• 수학 영역 •

수학 A형 정답

1	③	2	④	3	④	4	④	5	⑤
6	⑤	7	④	8	③	9	⑤	10	①
11	①	12	②	13	①	14	③	15	③
16	②	17	③	18	⑤	19	②	20	①
21	②	22	[eqn: 45]	23	[eqn: 72]	24	[eqn: 132]	25	[eqn: 11]
26	[eqn: 101]	27	[eqn: 13]	28	[eqn: 14]	29	[eqn: 50]	30	[eqn: 315]

해 설

1. [출제의도] 지수를 계산하여 값을 구한다.

[eqn: (3 ^{2} ) ^{{1} over {2}} +(3 ^{-2} ) ^{{1} over {2}}][eqn: =3 ^{2 times 1over 2} +3 ^{-2 times 1 over 2}`][eqn: =3 +3 ^{-1}`][eqn: =3+ {1} over {3}][eqn: = {10} over {3}`]

2. [출제의도] 그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 성질을 이해하여 성분의 값을 계산한다.

그래프의 연결 관계를 나타내는 행렬의 [eqn: (i,~j)`]성분과 [eqn: (j,~i)`]성분의 값이 같으므로 [eqn: a`][eqn: =0], [eqn: b`][eqn: =1`]

따라서 [eqn: 2a+b`][eqn: = 1`]

3. [출제의도] 수열의 극한값을 계산한다.

[eqn: lim _{n -> INF } {{`(2n-1)(2n+1)} over {n ^{2}}} `][eqn: =lim _{n -> INF } {{4n ^{2} -1} over {n ^{2}}} `][eqn: = lim _{n -> INF } {{4- {1} over {n^{`2}}} over {1}} `][eqn: =4]

4. [출제의도] 확률의 덧셈정리를 이용하여 값을 계산한다.

두 사건 [eqn: A`], [eqn: B`]가 서로 배반사건이므로 [eqn: rm P ( it A cap B)=0`]

[eqn: rm P ( it A cup B)`][eqn: = rm P ( it A ) + rm P ( it B ) - rm P ( it A cap B ) `]

[eqn: = rm P ( it A ) + rm P ( it B ) `][eqn: = 1 over 3 + 1 over 4 `][eqn: = 7 over 12 `]

5. [출제의도] 미분계수를 이해하고 조건의 값을 구한다.

[eqn: lim _{h -> 0} {LEFT { f(1+h)-3 RIGHT }} `][eqn: = lim _{h -> 0} {`h LEFT { {f(1+h)-3} over {h} RIGHT } `]

[eqn: = lim _{h -> 0} {`h} CDOT lim _{h -> 0} {{f(1+h)-3} over {h}} =0} `]

[eqn: lim _{h -> 0} {LEFT { `f(1+h)-3 RIGHT }}][eqn: = lim _{h -> 0}`` {f(1+h)} -3`][eqn: =0`]이므로

[eqn: lim_{h->0``} {`f(1+h)}=3]

[eqn: f(x)]가 연속이므로

[eqn: f(1)`][eqn: = lim_{h->0}`{`f(1+h)} `][eqn: =3`]

[eqn: lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-3} over {h}][eqn: = lim _{h -> 0} {` {f(1+h)-f(1)} over {h}][eqn: =f`'(1)][eqn: = 3 over 2]

따라서 [eqn: f`'(1) + f(1) `][eqn: = 3 over 2 + 3`][eqn: = 9 over 2 `]

6. [출제의도] 확률분포를 이해하여 주어진 조건의 값을 구한다.

[eqn: rm E it (6X)`][eqn: =6 rm E it (X)`][eqn: =13`]이므로 [eqn: rm E it (X)= {13} over {6} `]

주어진 표를 이용하여 [eqn: rm E it (X)]를 구하면

[eqn: 1 TIMES {1} over {6} +2a+3b`][eqn: = {13} over {6} `]

따라서 [eqn: 2a+3b`][eqn: =2`]

7. [출제의도] 행렬의 성질을 이용하여 성분의 값을 구한다.

행렬 [eqn: A`]의 역행렬이 존재한다면

[eqn: A^{`2} `][eqn: =A ^{ -1}A ^{ 3}`][eqn: =A ^{ -1}O][eqn: =O`]이므로 [eqn: A^{`2} `][eqn: =O`]

[eqn: A `][eqn: =A ^{ -1}A ^{ 2}`][eqn: =A ^{ -1}O][eqn: =O`]이므로 [eqn: A `][eqn: =O`]

행렬 [eqn: A `]는 영행렬이 될 수 없으므로 모순이다.

