	2010학년도 공군사관학교 1차 선발시험 문제지
제 3 교시					수리 영역
인 문																1
			성명				수험번호
◦먼저 문제지에 성명과 수험 번호를 기입하시오. ◦답안지에 성명과 수험 번호를 정확하게 표기하시오. ◦주관식 답의 숫자는 자리에 맞추어 표기하며 [eqn: 0``]이 포함된 경우에는 [eqn: 0``]을 OMR 답안지에 반드시 표기하시오. (각 물음의 끝에 표시된 배점을 참조하시오.)

인 문		수 리 영 역

			수 리 영 역		인 문

[eqn: left( root {3} of {-16} `+` root {3} of {250} `right) ^{`3} ``]의 값은? [2점]

① [eqn: 48`]	② [eqn: 54`]　	③ [eqn: 72`]

④ [eqn: 96`]　	⑤ [eqn: 108`]

[eqn: \A``]그룹에 남자 [eqn: 2`]명과 여자 [eqn: 2`]명, [eqn: \B``]그룹에도 남자 [eqn: 2`]명과 여자 [eqn: 2`]명이 있다. [eqn: \A``]그룹과 [eqn: \B``]그룹에서 각각 [eqn: 2]명씩 뽑아 동시에 상대 그룹으로 이동시킬 때, [eqn: \A``]그룹에 남자 [eqn: 1]명과 여자 [eqn: 3]명이 있을 확률은? [2점]

① [eqn: 1 over 10``]	② [eqn: 1 over 9]	③ [eqn: 2 over 9]

④ [eqn: 1 over3]	⑤ [eqn: 2 over 5`]

무한등비수열 [eqn: LEFT {` left({r^{`2}`-`r}over{6}`right)^{n}` RIGHT }``]이 수렴하도록 하는 정수 [eqn: r``]의 개수는? [2점]

① [eqn: 4``]	② [eqn: 5`]	③ [eqn: 6``]

④ [eqn: 7``]	⑤ [eqn: 8``]

[eqn: 2`]이상인 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 두 수열 [eqn: LEFT { `S_n` RIGHT }`], [eqn: LEFT { `P_n` RIGHT }`]을

[eqn: S_n = 1`+2`+3`+``cdots``+n`]

[eqn: P_n = { {S_2 } over { S_2 -1}} times { {S_3 } over { S_3 -1}} times { {S_4 } over { S_4 -1}} times `` cdots`` times{ {S_n } over { S_n -1} `]

이라 할 때, [eqn: lim _{ n->inf} { } `P_n`]의 값은? [3점]

①  [eqn: 2`]	② [eqn: 5 over2`]	③ [eqn: 3`]

④ [eqn: { 7} over {2 }`]	⑤  [eqn: 4`]

다음은 [eqn: r`]가 자연수일 때 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 등식

[eqn: sum _{ i=r} ^{n }`` `_i `{rmC}`_r = `_n+1 `{rmC}`_r+1`]

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

[증명]

(1) [eqn: n=r`]일 때

(좌변)[eqn: =`_r {rmC}`_r`=`]

(가)

, (우변)[eqn: =`_r+1 {rmC}`_r+1 `=`]

(가)

이므로 주어진 등식이 성립한다.

(2) [eqn: n=k`] ([eqn: k >=r`])일 때 주어진 등식이 성립한다고 가정하면

[eqn: sum _{ i=r} ^{k }`` `_i `{rmC}`_r = `_k+1 `{rmC}`_r+1`]이다.

[eqn: n=k+1`]일 때 성립함을 보이자.

[eqn: sum _{ i=r} ^{k+1 }`` `_i `{rmC}`_r `] [eqn: =`][eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`+`]

(나)

[eqn: =`]

(다)

[eqn: +`{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`] [eqn: = {(k+2)!} over {(k+1-r)!`(r+1)!}`]

[eqn: =``_k+2 `{rmC}`_r+1`]

따라서 [eqn: n=k+1`]일 때 주어진 등식이 성립한다.

