수학‘나’형 정답

1	④	2	①	3	②	4	③	5	③
6	⑤	7	①	8	①	9	⑤	10	②
11	③	12	②	13	⑤	14	④	15	④
16	②	17	①	18	⑤	19	④	20	③
21	②	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 5]	24	[eqn: 21]	25	[eqn: 17]
26	[eqn: 8]	27	[eqn: 22]	28	[eqn: 200]	29	[eqn: 28]	30	[eqn: 320]

해 설

1. [출제의도] 기호의 뜻을 알고 집합의 원소의 개수를 센다.

집합 [eqn: A`]의 원소의 개수는 [eqn: 4`]이므로

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =4`]

2. [출제의도] 간단한 거듭제곱근을 계산한다.

[eqn: sqrt {4} TIMES root {3} of {8}][eqn: = sqrt {2 ^{2}} times root {3} of {2 ^{3}}]
[eqn: =2 TIMES 2]
[eqn: =4]

3. [출제의도] 수열의 극한을 계산한다.

[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( {2} over {n} + {1} over {2} RIGHT )][eqn: = lim _{n`->`inf} {} {2} over {n} + lim _{n`->`inf} {} {1} over {2}]
[eqn: =0+ 1over 2]
[eqn: = 1 over 2]

4. [출제의도] 등비수열이 되도록 하는 실수의 값을 구한다.

세 수 [eqn: 3], [eqn: -6], [eqn: a`]가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 [eqn: {-6} over {3} = {a} over {-6}]

[eqn: 3 times a = (-6)^{`2}]

따라서

[eqn: a=12]

5. [출제의도] 합성함수의 함숫값을 구한다.

두 함수 [eqn: f(x)= sqrt {x+1} -3], [eqn: g(x)= it x+1`]에서

[eqn: f(3)= sqrt {3+1} -3=it-1]

[eqn: g(-1)=0`]

따라서 [eqn: (g CIRC f)(3)][eqn: =g LEFT ( f(3) RIGHT )][eqn: =g(-1)][eqn: =0]

6. [출제의도] 집합의 연산을 이해하여 모든 원소의 합을 구한다.

[eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5,```6 RIGHT } `]이고

[eqn: A= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 1,```3,```5 RIGHT } `]이므로

[eqn: B ^{C} =left{2,``4,```6right}]

[eqn: A SMALLINTER B ^{`C}][eqn: = left{1,```2,```3,```4,```5 right}][eqn: SMALLINTER LEFT { 2,```4,```6 RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 2,```4 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A SMALLINTER B ^{`C} `]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+4=6]

[다른 풀이]

[eqn: A = left{1,```2,```3,```4,```5 right}], [eqn: B= LEFT { 1,```3,```5 RIGHT } `]이므로

[eqn: A SMALLINTER B ^{`C}][eqn: =A-B`]
[eqn: = left{1,```2,```3,```4,```5 right}][eqn: - LEFT { 1,```3,```5 RIGHT }]
[eqn: = LEFT { 2,```4 RIGHT }]

따라서 집합 [eqn: A SMALLINTER B ^{`C} `]의 모든 원소의 합은

[eqn: 2+4=6]

7. [출제의도] 평행이동을 이해하여 유리함수의 그래프의 두 점근선을 구한다.

함수 [eqn: y= {1} over {x+3} +8`]의 그래프의 두 점근선의 방정식은 [eqn: x=it-3], [eqn: y=8`]이므로

[eqn: a=it-3], [eqn: b=8`]이다.

따라서 [eqn: a+b][eqn: =it-3+8][eqn: =5]

8. [출제의도] 수열의 극한을 이해하여 극한값을 구한다.

[eqn: lim_{n -> inf} 1 over a_{`n} =0 `]이므로

[eqn: lim _{n -> INF } {} {-2a _{`n} +1} over {a _{`n} +3} `][eqn: = lim _{n -> INF } {} {-2+ {1} over {a _{`n}}} over {1+ {3} over {a _{`n}}} `]
[eqn: = {-2+0} over {1+3 TIMES 0} `]
[eqn: =it-2]

9. [출제의도] 수열의 합을 이해하여 등식을 만족시키는 실수의 값을 구한다.

[eqn: sum _{k=1} ^{5} {1} over {k} =a+ sum _{k=1} ^{5} {1} over {k+1} `]

[eqn: 1 over 1 + 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 + 1 over 5][eqn: = a + 1 over 2 + 1 over 3 + 1 over 4 + 1 over 5 + 1 over 6]

[eqn: 1 = a + 1 over 6]

따라서 [eqn: a = 5 over 6]

10. [출제의도] 상용로그표를 이용하여 상용로그의 값을 구한다.

[eqn: log root 419][eqn: = {1 over 2}` log `419]
[eqn: = {1} over {2} `log` LEFT ( 4.19{times}100 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} LEFT ( log`4.19+log`100 RIGHT )]
[eqn: = {1} over {2} ` LEFT ( log`4.19+2 RIGHT )]이고

상용로그표에서 [eqn: log`4.19=0.6222`]

따라서

[eqn: log root 419][eqn: = 1 over 2 left( 0.6222 + 2 right)]
[eqn: = 1.3111]

11. [출제의도] 등비급수가 수렴하도록 하는 정수의 개수를 구한다.

[eqn: x`]가 정수일 때, 급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2x-3} over {7} RIGHT ) ^{`n} `]은 첫째항과 공비가 모두 [eqn: {2x-3} over {7} `]인 등비급수이다.

그러므로 등비급수 [eqn: sum _{n=1} ^{INF } LEFT ( {2x-3} over {7} RIGHT ) ^{`n} `]이 수렴하기 위한 필요충분조건은 [eqn: -1< {2x-3} over {7} <1`]이다.

