수학 영역 (나형)

고 2

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수학 영역 (나형)

고 2

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2017학년도 6월 고2 전국연합학력평가 문제지

제 2 교시           수학 영역 (나형)

5지 선다형(1 ~ 21)

1. [eqn: LEFT ( 3 ^{{1} over {2}} RIGHT ) ^{2} `]의 값은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

2. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,```2,```3,```4,```5 RIGHT } `]의 부분집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2,```3 RIGHT } `]에 대하여 집합 [eqn: A ^{ C} `]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 3]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 7]	⑤ [eqn: 9]

3. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {{n-3} over {2n+1}} `]의 값은? [2점]

① [eqn: {1} over {2}]	② [eqn: 1]	③ [eqn: {3} over {2}]	④ [eqn: 2]	⑤ [eqn: {5} over {2}]

4. 첫째항이 [eqn: 2`]이고 공비가 [eqn: 3`]인 등비수열 [eqn: LEFT { a _{n} RIGHT } `]에 대하여 [eqn: a _{3} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 9]	② [eqn: 12]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 21]

5. 함수 [eqn: f(x)=2x+k`]에 대하여 [eqn: f` ^{-1} (5)=1`]일 때, 상수 [eqn: k`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

6. 명제

‘[eqn: x=a`]이면 [eqn: x ^{2} +6x-7=0`]이다.’

가 참이 되기 위한 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

7. 함수 [eqn: y=f(x)`]의 그래프가 그림과 같다.

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: -1]

[eqn: x]

[eqn: y]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: -2]

[eqn: rmO]

[eqn: lim _{x` -> `2+} {f(x)+ lim _{x` -> `0-} {f(x)}}]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

8. 전체집합 [eqn: U= LEFT { 1,``2,``3,``4,``5 RIGHT } `]에 대하여 [eqn: LEFT { 1,``2 RIGHT } SUBSET X`]를 만족시키는 [eqn: U`]의 모든 부분집합 [eqn: X`]의 개수는? [3점]

① [eqn: 2`]	② [eqn: 4`]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

9. 두 함수

[eqn: f(x)=2x-1`],  [eqn: g(x)=x ^{2} -1`]

에 대하여 [eqn: (`f CIRC g)(a)=5`]를 만족시키는 양수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

10. [eqn: log _{`2} `5=a`], [eqn: log _{`5} `7=b`]일 때, [eqn: (2 ^{`a} ) ^{`b} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 7]	② [eqn: 9]	③ [eqn: 11]	④ [eqn: 13]	⑤ [eqn: 15]

11. 함수 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= sqrt {-x+a} `+b`]의 그래프가 그림과 같을 때, 두 상수 [eqn: a`], [eqn: b`]에 대하여 [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

[eqn: 1]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: x]

[eqn: y]

① [eqn: 1`]	② [eqn: 2`]	③ [eqn: 3`]	④ [eqn: 4`]	⑤ [eqn: 5`]

12. [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT { {1} over {1 TIMES 3} + {1} over {2 TIMES 4} +` CDOTS `+ {1} over {n TIMES LEFT ( n+2 RIGHT )} RIGHT }} `]의 값은? [3점]

① [eqn: {3} over {8}]	② [eqn: {1} over {2}]	③ [eqn: {5} over {8}]	④ [eqn: {3} over {4}]	⑤ [eqn: {7} over {8}]

13. 등비수열 [eqn: LEFT { a _{ `n} RIGHT } `]의 첫째항부터 제[eqn: `n`]항까지의 합 [eqn: S _{`n} `]에 대하여 [eqn: S _{`3} =21`], [eqn: S _{`6} =189`]일 때, [eqn: a _{`5} `]의 값은? [3점]

① [eqn: 45]	② [eqn: 48]	③ [eqn: 51]	④ [eqn: 54]	⑤ [eqn: 57]

14. [eqn: sum _{k=1} ^{10} {k ^{3}} over {k+1} + sum _{k=1} ^{10} {1} over {k+1} `]의 값은? [4점]

① [eqn: 340]	② [eqn: 360]	③ [eqn: 380]	④ [eqn: 400]	⑤ [eqn: 420]

