수리 영역(이과)

수리(이과) 영역

1. ②	2. ①	3. ②	4. ②	5. ④

6. ④	7. ③	8. ③	9. ①	10. ②

11. ④	12. ①	13. ①	14. ⑤	15. ④

16. ③	17. ⑤	18. ②	19. ⑤	20. ③

21. ④	22. ③	23. ③	24. ①	25. 17

26. 69	27. 12	28. 17	29. 379	30. 18

1. 지수함수와 로그함수

정답 ②

[eqn: root {6} of {9 ^{5}} TIMES 24 ^{- {2} over {3}} = LEFT ( 3 ^{10} RIGHT ) ^{{1} over {6}} TIMES LEFT ( 2 ^{3} TIMES 3 RIGHT ) ^{- {2} over {3}}]

[eqn: =3 ^{{5} over {3}} TIMES 2 ^{-2} TIMES 3 ^{- {2} over {3}}]

[eqn: = {3} over {4}]

2. 함수의 극한과 연속

정답 ①

[eqn: lim _{x -> {pi } over {2}} {} {cos ^{2} x} over {LEFT ( 2x- pi RIGHT ) ^{2}}]에서 [eqn: x- {pi } over {2} =t]라 치환하면

[eqn: 2x- pi =2t], [eqn: cos` LEFT ( {pi } over {2} +t RIGHT ) =sin`t]

[eqn: x -> {pi } over {2}]일 때, [eqn: t -> 0]이므로

[eqn: THEREFORE][eqn: lim _{t -> 0} {} {sin ^{2} t} over {LEFT ( 2t RIGHT ) ^{2}} = {1} over {4}] [eqn: LEFT ( BECAUSE lim _{x -> 0} {} {sinx} over {x} =1 RIGHT )]

3. 미분법

정답 ②

[eqn: x ^{2} +xy+y ^{2} =7]에서 [eqn: y]를 [eqn: x]에 대한 함수로 보고, 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: 2x+y+x {dy} over {dx} +2y {dy} over {dx} =0]

[eqn: THEREFORE {dy} over {dx} = {-2x-y} over {x+2y}](단, [eqn: x != -2y])	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

따라서 점 [eqn: LEFT ( 2,~1 RIGHT )]에서의 접선의 기울기는 [eqn: x=2,~y=1]을 ㉠에 대입하면 [eqn: - {5} over {4}]이다.

4. 적분법

정답 ②

[eqn: 4 lim _{n -> INF } {} {1} over {n} sum _{k=1} ^{n} sqrt {2- LEFT ( {k} over {n} RIGHT ) ^{2}} =4 int _{0} ^{1} {} sqrt {2-x ^{2}} dx]

[eqn: x= sqrt {2} `sin theta][eqn: LEFT ( - {pi } over {2} LEQ theta LEQ {pi } over {2} RIGHT )]로 치환하면

[eqn: {dx} over {d theta } = sqrt {2} `cos theta]이고

[eqn: x=0]일 때, [eqn: theta =0], [eqn: x=1]일 때, [eqn: theta = {pi } over {4}]이므로

[eqn: 4 int _{0} ^{1} {} sqrt {2-x ^{2}} dx=][eqn: 4 int _{0} ^{{pi } over {4}} {} 2`cos ^{2} theta `d theta]

[eqn: =4 int _{0} ^{{pi } over {4}} {} LEFT ( 1+`cos2 theta RIGHT ) ``d theta]

[eqn: =4 LEFT [ theta + {sin`2 theta } over {2} RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {4}}][eqn: = pi +2]

5. 통계

정답 ④

표본의 크기가 [eqn: 25]인 표본평균 [eqn: bar{X``}]는 정규분포

[eqn: rm N LEFT ( 50,~ {10 ^{2}} over {25} RIGHT )][eqn: = \N LEFT ( 50,~2 ^{2} RIGHT )]을 따르므로

[eqn: rm P it LEFT ( 48 LEQ bar{X``} LEQ 54 RIGHT )][eqn: ={\P} LEFT ( {48-50} over {2} LEQ Z LEQ {54-50} over {2} RIGHT )]

[eqn: ={\P} LEFT ( -1 LEQ Z LEQ 2 RIGHT )]

[eqn: =0.3413+0.4772][eqn: =0.8185]

6. 순열과 조합

정답 ④

정회원 [eqn: 2]명에게 사은품을 각각 [eqn: 2]개, 준회원 [eqn: 2]명에게 사은품을 각각 [eqn: 1]개씩 나누어 준 후 남은 [eqn: 4]개의 사은품을 [eqn: 4]명에게 나누어 주면 된다. 즉, 서로 다른 [eqn: 4]개에서 중복을 허락하여 [eqn: 4]개를 택하는 중복조합의 수를 구하면

[eqn: {} _{4+4-1} rm C _{4} = _{7} C _{4} = _{7} C _{3}]

[eqn: = {7 TIMES 6 TIMES 5} over {3 TIMES 2} =35]

7. 지수함수와 로그함수

정답 ③

네 점 [eqn: {rm A} LEFT ( {b} over {4} ,~a ^{{b} over {4}} RIGHT )], [eqn: rm B it LEFT ( a,~a ^{a} RIGHT )], [eqn: rm C it LEFT ( b,~b ^{b} RIGHT )], [eqn: {rm D} LEFT ( 1,~b RIGHT )]에서 두 점 [eqn: \A]와 [eqn: \C]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: a ^{{b} over {4}} =b ^{b}]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

두 점 [eqn: \B]와 [eqn: \D]의 [eqn: y]좌표가 같으므로

[eqn: a ^{a} =b]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉡의 양변을 [eqn: b]제곱하면 [eqn: a ^{ab} =b ^{b}]