(1), (2)에 의하여 [eqn: n>=r`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 주어진 등식이 성립한다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
②	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
③	[eqn: 1`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k-r)!``(r+1)!}`]
④	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r+1`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]
⑤	[eqn: r`]	[eqn: `_k+1 `{rmC}`_r`]	[eqn: `{(k+1)!} over {(k+1-r)!``r`!}`]

수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: lim _{ n->inf}` { `a_n}``=``1over2`]이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf}``a_n``]은 발산한다.

ㄴ. [eqn: a_n = sum _{ k=1} ^{n } ``1 over { root k+1 + root k} `]이면 수열 [eqn: LEFT { `a _{n} ` RIGHT } `]은 수렴한다.

ㄷ. [eqn: left|{``1``+``(``a_1``+``a_2``+``cdots``+``a_n_{}`)^{}^{}}`}right|```<``1over n`] 이면 [eqn: sum _{n=1} ^{inf}``a_n``]은 수렴한다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄴ, ㄷ

두 수열 [eqn: LEFT { `a_{`n}` RIGHT } `], [eqn: LEFT { `b_{`n}` RIGHT } `]을 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여

[eqn: a_n =`log`_{`2}`(`n`!`)]

[eqn: b_n ```=`a_n+1 -`a_n`]

으로 정의할 때, 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? [3점]

ㄱ. [eqn: b_{`15}`=`4``]

ㄴ. [eqn: 9``<`sum _{ k=1} ^{5 }``b_{`k}`<`10`]

ㄷ. [eqn: n``]이 짝수일 때 [eqn: b_{`n}``]의 값은 무리수이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

어느 보안 전문회사에서 바이러스 감염 여부를 진단하는 프로그램을 개발하였다. 그 진단 프로그램은 바이러스에 감염된 컴퓨터를 감염되었다고 진단할 확률이 [eqn: 94``]%이고, 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터를 감염되지 않았다고 진단할 확률이 [eqn: 98``]%이다. 실제로 바이러스에 감염된 컴퓨터 [eqn: 200`]대와 바이러스에 감염되지 않은 컴퓨터 [eqn: 300`]대에 대해 이 진단 프로그램으로 바이러스 감염 여부를 검사하려고 한다. 이 [eqn: 500`]대의 컴퓨터 중 임의로 한 대를 택하여 이 진단 프로그램으로 감염 여부를 검사하였더니 바이러스에 감염되었다고 진단하였을 때, 이 컴퓨터가 실제로 감염된 컴퓨터일 확률은? [3점]

① [eqn: {94 over 97}`]	② [eqn: {92 over 97}`]	③ [eqn: {90 over 97}`]

④ [eqn: {47 over 49}`]	⑤ [eqn: {47 over 50}`]

다음은 어느 보석 상점에서 판매하는 다이아몬드 가격표의 일부이다.

무게(캐럿)	가격(만원)
[eqn: 0.3]	[eqn: 70]
[eqn: 0.6]	[eqn: 210]

이 상점에서 판매하는 다이아몬드의 무게가 [eqn: x]캐럿일 때, 그 가격 [eqn: f(x)]만원은

[eqn: f(x) = a (b^x -1 )] (단, [eqn: a>0`], [eqn: b>1`]인 상수)

로 주어진다고 한다. 이때, 이 상점에서 판매하는 무게가 [eqn: 1.5`]캐럿인 다이아몬드의 가격은? [3점]

① [eqn: 1875`]만원	② [eqn: 1965`]만원	③ [eqn: 1980`]만원

④ [eqn: 2170`]만원	⑤ [eqn: 2250`]만원

[eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초 판매 가격이 [eqn: 200`]만원인 노트북컴퓨터의 판매 가격은 매월 초 직전 달보다 [eqn: 1`]%씩 계속 인하된다고 하자. 어느 은행에 [eqn: 2009`]년 [eqn: 8`]월 초부터 [eqn: 2010`]년 [eqn: 7`]월 초까지 매월 초마다 일정한 금액을 적립하여, [eqn: 12`]개월 후인 [eqn: 2010`]년 [eqn: 8`]월 초에 원금과 이자를 모두 찾아 바로 노트북컴퓨터를 구입하기로 하였다. 이 은행은 월이율이 [eqn: 1`]%이고 매월마다 복리로 계산한다고 할 때, 매월 초에 적립해야 할 최소금액은? (단, [eqn: 0.99^12 =0.89`], [eqn: 1.01^12 =1.13`]으로 계산하고 천원 단위에서 반올림하며, 세금은 고려하지 않는다.) [3점]