[eqn: -7 < 2x-3 < 7]

[eqn: -4 < 2x < 10]

[eqn: -2 <x<5]

따라서 정수 [eqn: x`]의 개수는

[eqn: 5- LEFT ( -2 RIGHT ) -1=6`]

12. [출제의도] 로그의 밑을 변환하여 식의 값을 구한다.

밑의 변환 공식에 의하여

[eqn: {1} over {log _{`4} `18} + {2} over {log` _{9} `18} `][eqn: =`log _{`18} `4+2`log` _{18} `9`]
[eqn: =log _{`18} `2 ^{`2} +2`log` _{18} `3 ^{2}]
[eqn: =log _{`18} `2 ^{`2} +log` _{18} ` LEFT ( 3 ^{2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =log _{`18} `2 ^{`2} +log` _{18} `3 ^{4}]
[eqn: =log _{`18} ` LEFT ( 2 ^{2} times3 ^{4} RIGHT )]
[eqn: =log _{`18} ` LEFT ( 2 TIMES 3 ^{2} RIGHT ) ^{2}]
[eqn: =log _{`18} `18 ^{2}]
[eqn: =2`log _{`18} `18]
[eqn: =2]

13. [출제의도] 명제가 참이 되도록 하는 실수의 값을 구한다.

명제 [eqn: p`` -> ``q`]의 역이 참이므로 명제 [eqn: q`` -> ``p`]가 참이다.

그러므로 [eqn: Q SUBSET P``]가 성립해야 한다.

[eqn: 4 IN Q``]이므로 [eqn: 4 IN P``]이어야 한다.

[eqn: a ^{`2} =4`], 즉 [eqn: a=2] 또는 [eqn: a=it-2]

(ⅰ) [eqn: a=it-2`]일 때
[eqn: P= left{ 2,```3,```4 right}], [eqn: Q = left{-1,```4 right}`]이므로
[eqn: Q` nsubset P``]

(ⅱ) [eqn: a=2`]일 때
[eqn: P= left{ 2,```3,```4 right}], [eqn: Q = left{3,```4 right}`]이므로
[eqn: Q subset P ``]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a=2`]

14. [출제의도] 이차방정식의 근과 계수의 관계와 지수법칙을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: x`]에 대한 이차방정식 [eqn: x ^{2} - root {3} of {81} x+a=0`]의 두 근이 [eqn: root {3} of {3} `]과 [eqn: b`]이므로 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

[eqn: root {3} of {3} +b= root {3} of {81}], [eqn: root {3} of {3} b=a`]

그러므로

[eqn: b`][eqn: = root {3} of {81} - root {3} of {3}]
[eqn: = root {3} of {3 ^{4}} - root {3} of {3}]
[eqn: =3 root {3} of {3} - root {3} of {3}]
[eqn: =2 root {3} of {3} `]

[eqn: a][eqn: = root {3} of {3} b]
[eqn: = root {3} of {3} TIMES 2 root {3} of {3}]
[eqn: =2 root {3} of {3 ^{2}} `]

따라서

[eqn: ab][eqn: =2 root {3} of {3 ^{2}} TIMES 2 root {3} of {3} `]
[eqn: =4 root {3} of {3 ^{3}}]
[eqn: =4times3]
[eqn: =12]

15. [출제의도] 충분조건이 되도록 하는 자연수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다.

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]에 대한 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q``]라 하자.

[eqn: p`` -> `` SIM q`]가 참이면 이 명제의 대우인 [eqn: q`` -> `` SIM p`]도 참이므로 [eqn: Q SUBSET P ^{C}`]이어야 한다.

[eqn: P= LEFT { x` LEFT | ` LEFT | x RIGHT | {ge}a` RIGHT } ` RIGHT .]이므로

[eqn: P ^{C}][eqn: = LEFT { x` LEFT | ` LEFT | x RIGHT | <a` RIGHT } ` RIGHT .]
[eqn: = LEFT { x` LEFT | `-a<x<a` RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: Q][eqn: = LEFT { x` LEFT | `x(x-3) LEQ 0` RIGHT } ` RIGHT .]
[eqn: = LEFT { x` LEFT | `0 LEQ x LEQ 3` RIGHT } ` RIGHT .]

그러므로 [eqn: LEFT { x` LEFT | `0 LEQ x LEQ 3` RIGHT } ` RIGHT . SUBSET LEFT { x` LEFT | `-a<x<a` RIGHT } `]에서

[eqn: -a<0`]이고 [eqn: a>3`]이어야 하므로 [eqn: a>3`]

따라서 자연수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 4`]

[다른 풀이]

두 조건 [eqn: p], [eqn: q`]에 대한 진리집합을 각각 [eqn: P,~Q``]라 하면

[eqn: P``][eqn: = LEFT { x` LEFT | ` LEFT | x RIGHT | GEQ a` RIGHT } ` RIGHT .][eqn: = LEFT { x` LEFT | ``x{le} it -a RIGHT . RIGHT .] 또는 [eqn: LEFT . x{ge}a RIGHT }],

[eqn: Q= LEFT { x` LEFT | `x(x-3) LEQ 0` RIGHT } ` RIGHT .][eqn: = LEFT { x` LEFT | `0 LEQ x LEQ 3` RIGHT } ` RIGHT .]

[eqn: p]가 [eqn: SIM q`]이기 위한 충분조건이면 [eqn: P{subset}Q ^{C} `]이어야 한다.