㉠에서 [eqn: a ^{{b} over {4}} =a ^{ab}]

[eqn: {b} over {4} =ab], [eqn: a= {1} over {4}][eqn: LEFT ( BECAUSE b>0 RIGHT )]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉢]

㉢을 ㉡에 대입하면 [eqn: b= LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{1} over {4}}]

[eqn: THEREFORE a ^{2} +b ^{2} = LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1} over {4} RIGHT ) ^{{1} over {2}}]

[eqn: = {1} over {16} + {1} over {2}][eqn: = {9} over {16}]

8. 지수함수와 로그함수

정답 ③

현재[eqn: LEFT ( t=0 RIGHT )]의 개체 수가 [eqn: 5000]이므로

[eqn: log`5000=k]

개체 수가 처음으로 [eqn: `1000]보다 적어지는 때는 [eqn: n]년 후이므로

[eqn: log`1000>log`5000+n`log {4} over {5}]

[eqn: =log`5000+n LEFT { log2 ^{2} - LEFT ( 1-log2 RIGHT ) RIGHT }]

[eqn: =log`5000+n LEFT ( -0.097 RIGHT )][eqn: LEFT ( BECAUSE `log`2=0.3010 RIGHT )]

[eqn: log {1} over {5} >n LEFT ( -0.097 RIGHT )], [eqn: 0.699<0.097n], [eqn: n>7.206 CDOTS]

[eqn: THEREFORE n=8]

9. 일차변환과 행렬

정답 ①

[eqn: pmatrix{1&``-1#3&``-2} pmatrix{`1`#`2`} = pmatrix{-1#-1}]에서 점 [eqn: \B LEFT ( -1,~-1 RIGHT )]

[eqn: rm M ^{2} = pmatrix{1&``-1#3&``-2} pmatrix{1`&`-1#3`&`-2}][eqn: = pmatrix{-2~&1#-3~&1}]

[eqn: rm M ^{3} = pmatrix{-2&```1#-3&```1} pmatrix{1&`-1#3&`-2}][eqn: = pmatrix{1~&0#0~&1}]

[eqn: pmatrix{1~&0#0~&1}][eqn: pmatrix{`2`#`0`} = pmatrix{`2`#`0`}]에서 점 [eqn: \D LEFT ( 2,~0 RIGHT )]

[eqn: rm ` vec{OB} BULLET vec{BD} =` vec{OB} BULLET LEFT ( vec{OD} - vec{OB} RIGHT )]

[eqn: = LEFT ( -1,~-1 RIGHT ) BULLET LEFT ( 3,~1 RIGHT ) =-4]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

두 벡터 [eqn: \ vec{OB}]와 [eqn: \ vec{BD}]가 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]이므로

[eqn: rm ` vec{OB} BULLET vec{BD} =` LEFT | vec{OB} RIGHT | ` TIMES LEFT | vec{BD} RIGHT | TIMES cos theta]

[eqn: = sqrt {2} ` TIMES sqrt {10} `cos theta]

[eqn: =2 sqrt {5} `cos theta]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠과 ㉡이 같아야 하므로 [eqn: 2 sqrt {5} `cos theta =-4]

[eqn: THEREFORE][eqn: cos theta = {-2} over {sqrt {5}} =- {2 sqrt {5}} over {5}]

10. 수열

정답 ②

[eqn: x+y=1], [eqn: xy=-1]에서 두 실수 [eqn: x,~y]는 근과 계수의 관계에서 이차방정식 [eqn: t ^{2} -t~-1=0]의 두 근이다. 이차방정식의 근의 공식을 이용하면

[eqn: x= {1+ sqrt {5}} over {2} ,~y= {1- sqrt {5}} over {2} LEFT ( BECAUSE x>y RIGHT )]

[eqn: a _{n} = sum _{k=1} ^{n} x ^{n-k} y ^{k-1}]

[eqn: =x ^{n-1} +x ^{n-2} y+` CDOTS `+y ^{n-1}]	[eqn: CDOTS CDOTS LEFT ( * RIGHT )]

[eqn: LEFT ( * RIGHT )]은 첫째항이 [eqn: x ^{n-1}]이고 공비가 [eqn: {y} over {x}]인 등비수열의 첫째항부터 제[eqn: n]항까지의 합이므로

[eqn: a _{n} = {x ^{n-1} LEFT { 1- LEFT ( {y} over {x} RIGHT ) ^{n} RIGHT }} over {1- {y} over {x}}][eqn: = {x ^{n-1} - {y ^{n}} over {x}} over {1- {y} over {x}}]

[eqn: = {x ^{n} -y ^{n}} over {x-y} = {LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2 _{}} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {1- sqrt {5}} over {2 _{}} RIGHT ) _{{} _{eqalign{# }}} ^{n}} over {sqrt {5 ^{}}}]

[eqn: THEREFORE][eqn: m=-1], [eqn: f LEFT ( n RIGHT ) =][eqn: {LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n} - LEFT ( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{n}}]

[eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) =][eqn: LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{3} - LEFT ( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{3}]

[eqn: = LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} - {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) TIMES]

[eqn: LEFT { LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {1+ sqrt {5}} over {2} RIGHT ) LEFT ( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) RIGHT .][eqn: LEFT. + LEFT ( {1- sqrt {5}} over {2} RIGHT ) ^{2} RIGHT }]

[eqn: = sqrt {5} LEFT ( {6+2 sqrt {5}} over {4} -1+ {6-2 sqrt {5}} over {4} RIGHT )]

[eqn: =2 sqrt {5}]