① [eqn: 11`]만원	② [eqn: 12`]만원	③ [eqn: 13`]만원

④ [eqn: 14`]만원	⑤ [eqn: 15`]만원

임의의 실수 [eqn: x``]에 대하여

[eqn: x`=`n`+`alpha`] ([eqn: n`]은 정수, [eqn: 0`<=`alpha`<`1`])

일 때, [eqn: n`]을 [eqn: x`]의 정수부분, [eqn: alpha`]를 [eqn: x`]의 소수부분이라 하자.

[eqn: 10`<`a`<`b`<`50`]인 두 자연수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: log_{``2}``a`]의 소수부분과 [eqn: log_{``2}``b`]의 소수부분이 같을 때 순서쌍 [eqn: (`a`,``b`)`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 15`]	② [eqn: 16``]	③ [eqn: 17`]

④ [eqn: 18`]	⑤ [eqn: 19`]

파장이 [eqn: lambda `]이고 강도가 [eqn: I_{`0}``]인 광선이 어떤 용액을 통과하면 이 용액에 광선이 흡수되어 입사광의 강도가 감소된다. 광선이 농도가 [eqn: c`]인 용액을 통과한 거리가 [eqn: d`]일 때의 광선의 강도를 [eqn: I```]라 하면

[eqn: I```]와 입사광의 강도 [eqn: I_{`0}``]사이에는

[eqn: I_{`}``=`I_{`0}`times`10^{- a`c`d}``],  [eqn: a`=`{4pi`k}over{ lambda}``] (단, [eqn: k`]는 소멸계수)

인 관계가 성립하고, 이 용액의 흡광도 [eqn: A`]를

[eqn: A`=`log``{I_{0}}`-`log``{I}```]

로 정의한다.

파장이 [eqn: lambda _{`1}`]인 광선이 농도가 [eqn: 0`]이 아닌 어떤 용액을 통과한 거리가 [eqn: d_{`1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{1}`], 파장이 [eqn: 2`lambda _{`1}``]인 광선이 동일한 농도의 이 용액을 통과한 거리가 [eqn: 4`d_{1}`]일 때의 흡광도를 [eqn: A_{2}``]라 하자.

이때, 소멸계수 [eqn: k`]가 일정하다고 할 때 [eqn: {A_{2}}over{A_{1}}`]의 값은? (단, [eqn: lambda _{`1} `d_{`1} ` != `0`]이다.) [3점]

①  [eqn: 8``]	②  [eqn: 2``]	③ [eqn: 1``]

④ [eqn: {1}over{2}``]	⑤ [eqn: {1}over{8}``]

세 행렬 [eqn: A`=` pmatrix {`` a``&`````````b` `#``c`` &``-a`` }``], [eqn: O````=` pmatrix { ``0``&``0`` #``0`` &``0 ``}``], [eqn: E````=`` pmatrix { ``1``&``0`` #``0`` &``1`` }`]에 대하여 옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 실수이다.) [3점]

ㄱ. [eqn: a^{2}`+`bc``=`1`]이면 [eqn: A ^{2009} ``=`A`]이다.

ㄴ. [eqn: A^{3}`-`2`A``=`O``]이면 [eqn: A`]는 역행렬을 갖는다.

ㄷ. [eqn: A^{3}`-`4`A^{2}`+`4`E```=`O``]를 만족시키는 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 존재한다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

컴퓨터의 화면 보호기에 [eqn: \A`], [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`] 네 개의 사진이 매초마다 다른 사진으로 바뀌면서 임의로 하나씩 나타나도록 하였다. 한 사진에서 다른 사진으로 바뀔 확률은 모두 같다고 하고, 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: \A``]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 [eqn: \B``]사진이 나올 확률을 [eqn: p_{n}``]이라 하자.

다음은 [eqn: lim _{ n->inf} { }``p_{n}`=`{1}over{4}``]임을 증명하는 과정이다.

