수리 영역(이과)

수리(이과) 영역

1. ②	2. ②	3. ③	4. ②	5. ①

6. ④	7. ⑤	8. ①	9. ④	10. ④

11. ②	12. ②	13. ⑤	14. ⑤	15. ⑤

16. ③	17. ⑤	18. ③	19. ①	20. ①

21. ④	22. ④	23. ③	24. ①	25. 48

26. 25	27. 46	28. 371	29. 323	30. 45

1. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: -16 = (-2)^3 cdot 2], [eqn: 250 = 5^3 cdot 2]이므로

[eqn: ( sqrt 3 of {-16} + sqrt3 of 250 )^3][eqn: = ( sqrt 3 of {(-2)^3 cdot 2 } + sqrt 3 of {5^3 cdot 2 })^3]
[eqn: = (-2 cdot sqrt 3 of 2 + 5 cdot sqrt 3 of 2 )^3][eqn: = (3 cdot sqrt 3 of 2 )^3]

[eqn: = 27 cdot 2]

[eqn: = 54#]

2. 함수의 극한과 연속성

정답 ②

[eqn: lim_{x->2}{{sqrt6-x -2}over{sqrt3-x - 1}}]

[eqn: = lim_{x->2} {{(sqrt6-x - 2)(sqrt6-x + 2 )(sqrt3-x +1)}over{(sqrt3-x -1 )( sqrt3-x + 1)( sqrt 6-x +2 )}}]

[eqn: = lim_{x->2}{{(6-x-4)(sqrt3-x +1)}over{(3-x-1)(sqrt6-x +2)}}]

[eqn: =lim_{x->2}{{(2-x)(sqrt3-x +1)}over{(2-x)(sqrt6-x +2)}}]

[eqn: =lim_{x->2}{{sqrt3-x +1}over{sqrt6-x + 2}}]

[eqn: = {sqrt{3-2}+1}over{sqrt{6 -2}+2}]

[eqn: ={1}over{2}]

3. 이차곡선

정답 ③

포물선 [eqn: y^2 = 4px]에 접하고, 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정

은 [eqn: y = mx + p over m]이다.

[eqn: y^2 = 4x = 4 cdot 1 cdot x]에서 초점 [eqn: rm F]의 좌표는 [eqn: (1,~0)]이므

로 포물선 [eqn: y^2 = 4x]에 접하고, 기울기가 [eqn: m]인 직선의 방정

식은 [eqn: y = mx + 1 over m]이다.

이 접선이 점 [eqn: rm A(-2,~4)]를 지나므로

[eqn: 4 = -2m + 1 over m]

[eqn: 4m = -2 m ^2 +1]

[eqn: 2m^2 + 4m - 1 = 0]

이 이차방정식의 두 근이 두 접선의 기울기이므로 두 근의

곱이 두 접선의 기울기의 곱이다.

따라서 이차방정식의 근과 계수의 관계에 의해 두 접선의

기울기의 곱은 [eqn: - 1over2]이다.

4. 방정식과 부등식

정답 ②

[eqn: rm bar BE = 8times 1over4 = 2]

[eqn: rm bar CF = 8times 3over4 = 6]

이고, [eqn: rm bar BP = it x][eqn: (x!= 0 )]라 하면

[eqn: rm bar PC = it 8-x]

[eqn: rm bar EP = it sqrt {2^2 + x^2} =sqrt{x^2 + 4}]

[eqn: rm bar FP =it sqrt{6^2 + (8-x)^2} = sqrt{x^2 - 16x + 100}]

삼각형 [eqn: rm EBP]와 삼각형 [eqn: rm PCF]의 둘레의 길이의 합이 [eqn: 28]

이므로

[eqn: 2+x+sqrt{x^2 + 4} + (8-x) + 6 + sqrt{x^2 - 16x + 100}]

[eqn: = 28]

[eqn: 16 + sqrt{x^2 + 4} + sqrt{x^2 - 16x + 100} = 28]

[eqn: 12-sqrt{x^2 + 4} = sqrt{x^2 - 16x +100}]

양변을 제곱하면

[eqn: 144- 24 sqrt{x^2 +4} + x^2 + 4 = x^2 -16x + 100]

[eqn: 16x + 48 = 24 sqrt {x^2 + 4}], [eqn: 2x+6 = 3sqrt{x^2 + 4}]

다시 양변을 제곱하면

[eqn: 4x^2 + 24x + 36 = 9x^2 + 36]

[eqn: 5x^2 - 24x = 0], [eqn: x(5x-24 ) = 0]

[eqn: therefore~x = 0] 또는 [eqn: x= 24over5]

[eqn: rm therefore``bar BP = 24over5 it`(because ``x!= 0 )]

[eqn: rm therefore~10 bar BP = 48]

5. 순열과 조합

정답 ①

(가) [eqn: {}_r \C _{it r}][eqn: = {}_r \C _0 =~1]

[eqn: {}_r+1 \C _{it r+1}][eqn: ={}_r \C _0 =~1]

(나) [eqn: sum_{i=r}^{k+1} `{}_i \C _{it r}][eqn: = sum_{i=r}^{k} `{}_i \C _{it r} + {}_{it k+1} \C _{it r}]

[eqn: = {}_k+1 \C _{it r+1} + ``{}_{it k+1} \C _{it r}]

([eqn: because~n=k]일 때, [eqn: sum_{i=r}^{k} ` {}_i \C _{it r} = {}_{it k+1} \C _{it r+1}]이라 가정)

(다) [eqn: {}_k+1 \C _{it r+1} + {}_{it k+1} \C _{it r}]

[eqn: = {(k+1)!}over{left{ k+1- (r+1) right}! `(r+1)!} + {(k+1)!}over{(k+1-r)!`r!}]

[eqn: = `` {(k+1)!}over{(k-r)! (r+1)!} `` + (k+1)! over {(k+1-r)!`r!}]

6. 이차곡선

정답 ④

점 [eqn: rm P]의 좌표를 [eqn: (x,~y)]라 하면

(나)에 의해 [eqn: rm A it (2,~y)]

(다)에 의해 [eqn: rm bar AP it = x-2]

[eqn: rm bar AB = bar OA - bar OB]

[eqn: = it sqrt {2^2 + y^2} - 1]

(가)에서 [eqn: rm bar AP = 2bar AB]이므로

[eqn: x-2 = 2(sqrt{4+y^2} - 1)]

[eqn: x-2 = 2sqrt{4+y^2} - 2]

[eqn: x= 2sqrt{4+ y^2}]

양변을 제곱하면

[eqn: x^2 = 4(4+y^2 )]

[eqn: x^2 = 4y^2 + 16]

[eqn: x^2 over 16 - y^2 over 4 = 1]

따라서 점 [eqn: rm P]의 자취는 쌍곡선 [eqn: x^2 over 4^2 - y^2 over 2^2 = 1]의 일부이고, 이 쌍곡선의 점근선의 방정식은 [eqn: y = +- 2over4 x], 즉 [eqn: y= +- 1over2 x]이므로 기울기가 양수인 점근선의 방정식은 [eqn: y = 1over2 x]이다.

