수학 영역

A형 정답

1	①	2	②	3	③	4	②	5	①
6	④	7	③	8	②	9	①	10	②
11	①	12	②	13	④	14	④	15	③
16	⑤	17	④	18	⑤	19	④	20	③
21	⑤	22	[eqn: 20]	23	[eqn: 17]	24	[eqn: 25]	25	[eqn: 13]
26	[eqn: 360]	27	[eqn: 12]	28	[eqn: 10]	29	[eqn: 32]	30	[eqn: 31]

1. [출제의도] 지수법칙 이해하기

[eqn: `2 ^{{2} over {3}} TIMES left(2 ^{3} right) ^{{1} over {9}} `=2 ^{{2} over {3}} TIMES 2 ^{{1} over {3}} =2 ^{{2} over {3} + {1} over {3}} =2]

2. [출제의도] 행렬이 서로 같을 조건 이해하기

[eqn: A=B`]이므로 [eqn: a-1=5], [eqn: b+2=6]

따라서 [eqn: a=6], [eqn: b=4]

그러므로 [eqn: a+b=10]

3. [출제의도] 로그의 성질 이해하기

[eqn: {1} over {2} `log _{`3} `6 ^{2} -log _{`3} `2=log _{`3} {6} over {2} =log _{`3} 3=1]

4. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

[eqn: LEFT ( {9} over {4} RIGHT ) ^{x} = LEFT ( {2} over {3} RIGHT ) ^{1+x}]에서 [eqn: LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{2x} = LEFT ( {3} over {2} RIGHT ) ^{-x-1}]

그러므로 [eqn: 2x=-x-1]에서 [eqn: x=`- {1} over {3}]

5. [출제의도] 역행렬 계산하기

[eqn: (A-E)B=E`]이므로

[eqn: B=(A-E`) ^{-1}][eqn: ={pmatrix{``2`&``1`#`7&`4}} {matrix{` ^{-1}#`}}][eqn: = {pmatrix{```````4&``-1``#`-7``&```````2}}]

그러므로 [eqn: a+b+c+d`=`-2`]

6. [출제의도] 로그부등식의 해 구하기

진수 조건에 의하여 [eqn: x-3>0,``x+1>0``]이므로

[eqn: x>3]         [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

주어진 로그부등식에서 [eqn: (x-3)(x+1)LEQ32]이므로

[eqn: -5 LEQ x`LEQ7]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에서 [eqn: 3<x`LEQ7]

그러므로 주어진 로그부등식의 정수해 [eqn: x]의 개수는 4

7. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

주어진 행렬이 나타내는 그래프는 그림과 같다.

[eqn: rmA]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm E]

따라서 해당하는 경로는 [eqn: rm ACD], [eqn: rm AED]

그러므로 경로의 수는 [eqn: 2]

8. [출제의도] 로그함수의 성질 이해하기

[eqn: y=log _{{1} over {3}} LEFT ( LEFT ( x+1 RIGHT ) ^{2} +9 RIGHT ) `]

밑이 [eqn: 1]보다 작은 양수이므로

[eqn: x=-1]일 때 최댓값 [eqn: log _{{1} over {3}} 9=-2`]

9. [출제의도] 로그의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

나머지정리에 의하여

[eqn: LEFT ( log _{`2} `a RIGHT ) ^{2} +2`log _{`2} `a+3=][eqn: LEFT ( log _{`2} `2a RIGHT ) ^{2} +2`log _{`2} 2a+3]

[eqn: log _{2} a=t]라고 하면

[eqn: t ^{2} +2t+3=(t+1) ^{2} +2(t+1)+3]이므로

[eqn: t=log _{`2} `a=- {3} over {2}]

그러므로 [eqn: a=2 ^{- {3} over {2}} = {sqrt {2}} over {4}]

(다른풀이)

[eqn: f(x)=x ^{2} +2x+3]이라 하자. 나머지 정리에 의하여 [eqn: LEFT . f LEFT ( log _{2} a RIGHT ) =f` RIGHT ( log _{2} 2a`right)]이고, [eqn: y=f(x)]의 그래프의 대칭축이 직선 [eqn: x=`-1]이므로

[eqn: {log _{2} a+log _{2} 2a} over {2} `=`-1]

따라서 [eqn: log _{2} a=`- {3} over {2}]