따라서 행렬 [eqn: A]의 역행렬이 존재하지 않으므로

[eqn: -2a+4`][eqn: =0`]에서 [eqn: a`][eqn: =2`]이다.

8. [출제의도] 지수함수를 이해하고 함수의 값을 구한다.

[eqn: f(b)`][eqn: = a^{`b} `][eqn: =3`], [eqn: f(c)`][eqn: =a^{`c} `][eqn: =6`]이므로 [eqn: a ^{`b} TIMES a ^{`c}`][eqn: = a^{`b+c} `][eqn: = 18 `]

[eqn: f left( {b+c} over 2 right) `][eqn: = a^{ {b+c} over 2 }`][eqn: = left( a^{`b+c} right)^{` 1over 2} `][eqn: = 18^{` 1over 2} `][eqn: = 3 root 2 `]

9. [출제의도] 극한의 성질을 이해하여 등차수열의 일반항과 합으로 이루어진 극한값을 구한다.

수열 [eqn: LEFT { a_n RIGHT }`]은 [eqn: a _{1} `][eqn: =2`], [eqn: d`][eqn: =3`]인 등차수열이므로

[eqn: a _{n}`][eqn: =3n-1`], [eqn: a _{n+1} `][eqn: =3n+2`]

첫째항부터 제[eqn: n`]항까지 합 [eqn: S _{n}`]은

[eqn: S _{n}`][eqn: = {n left( 2+ 3n-1 right) }over {2} `][eqn: = {3n ^{2} +n} over {2} `]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {{S _{n}} over {a _{n} a _{n+1}}}][eqn: =lim _{n -> INF } {{{3n ^{2} +n} over {2}} over {(3n-1)(3n+2)} `}`]

[eqn: =lim _{n -> INF } {{3+ {1} over {n}} over {18+ {6} over {n} - {4} over {n ^{2}}}} `][eqn: = {1} over {6} `]

10. [출제의도] 함수의 극한을 이해하고 극한값을 구한다.

[eqn: lim_{x -> inf } {f(x) - x^{`2} } over x `][eqn: =2`]이므로 [eqn: f(x) `][eqn: = x^{`2} +2x + c `]

[eqn: f left( 1 over x right) `][eqn: = left( 1 over x right)^{`2} + 2 over x + c `]

[eqn: lim_{x-> +0} ` x^{`2} `f left( 1 over x right)`][eqn: = lim_{x-> +0} ` left( 1+2x +c` x^{`2} right) `][eqn: =1`]

[다른 풀이]

[eqn: 1 over x `][eqn: =t`]라 하면 [eqn: x -> +0 `]일 때, [eqn: t -> inf `]이므로

[eqn: lim_{x-> +0} ` x^{`2} `f left( 1 over x right)`][eqn: = lim_{t-> inf} `{f left( t right) } over { t^{`2}} `][eqn: = lim_{t-> inf} `{ t^{`2} + 2t + c } over t^{`2} `][eqn: =1`]

11. [출제의도] 정규분포를 이해하여 주어진 조건의 확률을 구한다.

확률변수 [eqn: X`]는 정규분포 [eqn: N`(16,`0.3^2 )`]을 따른다.

[eqn: P(X le 15.25)]

[eqn: =P `left(X-16 over 0.3 le {15.25 -16} over 0.3 right)][eqn: = P`(Z le -2.5)]

[eqn: =P(Z ge 2.5)][eqn: =0.5-P(0 le Z le 2.5)][eqn: =0.5-0.49][eqn: =0.01]

12. [출제의도] 지수를 활용하여 실생활 관련 문제를  해결한다.