[eqn: THEREFORE m+ LEFT { f LEFT ( 3 RIGHT ) RIGHT } ^{2} =-1+ LEFT ( 2 sqrt {5} RIGHT ) ^{2} =19]

11. 이차곡선

정답 ④

초점은 [eqn: \F LEFT ( 2,~0 RIGHT )]이고, 준선이 [eqn: x=-2]인 포물선 [eqn: y ^{2} =8x]가 [eqn: rm ` bar{AF} `:` bar{BF} =3:1]이므로 적당한 양수 [eqn: k]에 대하여

[eqn: rm ` bar{AF} =][eqn: 3k], [eqn: rm ` bar{BF} =][eqn: k]

두 점 [eqn: \A,~B]에서 준선에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: rm A',~B']이라 하면 포물선의 정의에 의하여

[eqn: rm ` bar{AF} = bar{AA'}], [eqn: rm ` bar{BF} = bar{BB'}]

두 점 [eqn: \A,~B]에서 [eqn: x]축에 내린 수선의 발을 각각 [eqn: \C,~D]라 하면 두 삼각형 [eqn: \ TRIANGLEAFC]와 [eqn: rm ` TRIANGLE BFD]는 서로 합동이다.

[eqn: rm ` bar{AF} `:` bar{BF} = bar{CF} `:` bar{DF}]에서

[eqn: bar{rm CF it} = bar{rm AA prime it} -4,~ bar{rm DF it} =4- bar{rm BB prime it}]이므로

[eqn: 3:1=3k-4:4-k]

[eqn: 3k-4=12-3k], [eqn: 6k=16]

[eqn: THEREFORE k= {8} over {3}]

따라서 선분 [eqn: \AB]의 길이는 [eqn: 4k= {32} over {3}]

12. 이차곡선

정답 ①

쌍곡선 [eqn: {x ^{2}} over {a ^{2}} - {y ^{2}} over {b ^{2}} =1]의 한 초점이 [eqn: {\F }LEFT ( c,~0RIGHT )]이므로 또 다른 초점을 [eqn: rm F' it LEFT ( -c,~0 RIGHT )]이라 하자.

직각삼각형 [eqn: rm ` TRIANGLE AFF prime]에서 피타고라스의 정리를 이용하면

[eqn: rm ~ bar{AF prime } ` ^{2} = bar{AF} ` ^{2} + bar{FF'} ` ^{2}]

[eqn: rm ` bar{AF prime } it ` ^{2} = LEFT ( {sqrt {2}} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 2c RIGHT ) ^{2} = {1} over {2} c ^{2} +4c ^{2} = {9} over {2} c ^{2}]

[eqn: rm ` bar{AF prime } it = {3 sqrt {2}} over {2} c~ LEFT ( BECAUSE c>0 RIGHT )]

쌍곡선의 정의에 의하여 [eqn: {rm ` bar{AF'} - bar{AF}} =2a]

[eqn: 2a= {3 sqrt {2}} over {2} c- {sqrt {2}} over {2} c= sqrt {2} c]

[eqn: THEREFORE c= sqrt {2} a]

쌍곡선에서 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =c ^{2}]이므로 [eqn: a ^{2} +b ^{2} =2a ^{2}]

[eqn: a ^{2} =b ^{2}]

[eqn: THEREFORE a=b LEFT ( BECAUSE a>0,~b>0 RIGHT )]

13. 미분법

정답 ①

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =2`sin2x+4`sinx-4`cosx+1]에서

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =4`cos2x+4`cosx+4`sinx]

[eqn: =4 LEFT ( cos ^{2} x-sin ^{2} x RIGHT ) +4`cosx+4`sinx]

[eqn: =4 LEFT ( cosx-sinx RIGHT ) LEFT ( cosx+sinx RIGHT ) +4 LEFT ( cosx+sinx RIGHT )]

[eqn: =4 LEFT ( cosx+sinx RIGHT ) LEFT ( cosx-sinx+1 RIGHT )]

[eqn: f` prime LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: cosx=-sinx] 또는 [eqn: sinx=cosx+1]

(ⅰ) [eqn: cosx=-sinx]에서 [eqn: x= {3} over {4} pi ,` {7} over {4} pi ,` {11} over {4} pi ,` CDOTS]

(ⅱ) [eqn: sinx=cosx+1]에서 [eqn: x= {pi } over {2} ,` pi ,` {5} over {2} pi ,` CDOTS]

함수 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {pi } over {2}]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {3} over {4} pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: pi]	[eqn: CDOTS]	[eqn: {7} over {4} pi]	[eqn: CDOTS]
[eqn: f prime LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]
[eqn: f LEFT ( x RIGHT )]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 4 sqrt {2} -1]	[eqn: NEARROW]	[eqn: 5]	[eqn: SEARROW]	[eqn: -4 sqrt {2} -1]	[eqn: NEARROW]

따라서 최댓값은 [eqn: 5], 최솟값은 [eqn: -4 sqrt {2} -1]이므로 구하는 값은 [eqn: 4-4 sqrt {2}]

14. 적분법

정답 ⑤

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = int _{1} ^{x} {} LEFT ( x ^{2} -t RIGHT ) `dt]

[eqn: = LEFT [ x ^{2} t- {t ^{2}} over {2} RIGHT ] _{1} ^{x} =x ^{3} - {3} over {2} x ^{2} + {1} over {2}]

[eqn: f' LEFT ( x RIGHT ) =3x ^{2} -3x]

직선 [eqn: y=6x-k]가 곡선 [eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]에 접하므로

접점 [eqn: LEFT ( a,~f LEFT ( a RIGHT ) RIGHT )]에서의 접선의 방정식은

[eqn: y-f LEFT ( a RIGHT ) =f prime LEFT ( a RIGHT ) LEFT ( x-a RIGHT )]

[eqn: f prime LEFT ( a RIGHT ) =6,~3a ^{2} -3a=6,~a ^{2} -a-2=0]

[eqn: LEFT ( a-2 RIGHT ) LEFT ( a+1 RIGHT ) =0]에서 [eqn: a=-1] 또는 [eqn: a=2]

(ⅰ) [eqn: a=-1]일 때, 접선의 방정식은 [eqn: y=6x+4]

(ⅱ) [eqn: a=2]일 때, 접선의 방정식은 [eqn: y=6x- {19} over {2}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 양수 [eqn: k]의 값은 [eqn: {19} over {2}]이다.