❰다른 풀이❱

[eqn: rm bar OA]와 [eqn: x]축의 양의 방향이 이루는 각을 [eqn: theta], 점 [eqn: rm P]의 좌표를

[eqn: (x,~y)]라 하면

[eqn: rm bar OA = 2 over costheta` left( because `` cos theta = rm 2 over barOA right)], [eqn: rm bar OB = 1]이므로

[eqn: rm bar AB = bar OA - bar OB = 2 over costheta - 1]

(가)에서 [eqn: rm bar AP = 2 bar AB]이므로

[eqn: x- 2=2 left( 2over costheta - 1 right)]

[eqn: therefore``x= 2+2 left( 2over costheta - 1 right) = 4over costheta = 4 sec theta],  [eqn: y = 2 tan theta]

즉, [eqn: sec theta = x over 4], [eqn: tan theta = y over 2]이고, [eqn: 1+ tan^2 theta = sec ^2 theta]

이므로

[eqn: 1 + y^2 over 4 = x^2 over 16]

[eqn: x^2 over 16 - y^2 over4 = 1]

따라서 구하는 점근선의 방정식은 [eqn: y = 1over2 x]이다.

7. 수열

정답 ⑤

[eqn: a_n = log_2 (n!)]이므로

[eqn: b_n][eqn: = a_n+1 - a_n]

[eqn: = log _2 left{(n+1)! right} - log_2 (n!)]

[eqn: = log_2 (n+1)! over n! = log_2 (n+1)]

㉠ [eqn: b_15 = log_2 (15+1) = log_2 16 = log_2 2^4 = 4] (참)

㉡ [eqn: sum_{k=1}^{5} b_k][eqn: = log_2 2 + log_2 3 + log_2 4 + log_2 5 + log_2 6]

[eqn: = log_2 (2 cdot 3 cdot 4 cdot 5 cdot 6) = log_2 720]

[eqn: 2^9 < 720< 2^10]이므로

[eqn: log_2 2^9 < log_2 720 = sum_{k=1}^{5} b_k < log_2 2^10]

[eqn: therefore~9< sum_{k=1}^{5} b_k <10] (참)

㉢ [eqn: n]이 짝수이면 [eqn: b_n = log_2 (n+1)]에서 [eqn: n+1]이

홀수이므로 [eqn: b_n]은 유리수가 될 수 없다.

즉, 무리수이다.

(증명)

[eqn: n= 2k][eqn: (k=1,~2,~3,~cdots)]라 하면

[eqn: b_n = b_2k = log_2 (2k+1)]

[eqn: b_n]을 유리수라 가정하면

[eqn: b_n = log_2 (2k+1) = q over p] ([eqn: p], [eqn: q]는 서로소인 자연수)

로 놓을 수 있다.

[eqn: log_2 (2k+1) = q over p]에서

[eqn: 2 ^{ q over p} = 2k+1], [eqn: 2^q = (2k+1)^p]

이때, [eqn: p,~q,~k]는 자연수이므로 [eqn: 2^q]은 짝수,

[eqn: (2k+1)^p]은 홀수가 되어 이 식을 만족시키는 [eqn: p,~q]가

존재하지 않는다.

즉, 가정에 모순이므로 [eqn: b_n]은 무리수이다.

따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳다.

8. 확률

정답 ①

바이러스에 감염된 사건을 [eqn: A], 감염되었다고 진단하는

사건을 [eqn: E]라 하면 구하는 확률은 [eqn: rm P (it A `|` E)]이다.

(ⅰ) 바이러스에 감염된 컴퓨터를

감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94%]이므로

[eqn: rm P( it A cap E) = 2over5 times 0.94]

감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 6%]이므로

[eqn: rm P(it A cap E^C `) = 2over5 times 0.06]

(ⅱ) 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를

감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 2%]이므로

[eqn: rm P( it A^C cap E) = 3over5 times 0.02]

감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98%]이므로

[eqn: rm P(it A^C cap E^C `) = 3over5 times 0.98]

[eqn: \ P(it A `|` E) = {\P(it A cap E)}over {\P(it E)}]에서

[eqn: rm P(it E)][eqn: rm = P( it A cap E) + \P ( it A^C cap E)]

[eqn: = 2over 5 times 0.94 + 3over5 times 0.02]

이므로

[eqn: rm P( it A `|` E)][eqn: rm ={ P( itA cap E) }over {P(it E) }]

[eqn: = { 2over5 times 0.94}over {2over5 times 0.94 + 3over5 times 0.02}]

[eqn: = 188over194 = 94over97]

9. 지수함수와 로그함수

정답 ④

주어진 가격표에서

[eqn: f(0.3) = a(b^0.3 - 1) = 70]	…… ㉠

[eqn: f(0.6) = a(b^0.6 - 1) = 210]	…… ㉡

[eqn: ㉠div㉡]을 하면

[eqn: {a(b^0.3 - 1)}over{a(b^0.6 - 1)} = 70over210]

[eqn: {b^0.3 - 1}over{b^0.6 - 1} = 1over3]

[eqn: 3 (b^0.3 - 1) = b^0.6 - 1]

[eqn: 3b^0.3 - 3 = (b^0.3 ) ^2 -1]

[eqn: (b^0.3 ) ^2 - 3b^0.3 + 2 = 0]

[eqn: (b^0.3 - 1)(b^0.3 - 2) = 0]

[eqn: b^0.3 = 2] [eqn: (because~b>1)]	…… ㉢

㉢을 ㉠에 대입하면 [eqn: a=70]

[eqn: therefore~f(1.5)][eqn: = 70(b^1.5 - 1)]

[eqn: = 70left{(b^0.3 )^5 -1 right}]

[eqn: = 70 (2^5 -1)] [eqn: (BECAUSE`` ㉢)]

[eqn: = 2170](만 원)

