수학 영역(가형)

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수학 영역(가형)

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2019학년도 3월 고2 전국연합학력평가 문제지

수학 영역(나 형)

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수학 영역(나 형)

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1

4

수학 영역(나 형)

제 2 교시

5지선다형

1. 두 다항식

[eqn: A=2x ^{2} +xy`], [eqn: B=x ^{2} -2xy`]

에 대하여 [eqn: A+B``]를 간단히 하면? [2점]

① [eqn: x ^{2} -xy]	② [eqn: x ^{2} +xy]	③ [eqn: 3x ^{2} -xy]

④ [eqn: 3x ^{2} +xy]	⑤ [eqn: 3x ^{2} +3xy]

2. 두 집합 [eqn: A= LEFT { 1,```2 RIGHT }], [eqn: B= LEFT { 2,```3 RIGHT }]에 대하여 집합 [eqn: A{cup}B`]의 모든 원소의 합은? [2점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

3. 좌표평면에서 직선 [eqn: 12x-2y+5=0`]의 기울기는? [2점]

12

① [eqn: 6]	② [eqn: 7]	③ [eqn: 8]	④ [eqn: 9]	⑤ [eqn: 10]

4. [eqn: i` LEFT ( 1+i RIGHT )]의 값은? (단, [eqn: i][eqn: = sqrt {-1}]) [3점]

① [eqn: -2+i]	② [eqn: -1+i]	③ [eqn: i]

④ [eqn: 1+i]	⑤ [eqn: 2+i]

5. 모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 등식

[eqn: x ^{3} -1= LEFT ( x-1 RIGHT ) LEFT ( x ^{2} +ax+b RIGHT ) `]

가 성립할 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 상수이다.) [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

6. 서로 다른 [eqn: 6`]개의 과목 중에서 서로 다른 [eqn: 3`]개를 선택하는 경우의 수는? [3점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

7. 그림은 함수 [eqn: f:X`` -> ``X``]를 나타낸 것이다.

[eqn: f(2)+f ^{`-1} (3)`]의 값은? [3점]

① [eqn: 3]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 5]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 7]

8. 함수 [eqn: f(x)=2x-1`]에 대하여 [eqn: LEFT ( `f` CIRC `f` RIGHT ) LEFT ( 5 RIGHT ) `]의 값은? [3점]

① [eqn: 11]	② [eqn: 13]	③ [eqn: 15]	④ [eqn: 17]	⑤ [eqn: 19]

9. 이차함수 [eqn: y=2x ^{2} +ax-1`]의 그래프가 [eqn: x`]축과 만나는 두 점의 [eqn: x`]좌표의 합이 [eqn: -1`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

10. 좌표평면에서 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( 4,```3 RIGHT ) `]과 원 [eqn: x ^{2} +y ^{2} =16] 위의 점 [eqn: rmP]에 대하여 선분 [eqn: rmAP]의 길이의 최솟값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

11. 연립방정식

[eqn: {cases{``x-2y=1 _{`}#``x ^{2} -4y ^{2} =5 ^{`}}}]

의 해를 [eqn: x=a], [eqn: y=b`]라 할 때, [eqn: a+b`]의 값은? [3점]

① [eqn: 1]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 3]	④ [eqn: 4]	⑤ [eqn: 5]

12. [eqn: x`]에 대한 부등식 [eqn: LEFT | x-3 RIGHT | LEQ a`]를 만족시키는 정수 [eqn: x`]의 개수가 [eqn: 15`]가 되도록 하는 자연수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 5]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 7]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 9]

13. 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: (x-3)(2x-a)`]로 나눈 몫은 [eqn: x+1`]이고 나머지는 [eqn: 6`]이다. 다항식 [eqn: f(x)`]를 [eqn: x-1`]로 나눈 나머지가 [eqn: 6`]일 때, 상수 [eqn: a`]의 값은? [3점]

① [eqn: 2]	② [eqn: 4]	③ [eqn: 6]	④ [eqn: 8]	⑤ [eqn: 10]

14. 복소수 [eqn: z`=a+b`i`]([eqn: a], [eqn: b`]는 실수)가 다음 조건을 만족시킬 때, [eqn: a+b`]의 값은? (단, [eqn: i= sqrt {-1}]이고, [eqn: bar{z}`]는 [eqn: z`]의 켤레복소수이다.)