15. 일차변환과 행렬

정답 ④

일차변환 [eqn: f]를 나타내는 행렬을 [eqn: M]이라 하면

[eqn: M= pmatrix{{sqrt {6}} over {4}&- {sqrt {2}} over {4}#{sqrt {2}} over {4}&~ {sqrt {6}} over {4}}][eqn: = {sqrt {2}} over {2} pmatrix{{sqrt {3}} over {2}&- {1} over {2}#{1} over {2}&~ {sqrt {3}} over {2}}]

[eqn: = pmatrix{{sqrt {2}} over {2}&0#0&{sqrt {2}} over {2}} pmatrix{cos {pi } over {6}&-sin {pi } over {6}#sin {pi } over {6}&~cos {pi } over {6}}]

행렬 [eqn: M]은 원점을 닮음의 중심으로 하는 닮음비가 [eqn: {sqrt {2}} over {2}]인 닮음변환과 원점을 중심으로 [eqn: {pi } over {6}]만큼 회전하여 옮기는 회전변환의 합성변환이다.

두 도형 [eqn: E _{1}]과 [eqn: E _{2}]의 넓이인 [eqn: S _{1}]과 [eqn: S _{2}]를 각각 구하면

[eqn: S _{1} = {1} over {2} TIMES LEFT ( {3} over {sqrt {2}} RIGHT ) ^{2} TIMES {pi } over {6} = {3} over {8} pi]

[eqn: S _{2} = {1} over {2} TIMES LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} TIMES {pi } over {6} = {3} over {16} pi]

[eqn: THEREFORE S _{1} +S _{2} = {3} over {8} pi + {3} over {16} pi = {9} over {16} pi]

16. 함수의 극한과 연속

정답 ③

ㄱ. (참) 함수 [eqn: f LEFT ( x-1 RIGHT )]에서 [eqn: x-1=t]라 치환하면 [eqn: x -> 0]일 때, [eqn: t -> -1]

[eqn: lim _{t -> -1} {} f LEFT ( t RIGHT ) =1=f LEFT ( -1 RIGHT )]

함수 [eqn: f LEFT ( x-1 RIGHT )]은 [eqn: x=0]에서 극한값과 함숫값이 같으므로 연속이다.

ㄴ. (거짓) [eqn: lim _{x -> 1+0} {} f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( -x RIGHT ) = lim _{x -> 1+0} {} f LEFT ( x RIGHT ) TIMES lim _{x -> 1+0} {} f LEFT ( -x RIGHT )]

[eqn: =-1 TIMES lim _{s -> -1-0} {} f LEFT ( s RIGHT )]

[eqn: =-1 TIMES 1=-1]

[eqn: lim _{x -> 1-0} {} f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( -x RIGHT ) = lim _{x -> 1-0} {} f LEFT ( x RIGHT ) TIMES lim _{x -> 1-0} {} f LEFT ( -x RIGHT )]

[eqn: =0 TIMES lim _{t -> -1+0} {} f LEFT ( t RIGHT )]

[eqn: =0 TIMES 1=0]

함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) f LEFT ( -x RIGHT )]의 [eqn: x=1]에서의 좌극한과 우극한이 서로 다르므로 불연속이다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 함숫값 [eqn: 1]로 연속이므로

[eqn: lim _{x -> 3} {f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT ) = lim _{x -> 1} {} f LEFT ( x RIGHT )}]에서

[eqn: lim _{x -> 1+0} {} f LEFT ( x RIGHT ) =-1], [eqn: lim _{x -> 1-0} {} f LEFT ( x RIGHT ) =0]

합성함수 [eqn: f LEFT ( f LEFT ( x RIGHT ) RIGHT )]는 [eqn: x=3]에서 불연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

17. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (참) [eqn: B ^{2} A=B LEFT ( BA RIGHT ) =B LEFT ( AC RIGHT ) = LEFT ( BA RIGHT ) C]

[eqn: = LEFT ( AC RIGHT ) C=AC ^{2}]

ㄴ. (참) 행렬 [eqn: B]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: ABAB=AABB]의 오른쪽에 [eqn: B^-1]을 연산하면

[eqn: ABA=AAB]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: A LEFT ( BA RIGHT ) B=AACB]의 오른쪽에 [eqn: B^-1]을 연산하면

[eqn: ABA=AAC]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

㉠과 ㉡에서 [eqn: A ^{2} B=A ^{2} C]

ㄷ. (참) [eqn: AC]의 역행렬이 존재하므로 [eqn: A]와 [eqn: C]의 역행렬이 각각 존재하고 [eqn: BA=AC]에서 [eqn: BA]의 역행렬이 존재한다. 그러므로 [eqn: B]의 역행렬이 존재한다. ㄴ에서 [eqn: A]의 역행렬을 [eqn: A ^{2} B=A ^{2} C]의 왼쪽에 곱하면 [eqn: B=C]이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

18. 미분법

정답 ②

극한값 [eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( a+h RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {h}]가 존재할 때, 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하다고 한다.