[증명]

[eqn: \A`]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 [eqn: \B`], [eqn: \C`], [eqn: \D`]사진이 나올 확률이 같으므로

[eqn: \A`]사진이 나온 다음 [eqn: n``]초가 지난 후에 다시 [eqn: \A``]사진이 나올 확률은

(가)

이다.

따라서 [eqn: \A``]사진이 나온 다음 [eqn: n`+`1`]초가 지난 후에 [eqn: \B``]사진이 나올 확률 [eqn: p_{n+1}``]은

[eqn: p_{n+1}`=`][eqn: {1}over{3}` LEFT (_{}^{} 2`p_{n}`+`]

(가)

[eqn: RIGHT )``]

[eqn: =`]

(나)

[eqn: `+`{1}over{3}``]

따라서 수열 [eqn: LEFT { ``p_{n}`-`{1}over{4}` RIGHT }``]은 첫째항이

(다)

이고 공비가 [eqn: -{1}over{3}``]인 등비수열을 이룬다.

∴ [eqn: lim _{ n->inf} { }``p_{n}`=`{1}over{4}``]

위 증명에서 (가), (나), (다)에 들어갈 식으로 알맞은 것은? [4점]

	(가)	(나)	(다)
①	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}`]
②	[eqn: 1`-`{3}over{4}`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}``]
③	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: {1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{6}`]
④	[eqn: 1`-`{3}over{4}`p_{n}``]	[eqn: {1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{12}`]
⑤	[eqn: 1`-`3`p_{n}``]	[eqn: -{1}over{3}`p_{n}`]	[eqn: {1}over{12}``]

[eqn: x`], [eqn: y`]에 대한 연립방정식 [eqn: cases{`a`x`+`b`y`=`p_{`}^{`}#`c`x`+`d`y`=`q_{`}^{`}}```]에서 행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]를 [eqn: A= pmatrix{``{a}``&``{b}``#``{c}``&``{d}``}`], [eqn: B= pmatrix{``{a}``&``{p}``#``{c}``&``{q}``}`]라 하자.

옳은 것만을 <보기>에서 있는 대로 고른 것은? (단, [eqn: a,``b,``c,``d,``p,``q`]는 모두 [eqn: 0`]이 아닌 상수) [3점]

ㄱ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재하면 연립방정식은 오직 한 쌍의 해를 갖는다.

ㄴ. [eqn: A`], [eqn: B`]의 역행렬이 모두 존재하지 않으면 연립방정식의 해는 무수히 많다.

ㄷ. [eqn: A`]의 역행렬이 존재할 때, 실수 [eqn: k_1`], [eqn: k_2`]에 대하여

[eqn: k_1 pmatrix{``{a}``#``{c}``}` + k_2 pmatrix{``{b}``#``{d}``}` = pmatrix{``{0}``#``{0}``}`]이면 [eqn: k_1 =`k_2 =0`]이다.

<보  기>

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: r`]가 양의 상수일 때 [eqn: 0 `<=` x `<=` (1+sqrt3 )`r`]에서 정의된 연속확률변수 [eqn: X`]의 확률밀도함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같이 중심의 좌표가 [eqn: (0,``0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: 2r`]인 원의 일부, 중심의 좌표가 [eqn: (sqrt3 r ,``0)`]이고 반지름의 길이가 [eqn: r`]인 원의 일부일 때, 확률 [eqn: {rm P}(`0 `<=` X ``<=`` r `)`]의 값은? [4점]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: x]

[eqn: sqrt3 r]

[eqn: (1+sqrt3 )r]

[eqn: 2r]

[eqn: y=f(x)]

① [eqn: { pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]	② [eqn: { 2 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]	③ [eqn: { 3 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]

④ [eqn: { 4 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]	⑤ [eqn: { 5 pi + 6sqrt3 } over { 11pi + 6sqrt3}]

등식 [eqn: A^2 ``=A+3E``]를 만족시키고 [eqn: A ne k E`]인 이차정사각행렬 [eqn: A]에 대하여

[eqn: A^n `= a`_n` A `+` b`_n` E]  ([eqn: n=1,``2,``3,``cdots`])

가 성립하도록 하는 두 수열 [eqn: left{ `a`_n` right}], [eqn: left{ `b`_n` right}]이 있다.