[4점]

(가) [eqn: z`]는 방정식 [eqn: x ^{3} -3x ^{2} +9x+13=0`]의 근이다.

(나) [eqn: {z- {bar{z}} `} over {i} `]는 음의 실수이다.

① [eqn: -3]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 1]	④ [eqn: 3]	⑤ [eqn: 5]

15. 명제

‘모든 실수 [eqn: x`]에 대하여 [eqn: 2x ^{2} +6x+a{ge}0`]이다.’

가 거짓이 되도록 하는 정수 [eqn: a`]의 최댓값은? [4점]

① [eqn: 0]	② [eqn: 2]	③ [eqn: 4]	④ [eqn: 6]	⑤ [eqn: 8]

16. 좌표평면에 두 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( -3,```1 RIGHT )], [eqn: rmB][eqn: LEFT ( 1,```k RIGHT )`]가 있다. 점 [eqn: rmA]를 [eqn: y`]축에 대하여 대칭이동한 점을 [eqn: rm P]라 하고, 점 [eqn: rmB]를 [eqn: y`]축의 방향으로 [eqn: -5`]만큼 평행이동한 점을 [eqn: rm Q]라 하자. 직선 [eqn: rm BP]와 직선 [eqn: rmPQ]가 서로 수직이 되도록 하는 모든 실수 [eqn: k`]의 값의 곱은? [4점]

① [eqn: 8]	② [eqn: 10]	③ [eqn: 12]	④ [eqn: 14]	⑤ [eqn: 16]

17. 좌표평면에서 원 [eqn: C``:`x ^{2} +y ^{2} -4x-2ay+a ^{2} -9=0`]이 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 원 [eqn: C``]는 원점을 지난다.

(나) 원 [eqn: C``]는 직선 [eqn: y= it -2`]와 서로 다른 두 점에서 만난다.

원 [eqn: C``]와 직선 [eqn: y= it -2`]가 만나는 두 점 사이의 거리는? (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [4점]

① [eqn: 4 sqrt {2}]	② [eqn: 6]	③ [eqn: 2 sqrt {10}]

④ [eqn: 2 sqrt {11}]	⑤ [eqn: 4 sqrt {3}]

18. 그림과 같이 좌표평면에 원점 [eqn: rmO]를 한 꼭짓점으로 하는 삼각형 [eqn: rmOAB]가 있다. 선분 [eqn: rmOA]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rmC], 선분 [eqn: rmOB]를 [eqn: 2:1`]로 외분하는 점을 [eqn: rmD]라 할 때, 두 선분 [eqn: rmAD]와 [eqn: rmBC]의 교점을 [eqn: rmE][eqn: LEFT ( `p,```q` RIGHT ) `]라 하자. 삼각형 [eqn: rmOAB]의 무게중심의 좌표가 [eqn: LEFT ( 5,```4 RIGHT ) `]일 때, [eqn: p+q`]의 값은? [4점]

① [eqn: 12]	② [eqn: 14]	③ [eqn: 16]	④ [eqn: 18]	⑤ [eqn: 20]

19. 두 집합

[eqn: A= LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 10] 이하의 자연수[eqn: `right}],

[eqn: B= LEFT { `x` LEFT | ` RIGHT . RIGHT .][eqn: x`]는 [eqn: 6] 이상 [eqn: 15] 이하의 자연수[eqn: `right}]

가 있다. 다음은

[eqn: X{subset}A`], [eqn: n LEFT ( X` CUP B` RIGHT )][eqn: =12`]

를 만족시키는 집합 [eqn: X`]의 개수를 구하는 과정이다.

[eqn: X{subset}A`]이므로 세 집합 [eqn: A], [eqn: B], [eqn: X``]를 벤다이어그램으로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: X _{1} =X{cap} LEFT ( A-B` RIGHT )], [eqn: X _{2} =X SMALLINTER LEFT ( A{cap}B` RIGHT ) ``]라 하면

[eqn: X=X _{1} {cup}X _{2} `]이고 [eqn: X _{1} {cap}X _{2} =emptyset`]이다.