ㄱ. (거짓) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( a+h ^{2} RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {h ^{2}}]가 존재하므로 [eqn: h ^{2} =t]라 하면 우극한 [eqn: lim _{t -> +0} {} {f LEFT ( a+t RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {t}]가 존재한다. 그러나 좌극한 [eqn: lim _{t -> -0} {} {f LEFT ( a+t RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {t}]의 존재여부는 알 수 없다.

ㄴ. (참) [eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( a+h ^{3} RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {h ^{3}}]가 존재하므로 [eqn: h ^{3} =t]라 하면 [eqn: lim _{t -> 0} {} {f LEFT ( a+t RIGHT ) -f LEFT ( a RIGHT )} over {t}]가 존재한다.

ㄷ. (거짓)【반례】[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT |]라 하면

[eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( 0+h RIGHT ) -f LEFT ( 0-h RIGHT )} over {2h} = lim _{h -> 0} {} {LEFT | h RIGHT | - LEFT | -h RIGHT |} over {2h}]

[eqn: = lim _{h -> 0} {} {0} over {2h} =0]

[eqn: x=0]일 때, [eqn: lim _{h -> 0} {} {f LEFT ( a+h RIGHT ) -f LEFT ( a-h RIGHT )} over {2h}]의 값이 존재하지만 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = LEFT | `x` RIGHT |]는 [eqn: x=0]에서 미분가능하지 않다.

따라서 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]가 [eqn: x=a]에서 미분가능하기 위한 필요충분조건인 것은 ㄴ이다.

19. 적분법

정답 ⑤

ㄱ. (참) 닫힌 구간 [eqn: LEFT [ 0,~ {pi } over {2} RIGHT ]]에서

[eqn: 1+sinx GEQ 0,~][eqn: sin2x GEQ 0]이므로

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) = {sin2x} over {1+sinx} GEQ 0]이다.

ㄴ. (참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]는 구간 [eqn: LEFT [ 0,~ {pi } over {2} RIGHT ]]에서 연속이고, 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ {pi } over {2} ~ RIGHT )]에서 미분가능하다.  또한 [eqn: f LEFT ( 0 RIGHT ) =f LEFT ( {pi } over {2} RIGHT ) =0]이므로 롤의 정리에 의하여 [eqn: f`' LEFT ( c RIGHT ) =0]인 [eqn: c]가 열린 구간 [eqn: LEFT ( 0,~ {pi } over {2} ~ RIGHT )]에 존재한다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT )]의 그래프가 [eqn: x]축으로 둘러싸인 부분의 넓이는

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {sin2x} over {1+sinx} `dx= int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {2sinx`cosx} over {1+sinx} `dx]

에서 [eqn: sinx=t]라 하면 [eqn: cosx`dx=dt]이고,

[eqn: x=0]이면 [eqn: t=0], [eqn: x= {pi } over {2}]이면 [eqn: t=1]

[eqn: int _{0} ^{{pi } over {2}} {} {2sinx`cosx} over {1+sinx} `dx=][eqn: int _{0} ^{1} {} {2t} over {1+t} `dt]

[eqn: = int _{0} ^{1} {} LEFT ( 2- {2} over {1+t} RIGHT ) `dt][eqn: = LEFT [ 2t-2ln LEFT ( 1+t RIGHT ) RIGHT ] _{0} ^{1}] [eqn: =2-2ln2]

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

20. 미분법

정답 ③

[eqn: f(x)= {LEFT ( lnx RIGHT ) ^{6}} over {x ^{2}}]에서

[eqn: f prime (x)= {LEFT { {6 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{5}} over {x} RIGHT } x ^{2} - LEFT ( lnx RIGHT ) ^{6} LEFT ( 2x RIGHT )} over {x ^{4}} `]

[eqn: = {6 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{5} -2 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{6}} over {x ^{3}}]

[eqn: =2 LEFT ( lnx RIGHT ) ^{5} LEFT ( {3-lnx} over {x ^{3}} RIGHT )]

[eqn: f`' LEFT ( x RIGHT ) =0]에서 [eqn: x=1] 또는 [eqn: x=e ^{3}]

[eqn: f(x)]의 증가와 감소를 나타내는 표를 만들면 다음과 같다.

[eqn: x]	⋯	[eqn: 1]	⋯	[eqn: e ^{3}]	⋯
[eqn: f'(x)]	[eqn: -]	[eqn: 0]	[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: f(x)]	[eqn: SEARROW]	[eqn: 0]	[eqn: NEARROW]	[eqn: LEFT ( {3} over {e} RIGHT ) ^{6}]	[eqn: SEARROW]

ㄱ. (참) 위 증가와 감소 표에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=e ^{3}]에서 극댓값을 갖는다.

ㄴ. (거짓) 위 증가와 감소 표에서 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x=1]에서 극솟값을 갖는다.

ㄷ. (참) [eqn: LEFT ( {3} over {e} RIGHT ) ^{6} >1][eqn: LEFT ( BECAUSE {3} over {e} >1 RIGHT )]이므로 함수 [eqn: f(x)]의 그래프와 직선 [eqn: y=1]의 그래프는 다음과 같다.