15. 함수 [eqn: y= {3x+k-10} over {x+1} `]의 그래프가 제[eqn: `4`]사분면을 지나도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 개수는? [4점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 9]	④ [eqn: 11]	⑤ [eqn: 13]

16. 수강생이 [eqn: 35`]명인 어느 학원에서 모든 수강생을 대상으로 세 종류의 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]의 취득 여부를 조사하였다. 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 취득한 수강생이 각각 [eqn: 21`]명, [eqn: 18`]명, [eqn: 15`]명이고, 어느 자격증도 취득하지 못한 수강생이 [eqn: 3`]명이다. 이 학원의 수강생 중에서 세 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`]를 모두 취득한 수강생이 없을 때, 자격증 [eqn: rm A`], [eqn: rm B`], [eqn: rm C`] 중에서 두 종류의 자격증만 취득한 수강생의 수는? [4점]

① [eqn: 21]	② [eqn: 22`]	③ [eqn: 23]	④ [eqn: 24]	⑤ [eqn: 25]

17. 다음은 [eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 부등식

[eqn: LEFT ( 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {n} RIGHT ) LEFT ( 1+2+3+` CDOTS `+n RIGHT ) >n ^{2} `` CDOTS CDOTS LEFT ( ＊ RIGHT )]

이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하는 과정이다.

주어진 식 [eqn: LEFT ( ＊ RIGHT ) `]의 양변을 [eqn: {n LEFT ( n+1 RIGHT )} over {2} `]로 나누면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {n} > {2n} over {n+1}] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉠

이다. [eqn: n GEQ 2`]인 자연수 [eqn: n`]에 대하여

(i) [eqn: n=2`]일 때,
(좌변)[eqn: = {BOX{````` LEFT ( 가 RIGHT ) ^{`} `````}}] , (우변)[eqn: = {4} over {3} `]이므로 ㉠이 성립한다.

(ii) [eqn: n=k`] [eqn: (k geq 2)`]일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} > {2k} over {k+1} `] [eqn: CDOTS CDOTS] ㉡

이다. ㉡의 양변에 [eqn: {1} over {k+1} `]을 더하면

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + {1} over {k+1} > {2k+1} over {k+1}]

이 성립한다. 한편,

[eqn: {2k+1} over {k+1} -][eqn: {BOX{````` LEFT ( 나 RIGHT ) ^{`} `````}}][eqn: = {k} over {(k+1)(k+2)} >0]

이므로

[eqn: 1+ {1} over {2} + {1} over {3} +` CDOTS `+ {1} over {k} + {1} over {k+1} >][eqn: {BOX{````` LEFT ( 나 RIGHT ) ^{`} `````}}]

이다. 따라서 [eqn: n=k+1`]일 때도 ㉠이 성립한다.

(i), (ii)에 의하여 [eqn: n GEQ 2`]인 모든 자연수 [eqn: n`]에 대하여 ㉠이 성립하므로 [eqn: LEFT ( ＊ RIGHT ) `]도 성립한다.

위의 (가)에 알맞은 수를 [eqn: p`], (나)에 알맞은 식을 [eqn: f` LEFT ( k RIGHT ) `]라 할 때, [eqn: 8p TIMES f LEFT ( 10 RIGHT ) `]의 값은? [4점]

① [eqn: 14]	② [eqn: 16]	③ [eqn: 18]	④ [eqn: 20]	⑤ [eqn: 22]

18. 그림과 같이 곡선 [eqn: y=x ^{2} `] 위의 점 [eqn: rm `P` it (`t,```t ^{2} )`][eqn: LEFT (` t>0 RIGHT ) `]과 원점 [eqn: rm O`]에 대하여 선분 [eqn: rm OP`]의 중점을 [eqn: rm M`]이라 하고, 점 [eqn: rmM`]을 지나면서 [eqn: x`]축에 평행한 직선이 곡선 [eqn: y=x ^{2}`]과 만나는 두 점을 각각 [eqn: rmA`], [eqn: rmB`]라 하자. [eqn: lim _{t` -> `0+} {{{bar{rm AB it}}} over {{bar{rm OP it}}}} `]의 값은? [4점]

[eqn: rmO]

[eqn: rm B]

[eqn: rm A]

[eqn: rm M]

[eqn: rm P LEFT ( itt,``t ^{2} RIGHT )]

