수리 영역(이과)

수리(이과) 영역

1. ②	2. ④	3. ⑤	4. ①	5. ④

6. ②	7. ③	8. ①	9. ②	10. ③

11. ②	12. ③	13. ④	14. ⑤	15. ③

16. ①	17. ⑤	18. ④	19. ④	20. ③

21. ⑤	22. ③	23. ①	24. ④	25. 16

26. 11	27. 16	28. 11	29. 142	30. 59

1. 수열의 극한

정답 ②

[eqn: sum _{n=1} ^{INF }` LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=7]이므로 [eqn: lim _{n~ -> ` INF `} {`} LEFT ( {a _{n}} over {n} -3 RIGHT ) `=0]

[eqn: therefore~][eqn: lim _{n~ -> ~ INF `} {`} {a _{n}} over {n} =3]

주어진 식의 분모, 분자를 각각 [eqn: n]으로 나누면

[eqn: lim _{n -> INF } {`{ {2a _{n} +3n-1} over {a _{n} -1}}}][eqn: = lim _{n -> INF } {` { {2a _{n}} over {n} +3- {1} over {n} }over {{a _{n}} over {n} - {1} over {n}} }]

[eqn: = {2 CDOT 3+3} over {3}][eqn: =3`]

2. 확률

정답 ④

[eqn: {\P}(A cup B`)={\P}(A)+{\P}(B `)-{\P}(A capB `)]에서

[eqn: {\P}(A cap B`)][eqn: ={\P}(A )+{\P}(B` )-{\P}(A cup B` )]

[eqn: =0.4+0.5-0.8][eqn: =0.1]

[eqn: {\P}(A^C `` |` B` )][eqn: ={{{\P}(A^{C}` cap B`)}over{{\P}( B` )]

[eqn: ={{{\P}(B` )-{\P}(A cap B`)}over{{\P}( B`` )}}]

[eqn: ={0.5-0.1}over{0.5}][eqn: =0.8]

[eqn: {\P}(A` |` B^C `` )][eqn: ={{{\P}(A` cap B^C``)}over{{\P}( B^C`` )}]

[eqn: ={{{\P}(A )-{\P}(A cap B`)}over{1-{\P}( B`` )}}]

[eqn: ={0.4-0.1}over{1-0.5}][eqn: =0.6]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(A^C``|`B`)+{\P}(A`|`B^C``)][eqn: =0.8+0.6][eqn: =1.4]

3. 벡터

정답 ⑤

[eqn: (2` vec{a} `+`3` vec{b`} `) BULLET (2` vec{a} `-` vec{b`} `)]

[eqn: =4`|`vec{a}`|^{`2}-2`vec{a}bulletvec{b}`+6`vec{a}bulletvec{b}`-3`|`vec{b}`|^{`2}]

[eqn: =4`|`vec{a}`|^{`2}+4`vec{a}bulletvec{b}`-3`|`vec{b}`|^{`2}][eqn: ~~cdotscdots㉠]

이때, [eqn: |`vec{a}`|`=3], [eqn: |`vec{b}`|`=5], [eqn: |`vec{a}`+vec{b}`|`=7]이므로

[eqn: |` vec{a`} `+ vec{b`} `| ^{2}][eqn: =|` vec{a} `| ^{2} +2` vec{a} BULLET vec{b} +|` vec{b} `| ^{2}]

[eqn: =3^2`+2`vec{a}`bulletvec{b}`+5^2]

[eqn: =7^2`=49]

[eqn: therefore~][eqn: 2`vec{a} BULLET vec{b} `=15][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하면

(주어진 식)[eqn: `=4cdot3^2 +2cdot15-3cdot5^2]

[eqn: =`-9]

4. 지수함수와 로그함수

정답 ①

[eqn: 10^0.76]에 상용로그를 취하면 [eqn: log`10^0.76`= 0.76]

그런데 [eqn: log`5][eqn: =1-log`2][eqn: =0.6990],

[eqn: log`6][eqn: =log`2+log`3][eqn: =0.7781]이므로

[eqn: log`5<log`10^0.76`<log`6]

[eqn: therefore~][eqn: 5<10^0.76`<6]

따라서 [eqn: 10^0.76]의 정수부분은 [eqn: 5]이다.

5. 방정식과 부등식

정답 ④

주어진 무리방정식의 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 4sqrt{x(1-x)}`=sqrt3]

다시 양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 16x^2`-16x+3=0], [eqn: (4x-1)(4x-3)=0]

[eqn: therefore~][eqn: x={1over4}] 또는 [eqn: x={3over4}]

따라서 [eqn: alpha={1over4}], [eqn: beta={3over4}] 또는 [eqn: alpha={3over4}], [eqn: beta={1over4}]이므로

[eqn: |`alpha-beta`|=left|`{1over4}-{3over4}` right|`={1over2}]

6. 방정식과 부등식

정답 ②

[eqn: {1} over {2 ^{`x} -1} + {1} over {4 ^{`x} +2 ^{`x} +1}LEQ {8} over {8 ^{`x} -1}]에서

[eqn: {(4 ^{`x} +2 ^{`x} +1)+(2 ^{`x} -1)} over {(2 ^{`x} -1)(4 ^{`x} +2 ^{`x} +1)} - {8} over {8 ^{`x} -1}leq0]

[eqn: {4^{`x}+2CDOT2^{`x}-8}over{(2^{`x}-1)(4^{`x} +2^{`x} +1)}LEQ0]

[eqn: {(2^{`x}+4)(2^{`x}-2)}over{(2^{`x}-1)(4^{`x}+2^{`x}+1)}leq0]

그런데 [eqn: 2^{`x}+4>0], [eqn: 4^{`x}+2^{`x}+1>0]이므로

[eqn: {2^{`x}-2}over{2^{`x}-1}LEQ0] [eqn: ⇔] [eqn: (2^{`x}-2)(2^{`x}-1)leq0], [eqn: 2^x !=1]

따라서 [eqn: 1<2 ^{`x} LEQ 2]에서 [eqn: 0<x`LEQ1]이므로 주어진

부등식을 만족시키는 정수 [eqn: x]는 [eqn: x=1]의 [eqn: 1]개뿐이다.