10. 수열

정답 ④

매월 초에 [eqn: a]만 원을 적립한다고 하면

[eqn: 2009]년 [eqn: 8]월 초 [eqn: 200]만 원인 노트북컴퓨터의 [eqn: 2010]년 [eqn: 8]월

초 판매 가격은

[eqn: 200 times ( 1- 0.01 )^12][eqn: = 200 times ( 0.99)^12 = 200times 0.89#]
[eqn: = 178](만 원)	…… ㉠

[eqn: 2009]년 [eqn: 8]월 초부터 [eqn: a]만 원씩 [eqn: 12]개월 동안 적립한 금액의

원리합계는

[eqn: a(1.01)^12 + a(1.01)^11 +cdots+a(1.01)]

[eqn: = {a(1.01) left{ (1.01)^12 -1 right} } over {(1.01)-1}]

[eqn: = 101a left{ (1.01)^12 -1 right}]

[eqn: = 101 a( 1.13 - 1)][eqn: = 13.13a](만 원)	…… ㉡

노트북컴퓨터를 구매하려면 [eqn: ㉠ ≤ ㉡]이어야 하므로

[eqn: 178 ≤ 13.13a]

[eqn: a ≥ 178over13.13 =13.55 cdots image 14](만 원)

따라서 적립해야 할 최소 금액은 [eqn: 14]만 원이다.

11. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: log_2 a]와 [eqn: log_2 b]의 소수 부분이 같으므로

[eqn: log_2 a = n_1 + alpha], [eqn: log_2 b = n_2 +alpha]
([eqn: n_1 ,~ n_2]는 정수, [eqn: 0≤alpha <1])

라 하면

[eqn: log_2 b - log_2 a =n_2 - n_1 =m] ([eqn: m]은 정수)

[eqn: log_2 b over a =m]

[eqn: b over a = 2^m]

[eqn: b = a cdot 2^m]

(ⅰ) [eqn: m=1]일 때, [eqn: b=2a]이므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (11,~22)], [eqn: (12,~24)], [eqn: cdots], [eqn: (24,~48)]의 [eqn: 14]개

(ⅱ) [eqn: m=2]일 때, [eqn: b= 4a]이므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]는

[eqn: (11,~44)], [eqn: (12,~48)]의 [eqn: 2]개

(ⅲ) [eqn: m≥3]일 때, [eqn: b≥8a]이므로 [eqn: 10 < a < b < 50]을

족하는 순서쌍 [eqn: (a,~ b)]는 존재하지 않는다.

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의 개수는

[eqn: 14+2=16](개)이다.

12. 지수와 로그

정답 ②

[eqn: A = log I_0 - log I]에 [eqn: I = I_0 times 10^ -acd]을 대입하여

정리하면

[eqn: A][eqn: = log I_0 - log I]

[eqn: = log I_0 - log (I_0 times 10^ -acd )]

[eqn: = log I_0 - log I_ 0 - log 10 ^ -acd]

[eqn: = - log 10 ^ -acd]

[eqn: = acd]

[eqn: a= {4 pi k } over lambda]를 대입하면 [eqn: A = {4 pi k} over lambda cd]

이때, [eqn: A_1 = { 4 pi k } over lambda_1 cd_1]이므로

[eqn: A_2 = {4 pi k}over {2 lambda_1 } c cdot 4d_1 = 2 cdot {4 pi k } over lambda_1 cd_1 = 2A_1]

[eqn: therefore`` A_2 over A_1 = 2A_1 over A_1 = 2]

13. 다항함수의 적분법

정답 ⑤

㉠ [eqn: g(x) = f(x) - x]라 하면 폐구간 [eqn: [0,~1]]에서

[eqn: 0<f(x)<1]이므로

[eqn: g(0) = f(0) - 0 = f(0)>0]

[eqn: g(1)=f(1)-1 <0]

따라서 중간값의 정리에 의해 방정식 [eqn: g(x) = 0], 즉

[eqn: f(x) - x = 0]은 개구간 [eqn: (0,~1)]에서 적어도 [eqn: 1]개의

실근을 갖는다.

즉, [eqn: f(a) = a]인 실수 [eqn: a]가 개구간 [eqn: (0,~1)]에 적어도

하나 존재한다.

㉡ [eqn: 0<f(0)<1], [eqn: 0<f(1)<1]에서

[eqn: f(1) - (0) < 1]이므로 [eqn: {f(1) - f(0)}over 1-0 < 1]이다.

즉, 평균값의 정리에 의해 [eqn: f prime (b) <1]인 실수 [eqn: b]가

개구간 [eqn: (0,~1)]에 존재한다.

❰참고❱ 평균값의 정리

함수 [eqn: f(x)]가 폐구간 [eqn: [a,~b]]에서 연속이고, 개구간

[eqn: (a,~b)]에서 미분가능할 때,

[eqn: {f(b)-f(a)}over b-a = f prime (c)`(a<c<b)]인 [eqn: c]가 적어도 하나

존재한다.

㉢ [eqn: 0<f(x)<1]이므로 개구간 [eqn: (0,~1)]의 모든 [eqn: x]에 대해

[eqn: int _{ 0} ^{x } { 0dt} < int _{ 0} ^{x } { f(t)dt} < int _{ 0} ^{x } { 1dt}]가 성립한다.

이때, [eqn: int _{ 0} ^{x } { 0dt} = 0], [eqn: int _{ 0} ^{x } { 1dt} = [t]_ 0 ^x = x]이므로

[eqn: 0<int _{ 0} ^{x } { f(t)dt} <x]

따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳다.

14. 다항함수의 적분법

정답 ⑤

(가) 이차방정식 [eqn: (a-1)x^2 + bx +c = 0]의 두 실근이

[eqn: alpha], [eqn: beta]이므로 근과 계수의 관계에 의해

[eqn: alpha + beta = - b over a-1], [eqn: alpha beta = c over a-1]

[eqn: therefore~(beta - alpha ) ^2][eqn: = (alpha + beta )^2 - 4 alpha beta]

[eqn: = left( - b over a-1 right) ^2 - 4 cdot c over a-1]

[eqn: = b^2 over (a-1)^2 - 4 cdot c(a-1) over (a-1)^2]

[eqn: = {b^2 - 4c(a-1)}over (a-1)^2]

[eqn: = d over (a-1)^2]

[eqn: therefore~ beta - alpha = `` sqrt d over {|`a-1`|}```(because`` beta - alpha > 0 )]

(나) [eqn: (a-1)x^2 + bx + c = (a-1)(x- alpha ) (x- beta )]

이므로

[eqn: int _{ alpha} ^{beta } { left{ (a-1) x^2 +bx + c right} dx}]

