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수학 영역(A형)

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수학 영역(A형)

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2014학년도 10월 고3 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(A형)

제 2 교시

5지선다형

1. [eqn: { left( 3 ^{2}right)^{1 over 2} +left( 3 ^{-2} right)^{ 1over2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 8 over 3]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 10 over 3]	④ [eqn: 11 over 3]	⑤ [eqn: 4]

2. 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬이 [eqn: {pmatrix{`0`&`0`&`1`&`0`#`0`&`0`&`b`&`1`#`1`&`1`&`0`&`1`#`a`&`1`&`1`&`0`}}`]일 때, [eqn: 2a+b`]의 값은? [2점]

① [eqn: 4]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 2]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 0]

3. [eqn: lim _{n->inf} {left( 2n-1right) left( 2n+1right) }over{n^{`2}}`]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

4. 두 사건 [eqn: A`], [eqn: B``]가 서로 배반사건이고 [eqn: rm P (it A` ) = 1 over 3 `], [eqn: rm P (it B` ) = 1 over 4 `]

일 때, [eqn: rm P( it A CUP B`)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1 over 12]	② [eqn: 1 over 4]	③ [eqn: 5 over 12]	④ [eqn: 7 over 12]	⑤ [eqn: 3over 4]

5. 다항함수 [eqn: f(x) `]가 [eqn: lim _{h -> 0} {` {f(`1+h)-3} over {h}} `=`3 over 2]을 만족시킬 때,

[eqn: f` prime `(1)+f(1)]의 값은? [3점]

① [eqn: 7 over 2]	② [eqn: 15 over 4]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 17 over 4]	⑤ [eqn: {9} over {2}]

6. 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X`]	[eqn: 1]	[eqn: 2]	[eqn: 3]	계
[eqn: rm P ( it X =x )]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: a]	[eqn: b]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( it 6X)=13`]일 때, [eqn: 2a+3b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 4over3]	② [eqn: 3 over 2]	③ [eqn: 5 over3]	④ [eqn: 11 over 6]	⑤ [eqn: 2]

7. 행렬 [eqn: A= pmatrix{`````````a` & ``````````1`# `-4` & `-2`}`]가 [eqn: A^3 = O`]를 만족시킨다. 정수 [eqn: a`]의 값은?

(단, [eqn: O`]는 영행렬이다.) [3점]

① [eqn: -4]	② [eqn: -2]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: 4]

8. 지수함수 [eqn: f(x)= a^{x}]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: f(b)=3`], [eqn: f(c)=6`]일 때, [eqn: f left( b+c over2 right)]의 값은? [3점]

① [eqn: 4]	② [eqn: root17]	③ [eqn: 3sqrt2]	④ [eqn: root19]	⑤ [eqn: 2 sqrt5]

9. 첫째항이 [eqn: 2`]이고 공차가 [eqn: 3`]인 등차수열 [eqn: left{a_n right}`]의 첫째항부터 제[eqn: n`]항까지의 합을 [eqn: S_{`n}`]이라 할 때, [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over{ { a _{n} }` a_{`n+1}}]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 1]	③ [eqn: 1 over 2]	④ [eqn: 1 over 3]	⑤ [eqn: 1 over 6]

10. 다항함수 [eqn: f(x)]가 [eqn: lim _{x -> INF } {} {f(x)-x ^{2}} over {x} =2`]를 만족시킬 때,

[eqn: lim _{x ->+0}{} {x^2 f left(1 over x right)}`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

[eqn: z]	[eqn: P(0 LEQ Z LEQ z)]
[eqn: 1.0]	[eqn: 0.34`]
[eqn: 1.5]	[eqn: 0.43`]
[eqn: 2.0]	[eqn: 0.48`]
[eqn: 2.5]	[eqn: 0.49`]

11. 어느 제과 회사에서 만든 과자 [eqn: 1`]개의 무게는 평균이 [eqn: 16`], 표준편차가 [eqn: 0.3`]인 정규분포를 따른다고 한다.

