성명

수험번호			―

□ 먼저 수험생이 선택한 계열의 문제인지 확인하시오.

2002 학년도 대학수학능력시험 문제지

수리  영역

제 2 교시

1

□ 문제지에 성명과 수험 번호를 정확히 기입하시오.

□ 답안지에 수험 번호, 응시 계열, 문형, 답을 표기할 때에는 반드시 □수험생이 지켜야 할 일□에 따라 표기하시오.

□ 주관 답의 숫자에 0이 포함된 경우, 0을 OMR 답안지에 반드시 표기해야 합니다.

□ 문항에 따라 배점이 다르니, 각 물음의 끝에 표시된 배점을 참고하시오. 배점은 2점 또는 3점입니다.

□ 계산은 문제지의 여백을 활용하시오.

1. 무리방정식 [eqn: ( SQRT { x}- SQRT { 3})( SQRT { x} + SQRT { 3})=4] 의 근은? □2 점□

①□1	②□3	③□5	④□7	⑤□9

2.□두 벡터 [eqn: vec a `=`(2, -3.2),] [eqn: vec b `=`(1, -4.0)]가 이루는 각의 크기를 [eqn: theta `]라 할 때, [eqn: cos` theta `]의 값은? □2 점□

①□[eqn: 2 over 17]	②□[eqn: 5 over 17]	③□[eqn: 8 over 17]	④□[eqn: 11 over 17]	⑤□[eqn: 14 over 17]

3.  복소수 z가 [eqn: LEFT | z RIGHT |=1]일 때, [eqn: { z} over { z+ { 1} over { z} }]의 값은? □2 점□

①□[eqn: -1]	②□[eqn: - {1} over {2}]	③□0	④□[eqn: {1} over {2}]	⑤□[eqn: 1]

4. 다음 식을 성립하게 하는 상수 [eqn: a] ,[eqn: b] 의 곱 [eqn: a b] 의 값은? □2 점□

[eqn: lim from { x ->1 }] [eqn: {`x-1`} over{ `x^2 +ax +b } = {1}over{3}]

①□-3	②□-2	③□1	④□2	⑤□3

5. 방정식[eqn: { x}^{2 }- { y}^{2 }+2y+a=0] 이 나타내는 도형이 [eqn: x`] 축에 평행인 주축을 갖는 쌍곡선이 되기 위한 [eqn: a`]의 값의 범위는? □2 점□

수리 영역

수리 영역

①□[eqn: a＠-1]	②□[eqn: aＢ-1]	③□[eqn: a＠1]

④□[eqn: aＢ1]	⑤□[eqn: aＢ2]

6. 함수 [eqn: f`(x`)=2 { sin}^{3 }x+sin2x`cos`x`+2cos`x`]의

최대값은? □2 점□

①□[eqn: {root 2} over {2}]	②□[eqn: 1]	③□[eqn: root 2]	④□[eqn: 2]	⑤□[eqn: 2 root 2]

7. [eqn: (a, b, c`)]를 구[eqn: { x}^{2 }+ { y}^{2 }+ { z}^{2 }=4] 위의 한 점의 좌표라고 할 때, 두 평면

[eqn: ax+by+cz=1]

[eqn: ax+by+cz=3]

사이의 최단거리는? □2 점□

①□[eqn: 1 over 2]	②□[eqn: 1]	③□[eqn: 3 over 2]	④□[eqn: 2]	⑤□[eqn: 11 over 3]

8. 세 자료

[eqn: A]＞1 부터  50 까지의 자연수

[eqn: B]＞51 부터 100 까지의 자연수

[eqn: C]＞1 부터 100 까지의 짝수

의 표준편차를 순서대로 [eqn: a], [eqn: b] , [eqn: c] 라 할 때, [eqn: a, ~b, ~c] 의 대소관계를 바르게 나타낸 것은? □3 점□

① [eqn: a`=b`=c]	② [eqn: a`=` b]＠[eqn: c]	③ [eqn: a]＠[eqn: b`=` c]

④ [eqn: a]＠[eqn: b]＠[eqn: c]	⑤ [eqn: a]＠[eqn: c]＠[eqn: b]

9. [eqn: 1`<=`x`<=`2]인 모든 실수[eqn: x`]에 대하여 부등식

[eqn: alpha `x` <=` { e}^{x }` <= `beta` x`]

가 성립하도록 상수 [eqn: alpha , beta] 를 정할 때, [eqn: beta -alpha] 의 최소값은? □3 점□

①□[eqn: e over 2]	②□[eqn: e]	③□[eqn: e` LEFT( e ^3 over 4 -1 RIGHT)]