따라서 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) =1]의 실근의 개수는 [eqn: 3]개이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21. 확률

정답 ④

수신 신호가 [eqn: 1]이었을 사건을 [eqn: A], 송신 신호가 [eqn: 1]이었을 사건을 [eqn: B]라 하면 구하는 확률은

[eqn: rm P it LEFT ( A`□B` RIGHT )][eqn: = {rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT )} over {rm P it LEFT ( B` RIGHT )}]

[eqn: rm P it LEFT ( B` RIGHT ) =0.4 TIMES 0.05+0.6 TIMES 0.95]

[eqn: rm P it LEFT ( A SMALLINTER B` RIGHT ) =0.6 TIMES 0.95]이므로

[eqn: THEREFORE][eqn: rm P it LEFT ( A`□B` RIGHT )][eqn: = {57} over {59}]

22. 적분법

정답 ③

반지름의 길이가 각각 [eqn: 4,~1]인 두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2}]의 중심을 각각 [eqn: \O,~C_2]라 하면 두 원의 중심을 연결한 선분이 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 [eqn: theta]일 때, [eqn: \C _{2}]의 좌표는

[eqn: {\C} _{2} LEFT ( 5cos theta ,~5sin theta RIGHT )]

점 [eqn: \C _{2}]를 지나고 [eqn: x]축에 평행인 직선을 그어 원 [eqn: C _{1}]과 만나는 점의 좌표를 [eqn: \Q]라 하면 엇각의 성질에 의하여

[eqn: ANGLE rm QC _{2} O][eqn: =][eqn: theta]

두 원 [eqn: C _{1} ,~C _{2}]의 호의 길이의 비가 [eqn: 4:1]이므로

[eqn: ANGLE \OC _{2} P=4 theta]

그러므로 점 [eqn: \P]의 좌표는

[eqn: rm P LEFT ( 5cos theta +cos LEFT ( pi +5 theta RIGHT ) ,~5sin theta +sin LEFT ( pi +5 theta RIGHT ) RIGHT )]

[eqn: rm P LEFT ( 5cos theta -cos5 theta ,~5sin theta -sin5 theta RIGHT )]

따라서 [eqn: 0 LEQ theta LEQ {pi } over {2}]에서 점 [eqn: \P]가 움직인 거리는

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {LEFT ( {dx} over {d theta } RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {dy} over {d theta } RIGHT ) ^{2}} ~d theta]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {LEFT ( -5`sin theta +5sin5 theta RIGHT ) ^{2} + LEFT ( 5`cos theta -5cos5 theta RIGHT ) ^{2}} `d theta]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {50-50 LEFT ( cos theta cos5 theta +sin theta sin5 theta RIGHT )} `d theta]

[eqn: = int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {50-50cos4 theta } `d theta]

[eqn: =5 sqrt {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {1-cos4 theta } `d theta]

[eqn: =5 sqrt {2} int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sqrt {2sin ^{2} 2 theta } `d theta]

[eqn: =10 int _{0} ^{{pi } over {2}} {} sin2 theta `d theta]

[eqn: =10 LEFT [ - {1} over {2} `cos2 theta RIGHT ] _{0} ^{{pi } over {2}}]

[eqn: =10]

23. 수열

정답 ③

주어진 조건을 이용하여 두 수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } ,~ LEFT { b _{n} RIGHT }]을 구해보면

[eqn: a _{1} =0,~b _{1} =2]

[eqn: a _{2} =0+ {2} over {2} =1,~b _{2} =2-1=1]

[eqn: a _{3} =1- {1} over {3} = {2} over {3} ,~b _{3} =1+ {1} over {3} = {4} over {3}]

[eqn: a _{4} = {2} over {3} + {{4} over {3}} over {4} =1,~b _{4} = {4} over {3} - {{4} over {3}} over {4} =1]

[eqn: a _{5} =1- {1} over {5} = {4} over {5} ,~b _{5} =1+ {1} over {5} = {6} over {5}]

[eqn: VDOTS]

[eqn: a _{2n-1} = {2n-2} over {2n-1} ,~a _{2n} =1}]

[eqn: b _{2n-1} = {2n} over {2n-1} ,~b _{2n} =1]

따라서 [eqn: a _{41} = {40} over {41}]에서 [eqn: p=41,~q=40]

[eqn: THEREFORE p+q=81]

24. 수열의 극한

정답 ①

중심이 각각 [eqn: \O _{1} ,~O _{2}]인 두 원 [eqn: O _{1} ,~O _{2}]의 교점을 각각 [eqn: \A,~B]라 하면 두 원의 반지름의 길이가 [eqn: 3]이므로 선분 [eqn: \O _{1} A,~O _{2} A,~O _{1} O _{2}]의 길이가 모두 [eqn: 3]이다. 그러므로 [eqn: TRIANGLE rm O _{1} AO _{2}]는 정삼각형이 되므로

[eqn: ANGLE rm AO _{1} O _{2} = {pi } over {3} ,~ ANGLE rm AO _{1} B= {2} over {3} pi]

[eqn: THEREFORE l _{1} =3 TIMES {2} over {3} pi TIMES 2=4 pi]

중심이 [eqn: \O _{3}]인 원 [eqn: O _{3}]의 반지름의 길이를 [eqn: r][eqn: LEFT ( 0<r<3 RIGHT )]라 하고 중심 [eqn: \O _{3}]에서 선분 [eqn: \O _{1} O _{2}]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 [eqn: TRIANGLE rm O _{1} HO _{3}]은 직각삼각형이다. 그러므로 피타고라스의 정리에 의하여

[eqn: bar{rm O _{1} H it} ` ^{2} + bar{rm O _{3} H it} ` ^{2} = bar{rm O _{1} O _{3} it} ` ^{2}]

[eqn: bar{rm O _{1} H it} = {3} over {2} ,~ bar{rm O _{3} H it} = {r} over {2} ,~ bar{rm O _{1} O _{3} it} =3-r]에서