이 제과 회사에서 만든 과자 중 임의로 [eqn: 1`]개를 선택할 때, 이 과자의 무게가 [eqn: 15.25`] 이하일 확률을 오른쪽

표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? (단, 무게의 단위는 [eqn: rm g`]이다.)

[3점]

① [eqn: 0.01]	② [eqn: 0.02`]	③ [eqn: 0.03`]	④ [eqn: 0.04`]	⑤ [eqn: 0.05`]

12. 물체 주변의 온도가 [eqn: T _{s}]([eqn: ℃`])로 일정하고 물체의 초기 온도가 [eqn: T _{0}]([eqn: ℃`])일 때 초기 온도를 측정한 지 [eqn: t]분 후 물체의 온도를 [eqn: T`]([eqn: ℃`])라고 하면 다음 식이 성립한다고 한다.

[eqn: T`=`T _{s} +(T _{0} -T _{s} )K ^{```-t}] (단, [eqn: K`]는 열전달계수이다.)

어떤 물체 주변의 온도가 [eqn: 20 `℃`]로 일정하고 물체의 초기 온도가 [eqn: 60`℃`]일 때 초기 온도를 측정한 지 [eqn: a`]분 후 물체의 온도는 [eqn: 40 `℃`]가 되었고, 초기 온도를 측정한 지 [eqn: (a+20)`]분 후 물체의 온도는 [eqn: 25 `℃`]가 되었다. [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 13]

13. 수열 [eqn: left{a_n right}]은 [eqn: a_1 = 2`]이고

[eqn: a_{`n+1} = { a_{`n} -1 } over{ 2a_n -1} +1`] ([eqn: n ge 1 `])

을 만족시킨다. 다음은 일반항 [eqn: a_n]을 구하는 과정이다.

주어진 식에 의하여

[eqn: a_{`n+1}-1 = { a_{`n} -1 } over{ 2a_n -1} `]

이므로

[eqn: {1} over {a _{`n+1} -1} = {1} over {a _{n} -1} +`box{``(가)``}]

이다. [eqn: b_n = 1 over{ a_n -1}]이라 하면

[eqn: b_n+1 = b_n +`box{``(가)``}]

이고, [eqn: b_1 = 1]이므로

[eqn: b_n = `box{``(나)``}] ([eqn: n ge 1 `])

이다. 따라서 [eqn: a _{n} = {1} over {` {BOX{``(나)``}}} +1`]([eqn: n ge 1 `])이다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: k`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f(n)`]이라 할 때, [eqn: f(k)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 12]	⑤ [eqn: 15]

14. 함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 그림과 같다.

일차함수 [eqn: g(x)`]에 대하여 [eqn: g(0) = lim_{x-> 1-0} f(x) `]이고, [eqn: f(x) g(x)`]가 실수 전체의 집합에서 연속일 때, [eqn: g(-1)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

[15 ~ 16] 자연수 [eqn: bold n`]에 대하여 곡선 [eqn: bold {y=a`x ^{2}`}]([eqn: bolda>0`]) 위의 점 [eqn: bold {rm `P _{it `n rm}`}]을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 [eqn: bold {rm `P _{1}`}]의 좌표는 [eqn: bold {it (x _{1} ,```a`x _{1} ^{``2} )`}`]이다.

(나) 점 [eqn: bold {rm `P _{it `n+1 rm}`}]은 점 [eqn: bold {rm `P _{it `n rm} it (x _{n} ,```a`x _{n} ^{```2} )}`]을 지나는 직선 [eqn: bold {`y`=`-a`x _{n} `x+2a`x _{n} ^{``2}}`]과 곡선 [eqn: {bold{y=a`x ^{2}}}`]이 만나는 점 중에서 점 [eqn: bold {rm `P _{it`n}}]이 아닌 점이다.

15번과 16번의 두 물음에 답하시오.