[eqn: T _{0} `][eqn: =60`], [eqn: T _{s}`][eqn: =20`]이므로

[eqn: t`][eqn: =a`], [eqn: T`][eqn: =40`] 일 때

[eqn: 40`][eqn: =20+(60-20)K ^{`-a} `]…㉠

[eqn: t`][eqn: =a+20`], [eqn: T`][eqn: =25`] 일 때

[eqn: 25`][eqn: =20+(60-20)K ^{`-a-20}`]…㉡

㉠, ㉡에 의해서 [eqn: K ^{`-a}`][eqn: = {1} over {2} `]…㉢, [eqn: K ^{`-a-20} `][eqn: = {1} over {8} `]…㉣

㉢을 ㉣에 대입하면 [eqn: K ^{`-20}`][eqn: = {1} over {4} `]

[eqn: K `][eqn: =2 ^{{1} over {10}} `]을 ㉢에 대입하면 [eqn: 2 ^{- {a} over {10}} `][eqn: = {1} over {2} `][eqn: =2 ^{`-1} `]

따라서 [eqn: a`][eqn: =10`]

[다른 풀이]

[eqn: K ^{`-a} `][eqn: = {1} over {2} `], [eqn: K ^{`-20}`][eqn: = {1} over {4} `]이므로 [eqn: K ^{`-20} `][eqn: = LEFT ( K ^{`-a} RIGHT ) ^{2}`][eqn: = K ^{`-2a} `]

따라서 [eqn: a`][eqn: =10`]

13. [출제의도] 수열의 일반항을 구하는 과정을 추론한다.

주어진 식에 의하여

[eqn: a _{`n+1} -1`][eqn: = {a _{`n} -1} over {2a _{n} -1} `]

이므로

[eqn: {1} over {a _{`n+1} -1} `][eqn: = {2a _{n} -1} over {a _{n} -1}`][eqn: = {1+2(a _{n} -1)} over {a _{n} -1}`][eqn: = {1} over {a _{n} -1} +` {BOX{``2``}}`]

이다. [eqn: b _{n} `][eqn: = {1} over {a _{n} -1}]이라 하면

[eqn: b _{n+1}`][eqn: =b _{n} +` {BOX{``2``}}`]

수열 [eqn: left { b _{n} right} `]은 [eqn: b _{1}`][eqn: =1`]이고, 공차가 [eqn: 2`]인 등차수열이다.

[eqn: b _{n} `][eqn: =` {BOX{``2n-1``}}`] [eqn: (n GEQ 1)]

이다. 따라서 [eqn: a _{n} `][eqn: = {1} over {` {BOX{``2n-1``}}} +1 `][eqn: (n GEQ 1)]이다.

따라서 [eqn: k`][eqn: =2`], [eqn: f(n)`][eqn: =2n-1`]이므로 [eqn: f(k)`][eqn: =f(2)`][eqn: =3`]

14. [출제의도] 함수의 극한과 연속을 이해하여 함숫값을 구한다.

[eqn: g(x)`][eqn: = ax+b`]([eqn: a ne 0 `])라 하고 [eqn: h(x) `][eqn: = f(x)g(x) `]라 하자.

[eqn: g(0) `][eqn: = lim_{x-> 1-0} f(x)`][eqn: =2`]이므로 [eqn: b`][eqn: =2`]

[eqn: h(x) `]가 [eqn: x=1]에서 연속이므로

[eqn: lim_{x-> 1-0} h(x)`][eqn: = lim_{x-> 1+0} h(x)`][eqn: = h(1) `]이다.

[eqn: lim_{x-> 1-0} h(x)`][eqn: = lim_{x-> 1-0} f(x) (ax+2)`][eqn: = 2(a+2)],

[eqn: lim_{x-> 1+0} h(x)`][eqn: = lim_{x-> 1+0} f(x) (ax+2)`][eqn: =0`],

[eqn: h(1) `][eqn: =f(1) (a+2) `][eqn: =a+2`]이므로 [eqn: a+2=0`]

따라서 [eqn: a=-2`]이고 [eqn: g(x) = -2x+2]이므로 [eqn: g(-1) = 4 `]이다.

15. [출제의도] 수열의 일반항을 이용하여 좌표 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: rm P it _{1} LEFT ( {1} over {2} ,` it a over {4} RIGHT ) `]를 지나는 직선은 [eqn: y `][eqn: =- {a} over {2} x+ {a} over {2}]

직선 [eqn: y `][eqn: =- {a} over {2} x+ {a} over {2}]와 곡선 [eqn: y`][eqn: =ax ^{2} `]을 연립하면

[eqn: ax ^{2}`][eqn: =`- {a} over {2} x+ {a} over {2} `]

[eqn: 2x ^{2} +x-1`][eqn: =0`]

[eqn: x`][eqn: = {1} over {2} `] 또는 [eqn: x`][eqn: =`-1`]

[eqn: rm P it rm _{2} `]는 [eqn: (-1,`a)`], [eqn: x _{2}`][eqn: =`-1`]

같은 방법으로 [eqn: rm P it rm _{3} `]을 구하면 [eqn: rm P it rm _{3} `]은 [eqn: (2,`4a)`], [eqn: x _{3}`][eqn: =2`]

[eqn: VDOTS]

[eqn: x _{n} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( -2 RIGHT ) ^{n-1} `]

따라서 [eqn: x _{10} =-256`]

16. [출제의도] 정적분을 활용하여 직선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이 구하는 문제를 해결한다.