④□[eqn: e` LEFT( e ^2 over 3 -1 RIGHT)]	⑤□[eqn: e` LEFT( e over 2 -1 RIGHT)]

10. 연립부등식 [eqn: x`>`0`] , [eqn: y+x`□` 0], [eqn: y-2x`□`0] 이 나타내는

좌표평면 위의 영역을 [eqn: rm D] 라 하자. [eqn: rm D] 에 속하는 두 점

[eqn: rm P(a, `b`)], [eqn: rm Q`(c, `d`)]에 대하여 [eqn: {b+d} over{a+c}] 의 최대값과 최소값의 차는? □3 점□

①□[eqn: 2 over 3]	②□[eqn: 4 over 3]	③□[eqn: 2]

④□[eqn: 3]	⑤□[eqn: 10 over 3]

11. 지수함수의 그래프에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? □2 점□

ㄱ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축에 대하여 대칭이동하면

[eqn: y={ 1} over {2^x}]의 그래프가 된다.

ㄴ. [eqn: y= 2^x]의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 1 만큼 평행이동하면

[eqn: y= 2^x]의 그래프보다 아래에 놓이게 된다.

ㄷ. [eqn: y= SQRT2 ·2 ^x] 의 그래프를 [eqn: x]축의 방향으로 평행이동하여

[eqn: y= 2^x]의 그래프를 얻을 수 있다.

<보 기>

①□ㄱ	②□ㄴ	③□ㄴ, ㄷ

④□ㄱ, ㄷ	⑤□ㄱ, ㄴ, ㄷ

12. 수열 {[eqn: a_n}] } 이

[eqn: SQRT17 -4 = {1 }over{ 8+ a_1 } = {1} over{ 8 +{1} over {8 + a_2 }}= {1} over{8+{1}over{8+{1}over{8+a_3}}}=…]

을 만족시킬 때, [eqn: a_2002] 의 값은? □3 점□

①□[eqn: root 17 -4]	②□[eqn: 3 - root 17]	③□[eqn: 5 - root 17]

④□[eqn: root 17]	⑤□[eqn: root 17 +4]

13. 어떤 종류의 연산회로는 행렬들로 나타낼 수 있다. 이 연산회로의 입력과 출력은 행렬 [eqn: a= PMATRIX { { x``}# {y``} }]로, 연산자

[eqn: U`]

는 2 차 정사각행렬 [eqn: U`] 로 표현된다. 기본 연산회로 [eqn: a ->]

[eqn: U`]

는[eqn: {U }_{a } `]를 수행하고 [eqn: a] □

[eqn: U`]

□

[eqn: V`]

는 [eqn: V {U }_{a }]의 행렬연산을 수행한다. 다음은 연산자

[eqn: X`]

,

[eqn: Y`]

,

[eqn: Z`]

에 대응되는 행렬이다.

[eqn: X= PMATRIX { { 0}& {1 `` }# { 1}& {0`` } }], [eqn: Y= PMATRIX { { 1}& {0 }# { 0}& { -1 } }], [eqn: Z= { SQRT { 2} } over {2 } PMATRIX { { 1}& { 1 }# {1 }& {-1 } }]

입력 [eqn: a= PMATRIX { { 0 ``}# { 1 ``} }]를 연산회로

[eqn: a] →

[eqn: Z`]

[eqn: RARROW](가)[eqn: RARROW]

[eqn: X`]

＄

에서 수행한 결과가 [eqn: { SQRT { 2} } over {2 } PMATRIX { { 1 ``}# {1 ``} }]일 때, 다음 중 (가)에 알맞은 것은? □3 점□

①

[eqn: Z`]

[eqn: RARROW]

[eqn: X`]

②

[eqn: Z`]

[eqn: RARROW]

[eqn: Y`]

③

[eqn: X`]

[eqn: RARROW]

[eqn: X`]

④

[eqn: Y`]

[eqn: RARROW]

[eqn: Y`]

⑤

[eqn: Y`]

[eqn: RARROW]

[eqn: X`]

14. 한 평면에 서로 다른 [eqn: n] 개의 직선을 그려서 나누어진 영역의 수의 최소값을 [eqn: f`(n)], 최대값을 [eqn: g(`n)]이라 하자.

<보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? □3 점□

ㄱ. [eqn: f(2)=3,~~g(2)=4]이다.

ㄴ. 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: f(n)=n+1] 이다.

ㄷ. 모든 [eqn: n]에 대하여 [eqn: g(n) □ f(n+1)]이다.