7. 미분법

정답 ③

[eqn: f(x)=x^3 +2x^2 -3x], [eqn: g(x)=mx+8]이라 하자.

삼차함수 [eqn: y=f(x)]의 그래프가 직선 [eqn: y=g(x)]와 서로

다른 두 점에서 만나려면 직선 [eqn: y=g(x)]가 삼차함수

[eqn: y=f(x)]의 그래프의 접선이어야 한다.

이때, 접점의 [eqn: x]좌표를 [eqn: a]라 하면

[eqn: f(a)=g(a)], [eqn: f`'(a)=m]

이 성립하므로

(ⅰ) [eqn: f(a)=g(a)]에서

[eqn: a^3`+2a^2`-3a=ma+8][eqn: ~~cdotscdots㉠]

(ⅱ) [eqn: f`'(a)=m]에서

[eqn: 3a^2`+4a-3=m][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉡]을 [eqn: ㉠]에 대입하면

[eqn: a^3`+2a^2`-3a=(3a^2`+4a-3)cdot`a+8]

[eqn: a^3`+a^2`+4=0], [eqn: (a+2)(a^2`-a+2)`=0]

[eqn: therefore~][eqn: a=`-2]

이를 다시 [eqn: ㉡]에 대입하면

[eqn: m=3cdot(-2)^2`+4cdot(-2)-3=1]

8. 적분법

정답 ①

[eqn: lim _{ n->inf} {`` sum _{ k=1} ^{ n}``g left({3k over n }right) }{1overn}`][eqn: =lim _{ n->inf} {`` sum _{ k=1} ^{ n}``g left({3k over n }right) }{3overn}cdot{1over3}`]

[eqn: ={1over3}`int _{ 0} ^{ 3} {``g(x)`dx }`]

그런데 [eqn: f(x)]와 [eqn: g(x)]의 그래프는 직선 [eqn: y=x]에

대하여 대칭이므로 다음 그림과 같다.

따라서 [eqn: int _{ 0} ^{ 3} {``g(x)`dx }`][eqn: =9- int _{ 0} ^{3 } {``f(x)`dx }`]이므로

[eqn: {1over3}`int _{ 0} ^{ 3} {``g(x)`dx }`][eqn: ={1over3} left(`9- int _{ 0} ^{3 } {``{x^3 over9 }`dx}`right)`]

[eqn: ={1over3} left(`9-left[{x^4over36 } right] matrix{ `^3 # `_0 }`right)`]

[eqn: ={1over3}left(`9-{9 over 4}`right)`][eqn: ={9over4}`]

9. 이차곡선

정답 ②

포물선 [eqn: y^2`=4px]의 초점 [eqn: {\F}`]의 좌표를 [eqn: (`p,``0)]이라 하면

준선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: x=`-p`]이므로 점 [eqn: \P]의 좌표는

[eqn: y^2 `=4p cdotp`=4p^2 `], [eqn: y=`+-2p`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(`p`,``2p)]

따라서 [eqn: bar{\PF}`=2p`]이고, [eqn: bar{\PF}`:bar{\QF}`=2:5]이므로

[eqn: bar{\QF}`=5p`]

점 [eqn: \Q`]에서 준선 [eqn: l`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \Q'`]이라 하면

포물선의 정의에 의해

[eqn: bar{\QQ'}`=bar{\QF}`=5p`]

[eqn: therefore~][eqn: {\Q}(4p`,``4p)`]

점 [eqn: {\P}`]에서 직선 [eqn: \QQ'`]에 내린 수선의 발을 [eqn: \H`]라 하면

두 삼각형 [eqn: \Q'SQ`]과 [eqn: \HFQ`]가 닮음이고,

[eqn: bar{\QQ'}`:bar{\ QH}`=5p`:3p`=5:3`]이므로 [eqn: bar{\FS}`=x]라 하면

[eqn: bar{\QS}`:bar{\QF}`=(x+5p)`:5p=5:3]

[eqn: therefore~][eqn: bar{\FS}`={10over3}p]

[eqn: therefore~][eqn: {bar{\QF} over bar{\FS} }`={{5p}over{{10over3}p}}`={3 over 2}`]

10. 확률

정답 ③

두 사격선수 [eqn: \A`], [eqn: \B`]가 한 번의 사격에서 [eqn: 10`]점을 얻는

사건을 각각 [eqn: A`], [eqn: B`]라 하면

[eqn: {\P}(A)`={3over4}], [eqn: {\P}(B`)`={2over3}]

두 선수가 각각 한 번씩 사격하였을 때, 먼저 사격한 선수만

[eqn: 10`]점을 얻는 사건을 [eqn: E`]라 하면

(ⅰ) [eqn: \A`]가 먼저 사격했을 경우

[eqn: {{\P}(A cap E`)`][eqn: ={3over4}×{1over3}`][eqn: ={1over4}]