[eqn: Q ^{C} = LEFT { x`left|``x<0 RIGHT .] 또는 [eqn: x>3right}]에서

[eqn: -a<0`]이고 [eqn: a>3`]이어야 하므로 [eqn: a>3`]

따라서 자연수 [eqn: a`]의 최솟값은 [eqn: 4`]

16. [출제의도] 무리함수의 그래프와 선분이 만나도록 하는 자연수의 값을 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: a], [eqn: b`]는 자연수이므로

(ⅰ) [eqn: a=1`]인 경우
함수 [eqn: f(x)= sqrt {x} +b`]의 그래프가 선분 [eqn: rm AB`]와 만나기 위해서는 [eqn: f(1){le}4`]이고 [eqn: f(3){ge}3`]이어야 하므로
[eqn: sqrt {1} +b{le}4`]이고 [eqn: sqrt {3} +b{ge}3`]
따라서 [eqn: 3 - root3 le b le 3]
이를 만족시키는 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 2], [eqn: 3`]이므로
순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는 [eqn: (1,``2)], [eqn: (1,``3)]

(ⅱ) [eqn: a=2`]인 경우
함수 [eqn: f(x)=2 sqrt {x} +b`]의 그래프가 선분 [eqn: rm AB`]와 만나기 위해서는 [eqn: f(1){le}4`]이고 [eqn: f(3){ge}3`]이어야 하므로
[eqn: 2 sqrt {1} +b LEQ 4`]이고 [eqn: 2 sqrt {3} +b GEQ 3`]
[eqn: 3 - 2root3 le b le 2]
이를 만족시키는 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 1], [eqn: 2`]이므로
순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는 [eqn: (2,``1)], [eqn: (2,``2)]

(ⅲ) [eqn: a=3`]인 경우
함수 [eqn: f(x)=3 sqrt {x} +b`]의 그래프가 선분 [eqn: rm AB`]와 만나기 위해서는 [eqn: f(1){le}4`]이고 [eqn: f(3){ge}3`]이어야 하므로
[eqn: 3 sqrt {1} +b LEQ 4`]이고 [eqn: 3 sqrt {3} +b GEQ 3`]
[eqn: 3 - 3root3 le b le 1]
이를 만족시키는 자연수 [eqn: b`]는 [eqn: 1`]이므로
순서쌍 [eqn: (a,``b)`]는 [eqn: (3,``1)]

(ⅳ) [eqn: a ge 4`]인 경우 [eqn: f(1) = a+b >4`]이므로
함수 [eqn: f(x)=a sqrt {x} +b`]의 그래프는 선분 [eqn: rm AB`]와 만나지 않는다.

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에서 조건을 만족시키는 순서쌍의 개수는 [eqn: 2+2+1=5`]

17. [출제의도] 역함수의 성질을 이용하여 역함수의 함숫값을 구하는 문제를 해결한다.

곡선 [eqn: y=f(x)`]와 곡선 [eqn: y=g(x)`]가 점 [eqn: (1,``3)`]에서 만나므로 [eqn: f(1)=3`]이고 [eqn: g(1)=3`]이다.

이때 함수 [eqn: g(x)`]는 함수 [eqn: f(x)`]의 역함수이므로

[eqn: g(1)=3`]에서 [eqn: f(3)=1]

[eqn: f(1)][eqn: = root{a+b} +1][eqn: =3`]에서

[eqn: a+b=4] …… ㉠

[eqn: f(3)][eqn: =root { 3a+b} +1][eqn: =1`]에서

[eqn: 3a+b=0] …… ㉡

㉠, ㉡에 의해

[eqn: a= it - 2], [eqn: b=6`]

그러므로 [eqn: f(x)= sqrt {-2x+6} +1]

[eqn: g(5)=k`]라 하면 [eqn: f(k)=5`]이므로

[eqn: f(k)][eqn: = sqrt {-2k+6} +1][eqn: = 5]에서 [eqn: sqrt {-2k+6} =4]

[eqn: -2k+6][eqn: =16]

[eqn: k= it -5]

따라서 [eqn: g(5)= it -5]

18. [출제의도] 수열의 합을 이용하여 수열의 극한을 구하는 과정을 증명한다.

[eqn: {rmP}_n`][eqn: (2n,``0)`], [eqn: {rmQ}_n`][eqn: (0,`` 4n^2 )`]이므로

직선 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n`]의 기울기는

[eqn: {0 - 4n^{`2}} over {2n-0}][eqn: = -4n^{`2} over 2n]
[eqn: = it -2n]이고

[eqn: y`]절편은 [eqn: 4n^{`2}`]이므로

직선 [eqn: {rmP}_n {rmQ}_n`]의 방정식은 [eqn: y= {BOX{~-2n~}} ` TIMES `x+4n ^{2}]

[eqn: x`]좌표가 [eqn: k`]([eqn: k`]는 [eqn: 2n-1] 이하의 자연수)일 때 영역에 속하는 점의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: (k-2n)^2`]부터 [eqn: {BOX{~-2n~}} ` TIMES k+4n ^{2} `]까지이므로 그 개수는

[eqn: {BOX{~-2n~}} ``{times}k+4n ^{2}][eqn: -(k-2n) ^{2} +1][eqn: = {BOX{~-k ^{2} +1``~}} `+2nk]

[eqn: a _{n}][eqn: = sum _{k=1} ^{2n-1} LEFT ( ` {BOX{~`-k ^{2} +1``~}} `+2nk` RIGHT )]
[eqn: = it - {(2n-1) TIMES 2n TIMES (4n-1)} over {6} +(2n-1)]

[eqn: +2n TIMES {(2n-1) TIMES 2n} over {2} `]

[eqn: = it - {n LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( 4n-1 RIGHT )} over {3} + LEFT ( 2n-1 RIGHT ) +2n ^{2} LEFT ( 2n-1 RIGHT )]
[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) `left{2n ^{2} - {n LEFT ( 4n-1 RIGHT )} over {3} +1right}]
[eqn: = LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} n ^{2} + {n} over {3} +1 RIGHT )]