<보 기>

①□ㄱ	②□ㄴ	③□ㄱ, ㄴ

④□ㄱ, ㄷ	⑤□ㄱ, ㄴ, ㄷ

15. 다음을 만족하는 다항함수에 대한 <보기>의 설명 중

옳은 것을 모두 고른 것은? □3 점□

[eqn: f_0 (x)=1]

[eqn: f_1 (x)= x]

[eqn: f_n+1 (x) = x f_n (x) + f_n-1 (x)] ([eqn: n]은 자연수)

ㄱ. [eqn: f_2n-1 (0) =0],  [eqn: f_2n (0)=1]이다.

ㄴ. [eqn: f_2n-1 (x)]는 기함수이고, [eqn: f_2n (x)]는 우함수이다.

ㄷ. [eqn: f_2n-1 (x)]와[eqn: f_2n (x)]의 항의 개수는 각각[eqn: n]개이다.

<보 기>

①□ㄱ	②□ㄴ	③□ㄱ, ㄴ

④□ㄱ, ㄷ	⑤□ㄱ, ㄴ, ㄷ

16. 함수 [eqn: f(x)]=[[eqn: x][[eqn: x`]]] 에 대한 <보기>의 설명 중 옳은 것을 모두 고른 것은? (단, [[eqn: x] ] 는 [eqn: x] 보다 크지 않은 최대의 정수이다. )

□3 점□

ㄱ. [eqn: f(x)]= -1 이 되는 [eqn: x]는 존재하지 않는다.

ㄴ. 자연수 [eqn: n]에 대해서 집합 {[eqn: f(x) □n □ x` □n+1]}의 원소의 개수는 [eqn: n]개다.

ㄷ. 자연수 [eqn: n]에 대해서 집합 { [eqn: f(x) □-n □x□-n+1]}의 원소의 개수는 [eqn: n+1]개이다.

<보 기>

①□ㄱ	②□ㄴ	③□ㄱ, ㄴ

④□ㄴ, ㄷ	⑤□ㄱ, ㄴ, ㄷ

17. 다음은 정삼각형 [eqn: rm ABC`] 의 변 [eqn: rm BC`] 위의 한 점 [eqn: rm D`] 를 잡아 직선 [eqn: rm AD`]가 [eqn: rm TRIANGLE ABC] 의 외접원과 만나는 점을 [eqn: rm E`]라 할 때,

[eqn: {1}over{bar{rmDE`~}}] =[eqn: {1}over{bar{rmEB`~}}]+ [eqn: {1}over{bar{rmCE`~}}]

임을 보인 것이다.

<증 명>

선분 CE 의 연장선 위에 [eqn: bar {rm EB} = bar{ rm EP}]인 점 P 를 잡는다. 네 점 A, B, E, C 는 한 원 위에 있으므로

[eqn: rm ∠AEC = ∠ABC = 60□]이고

[eqn: rm ∠AEB = ∠ACB = 60□]이다.

따라서 = 60□이고  [eqn: bar {rm EB} = bar{ rm EP}] 이므로

[eqn: rm TRIANGLE EBP`]는 정삼각형이다.

그러므로 = 60□[eqn: rm = ANGLE DEC`]이고

선분 [eqn: rm BP`]와 [eqn: rm DE`]는 평행하다. [eqn: rm TRIANGLE CBP`]와 [eqn: rm TRIANGLE CDE`]는 닮음이므로

[eqn: bar{ rm BP }]＞[eqn: bar{rm DE}] =[eqn: bar{rm CP}]＞ 이고

[eqn: bar{ rm BP }]· =[eqn: bar{rm DE}]·[eqn: bar{rm CP}] 이다. 또한

[eqn: bar{ rm BP }] =[eqn: bar{ rm EP}]=[eqn: bar{ rm EB}], [eqn: bar{rm CP}] =[eqn: bar{ rm CE}]+[eqn: bar{ rm EP}] 이므로

[eqn: bar{ rm EB}·][eqn: =` bar{ rm DE} ( bar{ rm CE}`+`bar{rm EP})]

[eqn: = bar{ rm DE }(bar{rm CE} `+` bar{rm EB})]

가 된다. 양변을 [eqn: bar{ rm EB}]·[eqn: bar{ rm CE}]·[eqn: bar{rm DE}] 로 나누면

[eqn: {1}over{bar{rmDE`~}}]=[eqn: {1}over{bar{rmEB`~}}]+ [eqn: {1}over{bar{rmCE`~}}]이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? □3 점□

(가)	(나)	(다)

①□∠PEB	∠BPE	[eqn: bar{ rm CE}]

②□∠PEB	∠BPE	[eqn: bar{ rm CD}]

③□∠EBP	∠CBE	[eqn: bar{ rm CE}]

④□∠PEB	∠DCE	[eqn: bar{ rm CD}]

⑤□∠PEB	∠BED	[eqn: bar{ rm CD}]

18. 다음은 자연수[eqn: m,~n]에 대해서[eqn: m^4 +4^n]이 소수이고 [eqn: m □1] 또는 [eqn: n □1] 이면, [eqn: m]은 홀수이고 [eqn: n]은 짝수임을 증명한 것이다.