(ⅱ) [eqn: \B`]가 먼저 사격했을 경우

[eqn: {{\P}(B`` cap E`)`][eqn: ={2over3}×{1over4}`][eqn: ={1over6}]

(ⅰ), (ⅱ)에서 구하는 확률은

[eqn: {\P}(A`|`E`)`][eqn: ={{{\P}(A cap E`)}over{{\P}(E`)}}`][eqn: ={{1over4}over{{1over4}+{1over6}}}`][eqn: ={3over5]

11. 적분법

정답 ②

두 곡선 [eqn: y=sqrt{x+2}], [eqn: y=sqrt{2x-4}]의 교점의 좌표를

구하면

[eqn: sqrt{x+2}=sqrt{2x-4}], [eqn: x+2=2x-4]

[eqn: therefore~][eqn: x=6]

따라서 두 곡선 [eqn: y=sqrt{x+2}], [eqn: y=sqrt{2x-4}]의 교점의

좌표는 [eqn: (6,``2sqrt2`)]이므로 주어진 세 곡선을 좌표평면 위에

나타내면 다음과 같다.

위의 그림에서 구하는 회전체의 부피는

[eqn: piint _{ 0} ^{6 } { `(sqrt{x+2})^2}`dx][eqn: -piint _{ 0} ^{2 } {`(sqrt{-x+2}`) ^{`2}}`dx]

[eqn: -piint _{ 2} ^{6 } {`(sqrt{2x-4}`) ^{`2}}`dx]

[eqn: =pi left[`{1over2}x^2`+2x`right] matrix{ `^6#`_0 }][eqn: -pi`left[`-{1over2}x^2`+2x`right] matrix{ `^2 # `_0 }]

[eqn: -pi left[`x^2`-4x`right] matrix{ `_6 # `^2 }]

[eqn: =30`pi-2`pi-16`pi][eqn: =12`pi]

12. 미분법

정답 ①

함수 [eqn: y=f`'(x)]의 그래프가 [eqn: x]축과 서로 다른 세 점에서

만나므로 사차함수 [eqn: y=f(x)]는 극값을 [eqn: 3]개 가진다.

ㄱ. (거짓) 방정식 [eqn: f(x)=k]가 서로 다른 세 실근을

가지면 그래프가 다음과 같다.

(ⅰ)	(ⅱ)

(ⅰ)에서 함수 [eqn: f(x)]의 극댓값은 [eqn: k]가 아니다.

ㄴ. (참) [eqn: f(alpha)`f(beta)`f(gamma)<0]이면 사차함수 [eqn: y=f(x)]의

그래프는 다음과 같다.

그러므로 방정식 [eqn: f(x)=0]은 서로 다른 두 실근을

가진다.

ㄷ. (거짓) 방정식 [eqn: f(x)=0]이 서로 다른 네 실근을 가지

려면 다음 그림과 같이

[eqn: f(alpha)<0], [eqn: f(beta)>0], [eqn: f(gamma)<0]

이어야 한다.

따라서 옳은 것은 ㄴ뿐이다.

13. 지수함수와 로그함수

정답 ④

이 기계가 작동하기 시작한 순간의 정확도가 [eqn: 100`]이므로

[eqn: 100`=a`log``7+b`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: 28`]시간이 되는 순간의

정확도가 [eqn: 79`]이므로

[eqn: 79`=a`log``35`+b`][eqn: ~~cdotscdots㉡]

㉠, ㉡을 연립하면

[eqn: 21`=a(log``7-log``35)`][eqn: =a log``{1over5}]

[eqn: a` log``5`=a(1-log``2)`][eqn: =a(1-0.3)`][eqn: =`-21]

[eqn: 0.7a`=`-21]

[eqn: therefore~][eqn: a=`-30`], [eqn: b`=100+30`log``7`]

따라서 이 기계가 작동하기 시작하여 [eqn: 63`]시간이 되는

순간의 정확도 [eqn: I]는

[eqn: I```=a`log``(63+7)`+b`]

[eqn: =`-30` log``70+100+30`log``7`]

[eqn: =30(log``7`-log``70)+100`]

[eqn: =`-30+100]

[eqn: =70]

14. 공간도형과 공간좌표

정답 ⑤

반구의 밑면의 넓이를 [eqn: S]라 하면

[eqn: S_1`cos`theta=S]

[eqn: S_2`cos`left(`{pi over 2}-theta`right)`={1over2}S], [eqn: 2S_2`sin`theta=S]

두 식을 연립하면

[eqn: S_1`cos`theta=2S_2`sin`theta][eqn: ~~cdotscdots㉠]

그런데 [eqn: S_1`:S_2`=3`:2]이므로

[eqn: 3S_2`=2S_1`], [eqn: S_2`={2over3}S_1`][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠]에 [eqn: ㉡]을 대입하면

[eqn: cos`theta={4over3}`sin`theta]

[eqn: therefore~][eqn: tan`theta={{sin`theta}over{cos`theta}}`={3over4}]

15. 수열

정답 ③

(ⅰ) [eqn: n=2`]일 때,

[eqn: {13over6 }`]

(좌변)[eqn: `=S _{2} `][eqn: ={{1cdot2}over{2+1}}`+{{2cdot3}over{2+2}}`][eqn: =]

(우변)[eqn: `= {(2+1) ^{2}} over {4} `][eqn: ={9over4}`]

이때, [eqn: {13over6}<{9over4}`]이므로 (*)은 성립한다.