[eqn: = int _{ alpha} ^{beta } { (a-1)(x- alpha ) ( x- beta ) dx}]

[eqn: = ( `` a-1 `` ) int _{ alpha} ^{beta }{ (x- alpha ) (x- beta ) dx}]

(다) [eqn: S][eqn: = left|(a-1) int _{ alpha} ^{beta }{(x- alpha)(x-beta)dx}right|]

[eqn: = left |(a-1) int _{ alpha} ^{beta }{(x^2 - alpha x - beta x + alpha beta )dx}right|]

[eqn: = left| (a-1) left[ 1over3 x^3 - 1over2 alpha x^2 - 1over2 beta x^2 + alpha beta x right] _alpha ^ beta right|]

[eqn: = left|(a-1) left{ 1over 3 ( beta^3 - alpha^3 ) - 1over2 alpha (beta^2 - alpha^2 )]

[eqn: - 1over2 beta (beta^2 - alpha^2 ) + alpha beta (beta - alpha ) right}right|]

[eqn: = left| (a-1) (beta - alpha ) left( 1over3 beta^2 + 1over3 alpha beta + 1over3 alpha ^2 - 1over2 alpha beta]

[eqn: - 1over2 alpha ^2 - 1over2 beta ^2 - 1over2 alpha beta + alpha beta right) right|]

[eqn: = left| (a-1) (beta - alpha) left( - 1over6 beta ^2 + 1over 3 alpha beta - 1over6 alpha^2 right)right|]

[eqn: = left| (a-1) left{ - 1over6 (beta - alpha )^3 right}right|]

[eqn: = left| ``` 1-a over 6 (beta - alpha )^3 ```right|]

15. 행렬

정답 ⑤

[eqn: cases{ ax + by = p # cx + dy = q}] ⇔ [eqn: pmatrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d``}pmatrix { ``x`` # ``y``} = pmatrix { ``p`` # ``q``}]

㉠ [eqn: A]의 역행렬이 존재하면

[eqn: pmatrix { ``x`` # ``y``} ={pmatrix { ``a``&``b`` # ``c``&``d``}}^-1 pmatrix { ``p`` # ``q``}]이므로

오직 한 쌍의 해를 갖는다. (참)

㉡ [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않으면

[eqn: ad - bc = 0]이므로 [eqn: ad = bc]

[eqn: therefore~ a over c = b over d]	…… ①

[eqn: B]의 역행렬이 존재하지 않으면

[eqn: aq - pc = 0]이므로 [eqn: aq = pc]

[eqn: therefore~ a over c = p over q]	…… ②

①, ②에서 [eqn: a over c = b over d = p over q]이므로

주어진 연립방정식은 무수히 많은 해를 갖는다. (참)

㉢ [eqn: A]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: ad - bc != 0]	…… ①

또, [eqn: k_1 pmatrix{ ``a`` # ``c``} + k_2 pmatrix{ ``b`` # ``d``} = pmatrix{ ``0`` # ``0``}]에서

[eqn: pmatrix{ ``k_1 a + k_2 b`` # ``k_1 c + k_2 d``} = pmatrix{ ``0`` # ``0``}]이므로

[eqn: k_1 a= -k_2 b], [eqn: k_1 c = -k_2 d]	…… ②

[eqn: k_1 != 0] 또는 [eqn: k_2 != 0]이라 가정하자.

(ⅰ) [eqn: k_1 != 0]일 때, ②에서

[eqn: a= - k_2 over k_1 b], [eqn: c= - k_2 over k_1 d]이므로

[eqn: ad - bc = - k_2 over k_1 bd + k_2 over k_1 bd = 0]

이는 ①과 모순이다.

(ⅱ) [eqn: k_2 !=0]일 때, ②에서

[eqn: b = - k_1 over k_2 a], [eqn: d = - k_1 over k_2 c]이므로

[eqn: ad - bc = - k_1 over k_2 ac + k_1 over k_2 ac = 0]

이 또한 ①과 모순이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의해 [eqn: k_1 = k_2 = 0]이다. (참)

따라서 ㉠, ㉡, ㉢ 모두 옳다.

16. 다항함수의 적분법

정답 ③

곡선 [eqn: y = x^4]과 직선 [eqn: y = k]의 교점을 [eqn: rm D it ( a,~a^4 )]이라 하자.

(단, [eqn: a^4 = k])

또, 점 [eqn: rm D]에서 [eqn: x]축, [eqn: y]축에 내린 수선의 발을 각각

[eqn: rm E it(a,~0)], [eqn: rm G it ( 0,~ a^4 )], 직선 [eqn: y = k]와 직선 [eqn: x=1]의 교점을

[eqn: rm F it( 1,~a^4 )]이라 하면

[eqn: S_1][eqn: = rm □ OEDG it- int _{ 0} ^{a } { x^4 dx}][eqn: = a times a^4 - left[ 1over5 x^5 right] _0 ^a]

[eqn: = a^5 - a^5 over 5 = 4over5 a^5]

[eqn: S_2 = rm □ OAFG - it S_1 = a^4 - 4over5 a^5]

[eqn: S_3][eqn: = int _{ 0} ^{1 } { x^4 dx} - S_2 = left[ 1over5 x^5 right] _0^1 - left( a^4 - 4over5 a^5 right)]

[eqn: = 1over5 - a^4 + 4over5 a^5]

[eqn: S_4][eqn: rm = □ CGFB - it S_3 = (1-a^4 ) - left( 1over5 - a^4 + 4over5 a^5 right)]

[eqn: = 1-a^4 - 1over5 + a^4 - 4over5 a^5]

[eqn: = 4over5 - 4over5 a^5]

[eqn: therefore] [eqn: |`S_1 - S_3 `|` + `|` S_2 - S_4 `|]

[eqn: = `left |` 4over5 a^5 - 1over5 + a^4 - 4over5 a^5 ` right|]

[eqn: +` left| ` a^4 - 4over5 a^5 - 4over5 + 4over5 a^5 `right|]

[eqn: = ` left|` a^4 - 1over5 ` right| ` + ` left|` a^4 - 4over5 ` right|]

[eqn: = ` left| ` k - 1over5 ` right| ` + ` left|` k - 4over5 ` right|] [eqn: (because~a^4 = k)]

[eqn: f(k) = ` left | ` k- 1over5 ` right| `+` left| k - 4over5 ` right|] [eqn: (0<k<1)]이라 하면

(ⅰ) [eqn: 0<k < 1over5]일 때,

[eqn: f(k) = - left(k - 1over5 right) - left( k - 4over5 right) = -2k + 1]

(ⅱ) [eqn: 1over5 ≤ k < 4over5]일 때,

[eqn: f(k) = left( k - 1over5 right) - left( k - 4over5 right) = 3over5]

(ⅲ) [eqn: 4over5 ≤ k <1]일 때,

[eqn: f(k) = left(k - 1over5 right) + left( k - 4over5 right) = 2k-1]

따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의해 [eqn: y=f(k)~(0<k<1)]의

그래프는 오른쪽 그림과

같으므로 [eqn: f(k)],

즉 [eqn: `|` S_1 - S_3 `|`+ `|` S_2 - S_4 `|`]의

최솟값은 [eqn: 3over5]이다.