그러므로 [eqn: a=2 ^{- {3} over {2}} = {sqrt {2}} over {4}]

10. [출제의도] 지수의 성질을 이용하여 실수의 대소 관계 추론하기

[eqn: A=2 ^{sqrt {3}} `], [eqn: B`=` root {3} of {81} `=3 ^{{4} over {3}} `], [eqn: C`= root {4} of {256} =2 ^{2}]

이므로 [eqn: A<C]

[eqn: B ^{3} =81], [eqn: C ^{`3} =64`]이므로 [eqn: C<B`]

그러므로 [eqn: A`<C`<B]

11. [출제의도] 지수방정식의 해 구하기

[eqn: a=2]이므로 주어진 방정식은

[eqn: 2 ^{x} - sqrt {2} TIMES {1} over {2 ^{x}} +1- sqrt {2} =0]

[eqn: (2 ^{x} +1)(2 ^{x} - sqrt {2} )=0]

[eqn: 2 ^{x} >0]이므로 [eqn: 2 ^{x} = sqrt {2} `=2 ^{{1} over {2}}]

그러므로 [eqn: `x= {1} over {2}]

12. [출제의도] 행렬의 정의를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

[eqn: M= LEFT ( {matrix{`m _{11}&```m _{12} `#`m _{21}&```m _{22}}} RIGHT ) = {pmatrix{``2a``&a ^{3}#a ^{3}&``2a ^{2} ``}}]

행렬 [eqn: M]의 모든 성분의 곱이 [eqn: 2 ^{8} `]이므로 [eqn: 2 ^{2} a ^{9} =2 ^{8}]

그러므로 [eqn: a=2 ^{{2} over {3}} `]

13. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 역행렬을 구하는 과정 추론하기

	㉠ 에서 [eqn: A ^{-1} = {BOX{````2````}} ` TIMES A+B] [eqn: CDOTS cdots] ㉢ 또한 [eqn: AA ^{-1`} =A ^{-1} A`]이므로 ㉢ 에서 [eqn: AB=`BA`] 따라서 ㉡ 에서 [eqn: AB= {BOX{```` {2} over {3} ````}} ` TIMES A+ {1} over {3} E``]이고, ㉠ 에서 [eqn: AB=E-2A^2 ``]이므로 [eqn: E-2A^2 `=][eqn: {BOX{```` {2} over {3} ````}} ` TIMES A+ {1} over {3} E``] 그러므로 [eqn: A ^{-1} = {BOX{````3````}} ` TIMES A+E`] 이다.

따라서 [eqn: p=2], [eqn: q= {2} over {3}], [eqn: r=3]

그러므로 [eqn: pqr=2· {2} over {3} ·3=4`]

14. [출제의도] 로그를 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: {V _{A}} over {V _{B}} = {4.86(1010-900) ^{0.5}} over {4.86(1010-960) ^{0.5}} `= LEFT ( {110} over {50} RIGHT ) ^{0.5} = sqrt {2.2} `]

[eqn: log {V _{A}} over {V _{B}} =log sqrt {2.2} = {1} over {2} LEFT ( log1.1`+`log2 RIGHT ) `]

[eqn: =0.1712`=log1.483]

그러므로 [eqn: {V _{A}} over {V _{B}} `=`1.483`]

15. [출제의도] 행렬의 성질 추론하기

[eqn: A`inS]를 [eqn: A= {pmatrix{`a`````&``````b`#c```&-a`}}] 라 하자.

ㄱ. [eqn: A ^{-1} = {1} over {a ^{2} +bc} ` {pmatrix{``a&````````b#`c&``-a`}} = {1} over {a ^{2} +bc} A] (참)

ㄴ. (반례)[eqn: A= {pmatrix{``1``&````````2#3&``-1``}}], [eqn: B= {pmatrix{``1``&````````3#2&``-1``}}] (거짓)

ㄷ. ㄱ으로부터 어떤 두 실수 [eqn: l`,```m]에 대하여

[eqn: A ^{2`} =lE`,``B ^{2`} =mE`]

(좌변) [eqn: AB ^{2} A=A(mE)A=mA ^{2} =mlE`]

(우변) [eqn: BA ^{2} B=B(lE)B=lB ^{2} =mlE`] (참)

16. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

행렬 [eqn: LEFT ( {matrix{``````````2 ^{x}&`a+4#``-1``&```2 ^{x} -4``}} RIGHT )]의 역행렬이 존재하므로

[eqn: (2 ^{x} ) ^{2} -4times2 ^{x} +a+4 != 0]

[eqn: x<2]이므로 [eqn: 2 ^{x} =t]라 하면  [eqn: 0<t<4]이고

[eqn: f(t)=t ^{2} -4t+a+4][eqn: =(t-2) ^{2} +a]라 할 때,

[eqn: f(t)!=0]이므로 [eqn: f(0)LEQ0] 또는 [eqn: f(2)>0]

그러므로 [eqn: a LEQ -4] 또는 [eqn: a>0`]

17. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

연립방정식 [eqn: {pmatrix{``a+1``&-1#1&``- {b} over {3} ``}} {pmatrix{2 ^{x}#3 ^{y}}} = LEFT ( {matrix{0#0}} RIGHT )]에서

[eqn: 2 ^{x} !=0`,```3 ^{y} !=0]이므로 이 연립방정식이 해를 갖기

위해서는 행렬 [eqn: {pmatrix{``a+1``&-1#1&``- {b} over {3} ``}}]의 역행렬이 존재하지 않아야 한다. 따라서 [eqn: b(a+1)=3]

이때 [eqn: {3 ^{y}} over {2 ^{x}} =a+1>0] 이므로 정수 [eqn: a`,```b]의 순서쌍 [eqn: (a`,``b)]는 [eqn: (0`,``3)], [eqn: (2`,``1)]

그러므로 [eqn: ab]의 최댓값은 [eqn: 2]

18. [출제의도] 지수함수 이해하기

점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a][eqn: (a>0)]라 하면 [eqn: rm C it (`a`,```2 ^{a} `)]

[eqn: {rm {bar{CD}} = {bar{BD}}} =a]이므로 ([eqn: rmTRIANGLE BDC]의 넓이)[eqn: = {1} over {2} a ^{2} =8`]

따라서 [eqn: a=4], 점 [eqn: rmC`]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 16], [eqn: p=20]

그러므로 ([eqn: rmTRIANGLE OAC]의 넓이)[eqn: =160]

19. [출제의도] 역행렬을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

행렬 [eqn: {pmatrix{``3&```y`#`4&```x-1`}}]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: 3x-4y-3=0`]

따라서 점 [eqn: rmP(itx`,```y)`]가 나타내는 도형은 그림과 같이 선분 [eqn: rm QR]이다.

[eqn: rm Q]

[eqn: rm R]

[eqn: 3x-4y-3=0]

[eqn: rm O]

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: 1]

원의 중심과 직선 [eqn: 3x-4y-3=0] 사이의 거리가 [eqn: 1]이고 원의 반지름의 길이가 [eqn: 2]이므로

[eqn: rm {bar{QR}} =2 sqrt {2 ^{2} -1} =2 sqrt {3}]

20. [출제의도] 로그함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

두 점 [eqn: rm A], [eqn: rmB]의 [eqn: y]좌표가 [eqn: k]이므로

[eqn: {rmA}(2 ^{-2k} ,~k)], [eqn: {rmB}(`2 ^{k} `,`~k)]

점 [eqn: rmC]의 [eqn: x]좌표가 점 [eqn: rm A]의 [eqn: x]좌표와 같으므로

[eqn: {rmC}(2 ^{-2k} ,~-2k)]

점 [eqn: rm D]의 [eqn: y]좌표는 점 [eqn: rm C]의 [eqn: y]좌표와 같으므로

[eqn: rm D it (2 ^{4k} `,```-2k)]

[eqn: rm bar AB over bar CD][eqn: = {2 ^{k} -2 ^{-2k`}} over {2 ^{4k} -2 ^{-2k`}} = {2 ^{3k} -1} over {2 ^{6k} -1} = {1} over {5}]에서

[eqn: k>0]이므로 [eqn: 2 ^{3k} +1=5]

그러므로 [eqn: k= 2 over3`]

21. [출제의도] 지수함수와 로그함수의 관계 추론하기

그림과 같이 두 점 [eqn: rmA], [eqn: rm B]를 직선 [eqn: y=x]에 대하여 대칭이동시킨 점을 각각 [eqn: rm A it ` prime LEFT ( 2,~4 RIGHT )], [eqn: rm B it prime LEFT ( -1,~ {1} over {2} RIGHT )] 이라 하면