(ⅱ) [eqn: n=m``(`m=2,``3,``4,` CDOTS `)]일 때 (*)이 성립한다고

가정하자.

[eqn: S _{m} = {1cdot2} over {m+1} `+ {2cdot3} over {m+2} `+ {3cdot4} over {m+3} +` CDOTS `]

[eqn: + {m(m+1)} over {m+m} `]

이고,

[eqn: S _{m+1} = {1cdot2} over {(m+1)+1}` + {2cdot3} over {(m+1)+2}` +` CDOTS `]

[eqn: + {(m+1)(m+2)} over {(m+1)+m+1} `]

이므로

[eqn: S _{m+1} -S _{m} `]

[eqn: =`- {2} over {m+1} `- {4} over {m+2} `- {6} over {m+3}` -`cdots`]

[eqn: -`{2m over2m}`+{m(m+1) over{(m+1)+m}}` +{{(m+1)(m+2)}over{(m+1)+m+1}}`]

[eqn: =`-2` LEFT ( {1} over {m+1} + {2} over {m+2} +{3} over {m+3}+` CDOTS`+{m} over {2m} RIGHT ) `]

[eqn: {m(m+1) over{2m+1} }]

[eqn: +]              [eqn: +{m+2 overm}`]

한편,

[eqn: {1} over {m+1} `+ {2} over {m+2} `+` CDOTS `+ {m} over {2m} `]

[eqn: > {1} over {m+m} `+ {2} over {m+m} `+` CDOTS` + {m} over {2m} `]

[eqn: `=`{1over2m}(1+2+`cdots`+m)`]

[eqn: m+1 over4]

[eqn: ={1over2m} cdot {m(m+1)over2}`][eqn: =]

이고 [eqn: {m(m+1)} over {2m+1} < {2m+1} over {4} `]이므로

[eqn: S _{m+1} -S _{m} < {2m+3} over {4} `]이다.

[eqn: therefore~][eqn: a`={13over6 }`], [eqn: f(m)`={m(m+1) over{2m+1} }`], [eqn: g(m)`={m+1 over4}`]

[eqn: therefore~][eqn: af(3)g(3)`=][eqn: {13over6}cdot{12over7} cdot1`]

[eqn: ={26over7}`]

16. 수열의 극한

정답 ①

위의 그림에서 [eqn: bar{rm BE it} `=1`]이므로 직각삼각형 [eqn: rm ABE]에서

[eqn: bar{rm AE it} `][eqn: = sqrt {3} `]이고, [단계 [eqn: n]]에서 그려진 원의 반지름의

길이를 [eqn: r _{n}`]이라 하면 삼각형 [eqn: \ABF`]의 넓이는

[eqn: {1} over {2} LEFT ( sqrt {2} + {sqrt {3}} over {2} + {sqrt {3}} over {2} RIGHT ) `r_1`= {1} over {2} CDOT sqrt {2} CDOT {1} over {2} `]

[eqn: therefore~][eqn: r_1`][eqn: = {1} over {sqrt {6} +2`} `][eqn: = {sqrt {6} -2} over {2} `]

[eqn: therefore~][eqn: S _{1} `][eqn: =2 CDOT pi `r_1` ^{2} `]

[eqn: =2 CDOT pi CDOT LEFT ( {sqrt {6} -2} over {2} RIGHT ) ^{2} `]

[eqn: = pi `(5-2 sqrt {6} `)`]

또, [단계 [eqn: n]]과 [단계 [eqn: (n+1)]]에서 그려진 직사각형들의

닮음비가 [eqn: sqrt {2} `:`1`]이므로 [단계 [eqn: n]]과 [단계 [eqn: (n+1)]]에서

각각 그려진 원의 반지름의 길이 [eqn: r_n], [eqn: r _{n+1}] 사이의 닮음비도

[eqn: r _{n} `:`r _{n+1} `= sqrt {2} `:`1`]이고 [eqn: S _{n} `:`S _{n+1} `=2`:`1`]이다.

따라서 수열 [eqn: left{S_n right}]은 첫째항이 [eqn: pi `(5-2 sqrt {6} `)`]이고

공비가 [eqn: 1over2]인 무한등비수열이다.

[eqn: THEREFORE `][eqn: sum _{n=1} ^{INF } S _{n} `][eqn: = {pi `(5-2 sqrt {6} `)} over {1- {1} over {2}} `][eqn: =2` pi `(5-2 sqrt {6} `)`]

17. 수열

정답 ⑤

점 [eqn: \P`]가 원점을 출발하여 점 [eqn: (0,``n)`]에 도착할 때까지의

이동 횟수를 [eqn: {a_n} `]이라 하면

[eqn: a_1 `=3]

[eqn: a_2 `=3+11`=14]

[eqn: a_3 `=3+11+19`=33]

[eqn: a_4 `=3+11+19+27`=60]

[eqn: VDOTS]

이때, 수열 [eqn: left{a_n right}`]의 계차수열을 [eqn: left{b_n right}`]이라 하면

[eqn: left{b_n right}`~:`~11`,~19`,~27`,``cdots]

[eqn: b_n`=11+(n-1)cdot8`=8n+3]

[eqn: therefore~][eqn: a_n `][eqn: =a_1 + sum _{ k=1} ^{n-1 }`{(8k+3)}`]

[eqn: =3+8cdot{n(n-1) over2 }`+3(n-1)`]

[eqn: =4n^2 `-n]

따라서 점 [eqn: (0,``10)`]에 도착할 때까지의 이동 횟수 [eqn: k]는

[eqn: k`=a_10 `][eqn: =4cdot10^2 `-10 `][eqn: =390`]