17. 벡터

정답 ⑤

[eqn: rm P it (x,~ y,~z)]라 하면

(가) [eqn: ( vec p - vec a ) ⦁ ( vec p - vec b ) = 0]에서

[eqn: (x-4 ,~ y ,~z ) ⦁ ( x+4 ,~ y ,~ z ) = 0]

[eqn: (x-4)(x+4) + y^2 + z^2 = 0]

[eqn: x^2 + y^2 + z^2 = 16]	…… ㉠

(나) [eqn: ( vec p - vec a ) ⦁(vec p - veca ) = 16]에서

[eqn: (x-4,~y,~z)⦁ (x-4,~y,~z) = 16]

[eqn: (x-4)^2 + y^2 + z^2 = 16]	…… ㉡

㉠, ㉡을 만족시키는 점 [eqn: rm P]의 자취는 중심이 [eqn: (0,~0,~0)]이

고 반지름의 길이가 [eqn: 4]인 구와 중심이 [eqn: (4,~0,~0)]이고 반지

름의 길이가 [eqn: 4]인 구의 공통부분, 즉 원이다.

위의 그림에서 [eqn: rm bar OA = 4]이고, [eqn: rm bar OM = 2]이므로

[eqn: rm bar AM = sqrt {4^2 - 2^2 } = 2 sqrt3]

따라서 점 [eqn: rm P]의 자취는 반지름의 길이가 [eqn: 2 sqrt3]인 원이므로

점 [eqn: rm P]가 나타내는 도형의 길이는

[eqn: 2 pi cdot 2 sqrt 3 = 4 sqrt3 pi]

18. 다항함수의 미분법

정답 ③

[eqn: y = x^2]에서 [eqn: y prime = 2 x]이므로 점 [eqn: rm P it (2a,~ 4a^2 )]에서의 접선

의 방정식은

[eqn: y - 4a^2 = 2 cdot 2a (x-2a)]

[eqn: therefore~ y = 4ax - 4a^2]

이 직선의 [eqn: x]절편은 [eqn: 0 = 4ax - 4a^2]에서 [eqn: a]이므로

[eqn: rm A it (a,~0)]이다.

직선 [eqn: rm PA]에 수직이고 점 [eqn: rm A it (a,~0)]을 지나는 직선의

방정식은

[eqn: y = - 1over 4a (x-a)]

[eqn: therefore~ y = - 1over 4a x + 1over4]

이 직선의 [eqn: y]절편은 [eqn: 1over4]이므로 [eqn: rm B left( 0 ,~ 1over4 right)]이다.

[eqn: rm triangle OAB][eqn: rm = 1over2 times bar OA times bar OB]

[eqn: = r(a) over 2 rm (bar OA + bar AB + bar OB )]이므로

[eqn: 1over2 times a times 1over4 = r(a) over 2 left( a + sqrt{a^2 + 1over 16} + 1over4 right)]

[eqn: r(a)][eqn: = 1over4 a times 1 over {a + 1over4 + sqrt{a^2 + 1over16}}]

[eqn: = a over {4a + 1 + sqrt{16a^2 +1}}]

[eqn: therefore~lim_{a->inf}{r(a)}][eqn: = lim_{a->inf}{a over {4a + 1 + sqrt{16a^2 +1}}}]

[eqn: = lim_{a->inf}{1 over {4 + {1 over{a} + sqrt{16+{1 over a^2 }}}]

[eqn: = 1over {4+ sqrt16 }= 1over8]

19. 수열의 극한

정답 ①

사각형 [eqn: rm A_{it n} B_{it n}C_{it n}D_{it n}]의 한 변의 길이를 [eqn: a]라 하고

사각형 [eqn: rm A _{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 한 변의 길이를 구해

보자.

위의 그림과 같이 [eqn: rm bar{A_{it n}D_{it n}}], [eqn: rm bar {B_{it n}C_{it n}}]의 중점을 각각 [eqn: rm M], [eqn: rm N]이

라 하면 [eqn: rm bar MN]은 두 점 [eqn: rm A_{it n+1}], [eqn: rm C_{it n+1}]을 지난다.

삼각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n}N]에서

[eqn: rm bar {B_{it n}A_{it n+1}} = it a], [eqn: rm bar {B_{it n}N} = it a over 2]이므로

[eqn: rm bar {A_{it n+1}N} =it sqrt{a^2 - left( a over 2 right)^2} = sqrt{ 3over4 a^2} = sqrt3 over 2 a]

[eqn: rm therefore~bar{MA_{it n+1}} = it a- sqrt3 over2 a = left( 1- sqrt3 over 2 right) a]

[eqn: rm therefore~bar {A_{it n+1}C_{it n+1}}]

[eqn: = a- 2 left( 1- sqrt3 over 2 right) a] [eqn: rm (because~ bar{MA_{it n+1}} = bar {C_{it n+1}N})]

[eqn: = (sqrt3 -1)a]

즉, 사각형 [eqn: rm A_{it n+1} B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 대각선

[eqn: rm A_{it n+1}C_{it n+1}]의 길이가 [eqn: (sqrt3 - 1 ) a]이므로

사각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 한 변의 길이는

[eqn: rm bar{A_{it n+1}B_{it n+1}} =it {(sqrt3 - 1) a}over sqrt2]이다.