이때, 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 [eqn: {pmatrix{``a` _{n+1} ``#``b` _{n+1} ``}} `=B`` {pmatrix{``a` _{n} ``#``b` _{n} ``}} `]을 만족시키는 행렬 [eqn: B`]에 대하여 [eqn: B``^{2} =xB+yE] 가 성립한다. 두 상수 [eqn: x], [eqn: y]의 합 [eqn: x+y]의 값은? (단, [eqn: E`]는 단위행렬이고 [eqn: k`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]

④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

실수 전체의 집합의 두 부분집합 [eqn: A`], [eqn: B``]를 각각

[eqn: A``=` LEFT {`` x``|``log_{``4}``{(x`-`1)}``<=`log_{``16}``(x`+`5)` RIGHT }``]

[eqn: B``=`` LEFT { ``x``|``{8}^{`x}`-`11``․``4^{x}`+`38``․``2^{x}`-`40`=`0` RIGHT }``]

이라 할 때, 집합 [eqn: A`cap`B``]의 모든 원소들의 합은? [4점]

① [eqn: log_{``2}``{10}``]	② [eqn: log_{``2}``{20}`]	③ [eqn: log_{``2}``{40}``]

④ [eqn: log_{``2}``{60}``]	⑤ [eqn: log_{``2}``{80}``]

[그림[eqn: 1]]과 같이 한 변의 길이가 [eqn: 1]인 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_1 B_1}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_1 B_1 C_1 D_1]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_2], [eqn: rm B_2], [eqn: rm C_2], [eqn: rm D_2]라 하자. 또 [그림[eqn: 2]]와 같이 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: rm bar {A_2 B_2}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: rm A_2 B_2 C_2 D_2]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: rm A_3], [eqn: rm B_3], [eqn: rm C_3], [eqn: rm D_3]이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 네 꼭짓점에서 반지름의 길이가 [eqn: bar{{rm A}_n {rm B}_n}]인 사분원을 그리고, 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 내부에서 각 사분원끼리 만나는 점을 각각 [eqn: {rm A}_n+1], [eqn: {rm B}_n+1], [eqn: {rm C}_n+1], [eqn: {rm D}_n+1]이라 하자. 모든 자연수 [eqn: n]에 대하여 정사각형 [eqn: {rm A}_n {rm B}_n {rm C}_n {rm D}_n]의 넓이를 [eqn: S_n]이라 할 때, [eqn: sum from n=1 to inf S_n]의 값은? [4점]

[그림[eqn: 1`]]                   [그림[eqn: 2`]]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: cdots]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: rm A_1]

[eqn: rm B_1]

[eqn: rm C_1]

[eqn: rm D_1]

[eqn: rm A_2]

[eqn: rm B_2]

[eqn: rm C_2]

[eqn: rm D_2]

[eqn: rm A_3]

[eqn: rm B_3]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm D_3]

[eqn: 1]

[eqn: rm A_3]

[eqn: rm B_3]

[eqn: rm C_3]

[eqn: rm D_3]

① [eqn: {1+sqrt3 } over 2]	② [eqn: {2+sqrt3 } over 2]	③ [eqn: {2+sqrt3} over 3]

④ [eqn: {2+2sqrt3} over 3]	⑤ [eqn: {1+3sqrt3} over 3]

방정식 [eqn: 2^{{x}over{2}}`=`log_{`}_{root{2}}``{left|`x` right|`}``]의 서로 다른 실근의 개수는? [4점]

① [eqn: 1``]	② [eqn: 2``]	③ [eqn: 3``]

④ [eqn: 4``]	⑤ [eqn: 0`]

[표준정규분포표]
[eqn: z]	[eqn: {\P}`(0≦Z``≦z)]
[eqn: 0.25`]	[eqn: 0.10``]
[eqn: 0.50]	[eqn: 0.19``]
[eqn: 1.00`]	[eqn: 0.34``]
[eqn: 1.50`]	[eqn: 0.43``]

어느 자영업자의 하루 매출액은 평균이 [eqn: 30`]만원이고 표준편차가 [eqn: 4`]만원인 정규분포를 따른다고 한다. 이 자영업자는 하루 매출액이 [eqn: 31`]만원 이상일 때마다 [eqn: 1000`]원씩을 자선단체에 기부하고 [eqn: 31``]만원 미만일 때는 기부를 하지 않는다고 한다. 이와 같은 추세가 계속된다고 할 때, [eqn: 600`]일 동안 영업하여 기부할 총 금액이 [eqn: 222000`]원 이상이 될 확률을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