(ⅰ) [eqn: n LEFT ( X` CUP B` RIGHT )][eqn: =12`]이고 [eqn: n LEFT ( B` RIGHT )][eqn: =10`]이므로
[eqn: n LEFT ( X _{1} RIGHT )][eqn: = {BOX{~~(가)~~ ^{`}}} `]
따라서 가능한 집합 [eqn: X _{1} `]의 개수는 [eqn: {BOX{~~(나)~~ ^{`}}} `]이다.

(ⅱ) 집합 [eqn: X _{2} `]는 집합 [eqn: A SMALLINTER B``]의 부분집합이므로
가능한 집합 [eqn: X _{2} `]의 개수는 [eqn: {BOX{~~(다)~~ ^{`}}} `]이다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 집합 [eqn: X``]의 개수는

[eqn: {BOX{~~(나)~~ ^{`}}} `][eqn: TIMES `][eqn: {BOX{~~(다)~~ ^{`}}} `]

이다.

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 [eqn: p`], [eqn: q`], [eqn: r`]라 할 때, [eqn: p+q+r`]의 값은? [4점]

① [eqn: 44]	② [eqn: 47]	③ [eqn: 50]	④ [eqn: 53]	⑤ [eqn: 56]

20. 두 함수

[eqn: f(x)= it - {1} over {x} +k`], [eqn: g(x)= it {1} over {x-1} -k]

가 있다. 정수 [eqn: k`]에 대하여 두 곡선 [eqn: y=f(x)`], [eqn: y=g(x)`]의 교점 중 [eqn: x`]좌표가 양수인 점의 개수를 [eqn: h(k)`]라 하자. 등식

[eqn: h(k)+h(k+1)+h(k+2)=4]

를 만족시키는 정수 [eqn: k`]의 값은? [4점]

① [eqn: -2]	② [eqn: -1]	③ [eqn: 0]	④ [eqn: 1]	⑤ [eqn: 2]

21. 최고차항의 계수가 양수인 이차함수 [eqn: f(x)`]에 대하여 함수 [eqn: g(x)`]를 다음과 같이 정의하자.

[eqn: g(x)= {cases{``-x+4 _{`}&~ LEFT ( x< it -2 RIGHT ) _{`}#`~````f(x) ^{`}&~ LEFT ( -2 LEQ x LEQ 1 RIGHT ) ` _{` ^{`}}^{`}#``-x-2 ^{`}&~ LEFT ( x>1 RIGHT ) ^{` ^{`}}}}]

함수 [eqn: g(x)`]의 치역이 실수 전체의 집합이고, 함수 [eqn: g(x)`]의 역함수가 존재할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은? [4점]

		< 보 기 >
	ㄱ. [eqn: f(-2)+f(1)=3] ㄴ. [eqn: g(0)= it -1`], [eqn: g(1)= it -3`]이면 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: {5} over {2} `]이다. ㄷ. 곡선 [eqn: y=f(x)`]의 꼭짓점의 [eqn: x`]좌표가 [eqn: -2`]이면 [eqn: g ^{`-1} (1)=0`] 이다.

① ㄱ	② ㄴ	③ ㄱ, ㄴ

④ ㄱ, ㄷ	⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ

단답형

22. [eqn: rm ` _{4} P _{2} `]의 값을 구하시오. [3점]

23. 좌표평면 위의 두 점 [eqn: rmA][eqn: LEFT ( -1,```3 RIGHT ) `], [eqn: rmB][eqn: LEFT ( 4,```1 RIGHT ) `]에 대하여 선분 [eqn: rmAB]를 한 변으로 하는 정사각형의 넓이를 구하시오. [3점]

24. 함수 [eqn: f(x)][eqn: = sqrt {2x+a} +7`]은 [eqn: x=it-2`]일 때 최솟값 [eqn: m`]을 갖는다. [eqn: a+m`]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a`]는 상수이다.) [3점]