18. 미분법

정답 ④

사각뿔 [eqn: \A-BCDE]의 높이는 [eqn: 4-t]이고, 밑면 [eqn: \BCDE]는

한 변의 길이가 [eqn: sqrt2`t]인 정사각형이므로 이 사각뿔의

부피를 [eqn: V(t)]라 하면

[eqn: V(t)={1over3}times(sqrt2`t)^2 times(4-t)]

[eqn: =`-{2over3} (t^3`-4t^2`)] (단, [eqn: 0<t<4])

[eqn: V``'(t)`=`-2t^2`+{16over3}t][eqn: =`-t`left(2t-{16over3}`right)][eqn: =0]에서 함수

[eqn: V(t)]의 증가, 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: t]	[eqn: 0]	[eqn: cdots]	[eqn: 8over3]	[eqn: cdots]	[eqn: 4]
[eqn: V``'(t)]		[eqn: +]	[eqn: 0]	[eqn: -]
[eqn: V(t)]		[eqn: NEARROW]	[eqn: 512 over 81] (극대)	[eqn: SEARROW]

따라서 [eqn: t={8over3}]일 때, 함수 [eqn: V(t)]는 극대이면서 최대이므로

구하는 실수 [eqn: t]의 값은 [eqn: 8over3]이다.

19. 공간도형과 공간좌표

정답 ④

[eqn: bar{\AB}`=1], [eqn: bar{\BG}`=sqrt{2}]이고,

[eqn: bar{\AG}`=sqrt{1^2`+1^2`+1^2}`=sqrt3]

이므로 삼각형 [eqn: \ABG]는 선분 [eqn: \AG]를 빗변으로 하는 직각

삼각형이다.

점 [eqn: \B]에서 선분 [eqn: \AG]([eqn: y]축)에 내린 수선의 발을 [eqn: \P]라 하면

점 [eqn: \B]가 그리는 도형은 점 [eqn: {\P}(0,``a,``0)]을 중심으로 하고,

반지름의 길이가 [eqn: r=bar{\BP}]인

원이다.

삼각형 [eqn: \ABG]에서

[eqn: {1over2}times1timessqrt2][eqn: ={1over2}timessqrt3`timesbar{\BP}]

[eqn: THEREFORE`][eqn: r=bar{\BP}`={sqrt2}over{sqrt3}={sqrt6}over3]

또, 점 [eqn: \P]의 [eqn: y]좌표는 선분 [eqn: \AP]의 길이와 같으므로

[eqn: a=bar{\AP}][eqn: =sqrt{1-left({sqrt6}over{3}right)^2`}][eqn: =sqrt{1over3}][eqn: ={sqrt{3}over3}]

[eqn: THEREFORE`][eqn: ar={{sqrt3}over3}cdot{{sqrt6}over3}={{Sqrt2}over3}]

20. 함수의 극한과 연속

정답 ③

ㄱ. (참) [eqn: lim _{ x`->-0} {`f(x)g(x) }`= lim _{ x`->-0} {` [`x`]}`timeslim _{ x`->-0} {`sin`pix}]

[eqn: =(-1)times0=0]

[eqn: lim _{ x`->+0} {`f(x)g(x) }`= lim _{ x`->+0} {` [`x`]}`timeslim _{ x`->+0} {`sin`pix}]

[eqn: =0times0=0]

[eqn: THEREFORE`][eqn: lim _{ x`->`0} {`f(x)g(x) }`=0]

또, [eqn: f(0)g(0)=0times0=0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`0} {`f(x)g(x) }`=f(0)g(0)=0]

그러므로 함수 [eqn: f(x)g(x)]는 [eqn: x=0]에서 연속이다.

ㄴ. (거짓) 정수 [eqn: a]에 대하여 [eqn: x`->`a]일 때, [eqn: g(x)`->`0]이므로

[eqn: lim _{ x`->`a} { `(`f circg)(x)}`= lim _{ x`->`a} {`f(g(x)) }][eqn: =lim _{ t`->`0} {`f(t) }]

그런데 [eqn: lim _{ t`->`-0} {`f(t) }`=`-1]이고, [eqn: lim _{ t`->+0} {`f(t) }`=0]이므로

[eqn: lim _{ t`->`0} {`f(t) }]의 값은 존재하지 않는다.

그러므로 함수 [eqn: (`f`circg)(x)]는 모든 정수에서 불연속

이다.

ㄷ. (참) 함수 [eqn: f(x)]는 [eqn: x]가 정수일 때 불연속이므로 정수

[eqn: a]에 대하여 함수 [eqn: (`g`circf)(x)]의 연속성을 알아보면

된다.

[eqn: x`->`a+0]일 때, [eqn: f(x)=a]이므로

[eqn: lim _{ x`->`a+0} {`(`g`circf)(x) }`= lim _{ x`->`a+0} {`g(`f(x)) }]

[eqn: =g(a)][eqn: =0]

[eqn: x`->`a-0]일 때, [eqn: f(x)=a-1]이므로

[eqn: lim _{ x`->`a-0} {`(`g`circf)(x) }`= lim _{ x`->`a-0} {`g(`f(x)) }]

[eqn: =g(a-1)][eqn: =0]

[eqn: THEREFORE`][eqn: lim _{ x`->`a} {`(`g`circf)(x) }`=0]

또, 모든 정수 [eqn: a]에 대하여

[eqn: (`g`circf)(a)=g(`f(a))][eqn: =g(a)][eqn: =0]

이므로 함수 [eqn: (`g`circf)(x)]는 연속이다.