[eqn: LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( {r} over {2} RIGHT ) ^{2} = LEFT ( 3-r RIGHT ) ^{2} ,~r ^{2} -8r+9=0]

이차방정식의 근의 공식에서 [eqn: r=4- sqrt {7}][eqn: LEFT ( BECAUSE 0<r<3 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE l _{2} = LEFT ( 4- sqrt {7} RIGHT ) TIMES {2} over {3} pi TIMES 2= {4 LEFT ( 4- sqrt {7} RIGHT )} over {3} pi]

두 도형 [eqn: F _{1}]과 [eqn: F _{2}]의 닮음의 비는 [eqn: 3:4- sqrt {7}]

그러므로 수열 [eqn: LEFT { l _{n} RIGHT }]은 첫째항이 [eqn: 4 pi], 공비가 [eqn: {4- sqrt {7}} over {3}]인 등비수열이다.

[eqn: THEREFORE sum _{n=1} ^{INF } l _{n} = {4 pi } over {1- {4- sqrt {7}} over {3}}]

[eqn: =2 pi LEFT ( 1+ sqrt {7} RIGHT )]

25. 방정식과 부등식

정답 17

[eqn: {1} over {x} + {1} over {x-12} = {2} over {5}](단, [eqn: x != 0] 또는 [eqn: x != 12])에서 양변에 [eqn: 5x LEFT ( x-12 RIGHT )]를 곱하면

[eqn: 5 LEFT ( 2x-12 RIGHT ) =2x LEFT ( x-12 RIGHT ) ,~][eqn: 10x-60=2x ^{2} -24x]

[eqn: x ^{2} -17x+30=0], [eqn: LEFT ( x-2 RIGHT ) LEFT ( x-15 RIGHT ) =0]

[eqn: x=2] 또는 [eqn: x=15]

따라서 구하는 모든 실근의 합은 [eqn: 17]

26. 벡터

정답 69

두 점 [eqn: rm B LEFT ( 1,~-1,~2 RIGHT ) ,~C LEFT ( 5,~-3,~8 RIGHT )]을 지나는 직선의 방정식은 [eqn: l:][eqn: {x-1} over {4} = {y+1} over {-2} = {z-2} over {6}]

점 [eqn: \A LEFT ( 4,~6,~7 RIGHT )]에서 직선 [eqn: l] 위에 내린 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면 점 [eqn: \H]는 직선 [eqn: l] 위의 점이므로 임의의 실수 [eqn: t]에 대하여 점 [eqn: \H]는 [eqn: rm H it LEFT ( 4t+1,~-2t-1,~6t+2 RIGHT )]

직선 [eqn: l]의 방향벡터를 [eqn: vec{v} = LEFT ( 4,~-2,~6 RIGHT )]이라 하면

[eqn: vec{\AH} BOT vec{v}]이므로 [eqn: vec{rm AH it} BULLET vec{v} =0]

[eqn: vec{rm AH it} = vec{\OH} - vec{\OA}][eqn: = LEFT ( 4t-3,~-2t-7,~6t-5 RIGHT )]에서

[eqn: vec{rm AH it} BULLET vec{v} = LEFT ( 4t-3,~-2t-7,~6t-5 RIGHT ) BULLET LEFT ( 4,~-2,~6 RIGHT )]

[eqn: =16t-12+4t+14+36t-30]

[eqn: =56t-28=0]

[eqn: THEREFORE t= {1} over {2} ,~{\H} LEFT ( 3,~-2,~5 RIGHT )]

[eqn: vec{rm AH it} = vec{rm OH it} - vec{rm OA it} = LEFT ( -1,~-8,~-2 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE LEFT | vec{rm AH it} RIGHT | ^{2}][eqn: =69]

27. 적분법

정답 12

[eqn: V= pi int _{1} ^{e} {} LEFT ( lnx+3 RIGHT ) ^{2} - LEFT ( ln {1} over {x} +3 RIGHT ) ^{2} `dx]

[eqn: =12pi int _{1} ^{e} {} lnx~dx]

부분적분법을 이용하여 적분하면

[eqn: 12 pi int _{1} ^{e} {} lnx~dx][eqn: =12 pi LEFT [ x`lnx-x RIGHT ] _{1} ^{e}]

[eqn: =12 pi LEFT ( e-e+1 RIGHT )]

[eqn: =12 pi]

[eqn: THEREFORE {V} over {pi } =12]

28. 공간도형과 공간좌표

정답 17

양수 [eqn: a]에 대하여 정육면체 [eqn: \ABCD-EFGH]의 한 변의 길이를 [eqn: 4a]라 하자. 점 [eqn: \H]가 원점 [eqn: \O LEFT (0,~0,~0 RIGHT )], 세 모서리 [eqn: rm HE,~HG,~HD]가 각각 [eqn: x]축, [eqn: y]축, [eqn: z]축 위에 놓아 공간좌표 위의 공간도형이라고 하자.