① [eqn: 0.69``]	② [eqn: 0.84`]	③ [eqn: 0.90`]

④ [eqn: 0.93``]	⑤ [eqn: 0.98``]

좌표평면 위에 세 점 [eqn: rm A(1,``sqrt3 )`], [eqn: rm B(0,``0)`], [eqn: rm C(2,``0)`]이 있다. 선분 [eqn: rm AB`]의 중점을 [eqn: rm P_1`], 선분 [eqn: rm P_1 C`]의 중점을 [eqn: rm Q_1`], 선분 [eqn: rm Q_1 A`]의 중점을 [eqn: rm R_1`], 선분 [eqn: rm R`_1 B`]의 중점을 [eqn: rm P_2`]라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 선분 [eqn: {rm P}_n rm C`]의 중점을 [eqn: {rm Q}`_n`], 선분 [eqn: {rm Q}`_n rm A`]의 중점을 [eqn: {rm R}`_n`], 선분 [eqn: {rm R}`_n `rm B`]의 중점을 [eqn: {rm P}_n+1`]이라 하자. [eqn: n`]이 한없이 커질 때, 점 [eqn: {rm P}_n`]은 점 [eqn: (alpha, ``beta)`]에 한없이 가까워진다.

이때 두 상수 [eqn: alpha`], [eqn: beta`]의 합 [eqn: alpha + beta`]의 값은? [4점]

[eqn: rm P_1]

[eqn: rm Q_1]

[eqn: rm R_1]

[eqn: rm P_2]

[eqn: y]

[eqn: rm B(0,``0)]

[eqn: x]

[eqn: rm A(1,``sqrt3 )]

[eqn: rm C(2,``0)]

[eqn: ⋱]

•

•

•

•

① [eqn: {3+sqrt3} over 7]	② [eqn: {3+2sqrt3} over 7]	③ [eqn: {3+3sqrt3} over 7]

④ [eqn: {4+sqrt3} over 7]	⑤ [eqn: {4+2sqrt3} over 7]

최대공약수가 [eqn: 5`!`], 최소공배수가 [eqn: 13`!`]이 되는 두 자연수 [eqn: k], [eqn: n`] ( [eqn: k ``<=` n`] )의 순서쌍 [eqn: (`k,```n`)`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 25]	② [eqn: 27]	③ [eqn: 32]

④ [eqn: 36]	⑤ [eqn: 49]

다음 등식을 만족시키는 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]가 있다.

[eqn: left( 1 over 3 right)^a =2a`],         [eqn: left( 1 over 3 right)^2b =b`],         [eqn: left( 1 over 2 right)^2c =c`]

이때, 세 실수 [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: c`]의 대소 관계를 옳게 나타낸 것은? [4점]

① [eqn: a<b<c]	② [eqn: a<c<b]	③ [eqn: b<a<c]

④ [eqn: b<c<a]	⑤ [eqn: c<a<b]

주관식 문항 (25 ～ 30)

다음 세 조건을 모두 만족시키는 두 이차정사각행렬 [eqn: A`], [eqn: B``]가 있다.

(가) [eqn: A+B= pmatrix{`{2}`&`{6}``#`{x}`&`{`12}``}`]

(나) [eqn: A-B= pmatrix{``{~~6}``&``{~~y}``#``{`-2}``&``{`-4}``}`]

(다) [eqn: A^2 -B^2 = AB -BA`]

이때, 두 실수 [eqn: x`], [eqn: y`]의 곱 [eqn: xy`]의 값을 구하시오. [3점]

[eqn: log`_15 ``A=30`], [eqn: log`_45 ``B=15`]인 두 자연수 [eqn: A`], [eqn: B``]에 대하여 [eqn: B over A`]를 소수로 나타내면 소수점 아래 [eqn: n`]째 자리에서 처음으로 [eqn: 0`]이 아닌 숫자가 나온다. 이때, [eqn: n`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: log``2 =0.3010`])

[3점]