그러므로 함수 [eqn: (`g`circf)(x)]는 모든 실수에서 연속이다.

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

21. 행렬과 그래프

정답 ⑤

ㄱ. (거짓) 【반례】 [eqn: X`= pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} `]이라 하면

[eqn: X ^{2} `][eqn: = pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} ` pmatrix{`0&``1`#`0&``0`} `][eqn: = pmatrix{`0&``0`#`0&``0`} `=O`]

[eqn: X ^{4} `=X ^{2} =O`]이므로 [eqn: X ^{2} ` IN M`]이지만

[eqn: X ^{2} ` != X`]이므로 [eqn: X` NOTINM`]이다.

ㄴ. (참) [eqn: X` IN `M``]이므로 [eqn: X ^{2} `=X``]

[eqn: (E-X`) ^{2} `][eqn: =E-2X+X ^{2} `]

[eqn: =E-2X+X`]

[eqn: =E-X`]

[eqn: THEREFORE`][eqn: E``-X`][eqn: IN `M`]

ㄷ. (참) (ⅰ) [eqn: X` IN M`]이면 [eqn: X ^{2} `=X`]

[eqn: X ^{`3}`=X^{`2} `X`=X^{`2}`=X]

[eqn: VDOTS]

[eqn: X^{`m}`=X] (단, [eqn: m]은 자연수)

(ⅱ) [eqn: Y` IN M`]이면 [eqn: Y ^{``2} `=Y`]

[eqn: Y ^{`3}`=Y ^{`2} `Y `=Y ^{`2}`=Y]

[eqn: VDOTS]

[eqn: Y ^{`n} `=Y] (단, [eqn: n]은 자연수)

(ⅰ), (ⅱ)에서

[eqn: (X^{`m} +Y^{`n})^2 `][eqn: =(X+Y`)^{`2} `]

[eqn: =X^{`2} +XY+YX+Y^{`2} `]

[eqn: =X+(-YX)+YX+Y]

[eqn: =X+Y`][eqn: =X^{`m} +Y^{`n}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: X ^{`m} +Y ^{`n} ` IN M`]

따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다.

22. 지수함수와 로그함수

정답 ③

[eqn: bar{\PA}`=bar{\AB}`]이고, [eqn: bar{\PB}`={2over3}`]이므로

[eqn: bar{\PA}`=bar{\AB}`][eqn: ={1over3}`]

점 [eqn: \B`]의 좌표를 [eqn: (t,``0)`]이라 하면

[eqn: bar{rm PB it} `: bar{rm AB it} `=log_{`a}``t`:log_{`b}``t=2`:1]

[eqn: THEREFORE~][eqn: b=a ^{2} `]

따라서 [eqn: bar{\CD}`:bar{\QD}`=2`:1`]이므로

[eqn: bar{\CQ}`=bar{\QD}`={2over3}`]

이때, 사각형 [eqn: \PAQC`]의 넓이가 [eqn: 1`]이므로

[eqn: □{\PAQC}`= {1over2}left({{1} over {3} + {2} over {3}} right)} TIMES bar{\BD} `=1]

[eqn: THEREFORE `][eqn: bar{\BD}`=2`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

그런데 [eqn: bar{\BD}`=bar{\PQ}`]이고 점 [eqn: {\P}left(t,``{2over3 right)`]가 곡선 [eqn: y=log_{`a}``x]

위의 점이므로

[eqn: {2over3}`=log_{`a}``t`] [eqn: ⇔] [eqn: t=a^{2over3}`]

점 [eqn: {\C}]의 좌표를 [eqn: left(s,``{4over3} right)`]라 하면 점 [eqn: \C]도 곡선 [eqn: y=log_{`a}``x]

위의 점이므로

[eqn: {4over3}`=log_{`a}``s`] [eqn: ⇔] [eqn: s=a^{4over3}`]

㉠에서

[eqn: bar{\BD}`=s-t`][eqn: =a ^{{4} over {3}} -a ^{{2} over {3}} =2`]

[eqn: a ^{{2over3}}`=X`][eqn: (X>0)`]라 치환하면

[eqn: X^{`2} -X-2`=0]

[eqn: (X-2)(X+1)`=0]

[eqn: THEREFORE `][eqn: X`=a ^{{2over3}}`=2`], [eqn: a`=2^{3over2}]

[eqn: THEREFORE `][eqn: ab`=a ^{3}][eqn: =2 ^{{9} over {2}}]

[eqn: =16 sqrt {2} `]

23. 순열과 조합

정답 ①

(ⅰ) 점 [eqn: \P`](또는 [eqn: \P'`])를 지나는 경우

[eqn: {4!} over {2!2!}`times1`=6`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 6times2`=12`](가지)

(ⅱ) 점 [eqn: \Q`](또는 [eqn: \Q'`])를 지나는 경우

최단경로는 각각 [eqn: 1]가지뿐이므로

[eqn: 1times2`=2`](가지)

(ⅲ) 점 [eqn: \R`](또는 [eqn: \R'`])를 지나는 경우

[eqn: {3!}over{2! 1!}`=3`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 3times2`=6`](가지)

(ⅳ) 점 [eqn: \S`](또는 [eqn: \S'`])를 지나는 경우

[eqn: {3!}over{2! 1!}`=3`](가지)

[eqn: THEREFORE `][eqn: 3times2`=6`](가지)

(ⅴ) 점 [eqn: \C`]를 지나는 경우

[eqn: 2times2`=4`](가지)

(ⅰ)∼(ⅴ)에서 구하는 최단경로의 개수는

[eqn: 12+2+6+6+4`=30`](가지)

24. 통계

정답 ④

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: {\N}(100,``0.6^{`2} `)]을 따르므로

크기가 [eqn: 9`]인 표본을 임의추출하였을 때의 표본평균 [eqn: bar{X``}]는

정규분포 [eqn: {\N}(100,``0.2^{`2} `)]을 따른다.