따라서 사각형 [eqn: rm A_{it n}B_{it n}C_{it n}D_{it n}]과

사각형 [eqn: rm A_{it n+1}B_{it n+1}C_{it n+1}D_{it n+1}]의 닮음비가

[eqn: 1: {sqrt3 - 1} over sqrt2]이므로 넓이의 비는 [eqn: 1: {(sqrt3 - 1)^2}over2]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항 [eqn: S_1 = 1]이고,

공비 [eqn: r = {(sqrt3 -1 )^2}over2 = {4-2sqrt3} over2 = 2 - sqrt3]인

등비수열이므로

[eqn: sum_{n=1}^{inf} S_n = 1over{1-(2-sqrt3 )}]

[eqn: = 1over {sqrt3 -1} = {sqrt3 +1} over 2]

20. 벡터

정답 ①

위의 그림과 같이 평면 [eqn: beta]와 [eqn: z]축의 교점을 [eqn: rm D]라 하자.

또, 점 [eqn: rm C]에서 [eqn: rm bar AB]에 내린 수선의 발을 [eqn: rm H]라 하면

삼수선의 정리에 의해 [eqn: rm bar OH bot bar AB]이다.

삼각형 [eqn: rm OAB]에서

[eqn: rm bar OB times bar OA = bar OH times bar AB]

이므로

[eqn: rm 2 times 1 = bar OH times sqrt5]

[eqn: rm therefore``bar OH = 2 over sqrt5]

삼각형 [eqn: rmOHC]에서

[eqn: rm bar CH = sqrt{9 + 4over5} = 7over sqrt5]

이고, 각의 이등분선의 성질에 의해

[eqn: rm bar CH `:` bar OH = bar CD `:` bar OD]이므로

[eqn: rm 7 over sqrt5 `:` 2 over sqrt5 = bar CD `:` bar OD]

이때, [eqn: rm bar CD = 3 - bar OD]이므로

[eqn: rm 7 `:` 2 = (3- bar OD ) `:` bar OD]

[eqn: rm 7 bar OD = 6- 2 bar OD]

[eqn: rm therefore``barOD = 2over3]

따라서 평면 [eqn: beta]가 [eqn: z]축과 만나는 점의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2 over 3]이다.

21. 확률분포와 통계적 추정

정답 ④

자영업자의 하루 매출액을 [eqn: X]라 하면 확률변수 [eqn: X]는

정규분포 [eqn: rm N(30,~4^2 )]을 따른다. (단, 단위는 만 원)

따라서 하루 매출액이 [eqn: 31]만 원 이상일 확률은

[eqn: rm P(it X≥31)][eqn: rm = P left (it Z≥ 31-30over4 right)]

[eqn: = \P ( itZ ≥ 0.25)]

[eqn: rm = 0.5- P(0≤it Z≤0.25)]

[eqn: = 0.5-0.10 = 0.40]

[eqn: 600]일을 영업했을 때 기부한 날 수를 [eqn: Y]라 하면 확률변수

[eqn: Y]는 이항분포 [eqn: rm B(600,~ 0.4)]를 따르고, [eqn: 600]은 충분히

크므로 정규분포로 근사시킬 수 있다.

즉, [eqn: rm E(itY) = 600 times 0.4 = 240],

[eqn: rm V(it Y) = 600 times 0.4 times 0.6 = 12^2]에서 확률변수 [eqn: Y]는

정규분포 [eqn: rm N(240,~12^2 )]을 따른다.

기부할 총 금액이 [eqn: 222000]원 이상이려면 기부 횟수가

[eqn: 222]회 이상이어야 하므로 구하는 확률은

[eqn: rm P(it Y≥222)][eqn: rm = P left (it Z≥ 222-240over12 right)]

[eqn: rm = P(it Z≥ -1.5)]

[eqn: rm =0.5+P(0≤it Z≤1.5 )]

[eqn: = 0.5+0.43]

[eqn: = 0.93]

22. 공간도형과 공간좌표

정답 ④

㉠ 매초 [eqn: 1]의 일정한 속력으로 움직이므로 점 [eqn: rm P]는 [eqn: 4m]초

후에, 점 [eqn: rm Q]는 [eqn: (2+ sqrt2 )n]초 후에 원점에 도달한다.

(단, [eqn: m,~n]은 자연수)

[eqn: 4m = (2+sqrt2 ) n]에서

[eqn: m = {2+sqrt2}over4 n]
여기서 좌변 [eqn: m]은 자연수이고, 우변 [eqn: {2+sqrt2 }over 4 n]은

무리수이므로 위 식을 만족하는 자연수 [eqn: m], [eqn: n]은 존재하

지 않는다.

따라서 두 점 [eqn: rm P,~Q]가 출발 후 원점에서 다시 만나는

경우는 없다. (참)

㉡ 출발 후 [eqn: 4]초가 되는 순간 점 [eqn: rm P]는 원점에 있고, 점 [eqn: rm Q]는

[eqn: rm bar OA] 위에 있으므로 원점에서 [eqn: 4-(2+sqrt2 )]만큼 떨어

진 곳에 위치한다. 따라서 출발 후 [eqn: 4]초가 되는 순간 두

점 [eqn: rm P,~Q] 사이의 거리는 [eqn: 2-sqrt2]이다. (거짓)

㉢ 출발 후 [eqn: 2]초가 되는 순간 점 [eqn: rm P]는 점 [eqn: rm B (1,~1,~0)]에 위

치하고 점 [eqn: rm Q]는 점 [eqn: rm A]에서 점 [eqn: rm D] 방향으로 [eqn: 1]만큼 떨어

진 곳에 위치한다.

오른쪽 그림에서

[eqn: rm angle OAD = 45 °]이므로

[eqn: rm bar HA = bar QH = 1over sqrt2]

따라서 점 [eqn: rm Q]의 좌표는

[eqn: left( 0,~1- 1over sqrt2 ,~ 1over sqrt2 right)]이므로

[eqn: rm bar PQ][eqn: = sqrt{1^2 + left ( 1over sqrt2 right) ^2 + left( 1over sqrt 2 right) ^2 }]

[eqn: = sqrt{ 1+ 1over2 + 1over2}]

[eqn: = sqrt2] (참)

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.