[eqn: rmA`]도시에서 [eqn: rmB`]도시로 운행하는 고속버스들의 소요시간은 평균이 [eqn: m`]분

[표준정규분포표]

[eqn: z`]	[eqn: {rmP}(0<=Z<=z)`]
[eqn: 1.0`]	[eqn: 0.3413`]
[eqn: 1.5`]	[eqn: 0.4332`]
[eqn: 2.0`]	[eqn: 0.4772`]
[eqn: 2.5`]	[eqn: 0.4938`]

이고, 표준편차가 [eqn: 10`]분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 고속버스들의 소요시간 중에서 크기가 [eqn: n`]인 표본을 임의추출하여 구한 표본평균을 [eqn: bar{ X`` }`]라 하자.

[eqn: {rmP} `(`m-5 <= bar{X``} <= m+5`)=0.9544`]

를 만족시키는 표본의 크기 [eqn: n`]의 값을 오른쪽 표준정규분포표를 이용하여 구하시오. [3점]

좌표평면 위에 그림과 같이 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 [eqn: 20`]이하의 자연수인 반원이 [eqn: 20`]개 있다. [eqn: 1 <= k <= 19`]인 모든 자연수 [eqn: k`]에 대하여 반지름의 길이가 [eqn: k`]인 반원과 반지름의 길이가 [eqn: k+1`]인 반원 사이의 영역을 [eqn: 2k+1`]등분한 다음, 각 부분에 시계 바늘이 도는 방향과 반대방향으로 자연수를 차례대로 나열하였다. 이때, 직선 [eqn: y=x`]와 맨 바깥쪽 영역이 만나는 어두운 부분에 들어간 수를 구하시오. (단, 반지름의 길이가 [eqn: 1`]인 반원의 내부에는 [eqn: bold{1}`]을 나열한다.)

[4점]

[eqn: 20]

[eqn: 19]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: cdots]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: bold 2]

[eqn: bold 3]

[eqn: bold 4]

[eqn: bold 5]

[eqn: bold 1]

[eqn: bold 6]

[eqn: bold 7]

[eqn: bold 8]

[eqn: bold 9]

[eqn: bold 10]

[eqn: bold 11]

[eqn: bold 12]

[eqn: bold 13]

[eqn: bold 14]

[eqn: bold 15]

[eqn: bold 16]

[eqn: cdots]

[eqn: cdots]

[eqn: y=x]

[eqn: rm O]

좌표평면 위에서 점 [eqn: rm P`]는 한 번의 이동으로 다음의 (규칙[eqn: 1`]) 또는 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동한다.

(규칙[eqn: 1`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼 이동한다.

(규칙[eqn: 2`]) [eqn: x`]축의 양의 방향으로 [eqn: 2`]만큼, [eqn: y`]축의 양의 방향으로 [eqn: 1`]만큼 이동한다.

예를 들어, 원점 [eqn: rm O`]에 있는 점 [eqn: rm P`]가 두 번의 이동으로 도달할 수 있는 곳을 표시하면 그림과 같다.

점 [eqn: rm P`]가 (규칙[eqn: 1`])을 따라 이동할 확률은 [eqn: 1 over 3`]이고 (규칙[eqn: 2`])를 따라 이동할 확률은 [eqn: 2 over 3`]일 때, 위와 같은 규칙으로 점 [eqn: rm P`]가 원점 [eqn: rm O`]에서부터 다섯 번의 이동으로 점 [eqn: (8,``7)`]에 도달할 확률은 [eqn: q over p`]이다.

이때, 서로소인 두 자연수 [eqn: p`], [eqn: q`]의 합 [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. (단, 매번 이동하는 사건은 서로 독립이다.) [4점]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

[eqn: x]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: 3]

[eqn: 4]

[eqn: 5]

[eqn: 6]

[eqn: 7]

[eqn: 8]

[eqn: 9]

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[eqn: 1 <= x < 10`]인 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: {x ^{3}} over {{bold{[}}`` x ``bold{]}``_{`}^{`}} `]의 값이 자연수가 되는 [eqn: x`]의 개수를 구하시오.

(단, [eqn: {bold{[}}`` x ``bold{]}``]는 [eqn: x`]보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [4점]