그러므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {} {a _{n}} over {n ^{3}}][eqn: = lim _{n`->`inf} {} {LEFT ( 2n-1 RIGHT ) LEFT ( {2} over {3} n ^{2} + {n} over {3} +1 RIGHT )} over {n ^{3}}][eqn: =` {BOX{~`` {4} over {3} `~}} `]

[eqn: f(n)= it -2n`], [eqn: g(k)= it -k^2 +1`], [eqn: p= 4 over 3`]이고

[eqn: f(3)= it -6`], [eqn: g(4)= it -15]

따라서

[eqn: p TIMES f(3) TIMES g(4)][eqn: = {4} over {3} TIMES (-6) TIMES (-15)]
[eqn: =120]

19. [출제의도] 도형의 닮음을 이용하여 등비급수의 합을 구하는 문제를 해결한다.

그림 [eqn: R _{n} `]에서 새로 색칠된 부분의 넓이를 [eqn: a _{n} `]이라 하자.

[eqn: bar{rm A_{`1} B_{`1}}][eqn: = bar{rm A_{`1} F_{`1} }][eqn: =2`]이므로 삼각형 [eqn: rm A_{`1} B_{`1} F_{`1} `]은 직각이등변삼각형이고 [eqn: ANGLE rm G _{`1} B _{`1} C _{`1} =45°`]이다.

[eqn: bar{rm D_{`1} C_{`1}}][eqn: = bar{rm D_{`1} E_{`1} }][eqn: =2`]이므로 삼각형 [eqn: rm D_{`1} C_{`1} E_{`1} `]은 직각이등변삼각형이고 [eqn: ANGLE rm G _{`1} C _{`1} B _{`1} =45°`]이다.

그러므로 [eqn: ANGLE rm B _{`1} G _{`1} C _{`1} =90°`]이고, 삼각형 [eqn: rm G_{`1} B_{`1} C_{`1} `]은 직각이등변삼각형이다.

또한, [eqn: ANGLE rm G _{`1} E _{`1} F _{`1} =45°`], [eqn: ANGLE rm G _{`1} F _{`1} E _{`1} =45°`]이므로 삼각형 [eqn: rm G_{`1} E_{`1} F_{`1} `]도 직각이등변삼각형이다.

[eqn: bar{rm B_{`1} C_{`1}} = 3`]이므로

[eqn: {bar{rm B _{`1} G _{`1} it}} = {3 sqrt {2}} over {2} `]

[eqn: bar{rm E_{`1} F_{`1}} =1`]이므로

[eqn: {bar{rm E _{`1} G _{`1} it}} = {sqrt {2}} over {2}]

그러므로 [eqn: a _{`1}][eqn: =2 TIMES LEFT ( {1} over {2} TIMES {3 sqrt {2}} over {2} TIMES {sqrt {2}} over {2} RIGHT )][eqn: = 3 over 2]

[eqn: {bar{rm A _{`n+1} B _{`n+1} it}}][eqn: =2x`]라 하면 [eqn: {bar{rm B _{`n+1} C _{`n+1} it}}][eqn: =3x`]이고

[eqn: {bar{rm B _{`n} C _{`n} it}}][eqn: =2x +3x+2x][eqn: =7x`]이므로

[eqn: {bar{rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm} it}} =3x= {3} over {7} `bar{rmB _{itn} rmC _{itn} }]

직사각형 [eqn: rmA _{itn} rmB _{itn} rmC _{itn} rmD _{itn}]과 직사각형 [eqn: rm A _{it n+1 rm} rm B _{it n+1 rm} rm C _{it n+1 rm} rm D _{it n+1 rm} `]의 닮음비가 [eqn: 1 : 3 over 7 `]이므로, 그림 [eqn: R _{n+1} `]에서 추가로 색칠되는 도형의 넓이 [eqn: a _{n+1} `]은

[eqn: a _{n+1} = LEFT ( {3} over {7} RIGHT ) ^{2} a _{n} `][eqn: = {9} over {49} a _{n} `]

그러므로 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]은 첫째항이 [eqn: {3} over {2} `]이고 공비가 [eqn: {9} over {49} `]인 등비수열이다.

따라서

[eqn: lim _{ n -> inf} S_{`n}][eqn: = sum _{n=1} ^{inf} a _{n}]
[eqn: ={3 over 2 } over{ 1 - 9 over 49}]
[eqn: = {147} over {80}]

20. [출제의도] 수열이 수렴할 조건과 극한값을 추론한다.

ㄱ. 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은
[eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: 1], [eqn: 2], [eqn: cdots `]
이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} right} `]은 발산(진동)한다. (참)

ㄴ. 수열 [eqn: left{ b_{`n} right} `]은
[eqn: p+q], [eqn: -p+q], [eqn: p+q], [eqn: -p+q], [eqn: cdots `]
이므로 [eqn: p=0`]인 경우 수열 [eqn: left{ b_{`n} right} `]은
[eqn: q], [eqn: q], [eqn: q], [eqn: cdots]
가 되어 수렴한다. (참)