[eqn: 1<x _{1} <2], [eqn: -1<x _{2} <0],

[eqn: y _{1} >4],[eqn: ``` {1} over {4} <y _{2} < {1} over {2}]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: rm O]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm A prime]

[eqn: rm B prime]

[eqn: rm D]

[eqn: y=4^x]

[eqn: y=log _{`2} `x]

[eqn: y=x]

[eqn: y=2 ^{`x}]

ㄱ. [eqn: x _{1} >1]이고 [eqn: x _{2} >-1]이므로 [eqn: x _{1} +x _{2} >0] (참)

ㄴ. [eqn: y _{1} >4]이고 [eqn: y _{2} > {1} over {4}] 이므로 [eqn: y _{1} y _{2} >1] (참)

ㄷ. 두 점 [eqn: rmC], [eqn: rmD]를 지나는 직선의 기울기가

[eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}}]이고 두 점 [eqn: rm A it ` prime], [eqn: rm B it prime]을 지나는

직선의  기울기는 [eqn: { 7} over {6 }]이므로 [eqn: {y _{1} -y _{2}} over {x _{1} -x _{2}} >][eqn: { 7} over {6 }] (참)

22. [출제의도] 로그 계산하기

[eqn: log _{a} 3 TIMES log _{9} b` & =`log _{a} 3 TIMES {log _{a} b`} over {log _{a} 9} =`log _{a} 3 TIMES {log _{a} b`} over {2log _{a} 3}# & = {1} over {2} `log _{a} b=10]

그러므로 [eqn: log _{a} b=20]

23. [출제의도] 그래프와 행렬의 관계 이해하기

그래프의 각 꼭짓점의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질에 의하여 [eqn: p=1]

그래프 [eqn: G]는 그림과 같다.

따라서 [eqn: q=4]

그러므로 [eqn: p ^{2} +q ^{2} =17`]

24. [출제의도] 로그함수의 그래프 이해하기

점근선의 방정식이 [eqn: x=4`]이므로 [eqn: b=4`]

함수의 그래프가 점 [eqn: (13`,```2)]를 지나므로 [eqn: a=1]

그러므로 [eqn: 5(a+b)=25`]

25. [출제의도] 행렬의 곱셈의 성질 이해하기

[eqn: (A+B)(A-B)&=A ^{2} -AB+BA-B ^{2}# &=A ^{2} -B ^{2}]

이므로 [eqn: AB=BA]

[eqn: AB= {pmatrix{``-1``&``x``#```````3&0}} {pmatrix{`-2``&`````````2``#``````y&`-1`}}][eqn: = {pmatrix{``2+xy``&``-2-x``#``-6``&6}}]

[eqn: BA= {pmatrix{``-2``&````````2``#`````y&`-1``}} {pmatrix{``-1``&``x``#```````3&``0``}}][eqn: = {pmatrix{``8``&``-2x``#``-y-3``&xy}}]

따라서 [eqn: x=2], [eqn: y=3]

그러므로 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =13]

26. [출제의도] 행렬을 이용하여 수학 외적 문제 해결하기

[eqn: 7]월의 두 제품 [eqn: A`,```B]의 생산량을 각각 [eqn: x`,```y`]라 하면

[eqn: pmatrix{``1``&``1``#``1.15``&``0.9``}pmatrix{``x``#``y``}=pmatrix{``400``#``420``}]

[eqn: {pmatrix{`x`#`y`}} =-4 {pmatrix{````0.9``&``-1`#-1.15``&``````````1`}} {pmatrix{`400`#420}}]

[eqn: = {pmatrix{-36`&`````````40`#```````46``&`-40`}} {pmatrix{`40`#42}}]

따라서 [eqn: a=`-36], [eqn: b=`-40]

그러므로 [eqn: {ab} over {4} =360]