점 [eqn: rm P_1 left(1, 1over3 right)]은 곡선 [eqn: y`][eqn: =ax^2 `]위의 점이므로 [eqn: a`][eqn: = 1over3 `]

직선 [eqn: rm P_1 P_2]의 방정식은

[eqn: y `][eqn: = - 1over3 times1 timesx +2 times 1over3 times 1^2 `], [eqn: y`][eqn: =- 1over3 x + 2over3 `]

점 [eqn: rmP_2]의 [eqn: x]좌표는 직선 [eqn: rm P_1 P_2]와 곡선 [eqn: y `][eqn: = 1over3 x^2 `]의

교점이므로 [eqn: 1over3 x^2 `][eqn: =- 1over3 x + 2over3 `]

[eqn: x ^{2} +x-2`][eqn: =0`]

[eqn: x`][eqn: =`-2`] 또는 [eqn: x`][eqn: =1`]

점 [eqn: rmP_2]의 [eqn: x]좌표는 [eqn: -2]

구하는 부분의 넓이는

[eqn: & int _{-2} ^{0} {} LEFT ( - {1} over {3} x+ {2} over {3} - {1} over {3} x ^{2} RIGHT ) dx `][eqn: = & LEFT [ `-` {1} over {6} `x ^{2} +` {2} over {3} `x`-` {1} over {9} `x ^{3} ` RIGHT ] _{-2} ^{0} `]                        [eqn: `= &2over3 + 4over3 - 8over9 `][eqn: = 10over9 `]

17. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 행렬의 참, 거짓을 추론한다.

ㄱ. [eqn: (A+B)A`][eqn: =E`]이므로 [eqn: A^-1 `][eqn: = A+B `] (참)

ㄴ. [eqn: A(A+B)][eqn: =(A+B)A][eqn: =E]이므로 [eqn: A^2 +AB][eqn: = A^2 +BA][eqn: AB`][eqn: =BA`]이므로

[eqn: `(AB)^2][eqn: =ABAB][eqn: =AABB][eqn: =A^2 B^2] (참)

ㄷ. [eqn: B(A+B)`][eqn: =A-E`]이고 [eqn: (A+B)^-1 `][eqn: =A`]이므로

[eqn: B`][eqn: =(A-E)A`][eqn: =A^2 -A`]

그러므로 [eqn: A ^{2} +(A ^{2} -A)A`][eqn: =E`]에서 [eqn: A^3 `][eqn: =E`] (거짓)

따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ 이다.

18. [출제의도] 등비수열의 일반항을 추측하여 무한등비급수의 합을 구한다.

두 삼각형 [eqn: rm P_{`1} B B_{`1} `], [eqn: rm Q_{`1} C C_{`1} `]은 직각이등변삼각형이고

사각형 [eqn: rm P_{`1} B_{`1} C_{`1} Q_{`1} `]은 정사각형이므로

[eqn: rm bar{ B B_{`1} } `][eqn: =rm bar{ P_{`1}B_{`1} } `][eqn: =rm bar{ B_{`1}C_{`1} } `][eqn: =rm bar{C_{`1} C } `], [eqn: rm bar{ BC } : bar{ B_{`1}C_{`1} } `][eqn: = 3:1`]

그러므로 의 넓이의 비는 [eqn: 9:1`]

그런데 삼각형 [eqn: rm AP_{`1}Q_{`1}`]은 선분 [eqn: rmP_{`1}Q_{`1}`]이 빗변인

직각이등변삼각형이므로 [eqn: {bar{rm AP_{`1} it}}`][eqn: = {bar{rm AB it}} - {bar{rm BP_{`1} it}} `][eqn: = {sqrt {2}} over {3} `]

[eqn: S_1`]은 부채꼴 [eqn: rmAP_{`1}Q_{`1}`]의 넓이에서 삼각형 [eqn: rmAP_{`1}Q_{`1}`]의

넓이를 뺀 값이므로

[eqn: S _{1} `][eqn: = {1} over {2} LEFT ( {sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ^{2} {pi } over {2} - {1} over {2} LEFT ( {sqrt {2}} over {3} RIGHT ) ^{2} `][eqn: = {pi -2} over {18}`]

따라서 [eqn: lim _{n -> INF } {S _{n}}`][eqn: = {~{pi -2} over {18}~} over {1- {1} over {9}} `][eqn: = {pi -2} over {16} `]

19. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 정적분의 값 구하는 문제를 해결한다.