ㄷ. 수열 [eqn: left{a _{n} +b _{n} right}`]은
[eqn: 1+p+q], [eqn: 2-p+q], [eqn: 1+p+q], [eqn: 2-p+q], [eqn: cdots`]
이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} + b_{`n} right} `]이 수렴하기 위해서는
[eqn: 1+p+q=2-p+q]
[eqn: p= {1} over {2}]
수열 [eqn: left{a _{n} b _{n} right}`]은
[eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT )], [eqn: 2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT )], [eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT )], [eqn: 2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT )], [eqn: cdots `]이므로 수열 [eqn: left{ a_{`n} b_{`n} right} `]이 수렴하기 위해서는
[eqn: 1{times} LEFT ( p+q RIGHT )][eqn: =2times LEFT ( -p+q RIGHT ) `]
[eqn: q=3p`]
그러므로
[eqn: q][eqn: =3 TIMES {1} over {2}][eqn: = {3} over {2}]
그러면 [eqn: 1+p+q=2-p+q=3`]이므로
[eqn: lim _{n`->`inf} {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) =3]
또한, [eqn: 1 TIMES LEFT ( p+q RIGHT ) =2 TIMES LEFT ( -p+q RIGHT ) =2`]이므로
[eqn: lim _{n` -> ` INF } {} a _{n} b _{n} =2]
그러므로
[eqn: lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{n} RIGHT ) ^{2} right}]
[eqn: = lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} -2a _{n} b _{n} right}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) TIMES lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) -2` lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}]
[eqn: =3 ^{2} -2times2][eqn: =5] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ

[다른 풀이]

ㄷ. [eqn: a _{n} +b _{n}][eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } + LEFT { `p TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q` RIGHT }]
[eqn: = LEFT ( {1} over {2} -p RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} +q`]이므로

수열 [eqn: left{a _{n} +b _{n} right}`]이 수렴하려면
[eqn: {1} over {2} -p=0], 즉 [eqn: p= {1} over {2} `]이어야 한다.
[eqn: p= {1} over {2} `]일 때,

[eqn: a _{n} b _{n}][eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n+1} +q` RIGHT }]
[eqn: = LEFT { {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} RIGHT } LEFT { - {1} over {2} TIMES LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} +q` RIGHT }]
[eqn: = it - {1} over {4} {times} LEFT ( -1 RIGHT ) ^{2n} + LEFT ( {q} over {2} - {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} + {3} over {2} q]
[eqn: = LEFT ( {q} over {2} - {3} over {4} RIGHT ) LEFT ( -1 RIGHT ) ^{n} - {1} over {4} + {3} over {2} q]이므로

수열 [eqn: LEFT { a _{n} b _{n} RIGHT } `]이 수렴하려면
[eqn: {q} over {2} - {3} over {4} =0], 즉 [eqn: q= {3} over {2} `]이어야 한다.
그러므로

[eqn: lim _{n`->`inf} {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT )][eqn: = {3} over {2} +q]
[eqn: = {3} over {2} + {3} over {2} =3]

[eqn: lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}][eqn: = it - {1} over {4} + {3} over {2} q]
[eqn: =it- {1} over {4} + {9} over {4} =2]

따라서

[eqn: lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} RIGHT ) ^{2} + LEFT ( b _{n} RIGHT ) ^{2} right}]
[eqn: = lim _{n`->`inf} {} left{ LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} -2a _{n} b _{n} right}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) ^{2} - lim _{n`->`inf} {} 2a _{n} b _{n}]
[eqn: = lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) TIMES lim _{n` -> ` INF } {} LEFT ( a _{n} +b _{n} RIGHT ) -2` lim _{n`->`inf} {} a _{n} b _{n}]
[eqn: =3 ^{2} -2times2][eqn: =5]

21. [출제의도] 항등함수와 상수함수의 뜻을 이해하여 함수를 추론한다.

함수 [eqn: f`:`X``` -> ``X```]가 일대일 대응이 아니라고 가정하면

합성함수 [eqn: g CIRC f`:`X```->``X``]는

일대일 대응이 아니게 되므로 항등함수도 아니다.

이런 경우 조건 (나)를 만족시키지 않게 되므로

함수 [eqn: f`]는 일대일 대응이어야 한다.

마찬가지 이유로 함수 [eqn: g`]도 일대일 대응이다.

두 일대일 대응 [eqn: f], [eqn: g`]에 대하여

[eqn: sum _{n=1} ^{9} f(n)=1+2+it CDOTS it+9=45],

[eqn: sum _{n=1} ^{9} g(n)=1+2+ it CDOTS it +9=45`]이므로

[eqn: sum _{n=1} ^{9} left{f(n)+g(n)right}][eqn: = sum _{n=1} ^{9} f(n)+ sum _{n=1} ^{9} g(n)]
[eqn: =45+45]
[eqn: =90`]

조건 (다)에서 [eqn: f(x)+g(x)`]의 값은 일정하므로

[eqn: f(x)+g(x)`][eqn: =k] ([eqn: k`]는 상수)라 하자.

[eqn: sum _{n=1} ^{9} left{f(n)+g(n)right}][eqn: = sum _{n=1} ^{9} k][eqn: =9k`]이므로

[eqn: 9k=90`]에서 [eqn: k=10`]

모든 [eqn: x IN X``]에 대하여

[eqn: f(x)+g(x)=10] …… ㉠

조건 (가)에서

[eqn: f(1)=8`]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g(8)=1`]

[eqn: g(8)=1`]이므로 ㉠에 의하여

[eqn: f(8)=9`]

[eqn: f(8)=9`]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g(9)=8]

[eqn: g(9)=8`]이므로 ㉠에 의하여

[eqn: f(9)=2`]

[eqn: f(9)=2`]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g(2)=9`]

[eqn: g(2)=9`]이므로 ㉠에 의하여

[eqn: f(2)=1`]

[eqn: f(2)=1`]이므로 조건 (나)에 의하여

[eqn: g(1)=2`]

[eqn: f(5)=a]라 하면

조건 (나)에 의하여

[eqn: g(a)=5]

[eqn: g(a)=5`]이면 ㉠에 의하여

[eqn: f(a)=5`]

[eqn: f(a)=5`]이면 조건 (나)에 의하여

[eqn: g(5)=a]

이때 [eqn: 10=f(5)+g(5)][eqn: =a+a][eqn: =2a`]이므로

[eqn: a=5``]

즉 [eqn: f(5)=5`]이고 ㉠에 의하여 [eqn: g(5)=5`]

이상의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

조건 (가)에 의하여 [eqn: f LEFT ( 3 RIGHT ) !=6`]이므로

(ⅰ) [eqn: f(3)=3`]이면
조건 (나)에 의하여
[eqn: g(3)=3`]
㉠에 의하여 [eqn: g(3)=7`]이므로
이 경우는 불가능하다.