27. [출제의도] 지수부등식과 로그부등식으로 이루어진 연립부등식의 해 구하기

부등식 [eqn: 3 ^{5(1-x)} LEQ left( {1} over {3} right) ^{x ^{2} -1}] 에서

[eqn: 5(1-x) leq -x^2 +1] 이므로

[eqn: 1 LEQ x LEQ 4] [eqn: CDOTS CDOTS]㉠

부등식 [eqn: (log _{2} `x) ^{2} -4log _{2} `x+3<0] 에서

[eqn: x>0]이고 [eqn: (log _{2} `x-3)(log _{2} `x-1)<0]이므로

[eqn: 2<x<8]  [eqn: CDOTS CDOTS]㉡

㉠, ㉡에 의하여 [eqn: 2<x`LEQ4]

그러므로 만족하는 모든 자연수 [eqn: x]의 값의 곱은 12

28. [출제의도] 지수함수의 성질 이해하기

[eqn: a`,```b][eqn: (a<b)]는 방정식 [eqn: 4 ^{x} =3·2 ^{x+1} -k]의 근이므로

[eqn: 2 ^{x} =t]([eqn: t>0])이라 하면 [eqn: t ^{2} -6t+k=0]의 두 근 [eqn: 2 ^{a}], [eqn: 2 ^{b}]은 [eqn: 0<2 ^{a} <1<2 ^{b}]

[eqn: h(t)=t ^{2} -6t+k]라 하면

[eqn: h(0)=k>0], [eqn: h(1)=k-5<0]

따라서 [eqn: 0<k<5]

그러므로 만족하는 모든 자연수 [eqn: k]의 값의 합은 [eqn: 10]

29. [출제의도] 지수함수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

점 [eqn: rm`A]의 좌표를 [eqn: (a,```2 ^{a} )`]라고 하면 [eqn: rm` {bar{AB}} =][eqn: 2 ^{a}]

[eqn: rm bar{AB} ``:`` bar{BC} `=`2``:``1``]이므로 [eqn: rm {bar{BC}}][eqn: =2 ^{a-1}]

따라서 [eqn: rm□ABCD]의 넓이는 [eqn: 2 ^{2a-1}]

점 [eqn: rmP]의 좌표가 [eqn: LEFT ( `a`,````2 ^{4-a} `right) RIGHT .]이므로

점 [eqn: rmE]의 [eqn: y]좌표는 [eqn: 2 ^{4-a}] 즉, [eqn: rm {bar{EH}} =][eqn: 2 ^{4-a}]

[eqn: rm {bar{EH}} ``:`` {bar{HG}} `=`1``:``2`]이므로 [eqn: rm {bar{HG}} it =][eqn: 2 ^{5-a}]

따라서 [eqn: rm □EFGH]의 넓이는 [eqn: 2 ^{9-2a}]

두 직사각형의 넓이의 합은 절대부등식의 성질에 의하여

[eqn: 2 ^{2a-1} +2 ^{9-2a} `][eqn: GEQ 2 sqrt {2 ^{2a-1} `․`2 ^{9-2a} `}][eqn: =2 ^{5} =32`]

[eqn: LEFT ( pile{`#`}]단, 등호는 [eqn: a= {5} over {2}]일 때만 성립[eqn: LEFT. pile{`#`} RIGHT )]

그러므로 최솟값은 [eqn: 32]

30. [출제의도] 상용로그의 지표와 가수의 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기

(가)에서 [eqn: f(2x)=f(y)=0]이므로

[eqn: 1 LEQ `x`LEQ4`,```1 LEQ `y` LEQ 9`]

따라서 만족하는 자연수의 순서쌍 [eqn: (x,``y)`]의 개수는 [eqn: 36`]

또한 [eqn: 3` LEQ `2x+y`LEQ17`]이므로 (나)에서

i) [eqn: 3` LEQ `2x+y`LEQ9]일 때

[eqn: g(2x+y)`=log(2x+y)`]이므로

[eqn: log(2x+y)<`log2x+logy``]

[eqn: (2x-1)(y-1)>1`]

따라서 [eqn: (1,``1)], [eqn: (2,``1)], [eqn: (3,``1)], [eqn: (4,``1)], [eqn: (1,``2)]를 제외하고 모두 성립

ii)[eqn: ``10` LEQ `2x+y`LEQ17] 일 때,

[eqn: g(2x+y)`=log(2x+y)-1``]이므로

[eqn: log(2x+y)-1<`log`2x+logy``]에서

[eqn: 2x+y<20xy]이므로 항상 성립

그러므로 i)과 ii)에서 [eqn: 36-5=31]