[eqn: y=x ^{2}]

[eqn: y]

[eqn: x]

① [eqn: 1]	② [eqn: {sqrt {6}} over {2}]	③ [eqn: sqrt {2}]	④ [eqn: {sqrt {10}} over {2}]	⑤ [eqn: sqrt {3}]

19. 길이가 [eqn: 4`]인 선분 [eqn: rmAB`]를 지름으로 하는 반원 [eqn: O`]가 있다. 그림과 같이 선분 [eqn: rmAB`]를 한 변으로 하고 반원 [eqn: O`]에 외접하는 직사각형 [eqn: rm ABCD`]를 그린다. 선분 [eqn: rm AB`]를 [eqn: 3:1`]로 내분하는 점을 [eqn: rmN`]이라 하고, 점 [eqn: rmN`]을 지나고 선분 [eqn: rm AB`]와 수직인 직선이 반원 [eqn: O`]와 만나는 점을 [eqn: rmP`]라 하자. 반원 [eqn: O`]의 내부와 삼각형 [eqn: rm ABP`]의 외부의 공통부분인  모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`1} `]이라 하자.

그림 [eqn: R _{`1} `]에서 점 [eqn: rm D`]를 중심으로 하고 지름의 길이가 [eqn: {1} over {2} {bar{rmAB}} `]인 반원 [eqn: O _{`1} `], 점 [eqn: rm C`]를 중심으로 하고 지름의 길이가 [eqn: {1} over {2} {bar{rmAB}} `]인 반원 [eqn: O _{`2} `]를 지름이 직선 [eqn: rm DC`] 위에 있도록 그린다.

두 반원 [eqn: O _{`1} `], [eqn: O _{`2} `]에 각각 그림 [eqn: R _{`1} `]을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는  모양의 [eqn: 2`]개의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 [eqn: R _{`2`}]라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 [eqn: n`]번째 얻은 그림 [eqn: R _{`n} `]에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 [eqn: S _{`n} `]이라 할 때, [eqn: lim _{n`-> ` INF } {S _{`n} `}]의 값은? [4점]

[eqn: rm A]

[eqn: rm B]

[eqn: rm C]

[eqn: rm D]

[eqn: rm N]

[eqn: rm P]

[eqn: R _{`1}]

[eqn: R _{`2}]

[eqn: R _{`3}]

[eqn: O]

[eqn: O _{`2}]

[eqn: O _{`1}]

① [eqn: 3 LEFT ( pi - sqrt {3} RIGHT )]	② [eqn: 3 LEFT ( pi - sqrt {2} RIGHT )]	③ [eqn: 3 LEFT ( pi -1 RIGHT )]

④ [eqn: 4 LEFT ( pi - sqrt {3} RIGHT )]	⑤ [eqn: 4 LEFT ( pi - sqrt {2} RIGHT )]

20. 함수

[eqn: f(x)= LEFT | 2x-4 RIGHT | ``] [eqn: LEFT ( 0 LEQ x LEQ 4 RIGHT ) `]

에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?                                                            [4점]

		<보 기>
	ㄱ. [eqn: f LEFT ( `f LEFT ( 1 RIGHT )` RIGHT ) `=0`] ㄴ. 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=x`]의 모든 실근의 개수는 [eqn: 2`]이다. ㄷ. 방정식 [eqn: f(`f(x)`)=f(x)`]의 모든 실근의 합은 [eqn: 8`]이다.

① ㄱ	② ㄱ, ㄴ	③ ㄱ, ㄷ

④ ㄴ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

[eqn: y]

[eqn: x]

[eqn: 4]

[eqn: 4]

[eqn: y=f LEFT ( x RIGHT )]

[eqn: rmO]

[eqn: 2]

21. 좌표평면에서 반지름의 길이가 [eqn: t`]인 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =t ^{2} `]의 내부에 포함되고 [eqn: x`]좌표와 [eqn: y`]좌표가 모두 정수인 점의 개수를 [eqn: f(t)]라 하자. 예를 들어, [eqn: f(1) = 1`]이고 [eqn: f(sqrt 2 ) = 5`]이다. [eqn: 0<t<6`]인 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: f(t)]가 불연속이 되는 [eqn: t`]의 개수는?                                                             [4점]