주어진 조건에 의하여 함수 [eqn: f(x)`]는 주기가 [eqn: 2`]인

주기함수이므로

[eqn: g(a+4)-g(4)]

[eqn: = int _{-2} ^{a+4} {f(t)dt- int _{-2} ^{a} {f(t)dt]

[eqn: = int _{-2} ^{a+4} {f(t)dt}} + int _{a} ^{-2} {f(t)dt]

[eqn: = int _{a} ^{a+4} {f(t)dt `][eqn: = int _{0} ^{4} {f(t)dt `][eqn: = 2 int _{0} ^{2} {f(t)dt}`][eqn: =2`]

20. [출제의도] 중복조합을 활용하여 실생활 관련 문제를 해결한다.

한 상자에 공을 담는 경우가 결정되면 다른 상자에 공을 담는 경우도 한 가지로 결정된다.

예를 들어 각 상자에는 상자의 색과 다른 색의 공을 담아야 하므로 빨간 상자에 파란 공 [eqn: 1]개와 노란 공 [eqn: 4`]개를 담으면 노란 상자에는 파란 공 [eqn: 4`]개와 빨간 공 [eqn: 1`]개를, 파란 상자에는 노란 공 [eqn: 1]개와 빨간 공 [eqn: 4`]개를 담아야 한다.

즉, 빨간 상자에 공을 담는 경우가 결정되면 다른 상자에 공을 담는 경우도 한 가지로 결정된다.

그러므로 노란 공 [eqn: 5`]개와 파란 공 [eqn: 5`]개 중에서 빨간 상자에 담을 [eqn: 5`]개의 공을 선택하는 방법의 수가 구하는 경우의 수이다.

따라서 노란 공과 파란 공 [eqn: 2`]종류의 공에서 중복을 허락하여 [eqn: 5`]개의 공을 빨간 상자에 담는 방법의 수는 [eqn: ` _{2+5-1} C _{5} `=`6`]이다.

21. [출제의도] 도함수의 성질을 이용하여 [eqn: bold y`]좌표 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: f(x) `][eqn: ={ {```x}^{`2}} over 2 `]이라 하면 [eqn: f` prime (x) `][eqn: = x`]

[eqn: f` prime (a) `][eqn: = a`]이므로 접선 [eqn: l`]의 방정식은 [eqn: y=ax- {{``a ^{2}} over {2} `}]

직선 [eqn: m`]은 [eqn: l`]과 수직이므로 기울기가 [eqn: - {1} over {a} `]

미분계수가 [eqn: - {1} over {a} `]인 점 [eqn: rm Q`]의 [eqn: x`]좌표는 [eqn: f `' (x) `][eqn: = - {1} over {a} `]에서 [eqn: x `][eqn: = - {1} over {a} `]

직선 [eqn: m`]과 곡선 [eqn: y`={ {```x}^{`2}} over 2 `]의 접점은 [eqn: rm Q it LEFT ( - {1} over {a} ,`` {1} over {2a ^{2}} RIGHT ) `]

직선 [eqn: rm PQ]의 방정식은

[eqn: y `][eqn: = {{``a ^{2}} over {2} - {1} over {2a ^{2}}} over {a+ {1} over {a}} (x-a)+ {``a ^{2}} over {2} `][eqn: = {a ^{2} -1} over {2a} x+ {1} over {2} `]

이 직선이 [eqn: y`]축과 만나는 점 [eqn: rmR`]를 구하면 [eqn: rm R LEFT ( 0,` {1} over {2} RIGHT )`]

따라서 점 [eqn: rm R`]의 [eqn: y`]좌표는 [eqn: {1} over {2} `]이다.

22. [출제의도] 이항정리를 이용하여 [eqn: bold x^{`2} `]의 계수를 계산한다.