이때, 모평균을 [eqn: m`]이라 하고, [eqn: |`bar{X``}`-m``|geq c`]이면 부품의

제조과정에 대한 전면적인 조사를 하게 되므로 전면적인

조사를 하게 될 확률이 [eqn: 5``%] 이하가 되게 하려면

[eqn: {\P}(`|`bar{X``}`-m``|geq c`)leq0.05`][eqn: ~~cdotscdots㉠]

를 만족하여야 한다. [eqn: Z``={bar{X``}-m}over{0.2}}`]이라 하면

[eqn: {\P}(`|`bar{X``}`-m``|geq c`)`={\P}left(`{{|`bar{X``}`-m}``|}over0.2} geq {c over0.2}`right)]

[eqn: ={\P}left(`|`Z```| geq{c over 0.2 } right)`]

[eqn: =1-2`{\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`]

이를 ㉠에 대입하면

[eqn: 1-2`{\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`leq0.05]

[eqn: {\P}left(0 leq`Z``leq{c over 0.2 } right)`geq0.475`][eqn: ={\P}(0leqZ``` leq1.96)`]

[eqn: {c over 0.2}geq1.96], [eqn: c geq0.392`]

따라서 상수 [eqn: c`]의 최솟값은 [eqn: 0.392`]이다.

25. 행렬과 그래프

정답 16

[eqn: pmatrix{`-b````&`a`-5`#`2a`&`2b`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`x+3y`#`-2y`} `]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`-b````&`a`-5`#`2a`&`2b`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`1&`````````3`#`0`&`-2`} pmatrix{`x`#`y`}]

[eqn: LRARROW] [eqn: pmatrix{`-b-1````&`a`-8#`2a`&`2b+2`} pmatrix{`x`#`y`} `= pmatrix{`0`#`0`} `]

이 연립일차방정식이 [eqn: x=0`], [eqn: y=0`] 이외의 해를 가지려면

[eqn: (-b-1)(2b+2)-(a-8)cdot2a`=0][eqn: ~~cdotscdots㉠]

을 만족하여야 한다. ㉠을 정리하면

[eqn: (a-4)^2 +(b+1)^2 `=16]

따라서 좌표평면에서 점 [eqn: (a,``b)`]가 나타내는 도형은 중심이

[eqn: (4,``-1)]이고 반지름의 길이가 [eqn: 4`]인 원이므로 넓이 [eqn: S]는

[eqn: S``=picdot4^2`=16pi`]

[eqn: therefore~][eqn: {S over pi }`={16pi overpi}`=16`]

26. 함수의 극한과 연속

정답 11

조건 (가)에서

[eqn: f(x)={11over3}x^2`+ax+b] (단, [eqn: a], [eqn: b]는 상수)[eqn: ~~cdotscdots㉠]

로 놓을 수 있다.

조건 (나)에서 [eqn: x`->`0]일 때, (분모)[eqn: `->`0]이므로

(분자)[eqn: `->`0]이어야 한다.

[eqn: lim _{ x`->`0} { `left( {11over3}x^2`+ax+b right)`=b=0][eqn: ~~cdotscdots㉠]

또, 조건 (나)에서

[eqn: lim _{ x`->`0} {`{{f(x)}over{x}} }`= lim _{ x`->`0} {`left({11over3}x+a`right)`=`-11]

[eqn: therefore~][eqn: a=`-11][eqn: ~~cdotscdots㉡]

[eqn: ㉠,``㉡]에서

[eqn: f(x)={11over3}x^2`-11x][eqn: ={11over3}x(x-3)]

[eqn: therefore~][eqn: lim _{ x`->`3} {`{{f(x)}over{x-3} }`=][eqn: {11over3}`lim _{ x`->`3} {`{{x(x-3)}over{x-3}} }]

[eqn: ={11over3}cdot3=11]

27. 이차곡선

정답 16

타원 위의 점 [eqn: {\P}left(`3,``{16over5} right)]에서의 접선 [eqn: l]의 방정식은

[eqn: {3over25}x+{16over5}over16}y`=1], [eqn: {3over25}x`+{1over5}y`=1]

[eqn: therefore~][eqn: 3x+5y-25=0]

타원의 두 초점의 좌표가 [eqn: {\F}(3,``0)], [eqn: {\F}`'(`-3,``0)]이므로

[eqn: d={{|`9-25|}over{sqrt{3^2`+5^2`}}}][eqn: ={16 oversqrt34`}]

[eqn: d`'={{|`-9-25`|}over{sqrt{3^2`+5^2}}}][eqn: ={34oversqrt34}][eqn: =sqrt34]

[eqn: therefore~][eqn: dd`'={16oversqrt34}cdot`sqrt{34}][eqn: =16]

28. 벡터

정답 11

점 [eqn: \P]에서 선분 [eqn: \OA]에 그은 수선의 발을 [eqn: \H]라 하면

[eqn: bar{\HP}`=cos`30`°={sqrt{3}over{2}}]

따라서 점 [eqn: \P]가 그리는 도형은 반지름의 길이가 [eqn: {sqrt3}over2]인

원이다.