<증 명>

[eqn: m] 이 짝수이거나 [eqn: n]이 홀수라 가정하자.

(i) [eqn: m]이 짝수이면 [eqn: m]=2[eqn: j] 꼴의 정수이고,

[eqn: m^4 +4 ^n]= 4·([eqn: 4~ j^4 `+` 4^ n-1] )이므로 [eqn: m^4 +4 ^n]은

이것은 가정에 모순이므로 [eqn: m]은 홀수이다.

(ii) [eqn: n]이 홀수이면 [eqn: n]=[eqn: 2k-1] 꼴의 정수이다.

[eqn: m^4 +4 ^n]=[eqn: m^4 +4 ^2k-1] 은 다음과 같이 인수분해 된다.

[eqn: m^4 +4 ^2k-1]=()[eqn: ({m}^{2}+m{2}^{k}+2□{4}^{k-1})]

이 수는 소수이므로 =1 또는

[eqn: ({m}^{2}+m{2}^{k}+2□{4}^{k-1})]=1 이다.

그런데, [eqn: ({m}^{2}+m{2}^{k}+2□{4}^{k-1})]>1 이므로 =1 이다.

=([eqn: )^2 +4^k-1 =1] 로부터

[eqn: k=1,~~m=1] 이다. 따라서, [eqn: m=1,~~n=1]이다.

이것은 가정에 모순이므로 [eqn: n] 은 짝수이다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? □3 점□

(가)	(나)	(다)

① 소수가 아니다	[eqn: m^2 - m ~2^ k +2·4^k-1]	[eqn: m- 2^ k-1]

② 소수이다	[eqn: m^2 - m~ 2^ k +2·4^k-1]	[eqn: m- 2^ k-1]

③ 소수가 아니다	[eqn: m^2 - m ~2^ k+1 +5·4^k-1]	[eqn: m- 2^ k]

④ 소수이다	[eqn: m^2 - m ~2^ k+1 +5·4^k-1]	[eqn: m- 2^ k]

⑤ 소수가 아니다	[eqn: m^2 - m~ 2^ k+2 +17·4^k-1]	[eqn: m- 2^ k+1]

19. 두 함수 [eqn: f(x)=ax+b]와 [eqn: g(x)= { e}^{x }]가

[eqn: f(g(x))= INT _{ 0}^{x }f(t)g(t)dt-x {e }^{x }+3]

을 만족할 때, [eqn: f(2)]의 값은? □3 점□

①□4	②□2	③□0	④□-2	⑤□-4

20. 그림과 같이 좌표평면 위에 원과 반원으로 이루어진 태극문양이 있다. 태극문양과 직선 [eqn: y=a`(x-1)]이 서로 다른 다섯 점에서 만나게 되는 [eqn: a]의 범위는? □3 점□

①□[eqn: 0 ＠a ＠ root 2 over 3]	②□[eqn: 0 ＠a ＠ root 3 over 3]	③□[eqn: 0 ＠a ＠ 2 over 3]

④□[eqn: 0 ＠a ＠ root 5 over 3]	⑤□[eqn: 0 ＠a ＠ root 6 over 3]

21. 함수 [eqn: f(x)= { x}^{2 }-x-6], [eqn: g(x)= { x}^{2 }-ax+4]일 때, 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: (f CIRC g)(x) >= 0]이 되는 실수[eqn: a]의 범위는? (단,[eqn: f CIRC g]는 [eqn: g]와 [eqn: f]의 합성함수이다.) □3 점□

①□[eqn: a □-1,~a □1]	②□[eqn: -1□a□1]	③□[eqn: a□-2,~a□2]

④□[eqn: -2 □a□2]	⑤□[eqn: -4□a□4]