(ⅱ) [eqn: f(3)=7`]이면
조건 (나)에 의하여
[eqn: g(7)=3`]
[eqn: g(7)=3`]이면 ㉠에 의하여
[eqn: f(7)=7``]
함수 [eqn: f`]가 일대일 대응이 아니게 되므로 이 경우는 불가능하다.

(ⅲ) [eqn: f(3)=4`]이면
조건 (나)에 의하여
[eqn: g(4)=3`]
[eqn: g(4)=3`]이면 ㉠에 의하여
[eqn: f(4)=7``]
[eqn: f(4)=7`]이면 조건 (나)에 의하여
[eqn: g(7)=4]
[eqn: g(7)=4`]이면 ㉠에 의하여
[eqn: f(7)=6`]
[eqn: f(7)=6`]이면 조건 (나)에 의하여
[eqn: g(6)=7]
[eqn: g(6)=7`]이면 ㉠에 의하여
[eqn: f(6)=3``]
[eqn: f(6)=3``]이면 조건 (나)에 의하여
[eqn: g(3)=6`]

(ⅲ)의 대응을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

따라서

[eqn: (f CIRC f CIRC f)(7)][eqn: =f`(f(6))]
[eqn: =f(3)]
[eqn: =4]

[참고] 함수 [eqn: f``]와 [eqn: g`]는 다음과 같다.

22. [출제의도] 첫째항과 공차가 주어진 등차수열의 항을 계산한다.

첫째항이 [eqn: 10`]이고 공차가 [eqn: 5`]인 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 일반항 [eqn: a _{n} `]은

[eqn: a _{n}][eqn: =10+ LEFT ( n-1 RIGHT ) {times}5`]
[eqn: =5n+5]

따라서

[eqn: a _{3}][eqn: =5times3+5]
[eqn: =20]

23. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 로그를 계산한다.

[eqn: log` _{2} ` LEFT ( 2 ^{`2} TIMES 2 ^{`3} RIGHT )][eqn: =log` _{2} `2 ^{`2+3}]
[eqn: =log` _{2} `2 ^{`5}]
[eqn: =5`log _{`2} `2]
[eqn: =5]

24. [출제의도] 부분합의 극한과 수열의 일반항의 관계를 이해하여 극한값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { S _{n} RIGHT } `]이 수렴하므로

[eqn: ` lim _{n -> INF } {} a _{n} =0`]

따라서

[eqn: lim _{n -> INF } {} LEFT ( 2a _{n} +3S _{n} RIGHT )][eqn: =2` lim _{n -> INF } {} a _{n} +3` lim _{n -> INF } {} S _{n}]
[eqn: =2 TIMES 0+3 TIMES 7]
[eqn: =21]

25. [출제의도] 지수법칙을 이용하여 주어진 식의 값을 구한다.

[eqn: 2 ^{-a} +2 ^{-b} `][eqn: = {1} over {2` ^{a}} + {1} over {2` ^{b}}]
[eqn: = {2 ^{`a} +2 ^{`b}} over {2 ^{`a+b}}]
[eqn: = {9} over {4}] …… ㉠

그런데 [eqn: 2 ^{`a} +2 ^{`b} =2]이므로 이 값을 ㉠ 에 대입하면

[eqn: {2 } over 2^{`a+b} `= 9 over 4]

[eqn: 2 ^{`a+b} `=2times {4} over {9} = {8} over {9}]

따라서 [eqn: p=9], [eqn: q=8], [eqn: p+q=17`]

26. [출제의도] 조건을 만족시키는 수열을 추론하여 값을 구한다.

수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 첫째항이 [eqn: 6`]이므로 [eqn: a _{1} >0]

이때 [eqn: a _{2} =2-6=it-4]

[eqn: a _{2} <0`]이므로

[eqn: a _{3} =a _{2} +p][eqn: = it -4+p]

(ⅰ) [eqn: -4+p GEQ 0`], 즉 [eqn: p GEQ 4`]일 때

[eqn: a _{4}][eqn: =2-a _{3} `]
[eqn: =2-(-4+p)]
[eqn: =6-p]
[eqn: =0`]에서
[eqn: p=6`]

(ⅱ) [eqn: -4+p<0`], 즉 [eqn: p<4`]일 때

[eqn: a _{4}][eqn: =a _{3} `+p]
[eqn: =(-4+p)+p]
[eqn: = it -4+2p`]
[eqn: =0`]에서
[eqn: p=2`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a _{4} =0`]이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: p`]의 값의 합은 [eqn: 6+2=8]

27. [출제의도] 집합의 연산을 활용하여 실생활 문제를 해결한다.

직업 체험을 신청한 학생의 집합을 [eqn: A], 대학 탐방을 신청한 학생의 집합을 [eqn: B``]라 하자.