15. 점 [eqn: rm P _{ it n} `]의 [eqn: x`]좌표로 이루어진 수열 [eqn: left{ x_{`n} right}`]에서 [eqn: x _{1} = 1over2]일 때,      [eqn: x_10`]의 값은? [4점]

① [eqn: -` {1024}]	② [eqn: -`{512}]	③ [eqn: -256]	④ [eqn: {512}]	⑤ [eqn: {1024}]

16. 점 [eqn: rm P _{it 1 rm}`]의 좌표가 [eqn: left(1,`` 1 over 3 right)`]일 때, 곡선 [eqn: y=a`x ^{2}`]과 직선 [eqn: rm P _{ 1 } P _{ 2}`]로 둘러싸인 부분 중에서 제[eqn: 2`]사분면에 있는 부분의 넓이는? [4점]

① [eqn: 4 over 3]	② [eqn: 10 over 9]	③ [eqn: 8 over 9]	④ [eqn: 2 over 3]	⑤ [eqn: 4 over 9]

17. 두 이차정사각행렬 [eqn: A], [eqn: B``]가

[eqn: A^2`+BA=E`], [eqn: BA + B^2 = A-E``]

를 만족시킬 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?

(단, [eqn: E`]는 단위행렬이다.) [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: A``]의 역행렬이 존재한다. ㄴ. [eqn: (AB)^2``][eqn: =A^2 B^2`] ㄷ. [eqn: A ^{`3} =2 E`]

① ㄱ	② ㄷ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

18. 빗변 [eqn: rm BC `]의 길이가 [eqn: 2`]인 직각이등변삼각형 [eqn: rm ABC]가 있다. 그림과 같이 삼각형 [eqn: rm ABC]의 직각을 낀 두 변에 내접하고 두 점 [eqn: rm B_{1}`], [eqn: rm C_{`1} `]이 선분 [eqn: rm BC `] 위에 놓이도록 정사각형 [eqn: rm P_1 B_{`1} C_{`1} Q _1`]을 그린다. 중심이 [eqn: rm A`], 반지름의 길이가 [eqn: rm bar{ AP_1}`]이고 중심각의 크기가

[eqn: { pi} over {2 }`]인 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]을 그린 후 부채꼴 [eqn: rm AP_1 Q_1`]의 호 [eqn: rm P_1 Q`_1]과 선분 [eqn: rm P_1 Q`_1]로 둘러싸인 부분인  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{1}]이라 하자.
그림 [eqn: `F _{1}]에 선분 [eqn: rm B_{`1} C_{`1} `]을 빗변으로 하는 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]을 그리고, 직각이등변삼각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1]에서 그림 [eqn: `F _{1}]을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어 지는  모양에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: `F _{2}]라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n]번째 얻은 그림 [eqn: F _{n}]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} {S_ n}]의 값은? [4점]

…

…

① [eqn: {5( pi -2)} over {16}]	② [eqn: {pi-2}over4]	③ [eqn: {3( pi -2)} over {16}]

④ [eqn: { pi -2} over {8}]	⑤ [eqn: { pi -2} over {16}]

19. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 함수 [eqn: f(x) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: f(x+2) = f(x)]

(나) [eqn: f(x)=|``x``|`] ([eqn: -1 le x <1])

함수 [eqn: g(x) = int _{-2} ^{``x } {f(t)`dt }`]라 할 때,

실수 [eqn: a`]에 대하여 [eqn: g(a+4)-g(a)`]의 값은? [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

20. 빨간 공, 파란 공, 노란 공이 각각 [eqn: 5`]개씩 있다. 이 [eqn: 15`]개의 공만을 사용하여 빨간 상자, 파란 상자, 노란 상자에 상자의 색과 다른 색의 공을 [eqn: 5`]개씩 담으려고 한다. 공을 담는 경우의 수는? (단, 같은 색의 공은 서로 구별하지 않는다.) [4점]

① [eqn: 6]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 30]

21. 곡선 [eqn: y= {``x ^{2}} over {2} `] 위의 점 [eqn: rm P it left(a,~ {``a ^{2}} over {2} right)]에서 접하는 직선을 [eqn: l`]이라 하자. 직선 [eqn: l`]과 수직인 직선 중 곡선 [eqn: y= {```x ^{2}} over {2} `]에 접하는 직선을 [eqn: m`]이라 하고, 직선 [eqn: m`]과 곡선 [eqn: y= {``x ^{2}} over {2} `]의 접점을 [eqn: rm Q`]라 하자.