25. 다항식 [eqn: 2x ^{3} -x ^{2} +x+3`]을 [eqn: x+1`]로 나눈 몫을 [eqn: Q`(x)`]라 할 때, [eqn: Q`` LEFT ( -1 RIGHT ) `]의 값을 구하시오. [3점]

26. 전체집합 [eqn: U= LEFT { `x` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 20] 이하의 자연수[eqn: `right}]의 두 부분집합

[eqn: A= LEFT { `x` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 4`]의 배수[eqn: `right}],

[eqn: B= LEFT { `x` LEFT | `x` RIGHT . RIGHT .]는 [eqn: 20`]의 약수[eqn: `right}]

에 대하여 집합 [eqn: LEFT ( A ^{C} ` CUP B` RIGHT ) ^{C} `]의 모든 원소의 합을 구하시오. [4점]

27. 실수 [eqn: x`]에 대한 두 조건 [eqn: p`], [eqn: q`]가 다음과 같다.
[eqn: p:`2x-a LEQ 0`],

[eqn: q:`x ^{2} -5x+4>0]

[eqn: p`]가 [eqn: {sim}q`]이기 위한 필요조건이 되도록 하는 실수 [eqn: a`]의 최솟값을 구하시오. [4점]

28. 어느 관광지에서 [eqn: 7`]명의 관광객 [eqn: rmA], [eqn: rmB], [eqn: rmC], [eqn: rmD], [eqn: rmE], [eqn: rmF], [eqn: rmG]가 마차를 타려고 한다. 그림과 같이 이 마차에는 [eqn: 4`]개의 [eqn: 2`]인용 의자가 있고, 마부는 가장 앞에 있는 [eqn: 2`]인용 의자의 오른쪽 좌석에 앉는다. [eqn: 7`]명의 관광객이 다음 조건을 만족시키도록

비어 있는 [eqn: 7`]개의 좌석에 앉는 경우의 수를 구하시오. [4점]

(가) [eqn: rmA]와 [eqn: rmB]는 같은 [eqn: 2`]인용 의자에 이웃하여 앉는다.

(나) [eqn: rmC]와 [eqn: rmD]는 같은 [eqn: 2`]인용 의자에 이웃하여 앉지 않는다.

29. 좌표평면에 원 [eqn: C _{`1} ``:` LEFT ( x+7 RIGHT ) ^{2} + LEFT ( y-2 RIGHT ) ^{2} =20`]이 있다. 그림과 같이 점 [eqn: rmP][eqn: LEFT ( a,```0 RIGHT ) `]에서 원 [eqn: C _{`1} ``]에 그은 두 접선을 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2} `]라 하자.
두 직선 [eqn: l _{1} `], [eqn: l _{2} `]가 원 [eqn: C _{`2} `:`x ^{2} + LEFT ( y-b RIGHT ) ^{2} =5`]에 모두 접할 때,
두 직선 [eqn: l _{1}], [eqn: l _{2} `]의 기울기의 곱을 [eqn: c`]라 하자. [eqn: 11 LEFT ( a+b+c RIGHT ) `]의 값을 구하시오. (단, [eqn: a], [eqn: b`]는 양의 상수이다.) [4점]

30. 두 함수

[eqn: f(x)][eqn: =x ^{2} -2x+6], [eqn: g(x)][eqn: = it - LEFT | x-t RIGHT | +11] ([eqn: t`]는 실수)

가 있다. 함수 [eqn: h LEFT ( x RIGHT ) `]를

[eqn: h(x)][eqn: = {cases{``f(x) _{`}&&LEFT ( `f(x)<g(x) RIGHT ) _{`}#``g(x) ^{`}&&LEFT ( `f(x) GEQ g(x) RIGHT ) ^{`}}}]

라 할 때, 명제

‘어떤 실수 [eqn: t`]에 대하여 함수 [eqn: y=h(x)`]의 그래프와

직선 [eqn: y=k`]는 서로 다른 세 점에서 만난다.’

가 참이 되도록 하는 모든 자연수 [eqn: k`]의 값의 합을 구하시오.

[4점]

※ 확인 사항

◦ 답안지의 해당란에 필요한 내용을 정확히 기입(표기)했는지 확인하시오.