평면 [eqn: \EFGH]와 평면 [eqn: \ABCD]가 서로 평행하므로 평면 [eqn: \PMQ]와 평면 [eqn: \ABCD]가 이루는 예각의 크기도 [eqn: theta]이다. 점 [eqn: \M]의 평면 [eqn: \ABCD] 위로 정사영을 점 [eqn: \M']이라 하면

[eqn: TRIANGLE rm `MPQ]의 넓이= [eqn: TRIANGLE \ M'PQ]의 넓이[eqn: TIMES cos theta]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: TRIANGLE \ M'PQ]의 넓이[eqn: =a sqrt {2} TIMES 2a sqrt {2} TIMES {1} over {2} =2a ^{2}]

점 [eqn: \M]에서 선분 [eqn: \PQ]에 내린 수선의 발을 [eqn: \K]라 하면

[eqn: TRIANGLE rm `MPQ]의 넓이[eqn: = rm ` bar{MK} TIMES bar{PQ} TIMES {1} over {2}]

두 점 [eqn: rm P it LEFT ( 2a,~0,~4a RIGHT ) ,~ rm Q it LEFT ( 0,~2a,~4a RIGHT )]를 지나는 직선의 방정식은

[eqn: l`:` {x} over {2a} = {y-2a} over {-2a} ,~z=4a]

점 [eqn: \K]는 직선 [eqn: l] 위의 점이므로 적당한 실수 [eqn: t]에 대하여

[eqn: rm K it LEFT ( 2at,~-2at+2a,~4a RIGHT )]

[eqn: rm M it LEFT ( 3a,~a,~0 RIGHT )]에서 [eqn: vec{rm MK it} = LEFT ( 2at-3a,~-2at+a,~4a RIGHT )]

직선 [eqn: l]의 방향벡터가 [eqn: LEFT ( 2a,~-2a,~0 RIGHT )]이므로

[eqn: vec{rm MK it} BOT LEFT ( 2a,~-2a,~0 RIGHT )], [eqn: vec{rm MK it} BULLET LEFT ( 2a,~-2a,~0 RIGHT ) =0],

[eqn: 4a ^{2} t-6a ^{2} +4a ^{2} t-2a ^{2} =0,~ THEREFORE t=1]

[eqn: THEREFORE rm `K it LEFT ( 2a,~0,~4a RIGHT )]

즉, 점 [eqn: \K]는 점 [eqn: \P]와 같다.

직각삼각형 [eqn: TRIANGLE rm `MPQ]의 넓이는

[eqn: rm ` bar{MP} TIMES bar{PQ} TIMES {1} over {2} it = sqrt {18} a TIMES 2 sqrt {2} a TIMES {1} over {2} =6a ^{2}]

[eqn: ㉠]에서 [eqn: cos theta = {1} over {3}]

[eqn: THEREFORE `tan theta =2 sqrt {2} ,~sec theta =3`]

[eqn: THEREFORE `tan ^{2} theta +sec ^{2} theta =8+9=17]

29. 수열의 극한

정답 379

[eqn: a _{1} =1,~a _{2} =21,~a _{3} =422,~a _{4} =8444,~]

[eqn: a _{5} =168888,~ CDOTS]에서

[eqn: a _{n} =2 ^{n-1} TIMES 10 ^{n-1} +2 ^{n-2} LEFT ( 10 ^{n-2} + CDOTS +10+1 RIGHT )]

[eqn: =20 ^{n-1} +2 ^{n-2} TIMES {10 ^{n-1} -1} over {10-1}]

[eqn: = {20 ^{n}} over {20} + {20 ^{n}} over {360} - {2 ^{n}} over {36}]

[eqn: THEREFORE lim _{n -> INF } {} {a _{n}} over {20 ^{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{20 ^{n}} over {20} + {20 ^{n}} over {360} - {2 ^{n}} over {36}} over {20 ^{n}}]

[eqn: = lim _{n -> INF } {} {{1} over {20} + {1} over {360} - {1} over {36 TIMES 5 ^{n}}} over {1}]

[eqn: = {1} over {20} + {1} over {360}]

[eqn: = {19} over {360}]

[eqn: THEREFORE p+q=360+19=379]

30. 적분법

정답 18

조건 (나)에서 [eqn: x=0]을 대입하면 [eqn: f LEFT ( 1 RIGHT ) =h LEFT ( y RIGHT )]

[eqn: h LEFT ( y RIGHT ) =1][eqn: LEFT ( BECAUSE f LEFT ( 1 RIGHT ) =1 RIGHT )]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( xy+1 RIGHT ) =xg LEFT ( y RIGHT ) +1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉠]

[eqn: ㉠]에 [eqn: y=1]을 대입하면

[eqn: f LEFT ( x+1 RIGHT ) =xg LEFT ( 1 RIGHT ) +1]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( x+1 RIGHT ) =2x+1 LEFT ( BECAUSE g LEFT ( 1 RIGHT ) =2 RIGHT )]

[eqn: x+1=t]라 하면 [eqn: f LEFT ( t RIGHT ) =2 LEFT ( t-1 RIGHT ) +1=2t-1]

[eqn: THEREFORE f LEFT ( x RIGHT ) =2x-1]	[eqn: CDOTS CDOTS ㉡]

[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하면 [eqn: 2 LEFT ( xy+1 RIGHT ) -1=xg LEFT ( y RIGHT ) +1]

[eqn: 2xy+1-xg LEFT ( y RIGHT ) -1=0], [eqn: x LEFT { 2y-g LEFT ( y RIGHT ) RIGHT } =0]

모든 실수 [eqn: x,~y]에 대하여 위 식이 항상 성립해야 하므로

[eqn: THEREFORE g LEFT ( y RIGHT ) =2y]

[eqn: THEREFORE int _{0} ^{3} {} LEFT { f LEFT ( x RIGHT ) +g LEFT ( x RIGHT ) +h LEFT ( x RIGHT ) RIGHT } ~dx][eqn: = int _{0} ^{3} {} LEFT ( 2x-1+2x+1 RIGHT ) ~dx]

[eqn: = int _{0} ^{3} {} 4x~dx= LEFT [ 2x ^{2} RIGHT ] _{0} ^{3}]
[eqn: =18]