[eqn: y`]축과 직선 [eqn: rm PQ`]가 점 [eqn: rm R`]에서 만날 때, 점 [eqn: rm R`]의 [eqn: y`]좌표는?

(단, [eqn: a!=0 `]) [4점]

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: 5 over 8]	④ [eqn: 3 over 4]	⑤ [eqn: 7 over 8]

단답형

22. 다항식 [eqn: ( x+1)^{`10} `]의 전개식에서 [eqn: x^{`2} `]의 계수를 구하시오. [3점]

23. [eqn: a,~10 `,~ {17},~b`]는 이 순서대로 등차수열을 이루고 [eqn: a,~x`,~y,~b]는 이 순서대로 등비수열을 이루고 있다. [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 모든 실수 [eqn: x]에 대하여 함수 [eqn: f(x) `]는 다음 조건을 만족시킨다.

[eqn: int _{ 12} ^{ x} {f(t)`dt}`=`-x^3 +x^2 + int _{ 0} ^{1 } {x f(t)`dt} `]

[eqn: int _{ 0} ^{1 } { f(x)`dx}]의 값을 구하시오. [3점]

25. 양수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: log`x`]의 가수를 [eqn: f`(x)]라 할 때, 집합

[eqn: A= LEFT {` `n``|`` f(n) < log`2``,~ n` 은 ~99~이하의 ~자연수 right]

의 원소의 개수를 구하시오. [3점]

26. 두 함수 [eqn: f(x)`=`log _{2} `(x+10) `], [eqn: g(x)`=log _{{1} over {2}} (x-10)`]의 그래프가 그림과 같다.

구간 [eqn: left( 10,` inf right)`]에서 정의된 함수 [eqn: y = left| `f(x)`-g(x) ` right|`]는 [eqn: x=p`]일 때

최솟값을 갖는다. [eqn: p^{`2}`]의 값을 구하시오. [4점]

27. 자연수 [eqn: k`]에 대하여 삼차방정식 [eqn: x ^{3} -12x+ 22 -4k=0 `]의

양의 실근의 개수를 [eqn: f(k) `]라 하자. [eqn: sum_k=1 ^10 f(k) `]의 값을 구하시오. [4점]

28. 함수 [eqn: y= f(x) `]의 그래프가 그림과 같다.

한 개의 주사위를 한 번 던져서 나온 눈의 수를 [eqn: a]라 할 때, 곡선 [eqn: y= f(x) `]와 직선 [eqn: y=a`]의 교점의 개수를 확률변수 [eqn: X`]라 하자. [eqn: E(X) = q over p `]라 할 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오.

(단, [eqn: p], [eqn: q`]는 서로소인 자연수이다.) [4점]

29. 곡선 [eqn: y=`x ^{2}] 위에 두 점 [eqn: rm`P`it(a,```a ^{2} `)], [eqn: rm Q it `(a+1,```a ^{2} +2a+1)]이 있다. 직선 [eqn: rm PQ`]와 직선 [eqn: y=x`]의 교점의 [eqn: x`]좌표를 [eqn: f(a)`]라 할 때, [eqn: 100 ``lim_{a-> 0} f(a) `]의 값을 구하시오. [4점]

30. 수열 [eqn: left{a _{n} right}]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: |a _{n} | + a _{n+1} =n+6`] ([eqn: n GEQ1])

(나) [eqn: sum _n=1 ^{40} a_n =520`]

[eqn: sum _n=1 ^{30} a_n `]의 값을 구하시오. [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.