① [eqn: 15]	② [eqn: 17]	③ [eqn: 19]	④ [eqn: 21]	⑤ [eqn: 23]

단답형(22 ~ 30)

22. [eqn: lim _{x` -> `5} {LEFT ( x ^{2} +1 RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 네 수 [eqn: 3`], [eqn: a`], [eqn: b`], [eqn: 12`]가 이 순서대로 등차수열을 이룰 때, [eqn: a+b`]의 값을 구하시오. [3점]

24. 함수

[eqn: f(x)= {cases{ `2x+a_{`}_{`}_{`}````````&(x<`1) _{`}_{`}# `x+13&(x GEQ 1) }}]

이 [eqn: x = 1`]에서 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: a`]의 값을 구하시오.                                                           [3점]

25. 수열 [eqn: left{ a_n right} `]에 대하여 급수 [eqn: sum _{n`=`1} ^{INF } ` LEFT ( a _{n} - {6n} over {n+1} RIGHT ) `]이 수렴할 때,  [eqn: lim _{n` -> ` INF } {LEFT ( 4a _{n} +3 RIGHT )} `]의 값을 구하시오. [3점]

26. [eqn: 1<m<n<7`]인 두 자연수 [eqn: m`], [eqn: n`]에 대하여 [eqn: m ^{n} `]의 세제곱근이 자연수가 되도록 하는 모든 순서쌍 [eqn: (m,```n)`]의 개수를 구하시오. [4점]

27. 폭약에 의한 수중 폭발이 일어나면 폭발 지점에서 가스버블이 생긴다. 수면으로부터 폭발 지점까지의 깊이가 [eqn: D`(rm m)`]인 지점에서 무게가 [eqn: W` (rm kg)`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R`][eqn: (rmm)`]라고 하면 다음과 같은 관계식이 성립한다고 한다.

[eqn: R=k` LEFT ( {W} over {D+10} RIGHT ) ^{{1} over {3}} `](단, [eqn: k`]는 양의 상수이다.)

수면으로부터 깊이가 [eqn: d(rm m)`]인 지점에서 무게가 [eqn: 160` rm kg`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R _{ `1} rm (m)`]이라 하고, 같은 폭발 지점에서 무게가 [eqn: p (rm kg)`]인 폭약이 폭발했을 때의 가스버블의 최대반경을 [eqn: R _{`2} ( rm m)`]라 하자.

[eqn: {R _{`1}} over {R _{`2}} = 2`]일 때, [eqn: p`]의 값을 구하시오. (단, 폭약의 종류는 같다.)                                                         [4점]

28. [eqn: 1000`]의 모든 양의 약수를 작은 수부터 크기순으로 나열할 때 [eqn: k`]번째 수를 [eqn: a_k `]라 하자. [eqn: 1000`]의 모든 양의 약수의 개수는 [eqn: p`]이고 [eqn: sum_k=1 ^p log_10 ``a_k = q`]일 때, [eqn: p+q`]의 값을 구하시오. [4점]

29. 함수 [eqn: f(x)= {1} over {x} `]에 대하여 두 실수 [eqn: a`], [eqn: b`]는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) [eqn: ab>0]

(나) [eqn: f(a)`], [eqn: `f(2)`], [eqn: `f(b)`]는 이 순서대로 등차수열을 이룬다.

[eqn: a+25b`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

30. 두 함수

[eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `= {cases{`kx ^{2} +2kx+2 _{` _{`_{`} }}&````&LEFT ( x GEQ `-2 RIGHT ) _{` _{`}}#`-3x-4&````````&LEFT ( x<``-2 RIGHT )}}],  [eqn: g LEFT ( x RIGHT ) `=`-x+a`]

가 있다. 양의 실수 [eqn: a`]에 대하여 방정식 [eqn: f LEFT ( x RIGHT ) `=g LEFT ( x RIGHT ) `]의 모든 실근의 합을 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) `]라 할 때, 함수 [eqn: h LEFT ( a RIGHT ) `]가 항상 연속이 되도록 하는 상수 [eqn: k`]의 최솟값을 [eqn: p`]라 하자. [eqn: 120 TIMES {1} over {p ^{2}} `]의 값을 구하시오.                                                        [4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.