23. 순열과 조합

정답 ③

두 자연수 [eqn: k], [eqn: n]의 최대공약수가 [eqn: 5!]이므로 [eqn: k=5! times a],

[eqn: n = 5! times b]([eqn: a,~b]는 서로소인 자연수)로 놓으면 최소공배

수가 [eqn: 13!]이므로 [eqn: 13! = 5! times ab]

[eqn: therefore``ab][eqn: = 13 times 12times 11times 10times9times8times7times6]

[eqn: = 2^7 times 3^4 times 5times7times11times13]

[eqn: a,~b]는 서로소이고 [eqn: k≤n]에서 [eqn: a≤b]이므로 [eqn: 2^7], [eqn: 3^4], [eqn: 5],

[eqn: 7], [eqn: 11], [eqn: 13]을 [eqn: 2]개 조로 분할하여 각각의 곱 중 작은 것을

[eqn: a]로, 큰 것을 [eqn: b]로 하면 된다. [eqn: 0]개와 [eqn: 6]개, [eqn: 1]개와 [eqn: 5]개, [eqn: 2]개

와 [eqn: 4]개, [eqn: 3]개와 [eqn: 3]개로 나눌 수 있으므로 순서쌍 [eqn: (a,~b)]의

개수는

[eqn: rm ( {}_6 C_0 times {}_6 C_6 ) + rm ( {}_6 C_1 times {}_5 C_5 ) + rm ( {}_6 C_2 times {}_4 C_4 ) +]                                              [eqn: rm left( {}_6 C_3 times {}_3 C_3 times 1 over2! right)]

[eqn: = 1+6+15+10 = 32]

따라서 순서쌍 [eqn: (k,~n)]의 개수는 [eqn: 32](개)이다.

24. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: left( 1over3 right) ^a = 2a]이므로 [eqn: a]는 곡선 [eqn: y = left( 1over3 right)^x]과 직선 [eqn: y=2x]의

교점의 [eqn: x]좌표이다.

마찬가지로 [eqn: left( 1over3 right)^2b = b]에서 [eqn: b]는 곡선 [eqn: y = left( 1over9 right) ^x]과 직선

[eqn: y = x]의 교점의 [eqn: x]좌표이며, [eqn: left( 1over2 right)^2c = c]에서 [eqn: c]는 곡선

[eqn: y = left( 1over4 right)^x]과 직선 [eqn: y = x]의 교점의 [eqn: x]좌표이다. 그래프를

그려 보면 다음과 같다.

[eqn: therefore~a<b<c]

25. 행렬

정답 48

(다)에서

[eqn: A^2 - B^2 = AB-BA]

⇔ [eqn: A^2 - AB + BA - B^2 = O]

⇔ [eqn: (A+B)(A-B) = O]

⇔ [eqn: pmatrix{``2``&``6``#``x``&``12``}pmatrix{``6``&``y``#``-2``&``-4``} = pmatrix{``0``&``0``#``0``&``0``}]

⇔ [eqn: pmatrix { ``0``& ``2y-24`` #``6x-24`` & ``xy-48``} = pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` & ``0``}]

[eqn: (4,~4)]성분을 비교하면 [eqn: xy-48=0]이므로 [eqn: xy=48]

❰다른 풀이❱

[eqn: (A+B)(A-B)=O]에서 영행렬이 아닌 두 행렬의

곱이 영행렬이므로 [eqn: A+B], [eqn: A-B]는 영인자이다.

행렬 [eqn: pmatrix { ``a``& ``b``#``c`` & ``d``}]가 영인자이면 [eqn: ad-bc=0]이므로

[eqn: pmatrix { ``2``&``6`` #``x`` &``12`` }]에서 [eqn: 24 - 6x = 0]

[eqn: pmatrix { ``6``&``y`` #``-2`` &``-4`` }]에서 [eqn: -24 + 2y = 0]

[eqn: therefore~x=4,~y=12]

[eqn: therefore~xy=48]

26. 함수의 극한과 연속성

정답 25

(나)에서 [eqn: f(1-x) = f(1+x)]이므로

[eqn: 1+x = t]라 하면 [eqn: f(2-t) = f(t)]

이때, (다)에서 [eqn: f(x) = f(-x)]이므로

[eqn: f(2-t) = f(-t)]

따라서 [eqn: f(x)]는 주기가 [eqn: 2]인 함수이다.

또, (가)에서 [eqn: -1≤ x ≤ 1]일 때, [eqn: f(x) = 3x^2]이므로

[eqn: y= f(x)]의 그래프를 그려 보면 다음 그림과 같다.

[eqn: 0<x ≤ 1]에서 함수 [eqn: y = left[ `f(x) ` right]]를 구하면

[eqn: y = left[ `f(x) ` right]][eqn: = cases{~0~~~0<f(x) < 1#~1~~~1≤f(x) <2#~2~~~2≤f(x) <3#~3~~~f(x)=3}]

즉, [eqn: y = left[ `f(x) ` right]][eqn: = cases{~0~~~0<x < a#~1~~~a≤x <b#~2~~~b≤x <1#~3~~~x=1}]

이고, [eqn: y = f(x)]의 그래프는 직선 [eqn: x=1]에 대하여 대칭이

므로 [eqn: 0 < x < 2]에서 [eqn: y = [` f(x) `]]의 그래프를 그려 보면

다음 그림과 같다.

즉, [eqn: 0<x<2]에서 불연속점은 [eqn: 5]개이다.

따라서[eqn: {{2< x < 4 }atop{ 4< x<6 }}atop{{ 6< x < 8}atop{ ````8 < x <10}} right}]에서도 각각 [eqn: 5]개씩의 불연속점이

존재하고, [eqn: x=2, ``4, ``6, ``8]에서 연속이므로 불연속점의 개

수는 모두 [eqn: 5 times 5 = 25](개)이다.

27. 다항함수의 적분법

정답 46

[eqn: P(x)]를 [eqn: (x-1)^3], [eqn: (x+1)^3]으로 나눈 몫을 각각 [eqn: Q_1 (x)],

[eqn: Q_2 (x)]라고 하면 (단, [eqn: Q_1 (x) ,~ Q_2 (x)]는 [eqn: 2]차식)

[eqn: P(x) = (x-1)^3 Q_1 (x) + 8]	…… ㉠

[eqn: P(x) = (x+1) ^3 Q_2 (x) - 8]	…… ㉡

㉠의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: P` prime (x) = 3(x-1)^2 Q_1 (x) + (x-1)^3 Q_1 prime (x)]

[eqn: therefore~P ` prime (1) = 0]

한 번 더 미분하면

[eqn: P ` prime prime (x)][eqn: = 6 (x-1) Q_1 (x) + 3 (x-1)^2 Q_1 prime (x)]

[eqn: + 3 (x-1)^2 Q_1 prime (x) + (x-1) ^3 Q_1 prime prime (x)]

[eqn: therefore~P ` prime prime (1) =0]

㉡의 양변을 [eqn: x]에 대하여 미분하면

[eqn: P ` prime (x) = 3(x+1)^2 Q_2 (x) + (x+1)^3 Q_2 prime (x)]

[eqn: therefore~P` prime (-1) = 0]

한 번 더 미분하면

[eqn: P ` prime prime (x)][eqn: = 6(x+1)Q_2 (x) + 3 (x+1)^2 Q_2 prime (x)]

[eqn: + 3 (x+1)^2 Q_2 prime (x) + (x+1) ^3 Q_2 prime prime (x)]

[eqn: therefore~P` prime prime (-1) = 0]

따라서 [eqn: P` prime (-1) = P ` prime (1) = P` prime prime (-1) = P` prime prime (1) = 0]이

므로 [eqn: P ` prime (x) = a(x+1)^2 (x-1) ^2][eqn: (a != 0)]꼴이다.