[eqn: ( x+1)^{`10} `][eqn: = sum_{r=0} ^10 `_10 rm C _{` it r}```` it x^{`r} cdot 1^{`10-r} `]

따라서 [eqn: x^{`2} `]의 계수는 [eqn: rm `_10 C _{`2}`][eqn: =45 `]이다.

23. [출제의도] 수열을 이해하고 주어진 조건의 값을 계산한다.

[eqn: a, `10, `17, `b `]가 등차수열이므로 공차는 [eqn: 17-10 `][eqn: = 7`]

그러므로 [eqn: a`][eqn: =10-7`][eqn: =3`], [eqn: b`][eqn: =17+7`][eqn: =24`]

[eqn: a ,`x,`y,`b]가 등비수열이므로 [eqn: xy `][eqn: = ab`][eqn: = 72`]

24. [출제의도] 정적분의 성질을 이해하여 정적분의 값을 구한다.

정적분의 성질에 의해 [eqn: x`][eqn: =12`]를 대입하면

[eqn: int _{12} ^{12} {f(t)dt `][eqn: =0`]이므로 [eqn: -12 ^{3} +12 ^{2} + int _{0} ^{1} {12f(t)dt}} `][eqn: =0`]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} `][eqn: =132`]

[다른 풀이]

[eqn: int _{12} ^{x} {f(t)dt`][eqn: =`-x ^{3} +x ^{2} + int _{0} ^{1} {xf(t)dt} `}`]

[eqn: =`-x ^{3} +x ^{2} +x int _{0} ^{1} {f(t)dt} `]

[eqn: int _{0} ^{1} {f(t)dt} =c`]라 하고 위 등식의 양변을 [eqn: x`]에 관하여 미분하면 [eqn: f(x)`][eqn: =`-3x ^{2} +2x+c `]

[eqn: int _{12} ^{x} {f(t)dt`][eqn: =`-x ^{3} +x ^{2} + int _{0} ^{1} {xf(t)dt} }`]에 대입하면

[eqn: int _{12} ^{x} left( {-3t ^{2} +2t+c `right)`dt} `][eqn: = LEFT [ -t ^{3} +t ^{2} +c``t RIGHT ] _{12} ^{x} `][eqn: =-x ^{3} +x ^{2} +cx-12(-132+c)`][eqn: =-x ^{3} +x ^{2} +cx`]

즉, [eqn: -132+c`][eqn: =0`]

따라서 [eqn: int _{0} ^{1} {f(x)dx} `][eqn: =132`]

25. [출제의도] 상용로그의 가수의 성질을 이용하여 주어진 집합의 원소의 개수를 구한다.

[eqn: n`]의 값을 구하면 다음과 같다.

ⅰ) [eqn: 1 LEQ n LEQ 9`]

[eqn: log``n`]의 지표는 [eqn: 0`]이므로 [eqn: f(n)`]의 값은

[eqn: log``1`], [eqn: log``2`], … , [eqn: log``9`]

이 중 [eqn: f(n)<`][eqn: log``2`]인 [eqn: n`]은 [eqn: 1`]

ⅱ) [eqn: 10 LEQ n LEQ 99]

[eqn: log``n`]의 지표는 [eqn: 1`]이므로 [eqn: f(n)`]의 값은

[eqn: log`` {10} over {10} `], [eqn: log`` {11} over {10} `], … , [eqn: log`` {99} over {10} `]

이 중 [eqn: f(n)<`][eqn: log``2`]인 [eqn: n`]은 [eqn: 10`], [eqn: 11`], … , [eqn: 19`]

따라서 집합 [eqn: A`]의 원소의 개수는 [eqn: 1+10`][eqn: =11`]이다.

26. [출제의도] 로그함수의 그래프를 이해하여 최솟값 구하는 문제를 해결한다.

[eqn: left| `f(x)`-g(x) ` right|`][eqn: ge 0 `]이므로

[eqn: f(x)`-g(x) `][eqn: =0`]일 때 최솟값을 갖는다.

[eqn: log _{`2} `(x+10) - log _{`{1} over {2}} (x-10)`][eqn: = log _{`2} `(x+10) + log _{`2} (x-10)`]                         [eqn: = `log _{`2} `(x^{`2} - 100 right)][eqn: =0`]

따라서 [eqn: p^{`2} - 100`][eqn: = 1]에서 [eqn: p^{`2} `][eqn: = 101 `]이다.

27. [출제의도] 도함수를 활용하여 양의 실근의 개수를 추측한다.