직업 체험과 대학 탐방을 모두 신청한 학생은 [eqn: 5`]명이므로

[eqn: n LEFT ( A{cap}B` RIGHT ) =5] …… ㉠

직업 체험과 대학 탐방 중 어느 것도 신청하지 않은 학생은 [eqn: 3`]명이므로

[eqn: n LEFT ( LEFT ( A CUP B` RIGHT ) ^{C} `` RIGHT ) =3]

그러므로

[eqn: n LEFT ( A{cup}B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( U` RIGHT ) -n LEFT ( LEFT ( A{cup}B` RIGHT ) ^{C} `` RIGHT )]
[eqn: =31-3=28] …… ㉡

직업 체험을 신청한 학생 수는 대학 탐방을 신청한 학생 수의 [eqn: 2`]배이므로

[eqn: n LEFT ( A RIGHT ) =2 TIMES `n LEFT ( B` RIGHT )] …… ㉢

그런데

[eqn: n LEFT ( A{cup}B` RIGHT )][eqn: =n LEFT ( A RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -n LEFT ( A{cap}B` RIGHT )]

이므로 ㉠, ㉡, ㉢ 에서

[eqn: 28][eqn: =2 TIMES `n LEFT ( B` RIGHT ) +n LEFT ( B` RIGHT ) -5]

[eqn: n LEFT ( B` RIGHT ) =11]

[eqn: n LEFT ( A` RIGHT ) =2times11=22]

따라서 직업 체험을 신청한 학생 수는 [eqn: 22`]

28. [출제의도] 두 직선의 교점을 이용하여 등차수열의 합을 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: LEFT ( n,```0 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 일차함수의 그래프와 만나는 점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a _{n} `]이라 하면 [eqn: a _{n} `]을 [eqn: n`]에 관한 일차식으로 나타낼 수 있으므로 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]은 등차수열이다.

[eqn: a _{4} = {7} over {2} `]이고 [eqn: a _{7} =5`]이므로 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: 3d][eqn: =a _{7} -a _{4}]
[eqn: =5- {7} over {2}]
[eqn: = {3} over {2}]

[eqn: d= {1} over {2} `]

[eqn: a _{1}][eqn: =a _{4} -3d]
[eqn: = {7} over {2} -3times {1} over {2}]
[eqn: =2`]

[eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{k} `]의 값은 첫째항이 [eqn: 2`]이고 공차가 [eqn: {1} over {2} `]인 등차수열의 첫째항부터 제[eqn: `25`]항까지의 합과 같으므로

[eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{k} `][eqn: = {25 LEFT { 2times2+(25-1) TIMES {1} over {2} RIGHT }} over {2}]
[eqn: = {25 TIMES 16} over {2}]
[eqn: =200]

[다른 풀이 1]

점 [eqn: LEFT ( n,```0 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 일차함수의 그래프와 만나는 점의 [eqn: y`]좌표를 [eqn: a _{n} `]이라 하면 [eqn: a _{n} `]을 [eqn: n`]에 관한 일차식으로 나타낼 수 있으므로 수열 [eqn: left{a _{n} right}`]은 등차수열이다.

[eqn: a _{4} = {7} over {2} `]이고 [eqn: a _{7} =5`]이므로 등차수열 [eqn: left{a _{n} right}`]의 공차를 [eqn: d`]라 하면

[eqn: 3d][eqn: =a _{7} -a _{4}]
[eqn: =5- {7} over {2}]
[eqn: = {3} over {2}]

[eqn: d= {1} over {2} `]

[eqn: a _{13}][eqn: =a _{7} +6d]
[eqn: =5+3]
[eqn: =8]이므로

[eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{k} `][eqn: =(a _{1} +a _{25} )+(a _{2} +a _{24} )+` CDOTS `+(a _{12} +a _{14} )+a _{13}]
[eqn: =2a _{13} +2a _{13} +` CDOTS `+2a _{13} +a _{13}]
[eqn: =12times2a _{13} +a _{13}]
[eqn: =25a _{13}]
[eqn: =25 TIMES 8]
[eqn: =200]

[다른 풀이 2]

[eqn: a _{4} = {7} over {2} `]이고 [eqn: a _{7} =5`]이므로

직선 [eqn: l`]은 두 점 [eqn: left(4,~ {7} over {2} right)], [eqn: (7,```5)]를 지난다.

직선 [eqn: l`]의 기울기는 [eqn: {5- {7} over {2}} over {7-4}][eqn: = {{3} over {2}} over {3} = {1} over {2} `]이므로

직선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y= {1} over {2} LEFT ( x-4 RIGHT ) + {7} over {2} `][eqn: = {1} over {2} x+ {3} over {2} `]

점 [eqn: LEFT ( n,```0 RIGHT ) `]을 지나고 [eqn: x`]축에 수직인 직선이 직선 [eqn: l`]과 만나는 점의 [eqn: y`]좌표가 [eqn: a _{n} `]이므로 [eqn: a _{n} `= {1} over {2} n+ {3} over {2} `]

[eqn: sum _{k=1} ^{25} a _{k} `][eqn: = sum _{k=1} ^{25} LEFT ( {1} over {2} k+ {3} over {2} RIGHT ) `]
[eqn: = {1} over {2} times {25times26} over {2} + {3} over {2} times25]
[eqn: = {25 TIMES 13+3 TIMES 25} over {2}]
[eqn: = {25 TIMES 16} over {2}]
[eqn: =25times8]
[eqn: =200]

29. [출제의도] 명제가 참이 되도록 하는 부분집합의 개수를 구하는 문제를 해결한다.

조건 [eqn: x ^{2} -3x<0`]의 진리집합을 [eqn: P``]라 하면

[eqn: x LEFT ( x-3 RIGHT ) <0`]에서 [eqn: 0<x<3`]이므로

[eqn: P= LEFT { 1,``2 RIGHT }]

명제 ‘집합 [eqn: A`]의 모든 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x ^{2} -3x<0`]이다.’ 가 참이 되기 위해서는 집합 [eqn: A`]가 집합 [eqn: P`]의 공집합이 아닌 부분집합이어야 한다.