[eqn: P(x)][eqn: = a int{(x+1)^2 (x-1)^2 dx}]

[eqn: = a int{(x^2 -1)^2 dx}]

[eqn: = a int{(x^4 - 2x^2 + 1) dx}]

[eqn: = a left( 1over5 x^5 - 2over3 x^3 + x right) + C]

(단, [eqn: C]는 적분상수)	…… ㉢

㉠에서 [eqn: P(1) = 8]이므로 ㉢에서

[eqn: P(1) = left( 1over5 - 2over3 + 1 right) a + C = 8]

[eqn: 8 over 15 a + C = 8]	…… ㉣

㉡에서 [eqn: P(-1) = -8]이므로 ㉢에서

[eqn: P(-1) = left( - 1over5 + 2over3 - 1 right) a + C= -8]

[eqn: - 8over 15 a+ C = -8]	…… ㉤

㉣, ㉤을 연립하여 풀면 [eqn: a=15], [eqn: C=0]

㉢에 대입하면

[eqn: P(x) = 3x^5 - 10x^3 + 15x]

[eqn: therefore~P(2) = 46]

28. 수열

정답 371

각 반원의 수를 군으로 하는 군수열을 생각하면

[eqn: (1)], [eqn: (2,~3,~4)], [eqn: (5,~6,~7 ,~ 8,~9)], …

이때, [eqn: n]군의 첫째항을 [eqn: a_n]이라 하면 수열 [eqn: left{ a_n right}]은

[eqn: 1,~2,~5,~10,~…]이므로

[eqn: a_n][eqn: =1+sum_{k=1}^{n-1}(2k-1)]

[eqn: = 1+ 2 cdot n(n-1)over2 - (n-1)]

[eqn: = n^2 - 2n + 2]

각 군의 항의 개수가 [eqn: 1,~3,~5,~…]이므로 [eqn: n]군의 항의

개수는 [eqn: 2n-1]이며, 각 군의 수들은 공차가 [eqn: 1]인

등차수열을 이룬다.

구하는 수는 [eqn: 20]군에 있고 [eqn: 20]군에는 총 [eqn: 39]개의 수가 있다.

직선 [eqn: y=x]가 [eqn: x]축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가

[eqn: pi over 4]이므로 [eqn: 39 over 4 = 9.75]에서 어두운 부분에 들어갈 수는

[eqn: 20]군의 [eqn: 10]번째 수이다.

[eqn: 20]군의 첫째항은

[eqn: 20^2 - 2 cdot 20 + 2][eqn: = 400-40+2 = 362]

이므로 [eqn: 20]군의 [eqn: 10]번째 수는 [eqn: 362]보다 [eqn: 9]가 큰 [eqn: 371]이다.

29. 확률

정답 323

(규칙1)로 [eqn: a]번, (규칙2)로 [eqn: b]번 이동하였다고 하면

[eqn: a+b=5]

(규칙1)로 [eqn: a]번 이동하면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: a]만큼, [eqn: y]축의

방향으로 [eqn: 2a]만큼 이동하고,

(규칙2)로 [eqn: b]번 이동하면 [eqn: x]축의 방향으로 [eqn: 2b]만큼, [eqn: y]축의

방향으로 [eqn: b]만큼 이동한다.

따라서 원점 [eqn: rm O]에서 출발하여 (규칙1)로 [eqn: a]번, (규칙2)로

[eqn: b]번 이동하면 점 [eqn: (a+2b,~2a+b)]에 도달한다.

따라서 [eqn: a+2b = 8], [eqn: 2a+b = 7]에서

[eqn: a=2], [eqn: b=3]

(규칙1) [eqn: 2]번과 (규칙2) [eqn: 3]번을 배열하는 방법의 수는

[eqn: 5! over2!3!]

(규칙1), (규칙2)를 따라 이동할 확률은 각각

[eqn: 1over3], [eqn: 2over3]이므로 구하는 확률은

[eqn: 5! over 2!3! left( 1over 3 right) ^2 left( 2over3 right) ^3 = 80over243]

[eqn: therefore~p=243,~q=80]

[eqn: therefore~p+q =323]

30. 벡터

정답 45

[eqn: (x-3)^2 + (y-2)^2 + (z-3)^2 = 27]	…… ㉠

[eqn: xy]평면으로 잘린 단면의 방정식은 ㉠에 [eqn: z=0]을 대입하면

[eqn: (x-3)^2 + (y-2)^2 + 9 = 27]

[eqn: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 18]

원 [eqn: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 18]을 [eqn: yz]평면으로 자르는 것은

직선 [eqn: x=0]으로 자르는 것과 같으므로 다음과 같은

활꼴모양의 단면이 된다.

즉, [eqn: xy]평면 위의 단면은 위의 그림과 같고, [eqn: yz]평면 위의

단면도 위의 그림과 같은 모양이므로 구하는 넓이는

활꼴의 넓이의 [eqn: 2]배이다.

[eqn: (x-3)^2 + (y-2)^2 = 18]에 [eqn: x=0]을 대입하면

[eqn: (y-2)^2 = 9]

[eqn: therefore~y=-1] 또는 [eqn: y=5]

이때, 삼각형 [eqn: rm ABC]의 세 변의 길이의 비가

[eqn: 3sqrt2 `:` 3sqrt2 `:` 6 = 1 `:` 1 `:` sqrt2]이므로

[eqn: rm angle ACB = 90°]

따라서 활꼴의 넓이는 삼각형과 부채꼴의 넓이의 합이므로

활꼴의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S][eqn: = 1over2 (3 sqrt2 ) ^2 + 1over2 (3 sqrt2 )^2 cdot 3over2 pi]
[eqn: = 9 + 27over2 pi]

따라서 구하는 넓이는

[eqn: 2S = 2 left( 9 + 27over2 pi right) = 27 pi + 18]

이므로 [eqn: 27pi + 18 = a pi +b]에서

[eqn: a= 27], [eqn: b = 18]

[eqn: therefore~a+b = 45]