

[eqn: rm D(1,```0)], [eqn: rmA(2^{it-k},```itk)], [eqn: rmB(2^{itk},```itk)] 이므로

[eqn: rm S _{1}`=`it { 1} over {2 }(1-2^{-k})k], [eqn: rm S _{2}`=`it { 1} over {2 }(2^{k}-1)k],

[eqn: rm S _{3}`=`it { 1} over {2 }(2^{k}-2^-k`)k]

[eqn: S_1 , ``~S_2 , ``~S_3]는 등차수열이므로 [eqn: 2S_2 =S_1 +S_3].

대입하여 풀면  [eqn: k= 1]

28. [출제의도] 수열의 규칙성 추론하기

[eqn: a _{1} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+5]

[eqn: a _{2} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+4]

[eqn: a _{3} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+3]

[eqn: a _{4} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+2]

[eqn: a _{5} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+1]

[eqn: a _{6} =5 TIMES 6 ^{5} +5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6+0]

[eqn: a _{7} =5 TIMES 6 ^{4} +5 TIMES 6 ^{3} +5 TIMES 6 ^{2} +5 TIMES 6 ^{1} +5]

[eqn: VDOTS]

따라서 위와 같은 규칙에 의해서 [eqn: a _{35} =1]

29. [출제의도] 조건부확률을 이용한 수학외적 문제해결하기

[eqn: rmA]형에 사는 여학생수를 [eqn: x]라 하면

[eqn: rmB]형에 사는 남학생수를 [eqn: 2x]이다

[eqn: rmA]형에 사는 학생 중 여학생의 비율이 [eqn: { 2} over { 5}]이므로 [eqn: rmA]형에 사는 남학생수와 전체 학생수는 각각 [eqn: { 3} over { 2}x,~ { 5} over {2 }x] 이다.

따라서, 남학생일 사건을 [eqn: Y], [eqn: rmA]형에 주거할 사건을 [eqn: X]라 하면

[eqn: THEREFORE ` rm P it (X``□``Y)`=` {rm P it (X SMALLINTER Y)} over {rm P it (Y)} = {3} over {7}]

30. [출제의도] 수열의 일반항과 극한을 이용한 수학내적 문제해결하기

[eqn: left{`a _{n}`right} `:` 12`,```33`,```64`,` CDOTS`]

따라서

[eqn: a_n = 12+ {(n-1)left{42+(n-2)10right} }over 2 #``````````=(n+1)(5n+1)]

[eqn: b _{n`} `=2n^2 + 4n = `2n(n+2)] 이므로

[eqn: THEREFORE~ lim _{ n->inf} { { a_n b_n} over {n^4 } }=10]