그러므로 [eqn: A= LEFT { 1 RIGHT }] 또는 [eqn: A= LEFT { 2 RIGHT }] 또는 [eqn: A= LEFT { 1,``2 RIGHT } `]이다.

명제 ‘집합 [eqn: B`]의 어떤 원소 [eqn: x]에 대하여 [eqn: x{in}A`]이다.’

가 참이 되기 위해서는 [eqn: A SMALLINTER B != EMPTYSET `]이어야 한다.

(ⅰ) [eqn: A= LEFT { 1 RIGHT } `]인 경우
집합 [eqn: B`]는 [eqn: 1`]을 원소로 갖는 집합 [eqn: U``]의 부분집합이므로 집합 [eqn: B``]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8`]

(ⅱ) [eqn: A= LEFT { 2 RIGHT } `]인 경우
집합 [eqn: B`]는 [eqn: 2`]를 원소로 갖는 집합 [eqn: U``]의 부분집합이므로 집합 [eqn: B``]의 개수는 [eqn: 2 ^{3} =8`]

(ⅲ) [eqn: A= LEFT { 1,``2 RIGHT } `]인 경우
집합 [eqn: B`]는 [eqn: 1] 또는 [eqn: 2`]를 원소로 갖는 집합 [eqn: U``]의부분집합이다.

ⅲ-가) [eqn: 1`]을 원소로 갖고, [eqn: 2`]를 원소로 갖지 않는 집합 [eqn: B``]의 개수는 [eqn: 2 ^{2} =4`]

ⅲ-나) [eqn: 2`]를 원소로 갖고, [eqn: 1`]을 원소로 갖지 않는 집합 [eqn: B``]의 개수는 [eqn: 2 ^{2} =4`]

ⅲ-다) [eqn: 1], [eqn: 2`]를 모두 원소로 갖는 집합 [eqn: B`]의 개수는 [eqn: 2 ^{2} =4`]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 구하는 순서쌍 [eqn: LEFT ( A,``B`` RIGHT ) `]의 개수는 [eqn: 8+8+(4+4+4)=28`]

30. [출제의도] 유리함수의 그래프와 수열의 합을 이용하여 문제를 해결한다.

[eqn: f(x)= {x+2n} over {2x-p}][eqn: = {{1} over {2} LEFT ( 2x-p RIGHT ) + {p} over {2} +2n} over {2x-p}][eqn: = {1} over {2} + {{p} over {2} +2n} over {2x-p}]

이고 [eqn: {p} over {2} +2n>0`]이므로

[eqn: f(1)<f(5)<f(3)] …… ㉠

이 성립하려면 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

[eqn: 1< {p} over {2} <3`]이어야 하므로 [eqn: 2<p<6`]에서 자연수 [eqn: p`]의 최솟값 [eqn: m`]은 [eqn: 3`]

함수 [eqn: g(x)= {2x+n} over {x+q}][eqn: = {2 LEFT ( x+q RIGHT ) +n-2q} over {x+q}][eqn: =2+ {n-2q} over {x+q}]

이므로 곡선 [eqn: y=g(x)`]의 두 점근선의 방정식은

[eqn: x= it -q], [eqn: y=2`]

[eqn: p=3`]일 때 [eqn: f(x)= {x+2n} over {2x-3} `]에 대하여

[eqn: x _{1} =f(1)=it-2n-1]

[eqn: x _{2} =f(5)= {2n+5} over {7}]

[eqn: x _{3} =f(3)= {2n+3} over {3}]

이라 하면 ㉠으로부터

[eqn: x _{1} <x _{2} <x _{3} `]

이때 문제의 조건에서
[eqn: g(x _{2} )<g(x _{3} )<g(x _{1} )`]이 성립해야 하므로

함수 [eqn: y=g(x)`]의 그래프는 다음과 같아야 한다.

그러므로 [eqn: x _{1} < it -q<x _{2} `]이고 [eqn: n-2q<0`]이어야 한다.

즉 [eqn: -2n-1< it -q< {2n+5} over {7} `]이고 [eqn: q> {n} over {2} `]이어야 하므로

[eqn: {n} over {2} <q<2n+1`]

(ⅰ) [eqn: n=2`l-1] ([eqn: l`]은 자연수)일 때
[eqn: {2`l-1} over {2} <q<2(2`l-1)+1`]에서
[eqn: l- {1} over {2} <q<4`l-1`]이므로
[eqn: q=l], [eqn: l+1], [eqn: cdots], [eqn: 4`l-2]
그러므로 정수 [eqn: q`]의 개수는 [eqn: 3`l-1`]

(ⅱ) [eqn: n=2`l] ([eqn: l`]은 자연수)일 때
[eqn: {2`l} over {2} <q<2times2`l+1`]에서
[eqn: l<q<4`l+1`]이므로
[eqn: q=l+1], [eqn: l+2], [eqn: cdots], [eqn: 4`l]
그러므로 정수 [eqn: q`]의 개수는 [eqn: 3`l]

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 [eqn: a _{2l-1} =3`l-1], [eqn: a _{2l} =3`l`]
따라서

[eqn: sum _{k=1} ^{20} a _{k} `][eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( a _{2l-1} +a _{2l} RIGHT )]
[eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( 3`l-1+3`l RIGHT )]
[eqn: = sum _{l=1} ^{10} LEFT ( 6`l-1 RIGHT )]
[eqn: =6 sum _{l=1} ^{10} `l- sum _{l=1} ^{10} 1]
[eqn: =6times {10times11} over {2} -10]
[eqn: =330-10][eqn: =320]