22. 어떤 물질은 원자를 구로 나타낼 경우 똑같은 구들을 규칙적으로 배열하여 얻은 정육각형 격자구조를 갖는다. 아래 그림은 이 격자구조의 한 단면에 놓여 있는 원자의 중심을 연결한 것이다. 이 구조에서 한 원자의 에너지는 인접한 원자의 수와 거리에 영향을 받는다. 가장 인접한 원자의 중심간의 거리가 모두 1 일 때, 동일 평면상에서 고정된 한 원자와 중심사이의 거리가 [eqn: SQRT { 7}] 인 원자의 개수는? □3 점□

①□4	②□6	③□8	④□12	⑤□16

23. 직선거리가 500m 인 A 지점과 B 지점을 연결하는 도로를 건설하려고 했지만, 경사도가 37¸여서 우회도로가 필요하였다. 그래서 그림과 같이 12¸의 경사도를 유지하는 도로를 건설하기로 결정하였다. A 지점에서  B 지점까지 이 우회도로의 거리는 약 몇 m 인가? (단, [eqn: sin12 DEG =0.2, ~sin37 DEG=0.6] 으로 계산한다.)

□3 점□

①□800 m	②□1000 m	③□1200 m

④□1500 m	⑤□1800 m

24. 중심도시에서 상품을 구매하는 주변도시의 전체 구매량은 다음과 같은 법칙을 따른다고 하자.

□각 주변도시 B, C 의 시민들이 중심도시 A 시에서 상품을 구매할 때, 각 도시의 전체 구매량은 그 도시의 인구수에 비례하고 A 시와의 거리의 제곱에 반비례한다.□

위 법칙과 아래 표에 의거하여 신도시 [eqn: C`]시를 건설하려고 한다.

구분 도시	인 구 (단위＞명)	A시로부터의 거리 (단위＞[eqn: km])
B 시	500000	20
C 시	[eqn: x]	10

A 시에서 구매하는 C 시의 전체의 구매량이 B 시의 전체 구매량의 절반이 되게 하려면 C 시의 인구 [eqn: x`] 를 얼마로 예상해야 하는가?

□3 점□

①□42500	②□52500	③□62500

④□72500	⑤□82500

주관식 문항 (25∼30)

25. 행렬 A[eqn: = PMATRIX { { 0}& { 1}# { 1}& {0 }& }]에 대하여[eqn: { 1} over {2002 } SUM from { { n}=1} to 2002 {A }^{n } = PMATRIX { { a}& {b~}# { c}& { d~} }]일 때, [eqn: a+b+c+d]의 값을 구하시오. □3 점□

26. 함수 [eqn: f`(x)= lim from { n -> INF } { { x}^{ 2n+4}+2x } over { { x}^{2n }+1 }]일 때, [eqn: f`( { 1} over {2 })+f`(2)]의 값을 구하시오. □2 점□

27.□[eqn: U= LEFT { 1, 2, 3, 4, 5~RIGHT }]일 때, [eqn: LEFT { 2, 3~RIGHT } BIGCAP A != EMPTYSET]를 만족시키는[eqn: U] 의 부분집합 [eqn: A] 의 개수를 구하시오. □3 점□

28.□다음 방정식의 모든 해의 곱을 구하시오. □2 점□

[eqn: {(log}_{2 }x )^{3 }+ log_2 { x}^{3 }=][eqn: 4 (log_2 `x) ^{2 } + log_2 `x]

29. 어떤 행사에서 20 종류의 스티커를 모으면 경품을 받을 수 있다고 한다. 갑은 네 종류, 을과 병은 각각 다섯 종류의 스티커를 모았다. 두 사람씩 비교하였을 때 각각 세 종류의 스티커가 공통으로 있었고, 세 사람을 함께 비교하였을 때는 두 종류의 스티커가 공통으로 있었다. 갑, 을, 병의 스티커를 모아서 경품을 받으려고 할 때, 최소로 더 필요한 스티커의 종류의 수를 구하시오. □3 점□

30. 어떤 상품의 가격은 매달 0.5 의 확률로 10% 상승하거나 0.5 의 확률로 10% 하락한다. 이 상품의 현재가격은 500 원이다. 두 달 후, 이 상품의 가격이 500 원 이하이면 500 원에서 두 달 후 상품 가격을 뺀 금액을 받고, 500 원 이상이면 받지 않기로 하였다. 두 달 후 받을 수 있는 금액의 기대값을 소수점 아래 둘째 자리까지 구하시오.(단, 첫 번째 달의 가격변동과 두 번째 달의 가격변동은 서로 독립이다.) □3 점□

※ 확인 사항

□ 문제지와 답안지의 해당란을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.

□ 문제지는 답안지와 함께 제출합니다. 답안지의 표기가 끝나면 답안지는 오른쪽, 문제지는 왼쪽에 놓으시오.