이때, 선분 [eqn: \AP] 위의 점 [eqn: \Q]에 대하여

[eqn: vec{\AP}bulletvec{\OQ}`=|vec{\AP}`|times|`vec{\OQ}`|timescos`(angle{\AQO)`geq0]

이므로 [eqn: cos`(angle{\AQO)`geq0]

[eqn: therefore~][eqn: 0leqangle{\AQO}`leq{pi over2}]

즉, 선분 [eqn: \AP]의 중점을 [eqn: \M]이라 하면 점 [eqn: \Q]는 선분 [eqn: \MP]

위의 점이어야 한다. 따라서 점 [eqn: \Q]가 존재하는 영역은

그림과 같이 모선이 선분 [eqn: \MP]인 원뿔대의 옆면과 같다.

이때, 부채꼴 [eqn: \APP`']의 중심각의

크기를 [eqn: theta]라 하면

[eqn: 1timestheta=2pitimes{sqrt3 over2}]

[eqn: therefore~][eqn: theta=sqrt3`pi]

따라서 점 [eqn: \Q]가 존재하는 영역의 넓이는

[eqn: {1over2}cdot1^2`cdot`sqrt3`pi-{1over2}cdotleft(1over2right)^2`cdot`sqrt3`pi]

[eqn: ={3over8}sqrt3`pi][eqn: ={q over p}sqrt3`pi]

[eqn: therefore~][eqn: p=8], [eqn: q=3]

[eqn: therefore~][eqn: p+q=11]

29. 수열

정답 142

(ⅰ) [eqn: 198`]이 적힌 흰색 바둑돌의 개수

[eqn: 198`=3times66`]이므로

제[eqn: `198`]행에 놓인 흰색의 바둑돌의 개수는

[eqn: 2times66`=132`](개)

따라서 [eqn: 198`]이 적힌 흰색의 바둑돌의 개수는 [eqn: 132`](개)

이다.

(ⅱ) [eqn: 198`]이 적힌 검은색 바둑돌의 개수

제[eqn: `n`]행의 검은색의 바둑돌에 [eqn: 198`]이 적혀있다고 하면

[eqn: 198`]은 [eqn: 4`]개 또는 [eqn: 6`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의

합이다.

[eqn: ①] [eqn: 4`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합이 [eqn: 198`]일

경우

[eqn: n-1+n+2(n+1)=198], [eqn: 4n`=197`]

이를 만족하는 자연수 [eqn: n`]은 존재하지 않는다.

[eqn: ②] [eqn: 6`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌 숫자의 합이 [eqn: 198`]일

경우

[eqn: 2(n-1)+2n+2(n+1)=198], [eqn: 6n`=198`]

[eqn: therefore~][eqn: n= 33]

그런데 [eqn: 33`=3times11`]이므로 제[eqn: `33`]행에는 검은색의

바둑돌이 [eqn: 12`]개 있다. 이때, 양 끝에 놓인 검은색의

바둑돌에 적힌 수는 [eqn: 4`]개의 흰색의 바둑돌에 적힌

숫자의 합과 같으므로 이를 제외하면 [eqn: 198`]이 적힌

검은색의 바둑돌의 개수는 [eqn: 10](개)이다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 [eqn: 198`]이 적힌 바둑돌의 개수는

[eqn: 132+10`][eqn: =142`](개)

30. 통계

정답 59

확률변수 [eqn: X`]는 [eqn: 3,``4,``5`]의 값을 취할 수 있다.

(ⅰ) [eqn: X`=3`]일 때

빨간 공을 [eqn: 3]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_3 times`_5`{\C}_2 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 63}`]

파란 공을 [eqn: 3]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_2 times`_5`{\C}_3 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 63}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=3)`={25over63}+{25over63}`={50over63}]

(ⅱ) [eqn: X`=4`]일 때

빨간 공을 [eqn: 4]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_4 times`_5`{\C}_1 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 252}`]

파란 공을 [eqn: 4]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_1 times`_5`{\C}_4 }over{`_10`{\C}_5 }`={25 over 252}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=4)`={25over252}+{25over252}`={25over126}]

(ⅲ) [eqn: X`=5]일 때

빨간 공을 [eqn: 5]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_5 times`_5`{\C}_0 }over{`_10`{\C}_5 }`={1 over 252}`]

파란 공을 [eqn: 5]개 꺼내는 경우 : [eqn: {`_5`{\C}_0 times`_5`{\C}_5 }over{`_10`{\C}_5 }`={1 over 252}`]

[eqn: therefore~][eqn: {\P}(X=5)`={1over252}+{1over252}`={1over126}]

(ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에서 확률변수 [eqn: X`]의 확률분포표는 다음과

같다.

[eqn: X]	[eqn: 3]	[eqn: 4]	[eqn: 5]	계
[eqn: {\P}(X`=x)]	[eqn: 50 over 63]	[eqn: 25 over 126]	[eqn: 1over 126]	[eqn: 1]

이때, 확률변수 [eqn: X`]의 평균 [eqn: {\E}(X`)`]는

[eqn: {\E}(X`)`=3times{50over63}`+4times{25over126}`+5times{1over126}`={45over14}]

따라서 확률변수 [eqn: Y`=14X+14]의 평균 [eqn: {\E}(Y``)`]는

[eqn: {\E}(Y``)`][eqn: ={\E}(14X`+14)`][eqn: =14`{\E}(X`)+14`]

[eqn: =14times{45over14}` +14`][eqn: =59`]