[eqn: g(x) `][eqn: = x^{`3} -12x+22 `]라 하면 [eqn: g prime (x)`][eqn: = 3(x-2)(x+2)`]

함수 [eqn: g(x)`]의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

[eqn: x]	…	[eqn: -2]	…	[eqn: 2]	…
[eqn: g` prime (x)]	+	[eqn: 0]	-	[eqn: 0]	+
[eqn: g(x)]	↗	[eqn: 38]	↘	[eqn: 6]	↗

삼차방정식의 양의 실근의 개수 [eqn: f(k)`]는 [eqn: y`][eqn: =g(x)`]의 그래프와 직선 [eqn: y`][eqn: =4k`]가 제[eqn: 1`]사분면에서 만나는

교점의 개수와 같다.

ⅰ) [eqn: k`][eqn: =1`]일 때 [eqn: f(k)`][eqn: =0`]

ⅱ) [eqn: k`][eqn: =2`, `3,` 4,` 5`]일 때 [eqn: f(k)`][eqn: =2`]

ⅲ) [eqn: k`][eqn: =6`, `7,`]…[eqn: ,`][eqn: 10`]일 때 [eqn: f(k)`][eqn: =1`]

따라서 [eqn: sum_{k=1} ^ 10 f(k)][eqn: = 0 times 1 + 2times 4 + 1 times 5 `][eqn: =13`]

28. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 평균 구하는 문제를 해결한다.

확률변수 [eqn: X`]의 확률분포를 표로 나타내면 다음과

같다.

[eqn: X`]	[eqn: 2]	[eqn: 4]	[eqn: 6]	계
[eqn: rm P ( it X =x) `]	[eqn: 1 over 3]	[eqn: 1 over 2]	[eqn: 1 over 6]	[eqn: 1]

[eqn: rm E( itX)`][eqn: = 2 cdot 1 over 3 + 4 cdot 1 over 2 + 6 cdot 1 over 6 `][eqn: = 11 over 3`]

따라서 [eqn: p=3`], [eqn: q=11`]이므로 [eqn: p+q`][eqn: =14`]이다.

29. [출제의도] 함수의 그래프를 이용하여 극한값을 구한다.

직선 [eqn: rm PQ `]의 방정식은

[eqn: y`][eqn: =(2a+1)(x-a) +a^2][eqn: =(2a+1)x -(a^2 +a)]

직선 [eqn: rm PQ `]와 직선 [eqn: y`][eqn: =x`]의 교점의 [eqn: x]좌표는

[eqn: x`][eqn: = (2a+1)x -(a^2 +a) `]이고 [eqn: a ne0]일 때 [eqn: x`][eqn: ={ a^{`2}+a } over 2a`]

[eqn: f(a)`][eqn: ={ a^{`2}+a } over 2a`]이고 [eqn: lim_{a->0}`{`f(a)}`][eqn: =lim_{a->0}`{{ a^{`2}+a } over 2a`}`][eqn: = 1 over 2`]

따라서 [eqn: 100 `lim_{a->0}` {`f(a)}`][eqn: =50`]

30. [출제의도] 주어진 조건을 이용하여 수열의 합 구하는 문제를 해결한다.

(가)에서 [eqn: a _{n} +`a _{n+1} `][eqn: LEQ |a _{n} |+a _{n+1} `][eqn: =`n+6]

[eqn: n`][eqn: =`2k-1`]일 때 [eqn: a _{2k-1} +`a _{2k} ` LEQ `2k+5`]

그런데 [eqn: sum _{n=1} ^{40} a _{n} `][eqn: =` sum _{k=1} ^{20} (a _{2k-1} +a _{2k} )`][eqn: LEQ `` sum _{k=1} ^{20} (2k+5)`][eqn: =520`]

(나)에서 [eqn: sum _{n=1} ^{40} a _{n}][eqn: =520`]이므로

[eqn: a _{2k-1} `][eqn: =|a _{2k-1} |`] ([eqn: k`][eqn: =1,`2,`]…[eqn: ,` 20`])

[eqn: a _{2k-1} ge0]이므로 [eqn: a _{2k-1} +`a _{2k} `][eqn: =`2k+5`]

따라서 [eqn: sum _{n=1} ^{30} a_{`n} `][eqn: =` sum _{k=1} ^{15} (a _{2k-1} +a _{2k} )`][eqn: =` sum _{k=1} ^{15} (2k+5 )`][eqn: = 315 `]